Normalverteilung

Normalverteilung ⓘ

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Die rote Kurve ist die Standardnormalverteilung
Kumulative Verteilungsfunktion
Notation	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
Parameter	$\mu \in \mathbb {R}$ = Mittelwert (Ort) $\sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ = Varianz (Skalenquadrat)
Unterstützung	$x\in \mathbb {R}$
PDF	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$
CDF	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
Quantil	$\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)$
Mittelwert	$\mu$
Median	$\mu$
Modus	$\mu$
Varianz	$\sigma ^{2}$
MAD	$\sigma {\sqrt {2/\pi }}$
Schrägheit	$0$
Bsp. Kurtosis	$0$
Entropie	${\frac {1}{2}}\log(2\pi \sigma ^{2})+{\frac {1}{2}}$
MGF	$\exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)$
CF	$\exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)$
Fisher-Information	${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$
Kullback-Leibler-Divergenz	${1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}$

In der Statistik ist die Normalverteilung (auch bekannt als Gauß-, Gauß- oder Laplace-Gauß-Verteilung) ein Typ der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine reellwertige Zufallsvariable. Die allgemeine Form ihrer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

Der Parameter $\mu$ ist der Mittelwert oder Erwartungswert der Verteilung (und auch ihr Median und Modus), während der Parameter $\sigma$ ihre Standardabweichung ist. Die Varianz der Verteilung ist $\sigma ^{2}$. Eine Zufallsvariable mit einer Gaußschen Verteilung gilt als normalverteilt und wird als Normalabweichung bezeichnet. ⓘ

Normalverteilungen sind in der Statistik von großer Bedeutung und werden in den Natur- und Sozialwissenschaften häufig zur Darstellung von reellwertigen Zufallsvariablen verwendet, deren Verteilungen nicht bekannt sind. Ihre Bedeutung ist zum Teil auf den zentralen Grenzwertsatz zurückzuführen. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen der Durchschnitt vieler Stichproben (Beobachtungen) einer Zufallsvariablen mit endlichem Mittelwert und Varianz selbst eine Zufallsvariable ist, deren Verteilung mit zunehmender Anzahl der Stichproben gegen eine Normalverteilung konvergiert. Daher haben physikalische Größen, von denen man annimmt, dass sie die Summe vieler unabhängiger Prozesse sind, wie z. B. Messfehler, oft Verteilungen, die nahezu normal sind. ⓘ

Darüber hinaus haben Gaußverteilungen einige einzigartige Eigenschaften, die für analytische Untersuchungen von Nutzen sind. Zum Beispiel ist jede lineare Kombination einer festen Sammlung von Normalabweichungen eine Normalabweichung. Viele Ergebnisse und Methoden, wie z. B. die Ausbreitung der Unsicherheit und die Anpassung von Parametern nach der Methode der kleinsten Quadrate, lassen sich analytisch in expliziter Form ableiten, wenn die relevanten Variablen normalverteilt sind. ⓘ

Eine Normalverteilung wird manchmal informell als Glockenkurve bezeichnet. Viele andere Verteilungen sind jedoch glockenförmig (z. B. Cauchy-, Student's t- und logistische Verteilungen). ⓘ

Die univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung wird für Vektoren in der multivariaten Normalverteilung und für Matrizen in der Matrixnormalverteilung verallgemeinert. ⓘ

Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch additive Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. Die Familie der Normalverteilungen bildet eine Lage-Skalen-Familie. ⓘ

Die Abweichungen der Messwerte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurwissenschaftlicher Vorgänge vom Erwartungswert lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft logarithmische Normalverteilung) in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). ⓘ

Zufallsvariablen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie:

• zufällige Streuung von Messwerten,
• zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken,
• Beschreibung der brownschen Molekularbewegung. ⓘ

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen. ⓘ

In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, um die Streuung von Messwerten zu beschreiben. ⓘ

Die Standardabweichung $\sigma$ beschreibt die Breite der Normalverteilung. Die Halbwertsbreite einer Normalverteilung ist ungefähr das $2{,}4$-Fache (genau $2{\sqrt {2\ln 2}}$) der Standardabweichung. Es gilt näherungsweise:

• Im Intervall der Abweichung $\pm \sigma$ vom Erwartungswert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung $\pm 2\sigma$ vom Erwartungswert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden,
• Im Intervall der Abweichung $\pm 3\sigma$ vom Erwartungswert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden.

Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Erwartungswert finden:

• 50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $0{,}675\sigma$ vom Erwartungswert,
• 90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $1{,}645\sigma$ vom Erwartungswert,
• 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $1{,}960\sigma$ vom Erwartungswert,
• 99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens $2{,}576\sigma$ vom Erwartungswert. ⓘ

Somit kann neben dem Erwartungswert, der als Schwerpunkt der Verteilung interpretiert werden kann, auch der Standardabweichung eine einfache Bedeutung im Hinblick auf die Größenordnungen der auftretenden Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten zugeordnet werden. ⓘ

Definitionen

Standard-Normalverteilung

Der einfachste Fall einer Normalverteilung wird als Standardnormalverteilung oder Einheitsnormalverteilung bezeichnet. Dies ist ein Spezialfall, wenn $\mu =0$ und $\sigma =1$und wird durch diese Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (oder Dichte) beschrieben:

$\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}$

Die Variable $z$ hat einen Mittelwert von 0 und eine Varianz und Standardabweichung von 1. Die Dichte $\varphi (z)$ hat ihre Spitze $1/{\sqrt {2\pi }}$ bei . $z=0$ und Wendepunkte bei $z=+1$ und $z=-1$. ⓘ

Obwohl die obige Dichte am häufigsten als Standardnormalverteilung bezeichnet wird, haben einige Autoren diesen Begriff verwendet, um andere Versionen der Normalverteilung zu beschreiben. Carl Friedrich Gauß zum Beispiel definierte die Standardnormalverteilung als

$\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}$

was eine Varianz von 1/2 hat, und Stephen Stigler definierte einst die Standardnormale als

$\varphi (z)=e^{-\pi z^{2}}$

definiert, die eine einfache funktionale Form und eine Varianz von $\sigma ^{2}=1/(2\pi )$: ⓘ

Allgemeine Normalverteilung

Jede Normalverteilung ist eine Version der Standardnormalverteilung, deren Bereich um einen Faktor gestreckt wurde $\sigma$ (die Standardabweichung) gestreckt und dann durch $\mu$ (den Mittelwert):

$f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$ ⓘ

Die Wahrscheinlichkeitsdichte muss skaliert werden durch $1/\sigma$ skaliert werden, so dass das Integral immer noch 1 ist. ⓘ

Wenn $Z$ eine Standard-Normalabweichung ist, dann $X=\sigma Z+\mu$ eine Normalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die "Standard"-Normalverteilung $Z$ um einen Faktor von $\sigma$ und verschoben um $\mu$ verschoben wird, um eine andere Normalverteilung zu erhalten, die $X$. Umgekehrt, wenn $X$ eine Normalabweichung mit den Parametern $\mu$ und $\sigma ^{2}$ist, dann kann diese $X$ Verteilung neu skaliert und verschoben werden, und zwar mit der Formel $Z=(X-\mu )/\sigma$ in die "Standard"-Normalverteilung umgewandelt werden. Diese Variante wird auch als die standardisierte Form von $X$. ⓘ

Notation

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Gaußschen Standardverteilung (Standardnormalverteilung, mit Mittelwert Null und Einheitsvarianz) wird häufig mit dem griechischen Buchstaben $\phi$ (phi) bezeichnet. Die alternative Form des griechischen Buchstabens phi, $\varphi$wird ebenfalls recht häufig verwendet. ⓘ

Die Normalverteilung wird oft als $N(\mu ,\sigma ^{2})$ oder ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$. Wenn also eine Zufallsvariable $X$ normalverteilt ist mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, kann man schreiben ⓘ

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$ ⓘ

Alternative Parametrisierungen

Einige Autoren befürworten die Verwendung der Genauigkeit $\tau$ als Parameter zu verwenden, der die Breite der Verteilung definiert, anstelle der Abweichung $\sigma$ oder der Varianz $\sigma ^{2}$. Die Präzision wird normalerweise als der Kehrwert der Varianz definiert, $1/\sigma ^{2}$. Die Formel für die Verteilung lautet dann ⓘ

$f(x)={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}e^{-\tau (x-\mu )^{2}/2}.$ ⓘ

Es wird behauptet, dass diese Wahl Vorteile bei numerischen Berechnungen hat, wenn $\sigma$ sehr nahe bei Null liegt, und vereinfacht die Formeln in einigen Zusammenhängen, wie z. B. bei der Bayes'schen Inferenz von Variablen mit multivariater Normalverteilung. ⓘ

Alternativ dazu kann der Kehrwert der Standardabweichung $\tau ^{\prime }=1/\sigma$ als Präzision definiert werden, wobei der Ausdruck der Normalverteilung wie folgt lautet ⓘ

$f(x)={\frac {\tau ^{\prime }}{\sqrt {2\pi }}}e^{-(\tau ^{\prime })^{2}(x-\mu )^{2}/2}.$ ⓘ

Nach Stigler ist diese Formulierung vorteilhaft, weil sie eine viel einfachere und leichter zu merkende Formel und einfache Näherungsformeln für die Quantile der Verteilung bietet. ⓘ

Normalverteilungen bilden eine Exponentialfamilie mit natürlichen Parametern $\textstyle \theta _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}$ und $\textstyle \theta _{2}={\frac {-1}{2\sigma ^{2}}}$, und natürlichen Statistiken x und x². Die dualen Erwartungsparameter der Normalverteilung sind η₁ = μ und η₂ = μ² + σ². ⓘ

Kumulative Verteilungsfunktionen

Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Standardnormalverteilung, die gewöhnlich mit dem großen griechischen Buchstaben $\Phi$ (phi) bezeichnet wird, ist das Integral ⓘ

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt$ ⓘ

Die zugehörige Fehlerfunktion $\operatorname {erf} (x)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable mit Normalverteilung, Mittelwert 0 und Varianz 1/2, in den Bereich $[-x,x]$. Das heißt:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$ ⓘ

Diese Integrale können nicht in Form von elementaren Funktionen ausgedrückt werden und werden oft als spezielle Funktionen bezeichnet. Es sind jedoch zahlreiche numerische Näherungen bekannt; siehe unten. ⓘ

Die beiden Funktionen sind eng miteinander verwandt, nämlich ⓘ

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$ ⓘ

Für eine allgemeine Normalverteilung mit Dichte $f$, Mittelwert $\mu$ und Abweichung $\sigma$ist die kumulative Verteilungsfunktion ⓘ

$F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$ ⓘ

Das Komplement der Standardnormalverteilung CDF, $Q(x)=1-\Phi (x)$wird oft als Q-Funktion bezeichnet, insbesondere in technischen Texten. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Wert einer standardnormalen Zufallsvariablen $X$ größer ist als $x$: $P(X>x)$. Andere Definitionen der $Q$-Funktion, die alle einfache Transformationen von $\Phi$sind, werden ebenfalls gelegentlich verwendet. ⓘ

Der Graph der Standard-Normal-CDF $\Phi$ hat eine 2-fache Rotationssymmetrie um den Punkt (0,1/2); das heißt, $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$. Ihre Antiderivative (unbestimmtes Integral) kann wie folgt ausgedrückt werden:

$\int \Phi (x)\,dx=x\Phi (x)+\varphi (x)+C.$ ⓘ

Die CDF der Standardnormalverteilung kann durch Integration durch Teile zu einer Reihe erweitert werden:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot e^{-x^{2}/2}\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{3\cdot 5}}+\cdots +{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+\cdots \right]$ ⓘ

wobei $!!$ die doppelte Fakultät bezeichnet. ⓘ

Eine asymptotische Erweiterung der CDF für große x kann auch durch Integration durch Teile abgeleitet werden. Weitere Informationen finden Sie unter Fehlerfunktion#Asymptotische Entwicklung. ⓘ

Eine schnelle Annäherung an die CDF der Standardnormalverteilung lässt sich mit Hilfe einer Taylorreihen-Approximation finden: $\Phi (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {\left(-1\right)^{k}x^{\left(2k+1\right)}}{2^{k}k!\left(2k+1\right)}}$ ⓘ

Standardabweichung und Streuung

Intervalle um $\mu$ bei der Normalverteilung ⓘ

Aus der Standardnormalverteilungstabelle ist ersichtlich, dass für normalverteilte Zufallsvariablen jeweils ungefähr

68,3 % der Realisierungen im Intervall $\mu \pm \sigma$,

95,4 % im Intervall $\mu \pm 2\sigma$ und

99,7 % im Intervall $\mu \pm 3\sigma$

liegen. Da in der Praxis viele Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, werden diese Werte aus der Normalverteilung oft als Faustformel benutzt. So wird beispielsweise $\sigma$ oft als die halbe Breite des Intervalls angenommen, das die mittleren zwei Drittel der Werte in einer Stichprobe umfasst, siehe Quantil. ⓘ

Normalverteilung (a) und kontaminierte Normalverteilung (b) ⓘ

Diese Praxis ist aber nicht empfehlenswert, denn sie kann zu sehr großen Fehlern führen. Zum Beispiel ist die Verteilung $P=0{,}9\cdot {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})+0{,}1\cdot {\mathcal {N}}(\mu ,(10\sigma )^{2})$ optisch kaum von der Normalverteilung zu unterscheiden (siehe Bild), aber bei ihr liegen im Intervall $\mu \pm {\overline {\sigma }}$ 92,5 % der Werte, wobei ${\overline {\sigma }}$ die Standardabweichung von $P$ bezeichnet. Solche kontaminierten Normalverteilungen sind in der Praxis sehr häufig; das genannte Beispiel beschreibt die Situation, wenn zehn Präzisionsmaschinen etwas herstellen, aber eine davon schlecht justiert ist und mit zehnmal so hohen Abweichungen wie die anderen neun produziert. ⓘ

Werte außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung werden oft als Ausreißer behandelt. Ausreißer können ein Hinweis auf grobe Fehler der Datenerfassung sein. Es kann den Daten aber auch eine stark schiefe Verteilung zugrunde liegen. Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 500. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung. ⓘ

Da der Anteil der Werte außerhalb der sechsfachen Standardabweichung mit ca. 2 ppb verschwindend klein wird, gilt ein solches Intervall als gutes Maß für eine nahezu vollständige Abdeckung aller Werte. Das wird im Qualitätsmanagement durch die Methode Six Sigma genutzt, indem die Prozessanforderungen Toleranzgrenzen von mindestens $6\sigma$ vorschreiben. Allerdings geht man dort von einer langfristigen Erwartungswertverschiebung um 1,5 Standardabweichungen aus, sodass der zulässige Fehleranteil auf 3,4 ppm steigt. Dieser Fehleranteil entspricht einer viereinhalbfachen Standardabweichung ($4{,}5\ \sigma$). Ein weiteres Problem der $6\sigma$-Methode ist, dass die $6\sigma$-Punkte praktisch nicht bestimmbar sind. Bei unbekannter Verteilung (d. h., wenn es sich nicht ganz sicher um eine Normalverteilung handelt) grenzen zum Beispiel die Extremwerte von 1.400.000.000 Messungen ein 75-%-Konfidenzintervall für die $6\sigma$-Punkte ein. ⓘ

Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit (Prozent innerhalb) von der Größe des Streuintervalls $p(z)$ ⓘ

Abhängigkeit der Streuintervallgrenze von der eingeschlossenen Wahrscheinlichkeit $z(p)$ ⓘ

Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle $\left(\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma \right)$ ⓘ

$z\sigma$	Prozent innerhalb	Prozent außerhalb	ppb außerhalb	Bruchteil außerhalb
0,674490 $\sigma$	50 %	50 %	500.000.000	1 / 2
0,994458 $\sigma$	68 %	32 %	320.000.000	1 / 3,125
1 $\sigma$	68,268 9492 %	31,731 0508 %	317.310.508	1 / 3,151 4872
1,281552 $\sigma$	80 %	20 %	200.000.000	1 / 5
1,644854 $\sigma$	90 %	10 %	100.000.000	1 / 10
1,959964 $\sigma$	95 %	5 %	50.000.000	1 / 20
2 $\sigma$	95,449 9736 %	4,550 0264 %	45.500.264	1 / 21,977 895
2,354820 $\sigma$	98,146 8322 %	1,853 1678 %	18.531.678	1 / 54
2,575829 $\sigma$	99 %	1 %	10.000.000	1 / 100
3 $\sigma$	99,730 0204 %	0,269 9796 %	2.699.796	1 / 370,398
3,290527 $\sigma$	99,9 %	0,1 %	1.000.000	1 / 1.000
3,890592 $\sigma$	99,99 %	0,01 %	100.000	1 / 10.000
4 $\sigma$	99,993 666 %	0,006 334 %	63.340	1 / 15.787
4,417173 $\sigma$	99,999 %	0,001 %	10.000	1 / 100.000
4,891638 $\sigma$	99,9999 %	0,0001 %	1.000	1 / 1.000.000
5 $\sigma$	99,999 942 6697 %	0,000 057 3303 %	573,3303	1 / 1.744.278
5,326724 $\sigma$	99,999 99 %	0,000 01 %	100	1 / 10.000.000
5,730729 $\sigma$	99,999 999 %	0,000 001 %	10	1 / 100.000.000
6 $\sigma$	99,999 999 8027 %	0,000 000 1973 %	1,973	1 / 506.797.346
6,109410 $\sigma$	99,999 9999 %	0,000 0001 %	1	1 / 1.000.000.000
6,466951 $\sigma$	99,999 999 99 %	0,000 000 01 %	0,1	1 / 10.000.000.000
6,806502 $\sigma$	99,999 999 999 %	0,000 000 001 %	0,01	1 / 100.000.000.000
7 $\sigma$	99,999 999 999 7440 %	0,000 000 000 256 %	0,002 56	1 / 390.682.215.445

Die Wahrscheinlichkeiten $p$ für bestimmte Streuintervalle $[\mu -z\sigma ;\mu +z\sigma ]$ können berechnet werden als ⓘ

$p=2\Phi (z)-1$, ⓘ

wobei $\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} x$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. ⓘ

Umgekehrt können für gegebenes $p\in (0,1)$ durch ⓘ

$z=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)$ ⓘ

die Grenzen des zugehörigen Streuintervalls $[\mu -z\sigma ;\mu +z\sigma ]$ mit Wahrscheinlichkeit $p$ berechnet werden. ⓘ

Genauer gesagt liegt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Normalabweichung im Bereich zwischen $\mu -n\sigma$ und $\mu +n\sigma$ ist gegeben durch

$F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).$

Auf 12 signifikante Stellen genau sind die Werte für $n=1,2,\ldots ,6$ sind:

$n$	$p=F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )$	${\text{i.e. }}1-p$	${\text{or }}1{\text{ in }}p$	OEIS ⓘ
1	0.682689492137	0.317310507863	3 .15148718753	OEIS: A178647
2	0.954499736104	0.045500263896	21 .9778945080	OEIS: A110894
3	0.997300203937	0.002699796063	370 .398347345	OEIS: A270712
4	0.999936657516	0.000063342484	15787 .1927673
5	0.999999426697	0.000000573303	1744277 .89362
6	0.999999998027	0.000000001973	506797345 .897

Quantilsfunktion

Die Quantilsfunktion einer Verteilung ist die Umkehrung der kumulativen Verteilungsfunktion. Die Quantilsfunktion der Standardnormalverteilung wird als Probitfunktion bezeichnet und kann durch die inverse Fehlerfunktion ausgedrückt werden:

$\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$

Für eine normale Zufallsvariable mit Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ist die Quantilsfunktion

$F^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$

Das Quantil $\Phi ^{-1}(p)$ der Standardnormalverteilung wird üblicherweise bezeichnet als $z_{p}$. Diese Werte werden bei Hypothesentests, der Konstruktion von Konfidenzintervallen und Q-Q-Diagrammen verwendet. Eine normale Zufallsvariable $X$ größer ist als $\mu +z_{p}\sigma$ mit der Wahrscheinlichkeit $1-p$, und liegt außerhalb des Intervalls $\mu \pm z_{p}\sigma$ mit der Wahrscheinlichkeit $2(1-p)$. Insbesondere ist das Quantil $z_{0.975}$ beträgt 1,96; daher liegt eine normale Zufallsvariable nur in 5 % der Fälle außerhalb des Intervalls $\mu \pm 1.96\sigma$ nur in 5 % der Fälle. ⓘ

Die folgende Tabelle zeigt das Quantil $z_{p}$ so dass $X$ im Bereich $\mu \pm z_{p}\sigma$ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit $p$. Diese Werte sind nützlich, um Toleranzintervalle für Stichprobendurchschnitte und andere statistische Schätzer mit normaler (oder asymptotisch normaler) Verteilung zu bestimmen. Beachten Sie, dass die folgende Tabelle zeigt ${\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)$, nicht $\Phi ^{-1}(p)$ wie oben definiert. ⓘ

$p$	$z_{p}$		$p$	$z_{p}$ ⓘ
0.80	1.281551565545		0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951		0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540		0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041		0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549		0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344		0.99999999	5.730728868236
0.998	3.090232306168		0.999999999	6.109410204869

Für kleine $p$hat die Quantilsfunktion die nützliche asymptotische Erweiterung $\Phi ^{-1}(p)=-{\sqrt {\ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln \ln {\frac {1}{p^{2}}}-\ln(2\pi )}}+{\mathcal {o}}(1).$ ⓘ

Eigenschaften

Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung, deren Kumulanten jenseits der ersten beiden (d. h. abgesehen von Mittelwert und Varianz) Null sind. Sie ist auch die kontinuierliche Verteilung mit der maximalen Entropie für einen bestimmten Mittelwert und eine bestimmte Varianz. Geary hat unter der Annahme, dass Mittelwert und Varianz endlich sind, gezeigt, dass die Normalverteilung die einzige Verteilung ist, bei der Mittelwert und Varianz, die aus einer Reihe unabhängiger Ziehungen berechnet werden, unabhängig voneinander sind. ⓘ

Die Normalverteilung ist eine Unterklasse der elliptischen Verteilungen. Die Normalverteilung ist symmetrisch um ihren Mittelwert und ist über die gesamte reelle Linie ungleich Null. Daher ist sie möglicherweise kein geeignetes Modell für Variablen, die von Natur aus positiv oder stark schief sind, wie z. B. das Gewicht einer Person oder der Preis einer Aktie. Solche Variablen können besser durch andere Verteilungen beschrieben werden, wie z. B. die Log-Normal-Verteilung oder die Pareto-Verteilung. ⓘ

Der Wert der Normalverteilung ist praktisch Null, wenn der Wert $x$ mehr als ein paar Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegt (z. B. deckt eine Streuung von drei Standardabweichungen alle bis auf 0,27 % der Gesamtverteilung ab). Daher ist es möglicherweise kein geeignetes Modell, wenn man einen signifikanten Anteil an Ausreißern erwartet - Werte, die viele Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt liegen - und die kleinsten Quadrate und andere statistische Schlussfolgerungsmethoden, die für normalverteilte Variablen optimal sind, werden oft sehr unzuverlässig, wenn sie auf solche Daten angewendet werden. In diesen Fällen sollte eine Verteilung mit stärkerem Schwanz angenommen und die entsprechenden robusten statistischen Schlussfolgerungsmethoden angewandt werden. ⓘ

Die Gauß-Verteilung gehört zur Familie der stabilen Verteilungen, die die Attraktoren von Summen unabhängiger, identisch verteilter Verteilungen sind, unabhängig davon, ob der Mittelwert oder die Varianz endlich ist oder nicht. Mit Ausnahme der Gauß-Verteilung, die ein Grenzfall ist, haben alle stabilen Verteilungen starke Schwänze und eine unendliche Varianz. Die Gauß-Verteilung ist eine der wenigen stabilen Verteilungen, deren Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen analytisch ausgedrückt werden können; die anderen sind die Cauchy-Verteilung und die Lévy-Verteilung. ⓘ

Symmetrien und Ableitungen

Die Normalverteilung mit der Dichte $f(x)$ (Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma >0$) hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie ist symmetrisch um den Punkt $x=\mu ,$ der gleichzeitig der Modus, der Median und der Mittelwert der Verteilung ist.
• Sie ist unimodal: ihre erste Ableitung ist positiv für $x<\mu ,$ negativ für $x>\mu ,$ und Null nur bei $x=\mu .$
• Die Fläche, die von der Kurve und der $x$-Achse begrenzt wird, ist eins (d. h. gleich eins).
• Ihre erste Ableitung ist $f^{\prime }(x)=-{\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}f(x).$
• Die Dichte hat zwei Wendepunkte (an denen die zweite Ableitung von $f$ Null ist und das Vorzeichen wechselt), die eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt liegen, nämlich bei $x=\mu -\sigma$ und $x=\mu +\sigma .$
• Die Dichte ist log-konkav.
• Die Dichte ist unendlich differenzierbar, und zwar superglatt der Ordnung 2. ⓘ

Außerdem ist die Dichte $\varphi$ der Standardnormalverteilung (d. h. $\mu =0$ und $\sigma =1$) auch die folgenden Eigenschaften:

• Ihre erste Ableitung ist $\varphi ^{\prime }(x)=-x\varphi (x).$
• Ihre zweite Ableitung ist $\varphi ^{\prime \prime }(x)=(x^{2}-1)\varphi (x)$
• Allgemeiner ausgedrückt, ist ihre n-te Ableitung $\varphi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}\operatorname {He} _{n}(x)\varphi (x),$ wobei $\operatorname {He} _{n}(x)$ ist das n-te (probabilistische) Hermite-Polynom.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Variable $X$ mit bekannter $\mu$ und $\sigma$ in einer bestimmten Menge liegt, lässt sich berechnen, indem man die Tatsache nutzt, dass der Bruchteil $Z=(X-\mu )/\sigma$ eine Standardnormalverteilung hat. ⓘ

Momente

Die einfachen und absoluten Momente einer Variablen $X$ sind die Erwartungswerte von $X^{p}$ und $|X|^{p}$beziehungsweise. Wenn der erwartete Wert $\mu$ von $X$ Null ist, werden diese Parameter als zentrale Momente bezeichnet; andernfalls werden diese Parameter als nicht-zentrale Momente bezeichnet. Normalerweise sind wir nur an Momenten mit ganzzahliger Ordnung interessiert $\ p$. ⓘ

Wenn $X$ eine Normalverteilung hat, existieren die nicht-zentralen Momente und sind endlich für jeden $p$ deren Realteil größer als -1 ist. Für jede nichtnegative ganze Zahl $p$sind die einfachen zentralen Momente:

$\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}$

Hier $n!!$ die doppelte Fakultät, d. h. das Produkt aller Zahlen von $n$ bis 1, die die gleiche Parität haben wie $n.$ ⓘ

Die zentralen absoluten Momente stimmen für alle geraden Ordnungen mit den einfachen Momenten überein, sind aber für ungerade Ordnungen ungleich Null. Für jede nichtnegative ganze Zahl $p,$ ⓘ

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]&=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot {\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}&{\text{if }}p{\text{ is odd}}\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}}\end{cases}}\\&=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{p/2}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}.\end{aligned}}$

Die letzte Formel gilt auch für jede nicht-ganzzahlige Zahl $p>-1.$ Wenn der Mittelwert $\mu \neq 0,$ können die einfachen und absoluten Momente als konfluente hypergeometrische Funktionen ausgedrückt werden ${}_{1}F_{1}$ und $U.$ ⓘ

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot (-i{\sqrt {2}})^{p}U\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right),\\\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]&=\sigma ^{p}\cdot 2^{p/2}{\frac {\Gamma \left({\frac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right).\end{aligned}}$ ⓘ

Diese Ausdrücke bleiben auch dann gültig, wenn $p$ nicht eine ganze Zahl ist. Siehe auch verallgemeinerte Hermite-Polynome. ⓘ

Ordnung	Nicht-zentrales Moment	Zentrales Moment ⓘ
1	$\mu$	$0$
2	$\mu ^{2}+\sigma ^{2}$	$\sigma ^{2}$
3	$\mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}$	$0$
4	$\mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}$	$3\sigma ^{4}$
5	$\mu ^{5}+10\mu ^{3}\sigma ^{2}+15\mu \sigma ^{4}$	$0$
6	$\mu ^{6}+15\mu ^{4}\sigma ^{2}+45\mu ^{2}\sigma ^{4}+15\sigma ^{6}$	$15\sigma ^{6}$
7	$\mu ^{7}+21\mu ^{5}\sigma ^{2}+105\mu ^{3}\sigma ^{4}+105\mu \sigma ^{6}$	$0$
8	$\mu ^{8}+28\mu ^{6}\sigma ^{2}+210\mu ^{4}\sigma ^{4}+420\mu ^{2}\sigma ^{6}+105\sigma ^{8}$	$105\sigma ^{8}$

Der Erwartungswert von $X$ bedingt durch das Ereignis, dass $X$ in einem Intervall liegt $[a,b]$ ist gegeben durch

$\operatorname {E} \left[X\mid a<X<b\right]=\mu -\sigma ^{2}{\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}}$

wobei $f$ und $F$ sind die Dichte bzw. die kumulative Verteilungsfunktion von $X$. Für $b=\infty$ ist dies als das inverse Mills-Verhältnis bekannt. Beachten Sie, dass oben die Dichte $f$ von $X$ anstelle der Standardnormaldichte wie im inversen Mills-Verhältnis verwendet wird, so dass wir hier $\sigma ^{2}$ anstelle von $\sigma$. ⓘ

Fouriertransformation und charakteristische Funktion

Die Fourier-Transformierte einer Normaldichte $f$ mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ ist ⓘ

${\hat {f}}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx=e^{-i\mu t}e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma t)^{2}}$ ⓘ

wobei $i$ ist die imaginäre Einheit. Wenn der Mittelwert $\mu =0$ist der erste Faktor 1, und die Fourier-Transformierte ist, abgesehen von einem konstanten Faktor, eine Normaldichte im Frequenzbereich, mit Mittelwert 0 und Standardabweichung $1/\sigma$. Insbesondere ist die Standardnormalverteilung $\varphi$ ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation. ⓘ

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Fourier-Transformation der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellwertigen Zufallsvariablen $X$ eng verbunden mit der charakteristischen Funktion $\varphi _{X}(t)$ dieser Variablen, die definiert ist als der Erwartungswert von $e^{itX}$als eine Funktion der reellen Variablen $t$ (dem Frequenzparameter der Fourier-Transformation). Diese Definition kann analytisch auf eine komplexwertige Variable erweitert werden $t$. Die Beziehung zwischen beiden ist:

$\varphi _{X}(t)={\hat {f}}(-t)$ ⓘ

Moment- und Kumulanten-Erzeugungsfunktionen

Die momenterzeugende Funktion einer reellen Zufallsvariablen $X$ ist der Erwartungswert von $e^{tX}$in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $t$. Für eine Normalverteilung mit der Dichte $f$, Mittelwert $\mu$ und Abweichung $\sigma$existiert die momenterzeugende Funktion und ist gleich ⓘ

$M(t)=\operatorname {E} [e^{tX}]={\hat {f}}(it)=e^{\mu t}e^{{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$ ⓘ

Die kumulierende Erzeugungsfunktion ist der Logarithmus der momenterzeugenden Funktion, nämlich ⓘ

$g(t)=\ln M(t)=\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}$ ⓘ

Da es sich um ein quadratisches Polynom in $t$ist, sind nur die ersten beiden Kumulanten ungleich Null, nämlich der Mittelwert $\mu$ und die Varianz $\sigma ^{2}$. ⓘ

Stein-Operator und Klasse

Im Rahmen der Steinschen Methode sind der Stein-Operator und die Klasse einer Zufallsvariablen $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ sind ${\mathcal {A}}f(x)=\sigma ^{2}f'(x)-(x-\mu )f(x)$ und ${\mathcal {F}}$ die Klasse aller absolut stetigen Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\mathbb {E} [|f'(X)|]<\infty$. ⓘ

Null-Varianz-Grenze

Im Grenzwert, wenn $\sigma$ gegen Null tendiert, tendiert die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)$ schließlich gegen Null tendiert bei jedem $x\neq \mu$, wächst aber unbegrenzt, wenn $x=\mu$Daher kann die Normalverteilung nicht als gewöhnliche Funktion definiert werden, wenn $\sigma =0$. ⓘ

Man kann jedoch die Normalverteilung mit der Varianz Null als verallgemeinerte Funktion definieren, und zwar als Diracs "Deltafunktion" $\delta$ übersetzt durch den Mittelwert $\mu$, d.h. $f(x)=\delta (x-\mu ).$ Ihre CDF ist dann die mit dem Mittelwert übersetzte Heaviside-Stufenfunktion $\mu$nämlich

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<\mu \\1&{\text{if }}x\geq \mu \end{cases}}$ ⓘ

Maximale Entropie

Von allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den reellen Zahlen mit einem bestimmten Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ist die Normalverteilung $N(\mu ,\sigma ^{2})$ diejenige mit maximaler Entropie. Wenn $X$ eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)$ist, dann ist die Entropie von $X$ ist definiert als

$H(X)=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\log f(x)\,dx$ ⓘ

wobei $f(x)\log f(x)$ ist immer dann gleich Null, wenn $f(x)=0$. Dieses Funktional kann unter der Voraussetzung, dass die Verteilung ordnungsgemäß normalisiert ist und eine bestimmte Varianz aufweist, mit Hilfe der Variationsrechnung maximiert werden. Es wird eine Funktion mit zwei Lagrange-Multiplikatoren definiert:

$L=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))\,dx-\lambda _{0}\left(1-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\right)-\lambda \left(\sigma ^{2}-\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx\right)$ ⓘ

wobei $f(x)$ wird vorerst als eine Dichtefunktion mit Mittelwert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. ⓘ

Bei maximaler Entropie ist eine kleine Variation $\delta f(x)$ um $f(x)$ eine Abweichung $\delta L$ um $L$ die gleich 0 ist:

$0=\delta L=\int _{-\infty }^{\infty }\delta f(x)\left(\ln(f(x))+1+\lambda _{0}+\lambda (x-\mu )^{2}\right)\,dx$ ⓘ

Da dies für jede kleine $\delta f(x)$gelten muss, muss der Term in Klammern Null sein, und die Lösung für $f(x)$ ergibt:

$f(x)=e^{-\lambda _{0}-1-\lambda (x-\mu )^{2}}$ ⓘ

Die Anwendung der Zwangsgleichungen zur Lösung für $\lambda _{0}$ und $\lambda$ erhält man die Dichte der Normalverteilung:

$f(x,\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

Die Entropie einer Normalverteilung ist gleich

$H(X)={\tfrac {1}{2}}(1+\log(2\sigma ^{2}\pi ))$ ⓘ

Andere Eigenschaften

1. Wenn die charakteristische Funktion $\phi _{X}$ einer Zufallsvariablen $X$ von der Form $\phi _{X}(t)=\exp ^{Q(t)}$, wobei $Q(t)$ ein Polynom ist, dann besagt das Marcinkiewicz-Theorem (benannt nach Józef Marcinkiewicz), dass $Q$ höchstens ein quadratisches Polynom sein kann, und daher $X$ eine normale Zufallsvariable ist. Die Folge dieses Ergebnisses ist, dass die Normalverteilung die einzige Verteilung mit einer endlichen Anzahl (zwei) von Kumulanten ungleich Null ist.
2. Wenn $X$ und $Y$ sind gemeinsam normal und unkorreliert, dann sind sie unabhängig. Die Bedingung, dass $X$ und $Y$ gemeinsam normal sind, ist wesentlich; ohne sie gilt die Eigenschaft nicht.[Beweis] Für nicht-normale Zufallsvariablen impliziert Unkorreliertheit nicht Unabhängigkeit.
3. Die Kullback-Leibler-Divergenz einer Normalverteilung $X_{1}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ von einer anderen $X_{2}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ ist gegeben durch:
   $$D_{\mathrm {KL} }(X_{1}\,\|\,X_{2})={\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}-1-\ln {\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right)$$
   Der Hellinger-Abstand zwischen gleichen Verteilungen ist gleich
   $$H^{2}(X_{1},X_{2})=1-{\sqrt {\frac {2\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}e^{-{\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}$$
4. Die Fisher-Informationsmatrix für eine Normalverteilung ist diagonal und hat die Form
   $${\mathcal {I}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sigma ^{2}}}&0\\0&{\frac {1}{2\sigma ^{4}}}\end{pmatrix}}$$
5. Die konjugierte Priorität des Mittelwerts einer Normalverteilung ist eine andere Normalverteilung. Genauer gesagt, wenn $x_{1},\ldots ,x_{n}$ iid sind $\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ und der Prior ist $\mu \sim N(\mu _{0},\sigma _{0}^{2})$ist, dann ist die Posteriorverteilung für den Schätzer von $\mu$ sein
   $$\mu \mid x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\mu _{0}+\sigma _{0}^{2}{\bar {x}}}{{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\sigma _{0}^{2}}},\left({\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}\right)^{-1}\right)$$
6. Die Familie der Normalverteilungen bildet nicht nur eine Exponentialfamilie (EF), sondern sogar eine natürliche Exponentialfamilie (NEF) mit quadratischer Varianzfunktion (NEF-QVF). Viele Eigenschaften von Normalverteilungen lassen sich auf Eigenschaften von NEF-QVF-Verteilungen, NEF-Verteilungen oder EF-Verteilungen im Allgemeinen verallgemeinern. NEF-QVF-Verteilungen umfassen 6 Familien, darunter Poisson-, Gamma-, Binomial- und negative Binomialverteilungen, während viele der in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik untersuchten Familien NEF- oder EF-Verteilungen sind.
7. In der Informationsgeometrie bildet die Familie der Normalverteilungen eine statistische Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung $-1$. Die gleiche Familie ist flach in Bezug auf die (±1)-Verbindungen $\nabla ^{(e)}$ und $\nabla ^{(m)}$. ⓘ

Symmetrie

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte $f\colon \ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist eine Gaußsche Glockenkurve, deren Höhe und Breite von $\sigma$ abhängt. Sie ist achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=\mu$ und somit eine symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Erwartungswert. Der Graph der Verteilungsfunktion $F$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $(\mu ;0{,}5).$ Für $\mu =0$ gilt insbesondere $\varphi (-x)=\varphi (x)$ und $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$. ⓘ

Normierung

Dichte einer zentrierten Normalverteilung $\delta _{a}(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {\pi }}a}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}$.
Für $a\to 0$ wird die Funktion immer höher und schmaler, der Flächeninhalt bleibt jedoch unverändert 1. ⓘ

Wichtig ist, dass die gesamte Fläche unter der Kurve gleich $1$, also gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, ist. Somit folgt, dass, wenn zwei Gaußsche Glockenkurven dasselbe $\mu$, aber unterschiedliches $\sigma$ haben, die Kurve mit dem größeren $\sigma$ breiter und niedriger ist (da ja beide zugehörigen Flächen jeweils den Wert $1$ haben und nur die Standardabweichung größer ist). Zwei Glockenkurven mit gleichem $\sigma ,$ aber unterschiedlichem $\mu$ haben kongruente Graphen, die um die Differenz der $\mu$-Werte parallel zur $x$-Achse gegeneinander verschoben sind. ⓘ

Jede Normalverteilung ist tatsächlich normiert, denn mit Hilfe der linearen Substitution $z={\tfrac {x-\mu }{\sigma }}$ erhalten wir

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\mathrm {d} z=1$. ⓘ

Für die Normiertheit des letzteren Integrals siehe Fehlerintegral. ⓘ

Berechnung

Da sich $\Phi (z)$ nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt, wurde für die Berechnung früher meist auf Tabellen zurückgegriffen (siehe Standardnormalverteilungstabelle). Heutzutage sind in statistischen Programmiersprachen wie zum Beispiel R Funktionen verfügbar, die auch die Transformation auf beliebige $\mu$ und $\sigma$ beherrschen. ⓘ

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Standardnormalverteilung ist $0$. Es sei $X\sim {\mathcal {N}}\left(0,1\right)$, so gilt ⓘ

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\ e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\mathrm {d} x=0,$ ⓘ

da der Integrand integrierbar und punktsymmetrisch ist. ⓘ

Ist nun $Y\sim {\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$, so gilt $X=(Y-\mu )/\sigma$ ist standardnormalverteilt, und somit ⓘ

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (\sigma X+\mu )=\sigma \underbrace {\operatorname {E} (X)} _{=0}+\mu =\mu .$ ⓘ

Standardabweichung der Normalverteilung

Eindimensionale Normalverteilungen werden durch Angabe von Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ vollständig beschrieben. Ist also $X$ eine $\mu$-$\sigma ^{2}$-verteilte Zufallsvariable – in Symbolen $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ –, so ist ihre Standardabweichung einfach $\sigma _{X}={\sqrt {\sigma ^{2}}}=\sigma$. ⓘ

Ein Beispiel (mit Schwankungsbreite)

Die Körpergröße des Menschen ist näherungsweise normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 1.284 Mädchen und 1.063 Jungen zwischen 14 und 18 Jahren wurde bei den Mädchen eine durchschnittliche Körpergröße von 166,3 cm (Standardabweichung 6,39 cm) und bei den Jungen eine durchschnittliche Körpergröße von 176,8 cm (Standardabweichung 7,46 cm) gemessen. ⓘ

Demnach lässt obige Schwankungsbreite erwarten, dass 68,3 % der Mädchen eine Körpergröße im Bereich 166,3 cm ± 6,39 cm und 95,4 % im Bereich 166,3 cm ± 12,8 cm haben,

• 16 % [≈ (100 % − 68,3 %)/2] der Mädchen kleiner als 160 cm (und 16 % entsprechend größer als 173 cm) sind und
• 2,5 % [≈ (100 % − 95,4 %)/2] der Mädchen kleiner als 154 cm (und 2,5 % entsprechend größer als 179 cm) sind. ⓘ

Für die Jungen lässt sich erwarten, dass 68 % eine Körpergröße im Bereich 176,8 cm ± 7,46 cm und 95 % im Bereich 176,8 cm ± 14,92 cm haben,

• 16 % der Jungen kleiner als 169 cm (und 16 % größer als 184 cm) und
• 2,5 % der Jungen kleiner als 162 cm (und 2,5 % größer als 192 cm) sind. ⓘ

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ der ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$-Verteilung erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} ={\frac {\sigma }{\mu }}.$ ⓘ

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig von den Parametern $\mu$ und $\sigma$ immer den Wert $0$. ⓘ

Wölbung

Die Wölbung ist ebenfalls von $\mu$ und $\sigma$ unabhängig und ist gleich $3$. Um die Wölbungen anderer Verteilungen besser einschätzen zu können, werden sie oft mit der Wölbung der Normalverteilung verglichen. Dabei wird die Wölbung der Normalverteilung auf $0$ normiert (Subtraktion von 3); diese Größe wird als Exzess bezeichnet. ⓘ

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable $Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ ist

$\varphi _{Z}(t)=e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$. ⓘ

Für eine Zufallsvariable $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ erhält man daraus mit $X=\sigma Z+\mu$:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} (e^{it(\sigma Z+\mu )})=\operatorname {E} (e^{it\sigma Z}e^{it\mu })=e^{it\mu }\operatorname {E} (e^{it\sigma Z})=e^{it\mu }\varphi _{Z}(\sigma t)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)$. ⓘ

Verwandte Verteilungen

Zentraler Grenzwertsatz

Mit zunehmender Anzahl der diskreten Ereignisse beginnt die Funktion einer Normalverteilung zu ähneln ⓘ

Vergleich von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, $p(k)$ für die Summe von $n$ fairer 6-seitiger Würfel, um ihre Konvergenz zu einer Normalverteilung mit zunehmender $na$in Übereinstimmung mit dem zentralen Grenzwertsatz. Im Diagramm unten rechts werden die geglätteten Profile der vorherigen Diagramme neu skaliert, überlagert und mit einer Normalverteilung (schwarze Kurve) verglichen. ⓘ

Das zentrale Grenzwertsyndrom besagt, dass die Summe vieler Zufallsvariablen unter bestimmten (recht häufigen) Bedingungen eine annähernde Normalverteilung aufweist. Genauer gesagt, wenn $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit der gleichen willkürlichen Verteilung, Mittelwert Null und Varianz sind $\sigma ^{2}$ und $Z$ ist ihr Mittelwert skaliert mit ${\sqrt {n}}$

$Z={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)$

Wenn dann $n$ zunimmt, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ zur Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz Null tendieren $\sigma ^{2}$. ⓘ

Das Theorem kann auf Variablen erweitert werden $(X_{i})$ die nicht unabhängig und/oder nicht identisch verteilt sind, erweitert werden, wenn bestimmte Einschränkungen hinsichtlich des Grades der Abhängigkeit und der Momente der Verteilungen gemacht werden. ⓘ

Viele Teststatistiken, Ergebnisse und Schätzer, die man in der Praxis antrifft, enthalten Summen bestimmter Zufallsvariablen, und noch mehr Schätzer können durch die Verwendung von Einflussfunktionen als Summen von Zufallsvariablen dargestellt werden. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass diese statistischen Parameter asymptotisch normalverteilt sind. ⓘ

Der zentrale Grenzwertsatz besagt auch, dass bestimmte Verteilungen beispielsweise durch die Normalverteilung angenähert werden können:

• Die Binomialverteilung $B(n,p)$ ist annähernd normal mit Mittelwert $np$ und Varianz $np(1-p)$ für große $n$ und für $p$ nicht zu nahe an 0 oder 1 liegt.
• Die Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\lambda$ ist annähernd normal mit Mittelwert $\lambda$ und Varianz $\lambda$für große Werte von $\lambda$.
• Die Chi-Quadrat-Verteilung $\chi ^{2}(k)$ ist annähernd normal mit Mittelwert $k$ und Varianz $2k$für große Werte $k$.
• Die Student's t-Verteilung $t(\nu )$ ist annähernd normal mit Mittelwert 0 und Varianz 1, wenn $\nu$ groß ist. ⓘ

Ob diese Näherungen ausreichend genau sind, hängt von dem Zweck ab, für den sie benötigt werden, sowie von der Konvergenzrate zur Normalverteilung. In der Regel sind solche Näherungen in den Schwänzen der Verteilung weniger genau. ⓘ

Eine allgemeine obere Schranke für den Approximationsfehler im zentralen Grenzwertsatz ist durch das Berry-Esseen-Theorem gegeben, Verbesserungen der Approximation sind durch die Edgeworth-Erweiterungen gegeben. ⓘ

Dieses Theorem kann auch verwendet werden, um die Modellierung der Summe vieler gleichförmiger Rauschquellen als Gaußsches Rauschen zu rechtfertigen. Siehe AWGN. ⓘ

Operationen und Funktionen von Normalvariablen

a: Wahrscheinlichkeitsdichte einer Funktion $\cos x^{2}$ einer Normalvariablen $x$ mit $\mu =-2$ und $\sigma =3$. b: Wahrscheinlichkeitsdichte einer Funktion $x^{y}$ von zwei Normalvariablen $x$ und $y$, wobei $\mu _{x}=1$, $\mu _{y}=2$, $\sigma _{x}=0.1$, $\sigma _{y}=0.2$und $\rho _{xy}=0.8$. c: Heatmap der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichte von zwei Funktionen zweier korrelierter Normalvariablen $x$ und $y$, wobei $\mu _{x}=-2$, $\mu _{y}=5$, $\sigma _{x}^{2}=10$, $\sigma _{y}^{2}=20$und $\rho _{xy}=0.495$. d: Wahrscheinlichkeitsdichte einer Funktion ${\textstyle \sum _{i=1}^{4}\vert x_{i}\vert }$ von 4 iiden Standard-Normalvariablen. Diese werden mit der numerischen Methode des Raytracing berechnet. ⓘ

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die kumulative Verteilung und die inverse kumulative Verteilung einer beliebigen Funktion einer oder mehrerer unabhängiger oder korrelierter Normalvariablen können mit der numerischen Methode des Raytracing (Matlab-Code) berechnet werden. In den folgenden Abschnitten werden einige Spezialfälle betrachtet. ⓘ

Operationen mit einer einzelnen Normalvariablen

Wenn $X$ ist normalverteilt mit Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$, dann

• $aX+b$für beliebige reelle Zahlen $a$ und $b$ebenfalls normalverteilt, mit dem Mittelwert $a\mu +b$ und Standardabweichung $|a|\sigma$. Das heißt, die Familie der Normalverteilungen ist bei linearen Transformationen geschlossen.
• Das Exponential von $X$ ist lognormal verteilt: e^X ~ ln(N (μ, σ²)).
• Der Absolutwert von $X$ hat eine gefaltete Normalverteilung: |X| ~ Nf (μ, σ²). Wenn $\mu =0$ wird dies als Halbnormalverteilung bezeichnet.
• Der Absolutwert der normalisierten Residuen, |X - μ|/σ, hat eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad: $|X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}$.
• Das Quadrat von X/σ hat die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad: ${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$. Wenn $\mu =0$wird die Verteilung einfach chi-Quadratisch genannt.
• Die logarithmische Wahrscheinlichkeit einer normalen Variablen $x$ ist einfach der Logarithmus ihrer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
  $$\ln p(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)=-{\frac {1}{2}}z^{2}-\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right).$$
  Da es sich um ein skaliertes und verschobenes Quadrat einer Standardnormalvariablen handelt, wird sie als skalierte und verschobene chi-Quadrat-Variable verteilt.
• Die Verteilung der Variablen X, die auf ein Intervall [a, b] beschränkt ist, wird als verkürzte Normalverteilung bezeichnet.
• (X - μ)-2 hat eine Lévy-Verteilung mit Ort 0 und Skala σ-2. ⓘ

Operationen auf zwei unabhängigen Normalvariablen

• Wenn $X_{1}$ und $X_{2}$ sind zwei unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwerten $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ und Standardabweichungen $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$, dann ist ihre Summe $X_{1}+X_{2}$ ebenfalls normalverteilt sein,[Beweis] mit Mittelwert $\mu _{1}+\mu _{2}$ und Varianz $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$.
• Insbesondere, wenn $X$ und $Y$ unabhängige Normalabweichungen mit Mittelwert und Varianz Null sind $\sigma ^{2}$, dann $X+Y$ und $X-Y$ ebenfalls unabhängig und normalverteilt, mit Mittelwert und Varianz Null $2\sigma ^{2}$. Dies ist ein Spezialfall der Polarisationsidentität.
• Wenn $X_{1}$, $X_{2}$ sind zwei unabhängige Normalabweichungen mit Mittelwert $\mu$ und Abweichung $\sigma$und $a$, $b$ beliebige reelle Zahlen sind, dann ist die Variable
  $$X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$$
  ebenfalls normalverteilt mit dem Mittelwert $\mu$ und Abweichung $\sigma$. Daraus folgt, dass die Normalverteilung stabil ist (mit Exponent $\alpha =2$). ⓘ

$\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sigma ^{2}$. ⓘ

Ein elementarer Beweis wird Poisson zugeschrieben. ⓘ

Die mittlere absolute Abweichung ist ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\sigma \approx 0{,}80\sigma$ und der Interquartilsabstand $\approx 1{,}349\sigma$. ⓘ

Operationen auf zwei unabhängigen Standardnormalvariablen

Wenn $X_{1}$ und $X_{2}$ sind zwei unabhängige Standardnormalzufallsvariablen mit Mittelwert 0 und Varianz 1, dann

• Ihre Summe und Differenz sind normalverteilt mit dem Mittelwert Null und der Varianz Zwei: $X_{1}\pm X_{2}\sim N(0,2)$.
• Ihr Produkt $Z=X_{1}X_{2}$ folgt der Produktverteilung mit der Dichtefunktion $f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)$ wobei $K_{0}$ ist die modifizierte Besselfunktion der zweiten Art. Diese Verteilung ist symmetrisch um Null, unbeschränkt bei $z=0$und hat die charakteristische Funktion $\phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}$.
• Ihr Verhältnis folgt der Standard-Cauchy-Verteilung: $X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)$.
• Ihre euklidische Norm ${\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}$ hat die Rayleigh-Verteilung. ⓘ

Operationen mit mehreren unabhängigen Normalvariablen

• Jede Linearkombination von unabhängigen Normalabweichungen ist eine Normalabweichung.
• Wenn $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ Sind mehrere unabhängige Standardnormalzufallsvariablen vorhanden, so hat die Summe ihrer Quadrate die Chi-Quadrat-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden
  $$X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.$$
• Wenn $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sind unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Mittelwerten $\mu$ und Varianzen $\sigma ^{2}$sind, dann ist ihr Stichprobenmittelwert unabhängig von der Stichprobenstandardabweichung, was mit Hilfe des Satzes von Basu oder des Satzes von Cochran nachgewiesen werden kann. Das Verhältnis dieser beiden Größen hat die Student's t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden:
  $$t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.$$
• Wenn $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$, $Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}$ Wenn es sich um unabhängige Standardnormalzufallsvariablen handelt, dann hat das Verhältnis ihrer normalisierten Quadratsummen die F-Verteilung mit (n, m) Freiheitsgraden:
  $$F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.$$
  ⓘ

Operationen an mehrfach korrelierten Normalvariablen

• Eine quadratische Form eines Normalvektors, d. h. eine quadratische Funktion ${\textstyle q=\sum x_{i}^{2}+\sum x_{j}+c}$ mehrerer unabhängiger oder korrelierter normaler Variablen, ist eine verallgemeinerte Chi-Quadrat-Variable. ⓘ

Operationen mit der Dichtefunktion

Die geteilte Normalverteilung lässt sich am direktesten definieren, indem man die skalierten Abschnitte der Dichtefunktionen verschiedener Normalverteilungen zusammenfügt und die Dichte so umskaliert, dass sie zu 1 integriert wird. Die abgeschnittene Normalverteilung ergibt sich aus der Neuskalierung eines Abschnitts einer einzelnen Dichtefunktion. ⓘ

Unendliche Teilbarkeit und der Satz von Cramér

Für jede positive ganze Zahl ${\text{n}}$ist jede Normalverteilung mit Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ ist die Verteilung der Summe von ${\text{n}}$ unabhängigen Normalabweichungen, jeweils mit Mittelwert ${\frac {\mu }{n}}$ und Varianz ${\frac {\sigma ^{2}}{n}}$. Diese Eigenschaft wird als unendliche Teilbarkeit bezeichnet. ⓘ

Umgekehrt, wenn $X_{1}$ und $X_{2}$ unabhängige Zufallsvariablen sind und ihre Summe $X_{1}+X_{2}$ eine Normalverteilung hat, dann sind beide $X_{1}$ und $X_{2}$ Normalabweichungen sein. ⓘ

Dieses Ergebnis ist als Cramér-Zerlegungstheorem bekannt und entspricht der Aussage, dass die Faltung zweier Verteilungen nur dann normal ist, wenn beide normal sind. Das Cramér-Theorem besagt, dass eine Linearkombination unabhängiger nicht-gaußscher Variablen niemals eine exakte Normalverteilung hat, auch wenn sie sich ihr beliebig stark annähern kann. ⓘ

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Die Normalverteilung kann zur Approximation der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und in der Grundgesamtheit der Anteil der gesuchten Eigenschaft weder zu groß noch zu klein ist (Satz von Moivre-Laplace, zentraler Grenzwertsatz, zur experimentellen Bestätigung siehe auch unter Galtonbrett). ⓘ

Ist ein Bernoulli-Versuch mit $n$ voneinander unabhängigen Stufen (bzw. Zufallsexperimenten) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit für $k$ Erfolge allgemein durch $P(X=k)={\tbinom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\dotsc ,n$ berechnen (Binomialverteilung). ⓘ

Diese Binomialverteilung kann durch eine Normalverteilung approximiert werden, wenn $n$ hinreichend groß und $p$ weder zu groß noch zu klein ist. Als Faustregel dafür gilt $np(1-p)\geq 9$. Für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ gilt dann:

$\mu =n\cdot p$ und $\sigma ={\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}$.

Damit gilt für die Standardabweichung $\sigma \geq 3$. ⓘ

Falls diese Bedingung nicht erfüllt sein sollte, ist die Ungenauigkeit der Näherung immer noch vertretbar, wenn gilt: $np\geq 4$ und zugleich $n(1-p)\geq 4$. ⓘ

Folgende Näherung ist dann brauchbar:

${\begin{aligned}P(x_{1}\leq X\leq x_{2})&=\underbrace {\sum _{k=x_{1}}^{x_{2}}{n \choose k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}} _{\mathrm {BV} }\\&\approx \underbrace {\Phi \left({\frac {x_{2}+0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {x_{1}-0{,}5-\mu }{\sigma }}\right)} _{\mathrm {NV} }.\end{aligned}}$ ⓘ

Bei der Normalverteilung wird die untere Grenze um 0,5 verkleinert und die obere Grenze um 0,5 vergrößert, um eine bessere Approximation gewährleisten zu können. Dies nennt man auch „Stetigkeitskorrektur“. Nur wenn $\sigma$ einen sehr hohen Wert besitzt, kann auf sie verzichtet werden. ⓘ

Da die Binomialverteilung diskret ist, muss auf einige Punkte geachtet werden:

• Der Unterschied zwischen $<$ oder $\leq$ (sowie zwischen größer und größer gleich) muss beachtet werden (was ja bei der Normalverteilung nicht der Fall ist). Deshalb muss bei $P(X_{\text{BV}}<x)$ die nächstkleinere natürliche Zahl gewählt werden, d. h.

$P(X_{\text{BV}}<x)=P(X_{\text{BV}}\leq x-1)$ bzw. $P(X_{\text{BV}}>x)=P(X_{\text{BV}}\geq x+1)$,

damit mit der Normalverteilung weitergerechnet werden kann.

Zum Beispiel: $P(X_{\text{BV}}<70)=P(X_{\text{BV}}\leq 69)$ ⓘ

• Außerdem ist

$P(X_{\text{BV}}\leq x)=P(0\leq X_{\text{BV}}\leq x)$

$P(X_{\text{BV}}\geq x)=P(x\leq X_{\text{BV}}\leq n)$

$P(X_{\text{BV}}=x)=P(x\leq X_{\text{BV}}\leq x)$ (unbedingt mit Stetigkeitskorrektur)

und lässt sich somit durch die oben angegebene Formel berechnen. ⓘ

Der große Vorteil der Approximation liegt darin, dass sehr viele Stufen einer Binomialverteilung sehr schnell und einfach bestimmt werden können. ⓘ

Das Bernsteinsche Theorem besagt, dass, wenn $X$ und $Y$ unabhängig sind und $X+Y$ und $X-Y$ ebenfalls unabhängig sind, dann müssen sowohl X als auch Y notwendigerweise normalverteilt sein. ⓘ

Erweiterungen

Der Begriff der Normalverteilung, eine der wichtigsten Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist weit über den Standardrahmen des univariaten (d. h. eindimensionalen) Falles (Fall 1) hinaus erweitert worden. Alle diese Erweiterungen werden auch als Normal- oder Gaußsche Gesetze bezeichnet, so dass eine gewisse Zweideutigkeit der Bezeichnungen besteht.

• Die multivariate Normalverteilung beschreibt das Gaußsche Gesetz im k-dimensionalen euklidischen Raum. Ein Vektor X ∈ Rk ist multivariat-normalverteilt, wenn jede Linearkombination seiner Komponenten Σk
  _j=1a_j X_j eine (univariate) Normalverteilung hat. Die Varianz von X ist eine k×k symmetrische positiv-definite Matrix V. Die multivariate Normalverteilung ist ein Spezialfall der elliptischen Verteilungen. Als solche sind ihre Isodichteorte im Fall von k = 2 Ellipsen und im Fall von beliebigem k Ellipsoide.
• Gleichgerichtete Gaußverteilung eine gleichgerichtete Version der Normalverteilung, bei der alle negativen Elemente auf 0 zurückgesetzt werden
• Die komplexe Normalverteilung befasst sich mit den komplexen Normalvektoren. Ein komplexer Vektor X ∈ Ck wird als normal bezeichnet, wenn sowohl seine realen als auch seine imaginären Komponenten gemeinsam eine 2k-dimensionale multivariate Normalverteilung besitzen. Die Varianz-Kovarianz-Struktur von X wird durch zwei Matrizen beschrieben: die Varianzmatrix Γ und die Relationsmatrix C.
• Die Matrixnormalverteilung beschreibt den Fall der normalverteilten Matrizen.
• Gaußsche Prozesse sind die normalverteilten stochastischen Prozesse. Sie können als Elemente eines unendlich-dimensionalen Hilbert-Raums H betrachtet werden und sind somit die Analoga der multivariaten Normalvektoren für den Fall k = ∞. Ein Zufallselement h ∈ H wird als normal bezeichnet, wenn für eine beliebige Konstante a ∈ H das Skalarprodukt (a, h) eine (univariate) Normalverteilung aufweist. Die Varianzstruktur eines solchen Gaußschen Zufallselements kann durch den linearen Kovarianzoperator K: H → H beschrieben werden. Mehrere Gaußsche Prozesse wurden so populär, dass sie eigene Namen erhielten:
  • Brownsche Bewegung,
  • Brownsche Brücke,
  • Ornstein-Uhlenbeck-Prozess.
• Die q-Gauß-Verteilung ist eine abstrakte mathematische Konstruktion, die ein "q-Analogon" der Normalverteilung darstellt.
• Die q-Gauß-Verteilung ist ein Analogon der Gauß-Verteilung in dem Sinne, dass sie die Tsallis-Entropie maximiert und einen Typ der Tsallis-Verteilung darstellt. Es ist zu beachten, dass sich diese Verteilung von der obigen q-Gauß-Verteilung unterscheidet. ⓘ

Eine Zufallsvariable X hat eine zweiteilige Normalverteilung, wenn sie eine Verteilung hat ⓘ

$f_{X}(x)=N(\mu ,\sigma _{1}^{2}){\text{ if }}x\leq \mu$

$f_{X}(x)=N(\mu ,\sigma _{2}^{2}){\text{ if }}x\geq \mu$ ⓘ

wobei μ der Mittelwert ist und σ₁ und σ₂ die Standardabweichungen der Verteilung links bzw. rechts vom Mittelwert sind. ⓘ

Der Mittelwert, die Varianz und das dritte zentrale Moment dieser Verteilung sind bestimmt worden ⓘ

$\operatorname {E} (X)=\mu +{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})$

$\operatorname {V} (X)=\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}$

$\operatorname {T} (X)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(\sigma _{2}-\sigma _{1})\left[\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)(\sigma _{2}-\sigma _{1})^{2}+\sigma _{1}\sigma _{2}\right]$ ⓘ

wobei E(X), V(X) und T(X) jeweils der Mittelwert, die Varianz und das dritte zentrale Moment sind. ⓘ

Eine der wichtigsten praktischen Anwendungen des Gaußschen Gesetzes ist die Modellierung der empirischen Verteilungen vieler verschiedener Zufallsvariablen, die in der Praxis vorkommen. In einem solchen Fall wäre eine mögliche Erweiterung eine reichhaltigere Familie von Verteilungen, die mehr als zwei Parameter haben und daher in der Lage sind, die empirische Verteilung genauer zu beschreiben. Beispiele für solche Erweiterungen sind:

• Pearson-Verteilung - eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit vier Parametern, die das Normalgesetz um verschiedene Schrägheits- und Wölbungswerte erweitern.
• Die verallgemeinerte Normalverteilung, auch bekannt als Exponentialverteilung, ermöglicht Verteilungsschwänze mit dickerem oder dünnerem asymptotischen Verhalten. ⓘ

Statistische Inferenz

Schätzung von Parametern

Häufig sind die Parameter der Normalverteilung nicht bekannt, so dass man sie schätzen muss. Das heißt, wenn man eine Stichprobe $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ aus einer Normal $N(\mu ,\sigma ^{2})$ Grundgesamtheit möchte man die Näherungswerte der Parameter erfahren $\mu$ und $\sigma ^{2}$. Der Standardansatz für dieses Problem ist die Maximum-Likelihood-Methode, die eine Maximierung der Log-Likelihood-Funktion erfordert:

$\ln {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma ^{2})=\sum _{i=1}^{n}\ln f(x_{i}\mid \mu ,\sigma ^{2})=-{\frac {n}{2}}\ln(2\pi )-{\frac {n}{2}}\ln \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$

Man nimmt die Ableitungen nach $\mu$ und $\sigma ^{2}$ und das Lösen des sich daraus ergebenden Systems von Bedingungen erster Ordnung ergibt die Maximum-Likelihood-Schätzungen:

${\hat {\mu }}={\overline {x}}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$ ⓘ

Stichprobenmittelwert

Schätzer $\textstyle {\hat {\mu }}$ wird als Stichprobenmittelwert bezeichnet, da er das arithmetische Mittel aller Beobachtungen ist. Die Statistik $\textstyle {\overline {x}}$ ist vollständig und ausreichend für $\mu$und daher nach dem Lehmann-Scheffé-Theorem, $\textstyle {\hat {\mu }}$ der einheitlich minimale unvoreingenommene Varianzschätzer (UMVU) ist. In endlichen Stichproben ist sie normalverteilt:

${\hat {\mu }}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n).$

Die Varianz dieses Schätzers ist gleich dem μμ-Element der inversen Fisher-Informationsmatrix $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$. Dies impliziert, dass der Schätzer für endliche Stichproben effizient ist. Von praktischer Bedeutung ist die Tatsache, dass der Standardfehler von $\textstyle {\hat {\mu }}$ proportional ist zu $\textstyle 1/{\sqrt {n}}$ist, d. h. wenn man den Standardfehler um den Faktor 10 verringern will, muss man die Anzahl der Punkte in der Stichprobe um den Faktor 100 erhöhen. Diese Tatsache wird häufig bei der Bestimmung des Stichprobenumfangs für Meinungsumfragen und der Anzahl der Versuche bei Monte-Carlo-Simulationen verwendet. ⓘ

Vom Standpunkt der asymptotischen Theorie aus gesehen, $\textstyle {\hat {\mu }}$ konsistent, d. h. es konvergiert mit der Wahrscheinlichkeit zu $\mu$ als $n\rightarrow \infty$. Der Schätzer ist auch asymptotisch normal, was eine einfache Folge der Tatsache ist, dass er bei endlichen Stichproben normal ist:

${\sqrt {n}}({\hat {\mu }}-\mu )\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}).$ ⓘ

Varianz der Stichprobe

Der Schätzer $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ wird als Stichprobenvarianz bezeichnet, da er die Varianz der Stichprobe ist ($(x_{1},\ldots ,x_{n})$). In der Praxis wird häufig ein anderer Schätzer anstelle des $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$. Dieser andere Schätzer hat die Bezeichnung $s^{2}$bezeichnet und wird auch als Stichprobenvarianz bezeichnet, was eine gewisse terminologische Zweideutigkeit darstellt; seine Quadratwurzel $s$ wird als Stichprobenstandardabweichung bezeichnet. Der Schätzer $s^{2}$ unterscheidet sich von $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ dadurch, dass (n - 1) anstelle von n im Nenner steht (die so genannte Bessel-Korrektur):

$s^{2}={\frac {n}{n-1}}{\hat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.$

Der Unterschied zwischen $s^{2}$ und $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ wird für große n vernachlässigbar klein. Bei endlichen Stichproben ist die Motivation für die Verwendung von $s^{2}$ ist, dass es sich um einen unverzerrten Schätzer des zugrunde liegenden Parameters $\sigma ^{2}$ist, während $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ verzerrt ist. Außerdem ist der Schätzer nach dem Lehmann-Scheffé-Theorem $s^{2}$ einheitlich minimal variance unbiased (UMVU), was ihn zum "besten" Schätzer unter allen unbiased Schätzern macht. Es kann jedoch gezeigt werden, dass der verzerrte Schätzer $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ "besser" ist als der $s^{2}$ im Hinblick auf das Kriterium des mittleren quadratischen Fehlers (MSE). Bei endlichen Stichproben haben beide $s^{2}$ und $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ eine skalierte Chi-Quadrat-Verteilung mit (n - 1) Freiheitsgraden:

$s^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}\cdot \chi _{n-1}^{2},\qquad {\hat {\sigma }}^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot \chi _{n-1}^{2}.$

Der erste dieser Ausdrücke zeigt, dass die Varianz von $s^{2}$ gleich ist zu $2\sigma ^{4}/(n-1)$was etwas größer ist als das σσ-Element der inversen Fisher-Informationsmatrix $\textstyle {\mathcal {I}}^{-1}$. Daher $s^{2}$ kein effizienter Schätzer für $\sigma ^{2}$, und da darüber hinaus $s^{2}$ UMVU ist, können wir schlussfolgern, dass der effiziente Finite-Stichproben-Schätzer für $\sigma ^{2}$ nicht existiert. ⓘ

Unter Anwendung der asymptotischen Theorie sind beide Schätzer $s^{2}$ und $\textstyle {\hat {\sigma }}^{2}$ konsistent, d. h. sie konvergieren mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu $\sigma ^{2}$ wenn der Stichprobenumfang $n\rightarrow \infty$. Die beiden Schätzer sind auch beide asymptotisch normal:

${\sqrt {n}}({\hat {\sigma }}^{2}-\sigma ^{2})\simeq {\sqrt {n}}(s^{2}-\sigma ^{2})\,{\xrightarrow {d}}\,{\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{4}).$

Insbesondere sind beide Schätzer asymptotisch effizient für $\sigma ^{2}$. ⓘ

Konfidenzintervalle

Nach dem Theorem von Cochran sind bei Normalverteilungen der Stichprobenmittelwert $\textstyle {\hat {\mu }}$ und die Stichprobenvarianz s² unabhängig, was bedeutet, dass es keinen Gewinn bringt, ihre gemeinsame Verteilung zu betrachten. Es gibt auch ein umgekehrtes Theorem: Wenn in einer Stichprobe der Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz unabhängig sind, dann muss die Stichprobe aus der Normalverteilung stammen. Die Unabhängigkeit zwischen $\textstyle {\hat {\mu }}$ und s kann verwendet werden, um die sogenannte t-Statistik zu konstruieren:

$t={\frac {{\hat {\mu }}-\mu }{s/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {x}}-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}\sim t_{n-1}$

Diese Größe t hat die Student's t-Verteilung mit (n - 1) Freiheitsgraden und ist eine Hilfsstatistik (unabhängig vom Wert der Parameter). Die Umkehrung der Verteilung dieser t-Statistik ermöglicht es, das Konfidenzintervall für μ zu konstruieren; in ähnlicher Weise erhält man durch die Umkehrung der χ²-Verteilung der Statistik s² das Konfidenzintervall für σ²:

$\mu \in \left[{\hat {\mu }}-t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {1}{\sqrt {n}}}s,{\hat {\mu }}+t_{n-1,1-\alpha /2}{\frac {1}{\sqrt {n}}}s\right],$

$\sigma ^{2}\in \left[{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,1-\alpha /2}^{2}}},{\frac {(n-1)s^{2}}{\chi _{n-1,\alpha /2}^{2}}}\right],$

wobei t_k,p und χ 2
k,p die p-ten Quantile der t- bzw. χ²-Verteilung sind. Diese Konfidenzintervalle haben das Konfidenzniveau 1 - α, was bedeutet, dass die wahren Werte μ und σ² mit der Wahrscheinlichkeit (oder dem Signifikanzniveau) α außerhalb dieser Intervalle liegen. In der Praxis nimmt man gewöhnlich α = 5 % an, was zu Konfidenzintervallen von 95 % führt. ⓘ

Näherungsformeln lassen sich aus den asymptotischen Verteilungen von $\textstyle {\hat {\mu }}$ und s² ableiten:

$\mu \in \left[{\hat {\mu }}-|z_{\alpha /2}|{\frac {1}{\sqrt {n}}}s,{\hat {\mu }}+|z_{\alpha /2}|{\frac {1}{\sqrt {n}}}s\right],$

$\sigma ^{2}\in \left[s^{2}-|z_{\alpha /2}|{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n}}}s^{2},s^{2}+|z_{\alpha /2}|{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {n}}}s^{2}\right],$

Die Näherungsformeln werden für große Werte von n gültig und sind für die manuelle Berechnung bequemer, da die Standard-Normalquantile z_α/2 nicht von n abhängen. Insbesondere der am häufigsten verwendete Wert von α = 5 % führt zu |z0,025| = 1,96. ⓘ

Normalitätstests

Normalitätstests bewerten die Wahrscheinlichkeit, dass der gegebene Datensatz {x₁, ..., xn} aus einer Normalverteilung stammt. Üblicherweise lautet die Nullhypothese H₀, dass die Beobachtungen normalverteilt sind mit einem nicht spezifizierten Mittelwert μ und einer Varianz σ², während die Alternative Ha lautet, dass die Verteilung willkürlich ist. Viele Tests (über 40) wurden für dieses Problem entwickelt. Die wichtigsten davon werden im Folgenden beschrieben: Diagnostische Diagramme sind intuitiv ansprechender, aber gleichzeitig subjektiv, da sie auf einer informellen menschlichen Beurteilung beruhen, um die Nullhypothese zu akzeptieren oder zu verwerfen.

• Q-Q-Diagramm, auch bekannt als Normalwahrscheinlichkeitsdiagramm oder Rankit-Diagramm, ist ein Diagramm der sortierten Werte des Datensatzes gegen die erwarteten Werte der entsprechenden Quantile der Standardnormalverteilung. Das heißt, es handelt sich um eine Darstellung von Punkten der Form (Φ-1(pk), x_(k)), wobei die gezeichneten Punkte pk gleich pk = (k - α)/(n + 1 - 2α) sind und α eine Anpassungskonstante ist, die zwischen 0 und 1 liegen kann. Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollten die gezeichneten Punkte ungefähr auf einer Geraden liegen.
• P-P-Diagramm - ähnelt dem Q-Q-Diagramm, wird aber viel seltener verwendet. Bei dieser Methode werden die Punkte (Φ(z_(k)), pk) geplottet, wobei $\textstyle z_{(k)}=(x_{(k)}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }}$. Bei normalverteilten Daten sollte diese Darstellung auf einer 45°-Linie zwischen (0, 0) und (1, 1) liegen.

Anpassungsgütetests: Momentenbasierte Tests:

• D'Agostino's K-Quadrat-Test
• Jarque-Bera-Test
• Shapiro-Wilk-Test: Dieser basiert auf der Tatsache, dass die Linie im Q-Q-Diagramm die Steigung σ hat. Der Test vergleicht die Schätzung der kleinsten Quadrate dieser Steigung mit dem Wert der Stichprobenvarianz und lehnt die Nullhypothese ab, wenn sich diese beiden Größen signifikant unterscheiden.

Tests auf der Grundlage der empirischen Verteilungsfunktion:

• Anderson-Darling-Test
• Lilliefors-Test (eine Anpassung des Kolmogorov-Smirnov-Tests) ⓘ

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung ⓘ

Eine χ²-verteilte Zufallsvariable mit 5 Freiheitsgraden wird auf Normalverteilung getestet. Für jeden Stichprobenumfang werden 10.000 Stichproben simuliert und anschließend jeweils 5 Anpassungstests zu einem Niveau von 5 % durchgeführt. ⓘ

Mit Hilfe von Quantil-Quantil-Diagrammen bzw. Normal-Quantil-Diagrammen ist eine einfache grafische Überprüfung auf Normalverteilung möglich.
Mit der Maximum-Likelihood-Methode können die Parameter $\mu$ und $\sigma$ der Normalverteilung geschätzt und die empirischen Daten mit der angepassten Normalverteilung grafisch verglichen werden. ⓘ

Bayes'sche Analyse der Normalverteilung

Die Bayes'sche Analyse normalverteilter Daten wird durch die vielen verschiedenen Möglichkeiten erschwert, die in Betracht gezogen werden können:

• Entweder der Mittelwert oder die Varianz oder keines von beiden kann als feste Größe betrachtet werden.
• Wenn die Varianz nicht bekannt ist, kann die Analyse direkt in Form der Varianz oder in Form der Präzision, dem Kehrwert der Varianz, durchgeführt werden. Der Grund dafür, die Formeln in Form der Präzision auszudrücken, ist, dass die Analyse der meisten Fälle vereinfacht wird.
• Es müssen sowohl univariate als auch multivariate Fälle berücksichtigt werden.
• Den unbekannten Variablen können entweder konjugierte oder unzulässige Prioritätsverteilungen zugewiesen werden.
• Eine zusätzliche Gruppe von Fällen tritt bei der linearen Bayes'schen Regression auf, bei der im Basismodell von normalverteilten Daten ausgegangen wird und den Regressionskoeffizienten Normalprioritäten zugewiesen werden. Die sich daraus ergebende Analyse ähnelt den Grundfällen unabhängiger, identisch verteilter Daten. ⓘ

Die Formeln für die nichtlinearen Regressionsfälle sind in dem Artikel über konjugierte Prioren zusammengefasst. ⓘ

Summe von zwei quadratischen Gleichungen

Skalare Form

Die folgende Hilfsformel ist nützlich zur Vereinfachung der Gleichungen zur Aktualisierung der Posteriorwerte, die sonst ziemlich mühsam werden. ⓘ

$a(x-y)^{2}+b(x-z)^{2}=(a+b)\left(x-{\frac {ay+bz}{a+b}}\right)^{2}+{\frac {ab}{a+b}}(y-z)^{2}$ ⓘ

Diese Gleichung schreibt die Summe von zwei quadratischen Gleichungen in x um, indem sie die Quadrate erweitert, die Terme in x gruppiert und das Quadrat vervollständigt. Beachten Sie die folgenden Hinweise zu den komplexen konstanten Faktoren, die an einige der Terme angehängt sind:

1. Der Faktor ${\frac {ay+bz}{a+b}}$ hat die Form eines gewichteten Durchschnitts von y und z.
2. ${\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}=(a^{-1}+b^{-1})^{-1}.$ Dies zeigt, dass dieser Faktor aus einer Situation resultiert, in der sich die Kehrwerte der Mengen a und b direkt addieren. Um also a und b selbst zu kombinieren, muss man das Ergebnis reziprokieren, addieren und wieder reziprokieren, um wieder zu den ursprünglichen Einheiten zu gelangen. Dies ist genau die Art von Operation, die der harmonische Mittelwert durchführt, daher ist es nicht überraschend, dass ${\frac {ab}{a+b}}$ die Hälfte des harmonischen Mittels von a und b ist. ⓘ

Vektorielle Form

Eine ähnliche Formel lässt sich für die Summe von zwei Vektorquadraten aufstellen: Wenn x, y, z Vektoren der Länge k sind, und A und B symmetrische, invertierbare Matrizen der Größe $k\times k$, dann ⓘ

${\begin{aligned}&(\mathbf {y} -\mathbf {x} )'\mathbf {A} (\mathbf {y} -\mathbf {x} )+(\mathbf {x} -\mathbf {z} )'\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {z} )\\={}&(\mathbf {x} -\mathbf {c} )'(\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {x} -\mathbf {c} )+(\mathbf {y} -\mathbf {z} )'(\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {B} ^{-1})^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {z} )\end{aligned}}$ ⓘ

wobei ⓘ

$\mathbf {c} =(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {y} +\mathbf {B} \mathbf {z} )$ ⓘ

Man beachte, dass die Form x′ A x als quadratische Form bezeichnet wird und ein Skalar ist:

$\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {x} =\sum _{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}$

Mit anderen Worten, sie summiert alle möglichen Kombinationen von Produkten von Paaren von Elementen aus x, mit einem separaten Koeffizienten für jedes. Darüber hinaus, da $x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}$nur die Summe $a_{ij}+a_{ji}$ für alle Elemente außerhalb der Diagonalen von A von Bedeutung, und es bedeutet keinen Verlust an Allgemeinheit, wenn man annimmt, dass A symmetrisch ist. Wenn A symmetrisch ist, dann ist die Form $\mathbf {x} '\mathbf {A} \mathbf {y} =\mathbf {y} '\mathbf {A} \mathbf {x} .$ ⓘ

Summe der Differenzen vom Mittelwert

Eine weitere nützliche Formel lautet wie folgt:

$$\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}$$

wobei ${\textstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$ ⓘ

Bei bekannter Varianz

Für eine Menge von i.i.d. normalverteilten Datenpunkten X der Größe n, bei der jeder einzelne Punkt x $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ mit bekannter Varianz σ² folgt, ist die konjugierte Prioritätsverteilung ebenfalls normalverteilt. ⓘ

Dies lässt sich einfacher zeigen, indem man die Varianz als Genauigkeit umschreibt, d. h. τ = 1/σ² verwendet. Wenn dann $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,1/\tau )$ und $\mu \sim {\mathcal {N}}(\mu _{0},1/\tau _{0}),$ gehen wir wie folgt vor. ⓘ

Zunächst ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion (unter Verwendung der obigen Formel für die Summe der Differenzen zum Mittelwert):

${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\tau )&=\prod _{i=1}^{n}{\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau (x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right)\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right].\end{aligned}}$ ⓘ

Dann gehen wir wie folgt vor:

${\begin{aligned}p(\mu \mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \mu )p(\mu )\\&=\left({\frac {\tau }{2\pi }}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)\right]{\sqrt {\frac {\tau _{0}}{2\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(\tau \left(\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}\right)+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(n\tau ({\bar {x}}-\mu )^{2}+\tau _{0}(\mu -\mu _{0})^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}+{\frac {n\tau \tau _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}({\bar {x}}-\mu _{0})^{2}\right)\\&\propto \exp \left(-{\frac {1}{2}}(n\tau +\tau _{0})\left(\mu -{\dfrac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}$ ⓘ

In der obigen Herleitung haben wir die obige Formel für die Summe zweier Quadratzahlen verwendet und alle konstanten Faktoren eliminiert, die nicht zu μ gehören. Das Ergebnis ist der Kern einer Normalverteilung, mit Mittelwert ${\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}$ und Genauigkeit $n\tau +\tau _{0}$d.h. ⓘ

$p(\mu \mid \mathbf {X} )\sim {\mathcal {N}}\left({\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}},{\frac {1}{n\tau +\tau _{0}}}\right)$ ⓘ

Dies kann als eine Reihe von Bayes'schen Aktualisierungsgleichungen für die Posterior-Parameter in Bezug auf die Prior-Parameter geschrieben werden:

${\begin{aligned}\tau _{0}'&=\tau _{0}+n\tau \\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {n\tau {\bar {x}}+\tau _{0}\mu _{0}}{n\tau +\tau _{0}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$ ⓘ

Das heißt, um n Datenpunkte mit einer Gesamtpräzision von nτ (oder äquivalent dazu einer Gesamtvarianz von n/σ²) und einem Mittelwert von Werten zu kombinieren ${\bar {x}}$eine neue Gesamtpräzision ableiten, indem man einfach die Gesamtpräzision der Daten zur vorherigen Gesamtpräzision addiert, und einen neuen Mittelwert durch einen präzisionsgewichteten Mittelwert bilden, d. h. einen gewichteten Mittelwert aus dem Datenmittelwert und dem vorherigen Mittelwert, jeweils gewichtet mit der zugehörigen Gesamtpräzision. Dies ist logisch, wenn man sich die Präzision als Indikator für die Sicherheit der Beobachtungen vorstellt: In der Verteilung des posterioren Mittelwerts wird jede der Eingabekomponenten mit ihrer Gewissheit gewichtet, und die Gewissheit dieser Verteilung ist die Summe der einzelnen Gewissheiten. (Zur Veranschaulichung vergleiche man den Ausdruck "das Ganze ist (oder ist nicht) größer als die Summe seiner Teile". Außerdem ist zu bedenken, dass das Wissen über das Posterior aus einer Kombination des Wissens über das Prior und die Wahrscheinlichkeit resultiert, so dass es sinnvoll ist, dass wir uns dessen sicherer sind als einer seiner Komponenten). ⓘ

Die obige Formel verdeutlicht, warum es bequemer ist, die Bayes'sche Analyse konjugierter Prioren für die Normalverteilung in Bezug auf die Präzision durchzuführen. Die Posterior-Präzision ist einfach die Summe der Prior- und Likelihood-Präzisionen, und der Posterior-Mittelwert wird, wie oben beschrieben, durch einen präzisionsgewichteten Durchschnitt berechnet. Die gleichen Formeln lassen sich auch als Varianzformeln schreiben, indem man alle Präzisionswerte reziprokiert, was zu den folgenden unschönen Formeln führt ⓘ

${\begin{aligned}{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {1}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]\mu _{0}'&={\frac {{\frac {n{\bar {x}}}{\sigma ^{2}}}+{\frac {\mu _{0}}{\sigma _{0}^{2}}}}{{\frac {n}{\sigma ^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}}}\\[5pt]{\bar {x}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\end{aligned}}$ ⓘ

Bei bekanntem Mittelwert

Für eine Menge von i.i.d. normalverteilten Datenpunkten X der Größe n, bei der jeder einzelne Punkt x $x\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ mit bekanntem Mittelwert μ hat der konjugierte Prior der Varianz eine inverse Gammaverteilung oder eine skalierte inverse Chi-Quadrat-Verteilung. Die beiden sind gleichwertig, haben aber unterschiedliche Parametrisierungen. Obwohl die inverse Gamma-Verteilung häufiger verwendet wird, verwenden wir der Einfachheit halber die skalierte inverse Chi-Quadrat-Verteilung. Der Prior für σ² lautet wie folgt:

$p(\sigma ^{2}\mid \nu _{0},\sigma _{0}^{2})={\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\nu _{0}/2}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\propto {\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}$ ⓘ

Die Likelihood-Funktion von oben, geschrieben in Form der Varianz, ist:

${\begin{aligned}p(\mathbf {X} \mid \mu ,\sigma ^{2})&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\right]\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$ ⓘ

wobei ⓘ

$S=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}.$ ⓘ

Dann:

${\begin{aligned}p(\sigma ^{2}\mid \mathbf {X} )&\propto p(\mathbf {X} \mid \sigma ^{2})p(\sigma ^{2})\\&=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}\right]{\frac {(\sigma _{0}^{2}{\frac {\nu _{0}}{2}})^{\frac {\nu _{0}}{2}}}{\Gamma \left({\frac {\nu _{0}}{2}}\right)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\\&\propto \left({\frac {1}{\sigma ^{2}}}\right)^{n/2}{\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {S}{2\sigma ^{2}}}+{\frac {-\nu _{0}\sigma _{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{(\sigma ^{2})^{1+{\frac {\nu _{0}+n}{2}}}}}\exp \left[-{\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+S}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}$ ⓘ

Das obige ist auch eine skalierte inverse Chi-Quadrat-Verteilung, wobei ⓘ

${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\\nu _{0}'{\sigma _{0}^{2}}'&=\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}\end{aligned}}$ ⓘ

oder äquivalent ⓘ

${\begin{aligned}\nu _{0}'&=\nu _{0}+n\\{\sigma _{0}^{2}}'&={\frac {\nu _{0}\sigma _{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{\nu _{0}+n}}\end{aligned}}$ ⓘ

Durch Reparametrisierung im Sinne einer inversen Gamma-Verteilung ergibt sich folgendes Ergebnis:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&=\alpha +{\frac {n}{2}}\\\beta '&=\beta +{\frac$