Pauli-Matrizen

Wolfgang Pauli (1900-1958), ca. 1924. Pauli erhielt 1945 den Nobelpreis für Physik, vorgeschlagen von Albert Einstein, für das Pauli-Ausschlussprinzip. ⓘ

In der mathematischen Physik und Mathematik sind die Pauli-Matrizen eine Gruppe von drei 2 × 2 komplexen Matrizen, die hermitesch, involutiv und unitär sind. In der Regel werden sie mit dem griechischen Buchstaben Sigma (σ) bezeichnet, gelegentlich auch mit Tau (τ), wenn sie im Zusammenhang mit Isospin-Symmetrien verwendet werden.

$${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {x} }&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {y} }&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{\mathrm {z} }&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$

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Diese Matrizen sind nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt. In der Quantenmechanik kommen sie in der Pauli-Gleichung vor, die die Wechselwirkung des Spins eines Teilchens mit einem äußeren elektromagnetischen Feld berücksichtigt. Sie stellen auch die Wechselwirkungszustände von zwei Polarisationsfiltern für horizontale/vertikale Polarisation, 45-Grad-Polarisation (rechts/links) und zirkulare Polarisation (rechts/links) dar. ⓘ

Jede Pauli-Matrix ist hermitesch, und zusammen mit der Identitätsmatrix I (manchmal auch als nullte Pauli-Matrix σ₀ bezeichnet) bilden die Pauli-Matrizen eine Basis für den realen Vektorraum der 2 × 2 hermiteschen Matrizen. Das bedeutet, dass jede 2 × 2 hermitesche Matrix eindeutig als Linearkombination von Pauli-Matrizen geschrieben werden kann, wobei alle Koeffizienten reelle Zahlen sind. ⓘ

Hermitsche Operatoren stellen in der Quantenmechanik Beobachtungsgrößen dar, so dass die Pauli-Matrizen den Raum der Beobachtungsgrößen des komplexen 2-dimensionalen Hilbert-Raums abdecken. Im Kontext von Paulis Arbeit stellt σk die Observable dar, die dem Spin entlang der k-ten Koordinatenachse im dreidimensionalen euklidischen Raum entspricht $\mathbb {R} ^{3}.$ ⓘ

Die Pauli-Matrizen (nach Multiplikation mit i, um sie antihermitisch zu machen) erzeugen auch Transformationen im Sinne von Lie-Algebren: Die Matrizen iσ₁, iσ₂, iσ₃ bilden eine Basis für die reelle Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$die zur speziellen unitären Gruppe SU(2) exponentiiert. Die durch die drei Matrizen σ₁, σ₂, σ₃ erzeugte Algebra ist isomorph zu der Clifford-Algebra von $\mathbb {R} ^{3}$und die durch iσ₁, iσ₂, iσ₃ erzeugte (unitale assoziative) Algebra ist praktisch identisch (isomorph) mit der der Quaternionen ($\mathbb {H}$). ⓘ

Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingeführt, waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt. ⓘ

Algebraische Eigenschaften

Alle drei Pauli-Matrizen lassen sich in einem einzigen Ausdruck zusammenfassen:

$\sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}$ ⓘ

Die Lösung von i² = -1 ist die "imaginäre Einheit", und δ_jk ist das Kronecker-Delta, das gleich +1 ist, wenn j = k, und sonst 0. Dieser Ausdruck ist nützlich, um eine der Matrizen numerisch "auszuwählen", indem man die Werte von j = 1, 2, 3 ersetzt, was wiederum nützlich ist, wenn eine der Matrizen (aber keine bestimmte) für algebraische Manipulationen verwendet werden soll. ⓘ

Die Matrizen sind involutorisch:

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$ ⓘ

wobei I die Identitätsmatrix ist. ⓘ

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind:

${\begin{aligned}\det \sigma _{j}&~=\,-1\,,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&~=~~~\;0~.\end{aligned}}$ ⓘ

Daraus lässt sich ableiten, dass jede Matrix σ_jk die Eigenwerte +1 und -1 hat. ⓘ

Durch die Einbeziehung der Identitätsmatrix I (manchmal auch als σ₀ bezeichnet) bilden die Pauli-Matrizen eine orthogonale Basis (im Sinne von Hilbert-Schmidt) des Hilbert-Raums der 2 × 2 hermiteschen Matrizen, ${\mathcal {H}}_{2}$ über $\mathbb {R}$und des Hilbert-Raums aller komplexen 2 × 2-Matrizen, ${\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )$. ⓘ

Eigenvektoren

Die Matrix $\sigma _{3}$ hat die Eigenvektoren ⓘ

$\chi _{31}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \chi _{32}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ⓘ

wie man leicht erkennen kann:

$\sigma _{3}\chi _{31}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}\chi _{32}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ⓘ

entsprechend den Eigenwerten $\pm 1$. Die Eigenvektoren von $\sigma _{1}$ sind ⓘ

$\chi _{11}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\quad \chi _{12}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}:$ ⓘ

$\sigma _{1}\chi _{11}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\quad \sigma _{1}\chi _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ ⓘ

und die Eigenvektoren von $\sigma _{2}$ ⓘ

$\chi _{21}={\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}},\quad \chi _{22}={\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}:$ ⓘ

$\sigma _{2}\chi _{21}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\\mathrm {i} \end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}\chi _{22}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathrm {i} \\-1\end{pmatrix}}=-1{\begin{pmatrix}\mathrm {i} \\1\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Pauli-Vektor

Der Pauli-Vektor ist definiert durch

$${\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}~,$$

wobei ${\hat {x}}_{1}$, ${\hat {x}}_{2}$, und ${\hat {x}}_{3}$ eine äquivalente Notation für die bekanntere ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, und ${\hat {z}}$; die tiefgestellte Schreibweise ${\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}$ ist kompakter als die alte ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$ Form. ⓘ

Der Pauli-Vektor bietet einen Abbildungsmechanismus von einer Vektor-Basis zu einer Pauli-Matrix-Basis wie folgt,

$${\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\left(a_{k}{\hat {x}}_{k}\right)\cdot \left(\sigma _{\ell }{\hat {x}}_{\ell }\right)=a_{k}\sigma _{\ell }{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\\\&=a_{k}\sigma _{\ell }\delta _{k\ell }=a_{k}\sigma _{k}\\\\&=~a_{1}\;{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~+~a_{2}\;{\begin{pmatrix}0&-i\\i&\;\;0\end{pmatrix}}~+~a_{3}\;{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~=~{\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention. ⓘ

Formeller ausgedrückt, definiert dies eine Abbildung von $\mathbb {R} ^{3}$ in den Vektorraum der spurlosen hermiteschen $2\times 2$ Matrizen. Diese Abbildung kodiert Strukturen von $\mathbb {R} ^{3}$ als normierten Vektorraum und als Lie-Algebra (mit dem Kreuzprodukt als Lie-Klammer) über Funktionen von Matrizen, so dass die Abbildung ein Isomorphismus von Lie-Algebren ist. Dies macht die Pauli-Matrizen aus Sicht der Darstellungstheorie zu Intertwinern. ⓘ

Eine andere Möglichkeit, den Pauli-Vektor zu betrachten, ist als $2\times 2$ Hermitscher spurloser matrixwertiger Dualvektor, d. h. ein Element von ${\text{Mat}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}$ das abbildet ${\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$. ⓘ

Vollständigkeitsrelation

Jede Komponente von ${\vec {a}}$ kann aus der Matrix zurückgewonnen werden (siehe Vollständigkeitsrelation unten)

$${\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}{\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\vec {a}}~.$$

ⓘ

Dies ist eine Inverse der Abbildung ${\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$und macht deutlich, dass die Abbildung eine Bijektion ist. ⓘ

Determinante

Die Norm ist durch die Determinante (bis auf ein Minuszeichen) gegeben

$$\det {\bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-\left|{\vec {a}}\right|^{2}.$$

ⓘ

Betrachtet man nun die Konjugationswirkung einer ${\text{SU}}(2)$ Matrix $U$ auf diesen Raum von Matrizen,

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}:=U\;{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\;U^{-1}$,

finden wir $\det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=\det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})$, und dass $U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$ hermitesch und spurlos ist. Es ist dann sinnvoll, zu definieren $U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}$ wobei ${\vec {a}}'$ die gleiche Norm hat wie ${\vec {a}}$und interpretieren daher $U$ als eine Rotation des 3-dimensionalen Raums zu interpretieren. Tatsächlich stellt sich heraus, dass die spezielle Einschränkung für $U$ impliziert, dass die Rotation orientierungserhaltend ist. Dies ermöglicht die Definition einer Abbildung $R:{\text{SU}}(2)\rightarrow {\text{SO}}(3)$ gegeben durch

$U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}={\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}=:(R(U){\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}$,

wobei $R(U)\in {\text{SO}}(3)$. Diese Karte ist die konkrete Realisierung der doppelten Abdeckung von ${\text{SO}}(3)$ durch ${\text{SU}}(2)$und zeigt daher, dass ${\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)$. Die Komponenten von $R(U)$ können mit Hilfe des obigen Verfahrens zurückgewonnen werden:

$R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}{\text{tr}}\left(\sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\right)$ ⓘ

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist durch den Matrixkommutator gegeben (bis zu einem Faktor von $2i$)

$$[{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}]=2i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}.$$

ⓘ

Die Existenz einer Norm ergibt sich aus der Tatsache, dass $\mathbb {R} ^{3}$ eine Lie-Algebra ist: siehe Killing-Form. ⓘ

Dieses Kreuzprodukt kann verwendet werden, um die orientierungserhaltende Eigenschaft der obigen Karte zu beweisen. ⓘ

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Eigenwerte von ${\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$ sind $\pm |{\vec {a}}|$. Dies folgt unmittelbar aus der Tracelessness und der expliziten Berechnung der Determinante. ⓘ

Abstrakter ausgedrückt, ohne Berechnung der Determinante, die explizite Eigenschaften der Pauli-Matrizen erfordert, folgt dies aus $({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0$, da diese faktorisiert werden kann in $({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0$. Ein Standardergebnis der linearen Algebra (eine lineare Abbildung, die eine in eindeutigen Linearfaktoren geschriebene Polynomgleichung erfüllt, ist diagonal) bedeutet, dass dies bedeutet ${\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$ ist diagonal mit möglichen Eigenwerten $\pm |{\vec {a}}|$. Die Tracelessness von ${\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}$ bedeutet, dass es von jedem Eigenwert genau einen gibt. ⓘ

Seine normalisierten Eigenvektoren sind

$$\psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}};\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.$$

ⓘ

Pauli 4-Vektor

Der Pauli-4-Vektor, der in der Spinortheorie verwendet wird, wird geschrieben $\sigma ^{\mu }$ mit den Komponenten

$\sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }}).$

Er definiert eine Abbildung von $\mathbb {R} ^{1,3}$ in den Vektorraum der hermiteschen Matrizen,

$x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu },$

die auch die Minkowski-Metrik (meist mit Minuskonvention) in ihrer Determinante kodiert:

$\det(x_{\mu }\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).$ ⓘ

Dieser 4-Vektor hat auch eine Vollständigkeitsrelation. Es ist zweckmäßig, einen zweiten Pauli-4-Vektor zu definieren

${\bar {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }}).$

zu definieren und das Heben und Senken mit Hilfe des Minkowski-Metrik-Tensors zu ermöglichen. Die Beziehung kann dann wie folgt geschrieben werden

$$x_{\nu }={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}{\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}{\Bigr )}~.$$

ⓘ

Ähnlich wie im Fall des Pauli-3-Vektors können wir eine Matrixgruppe finden, die als Isometrien auf $\mathbb {R} ^{1,3}$; in diesem Fall ist die Matrixgruppe ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$und dies zeigt ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3).$ Ähnlich wie oben kann dies explizit realisiert werden für $S\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ mit den Komponenten

$\Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\frac {1}{2}}{\text{tr}}\left({\bar {\sigma }}_{\nu }S\sigma ^{\mu }S^{\dagger }\right).$ ⓘ

Tatsächlich folgt die Determinanteneigenschaft abstrakt aus den Spureneigenschaften der $\sigma ^{\mu }$. Für $2\times 2$ Matrizen gilt die folgende Identität:

$\det(A+B)=\det(A)+\det(B)+{\text{tr}}(A){\text{tr}}(B)-{\text{tr}}(AB).$

Das heißt, die "Querterme" können als Spuren geschrieben werden. Wenn $A,B$ so gewählt werden, dass sie verschieden sind $\sigma ^{\mu }$sind, verschwinden die Querterme. Daraus folgt, dass die Summation nun explizit gezeigt wird, ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$ Da die Matrizen $2\times 2$sind, ist dies gleich ${\textstyle \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x).}$ ⓘ

(Anti-)Kommutationsbeziehungen

Die Pauli-Matrizen gehorchen den folgenden Kommutationsbeziehungen:

$[\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}~,$ ⓘ

wobei die Strukturkonstante ε_ijk das Levi-Civita-Symbol ist und die Einstein-Summenschreibweise verwendet wird. ⓘ

Diese Kommutationsbeziehungen machen die Pauli-Matrizen zu den Generatoren einer Darstellung der Lie-Algebra $(\mathbb {R} ^{3},\times )\cong {\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3).$ ⓘ

Sie erfüllen auch die Antikommutationsbeziehungen:

$\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\delta _{jk}\,I~,$ ⓘ

wobei δ_jk das Kronecker-Delta ist und I die 2 × 2-Identitätsmatrix ist und die Summationskonvention verwendet wird. ⓘ

Diese Anti-Kommutationsbeziehungen machen die Pauli-Matrizen zu den Generatoren einer Darstellung der Clifford-Algebra für $\mathbb {R} ^{3}$, bezeichnet als ${\text{Cl}}_{3}(\mathbb {R} ).$ ⓘ

Die übliche Konstruktion der Generatoren ${\textstyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4}}[\sigma _{i},\sigma _{j}]}$ von ${\mathfrak {so}}(3)$ unter Verwendung der Clifford-Algebra ergibt die obigen Kommutationsbeziehungen, bis auf unwichtige numerische Faktoren. ⓘ

Im Folgenden werden einige explizite Kommutatoren und Antikommutatoren als Beispiele angegeben:

Kommutatoren	Antikommutatoren ⓘ
${\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{3}\right\}&=0\\\left\{\sigma _{2},\sigma _{2}\right\}&=2I.\end{aligned}}$

Beziehung zu Punkt- und Kreuzprodukt

Pauli-Vektoren bilden diese Kommutierungs- und Antikommutierungsbeziehungen elegant auf entsprechende Vektorprodukte ab. Addiert man den Kommutator zum Antikommutator, erhält man

${\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}$

so dass,

$~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~$ ⓘ

Kontrahiert man jede Seite der Gleichung mit den Komponenten der beiden 3-Vektoren a_p und bq (die mit den Pauli-Matrizen kommutieren, d. h. a_pσq = σqa_p) für jede Matrix σq und Vektorkomponente a_p (und ebenso mit bq), so ergibt sich

$~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.~$ ⓘ

Schließlich ergibt die Übersetzung der Indexschreibweise für das Punktprodukt und das Kreuzprodukt ⓘ

$~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~$

(1) ⓘ

Wenn i mit dem Pseudoskalar σ_xσ_yσz identifiziert wird, wird die rechte Seite $a\cdot b+a\wedge b$ was auch die Definition für das Produkt zweier Vektoren in der geometrischen Algebra ist. ⓘ

Wenn wir den Spinoperator als J = ħ/2σ definieren, dann erfüllt J die Kommutationsbeziehung:

$$\mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\hbar \mathbf {J}$$

Oder äquivalent, der Pauli-Vektor erfüllt:

$${\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i{\frac {\vec {\sigma }}{2}}$$

ⓘ

Einige Spurbeziehungen

Die folgenden Spuren können mit Hilfe der Kommutations- und Antikommutationsbeziehungen abgeleitet werden. ⓘ

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}$ ⓘ

Betrachtet man zusätzlich die Matrix σ₀ = I, so lauten diese Beziehungen ⓘ

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}$ ⓘ

wobei die griechischen Indizes α, β, γ und μ Werte aus {0, x, y, z} annehmen und die Schreibweise ${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$ wird verwendet, um die Summe über die zyklische Permutation der enthaltenen Indizes zu bezeichnen. ⓘ

Exponentialwert eines Pauli-Vektors

Für

${\vec {a}}=a{\hat {n}},\quad |{\hat {n}}|=1,$ ⓘ

hat man, für gerade Potenzen, 2p, p = 0, 1, 2, 3, ...

$({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I$ ⓘ

was zunächst für den Fall p = 1 anhand der Antikommutationsbeziehungen gezeigt werden kann. Der Einfachheit halber wird der Fall p = 0 vereinbarungsgemäß als I angenommen. ⓘ

Für ungerade Potenzen, 2q + 1, q = 0, 1, 2, 3, ...

$\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,.$ ⓘ

Potenzierung der Matrix und Verwendung der Taylorreihen für Sinus und Kosinus,

${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}$. ⓘ

In der letzten Zeile ist die erste Summe der Kosinus, während die zweite Summe der Sinus ist; also schließlich, ⓘ

$~~e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~$

(2) ⓘ

was analog zur Eulerschen Formel ist, die auf Quaternionen erweitert wurde. ⓘ

Beachten Sie, dass

$\det[ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})]=a^{2}$, ⓘ

während die Determinante des Exponentials selbst nur 1 ist, was sie zum generischen Gruppenelement von SU(2) macht. ⓘ

Eine abstraktere Version von Formel (2) für eine allgemeine 2 × 2-Matrix finden Sie im Artikel über Matrixexponentiale. Eine allgemeine Version von (2) für eine analytische Funktion (bei a und -a) ergibt sich aus der Anwendung der Sylvesterschen Formel,

$f(a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}))=I{\frac {f(a)+f(-a)}{2}}+{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\frac {f(a)-f(-a)}{2}}~.$ ⓘ

Das Gruppenzusammensetzungsgesetz von SU(2)

Eine einfache Anwendung von Formel (2) liefert eine Parametrisierung des Kompositionsgesetzes der Gruppe SU(2). Man kann direkt lösen für c in

${\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib\left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\left(\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b\right)+i\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\cos {c}+i\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sin c\\&=e^{ic\left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)},\end{aligned}}$ ⓘ

lösen, das die generische Gruppenmultiplikation angibt, wobei offensichtlich,

$\cos c=\cos a\cos b-{\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\sin a\sin b~,$ ⓘ

das sphärische Kosinusgesetz. Gegeben c, dann,

${\hat {k}}={\frac {1}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\sin a\sin b\right)~.$ ⓘ

Folglich betragen die zusammengesetzten Rotationsparameter in diesem Gruppenelement (in diesem Fall eine geschlossene Form der entsprechenden BCH-Erweiterung) einfach

$e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.$ ⓘ

(Natürlich, wenn ${\hat {n}}$ parallel ist zu ${\hat {m}}$ist, so ist ${\hat {k}}$, und c = a + b.) ⓘ

Adjungierte Wirkung

Es ist ebenfalls einfach, die adjungierte Wirkung auf den Pauli-Vektor zu berechnen, nämlich die Drehung um einen beliebigen Winkel $a$ entlang einer beliebigen Achse ${\hat {n}}$:

$R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.$ ⓘ

Nimmt man das Punktprodukt eines beliebigen Einheitsvektors mit der obigen Formel, so erhält man den Ausdruck für jeden einzelnen Qubit-Operator unter einer beliebigen Drehung. Es kann zum Beispiel gezeigt werden, dass ${\textstyle R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}}$. ⓘ

Vollständigkeitsrelation

Eine alternative Notation, die üblicherweise für die Pauli-Matrizen verwendet wird, besteht darin, den Vektorindex k hochzustellen und die Matrixindizes als tiefgestellte Indizes zu schreiben, so dass das Element in Zeile α und Spalte β der k-ten Pauli-Matrix σ k_αβ ist. ⓘ

In dieser Schreibweise kann die Vollständigkeitsrelation für die Pauli-Matrizen geschrieben werden

${\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\,\delta _{\gamma \delta }~.$ ⓘ

Beweis

Die Tatsache, dass die Pauli-Matrizen zusammen mit der Identitätsmatrix I eine orthogonale Basis für den Hilbert-Raum aller 2 × 2 komplexen Matrizen bilden, bedeutet, dass wir jede Matrix M ausdrücken können als

$$M=c\,I+\sum _{k}a_{k}\,\sigma ^{k}$$

wobei c eine komplexe Zahl und a ein komplexer 3-Komponenten-Vektor ist. Mit Hilfe der oben aufgeführten Eigenschaften lässt sich leicht zeigen, dass

$$\operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\,\delta _{jk}$$

wobei "tr" für die Spur steht, und somit, dass

$${\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,M\,,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}\,M~.\end{aligned}}\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M~,\end{aligned}}$$

die in Form von Matrixindizes wie folgt umgeschrieben werden kann

$$2\,M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\,M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}\,M_{\delta \gamma }~,$$

wobei die Summation über die wiederholten Indizes γ und δ impliziert. Da dies für jede Wahl der Matrix M gilt, folgt die Vollständigkeitsbeziehung wie oben angegeben. Q.E.D. ⓘ

Wie oben erwähnt, ist es üblich, die 2 × 2 Einheitsmatrix mit σ₀ zu bezeichnen, so dass σ⁰_αβ = δ_αβ. Die Vollständigkeitsbeziehung kann alternativ wie folgt ausgedrückt werden

$$\sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\,\sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\,\delta _{\alpha \delta }\,\delta _{\beta \gamma }~.$$

ⓘ

Die Tatsache, dass alle hermiteschen komplexen 2 × 2-Matrizen durch die Identitätsmatrix und die Pauli-Matrizen ausgedrückt werden können, führt auch zur Bloch-Sphären-Darstellung der 2 × 2-Dichtematrix der gemischten Zustände (positiv semidefinite 2 × 2-Matrizen mit Einheitsspur). Dies wird deutlich, wenn man zunächst eine beliebige hermitesche Matrix wie oben als reelle Linearkombination von {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃} ausdrückt und dann die Bedingungen der positiven Halbfinitheit und der Spur 1 einhält. ⓘ

Für einen reinen Zustand, in Polarkoordinaten,

$${\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},$$

die idempotente Dichtematrix

$${\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$$

ⓘ

auf den Eigenvektor des Zustands ${\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{+i\phi }\,\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}$ mit dem Eigenwert +1, sie wirkt also wie ein Projektionsoperator. ⓘ

Zusammenhang mit dem Permutationsoperator

P_jk sei die Transposition (auch Permutation genannt) zwischen zwei Spins σ_j und σk, die im Tensorprodu_ktraum $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$,

$P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle ~.$ ⓘ

Dieser Operator kann auch expliziter als Diracs Spinaustauschoperator geschrieben werden,

$P_{jk}={\frac {1}{2}}\,\left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.$ ⓘ

Seine Eigenwerte sind also 1 oder -1. Er kann daher als Wechselwirkungsterm in einem Hamiltonian verwendet werden, indem die Energieeigenwerte seiner symmetrischen und antisymmetrischen Eigenzustände aufgeteilt werden. ⓘ

SU(2)

Die Gruppe SU(2) ist die Lie-Gruppe der unitären 2 × 2-Matrizen mit Einheitsdeterminante; ihre Lie-Algebra ist die Menge aller 2 × 2 antihermitischen Matrizen mit der Spur 0. Eine direkte Berechnung wie oben zeigt, dass die Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}_{2}$ die 3-dimensionale reelle Algebra ist, die von der Menge {iσk} aufgespannt wird. In kompakter Schreibweise,

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}~.$ ⓘ

Folglich kann jedes iσj als infinitesimaler Generator von SU(2) betrachtet werden. Die Elemente von SU(2) sind Exponentiale von Linearkombinationen dieser drei Generatoren und multiplizieren sich wie oben bei der Erörterung des Pauli-Vektors angegeben. Obwohl dies ausreicht, um SU(2) zu erzeugen, ist es keine korrekte Darstellung von SU(2), da die Pauli-Eigenwerte unkonventionell skaliert sind. Die konventionelle Normierung ist λ = 1/2, so dass

${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\,i\,\sigma _{1}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{2}\,}{2}},{\frac {\,i\,\sigma _{3}\,}{2}}\right\}~.$ ⓘ

Da SU(2) eine kompakte Gruppe ist, ist ihre Cartan-Zerlegung trivial. ⓘ

SO(3)

Die Lie-Algebra ${\mathfrak {su}}(2)$ ist isomorph zur Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(3)$die der Lie-Gruppe SO(3), der Gruppe der Rotationen im dreidimensionalen Raum, entspricht. Mit anderen Worten kann man sagen, dass die iσ_j eine Realisierung (und zwar die niedrigstdimensionale Realisierung) von infinitesimalen Drehungen im dreidimensionalen Raum sind. Aber auch wenn ${\mathfrak {su}}(2)$ und ${\mathfrak {so}}(3)$ als Lie-Algebren isomorph sind, sind SU(2) und SO(3) als Lie-Gruppen nicht isomorph. SU(2) ist eigentlich eine doppelte Abdeckung von SO(3), was bedeutet, dass es einen Zwei-zu-Eins-Gruppenhomomorphismus von SU(2) zu SO(3) gibt, siehe Beziehung zwischen SO(3) und SU(2). ⓘ

Die Quaternionen als Unterring von C4

(Unter)ring ist aber ein anderer Untervektorraum von $\mathbb {C} ^{4}$, der sich durch Koeffizienten $z_{0}\in \mathbb {R} ,$ $z_{1}\in \mathrm {i} \mathbb {R} ,$ $z_{2}\in \mathrm {i} \mathbb {R} ,$ $z_{3}\in \mathrm {i} \mathbb {R}$ von $(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})$ aufspannen lässt. Er ist ebenfalls mit der $\mathbb {R}$-Skalarmultiplikation verträglich und zusätzlich hinsichtlich der Multiplikation $\star$ abgeschlossen. Dieser $\mathbb {R}$-Untervektorraum ist isomorph zu den Quaternionen $\mathbb {H}$. ⓘ

Als Basis für reelle Koeffizienten kann man die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix nehmen, also die Menge $\{\sigma _{0},\mathrm {i} \sigma _{1},\mathrm {i} \sigma _{2},\mathrm {i} \sigma _{3}\}$, mit der isomorphen Zuordnung:

$1\mapsto \sigma _{0},\quad i_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{1},\quad j_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{2},\quad k_{\mathbb {H} }\mapsto -\mathrm {i} \sigma _{3},$

mit $i_{\mathbb {H} },j_{\mathbb {H} },k_{\mathbb {H} }$ als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q₈ schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:

$1\mapsto \sigma _{0},\quad i_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{3},\quad j_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{2},\quad k_{\mathbb {H} }\mapsto +\mathrm {i} \sigma _{1}.$ ⓘ

Alternativ kann die Isomorphie auch durch eine Abbildung erreicht werden, die die Pauli-Matrizen in umgekehrter Reihenfolge verwendet,

$\mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.$ ⓘ

Da die Menge der Versoren U ⊂ $\mathbb {H}$ eine zu SU(2) isomorphe Gruppe bildet, bietet U eine weitere Möglichkeit zur Beschreibung von SU(2). Der Zwei-zu-Eins-Homomorphismus von SU(2) zu SO(3) kann in dieser Formulierung durch die Pauli-Matrizen angegeben werden. ⓘ

Physik

Die Pauli-Matrizen lauten ursprünglich:

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Hierbei bezeichnet $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit. Die Matrizen wurden ursprünglich in der Quantenmechanik eingeführt, um die grundlegenden Kommutationsregeln der Komponenten des Spin-Operators zu erfüllen (siehe unten). Häufig wird, besonders in der relativistischen Quantenmechanik, noch die Einheitsmatrix als nullte Paulimatrix dazugenommen:

$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik sind die Pauli-Matrizen im Zusammenhang mit den Cayley-Klein-Parametern nützlich. Die Matrix P, die der Position ${\vec {x}}$ eines Punktes im Raum entspricht, ist durch die obige Pauli-Vektormatrix definiert,

$P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}~.$ ⓘ

Folglich kann die Transformationsmatrix Q_θ für Drehungen um die x-Achse um einen Winkel θ in Form von Pauli-Matrizen und der Einheitsmatrix geschrieben werden als

$Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\,\sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}~.$ ⓘ

Ähnliche Ausdrücke ergeben sich für allgemeine Pauli-Vektor-Drehungen, wie oben beschrieben. ⓘ

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik ist jede Pauli-Matrix mit einem Drehimpulsoperator verbunden, der einer Beobachtungsgröße entspricht, die den Spin eines Teilchens mit Spin 1⁄2 in jeder der drei Raumrichtungen beschreibt. Als unmittelbare Folge der oben erwähnten Cartan-Zerlegung sind iσj die Generatoren einer projektiven Darstellung (Spin-Darstellung) der Rotationsgruppe SO(3), die auf nichtrelativistische Teilchen mit Spin 1⁄2 wirkt. Die Zustände der Teilchen werden als Zweikomponenten-Spinoren dargestellt. Auf dieselbe Weise sind die Pauli-Matrizen mit dem Isospin-Operator verbunden. ⓘ

Eine interessante Eigenschaft von Teilchen mit Spin 1⁄2 ist, dass sie um einen Winkel von 4π gedreht werden müssen, um in ihre ursprüngliche Konfiguration zurückzukehren. Dies ist auf die oben erwähnte Zwei-zu-Eins-Korrespondenz zwischen SU(2) und SO(3) zurückzuführen sowie auf die Tatsache, dass man sich den Spin nach oben/unten zwar als Nord-/Südpol auf der 2-Sphäre S² vorstellt, er aber in Wirklichkeit durch orthogonale Vektoren im zweidimensionalen komplexen Hilbert-Raum dargestellt wird. ⓘ

Für ein Teilchen mit Spin 1⁄2 ist der Spin-Operator gegeben durch J = ħ/2σ, die fundamentale Darstellung von SU(2). Durch wiederholte Bildung von Kronecker-Produkten dieser Darstellung mit sich selbst kann man alle höheren irreduziblen Darstellungen konstruieren. Das heißt, die resultierenden Spinoperatoren für höhere Spinsysteme in drei Raumdimensionen für beliebig große j können mit Hilfe dieses Spinoperators und der Leiteroperatoren berechnet werden. Sie sind zu finden in Rotationsgruppe SO(3) § A note on Lie algebras. Die analoge Formel zur obigen Verallgemeinerung der Euler'schen Formel für Pauli-Matrizen, das Gruppenelement in Form von Spin-Matrizen, ist nachvollziehbar, aber weniger einfach. ⓘ

Ebenfalls nützlich für die Quantenmechanik von Vielteilchensystemen ist die Definition der allgemeinen Pauli-Gruppe Gn, die aus allen n-fachen Tensorprodukten von Pauli-Matrizen besteht. ⓘ

Relativistische Quantenmechanik

In der relativistischen Quantenmechanik sind die Spinoren in vier Dimensionen 4 × 1 (oder 1 × 4) Matrizen. Daher müssen die Pauli-Matrizen oder die Sigma-Matrizen, die auf diese Spinoren wirken, 4 × 4-Matrizen sein. Sie werden in Form von 2 × 2 Pauli-Matrizen wie folgt definiert

${\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Aus dieser Definition folgt, dass die $\;{\mathsf {\Sigma }}_{k}\;$ Matrizen die gleichen algebraischen Eigenschaften haben wie die σk-Matrizen. ⓘ

Der relativistische Drehimpuls ist jedoch kein Dreivektor, sondern ein Viertensor zweiter Ordnung. Daher muss ${\mathsf {\Sigma }}_{k}$ durch Σ_μν, den Generator der Lorentz-Transformationen auf Spinoren, ersetzt werden. Durch die Antisymmetrie des Drehimpulses sind die Σ_μν auch antisymmetrisch. Daher gibt es nur sechs unabhängige Matrizen. ⓘ

Die ersten drei sind die $\;\Sigma _{jk}\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}~.$ Die übrigen drei, $\;-i\,\Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\;,$ wobei die Dirac-Matrizen α_k wie folgt definiert sind ⓘ

${\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}~.$ ⓘ

Die relativistischen Spin-Matrizen Σ_μν werden in kompakter Form als Kommutator der Gamma-Matrizen geschrieben als

$\Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\right]~.$ ⓘ

Quanteninformation

In der Quanteninformation sind Ein-Qubit-Quantengatter 2 × 2 unitäre Matrizen. Die Pauli-Matrizen sind einige der wichtigsten Ein-Qubit-Operationen. In diesem Zusammenhang wird die oben angegebene Cartan-Zerlegung als "Z-Y-Zerlegung eines Ein-Qubit-Gatters" bezeichnet. Wählt man ein anderes Cartan-Paar, erhält man eine ähnliche "X-Y-Zerlegung eines Ein-Qubit-Gatters". ⓘ

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit $\mathrm {i}$ multiplizierten Pauli-Matrizen $\mathrm {i} \,\sigma _{1},\,\mathrm {i} \,\sigma _{2},\,\mathrm {i} \,\sigma _{3}$ ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra. Aufgrund der mit ${\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,=n_{1}\sigma _{1}+n_{2}\sigma _{2}+n_{3}\sigma _{3}$ für jeden Einheitsvektor ${\vec {n}}\in \mathbb {R} ^{3}$ geltenden Identität

$\exp \left(-\mathrm {i} \,{\tfrac {\alpha }{2}}{\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{0}\,\cos {\tfrac {\alpha }{2}}-\mathrm {i} \,({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\,\sin {\tfrac {\alpha }{2}}$

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe $SU(2)$. ⓘ

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen $S_{i}={\tfrac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$ die Operatoren für die Spinkomponenten eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) dar. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. $\alpha$ ist dabei der Drehwinkel, ${\vec {n}}$ die Drehachse. Für $\alpha =2\pi$ ergibt sich $\exp {\bigl (}\!\!-\mathrm {i} \,\pi \;{\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }}{\bigr )}=-\sigma _{0}$; d. h. der Zustandsvektor eines Spin-1/2-Systems wird durch Drehung um den Winkel $2\pi$ in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel $4\pi$ wieder in sich selbst übergeführt („Spinordrehungen“). ⓘ

Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

In der Mathematik können mit Hilfe des Tensorprodukts (Kronecker-Produkts) von Pauli-Matrizen (mit Einheitsmatrix) die Darstellungen der höheren Clifford-Algebren über den reellen Zahlen aufgebaut werden. ⓘ

Pauli-Matrizen können zur Darstellung von Hamilton-Operatoren und zur Näherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden. Sind $\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

$p:=\sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}\quad ;\quad \mu _{1},\mu _{2},...,\mu _{n}\in \{0,1,2,3\}\quad ;\quad n\in \mathbb {N}$

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind $p_{1}$ und $p_{2}$ zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

• $p_{1},p_{2}$ sind $2^{n}\times 2^{n}$ Matrizen
• $p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=1\qquad$ (Die $2^{n}\times 2^{n}$ Einheitsmatrix)
• $p_{1}p_{2}=p_{2}p_{1}$ oder $p_{1}p_{2}=-p_{2}p_{1}\qquad$ (Kommutativität)
• $\operatorname {Spur} \sigma _{\mu _{1}}\otimes \sigma _{\mu _{2}}\otimes ...\otimes \sigma _{\mu _{n}}=2^{n}\delta _{\mu _{1},0}\delta _{\mu _{2},0}...\delta _{\mu _{n},0}$
• Die Kronecker-Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängig und bilden eine Basis im Vektorraum der $2^{n}\times 2^{n}$-Matrizen. Hamilton-Operatoren $H$ vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrücken (Linearkombination). Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.

$H=\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}\quad$ mit $\quad N\in \mathbb {N} ,h_{k}\in \mathbb {R} ,p_{k}$ ist Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen. ⓘ

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell und Anderson-Modell. ⓘ

Das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen tritt bei der Beschreibung von Spin-1/2-Systemen auf, die aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind. Der Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass das Tensorprodukt zweier Operatoren in der zugehörigen Matrixdarstellung gerade durch das Kronecker-Produkt der Matrizen gegeben ist (siehe Kronecker-Produkt#Zusammenhang mit Tensorprodukten). ⓘ

Näherung der Exponentialfunktion des Hamilton-Operators

Häufig interessiert man sich für die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators.

$\exp\{-\beta H\}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-\beta )^{l}}{l!}}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}h_{k}p_{k}{\biggr )}^{l}$   mit   $\beta \in \mathbb {R}$

Aufgrund der Kommutativität kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen. Ist $\pi$ eine Permutation, so ist:

$p_{\pi _{1}}p_{\pi _{2}}...p_{\pi _{n}}=ap_{1}p_{2}...p_{n}$   mit   $n\in \mathbb {N} ,a\in \{1,-1\}$

Deshalb existieren rationale Zahlen $E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}$ mit:

$\exp\{-\beta H\}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum _{k_{N}=0}^{\infty }E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}(-\beta h_{1})^{k_{1}}(-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{N}^{k_{N}}$

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen. ⓘ

Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}=0$ falls ein Paar $1\leq a,b\leq N$ mit $p_{a}p_{b}=-p_{b}p_{a}$ und $k_{a},k_{b}>0$ existiert

$E_{k_{1}k_{2}...k_{N}}={\frac {1}{k_{1}!}}{\frac {1}{k_{2}!}}...{\frac {1}{k_{N}!}}$ sonst

Die Näherung lässt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, … von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt. ⓘ