Homomorphismus

In der Algebra ist ein Homomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs (z. B. zwei Gruppen, zwei Ringe oder zwei Vektorräume). Das Wort Homomorphismus stammt aus dem Altgriechischen: ὁμός (homos) bedeutet "gleich" und μορφή (morphe) bedeutet "Form" oder "Gestalt". Das Wort wurde jedoch offenbar durch eine (falsche) Übersetzung des deutschen Wortes ähnlich" in ὁμός für gleich" in die Mathematik eingeführt. Der Begriff "Homomorphismus" tauchte bereits 1892 auf, als er dem deutschen Mathematiker Felix Klein (1849-1925) zugeschrieben wurde. ⓘ

Homomorphismen von Vektorräumen werden auch als lineare Abbildungen bezeichnet, und ihre Untersuchung ist Gegenstand der linearen Algebra. ⓘ

Das Konzept des Homomorphismus wurde unter dem Namen Morphismus auf viele andere Strukturen verallgemeinert, denen entweder keine Menge zugrunde liegt oder die nicht algebraisch sind. Diese Verallgemeinerung ist der Ausgangspunkt der Kategorientheorie. ⓘ

Ein Homomorphismus kann auch ein Isomorphismus, ein Endomorphismus, ein Automorphismus usw. sein (siehe unten). Jeder dieser Homomorphismen kann so definiert werden, dass er auf jede Klasse von Morphismen verallgemeinert werden kann. ⓘ

Als Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriechisch ὁμός homós ‚gleich‘, und altgriechisch μορφή morphé ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus) werden in der Mathematik Abbildungen bezeichnet, die eine (oft algebraische) mathematische Struktur erhalten bzw. damit verträglich (strukturtreu) sind. Ein Homomorphismus bildet die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge ab, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Struktur der Ausgangsmenge verhalten. ⓘ

Definition

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen desselben Typs (d. h. desselben Namens), bei der die Operationen der Strukturen erhalten bleiben. Dies bedeutet eine Abbildung $f:A\to B$ zwischen zwei Mengen $A$, $B$ die mit der gleichen Struktur ausgestattet sind, so dass, wenn $\cdot$ eine Operation der Struktur ist (zur Vereinfachung wird hier angenommen, dass es sich um eine binäre Operation handelt), dann

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

für jedes Paar $x$, $y$ von Elementen von $A$. Man sagt oft, dass $f$ die Operation bewahrt oder mit der Operation kompatibel ist. ⓘ

Formal gilt, dass eine Abbildung $f:A\to B$ bewahrt eine Operation $\mu$ der Arität k, die sowohl auf $A$ und $B$ wenn

$f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),$

für alle Elemente $a_{1},...,a_{k}$ in $A$. ⓘ

Zu den Operationen, die durch einen Homomorphismus erhalten bleiben müssen, gehören auch 0-äre Operationen, d. h. die Konstanten. Insbesondere, wenn ein Identitätselement durch den Typ der Struktur erforderlich ist, muss das Identitätselement der ersten Struktur auf das entsprechende Identitätselement der zweiten Struktur abgebildet werden. ⓘ

Ein Beispiel:

• Ein Halbgruppenhomomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Halbgruppen, bei der die Halbgruppenoperation erhalten bleibt.
• Ein Monoid-Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen Monoiden, die die Monoid-Operation beibehält und das Identitätselement des ersten Monoids auf das des zweiten Monoids abbildet (das Identitätselement ist eine 0-äre Operation).
• Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Gruppen, die die Gruppenoperation beibehält. Dies bedeutet, dass der Gruppenhomomorphismus das Identitätselement der ersten Gruppe auf das Identitätselement der zweiten Gruppe abbildet und die Umkehrung eines Elements der ersten Gruppe auf die Umkehrung des Bildes dieses Elements abbildet. Somit ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen Gruppen notwendigerweise ein Gruppenhomomorphismus.
• Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung zwischen Ringen, die die Ringaddition, die Ringmultiplikation und die multiplikative Identität bewahrt. Ob die multiplikative Identität erhalten bleibt, hängt von der verwendeten Definition des Rings ab. Bleibt die multiplikative Identität nicht erhalten, handelt es sich um einen rng-Homomorphismus.
• Eine lineare Abbildung ist ein Homomorphismus von Vektorräumen, d. h. ein Gruppenhomomorphismus zwischen Vektorräumen, der die Struktur der abelschen Gruppe und die Skalarmultiplikation bewahrt.
• Ein Modulhomomorphismus, auch lineare Abbildung zwischen Modulen genannt, ist ähnlich definiert.
• Ein Algebra-Homomorphismus ist eine Abbildung, die die Algebra-Operationen beibehält. ⓘ

Eine algebraische Struktur kann mehr als eine Operation haben, und ein Homomorphismus muss jede Operation bewahren. Eine Abbildung, bei der nur einige der Operationen erhalten bleiben, ist also kein Homomorphismus der Struktur, sondern nur ein Homomorphismus der Substruktur, die man erhält, wenn man nur die erhaltenen Operationen betrachtet. Zum Beispiel ist eine Abbildung zwischen Monoiden, die die Monoid-Operation und nicht das Identitätselement bewahrt, kein Monoid-Homomorphismus, sondern nur ein Halbgruppen-Homomorphismus. ⓘ

Die Notation für die Operationen muss in der Quelle und im Ziel eines Homomorphismus nicht identisch sein. Beispielsweise bilden die reellen Zahlen eine Gruppe für die Addition, und die positiven reellen Zahlen bilden eine Gruppe für die Multiplikation. Die Exponentialfunktion

$x\mapsto e^{x}$

erfüllt die Bedingung

$e^{x+y}=e^{x}e^{y},$

und ist somit ein Homomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen. Sie ist sogar ein Isomorphismus (siehe unten), da ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus, die Bedingung

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),$

und ist ebenfalls ein Gruppenhomomorphismus. ⓘ

Der Begriff erfährt auch eine Verallgemeinerung für heterogene Algebren, siehe Heterogene Algebra: Homomorphismen. ⓘ

Beispiele

Monoider Homomorphismus $f$ vom Monoid (N, +, 0) zum Monoid (N, ×, 1), definiert durch $f(x)=2^{x}$. Er ist injektiv, aber nicht surjektiv. ⓘ

Die reellen Zahlen sind ein Ring, der sowohl Addition als auch Multiplikation kennt. Die Menge aller 2×2-Matrizen ist ebenfalls ein Ring und unterliegt der Matrixaddition und -multiplikation. Wenn wir eine Funktion zwischen diesen Ringen wie folgt definieren:

$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}$

wobei r eine reelle Zahl ist, dann ist f ein Homomorphismus der Ringe, da f sowohl die Addition als auch die Multiplikation bewahrt:

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)$

und Multiplikation:

$f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).$ ⓘ

Ein weiteres Beispiel: Die komplexen Zahlen ungleich Null bilden eine Gruppe unter der Operation der Multiplikation, ebenso wie die reellen Zahlen ungleich Null. (Die Null muss aus beiden Gruppen ausgeschlossen werden, da sie keine multiplikative Umkehrung hat, die für Elemente einer Gruppe erforderlich ist.) Definieren Sie eine Funktion $f$ von den komplexen Zahlen ungleich Null zu den reellen Zahlen ungleich Null durch

$f(z)=|z|.$

Das heißt, $f$ ist der Absolutwert (oder Modulus) der komplexen Zahl $z$. Dann ist $f$ ein Homomorphismus von Gruppen, da er die Multiplikation bewahrt:

$f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).$

Man beachte, dass f nicht zu einem Homomorphismus von Ringen (von den komplexen Zahlen zu den reellen Zahlen) erweitert werden kann, da er die Addition nicht bewahrt:

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$ ⓘ

Als weiteres Beispiel zeigt das Diagramm einen Monoidhomomomorphismus $f$ vom Monoid $(\mathbb {N} ,+,0)$ zu dem Monoid $(\mathbb {N} ,\times ,1)$. Aufgrund der unterschiedlichen Namen der entsprechenden Operationen sind die Strukturerhaltungseigenschaften, die von $f$ erfüllen, auf $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ und $f(0)=1$. ⓘ

Eine Kompositionsalgebra $A$ über einem Feld $F$ hat eine quadratische Form, die Norm genannt wird, $N:A\to F$, die ein Gruppenhomomorphismus von der multiplikativen Gruppe von $A$ zu der multiplikativen Gruppe von $F$. ⓘ

Besondere Homomorphismen

Mehrere Arten von Homomorphismen haben einen speziellen Namen, der auch für allgemeine Morphismen definiert ist. ⓘ

Isomorphismus

Ein Isomorphismus zwischen algebraischen Strukturen desselben Typs wird gemeinhin als bijektiver Homomorphismus definiert. ⓘ

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie ist ein Isomorphismus definiert als ein Morphismus, der eine Umkehrung hat, die ebenfalls ein Morphismus ist. Im speziellen Fall algebraischer Strukturen sind die beiden Definitionen äquivalent, obwohl sie sich für nicht-algebraische Strukturen, die eine zugrunde liegende Menge haben, unterscheiden können. ⓘ

Genauer gesagt, wenn

$f:A\to B$

ein (Homo)morphismus ist, hat er ein Inverses, wenn es einen Homomorphismus

$g:B\to A$

derart, dass

$f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$ ⓘ

Wenn $A$ und $B$ zugrundeliegende Mengen haben, und $f:A\to B$ eine Umkehrung hat $g$, dann $f$ bijektiv. In der Tat $f$ injektiv, da $f(x)=f(y)$ impliziert $x=g(f(x))=g(f(y))=y$, und $f$ ist surjektiv, denn für jede $x$ in $B$hat man $x=f(g(x))$, und $x$ das Bild eines Elements von $A$. ⓘ

Umgekehrt, wenn $f:A\to B$ ein bijektiver Homomorphismus zwischen algebraischen Strukturen ist, sei $g:B\to A$ die Abbildung sein, so dass $g(y)$ das einzige Element $x$ von ist. $A$ derart, dass $f(x)=y$. Man hat $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},$ und es bleibt nur zu zeigen, dass g ein Homomorphismus ist. Wenn $*$ eine binäre Operation der Struktur ist, ist für jedes Paar $x$, $y$ von Elementen von $B$hat man

$g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),$

und $g$ ist also kompatibel mit $*.$ Da der Beweis für jede Arität ähnlich ist, zeigt dies, dass $g$ ein Homomorphismus ist. ⓘ

Dieser Beweis funktioniert nicht für nicht-algebraische Strukturen. Für topologische Räume zum Beispiel ist ein Morphismus eine stetige Abbildung, und die Umkehrung einer bijektiven stetigen Abbildung ist nicht notwendigerweise stetig. Ein Isomorphismus topologischer Räume, auch Homöomorphismus oder bikontinuierliche Abbildung genannt, ist somit eine bijektive kontinuierliche Abbildung, deren Inverse ebenfalls kontinuierlich ist. ⓘ

Falls $\phi \colon G\to H$ ein bijektiver Homomorphismus ist, dann ist auch $\phi ^{-1}\colon H\to G$ ein Homomorphismus. Man sagt in diesem Fall, dass $\phi$ und $\phi ^{-1}$ Isomorphismen sind. ⓘ

Endomorphismus

Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus, dessen Domäne gleich der Codomäne ist, oder, allgemeiner, ein Morphismus, dessen Quelle gleich seinem Ziel ist. ⓘ

Die Endomorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden ein Monoid unter Komposition. ⓘ

Die Endomorphismen eines Vektorraums oder eines Moduls bilden einen Ring. Im Falle eines Vektorraums oder eines freien Moduls endlicher Dimension induziert die Wahl einer Basis einen Ringisomorphismus zwischen dem Ring der Endomorphismen und dem Ring der quadratischen Matrizen derselben Dimension. ⓘ

Automorphismus

Ein Automorphismus ist ein Endomorphismus, der auch ein Isomorphismus ist. ⓘ

Die Automorphismen einer algebraischen Struktur oder eines Objekts einer Kategorie bilden eine Gruppe unter Komposition, die als Automorphismengruppe der Struktur bezeichnet wird. ⓘ

Viele Gruppen, die einen Namen erhalten haben, sind Automorphismengruppen einer algebraischen Struktur. Zum Beispiel ist die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} _{n}(k)$ ist die Automorphismengruppe eines Vektorraums der Dimension $n$ über einem Feld $k$. ⓘ

Die Automorphismengruppen von Feldern wurden von Évariste Galois zur Untersuchung der Wurzeln von Polynomen eingeführt und bilden die Grundlage der Galois-Theorie. ⓘ

Monomorphismus

Für algebraische Strukturen werden Monomorphismen üblicherweise als injektive Homomorphismen definiert. ⓘ

Im allgemeineren Kontext der Kategorientheorie ist ein Monomorphismus definiert als ein Morphismus, der links aufhebbar ist. Das bedeutet, dass ein (Homo)morphismus $f:A\to B$ ein Monomorphismus ist, wenn für jedes Paar $g$, $h$ von Morphismen von jedem anderen Objekt $C$ zu $A$, dann $f\circ g=f\circ h$ impliziert $g=h$. ⓘ

Diese beiden Definitionen von Monomorphismus sind für alle gängigen algebraischen Strukturen äquivalent. Genauer gesagt sind sie äquivalent für Felder, für die jeder Homomorphismus ein Monomorphismus ist, und für Varietäten der universellen Algebra, d. h. algebraische Strukturen, für die Operationen und Axiome (Identitäten) ohne jegliche Einschränkung definiert sind (die Felder bilden keine Varietät, da die multiplikative Inverse entweder als unäre Operation oder als Eigenschaft der Multiplikation definiert ist, die in beiden Fällen nur für Elemente ungleich Null definiert sind). ⓘ

Insbesondere sind die beiden Definitionen eines Monomorphismus äquivalent für Mengen, Magmen, Halbgruppen, Monoide, Gruppen, Ringe, Felder, Vektorräume und Module. ⓘ

Ein gespaltener Monomorphismus ist ein Homomorphismus, der eine linke Inverse hat und somit selbst eine rechte Inverse dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus $f\colon A\to B$ ist ein gespaltener Monomorphismus, wenn es einen Homomorphismus $g\colon B\to A$ derart, dass $g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.$ Ein gespaltener Monomorphismus ist immer ein Monomorphismus, und zwar für beide Bedeutungen von Monomorphismus. Für Mengen und Vektorräume ist jeder Monomorphismus ein gespaltener Monomorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten algebraischen Strukturen. ⓘ

Beweis der Äquivalenz der beiden Definitionen von Monomorphismen ⓘ

Ein injektiver Homomorphismus ist links aufhebbar: Wenn $f\circ g=f\circ h,$ hat man $f(g(x))=f(h(x))$ für jede $x$ in $C$, die gemeinsame Quelle von $g$ und $h$. Wenn $f$ injektiv ist, dann $g(x)=h(x)$, und somit $g=h$. Dieser Beweis gilt nicht nur für algebraische Strukturen, sondern auch für jede Kategorie, deren Objekte Mengen und Pfeile Abbildungen zwischen diesen Mengen sind. Zum Beispiel ist eine injektive stetige Abbildung ein Monomorphismus in der Kategorie der topologischen Räume. Um zu beweisen, dass umgekehrt ein linksaufhebbarer Homomorphismus injektiv ist, ist es nützlich, ein freies Objekt auf $x$. Bei einer Vielzahl von algebraischen Strukturen ist ein freies Objekt auf $x$ ist ein Paar, das aus einer algebraischen Struktur $L$ dieser Sorte und einem Element $x$ von ist. $L$ das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt: für jede Struktur $S$ der Sorte und jedes Element $s$ von ist. $S$gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $f:L\to S$ derart, dass $f(x)=s$. Zum Beispiel ist für Mengen das freie Objekt auf $x$ einfach $\{x\}$; für Halbgruppen ist das freie Objekt auf $x$ ist $\{x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ das als Halbgruppe isomorph zur additiven Halbgruppe der positiven ganzen Zahlen ist; für Monoide ist das freie Objekt auf $x$ ist $\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ das als Monoid isomorph zum additiven Monoid der nichtnegativen ganzen Zahlen ist; für Gruppen ist das freie Objekt auf $x$ ist die unendliche zyklische Gruppe $\{\ldots ,x^{-n},\ldots ,x^{-1},1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \},$ die, als Gruppe, isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen ist; für Ringe ist das freie Objekt auf $x$ der Polynomring $\mathbb {Z} [x];$ für Vektorräume oder Module ist das freie Objekt auf $x$ der Vektorraum oder das freie Modul, das $x$ als Basis hat. Wenn ein freies Objekt über $x$ existiert, dann ist jeder linksaufhebbare Homomorphismus injektiv: Sei $f\colon A\to B$ sei ein linker aufhebbarer Homomorphismus und $a$ und $b$ seien zwei Elemente von $A$ solche $f(a)=f(b)$. Durch die Definition des freien Objekts $F$gibt es Homomorphismen $g$ und $h$ von $F$ zu $A$ derart, dass $g(x)=a$ und $h(x)=b$. Wie $f(g(x))=f(h(x))$hat man $f\circ g=f\circ h,$ durch die Einzigartigkeit in der Definition einer universellen Eigenschaft. Da $f$ links aufhebbar ist, hat man $g=h$, und somit $a=b$. Daher ist, $f$ injektiv. Das Vorhandensein eines freien Objekts auf $x$ für eine Sorte (siehe auch Free object § Existence): Zur Bildung eines freien Objekts über $x$betrachtet man die Menge $W$ der wohlgeformten Formeln, die aus $x$ und die Operationen der Struktur. Zwei solche Formeln werden als äquivalent bezeichnet, wenn man durch Anwendung der Axiome (Identitäten der Struktur) von der einen zur anderen übergehen kann. Dies definiert eine Äquivalenzrelation, wenn die Identitäten nicht an Bedingungen geknüpft sind, d.h. wenn man mit einer Varietät arbeitet. Dann sind die Operationen der Varietät gut definiert auf der Menge der Äquivalenzklassen von $W$ für diese Beziehung. Es ist einfach zu zeigen, dass das resultierende Objekt ein freies Objekt ist auf $x$.

Epimorphismus

In der Algebra werden Epimorphismen häufig als surjektive Homomorphismen definiert. In der Kategorientheorie hingegen sind Epimorphismen als rechts aufhebbare Morphismen definiert. Das bedeutet, dass ein (Homo)morphismus $f:A\to B$ ein Epimorphismus ist, wenn für jedes Paar $g$, $h$ von Morphismen von $B$ zu einem beliebigen anderen Objekt $C$die Gleichheit $g\circ f=h\circ f$ impliziert $g=h$. ⓘ

Ein surjektiver Homomorphismus ist immer rechts aufhebbar, aber das Umgekehrte gilt nicht immer für algebraische Strukturen. Die beiden Definitionen von Epimorphismus sind jedoch äquivalent für Mengen, Vektorräume, abelsche Gruppen, Module (Beweis siehe unten) und Gruppen. Die Bedeutung dieser Strukturen in der gesamten Mathematik, insbesondere in der linearen Algebra und der homologischen Algebra, kann die Koexistenz zweier nicht-äquivalenter Definitionen erklären. ⓘ

Zu den algebraischen Strukturen, für die es nicht-surjektive Epimorphismen gibt, gehören Halbgruppen und Ringe. Das einfachste Beispiel ist der Einschluss der ganzen Zahlen in die rationalen Zahlen, der ein Homomorphismus von Ringen und multiplikativen Halbgruppen ist. Für beide Strukturen handelt es sich um einen Monomorphismus und einen nicht-surjektiven Epimorphismus, aber nicht um einen Isomorphismus. ⓘ

Eine weite Verallgemeinerung dieses Beispiels ist die Lokalisierung eines Rings durch eine multiplikative Menge. Jede Lokalisierung ist ein Ringepimorphismus, der im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Da Lokalisierungen in der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung sind, mag dies erklären, warum in diesen Bereichen im Allgemeinen die Definition von Epimorphismen als rechtsaufhebbare Homomorphismen bevorzugt wird. ⓘ

Ein gespaltener Epimorphismus ist ein Homomorphismus, der eine rechte Umkehrung hat und somit selbst eine linke Umkehrung dieses anderen Homomorphismus ist. Das heißt, ein Homomorphismus $f\colon A\to B$ ist ein Split-Epimorphismus, wenn es einen Homomorphismus $g\colon B\to A$ derart, dass $f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.$ Ein gespaltener Epimorphismus ist immer ein Epimorphismus, für beide Bedeutungen von Epimorphismus. Für Mengen und Vektorräume ist jeder Epimorphismus ein Split-Epimorphismus, aber diese Eigenschaft gilt nicht für die meisten algebraischen Strukturen. ⓘ

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass

${\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};$

die letzte Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen, Vektorräume, Module und abelsche Gruppen; die erste Implikation ist eine Äquivalenz für Mengen und Vektorräume.

Äquivalenz der beiden Definitionen des Epimorphismus ⓘ

Sei $f\colon A\to B$ sei ein Homomorphismus. Wir wollen beweisen, dass er, wenn er nicht surjektiv ist, nicht rechts aufhebbar ist. Im Falle von Mengen sei $b$ sei ein Element von $B$ das nicht zu $f(A)$, und definiere $g,h\colon B\to B$ derart, dass $g$ ist die Identitätsfunktion, und dass $h(x)=x$ für jede $x\in B,$ außer, dass $h(b)$ ein beliebiges anderes Element von $B$. Offensichtlich $f$ nicht rechts aufhebbar ist, da $g\neq h$ und $g\circ f=h\circ f.$ Im Fall von Vektorräumen, abelschen Gruppen und Modulen beruht der Beweis auf der Existenz von Kokernen und auf der Tatsache, dass die Nullkarten Homomorphismen sind: Sei $C$ sei das Kokernel von $f$, und $g\colon B\to C$ sei die kanonische Karte, so dass $g(f(A))=0$. Sei $h\colon B\to C$ sei die Nullkarte. Wenn $f$ nicht surjektiv ist, $C\neq 0$, und somit $g\neq h$ (die eine ist eine Nullkarte, die andere nicht). Daher ist $f$ nicht aufhebbar, da $g\circ f=h\circ f$ (beide sind die Nullabbildung von $A$ zu $C$).

Kernel

Jeder Homomorphismus $f:X\to Y$ definiert eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch $a\sim b$ wenn und nur wenn $f(a)=f(b)$. Die Beziehung $\sim$ wird der Kern von $f$. Sie ist eine Kongruenzrelation auf $X$. Die Quotientenmenge $X/{\sim }$ kann dann auf natürliche Weise eine Struktur des gleichen Typs erhalten wie $X$auf natürliche Weise erhalten, indem man die Operationen der Quotientenmenge definiert durch $[x]\ast [y]=[x\ast y]$, für jede Operation $\ast$ von ist. $X$. In diesem Fall ist das Bild von $X$ in $Y$ unter dem Homomorphismus $f$ notwendigerweise isomorph zu $X/\!\sim$; diese Tatsache ist einer der Isomorphiesätze. ⓘ

Wenn die algebraische Struktur eine Gruppe für eine bestimmte Operation ist, genügt die Äquivalenzklasse $K$ des Identitätselements dieser Operation aus, um die Äquivalenzbeziehung zu charakterisieren. In diesem Fall wird der Quotient durch die Äquivalenzrelation mit $X/K$ bezeichnet (gewöhnlich gelesen als "$X$ mod $K$"). Auch in diesem Fall ist es $K$, und nicht $\sim$, der Kern von $f$. Die Kerne von Homomorphismen eines bestimmten Typs algebraischer Strukturen sind natürlich mit einer gewissen Struktur ausgestattet. Dieser Strukturtyp der Kerne ist im Fall von abelschen Gruppen, Vektorräumen und Modulen derselbe wie die betrachtete Struktur, unterscheidet sich aber in anderen Fällen und hat einen spezifischen Namen erhalten, wie normale Untergruppe für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Ideale für Kerne von Ringhomomorphismen (im Fall von nichtkommutativen Ringen sind die Kerne die zweiseitigen Ideale). ⓘ

Wenn $\phi \colon G\to H$ ein Homomorphismus ist, dann ist für jede Untergruppe $U\subseteq G$ auch

$\phi (U):=\left\{\phi (g)\mid g\in U\right\},$

genannt das Bild von $U$ unter $\phi$, eine Untergruppe von $H$. Speziell wird die Untergruppe

$\operatorname {Bild} (\phi ):=\phi (G)\subseteq H$

als Bild von $\phi$ bezeichnet. Weiterhin ist für jede Untergruppe $V\subseteq H$ auch

$\phi ^{-1}[V]:=\phi ^{-1}(V):=\left\{g\in G\mid \phi (g)\in V\right\},$

genannt das Urbild von $V$ unter $\phi$, eine Untergruppe von $G$. Das Urbild der trivialen Gruppe, d. i. die Untergruppe

$\operatorname {Kern} (\phi ):=\phi ^{-1}(e_{H}):=\phi ^{-1}[\{e_{H}\}]\subseteq G,$

wird als Kern von $\phi$ bezeichnet. Sie ist sogar ein Normalteiler. ⓘ

Definition

Es seien ${\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))$ und ${\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))$ zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ $(n_{i}),$ sodass $n_{i}\in \mathbb {N}$ für jedes $i$ die Stelligkeit der Relationen $R_{i}$ und $S_{i}$ bezeichnet. Eine Abbildung $\varphi \colon A\to B$ heißt dann eine homomorphe Abbildung, eine Homomorphie oder ein Homomorphismus von ${\boldsymbol {A}}$ nach ${\boldsymbol {B}},$ wenn sie für jedes $i$ und für alle $a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A$ die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:

$(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Rightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}.$ ⓘ

Schreibweise:

$\varphi \colon {\boldsymbol {A}}\to {\boldsymbol {B}}.$ ⓘ

Da jede Funktion $f\colon A^{n}\to A$ als Relation $f\subset A^{n+1}$ beschrieben werden kann, lässt sich jede algebraische Struktur als relationale Struktur auffassen und die spezielle algebraische Definition ist somit in dieser Definition enthalten. ⓘ

Hat man in obiger Definition bei einem injektiven Homomorphismus sogar die Äquivalenz

$(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Leftrightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}$,

so spricht man von einem starken Homomorphismus. ⓘ

Formale Sprachtheorie

Homomorphismen werden auch in der Theorie der formalen Sprachen verwendet und oft kurz als Morphismen bezeichnet. Gegebene Alphabete $\Sigma _{1}$ und $\Sigma _{2}$, eine Funktion $h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}$ derart, dass $h(uv)=h(u)h(v)$ für alle $u,v\in \Sigma _{1}$ wird als Homomorphismus auf $\Sigma _{1}^{*}$. Wenn $h$ ist ein Homomorphismus auf $\Sigma _{1}^{*}$ und $\varepsilon$ die leere Zeichenkette bezeichnet, dann $h$ heißt ein $\varepsilon$-freier Homomorphismus, wenn $h(x)\neq \varepsilon$ für alle $x\neq \varepsilon$ in $\Sigma _{1}^{*}$. ⓘ

Ein Homomorphismus $h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}$ auf $\Sigma _{1}^{*}$ der die Bedingung $|h(a)|=k$ für alle $a\in \Sigma _{1}$ erfüllt, wird ein $k$-gleichförmiger Homomorphismus. Wenn $|h(a)|=1$ für alle $a\in \Sigma _{1}$ (d.h., $h$ 1-uniform ist), dann $h$ auch eine Kodierung oder eine Projektion genannt. ⓘ

Die Menge $\Sigma ^{*}$ von Wörtern, die aus dem Alphabet $\Sigma$ gebildete Menge von Wörtern kann man sich als das freie Monoid vorstellen, das durch $\Sigma$. Die Operation des Monoids ist hier die Verkettung, und das Identitätselement ist das leere Wort. Aus dieser Perspektive ist ein Sprachhomomorphismus genau ein Monoidhomomorphismus. ⓘ

Homomorphismen algebraischer Strukturen

Beispiele

Klassisches Beispiel von Homomorphismen sind Homomorphismen zwischen Gruppen. Gegeben seien zwei Gruppen $(G,*)$ und $(H,\star ).$ Eine Funktion

$\phi \colon G\to H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle Elemente $g_{1},g_{2}\in G$ gilt:

$\phi (g_{1}*g_{2})=\phi (g_{1})\star \phi (g_{2}).$

Aus dieser Bedingung folgt unmittelbar, dass

$\phi (e_{G})=e_{H}$

für die neutralen Elemente $e_{G}\in G,e_{H}\in H$ und dann

$\phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}$

für alle $g\in G$ gelten muss sowie, mittels vollständiger Induktion, dass

$\phi (g_{1}*\ldots *g_{n})=\phi (g_{1})\star \ldots \star \phi (g_{n})$

für eine beliebige endliche Anzahl von Faktoren gilt. ⓘ

An diesem Beispiel orientieren sich die Definitionen der Homomorphismen verschiedener algebraischer Strukturen:

• Gruppenhomomorphismus
• Ringhomomorphismus
• Körperhomomorphismus
• Vektorraumhomomorphismus (Lineare Abbildung)
• Auswertungshomomorphismus der Termalgebra
• Modulhomomorphismus
• Algebrenhomomorphismus
• Lie-Algebren-Homomorphismus ⓘ

Eigenschaften

Wir formulieren im Folgenden einige grundlegende Eigenschaften von Homomorphismen von Gruppen, die analog auch für die Homomorphismen der anderen algebraischen Strukturen gelten. ⓘ

Homomorphiesatz

Wenn $\phi \colon G\to H$ ein Homomorphismus ist, dann induziert $\phi$ einen Isomorphismus

$G/\operatorname {Kern} (\phi )\cong \operatorname {Bild} (\phi )$

der Quotientengruppe $G/\operatorname {Kern} (\phi )$ auf $\operatorname {Bild} (\phi )$. ⓘ

Homomorphismen relationaler Strukturen

Auch außerhalb der Algebra werden strukturerhaltende Abbildungen oft als Homomorphismen bezeichnet. Die meisten dieser Verwendungen des Begriffs Homomorphismus, einschließlich der oben aufgeführten algebraischen Strukturen, lassen sich unter der folgenden Definition subsumieren. ⓘ

Beispiele

• Homomorphismen algebraischer Strukturen (diese sind auch stets starke Homomorphismen)
• Ordnungshomomorphismus
• Graphenhomomorphismus
• Homomorphismen in der Inzidenzgeometrie, zum Beispiel Homomorphismus projektiver Räume
• Homomorphismus zwischen Modellen ⓘ