Assoziativgesetz

Assoziative Eigenschaft ⓘ

Ein visuelles Diagramm, das assoziative Operationen darstellt; $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$
Typ	Gesetz, Regel der Ersetzung
Feld	Elementare Algebra Boolesche Algebra Mengenlehre Lineare Algebra Aussagenkalkül
Symbolische Aussage	Elementare Algebra $(x\,*\,y)\,*\,z=x\,*\,(y\,*\,z)\forall x,y,z\in S$ Aussagenkalkül $(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)$ $(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),$

In der Mathematik ist die Assoziationseigenschaft eine Eigenschaft einiger Binäroperationen, die bedeutet, dass das Umstellen der Klammern in einem Ausdruck das Ergebnis nicht verändert. In der Aussagenlogik ist die Assoziativität eine gültige Ersetzungsregel für Ausdrücke in logischen Beweisen. ⓘ

Innerhalb eines Ausdrucks, der zwei oder mehr Vorkommen desselben assoziativen Operators in einer Reihe enthält, spielt die Reihenfolge, in der die Operationen ausgeführt werden, keine Rolle, solange die Reihenfolge der Operanden nicht verändert wird. Das heißt, dass (nach der Umschreibung des Ausdrucks mit Klammern und gegebenenfalls in Infix-Notation) das Umstellen der Klammern in einem solchen Ausdruck seinen Wert nicht verändert. Betrachten Sie die folgenden Gleichungen:

$${\begin{aligned}(2+3)+4&=2+(3+4)=9\,\\2\times (3\times 4)&=(2\times 3)\times 4=24.\end{aligned}}$$

ⓘ

Obwohl die Klammern in jeder Zeile umgestellt wurden, haben sich die Werte der Ausdrücke nicht geändert. Da dies auch bei der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen gilt, kann man sagen, dass "Addition und Multiplikation von reellen Zahlen assoziative Operationen sind". ⓘ

Assoziativität ist nicht dasselbe wie Kommutativität, bei der es darum geht, ob die Reihenfolge der beiden Operanden das Ergebnis beeinflusst. Zum Beispiel spielt die Reihenfolge bei der Multiplikation reeller Zahlen keine Rolle, d. h, a × b = b × aDaher sagen wir, dass die Multiplikation reeller Zahlen eine kommutative Operation ist. Operationen wie die Funktionskomposition und die Matrixmultiplikation sind jedoch assoziativ, aber (im Allgemeinen) nicht kommutativ. ⓘ

Assoziative Operationen sind in der Mathematik weit verbreitet; viele algebraische Strukturen (z. B. Halbgruppen und Kategorien) verlangen sogar ausdrücklich, dass ihre binären Operationen assoziativ sind. ⓘ

Viele wichtige und interessante Operationen sind jedoch nicht-assoziativ; einige Beispiele sind Subtraktion, Potenzierung und das Vektor-Kreuzprodukt. Im Gegensatz zu den theoretischen Eigenschaften der reellen Zahlen ist die Addition von Fließkommazahlen in der Informatik nicht assoziativ, und die Wahl, wie ein Ausdruck assoziiert wird, kann sich erheblich auf den Rundungsfehler auswirken. ⓘ

Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden. ⓘ

Das Assoziativgesetz (lateinisch associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen. ⓘ

Definition

Eine binäre Operation ∗ auf der Menge S ist assoziativ, wenn dieses Diagramm kommutiert. Das heißt, wenn die beiden Pfade von S×S×S zu S zur gleichen Funktion von S×S×S zu S. ⓘ

Formal heißt eine binäre Operation ∗ auf einer Menge S assoziativ, wenn sie das Assoziativgesetz erfüllt:

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) für alle x, y, z in S. ⓘ

Hier wird ∗ verwendet, um das Symbol der Operation zu ersetzen, das ein beliebiges Symbol sein kann, und sogar das Fehlen eines Symbols (Juxtaposition) wie bei der Multiplikation. ⓘ

(xy)z = x(yz) = xyz für alle x, y, z in S. ⓘ

Das Assoziativgesetz kann auch in funktionaler Notation ausgedrückt werden: f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)). ⓘ

Eine binäre Verknüpfung ${\star }\colon A\times A\to A$ auf einer Menge $A$ heißt assoziativ, wenn für alle $a,b,c\in A$ das Assoziativgesetz

$a\star \left(b\star c\right)=\left(a\star b\right)\star c$

gilt. Die Klammern können dann weggelassen werden. Das gilt auch für mehr als drei Operanden. ⓘ

Verallgemeinertes Assoziativgesetz

Fehlt die Assoziationseigenschaft, so ergeben fünf Faktoren a, b, c, d, e ein Tamari-Gitter der Ordnung vier, möglicherweise verschiedene Produkte. ⓘ

Wenn eine binäre Operation assoziativ ist, führt die wiederholte Anwendung der Operation zum gleichen Ergebnis, unabhängig davon, wie viele gültige Klammerpaare in den Ausdruck eingefügt werden. Dies wird als verallgemeinertes Assoziativgesetz bezeichnet. Zum Beispiel kann ein Produkt aus vier Elementen auf fünf verschiedene Arten geschrieben werden, ohne die Reihenfolge der Faktoren zu ändern:

• ((ab)c)d
• (ab)(cd)
• (a(bc))d
• a((bc)d)
• a(b(cd)) ⓘ

Wenn die Produktoperation assoziativ ist, besagt das verallgemeinerte Assoziativgesetz, dass alle diese Ausdrücke das gleiche Ergebnis liefern. Wenn also der Ausdruck mit den weggelassenen Klammern nicht bereits eine andere Bedeutung hat (siehe unten), können die Klammern als unnötig angesehen werden und "das" Produkt kann eindeutig geschrieben werden als ⓘ

abcd. ⓘ

Mit zunehmender Anzahl der Elemente wächst die Zahl der Möglichkeiten, Klammern einzufügen, schnell, aber sie bleiben für die Disambiguierung unnötig. ⓘ

Ein Beispiel, bei dem dies nicht funktioniert, ist das logische Bikonditional ↔. Es ist assoziativ; also, A ↔ (B ↔ C) ist äquivalent zu (A ↔ B) ↔ C, aber A ↔ B ↔ C bedeutet in der Regel (A ↔ B) und (B ↔ C), was nicht äquivalent ist. ⓘ

Beispiele

Die Addition von reellen Zahlen ist assoziativ. ⓘ

Einige Beispiele für assoziative Operationen sind die folgenden. ⓘ

• Die Verkettung der drei Zeichenketten "Hallo", " ", "Welt" kann berechnet werden, indem man die ersten beiden Zeichenketten verkettet (was "Hallo" ergibt) und die dritte Zeichenkette ("Welt") anhängt, oder indem man die zweite und die dritte Zeichenkette zusammenfügt (was " Welt" ergibt) und die erste Zeichenkette ("Hallo") mit dem Ergebnis verkettet. Beide Methoden führen zu demselben Ergebnis; die Verkettung von Zeichenketten ist assoziativ (aber nicht kommutativ).
• In der Arithmetik sind Addition und Multiplikation von reellen Zahlen assoziativ, d.h.,
  $$\left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} .$$
  Aufgrund der Assoziativität können die gruppierenden Klammern weggelassen werden, ohne dass es zu Unklarheiten kommt.
• Die triviale Operation x ∗ y = x (d. h. das Ergebnis ist das erste Argument, unabhängig davon, was das zweite Argument ist) ist assoziativ, aber nicht kommutativ. Ebenso ist die triviale Operation x ∘ y = y (d. h. das Ergebnis ist das zweite Argument, unabhängig davon, was das erste Argument ist) assoziativ, aber nicht kommutativ.
• Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen und Quaternionen sind assoziativ. Die Addition von Oktonionen ist ebenfalls assoziativ, aber die Multiplikation von Oktonionen ist nicht assoziativ.
• Die Funktionen des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen wirken assoziativ.
  $$\left.{\begin{matrix}\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ for all }}x,y,z\in \mathbb {Z} .$$
• Die Schnittmenge oder die Vereinigung von Mengen nehmen:
  $$\left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{for all sets }}A,B,C.$$
• Wenn M eine Menge ist und S die Menge aller Funktionen von M nach M bezeichnet, dann ist die Operation der Funktionskomposition auf S assoziativ:
  $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{for all }}f,g,h\in S.$$
• Etwas allgemeiner ausgedrückt: Gegeben sind vier Mengen M, N, P und Q, mit h : M → N, g : N → Pund f : P → Q, dann
  $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$$
  wie zuvor. Kurz gesagt, die Komposition von Karten ist immer assoziativ.
• In der Kategorientheorie ist die Komposition von Morphismen per Definition assoziativ. Die Assoziativität von Funktoren und natürlichen Transformationen folgt aus der Assoziativität von Morphismen.
• Betrachten wir eine Menge mit drei Elementen, A, B und C. Die folgende Operation:

  ×	A	B	C
  A	A	A	A
  B	A	B	C
  C	A	A	A

  ist assoziativ. Also zum Beispiel, A(BC) = (AB)C = A. Diese Operation ist nicht kommutativ.
• Da Matrizen lineare Funktionen darstellen und die Matrizenmultiplikation die Komposition von Funktionen darstellt, kann man unmittelbar schließen, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.
• Für reelle Zahlen (und für jede vollständig geordnete Menge) ist die Minimum- und Maximum-Operation assoziativ:
  $$\max(a,\max(b,c))=\max(\max(a,b),c)\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\min(b,c))=\min(\min(a,b),c).$$
  ⓘ

Aussagenlogik

Regel der Ersetzung

In der standardmäßigen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik sind die Assoziation und die Assoziativität zwei gültige Ersetzungsregeln. Diese Regeln erlauben es, Klammern in logischen Ausdrücken in logischen Beweisen zu verschieben. Die Regeln (in der Notation der logischen Konnektive) lauten:

$$(P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)$$

ⓘ

und ⓘ

$$(P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),$$

ⓘ

wobei "$\Leftrightarrow$" ein metalogisches Symbol ist, das "in einem Beweis durch" ersetzt werden kann. ⓘ

Wahrheitsfunktionale Konnektive

Assoziativität ist eine Eigenschaft einiger logischer Konnektive der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik. Die folgenden logischen Äquivalenzen zeigen, dass Assoziativität eine Eigenschaft von bestimmten Konnektiven ist. Die folgenden (und ihre Umkehrungen, da ↔ kommutativ ist) sind wahrheitsfunktionale Tautologien. ⓘ

Assoziativität der Disjunktion

$((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))$

Assoziativität der Konjunktion

$((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))$

Assoziativität der Äquivalenz

$((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))$ ⓘ

Die gemeinsame Verneinung ist ein Beispiel für einen wahrheitsfunktionalen Konnex, der nicht assoziativ ist. ⓘ

Nicht-assoziative Operation

Eine binäre Operation $*$ auf eine Menge S, die das Assoziationsgesetz nicht erfüllt, wird nicht-assoziativ genannt. Symbolisch, ⓘ

$$(x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad {\mbox{for some }}x,y,z\in S.$$

ⓘ

Für eine solche Operation spielt die Reihenfolge der Auswertung eine Rolle. Zum Beispiel:

Subtraktion

$(5-3)-2\,\neq \,5-(3-2)$

Division

$(4/2)/2\,\neq \,4/(2/2)$

Potenzierung

$2^{(1^{2})}\,\neq \,(2^{1})^{2}$

Vektorielles Kreuzprodukt

${\begin{aligned}\mathbf {i} \times (\mathbf {i} \times \mathbf {j} )&=\mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} \\(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )\times \mathbf {j} &=\mathbf {0} \times \mathbf {j} =\mathbf {0} \end{aligned}}$ ⓘ

Auch wenn die Addition bei endlichen Summen assoziativ ist, ist sie bei unendlichen Summen (Reihen) nicht assoziativ. Zum Beispiel,

$$(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots =0$$

während

$$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1.$$

ⓘ

Einige nicht-assoziative Operationen sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung. Sie treten häufig als Multiplikation in Strukturen auf, die als nicht-assoziative Algebren bezeichnet werden und ebenfalls eine Addition und eine skalare Multiplikation besitzen. Beispiele sind die Oktonionen und Lie-Algebren. In Lie-Algebren erfüllt die Multiplikation die Jacobi-Identität anstelle des Assoziationsgesetzes; dies ermöglicht die Abstraktion der algebraischen Natur von infinitesimalen Transformationen. ⓘ

Weitere Beispiele sind Quasigruppen, Quasifelder, nicht-assoziative Ringe und kommutative nicht-assoziative Magmen. ⓘ

Nichtassoziativität der Gleitkommarechnung

Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen ⓘ

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ. So gilt zum Beispiel ⓘ

$(2+3)+7=5+7=12\quad =$

$2+(3+7)=2+10=12$ ⓘ

und ⓘ

$(2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =$

$2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42$ . ⓘ

Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist ⓘ

$2-(3-1)=0\quad \neq$

$(2-3)-1=-2$ ⓘ

und ⓘ

$(4:2):2=1\quad \neq$

$4:(2:2)=4$ . ⓘ

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da ⓘ

$2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq$

$(2^{2})^{3}=4^{3}=64$ ⓘ

gilt. Bei (divergenten) unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen. So verliert die Addition die Assoziativität bei:

$(1+(-1))+(1+(-1))+(1+(-1))+(1+(-1))+\ldots =0+0+\ldots \to 0$

aber

$1+((-1)+1)+((-1)+1)+((-1)+1)+\ldots =1+0+0+\ldots \to 1$ ⓘ

In endlichen Realisierungen wie dem Computer sind die Darstellungen der Zahlen in ihrer Größe begrenzt. Somit können weder Addition noch Multiplikation beliebig korrekt sein. Addition und Multiplikation von Festkommazahlen kann man bei vielen Maschinen so einstellen, dass diese anzeigen, wenn das Ergebnis inkorrekt wird, und innerhalb eines so definierten Gültigkeitsbereiches sind die Operationen assoziativ. Außerhalb dieses Gültigkeitsbereiches können die Operationen zwar assoziativ sein, was aber angesichts des falschen Ergebnisses keine Bedeutung hat. Bei Gleitkommazahlen werden nicht alle sog. Rundungsfehler angezeigt, so dass die Assoziativgesetze nicht wirklich gelten, wie das folgende Beispiel für die Addition mit 4-Bit-Mantissen zeigt:

(1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁰) + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2¹ + 1.000₂×2⁴ = 1.001₂×2⁴

1.000₂×2⁰ + (1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴) = 1.000₂×2⁰ + 1.000₂×2⁴ = 1.000₂×2⁴

Solche Fehler können manchmal durch Ausschalten der Normalisierung verringert werden.
Darüber hinaus kann das Laufzeitverhalten von der Reihenfolge der Ausführung zweier Operationen stark abhängen. ⓘ

Obwohl die meisten Computer mit 24 oder 53 Bits Mantisse rechnen, ist dies eine wichtige Quelle für Rundungsfehler, und Ansätze wie der Kahan-Summationsalgorithmus sind Möglichkeiten, die Fehler zu minimieren. Besonders problematisch kann dies bei der Parallelverarbeitung sein. ⓘ

Notation für nicht-assoziative Operationen

Im Allgemeinen müssen Klammern verwendet werden, um die Reihenfolge der Auswertung anzugeben, wenn eine nicht-assoziative Operation mehr als einmal in einem Ausdruck vorkommt (es sei denn, die Notation gibt die Reihenfolge auf andere Weise an, wie ${\dfrac {2}{3/4}}$). Allerdings haben sich die Mathematiker auf eine bestimmte Auswertungsreihenfolge für mehrere gängige nicht-assoziative Operationen geeinigt. Dies ist einfach eine Notationskonvention, um Klammern zu vermeiden. ⓘ

Eine links-assoziative Operation ist eine nicht-assoziative Operation, die üblicherweise von links nach rechts ausgewertet wird, d.h., ⓘ

$$\left.{\begin{matrix}x*y*z=(x*y)*z\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=((w*x)*y)*z\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}w,x,y,z\in S$$

ⓘ

während eine rechts-assoziative Operation üblicherweise von rechts nach links ausgewertet wird:

$$\left.{\begin{matrix}x*y*z=x*(y*z)\qquad \qquad \quad \,\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\{\mbox{etc.}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{for all }}w,x,y,z\in S$$

ⓘ

Es gibt sowohl links-assoziative als auch rechts-assoziative Operationen. Zu den links-assoziativen Operationen gehören die folgenden:

Subtraktion und Division von reellen Zahlen

$x-y-z=(x-y)-z$

$x/y/z=(x/y)/z$

Anwendung der Funktion

$(f\,x\,y)=((f\,x)\,y)$

Diese Notation lässt sich durch den Currying-Isomorphismus begründen, der eine partielle Anwendung ermöglicht. ⓘ

Zu den rechts-assoziativen Operationen gehören die folgenden:

Potenzierung von reellen Zahlen in hochgestellter Schreibweise

$x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$

Die Potenzierung wird üblicherweise mit Klammern oder rechts-assoziativ verwendet, da eine wiederholte links-assoziative Potenzierungsoperation wenig sinnvoll ist. Wiederholte Potenzen würden meist mit Multiplikation umgeschrieben:

$(x^{y})^{z}=x^{(yz)}$

Richtig formatiert verhält sich die hochgestellte Zahl von Natur aus wie eine Klammer; z. B. in dem Ausdruck $2^{x+3}$ wird die Addition vor der Potenzierung durchgeführt, obwohl keine expliziten Klammern $2^{(x+3)}$ um sie herum. Wenn also ein Ausdruck wie $x^{y^{z}}$der volle Exponent $y^{z}$ der Basis $x$ zuerst ausgewertet. In manchen Kontexten, insbesondere in der Handschrift, ist der Unterschied zwischen ${x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}$, $x^{yz}=x^{(yz)}$ und $x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}$ schwer zu erkennen sein. In einem solchen Fall wird die Rechtsassoziativität in der Regel impliziert.

Funktionsdefinition

$\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )$

$x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)$

Die Verwendung der rechts-assoziativen Notation für diese Operationen lässt sich durch die Curry-Howard-Korrespondenz und den Currying-Isomorphismus begründen. ⓘ

Zu den nicht-assoziativen Operationen, für die keine konventionelle Auswertungsreihenfolge definiert ist, gehören die folgenden.

Potenzierung von reellen Zahlen in Infix-Notation

$(x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z)$

Knuths Pfeil-nach-oben-Operatoren

$a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c$

$a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c$

Bildung des Kreuzprodukts dreier Vektoren

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for some }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}$

Bildung des paarweisen Durchschnitts reeller Zahlen

${(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.$

Bildung des relativen Komplements von Mengen

$(A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)$.

(Vergleiche materielle Nichtimplikation in der Logik.) ⓘ

Insbesondere bei nicht-assoziativen Verknüpfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativität. ⓘ

Geschichte

William Rowan Hamilton scheint den Begriff "assoziative Eigenschaft" um 1844 geprägt zu haben, zu einer Zeit, als er über die nicht-assoziative Algebra der Oktonionen nachdachte, die er von John T. Graves kennen gelernt hatte. ⓘ

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert. ⓘ

Schwächere Formen des Assoziativgesetzes

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

• Potenz-Assoziativität:
  $a^{r+s}=(a^{r})\circ (a^{s})$
  • i-Potenz-Assoziativität:
    $a^{i}\circ a=a\circ a^{i}$
  • Idemassoziativität:
    $a\circ (a\circ a)=(a\circ a)\circ a$
• Alternativität:
  • Linksalternativität:
    $a\circ (a\circ b)=(a\circ a)\circ b$
  • Rechtsalternativität:
    $a\circ (b\circ b)=(a\circ b)\circ b$
• Flexibilitätsgesetz:
  $a\circ \left(b\circ a\right)=\left(a\circ b\right)\circ a$
• Moufang-Identitäten:
  ${\Big (}a\circ (b\circ a){\Big )}\circ c=a\circ {\Big (}b\circ (a\circ c){\Big )}$
  $(a\circ b)\circ (c\circ a)=a\circ {\Big (}(b\circ c)\circ a{\Big )}$
• Bol-Identitäten:
  • linke Bol-Identität:
    ${\Big (}b\circ (c\circ b){\Big )}\circ a=b\circ {\Big (}c\circ (b\circ a){\Big )}$
  • rechte Bol-Identität:
    ${\Big (}(a\circ b)\circ c{\Big )}\circ b=a\circ {\Big (}(b\circ c)\circ b{\Big )}$
• Jordan-Identität:
  $a\circ {\Big (}\left(a\circ a\right)\circ b{\Big )}=\left(a\circ a\right)\circ \left(a\circ b\right)$ ⓘ