Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes- /ˌblæk ˈʃoʊlz/ oder Black-Scholes-Merton-Modell ist ein mathematisches Modell für die Dynamik eines Finanzmarktes mit derivativen Anlageinstrumenten. Aus der parabolischen partiellen Differentialgleichung des Modells, der so genannten Black-Scholes-Gleichung, lässt sich die Black-Scholes-Formel ableiten, die eine theoretische Schätzung des Preises von Optionen nach europäischem Muster liefert und zeigt, dass die Option einen eindeutigen Preis hat, wenn man das Risiko des Wertpapiers und seine erwartete Rendite berücksichtigt (wobei die erwartete Rendite des Wertpapiers durch den risikoneutralen Satz ersetzt wird). Die Gleichung und das Modell sind nach den Wirtschaftswissenschaftlern Fischer Black und Myron Scholes benannt; Robert C. Merton, der als erster eine wissenschaftliche Arbeit zu diesem Thema verfasste, wird manchmal ebenfalls genannt. ⓘ

Das Hauptprinzip des Modells besteht darin, die Option durch den Kauf und Verkauf des Basiswerts auf eine bestimmte Weise abzusichern, um das Risiko zu eliminieren. Diese Art der Absicherung wird als "kontinuierlich revidiertes Delta-Hedging" bezeichnet und bildet die Grundlage für kompliziertere Absicherungsstrategien, wie sie beispielsweise von Investmentbanken und Hedgefonds angewandt werden. ⓘ

Das Modell wird, wenn auch oft mit einigen Anpassungen, von den Teilnehmern des Optionsmarktes häufig verwendet. Die Annahmen des Modells sind in viele Richtungen gelockert und verallgemeinert worden, was zu einer Vielzahl von Modellen geführt hat, die derzeit bei der Preisbildung für Derivate und im Risikomanagement verwendet werden. Die Erkenntnisse des Modells, die durch die Black-Scholes-Formel veranschaulicht werden, werden von den Marktteilnehmern häufig verwendet, im Gegensatz zu den tatsächlichen Preisen. Zu diesen Erkenntnissen gehören die Grenzen der Arbitragefreiheit und die risikoneutrale Preisbildung (dank der kontinuierlichen Überarbeitung). Darüber hinaus ermöglicht die Black-Scholes-Gleichung, eine partielle Differentialgleichung, die den Preis der Option bestimmt, die Preisbildung mit numerischen Methoden, wenn eine explizite Formel nicht möglich ist. ⓘ

Die Black-Scholes-Formel hat nur einen Parameter, der nicht direkt auf dem Markt beobachtet werden kann: die durchschnittliche zukünftige Volatilität des Basiswerts, die jedoch aus dem Preis anderer Optionen ermittelt werden kann. Da der Optionswert (egal ob Put oder Call) mit diesem Parameter ansteigt, kann er invertiert werden, um eine "Volatilitätsfläche" zu erhalten, die dann zur Kalibrierung anderer Modelle, z. B. für OTC-Derivate, verwendet wird. ⓘ

Das Black-Scholes-Modell (gesprochen ˌblæk ˈʃoʊlz) ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. ⓘ

Geschichte

Die Wirtschaftswissenschaftler Fischer Black und Myron Scholes wiesen 1968 nach, dass eine dynamische Änderung eines Portfolios die erwartete Rendite des Wertpapiers aufhebt, und erfanden damit das Argument der Risikoneutralität. Sie stützten sich dabei auf frühere Arbeiten von Marktforschern und Praktikern wie Louis Bachelier, Sheen Kassouf und Edward O. Thorp. Black und Scholes versuchten daraufhin, die Formel auf die Märkte anzuwenden, erlitten jedoch aufgrund mangelnden Risikomanagements bei ihren Geschäften finanzielle Verluste. Im Jahr 1970 beschlossen sie, in die akademische Welt zurückzukehren. Nach dreijährigen Bemühungen wurde die Formel - zu ihren Ehren benannt, weil sie sie veröffentlicht hatten - schließlich 1973 in einem Artikel mit dem Titel "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" im Journal of Political Economy veröffentlicht. Robert C. Merton war der erste, der eine Arbeit veröffentlichte, die das mathematische Verständnis des Optionspreismodells erweiterte, und prägte den Begriff "Black-Scholes Options Pricing Model". ⓘ

Die Formel führte zu einem Boom im Optionshandel und lieferte die mathematische Legitimation für die Aktivitäten der Chicago Board Options Exchange und anderer Optionsmärkte in der ganzen Welt. ⓘ

Merton und Scholes erhielten 1997 den Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften für ihre Arbeit, wobei das Komitee ihre Entdeckung der risikoneutralen dynamischen Revision als einen Durchbruch bezeichnete, der die Option vom Risiko des zugrunde liegenden Wertpapiers trennt. Obwohl Black aufgrund seines Todes im Jahr 1995 für den Preis nicht in Frage kam, wurde er von der Schwedischen Akademie als Mitwirkender erwähnt. ⓘ

Robert C. Merton war (außer den beiden obengenannten) ebenfalls an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, was sich aber nie durchsetzte. Jedoch wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Preis der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt; Fischer Black war bereits 1995 verstorben. Black setzte jedoch auch andere Bewertungsakzente als Scholes und Merton. ⓘ

Grundlegende Hypothesen

Der Grundgedanke ist, aus dem Derivat und der Aktie ein risikoloses Portfolio zu konstruieren. „Risikolos“ meint in diesem Zusammenhang, dass der Wert des Portfolios für kurze Zeiträume – gleichbedeutend mit kleinen Änderungen des Aktienkurses – nicht vom Kurs der Aktie abhängt. ⓘ

Nach den Annahmen bewegt sich der Aktienkurs $S$ gemäß einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Inkrement und inkrementellen Kursänderungen ⓘ

$\mathrm {d} S=\mu \,S\,\mathrm {d} t+\sigma \,S\,\mathrm {d} W$. ⓘ

Dabei ist $\mu$ die erwartete Rendite des Aktienkurses, $\sigma >0$ die Volatilität und $t\geq 0$ die Zeit. $W$ bezeichnet einen Standard-Wiener-Prozess. $\mathrm {d} W$ kann als ein infinitesimaler Zuwachs von $W_{t}$ auf einem Zeitintervall der Länge $\mathrm {d} t$ angesehen werden, d. h. als eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert $0$ und Varianz $\mathrm {d} t$. ⓘ

Mit Itōs Lemma erhält man für die Änderungen des Wertes $V$ eines Derivats die Formel ⓘ

$\mathrm {d} V=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu \,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t+\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}\,\mathrm {d} W$. ⓘ

Hierbei sind $\mu$ und $W$ dieselben Größen wie zuvor, da der Preis des Derivats vom Preisprozess der Aktie abhängt. ⓘ

Der Wiener-Prozess $W$ beeinflusst also den Aktienpreis über einen Faktor $\sigma \,S$ und den Wert des Derivats über einen Faktor $\sigma \,S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}$. Das im Sinne der Analyse risikolose Portfolio besteht also aus

• -1 Derivate (also eine Shortposition im Derivat)
• ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ Stücke der Aktien

(oder mit umgekehrtem Vorzeichen: eine Longposition im Derivat und eine Shortposition in den Aktien in der angegebenen Größe). In der Praxis wird dieses Konzept der Portfolioabsicherung in Form des Delta-Hedging angewendet. ⓘ

Mit den gegebenen Portfoliogewichten und den Preisprozessen für Aktie und Derivate lassen sich der Portfoliowert und die Wertänderungen des Portfolios über kurze Zeiträume formulieren. ⓘ

Der Portfoliowert $\ P$ ist ⓘ

$P=-V+S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}$, ⓘ

also die Summe des negativen Wertes des Derivats plus des Wertes von ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ Stück Aktien. Die Wertänderung des Portfolios über kurze Zeiträume $\mathrm {d} P$ lässt sich schreiben als ⓘ

$\mathrm {d} P=-\mathrm {d} V+\mathrm {d} S\,{\frac {\partial V}{\partial S}}=\left(-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\mathrm {d} t$. ⓘ

Die Preisänderungen des Portfolios hängen also weder von den zufälligen Preisänderungen des Aktienkurses aus dem Wienerprozess $W$ noch von der erwartete Aktienrendite $\mu$ ab. Der zweite Punkt ist eine wichtige Erkenntnis aus dem Black-Scholes-Modell. ⓘ

Da das Portfolio risikolos ist und laut Annahmen keine Arbitragemöglichkeiten bestehen, muss das Portfolio über kurze Zeiträume genau die risikolose Rendite $r$ erwirtschaften, also ⓘ

$\mathrm {d} P=r\,P\,\mathrm {d} t$ ⓘ

Durch Einsetzen in die letzte Gleichung erhält man die Black-Scholes-Differentialgleichung ⓘ

${\frac {\partial V}{\partial t}}+r\,S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\,\sigma ^{2}\,S^{2}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=r\,V$. ⓘ

Diese Gleichung ist unter den gegebenen Annahmen für alle Derivate gültig, die sich auf Grundlage des Preisprozesses für $S$ definieren lassen. Die Art des Derivats, für das die Gleichung gelöst werden soll, bestimmt die Randbedingungen für die Differentialgleichung. ⓘ

Insbesondere Musiela und Rutkowski haben darauf hingewiesen, dass das in der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung verwendete Portfolio nicht selbst-finanzierend ist. Die Argumentation ist zwar intuitiv und liefert die Black-Scholes-Differentialgleichung. Finanzmathematisch ist die Herleitung jedoch problematisch. Musiela und Rutkowski geben auch eine finanzmathematisch überzeugende Herleitung an. ⓘ

Das Black-Scholes-Modell geht davon aus, dass der Markt aus mindestens einem risikobehafteten Vermögenswert, in der Regel einer Aktie, und einem risikolosen Vermögenswert, in der Regel dem Geldmarkt, Bargeld oder Anleihen, besteht. ⓘ

Zu den Vermögenswerten werden die folgenden Annahmen getroffen (die sich auf die Namen der Vermögenswerte beziehen):

• Risikoloser Zinssatz: Die Rendite des risikolosen Vermögenswerts ist konstant und wird daher als risikoloser Zinssatz bezeichnet.
• Random Walk: Die momentane logarithmische Rendite des Aktienkurses ist ein infinitesimaler Random Walk mit Drift; genauer gesagt folgt der Aktienkurs einer geometrischen Brownschen Bewegung, und es wird angenommen, dass die Drift und die Volatilität der Bewegung konstant sind. Wenn Drift und Volatilität zeitlich variieren, kann eine entsprechend modifizierte Black-Scholes-Formel abgeleitet werden, sofern die Volatilität nicht zufällig ist.
• Die Aktie zahlt keine Dividende. ⓘ

Die Annahmen über den Markt sind:

• Keine Arbitragemöglichkeit (d. h. es gibt keine Möglichkeit, einen risikolosen Gewinn zu erzielen).
• Die Möglichkeit, beliebige Beträge, auch Bruchteile davon, zum risikolosen Zinssatz zu leihen und zu verleihen.
• Möglichkeit, Aktien in beliebiger Höhe, auch in Bruchteilen, zu kaufen und zu verkaufen (dies schließt Leerverkäufe ein).
• Für die oben genannten Transaktionen fallen keine Gebühren oder Kosten an (d. h. ein reibungsloser Markt). ⓘ

Mehrere dieser Annahmen des ursprünglichen Modells wurden in späteren Erweiterungen des Modells gestrichen. Moderne Versionen berücksichtigen dynamische Zinssätze (Merton, 1976), Transaktionskosten und Steuern (Ingersoll, 1976) sowie die Dividendenausschüttung. ⓘ

Schreibweise

Die in der Analyse des Black-Scholes-Modells verwendete Notation ist wie folgt definiert (Definitionen gruppiert nach Themen): Allgemein und marktbezogen:

$t$ ist eine Zeit in Jahren; mit $t=0$ im Allgemeinen das aktuelle Jahr darstellt.

$r$ ist der annualisierte risikofreie Zinssatz, der kontinuierlich aufgezinst wird (auch als Zinskraft bezeichnet).

Vermögenswertbezogen:

$S(t)$ ist der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts zum Zeitpunkt t, auch bezeichnet als $S_{t}$.

$\mu$ ist die Driftrate von $S$annualisiert.

$\sigma$ ist die Standardabweichung der Renditen der Aktie. Dies ist die Quadratwurzel der quadratischen Variation des logarithmischen Preisprozesses der Aktie, ein Maß für ihre Volatilität.

Option bezogen:

$V(S,t)$ ist der Preis der Option als Funktion des Basiswerts S zum Zeitpunkt t, insbesondere:

$C(S,t)$ ist der Preis einer europäischen Kaufoption und

$P(S,t)$ ist der Preis einer europäischen Verkaufsoption.

$T$ ist der Zeitpunkt des Ablaufs der Option.

$\tau$ ist die Zeit bis zur Fälligkeit: $\tau =T-t$.

$K$ ist der Ausübungspreis der Option, auch bekannt als Ausübungspreis. ⓘ

$N(x)$ bezeichnet die kumulative Standardnormalverteilungsfunktion:

$N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.$ ⓘ

$N'(x)$ bezeichnet die standardnormale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.$ ⓘ

Black-Scholes-Gleichung

Simulierte geometrische Brownsche Bewegung mit Parametern aus Marktdaten ⓘ

Die Black-Scholes-Gleichung ist eine parabolische partielle Differentialgleichung, die den Preis der Option im Zeitablauf beschreibt. Die Gleichung lautet:

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$ ⓘ

Eine wichtige finanzielle Erkenntnis hinter der Gleichung ist, dass man die Option perfekt absichern kann, indem man den Basiswert und das Bankkonto (Bargeld) so kauft und verkauft, dass das Risiko "eliminiert" wird. Diese Absicherung bedeutet wiederum, dass es nur einen richtigen Preis für die Option gibt, wie die Black-Scholes-Formel zeigt (siehe nächster Abschnitt). ⓘ

Black-Scholes-Formel

Eine europäische Kaufoption, die mit der Black-Scholes-Preisgleichung für unterschiedliche Preise der Vermögenswerte bewertet wird $S$ und Zeit bis zum Verfall $T$. In diesem Beispiel wird der Ausübungspreis auf 1 gesetzt. ⓘ

Die Black-Scholes-Formel berechnet den Preis von europäischen Verkaufs- und Kaufoptionen. Dieser Preis ist mit der Black-Scholes-Gleichung konsistent. Dies folgt daraus, dass die Formel durch Lösen der Gleichung für die entsprechenden End- und Randbedingungen erhalten werden kann:

${\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all }}t\\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}$ ⓘ

Der Wert einer Call-Option für eine nicht dividendenberechtigte Aktie beträgt nach den Black-Scholes-Parametern:

${\begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{1})S_{t}-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}$ ⓘ

Der Preis einer entsprechenden Put-Option auf Basis der Put-Call-Parität mit Diskontierungsfaktor $e^{-r(T-t)}$ ist:

${\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{2})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{1})S_{t}\end{aligned}}\,$ ⓘ

Alternative Formulierung

Die Einführung von Hilfsvariablen ermöglicht es, die Formel zu vereinfachen und in einer Form umzuformulieren, die bequemer sein kann (dies ist ein Spezialfall der Black-'76-Formel):

${\begin{aligned}C(F,\tau )&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\left[\ln \left({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau \right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}$ ⓘ

wobei: $D=e^{-r\tau }$ der Abzinsungsfaktor ist ⓘ

$F=e^{r\tau }S={\frac {S}{D}}$ der Terminkurs des Basiswerts ist, und $S=DF$ ⓘ

Unter der Voraussetzung der Put-Call-Parität, die in dieser Formel wie folgt ausgedrückt wird

$C-P=D(F-K)=S-DK$ ⓘ

ist der Preis einer Verkaufsoption:

$P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]$ ⓘ

Auslegung

Es ist möglich, die Black-Scholes-Formel intuitiv zu interpretieren, wobei die Hauptschwierigkeit in der Interpretation der Variablen $N(d_{\pm })$ (und a fortiori $d_{\pm }$) Terme, insbesondere $d_{+}$ und warum es zwei verschiedene Terme gibt. ⓘ

Die Formel kann interpretiert werden, indem man zunächst eine Kaufoption in die Differenz zweier binärer Optionen zerlegt: eine Asset-or-Nothing-Kaufoption minus eine Cash-or-Nothing-Kaufoption (Long eine Asset-or-Nothing-Kaufoption, Short eine Cash-or-Nothing-Kaufoption). Bei einer Call-Option wird bei Fälligkeit Bargeld gegen einen Vermögenswert getauscht, während ein Asset-or-Nothing-Call nur den Vermögenswert abgibt (ohne Bargeld im Austausch) und ein Cash-or-Nothing-Call nur Bargeld abgibt (ohne Vermögenswert im Austausch). Die Black-Scholes-Formel besteht aus der Differenz zweier Terme, und diese beiden Terme entsprechen den Werten der binären Kaufoptionen. Diese binären Optionen werden weniger häufig gehandelt als Vanilla-Call-Optionen, sind aber leichter zu analysieren. ⓘ

Daher lautet die Formel:

$C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]$ ⓘ

zerfällt in:

$C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,$ ⓘ

wobei $DN(d_{+})F$ der Gegenwartswert einer Asset-or-Nothing-Call-Option ist und $DN(d_{-})K$ der Gegenwartswert eines Cash-or-Nothing-Calls ist. Der Faktor D dient der Abzinsung, da das Verfallsdatum in der Zukunft liegt, und wenn man ihn weglässt, wird der Gegenwartswert zum Zukunftswert (Wert bei Verfall). Somit ist $N(d_{+})~F$ der künftige Wert einer Asset-or-nothing-Kaufoption und $N(d_{-})~K$ der künftige Wert eines Cash-or-Nothing-Calls. Risikoneutral ausgedrückt sind dies der erwartete Wert des Vermögenswerts und der erwartete Wert des Geldes im risikoneutralen Maß. ⓘ

Eine naive und nicht ganz korrekte Interpretation dieser Begriffe ist, dass $N(d_{+})F$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Option im Geld ausläuft $N(d_{+})$multipliziert mit dem Wert des Basiswerts bei Verfall F, während $N(d_{-})K$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Option im Geld ausläuft $N(d_{-}),$ multipliziert mit dem Wert des Bargelds bei Fälligkeit K. Diese Interpretation ist nicht korrekt, da entweder beide Binäre Optionen im Geld verfallen oder beide aus dem Geld verfallen (entweder wird Bargeld gegen den Vermögenswert getauscht oder nicht), aber die Wahrscheinlichkeiten $N(d_{+})$ und $N(d_{-})$ sind nicht gleich. In der Tat, $d_{\pm }$ als Maß für die Moneyness (in Standardabweichungen) interpretiert werden und $N(d_{\pm })$ als Wahrscheinlichkeiten des Auslaufens von ITM (prozentuale Moneyness) in der jeweiligen numéraire interpretiert werden, wie unten erläutert. Einfach ausgedrückt, die Interpretation der Cash-Option, $N(d_{-})K$ist korrekt, da der Wert des Bargelds unabhängig von den Bewegungen des Basiswerts ist und somit als einfaches Produkt aus "Wahrscheinlichkeit mal Wert" interpretiert werden kann, während die $N(d_{+})F$ komplizierter ist, da die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu verfallen, und der Wert des Vermögenswerts bei Verfall nicht unabhängig sind. Genauer gesagt ist der Wert des Vermögenswerts bei Verfall variabel in Bezug auf Bargeld, aber konstant in Bezug auf den Vermögenswert selbst (eine feste Menge des Vermögenswerts), und daher sind diese Mengen unabhängig, wenn man numéraire auf den Vermögenswert statt auf Bargeld umstellt. ⓘ

Wenn man statt des Terminkontrakts F den Kassakontrakt S verwendet, in $d_{\pm }$ anstelle des ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ der Term ${\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau ,}$ der als Driftfaktor (im risikoneutralen Maß für die entsprechende numéraire) interpretiert werden kann. Die Verwendung von d- für die Moneyness anstelle der standardisierten Moneyness ${\textstyle m={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\ln \left({\frac {F}{K}}\right)}$ - mit anderen Worten, der Grund für den ${\textstyle {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$ Faktor - ist auf die Differenz zwischen Median und Mittelwert der lognormalen Verteilung zurückzuführen; es handelt sich um denselben Faktor wie im Itō-Lemma, das auf die geometrische Brownsche Bewegung angewandt wird. Dass die naive Interpretation falsch ist, lässt sich auch daran erkennen, dass die Ersetzung von $N(d_{+})$ durch $N(d_{-})$ in der Formel ergibt einen negativen Wert für Kaufoptionen, die aus dem Geld sind. ⓘ

Im Einzelnen sind die Terme $N(d_{1}),N(d_{2})$ sind die Wahrscheinlichkeiten der Option, im Geld zu verfallen, unter dem äquivalenten exponentiellen Martingal-Wahrscheinlichkeitsmaß (numéraire=Aktie) bzw. dem äquivalenten Martingal-Wahrscheinlichkeitsmaß (numéraire=risikofreier Vermögenswert). Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aktienkurs $S_{T}\in (0,\infty )$ ist

$p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{2}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}$ ⓘ

wobei $d_{2}=d_{2}(K)$ ist wie oben definiert. ⓘ

Im Einzelnen, $N(d_{2})$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Kaufoption ausgeübt wird, wenn man davon ausgeht, dass die Vermögenswertdrift dem risikofreien Satz entspricht. $N(d_{1})$Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Aktienkurses lässt sich jedoch nicht einfach interpretieren. $SN(d_{1})$ wird korrekt interpretiert als der Barwert des erwarteten Vermögenspreises bei Fälligkeit unter Verwendung des risikofreien Zinssatzes, wenn der Vermögenspreis bei Fälligkeit über dem Ausübungspreis liegt. Für eine diesbezügliche Diskussion - und grafische Darstellung - siehe Datar-Mathews-Methode zur Bewertung von Realoptionen. ⓘ

Das entsprechende Martingal-Wahrscheinlichkeitsmaß wird auch als risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichnet. Beachten Sie, dass es sich in beiden Fällen um Wahrscheinlichkeiten im maßtheoretischen Sinne handelt, und dass keine der beiden Wahrscheinlichkeiten die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist, im Geld zu verfallen, wenn man das reale Wahrscheinlichkeitsmaß zugrunde legt. Um die Wahrscheinlichkeit unter dem realen ("physischen") Wahrscheinlichkeitsmaß zu berechnen, sind zusätzliche Informationen erforderlich - der Drift-Term im physischen Maß oder gleichwertig der Marktpreis des Risikos. ⓘ

Ableitungen

Eine Standardableitung zur Lösung der Black-Scholes-PDE ist im Artikel Black-Scholes-Gleichung enthalten. ⓘ

Die Feynman-Kac-Formel besagt, dass die Lösung dieser Art von PDE bei angemessener Diskontierung ein Martingal ist. Der Optionspreis ist also der Erwartungswert der diskontierten Auszahlung der Option. Die Berechnung des Optionspreises über diesen Erwartungswert ist der risikoneutrale Ansatz und kann ohne Kenntnis der PDEs durchgeführt werden. Beachten Sie, dass der Erwartungswert der Optionsauszahlung nicht mit dem realen Wahrscheinlichkeitsmaß, sondern mit einem künstlichen risikoneutralen Maß berechnet wird, das sich vom realen Maß unterscheidet. Zur zugrundeliegenden Logik siehe den Abschnitt "Risikoneutrale Bewertung" unter "Rationale Preisbildung" sowie den Abschnitt "Derivative Preisbildung: die Q-Welt" unter "Mathematische Finanzwissenschaft"; zu Einzelheiten siehe wiederum Hull. ⓘ

Die Optionsgriechen

Die "Greeks" messen die Empfindlichkeit des Wertes eines derivativen Produkts oder eines Finanzportfolios gegenüber Änderungen der Parameterwerte, wobei die anderen Parameter unverändert bleiben. Sie sind partielle Ableitungen des Preises in Bezug auf die Parameterwerte. Ein griechisches Wort, "Gamma" (sowie andere, hier nicht aufgeführte), ist eine partielle Ableitung eines anderen griechischen Wortes, in diesem Fall "Delta". ⓘ

Die Griechen sind nicht nur in der mathematischen Finanztheorie von Bedeutung, sondern auch für diejenigen, die aktiv handeln. Finanzinstitute legen in der Regel (Risiko-)Grenzwerte für jeden der Griechen fest, die ihre Händler nicht überschreiten dürfen. ⓘ

Das Delta ist das wichtigste griechische Element, da es in der Regel das größte Risiko birgt. Viele Händler setzen ihr Delta am Ende des Tages auf Null, wenn sie nicht auf die Richtung des Marktes spekulieren und einen delta-neutralen Hedging-Ansatz nach Black-Scholes verfolgen. Wenn ein Händler eine effektive Delta-Absicherung für ein Portfolio anstrebt, kann er auch versuchen, das Gamma des Portfolios zu neutralisieren, da dies sicherstellt, dass die Absicherung über einen größeren Bereich von zugrunde liegenden Preisbewegungen wirksam ist. ⓘ

Die Greeks für Black-Scholes sind unten in geschlossener Form angegeben. Sie können durch Differenzierung der Black-Scholes-Formel ermittelt werden. ⓘ

		Kauf	Put ⓘ
Delta	${\frac {\partial V}{\partial S}}$	$N(d_{1})\,$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1\,$
Gamma	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\,$
Wega	${\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T-t}}\,$
Theta	${\frac {\partial V}{\partial t}}$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})\,$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,$
Rho	${\frac {\partial V}{\partial r}}$	$K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})\,$	$-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,$

Aus den Formeln ist ersichtlich, dass das Gamma für Calls und Puts den gleichen Wert hat und auch das Vega für Calls und Puts den gleichen Wert hat. Dies ergibt sich direkt aus der Put-Call-Parität, da die Differenz zwischen einem Put und einem Call ein Forward ist, der linear in S und unabhängig von σ ist (ein Forward hat also ein Gamma von Null und ein Vega von Null). N' ist die standardmäßige normale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. ⓘ

In der Praxis werden einige Sensitivitäten in der Regel in verkleinerter Form angegeben, um der Größenordnung der wahrscheinlichen Änderungen der Parameter zu entsprechen. Zum Beispiel wird rho oft geteilt durch 10.000 (1 Basispunkt Zinsänderung), Vega durch 100 (1 Vol. Punkt Änderung) und Theta durch 365 oder 252 (1 Tag Verfall basierend auf Kalendertagen oder Handelstagen pro Jahr) angegeben. ⓘ

Beachten Sie, dass "Vega" kein Buchstabe des griechischen Alphabets ist; der Name ist auf eine falsche Lesart des griechischen Buchstabens nu zurückzuführen (der auf verschiedene Weise wiedergegeben wird $\nu$, ν, und ν) als V. ⓘ

Erweiterungen des Modells

Das obige Modell kann für variable (aber deterministische) Kurse und Volatilitäten erweitert werden. Das Modell kann auch zur Bewertung europäischer Optionen auf dividendenzahlende Instrumente verwendet werden. In diesem Fall sind Lösungen in geschlossener Form verfügbar, wenn die Dividende ein bekannter Anteil des Aktienkurses ist. Amerikanische Optionen und Optionen auf Aktien, die eine bekannte Bardividende zahlen (kurzfristig realistischer als eine proportionale Dividende), sind schwieriger zu bewerten, und es gibt eine Auswahl an Lösungstechniken (z. B. Gitter und Gittern). ⓘ

Instrumente, die kontinuierliche Dividenden ausschütten

Bei Optionen auf Indizes kann man vereinfachend davon ausgehen, dass die Dividenden kontinuierlich gezahlt werden und dass die Höhe der Dividende proportional zum Indexstand ist. ⓘ

Die über die Zeitperiode gezahlte Dividende $[t,t+dt]$ wird dann modelliert als :

$qS_{t}\,dt$ ⓘ

für eine Konstante $q$ (die Dividendenrendite). ⓘ

Mit dieser Formulierung lässt sich zeigen, dass der arbitragefreie Preis, der sich aus dem Black-Scholes-Modell ergibt, gleich :

$C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,$ ⓘ

und

$P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,$ ⓘ

wobei nun

$F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,$ ⓘ

der modifizierte Terminpreis ist, der sich in den Bedingungen $d_{1},d_{2}$:

$d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]$ ⓘ

und

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]$. ⓘ

Instrumente, die diskrete proportionale Dividenden zahlen

Es ist auch möglich, den Black-Scholes-Rahmen auf Optionen auf Instrumente auszuweiten, die diskrete proportionale Dividenden zahlen. Dies ist nützlich, wenn die Option auf eine einzige Aktie abgeschlossen wird. ⓘ

Ein typisches Modell ist die Annahme, dass ein Teil $\delta$ des Aktienkurses zu vorher festgelegten Zeitpunkten ausgezahlt wird $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$. Der Preis der Aktie wird dann modelliert als :

$S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}$ ⓘ

wobei $n(t)$ ist die Anzahl der Dividenden, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgeschüttet wurden $t$. ⓘ

Der Preis einer Kaufoption auf eine solche Aktie beträgt wiederum :

$C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,$ ⓘ

wobei nun

$F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,$ ⓘ

ist der Terminkurs für die dividendenzahlende Aktie. ⓘ

Amerikanische Optionen

Das Problem, den Preis einer amerikanischen Option zu finden, ist mit dem Problem des optimalen Stopps verbunden, d.h. den Zeitpunkt für die Ausübung der Option zu finden. Da die amerikanische Option jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden kann, wird die Black-Scholes-Gleichung zu einer Variationsungleichung der Form

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0$

zusammen mit $V(S,t)\geq H(S)$ wobei $H(S)$ die Auszahlung bei einem Aktienkurs $S$ und die Endbedingung: $V(S,T)=H(S)$. ⓘ

Im Allgemeinen hat diese Ungleichung keine Lösung in geschlossener Form, obwohl eine amerikanische Kaufoption ohne Dividende gleich einer europäischen Kaufoption ist und die Roll-Geske-Whaley-Methode eine Lösung für eine amerikanische Kaufoption mit einer Dividende liefert; siehe auch die Black'sche Näherung. ⓘ

Barone-Adesi und Whaley ist eine weitere Näherungsformel. Hier wird die stochastische Differentialgleichung (die für den Wert jedes Derivats gilt) in zwei Komponenten aufgeteilt: den europäischen Optionswert und die frühzeitige Ausübungsprämie. Mit einigen Annahmen erhält man dann eine quadratische Gleichung, die die Lösung für letztere annähert. Diese Lösung besteht darin, den kritischen Wert zu finden, $s*$zu finden, bei dem man zwischen der vorzeitigen Ausübung und dem Halten bis zur Fälligkeit indifferent ist. ⓘ

Bjerksund und Stensland liefern eine Annäherung auf der Grundlage einer Ausübungsstrategie, die einem Auslösepreis entspricht. In diesem Fall ist es optimal, die Option auszuüben, wenn der Preis des Basiswerts größer oder gleich dem Auslösepreis ist, und der Wert muss gleich $S-X$andernfalls läuft die Option "auf Folgendes hinaus: (i) eine europäische Up-and-Out-Call-Option... und (ii) einen Rabatt, den man am Knock-Out-Datum erhält, wenn die Option vor dem Fälligkeitsdatum ausgeknockt wird". Die Formel lässt sich leicht für die Bewertung einer Verkaufsoption modifizieren, indem die Put-Call-Parität verwendet wird. Diese Annäherung ist rechnerisch kostengünstig und die Methode ist schnell, wobei es Hinweise darauf gibt, dass die Annäherung bei der Bewertung von Optionen mit langer Laufzeit genauer sein kann als Barone-Adesi und Whaley. ⓘ

Ewiger Put

Obwohl es keine allgemeine analytische Lösung für amerikanische Verkaufsoptionen gibt, ist es möglich, eine solche Formel für den Fall einer ewigen Option abzuleiten - was bedeutet, dass die Option niemals abläuft (d.h., $T\rightarrow \infty$). In diesem Fall ist der zeitliche Zerfall der Option gleich Null, was dazu führt, dass die Black-Scholes PDE zu einer ODE wird:

$${1 \over {2}}\sigma ^{2}S^{2}{d^{2}V \over {dS^{2}}}+(r-q)S{dV \over {dS}}-rV=0$$

Lassen Sie $S_{-}$ die untere Ausübungsgrenze bezeichnen, unterhalb derer die Ausübung der Option optimal ist. Die Randbedingungen sind:

$$V(S_{-})=K-S_{-},\quad V_{S}(S_{-})=-1,\quad V(S)\leq K$$

Die Lösungen der ODE sind eine Linearkombination von zwei beliebigen, linear unabhängigen Lösungen:

$$V(S)=A_{1}S^{\lambda _{1}}+A_{2}S^{\lambda _{2}}$$

Für $S_{-}\leq S$ersetzt man diese Lösung in die ODE für $i={1,2}$ ergibt:

$$\left[{1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}(\lambda _{i}-1)+(r-q)\lambda _{i}-r\right]S^{\lambda _{i}}=0$$

Durch Umstellen der Terme erhält man:

$${1 \over {2}}\sigma ^{2}\lambda _{i}^{2}+\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)\lambda _{i}-r=0$$

Unter Verwendung der quadratischen Formel sind die Lösungen für $\lambda _{i}$ sind:

$${\begin{aligned}\lambda _{1}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)+{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\\\lambda _{2}&={-\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)-{\sqrt {\left(r-q-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)^{2}+2\sigma ^{2}r}} \over {\sigma ^{2}}}\end{aligned}}$$

Um eine endliche Lösung für den Perpetual Put zu erhalten, muss man, da die Randbedingungen endliche obere und untere Schranken für den Wert des Puts implizieren, für $A_{1}=0$zu setzen, was zu der Lösung $V(S)=A_{2}S^{\lambda _{2}}$. Aus der ersten Randbedingung ist bekannt, dass:

$$V(S_{-})=A_{2}(S_{-})^{\lambda _{2}}=K-S_{-}\implies A_{2}={K-S_{-} \over {(S_{-})^{\lambda _{2}}}}$$

Der Wert des Perpetual Put ist somit gleich:

$$V(S)=(K-S_{-})\left({S \over {S_{-}}}\right)^{\lambda _{2}}$$

Aus der zweiten Randbedingung ergibt sich die Lage der unteren Ausübungsschranke:

$$V_{S}(S_{-})=\lambda _{2}{K-S_{-} \over {S_{-}}}=-1\implies S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}$$

Daraus folgt, dass für ${\textstyle S\geq S_{-}={\lambda _{2}K \over {\lambda _{2}-1}}}$ist die ewige amerikanische Verkaufsoption wertvoll:

$$V(S)={K \over {1-\lambda _{2}}}\left({\lambda _{2}-1 \over {\lambda _{2}}}\right)^{\lambda _{2}}\left({S \over {K}}\right)^{\lambda _{2}}$$

ⓘ

Binäre Optionen

Wenn man die Black-Scholes-Differentialgleichung mit der Heaviside-Funktion als Randbedingung löst, erhält man den Preis von Optionen, die eine Einheit über einem bestimmten Ausübungspreis und nichts darunter auszahlen. ⓘ

Die Black-Scholes-Formel für den Preis einer Vanilla-Call-Option (oder Put-Option) kann durch Zerlegung einer Call-Option in eine Asset-or-Nothing-Call-Option abzüglich einer Cash-or-Nothing-Call-Option interpretiert werden, und ähnlich verhält es sich mit einer Put-Option - die binären Optionen sind einfacher zu analysieren und entsprechen den beiden Termen in der Black-Scholes-Formel. ⓘ

Cash-or-nothing-Kaufoption

Bei dieser Option wird eine Einheit Bargeld ausgezahlt, wenn der Kassakurs bei Fälligkeit über dem Basispreis liegt. Sein Wert ist durch gegeben:

$C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,$ ⓘ

Cash-or-nothing-Put

Dieser zahlt eine Einheit Bargeld aus, wenn der Spot bei Fälligkeit unter dem Strike liegt. Sein Wert ist gegeben durch :

$P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,$ ⓘ

Asset-or-nothing-Call

Bei dieser Option wird eine Einheit eines Vermögenswerts ausgezahlt, wenn der Kassakurs bei Fälligkeit über dem Basispreis liegt. Sein Wert ist gegeben durch :

$C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,$ ⓘ

Aktiva-oder-Negativa-Put

Bei dieser Option wird eine Einheit des Vermögenswerts ausgezahlt, wenn der Kassakurs bei Fälligkeit unter dem Ausübungspreis liegt. Sein Wert ist gegeben durch :

$P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),$ ⓘ

Devisen (FX)

Bezeichnet man mit S den FOR/DOM-Wechselkurs (d. h. 1 Einheit der ausländischen Währung ist S Einheiten der inländischen Währung wert), so kann man feststellen, dass die Auszahlung von 1 Einheit der inländischen Währung, wenn der Kassakurs bei Fälligkeit über oder unter dem Strike liegt, genau wie ein Cash-or-Nothing-Call bzw. -Put ist. Ebenso ist die Auszahlung von 1 Einheit der ausländischen Währung, wenn der Kassakurs bei Fälligkeit über oder unter dem Ausübungspreis liegt, genau wie ein "Asset-or-Nothing"-Call bzw. -Put. Wenn man also $r_{FOR}$den ausländischen Zinssatz, $r_{DOM}$, den inländischen Zinssatz und den Rest wie oben, erhält man die folgenden Ergebnisse: Im Falle eines digitalen Calls (dies ist ein Call FOR/Put DOM) wird eine Einheit der inländischen Währung ausgezahlt, die als Barwert erhalten wird:

$C=e^{-r_{DOM}T}N(d_{2})\,$

Im Falle eines digitalen Puts (dies ist ein Put FOR/Call DOM), der eine Einheit der erhaltenen Inlandswährung als Barwert auszahlt:

$P=e^{-r_{DOM}T}N(-d_{2})\,$

Im Falle eines digitalen Calls (dies ist ein Call FOR/Put DOM) wird eine Einheit der erhaltenen ausländischen Währung als Barwert ausgezahlt:

$C=Se^{-r_{FOR}T}N(d_{1})\,$

Im Falle eines digitalen Puts (dies ist ein Put FOR/Call DOM), der eine Einheit der erhaltenen Fremdwährung als Barwert auszahlt:

$P=Se^{-r_{FOR}T}N(-d_{1})\,$ ⓘ

Skew

Im Black-Scholes-Standardmodell kann man die Prämie der binären Option in der risikoneutralen Welt als Erwartungswert = Wahrscheinlichkeit, im Geld zu sein * Einheit, abgezinst auf den Gegenwartswert, interpretieren. Das Black-Scholes-Modell stützt sich auf die Symmetrie der Verteilung und lässt die Schiefe der Verteilung des Vermögenswerts außer Acht. Die Marktmacher gleichen diese Schiefe aus, indem sie anstelle einer einzigen Standardabweichung für den Basiswert $\sigma$ für alle Ausübungspreise verwenden, eine variable Standardabweichung einbeziehen $\sigma (K)$ einbeziehen, bei der die Volatilität vom Ausübungspreis abhängt, und so die Schiefe der Volatilität berücksichtigen. Die Schiefe ist von Bedeutung, weil sie sich auf binäre Optionen wesentlich stärker auswirkt als auf reguläre Optionen. ⓘ

Eine binäre Kaufoption ähnelt bei langen Verfallsterminen einem engen Kaufspread mit zwei Vanilla-Optionen. Man kann den Wert einer binären Cash-or-Nothing-Option, C, zum Basispreis K als infinitesimal engen Spread modellieren, wobei $C_{v}$ eine europäische Vanilla-Call-Option ist:

$C=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon }}$

Der Wert einer binären Kaufoption ist also das Negativ der Ableitung des Preises einer Vanilla-Kaufoption in Bezug auf den Ausübungspreis:

$C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}$ ⓘ

Wenn man die Volatilitätsschiefe berücksichtigt, $\sigma$ ist eine Funktion von $K$:

$C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma (K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}-{\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ ⓘ

Der erste Term ist gleich der Prämie der binären Option ohne Berücksichtigung des Skew:

$-{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial (SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2}))}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}$ ⓘ

${\frac {\partial C_{v}}{\partial \sigma }}$ ist das Vega des Vanilla Calls; ${\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$ wird manchmal als "Skew Slope" oder einfach "Skew" bezeichnet. Wenn der Skew typischerweise negativ ist, wird der Wert einer binären Option höher sein, wenn der Skew berücksichtigt wird.

$C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}$ ⓘ

Beziehung zu den Greeks von Vanilla-Optionen

Da ein binärer Call eine mathematische Ableitung eines Vanilla Calls in Bezug auf den Strike ist, hat der Preis eines binären Calls die gleiche Form wie das Delta eines Vanilla Calls, und das Delta eines binären Calls hat die gleiche Form wie das Gamma eines Vanilla Calls. ⓘ

Black-Scholes in der Praxis

Die Normalitätsannahme des Black-Scholes-Modells erfasst keine extremen Bewegungen wie Börsencrashs. ⓘ

Die Annahmen des Black-Scholes-Modells sind nicht alle empirisch gültig. Das Modell wird weithin als nützliche Annäherung an die Realität verwendet, aber eine ordnungsgemäße Anwendung setzt voraus, dass man seine Grenzen kennt - ein blindes Befolgen des Modells setzt den Benutzer einem unerwarteten Risiko aus:

• die Unterschätzung extremer Bewegungen, was zu einem Tail-Risiko führt, das mit Optionen, die aus dem Geld sind, abgesichert werden kann;
• die Annahme eines sofortigen, kostenfreien Handels, was zu einem Liquiditätsrisiko führt, das sich nur schwer absichern lässt;
• die Annahme eines stationären Prozesses, was zu einem Volatilitätsrisiko führt, das mit Volatilitätsabsicherungen abgesichert werden kann;
• die Annahme einer kontinuierlichen Zeit und eines kontinuierlichen Handels, was zu einem Gap-Risiko führt, das durch Gamma-Hedging abgesichert werden kann;
• das Modell neigt dazu, Optionen, die tief aus dem Geld sind, unterzubewerten und Optionen, die tief im Geld sind, zu überbewerten. ⓘ

Kurz gesagt: Während man im Black-Scholes-Modell Optionen durch einfaches Delta-Hedging perfekt absichern kann, gibt es in der Praxis viele andere Risikoquellen. ⓘ

Die Ergebnisse des Black-Scholes-Modells weichen aufgrund der vereinfachenden Annahmen des Modells von den Preisen in der realen Welt ab. Eine wesentliche Einschränkung besteht darin, dass die Wertpapierpreise in der Realität weder einem streng stationären Log-Normal-Prozess folgen noch der risikofreie Zinssatz tatsächlich bekannt ist (und im Zeitablauf nicht konstant ist). Es wurde beobachtet, dass die Varianz nicht konstant ist, was zu Modellen wie GARCH zur Modellierung von Volatilitätsänderungen führt. Preisdiskrepanzen zwischen empirischen Daten und dem Black-Scholes-Modell werden seit langem bei Optionen beobachtet, die weit aus dem Geld sind, was extremen Preisänderungen entspricht; solche Ereignisse wären sehr selten, wenn die Renditen lognormalverteilt wären, werden aber in der Praxis sehr viel häufiger beobachtet. ⓘ

Dennoch ist die Black-Scholes-Bewertung in der Praxis weit verbreitet, weil sie es ist:

• leicht zu berechnen ist
• eine nützliche Annäherung, insbesondere bei der Analyse der Richtung, in die sich die Preise beim Überschreiten kritischer Punkte bewegen
• eine robuste Grundlage für verfeinerte Modelle
• umkehrbar ist, da die ursprüngliche Ausgabe des Modells, der Preis, als Eingabe verwendet und eine der anderen Variablen gelöst werden kann; die auf diese Weise berechnete implizite Volatilität wird häufig zur Notierung von Optionspreisen verwendet (d. h. als Notierungskonvention). ⓘ

Der erste Punkt ist natürlich nützlich. Die anderen Punkte können weiter diskutiert werden: Nützliche Annäherung: Obwohl die Volatilität nicht konstant ist, sind die Ergebnisse des Modells oft hilfreich, um Absicherungen im richtigen Verhältnis zur Risikominimierung einzurichten. Selbst wenn die Ergebnisse nicht ganz genau sind, dienen sie als erste Annäherung, an der Anpassungen vorgenommen werden können. ⓘ

Grundlage für verfeinerte Modelle: Das Black-Scholes-Modell ist insofern robust, als es angepasst werden kann, um einige seiner Fehler zu beheben. Anstatt einige Parameter (wie die Volatilität oder die Zinssätze) als konstant zu betrachten, werden sie als Variablen und damit als zusätzliche Risikoquellen betrachtet. Dies spiegelt sich in den Griechen wider (die Änderung des Optionswertes bei einer Änderung dieser Parameter oder gleichwertig die partiellen Ableitungen in Bezug auf diese Variablen), und die Absicherung dieser Griechen mindert das Risiko, das durch den nicht konstanten Charakter dieser Parameter verursacht wird. Andere Mängel können jedoch nicht durch eine Änderung des Modells gemildert werden, insbesondere das Tail-Risiko und das Liquiditätsrisiko, die stattdessen außerhalb des Modells verwaltet werden, vor allem durch Minimierung dieser Risiken und durch Stresstests. ⓘ

Explizite Modellierung: Dieses Merkmal bedeutet, dass man nicht a priori von einer Volatilität ausgeht und daraus Preise berechnet, sondern das Modell zur Lösung der Volatilität verwenden kann, was die implizite Volatilität einer Option bei gegebenen Preisen, Laufzeiten und Ausübungspreisen ergibt. Indem man die Volatilität für einen gegebenen Satz von Laufzeiten und Ausübungspreisen ermittelt, kann man eine implizite Volatilitätsfläche konstruieren. Bei dieser Anwendung des Black-Scholes-Modells wird eine Koordinatentransformation vom Preisbereich in den Volatilitätsbereich vorgenommen. Anstatt Optionspreise in Dollar pro Einheit anzugeben (die sich nur schwer über Strikes, Laufzeiten und Kuponfrequenzen hinweg vergleichen lassen), können Optionspreise somit in Form der impliziten Volatilität angegeben werden, was zum Handel mit Volatilität auf den Optionsmärkten führt. ⓘ

Das Volatilitäts-Smile

Eines der attraktiven Merkmale des Black-Scholes-Modells besteht darin, dass die anderen Parameter des Modells als die Volatilität (die Laufzeit, der Strike, der risikofreie Zinssatz und der aktuelle Basispreis) eindeutig beobachtbar sind. Unter sonst gleichen Bedingungen ist der theoretische Wert einer Option eine monoton steigende Funktion der impliziten Volatilität. ⓘ

Durch die Berechnung der impliziten Volatilität für gehandelte Optionen mit unterschiedlichen Ausübungspreisen und Laufzeiten kann das Black-Scholes-Modell getestet werden. Wenn das Black-Scholes-Modell zuträfe, wäre die implizite Volatilität für eine bestimmte Aktie bei allen Ausübungspreisen und Fälligkeiten gleich. In der Praxis ist die Volatilitätsoberfläche (das 3D-Diagramm der impliziten Volatilität gegen Strike und Laufzeit) nicht flach. ⓘ

Die typische Form der impliziten Volatilitätskurve für eine bestimmte Laufzeit hängt von dem zugrunde liegenden Instrument ab. Bei Aktien sind die Kurven in der Regel schräg: Im Vergleich zu at-the-money ist die implizite Volatilität bei niedrigen Strikes deutlich höher und bei hohen Strikes etwas niedriger. Währungen weisen eher symmetrische Kurven auf, wobei die implizite Volatilität am Geld am niedrigsten ist und die Volatilität in beiden Flügeln höher ist. Bei Rohstoffen verhält es sich oft umgekehrt wie bei Aktien, wobei die implizite Volatilität bei höheren Ausübungspreisen höher ist. ⓘ

Trotz der Existenz des Volatilitäts-Smile (und der Verletzung aller anderen Annahmen des Black-Scholes-Modells) werden die Black-Scholes-PDE und die Black-Scholes-Formel in der Praxis immer noch häufig verwendet. Ein typischer Ansatz besteht darin, die Volatilitätsoberfläche als eine Tatsache über den Markt zu betrachten und eine implizite Volatilität daraus in einem Black-Scholes-Bewertungsmodell zu verwenden. Dies wurde als "die Verwendung der falschen Zahl in der falschen Formel, um den richtigen Preis zu erhalten" beschrieben. Dieser Ansatz liefert auch brauchbare Werte für die Hedge-Ratios (die Griechen). Selbst wenn fortschrittlichere Modelle verwendet werden, bevorzugen Händler die implizite Volatilität nach Black-Scholes, da sie es ihnen ermöglicht, Optionen mit unterschiedlichen Laufzeiten, Ausübungspreisen usw. zu bewerten und zu vergleichen. Für eine Diskussion über die verschiedenen alternativen Ansätze, die hier entwickelt wurden, siehe Finanzwirtschaft § Herausforderungen und Kritik. ⓘ

Bewertung von Anleiheoptionen

Black-Scholes kann wegen des Pull-to-Par-Verfahrens nicht direkt auf Anleihen angewendet werden. Wenn die Anleihe ihr Fälligkeitsdatum erreicht, werden alle mit der Anleihe verbundenen Preise bekannt, wodurch ihre Volatilität sinkt, und das einfache Black-Scholes-Modell spiegelt diesen Prozess nicht wider. Zahlreiche Erweiterungen des Black-Scholes-Modells, beginnend mit dem Black-Modell, wurden verwendet, um diesem Phänomen Rechnung zu tragen. Siehe Anleiheoption § Bewertung. ⓘ

Zinskurve

In der Praxis sind die Zinssätze nicht konstant, sondern variieren je nach Laufzeit (Kuponhäufigkeit), so dass sich eine Zinskurve ergibt, die interpoliert werden kann, um einen geeigneten Zinssatz für die Black-Scholes-Formel zu ermitteln. Eine weitere Überlegung ist, dass die Zinssätze im Laufe der Zeit schwanken. Diese Volatilität kann einen erheblichen Beitrag zum Preis leisten, insbesondere bei Optionen mit langer Laufzeit. Dies ist vergleichbar mit der Beziehung zwischen Zinssatz und Anleihepreis, die umgekehrt ist. ⓘ

Short-Aktienkurs

Das Eingehen einer Short-Position in Aktien ist, wie in der Ableitung enthalten, in der Regel nicht kostenlos; entsprechend ist es möglich, eine Long-Position in Aktien gegen eine geringe Gebühr auszuleihen. In beiden Fällen kann dies für die Zwecke einer Black-Scholes-Bewertung als kontinuierliche Dividende behandelt werden, vorausgesetzt, es besteht keine eklatante Asymmetrie zwischen den Kosten für die Aufnahme von Short-Aktien und den Erträgen aus dem Verleih von Long-Aktien. ⓘ

Kritik und Anmerkungen

Espen Gaarder Haug und Nassim Nicholas Taleb argumentieren, dass das Black-Scholes-Modell lediglich eine Neuformulierung bestehender, weit verbreiteter Modelle in Bezug auf praktisch unmögliches "dynamisches Hedging" anstelle von "Risiko" darstellt, um sie besser mit der gängigen neoklassischen Wirtschaftstheorie in Einklang zu bringen. Sie behaupten auch, dass Boness bereits 1964 eine Formel veröffentlicht hat, die mit der Black-Scholes-Gleichung zur Bewertung von Kaufoptionen "eigentlich identisch" ist. Edward Thorp behauptet ebenfalls, die Black-Scholes-Formel 1967 erraten zu haben, behielt sie aber für sich, um Geld für seine Investoren zu verdienen. Auch Emanuel Derman und Nassim Taleb haben das dynamische Hedging kritisiert und darauf hingewiesen, dass eine Reihe von Forschern bereits vor Black und Scholes ähnliche Modelle entwickelt hatten. Paul Wilmott hat daraufhin das Modell verteidigt. ⓘ

In seinem Brief an die Aktionäre von Berkshire Hathaway aus dem Jahr 2008 schrieb Warren Buffett: "Ich glaube, dass die Black-Scholes-Formel, auch wenn sie der Standard für die Ermittlung der Dollarverbindlichkeit für Optionen ist, seltsame Ergebnisse liefert, wenn die langfristige Variante bewertet wird... Die Black-Scholes-Formel hat sich dem Status einer heiligen Schrift in der Finanzwelt angenähert ... Wenn die Formel jedoch auf längere Zeiträume angewandt wird, kann sie zu absurden Ergebnissen führen. Fairerweise muss man sagen, dass Black und Scholes diesen Punkt mit Sicherheit gut verstanden haben. Aber ihre treuen Anhänger ignorieren möglicherweise die Vorbehalte, die die beiden Männer bei der ersten Vorstellung der Formel angebracht haben." ⓘ

Der britische Mathematiker Ian Stewart, Autor des 2012 erschienenen Buches In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World, sagte, dass Black-Scholes "ein massives Wirtschaftswachstum unterstützt" habe und das "internationale Finanzsystem bis 2007 Derivate im Wert von einer Billiarde Dollar pro Jahr" gehandelt habe. Er sagte, die Black-Scholes-Gleichung sei die "mathematische Rechtfertigung für den Handel" gewesen - und damit "eine Zutat in einem reichhaltigen Eintopf aus finanzieller Verantwortungslosigkeit, politischer Unfähigkeit, perversen Anreizen und laxer Regulierung", der zur Finanzkrise von 2007-08 beigetragen habe. Er stellte klar, dass "die Gleichung selbst nicht das eigentliche Problem" sei, sondern ihr Missbrauch in der Finanzindustrie. ⓘ

Optionspreise nach Black-Scholes

Preisformeln

Auf beiden Wegen erhält man die Preisformel nach Black-Scholes für einen europäischen Call bzw. Put:

$C(S,t)=S\Phi (d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})$ ⓘ

beziehungsweise ⓘ

$P(S,t)=Ke^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})-S\Phi (-d_{1})$ ⓘ

wobei ⓘ

$d_{1}={\frac {\ln(S/K)+(r+\sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$ ⓘ

$d_{2}={\frac {\ln(S/K)+(r-\sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}$ ⓘ

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp {\Bigl (}-{\frac {z^{2}}{2}}{\Bigr )}\,\mathrm {d} z$ bezeichnet die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. ⓘ

Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameter bestimmt:

• $S$: aktueller Aktienkurs
• $r$: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
• $\sigma$: Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss die einzige unbekannte Größe und damit letztlich Gegenstand der Preisfindung zwischen den Vertragsparteien.
• $T-t$: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit $T$ zum Zeitpunkt $t$
• $K$: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt ⓘ

Die Griechen nach Black-Scholes

Als Griechen (englisch Greeks) werden die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Der Vorteil der expliziten Formel für die Optionspreise – etwa im Gegensatz zu einer numerischen Lösung – liegt darin, dass diese Ableitungen leicht berechnet werden können. ⓘ

Gamma

Das Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Es ist für Call und Put im Black-Scholes-Modell gleich und zwar ⓘ

$\Gamma ={\frac {\partial ^{2}C}{\partial S^{2}}}={\frac {\varphi (d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}={\frac {\Phi '(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}\geq 0$. ⓘ

Das Gamma ist also nicht negativ, das heißt, der Optionspreis ändert sich immer in die gleiche Richtung (steigen/fallen) wie die Volatilität. Ist die Option am Geld (englisch at the money), kann das Gamma bei abnehmender Restlaufzeit über alle Schranken wachsen. Der Buchstabe $\mathrm {\varphi }$ steht hier für die Dichtefunktion der Normalverteilung, vergl. $\Phi$ Verteilungsfunktion. ⓘ

Gamma einer europäischen Option nach Black und Scholes ⓘ

Rho

Mit Rho wird die Sensitivität der Option bei kleinen Änderungen des Zinssatzes bezeichnet. ⓘ

$\mathrm {P} _{c}={\frac {\partial C}{\partial r}}=(T-t)Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})\geq 0$ ⓘ

$\mathrm {P} _{p}={\frac {\partial P}{\partial r}}=-(T-t)Ke^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})\leq 0$. ⓘ

Omega

Die Optionselastizität ist eine prozentuale Sensitivität:

$\Omega _{c}={\frac {\frac {\Delta C}{C}}{\frac {\Delta S}{S}}}=\Phi (d_{1}){\frac {S}{C}}>0$ ⓘ

$\Omega _{p}={\frac {\frac {\Delta P}{P}}{\frac {\Delta S}{S}}}=(\Phi (d_{1})-1){\frac {S}{P}}<0$. ⓘ

Herleitung

Das Black-Scholes-Modell kann als Grenzfall des zeit- und wertediskreten Binomialmodells nach Cox, Ross und Rubinstein interpretiert werden, indem die Handelsintervalle immer kürzer gesetzt werden: ⓘ

$\Delta t\to 0$. ⓘ

$u(\Delta t)$ und $d(\Delta t)$ nehmen kontrolliert ab. Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen eine Normalverteilung. Die Aktienkurse sind dann in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt. In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung exotischer Optionen oder Optionssensitivitäten. ⓘ