Grundrechenart

Symbole der vier Grundrechenarten: Plus, Minus, Mal und Geteilt. ⓘ

Die Grundrechenarten (auch Grundrechnungsarten oder schlicht Rechenarten genannt) sind die vier mathematischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Beherrschung der Grundrechenarten gehört zu den Grundfertigkeiten Lesen, Schreiben und Rechnen, die von Schülern während der Schulzeit zu erwerben sind. ⓘ

Von den vier Grundrechenarten werden in der Arithmetik die Addition und die Multiplikation als Grundoperationen und die Subtraktion und die Division als abgeleitete Operationen angesehen. Für die beiden Grundoperationen gelten eine Reihe von Rechenregeln, wie die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und die Distributivgesetze. In der Algebra werden diese Konzepte dann abstrahiert, um sie auf andere mathematische Objekte übertragen zu können. ⓘ

Die Grundsymbole der Arithmetik. ⓘ

Die Ziffern

Die Ziffern sind die Gesamtheit der Symbole, die zur Darstellung von Zahlen verwendet werden. In einem bestimmten Zahlensystem steht eine einzelne Ziffer für einen anderen Betrag als alle anderen Ziffern, obwohl die Symbole in ein und demselben Zahlensystem in verschiedenen Kulturen unterschiedlich sein können. ⓘ

Im modernen Sprachgebrauch sind die arabischen Ziffern die gebräuchlichste Gruppe von Symbolen, und die am häufigsten verwendete Form dieser Ziffern ist der westliche Stil. Jede einzelne Ziffer, wenn sie als eigenständige Zahl verwendet wird, entspricht den folgenden Beträgen:
0, Null. Wird verwendet, wenn es keine zu zählenden Objekte gibt. So kann man zum Beispiel sagen: "Hier gibt es keine Stöcke", wenn man sagt: "Hier gibt es null Stöcke".
1, eins. Wird auf ein einzelnes Objekt angewendet. Zum Beispiel, hier ist ein Stock: I
2, zwei. Angewandt auf ein Paar von Gegenständen. Hier sind zwei Stöcke: I I
3, drei. Angewandt auf drei Gegenstände. Hier sind drei Stäbchen: I I I
4, vier. Angewandt auf vier Gegenstände. Hier sind vier Stäbchen: I I I I
5, fünf. Angewandt auf fünf Gegenstände. Hier sind fünf Stäbchen: I I I I I
6, sechs. Angewandt auf sechs Gegenstände. Hier sind sechs Stäbchen: I I I I I I
7, sieben. Angewandt auf sieben Gegenstände. Hier sind sieben Stäbchen: I I I I I I
8, acht. Angewandt auf acht Gegenstände. Hier sind acht Stäbchen: I I I I I I I I
9, neun. Angewandt auf neun Gegenstände. Hier sind neun Stäbchen: I I I I I I I I I ⓘ

Jedes Zahlensystem definiert den Wert aller Zahlen, die mehr als eine Ziffer enthalten, meist durch Addition der Werte benachbarter Ziffern. Das hinduistisch-arabische Zahlensystem enthält eine Positionsschreibweise, um den Wert einer beliebigen Zahl zu bestimmen. Bei dieser Art von System umfasst die Erhöhung des Wertes für eine zusätzliche Ziffer eine oder mehrere Multiplikationen mit dem Radix-Wert, und das Ergebnis wird zum Wert einer benachbarten Ziffer addiert. Bei arabischen Ziffern ergibt der Radixwert von zehn einen Wert von einundzwanzig (gleich 2×10 + 1) für die Ziffer "21". Für jede weitere Ziffer erfolgt eine zusätzliche Multiplikation mit dem Radixwert, so dass die Zahl "201" einen Wert von zweihunderteinundzwanzig hat (gleich 2×100 + 0×10 + 1). ⓘ

Die Grundstufe umfasst in der Regel das Verstehen des Wertes einzelner ganzer Zahlen mit arabischen Ziffern mit maximal sieben Ziffern und die Durchführung der vier Grundrechenarten mit arabischen Ziffern mit jeweils maximal vier Ziffern. ⓘ

Addition

Additionstabelle von 0 bis 9
+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9 ⓘ
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Wenn zwei Zahlen addiert werden, wird das Ergebnis als Summe bezeichnet. Die beiden Zahlen, die addiert werden, nennt man Summanden. ⓘ

Zwei natürliche Zahlen addieren

Angenommen, du hast zwei Tüten, eine Tüte mit fünf Äpfeln und eine zweite mit drei Äpfeln. Du nimmst eine dritte, leere Tüte und legst alle Äpfel aus der ersten und zweiten Tüte in die dritte Tüte. In der dritten Tüte befinden sich nun acht Äpfel. Dies verdeutlicht, dass die Kombination von drei Äpfeln und fünf Äpfeln acht Äpfel ergibt, oder allgemeiner ausgedrückt: "drei plus fünf ist acht" oder "drei plus fünf ist gleich acht" oder "acht ist die Summe von drei und fünf". Zahlen sind abstrakt, und die Addition einer Gruppe von drei Dingen zu einer Gruppe von fünf Dingen wird eine Gruppe von acht Dingen ergeben. Die Addition ist eine Umgruppierung: Zwei Gruppen von Objekten, die getrennt gezählt wurden, werden zu einer einzigen Gruppe zusammengefasst und gemeinsam gezählt: Die Zählung der neuen Gruppe ist die "Summe" der getrennten Zählungen der beiden ursprünglichen Gruppen. ⓘ

Diese Operation des Zusammenfügens ist nur eine von mehreren möglichen Bedeutungen, die die mathematische Operation der Addition haben kann. Andere Bedeutungen der Addition sind:

Vergleichen ("Tom hat 5 Äpfel. Jane hat 3 Äpfel mehr als Tom. Wie viele Äpfel hat Jane?"),
Zusammenfügen ("Tom hat 5 Äpfel. Jane gibt ihm 3 weitere Äpfel. Wie viele Äpfel hat Tom jetzt?"),
Messen ("Toms Schreibtisch ist 0,91 Meter breit. Janes Schreibtisch ist auch 0,91 Meter breit. Wie breit werden die Tische sein, wenn man sie zusammenstellt?"),
Trennen ("Tom hatte einige Äpfel. Er hat 3 an Jane gegeben. Jetzt hat er 5. Mit wie vielen hat er angefangen?"). ⓘ

Symbolisch wird die Addition durch das "Pluszeichen" dargestellt: +. Die Aussage "drei plus fünf gleich acht" kann also symbolisch als 3 + 5 = 8 geschrieben werden. Die Reihenfolge, in der zwei Zahlen addiert werden, spielt keine Rolle, also ist 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Dies ist die Kommutativ-Eigenschaft der Addition. ⓘ

Um ein Ziffernpaar mit Hilfe der Tabelle zu addieren, sucht man den Schnittpunkt der Zeile der ersten Ziffer mit der Spalte der zweiten Ziffer: Die Zeile und die Spalte schneiden sich in einem Quadrat, das die Summe der beiden Ziffern enthält. Einige Ziffernpaare ergeben zweistellige Zahlen, wobei die Zehnerstelle immer eine 1 ist. Im Additionsalgorithmus wird die Zehnerstelle der Summe eines Ziffernpaares als "Übertragsstelle" bezeichnet. ⓘ

Additionsalgorithmus

Der Einfachheit halber betrachten wir nur Zahlen mit drei oder weniger Ziffern. Um ein Zahlenpaar (in arabischen Ziffern geschrieben) zu addieren, schreiben Sie die zweite Zahl unter die erste, so dass die Ziffern in Spalten aufgereiht sind: Die Spalte ganz rechts enthält die Einerstelle der zweiten Zahl unter der Einerstelle der ersten Zahl. Diese Spalte ganz rechts ist die Einser-Spalte. Die Spalte unmittelbar links davon ist die Zehner-Spalte. In der Zehner-Spalte steht die Zehner-Stelle der zweiten Zahl (falls sie eine hat) unter der Zehner-Stelle der ersten Zahl (falls sie eine hat). Die Spalte unmittelbar links von der Zehnerspalte ist die Hunderter-Spalte. In der Hunderter-Spalte wird die Hunderter-Stelle der zweiten Zahl (falls sie eine hat) unter der Hunderter-Stelle der ersten Zahl (falls sie eine hat) aufgereiht. ⓘ

Nachdem die zweite Zahl unter die erste geschrieben wurde, so dass die Ziffern in den richtigen Spalten stehen, ziehen Sie einen Strich unter die zweite (untere) Zahl. Beginnen Sie mit der Einser-Spalte: Die Einser-Spalte sollte ein Ziffernpaar enthalten: die Einser-Ziffer der ersten Zahl und darunter die Einser-Ziffer der zweiten Zahl. Finden Sie die Summe dieser beiden Ziffern: Schreiben Sie diese Summe unter die Zeile und in die Einser-Spalte. Wenn die Summe zweistellig ist, dann schreibe nur die Einerstelle der Summe auf. Schreiben Sie die "Übertragsziffer" über die oberste Ziffer der nächsten Spalte: In diesem Fall ist die nächste Spalte die Zehnerspalte, schreiben Sie also eine 1 über die Zehnerstelle der ersten Zahl. ⓘ

Wenn sowohl die erste als auch die zweite Zahl jeweils nur eine Ziffer haben, ist ihre Summe in der Additionstabelle angegeben, und der Additionsalgorithmus ist unnötig. ⓘ

Dann kommt die Zehnerspalte. Die Zehnerspalte kann zwei Ziffern enthalten: die Zehnerstelle der ersten Zahl und die Zehnerstelle der zweiten Zahl. Wenn eine der Zahlen eine fehlende Zehnerstelle hat, kann die Zehnerstelle für diese Zahl als 0 betrachtet werden. Wenn es dann eine Übertragsziffer gibt, addieren Sie diese zu dieser Summe. Wenn die Summe 18 war, ergibt die Addition der Übertragsziffer 19. Wenn die Summe der Zehnerstellen (plus Übertragsziffer, falls vorhanden) kleiner als zehn ist, schreibe sie in die Zehnerspalte unter der Zeile. Wenn die Summe zweistellig ist, dann schreibe die letzte Ziffer in die Zehnerspalte unter der Zeile und übertrage die erste Ziffer (die eine 1 sein sollte) in die nächste Spalte: in diesem Fall die Hunderter-Spalte. ⓘ

Wenn keine der beiden Zahlen eine Hunderterstelle hat und es keine Übertragsziffer gibt, ist der Additionsalgorithmus beendet. Wenn es eine Übertragsziffer (aus der Zehnerspalte) gibt, dann schreibe sie in die Hunderter-Spalte unter die Zeile, und der Algorithmus ist beendet. Wenn der Algorithmus beendet ist, ist die Zahl unter der Zeile die Summe der beiden Zahlen. ⓘ

Wenn mindestens eine der Zahlen eine Hunderterstelle hat, und wenn bei einer der Zahlen eine Hunderterstelle fehlt, dann schreibe eine 0 an ihre Stelle. Addiere die beiden Hunderterzahlen und füge zu ihrer Summe die Übertragszahl hinzu, falls es eine gibt. Schreibe dann die Summe der Hunderter-Spalte unter die Zeile, auch in der Hunderter-Spalte. Wenn die Summe zweistellig ist, schreibst du die letzte Ziffer der Summe in die Hunderter-Spalte und die Übertragsziffer links davon in die Tausender-Spalte. ⓘ

Beispiel

Um die Summe der Zahlen 653 und 274 zu ermitteln, schreibst du die zweite Zahl unter die erste, wobei die Ziffern in Spalten angeordnet sind:

6	5	3 ⓘ
2	7	4

Ziehen Sie dann einen Strich unter die zweite Zahl und setzen Sie ein Pluszeichen. Die Addition beginnt mit der Einser-Spalte. Die Einerstelle der ersten Zahl ist 3 und die der zweiten Zahl ist 4. Die Summe von drei und vier ist sieben, also schreibe eine 7 in die Einerspalte unter den Strich:

	6	5	3 ⓘ
+	2	7	4
			7

Als nächstes die Zehnerspalte. Die Zehnerstelle der ersten Zahl ist 5, und die Zehnerstelle der zweiten Zahl ist 7. 5 plus 7 ist 12, die zwei Ziffern hat, also schreibe ihre letzte Ziffer, 2, in die Zehnerspalte unter der Linie, und schreibe die Übertragsziffer in die Hunderterspalte über der ersten Zahl:

	1		ⓘ
	6	5	3
+	2	7	4
		2	7

Als nächstes die Hunderter-Spalte. Die Hunderterstelle der ersten Zahl ist 6, die Hunderterstelle der zweiten Zahl ist 2. Die Summe von sechs und zwei ist acht, aber es gibt eine Übertragsziffer, die addiert mit acht gleich neun ist. Schreiben Sie die 9 unter den Strich in der Hunderter-Spalte:

	1		ⓘ
	6	5	3
+	2	7	4
	9	2	7

Es wurden keine Ziffern (und keine Spalten) mehr nicht addiert, so dass der Algorithmus beendet ist und die folgende Gleichung als Ergebnis liefert:

653 + 274 = 927 ⓘ

Nachfolge und Größe

Das Ergebnis der Addition einer Eins zu einer beliebigen ganzen Zahl (d. h. der Menge aller natürlichen Zahlen und der Null) ist der Nachfolger dieser Zahl, und das Ergebnis der Subtraktion einer Eins von einer beliebigen ganzen Zahl (außer Null) ist der Vorgänger dieser Zahl. Zum Beispiel ist der Nachfolger von Null die Eins und der Vorgänger von Elf die Zehn. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, und alle außer Null haben einen Vorgänger. ⓘ

Der Vorgänger des Nachfolgers einer Zahl ist die Zahl selbst. Zum Beispiel ist fünf der Nachfolger von vier, also ist vier der Vorgänger von fünf. ⓘ

Wenn eine Zahl der Nachfolger einer anderen Zahl ist, dann ist die erste Zahl größer als die andere Zahl. Wenn eine Zahl größer ist als eine andere Zahl und die andere Zahl größer ist als eine dritte Zahl, dann ist die erste Zahl auch größer als die dritte Zahl. Zum Beispiel: Fünf ist größer als vier, und vier ist größer als drei, also ist fünf größer als drei. Aber sechs ist größer als fünf, also ist sechs auch größer als drei, und so weiter. ⓘ

Wenn zwei natürliche Zahlen, die nicht Null sind, addiert werden, ist ihre Summe größer als eine der beiden Zahlen. Beispiel: Drei plus fünf ist gleich acht, also ist acht größer als drei (8 > 3) und acht ist größer als fünf (8 > 5). Das Symbol für "größer als" ist >. ⓘ

Wenn eine Zahl größer als eine andere Zahl ist, dann ist die andere Zahl kleiner (<) als die erste. Beispiele: Drei ist kleiner als acht (3 < 8) und fünf ist kleiner als acht (5 < 8). Bei einem Paar von natürlichen Zahlen muss nur einer der folgenden Fälle zutreffen:

Die erste Zahl ist größer als die zweite Zahl,
die erste Zahl ist gleich der zweiten,
die erste Zahl ist kleiner als die zweite Zahl. ⓘ

Zählen

Eine Gruppe von Objekten zu zählen bedeutet, jedem der Objekte eine natürliche Zahl zuzuordnen, als wäre sie ein Etikett für dieses Objekt, so dass eine natürliche Zahl nie einem Objekt zugeordnet wird, es sei denn, ihr Vorgänger wurde bereits einem anderen Objekt zugeordnet, mit der Ausnahme, dass die Null keinem Objekt zugeordnet wird: die kleinste zuzuordnende natürliche Zahl ist 1, und die größte zuzuordnende natürliche Zahl hängt von der Größe der Gruppe ab. Sie wird als Zählung bezeichnet und ist gleich der Anzahl der Objekte in dieser Gruppe. Zählen kann auch als ein Prozess des Zählens mit Hilfe von Strichmännchen betrachtet werden. ⓘ

Der Prozess des Zählens einer Gruppe ist der folgende:

Die "Anzahl" sei gleich Null. "Die Zählung" ist eine variable Größe, die zwar mit dem Wert Null beginnt, deren Wert sich aber bald mehrmals ändern wird.
Finde mindestens ein Objekt in der Gruppe, das nicht mit einer natürlichen Zahl bezeichnet wurde. Wenn kein solches Objekt gefunden werden kann (wenn sie alle beschriftet wurden), ist die Zählung beendet. Andernfalls wählen Sie eines der nicht beschrifteten Objekte aus.
Erhöhen Sie die Anzahl um eins. Das heißt, der Wert der Zählung wird durch seinen Nachfolger ersetzt.
Weisen Sie den neuen Wert der Zählung als Etikett dem in Schritt 2 gewählten unbeschrifteten Objekt zu.
Gehen Sie zurück zu Schritt 2. ⓘ

Wenn die Zählung beendet ist, ist der letzte Wert der Zählung der Endwert. Dieser Wert ist gleich der Anzahl der Objekte in der Gruppe. ⓘ

Bei der Zählung von Objekten wird oft nicht darauf geachtet, welches numerische Etikett welchem Objekt entspricht: Man achtet nur auf die Untergruppe der bereits etikettierten Objekte, um die für Schritt 2 notwendigen nicht etikettierten Objekte identifizieren zu können. Wenn man jedoch Personen zählt, kann man die zu zählenden Personen auffordern, sich jeweils die Nummer zu merken, die sie selbst erhalten haben. Nachdem die Zählung beendet ist, kann man die Personengruppe auffordern, sich in einer Reihe aufzustellen, und zwar in der Reihenfolge der aufsteigenden numerischen Bezeichnung. Während des Aufstellens würden die Personen etwa so vorgehen: Jedes Paar, das sich seiner Position in der Reihe nicht sicher ist, fragt sich gegenseitig nach seiner Nummer: Die Person mit der kleineren Nummer sollte sich auf die linke Seite stellen, die Person mit der größeren Nummer auf die rechte Seite der anderen Person. Auf diese Weise vergleichen die Personenpaare ihre Zahlen und ihre Positionen und pendeln ihre Positionen um, wenn nötig, und durch Wiederholung solcher bedingten Pendelungen werden sie geordnet. ⓘ

In der höheren Mathematik kann der Prozess des Zählens auch mit der Konstruktion einer Eins-zu-Eins-Entsprechung (auch Bijektion genannt) zwischen den Elementen einer Menge und der Menge {1, ..., n} (wobei n eine natürliche Zahl ist) verglichen werden. Sobald eine solche Entsprechung hergestellt ist, wird die erste Menge als Menge der Größe n bezeichnet. ⓘ

Subtraktion

Die Subtraktion ist die mathematische Operation, die eine reduzierte Menge beschreibt. Das Ergebnis dieser Operation ist die Differenz zwischen zwei Zahlen, dem Minuend und dem Subtrahend. Wie bei der Addition gibt es auch bei der Subtraktion eine Reihe von Interpretationen, wie z. B:

Trennen ("Tom hat 8 Äpfel. Er gibt 3 Äpfel weg. Wie viele hat er noch?")
Vergleichen ("Tom hat 8 Äpfel. Jane hat 3 Äpfel weniger als Tom. Wie viele hat Jane?")
Kombinieren ("Tom hat 8 Äpfel. Drei der Äpfel sind grün und der Rest ist rot. Wie viele sind rot?")
und manchmal das Zusammenfügen ("Tom hatte einige Äpfel. Jane hat ihm 3 weitere Äpfel gegeben, also hat er jetzt 8 Äpfel. Mit wie vielen hat er angefangen?"). ⓘ

Wie bei der Addition gibt es weitere mögliche Interpretationen, wie z. B. die Bewegung. ⓘ

Das Minuszeichen ("-") steht symbolisch für die Subtraktionsoperation. So wird die Aussage "fünf minus drei gleich zwei" auch als 5 - 3 = 2 geschrieben. In der elementaren Arithmetik verwendet die Subtraktion kleinere positive Zahlen für alle Werte, um einfachere Lösungen zu erhalten. ⓘ

Im Gegensatz zur Addition ist die Subtraktion nicht kommutativ, so dass die Reihenfolge der Zahlen bei der Operation das Ergebnis verändern kann. Daher wird jede Zahl mit einem anderen Namen versehen. Die erste Zahl (5 im vorherigen Beispiel) wird formal als Minuend und die zweite Zahl (3 im vorherigen Beispiel) als Subtrahend bezeichnet. Der Wert des Minuend ist größer als der Wert des Subtrahend, so dass das Ergebnis eine positive Zahl ist, aber ein kleinerer Wert des Minuend führt zu negativen Zahlen. ⓘ

Es gibt mehrere Methoden, um die Subtraktion durchzuführen. Bei der Methode, die in den Vereinigten Staaten als traditionelle Mathematik bezeichnet wird, lernen die Grundschüler das Subtrahieren mit Hilfe von Methoden, die für das Rechnen mit der Hand geeignet sind. Die verwendete Methode variiert von Land zu Land, und innerhalb eines Landes sind unterschiedliche Methoden zu verschiedenen Zeiten in Mode. Die Reformmathematik zeichnet sich im Allgemeinen dadurch aus, dass keine bestimmte Technik bevorzugt wird, sondern die Schüler der zweiten Klasse angeleitet werden, ihre eigenen Rechenmethoden zu erfinden, wie z. B. die Verwendung der Eigenschaften negativer Zahlen im Fall von TERC. ⓘ

In den amerikanischen Schulen wird derzeit eine Subtraktionsmethode gelehrt, bei der das Ausleihen und ein System von Markierungen, die so genannten Krücken, verwendet werden. Obwohl die Methode des Borgens bereits bekannt war und in Lehrbüchern veröffentlicht wurde, sind die Krücken offenbar eine Erfindung von William A. Browell, der sie in einer Studie im November 1937 verwendete [1]. Dieses System setzte sich schnell durch und verdrängte die anderen, damals in Amerika gebräuchlichen Subtraktionsmethoden. ⓘ

In einigen europäischen Ländern wird den Schülern eine Subtraktionsmethode beigebracht, die auch als österreichische Methode oder Additionsmethode bekannt ist, und auch einige ältere Amerikaner wenden diese Methode an. Bei dieser Methode gibt es kein Borgen. Außerdem gibt es Krücken (Markierungen zur Gedächtnisstütze), die je nach Land unterschiedlich sind. ⓘ

Bei der Methode des Borgens wird bei einer Subtraktion wie 86 - 39 die einstellige Subtraktion von 9 von 6 erreicht, indem eine 10 von 80 geliehen und zu der 6 addiert wird. Die Aufgabe wird so effektiv in (70 + 16) - 39 umgewandelt. Dies wird angezeigt, indem man die 8 durchstreicht, eine kleine 7 darüber schreibt und eine kleine 1 über die 6. Diese Markierungen werden Krücken genannt. Die 9 wird dann von der 16 subtrahiert, so dass 7 übrig bleibt, und die 30 von der 70, so dass 40 oder 47 als Ergebnis übrig bleibt. ⓘ

Bei der Additionsmethode wird eine 10 entliehen, um die 6 zu 16 zu machen, als Vorbereitung für die Subtraktion der 9, genau wie bei der Entlehnungsmethode. Die 10 wird jedoch nicht durch Verringerung des Minuenden entnommen, sondern durch Vergrößerung des Subtrahenden. Das Problem wird also in (80 + 16) - (39 + 10) umgewandelt. Typischerweise wird zur Erinnerung eine kleine Krücke direkt unter der Subtrahendziffer markiert. Dann werden die Operationen durchgeführt: 9 von 16 ist 7; und 40 (d.h. 30 + 10) von 80 ist 40, oder 47 als Ergebnis. ⓘ

Die Additionsmethode scheint in zwei Varianten gelehrt zu werden, die sich nur in der Psychologie unterscheiden. Bei der ersten Variante, die das Beispiel von 86 - 39 fortsetzt, wird versucht, 9 von 6 und dann 9 von 16 zu subtrahieren, wobei eine 10 durch Markierung in der Nähe der Ziffer des Subtrahenden in der nächsten Spalte entnommen wird. Bei der zweiten Variante wird versucht, eine Ziffer zu finden, die, wenn sie zu 9 addiert wird, 6 ergibt, und wenn man erkennt, dass dies nicht möglich ist, 16, wobei die 10 der 16 als eine Eins in der Nähe der gleichen Ziffer wie bei der ersten Methode markiert wird. Die Markierungen sind dieselben; es ist nur eine Frage der Vorliebe, wie man ihr Aussehen erklärt. ⓘ

Ein letzter Hinweis: Die Entlehnungsmethode kann in Fällen wie 100 - 87 kompliziert werden, wo eine Entlehnung nicht sofort erfolgen kann, sondern über mehrere Spalten hinweg erfolgen muss. In diesem Fall wird der Minuend effektiv in 90 + 10 umgeschrieben, indem man eine 100 aus der Hunderter-Spalte nimmt, daraus zehn 10er macht, diese sofort auf neun 10er in der Zehner-Spalte herunterborgt und schließlich eine 10 in die Einser-Spalte setzt. ⓘ

Multiplikation

Multiplikationstabelle von 0 bis 9
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9 ⓘ
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Wenn zwei Zahlen miteinander multipliziert werden, nennt man das Ergebnis ein Produkt. Die beiden Zahlen, die miteinander multipliziert werden, nennt man Faktoren, wobei auch Multiplikand und Multiplikator verwendet werden. ⓘ

Was bedeutet es, zwei natürliche Zahlen zu multiplizieren?

Angenommen, es gibt fünf rote Säcke, die jeweils drei Äpfel enthalten. Nun nimmst du eine leere grüne Tasche und schiebst alle Äpfel aus allen fünf roten Taschen in die grüne Tasche. In der grünen Tasche befinden sich nun fünfzehn Äpfel.
Das Produkt aus fünf und drei ist also fünfzehn.
Dies kann auch als "fünf mal drei ist fünfzehn" oder "fünf mal drei ist fünfzehn" oder "fünfzehn ist das Produkt von fünf und drei" ausgedrückt werden. Die Multiplikation kann als eine Form der wiederholten Addition angesehen werden: Der erste Faktor gibt an, wie oft der zweite Faktor bei der wiederholten Addition vorkommt; die Endsumme ist das Produkt. ⓘ

Symbolisch wird die Multiplikation durch das Multiplikationszeichen dargestellt: ×. Die Aussage "fünf mal drei gleich fünfzehn" kann also symbolisch wie folgt geschrieben werden

5\times 3=15.

In einigen Ländern und in der fortgeschrittenen Arithmetik werden andere Multiplikationszeichen verwendet, z. B. 5 ⋅ 3. In manchen Situationen, insbesondere in der Algebra, wo Zahlen mit Buchstaben symbolisiert werden können, kann das Multiplikationszeichen weggelassen werden; z. B. bedeutet xy x × y. Die Reihenfolge, in der zwei Zahlen multipliziert werden, spielt keine Rolle, so dass z. B. drei mal vier gleich vier mal drei ist. Dies ist die Kommutativ-Eigenschaft der Multiplikation. ⓘ

Um ein Ziffernpaar mit Hilfe der Tabelle zu multiplizieren, sucht man den Schnittpunkt der Zeile der ersten Ziffer mit der Spalte der zweiten Ziffer: Die Zeile und die Spalte schneiden sich in einem Quadrat, das das Produkt der beiden Ziffern enthält. Die meisten Ziffernpaare ergeben zweistellige Zahlen. Im Multiplikationsalgorithmus wird die Zehnerstelle des Produkts eines Ziffernpaars als "Übertragsstelle" bezeichnet. ⓘ

Multiplikationsalgorithmus für einen einstelligen Faktor

Betrachten Sie eine Multiplikation, bei der einer der Faktoren mehrere Ziffern hat, während der andere Faktor nur eine Ziffer hat. Schreiben Sie den mehrstelligen Faktor auf, dann schreiben Sie den einstelligen Faktor unter die äußerste rechte Stelle des mehrstelligen Faktors. Zeichnen Sie einen waagerechten Strich unter den einstelligen Faktor. Im Folgenden wird der mehrstellige Faktor als Multiplikand und der einstellige Faktor als Multiplikator bezeichnet. ⓘ

Angenommen, der Multiplikand hat drei Ziffern. Die ganz linke Stelle ist die Hunderterstelle, die mittlere Stelle ist die Zehnerstelle und die ganz rechte Stelle ist die Einerstelle. Der Multiplikator hat nur eine Einerstelle. Die Einerstelle des Multiplikanden und des Multiplikators bilden eine Spalte: die Einerspalte. ⓘ

Beispiel

Um das Produkt der Zahlen 3 und 729 zu finden, schreibt man den einstelligen Multiplikator unter den mehrstelligen Multiplikanden und den Multiplikator unter die Einerstelle des Multiplikanden, wie folgt:

7	2	9 ⓘ
		3

Ziehen Sie dann einen Strich unter den Multiplikator und setzen Sie ein Multiplikationssymbol. Die Multiplikation beginnt mit der Einerspalte. Die Einerstelle des Multiplikanden ist 9 und der Multiplikator ist 3. Das Produkt von 3 und 9 ist 27, also schreibe eine 7 in die Einerspalte unter den Strich und schreibe die Übertragsziffer 2 als hochgestellte Ziffer der noch nicht geschriebenen Zehnerstelle des Produkts unter den Strich:

	7	2	9 ⓘ
×			3
		²	7

Als nächstes die Zehnerspalte. Die Zehnerstelle des Multiplikanden ist 2, der Multiplikator ist 3, und drei mal zwei ist sechs. Addiere die Übertragsziffer 2 zum Produkt 6, um 8 zu erhalten. Die Acht hat nur eine Ziffer: keine Übertragsziffer, also schreibe die Zehnerspalte unter die Zeile. Du kannst die Zwei jetzt löschen. ⓘ

	7	2	9 ⓘ
×			3
		8	7

Als nächstes die Hunderter-Spalte. Die Hunderterstelle des Multiplikanden ist 7, der Multiplikator ist 3. Das Produkt von 3 und 7 ist 21, und es gibt keine vorherige Übertragsziffer (die aus der Zehnerspalte übertragen wurde). Das Produkt 21 hat zwei Ziffern: Die letzte Ziffer wird in der Hunderter-Spalte unter die Zeile geschrieben, die erste Ziffer wird in die Tausender-Spalte übertragen. Da der Multiplikand keine Tausenderziffer hat, schreibt man diese Übertragsziffer in die Tausenderspalte unter die Zeile (keine Superschreibweise):

	7	2	9 ⓘ
×			3
2	1	8	7

Da keine Ziffer des Multiplikanden unmultipliziert geblieben ist, ist der Algorithmus beendet und es ergibt sich die folgende Gleichung als Ergebnis:

3\times 729=2187

ⓘ

Multiplikationsalgorithmus für mehrstellige Faktoren

Bei einem Paar von Faktoren, die jeweils zwei oder mehr Ziffern haben, schreibe beide Faktoren unter den anderen, so dass die Ziffern in Spalten aufgereiht sind. ⓘ

Nehmen wir ein Paar dreistelliger Zahlen. Schreiben Sie die letzte Ziffer der zweiten Zahl unter die letzte Ziffer der ersten Zahl und bilden Sie so die Einser-Spalte. Unmittelbar links von der Einser-Spalte befindet sich die Zehner-Spalte: oben in dieser Spalte steht die zweite Ziffer der ersten Zahl, darunter die zweite Ziffer der zweiten Zahl. Gleich links von der Zehner-Spalte befindet sich die Hunderter-Spalte: oben in dieser Spalte steht die erste Ziffer der ersten Zahl und darunter die erste Ziffer der zweiten Zahl. Nachdem Sie beide Faktoren aufgeschrieben haben, ziehen Sie einen Strich unter den zweiten Faktor. ⓘ

Beispiel

Unser Ziel ist es, das Produkt von 789 und 345 zu finden. Schreibe die 345 unter die 789 in drei Spalten und ziehe eine waagerechte Linie unter sie:

7	8	9 ⓘ
3	4	5

Erster Teil. Beginne mit der Einerspalte. Der Multiplikand ist 789 und der Einser-Multiplikator ist 5. Führe die Multiplikation in einer Zeile unter der Linie durch:

	7	8	9 ⓘ
×	3	4	5
3	9⁴	4⁴	5

Dann die Zehnerspalte. Der Multiplikand ist 789 und der Zehner-Multiplikator ist 4. Führe die Multiplikation in der Zehner-Zeile durch, unter dem vorherigen Teilprodukt in der Einser-Zeile, aber eine Spalte nach links verschoben:

		7	8	9 ⓘ
	×	3	4	5
	3	9⁴	4⁴	5
3	1³	5³	6

Als nächstes die Hunderter-Spalte. Der Multiplikand ist wieder 789, und der Hunderter-Multiplikator ist 3. Führe die Multiplikation in der Hunderter-Reihe durch, unter dem vorherigen Teilprodukt in der Zehner-Reihe, aber um eine (weitere) Spalte nach links verschoben. Ziehe dann eine horizontale Linie unter die Hunderterreihe:

				7	8	9 ⓘ
			×	3	4	5
			3	9⁴	4⁴	5
		3	1³	5³	6
+	2	3²	6²	7

Zweiter Teil. Addieren Sie nun die Teilprodukte zwischen der ersten und der zweiten Zeile, lassen Sie dabei aber die hochgestellten Übertragsziffern zwischen der ersten und der zweiten Zeile außer Acht. ⓘ

				7	8	9 ⓘ
			×	3	4	5
			3	9⁴	4⁴	5
		3	1³	5³	6
+	2	3²	6²	7
	2	7¹	2²	2¹	0	5

Die Antwort lautet

789\times 345=272205

. ⓘ

Division

In der Mathematik, insbesondere in der elementaren Arithmetik, ist die Division eine arithmetische Operation, die die Umkehrung der Multiplikation ist. ⓘ

Wenn eine Zahl a und eine von Null verschiedene Zahl b gegeben sind und eine andere Zahl c mal b gleich a ist, d. h:

c\times b=a

ⓘ

dann ist a geteilt durch b gleich c. Das heißt:

{\frac {a}{b}}=c

ⓘ

Zum Beispiel,

{\frac {6}{3}}=2

da

2\times 3=6

. ⓘ

Im obigen Ausdruck ist a der Dividend, b der Divisor und c der Quotient. Die Division durch Null - bei der der Divisor gleich Null ist - wird in der elementaren Arithmetik in der Regel undefiniert gelassen. ⓘ

Notation der Division

Die Division wird meist so dargestellt, dass der Dividend über den Divisor gelegt wird, mit einer horizontalen Linie, auch Vinculum genannt, zwischen den beiden. Zum Beispiel wird a geteilt durch b wie folgt geschrieben:

{\frac {a}{b}}

Dies kann laut als "a geteilt durch b" oder "a über b" vorgelesen werden. Eine Möglichkeit, die Division in einer Zeile auszudrücken, besteht darin, den Dividend, dann einen Schrägstrich und dann den Divisor zu schreiben, wie folgt:

a/b

Dies ist die übliche Art, die Division in den meisten Computerprogrammiersprachen anzugeben, da sie leicht als einfache Zeichenfolge eingegeben werden kann. ⓘ

Eine handschriftliche oder typografische Variante - die auf halbem Weg zwischen diesen beiden Formen liegt - verwendet einen Solidus (Bruchschrägstrich), hebt aber den Dividend an und senkt den Divisor, wie folgt:

a⁄b ⓘ

Jede dieser Formen kann verwendet werden, um einen Bruch darzustellen. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Divisionsausdruck, bei dem sowohl Dividende als auch Divisor Zahlen sind (auch wenn sie üblicherweise als Zähler und Nenner bezeichnet werden), und es wird nicht impliziert, dass die Division weiter ausgewertet werden muss. ⓘ

Eine einfachere Art, die Division darzustellen, ist die Verwendung des Obelus (oder des Divisionszeichens) auf diese Weise:

a\div b.

ⓘ

Diese Form ist außer in der Grundrechenart selten. Der Obelus wird auch allein verwendet, um die Divisionsoperation selbst darzustellen, z. B. als Beschriftung auf einer Taste eines Taschenrechners. ⓘ

In einigen nicht englischsprachigen Kulturen wird "a geteilt durch b" als a : b geschrieben. Im englischen Sprachgebrauch beschränkt sich der Doppelpunkt jedoch darauf, das verwandte Konzept der Verhältnisse auszudrücken (also "a ist zu b"). ⓘ

Mit der Kenntnis der Multiplikationstabellen können zwei Zahlen auf dem Papier mit der Methode der langen Division geteilt werden. Eine abgekürzte Version der langen Division, die kurze Division, kann auch für kleinere Teiler verwendet werden. ⓘ

Eine weniger systematische Methode, die jedoch zu einem ganzheitlicheren Verständnis der Division im Allgemeinen führt, ist das Konzept des Chunking. Indem man auf jeder Stufe mehr Vielfache vom Teilrest abziehen kann, lassen sich auch freiere Methoden entwickeln. ⓘ

Wenn der Dividend einen Bruchteil hat (ausgedrückt als Dezimalbruch), kann man den Algorithmus auch beliebig weit über die Einerstelle hinaus fortsetzen. Wenn der Divisor einen dezimalen Bruchteil hat, kann man das Problem neu formulieren, indem man die Dezimalstelle in beiden Zahlen nach rechts verschiebt, bis der Divisor keinen Bruch mehr hat. ⓘ

Um durch einen Bruch zu dividieren, kann man einfach mit dem Kehrwert (Umkehrung der Position des oberen und unteren Teils) dieses Bruchs multiplizieren, zum Beispiel:

\textstyle {5\div {1 \over 2}=5\times {2 \over 1}=5\times 2=10}

ⓘ

\textstyle {{2 \over 3}\div {2 \over 5}={2 \over 3}\times {5 \over 2}={10 \over 6}={5 \over 3}}

ⓘ

Bildungsstandards

Lokale Standards legen in der Regel die Bildungsmethoden und -inhalte für den Grundschulunterricht fest. In den Vereinigten Staaten und in Kanada sind u. a. der Umfang der Verwendung von Taschenrechnern im Vergleich zum manuellen Rechnen und die breitere Debatte zwischen traditioneller Mathematik und Reformmathematik umstritten. ⓘ

In den Vereinigten Staaten führten die NCTM-Standards von 1989 zu Lehrplänen, in denen vieles von dem, was in der Grundschule als elementare Arithmetik angesehen wurde, zurückgedrängt oder weggelassen wurde und durch die Betonung von Themen ersetzt wurde, die traditionell im College studiert werden, wie Algebra, Statistik und Problemlösung sowie nicht standardisierte Berechnungsmethoden, die den meisten Erwachsenen unbekannt sind. ⓘ

Werkzeuge

Der Abakus ist ein frühes mechanisches Gerät zur Durchführung der Grundrechenarten, das in vielen Teilen Asiens noch immer verwendet wird. Zu den modernen Rechengeräten, die elementare arithmetische Operationen durchführen, gehören Registrierkassen, elektronische Taschenrechner und Computer. ⓘ

Algebraische Strukturen

In der Algebra werden diese zunächst für die Arithmetik geschaffenen Konzepte abstrahiert, um sie auf andere mathematische Objekte übertragen zu können. Eine algebraische Struktur besteht dann aus einer Trägermenge (hier einer Zahlenmenge), sowie ein oder mehreren Verknüpfungen auf dieser Menge (hier die arithmetischen Operationen), die nicht aus ihr herausführen. Die verschiedenen algebraischen Strukturen unterscheiden sich dann nur über die Eigenschaften der Verknüpfungen (die Rechenregeln), die als Axiome festgelegt werden, nicht jedoch bezüglich der konkreten Elemente der Trägermenge. Für die Grundoperationen erhält man die folgenden algebraischen Strukturen:

Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Halbgruppe $(\mathbb {N} ,+)$ , in der für die Verknüpfung das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten.
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Multiplikation ebenfalls eine kommutative Halbgruppe $(\mathbb {N} ,\cdot )$ .
Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition eine kommutative Gruppe $(\mathbb {Z} ,+)$ , in der zusätzlich ein neutrales Element existiert und zu jedem Element ein inverses Element.
Die Menge der ganzen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen kommutativen Ring $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ , in dem zusätzlich für die Verknüpfungen die Distributivgesetze gelten.
Die Menge der rationalen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation einen Körper $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ , in dem zusätzlich jedes Element außer der Null bezüglich der Multiplikation ein inverses Element besitzt. ⓘ

Nach dem Permanenzprinzip gelten dabei alle Rechenregeln einer grundlegenden Struktur (hier eines einfachen Zahlbereichs mit den Grundoperationen) auch in einer entsprechend spezielleren Struktur (hier einem erweiterten Zahlbereich mit den gleichen Operationen). Diese Strukturierung und Axiomatisierung erlaubt es nun, gewonnene Erkenntnisse von Zahlen auf andere mathematische Objekte zu übertragen. Beispielsweise sind entsprechende Operationen bei Vektoren die Vektoraddition und bei Matrizen die Matrizenaddition. Spezielle Strukturen entstehen bei der Betrachtung endlicher Mengen, zum Beispiel Restklassenringe als mathematische Abstraktion einer Division mit Rest. ⓘ

Geschichte

Alle vier Grundrechenarten waren bereits in der altägyptischen Mathematik und in der babylonischen Mathematik bekannt. Die Multiplikation und die Division waren jedoch keine eigenständigen arithmetischen Operationen. Die Multiplikation natürlicher Zahlen wurde auf das fortgesetzte Verdoppeln (Duplatio) eines Faktors und anschließende Addition der Teilergebnisse zurückgeführt. Die Division wurde bei nicht ganzzahligen Quotienten näherungsweise mittels fortgesetzter Halbierung (Mediatio) durchgeführt. Multiplikation und Division finden sich als eigenständige Operationen erst in der altgriechischen Mathematik, etwa bei Euklid und bei Pappos. ⓘ

Welche arithmetischen Operationen zu den Grundrechenarten gezählt werden, hat sich im Lauf der Zeit stark gewandelt. Bei Heron und Diophantos kamen zu den bekannten vier Rechenoperationen das Quadrieren und das Quadratwurzelziehen als weitere Grundrechenarten hinzu. In der indischen Mathematik wurden diese Operationen durch das allgemeinere Potenzieren und Wurzelziehen ersetzt und in neuerer Zeit um das Logarithmieren als siebte Grundrechenart ergänzt. In der islamischen Mathematik wurden beginnend mit Al-Chwarizmi auch die Duplatio und die Mediatio als eigene Rechenoperationen angesehen. ⓘ

In den Rechenbüchern des Mittelalters gab es weitere Ergänzungen der Grundrechenarten, die dort als „Spezies“ bezeichnet wurden. So finden sich um 1225 bei Johannes de Sacrobosco insgesamt neun dieser Spezies: Numeratio, Additio, Subtractio, Duplatio, Multiplicatio, Mediatio, Divisio, Progressio und Radicum extractio. Die Numeratio behandelte das Zählen, Lesen und Schreiben der Zahlen, als Progressio wurde die Summation aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen bezeichnet und die Extractio umfasste lediglich das Ziehen von Quadratwurzeln. Erst 1494 verwarf Luca Pacioli die Duplatio und die Mediatio als Spezialfälle der Multiplikation und der Division wieder. Daraufhin erfolgten weitere Reduktionen bis Gemma Frisius 1540 als einer der ersten Autoren die Grundrechenarten auf die bekannten vier beschränkte. ⓘ

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