Taschenrechner
Ein elektronischer Taschenrechner ist in der Regel ein tragbares elektronisches Gerät, mit dem Berechnungen durchgeführt werden können, die von den Grundrechenarten bis hin zur komplexen Mathematik reichen. ⓘ
Der erste elektronische Festkörperrechner wurde in den frühen 1960er Jahren entwickelt. In den 1970er Jahren kamen Geräte im Taschenformat auf den Markt, insbesondere nachdem der erste Mikroprozessor, der Intel 4004, von Intel für die japanische Taschenrechnerfirma Busicom entwickelt worden war. Später wurden sie vor allem in der Erdölindustrie (Öl und Gas) eingesetzt. ⓘ
Moderne elektronische Taschenrechner reichen von billigen, kreditkartengroßen Modellen bis hin zu robusten Tischmodellen mit eingebautem Drucker. Sie wurden Mitte der 1970er Jahre populär, als die integrierten Schaltkreise ihre Größe und Kosten reduzierten. Gegen Ende dieses Jahrzehnts waren die Preise so weit gesunken, dass ein einfacher Taschenrechner für die meisten erschwinglich war und sie in Schulen zum Einsatz kamen. ⓘ
Bereits die frühen Unix-Betriebssysteme enthielten interaktive Taschenrechnerprogramme wie dc und hoc, und Taschenrechnerfunktionen sind in fast allen PDA-Geräten (Personal Digital Assistant) enthalten, mit Ausnahme einiger weniger spezieller Adressbuch- und Wörterbuchgeräte. ⓘ
Neben den Allzweckrechnern gibt es auch solche, die für bestimmte Märkte entwickelt wurden. So gibt es zum Beispiel wissenschaftliche Taschenrechner, die trigonometrische und statistische Berechnungen durchführen können. Einige Rechner können sogar Computeralgebra ausführen. Grafiktaschenrechner können zur grafischen Darstellung von Funktionen verwendet werden, die auf der reellen Linie oder im höherdimensionalen euklidischen Raum definiert sind. Im Jahr 2016 kosten einfache Taschenrechner nur wenig, wissenschaftliche und grafikfähige Modelle sind in der Regel teurer. ⓘ
Durch die weite Verbreitung von Smartphones, Tablet-Computern und Personalcomputern sind spezielle Hardware-Rechner zwar immer noch weit verbreitet, aber nicht mehr so häufig wie früher. Im Jahr 1986 machten Taschenrechner noch schätzungsweise 41 % der weltweiten Allzweck-Hardwarekapazität zur Berechnung von Informationen aus. Bis 2007 war dieser Anteil auf weniger als 0,05 % gesunken. ⓘ
Praktisch alle heutigen Taschenrechner verwenden elektronische Integrierte Schaltungen und LC-Displays als Anzeige und werden von einer Batterie oder Solarzelle mit Strom versorgt. ⓘ
Geschichte
Bereits vor der Einführung der elektronischen Taschenrechner gab es einen Bedarf nach tragbaren Rechenhilfen. Dieser wurde mit mechanischen Taschenrechnern und Rechenschiebern befriedigt. Meist handelte es sich dabei um einfache Addiermaschinen. Auch Vier-Spezies-Maschinen – also Rechenmaschinen, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beherrschten – gab es in taschentauglicher Größe. Bekanntestes Beispiel ist die Curta. ⓘ
Vorläufer der elektronischen Taschenrechner waren elektronische Tischrechner, bei denen der Integrationsgrad der Schaltungstechnik noch geringer war und die deshalb größere Dimensionen aufwiesen. ⓘ
Der erste elektronische, tatsächlich handflächengroße Taschenrechner wurde 1967 von Texas Instruments entwickelt, wobei ein Patent von Jack Kilby das Design umfangreich darstellt. Ein 1,5 kg schwerer Prototyp dieses ersten Taschenrechners ist heute in der Smithsonian Institution ausgestellt. Auch dieser lief schon mit Batterien, frühere Rechner benötigten einen Stromanschluss. ⓘ
Die ersten kommerziell vertriebenen Taschenrechner wurden 1969 und 1970 von der kalifornischen Firma Compucorp, sowie den japanischen Firmen Sanyo, Sharp und Canon hergestellt. Intel entwickelte für die japanische Firma Busicom einen der ersten Mikroprozessoren, den Intel 4004, der 1971 auf den Markt kam und in dem Modell Busicom 141-PF verwendet wurde. Als erster Taschenrechner, der mit einem Verkaufspreis von 10.000 Yen für die breite Masse erschwinglich war, gilt der 1972 veröffentlichte Casio Mini. 1972 brachte Texas Instruments den Taschenrechner SR 10 mit dem eigenen Mikroprozessor TMS1000 heraus. Diese Taschenrechner verfügten über wenig mehr als die vier Grundrechenarten. 1971 stellte Bowmar den ersten in den USA erhältlichen Taschenrechner her (Bowmar 901B/„Bowmar Brain“, Maße: 131 mm × 77 mm × 37 mm). Er hatte vier Funktionen und ein achtstelliges rotes LED-Display. Verkauft wurde er für 240 US$. Bowmar musste 1976 schließen. ⓘ
1972 erschien mit dem HP-35 von Hewlett-Packard der erste technisch-wissenschaftliche Taschenrechner mit trigonometrischen, logarithmischen und Exponentialrechnungs-Funktionen. Er wurde ein Verkaufserfolg und leitete das Ende der damals noch weit verbreiteten Rechenschieber ein. Einer seiner Entwickler war Steve Wozniak, der wenige Jahre später das Unternehmen Apple mitgründete und als Computeringenieur die Entwicklung des Personal Computer maßgeblich beeinflusste. ⓘ
Vor allem Hewlett-Packard und Texas Instruments entwickelten ab 1974 auch programmierbare Taschenrechner. Ende der 1980er Jahre kamen die ersten grafikfähigen Taschenrechner (GTR) auf den Markt. ⓘ
Entwicklung der elektronischen Rechenmaschinen
Programmierbare Taschenrechner
Die ersten programmierbaren Tischrechner wurden Mitte der 1960er Jahre hergestellt. Dazu gehörten der Mathatronics Mathatron (1964) und der Olivetti Programma 101 (Ende 1965), bei denen es sich um elektronische Festkörper-Tischrechner mit Druckfunktion, Fließkommaberechnung, algebraischer Eingabe, Programmierung und Speicherprogrammierung handelte. Beide konnten vom Endbenutzer programmiert werden und ihre Ergebnisse ausdrucken. Der Programma 101 fand eine viel größere Verbreitung und hatte die zusätzliche Funktion der Offline-Speicherung von Programmen über Magnetkarten. ⓘ
Ein weiterer früher programmierbarer Tischrechner (und vielleicht der erste japanische) war der Casio (AL-1000) aus dem Jahr 1967. Er verfügte über ein Nixie-Röhren-Display, Transistorelektronik und Ferritkernspeicher. ⓘ
Der programmierbare Taschenrechner Monroe Epic kam 1967 auf den Markt. Dieses große, druckende Tischgerät mit einem auf dem Boden stehenden Logikturm konnte so programmiert werden, dass es viele computerähnliche Funktionen ausführen konnte. Die einzige Verzweigungsanweisung war jedoch eine implizite unbedingte Verzweigung (GOTO) am Ende des Operationsstapels, die das Programm zu seiner Ausgangsanweisung zurückführte. Es war also nicht möglich, eine bedingte Verzweigungslogik (IF-THEN-ELSE) einzubauen. In dieser Zeit wurde das Fehlen der bedingten Verzweigung manchmal als Unterscheidungsmerkmal zwischen einem programmierbaren Taschenrechner und einem Computer verwendet. ⓘ
Der erste sowjetische programmierbare Tischrechner ISKRA 123, der über das Stromnetz betrieben wurde, kam Anfang der 1970er Jahre auf den Markt. ⓘ
1970er bis Mitte der 1980er Jahre
Die elektronischen Taschenrechner von Mitte der 1960er Jahre waren große und schwere Tischgeräte, da sie Hunderte von Transistoren auf mehreren Platinen verwendeten und einen hohen Stromverbrauch hatten, der eine Wechselstromversorgung erforderte. Es wurden große Anstrengungen unternommen, um die für einen Taschenrechner erforderliche Logik in immer weniger integrierten Schaltkreisen (Chips) unterzubringen, und die Taschenrechnerelektronik war eine der führenden Entwicklungen in der Halbleitertechnik. Die amerikanischen Halbleiterhersteller waren weltweit führend in der Entwicklung von LSI-Halbleitern (Large Scale Integration), die immer mehr Funktionen in einzelne integrierte Schaltkreise packten. Dies führte zu Allianzen zwischen japanischen Taschenrechnerherstellern und amerikanischen Halbleiterunternehmen: Canon Inc. mit Texas Instruments, Hayakawa Electric (später in Sharp Corporation umbenannt) mit der nordamerikanischen Rockwell Microelectronics (später in Rockwell International umbenannt), Busicom mit Mostek und Intel und General Instrument mit Sanyo. ⓘ
Programmierbare Taschenrechner
Der erste programmierbare Taschenrechner war der HP-65 im Jahr 1974; er verfügte über eine Kapazität von 100 Anweisungen und konnte Programme mit einem eingebauten Magnetkartenleser speichern und abrufen. Zwei Jahre später wurde mit dem HP-25C ein kontinuierlicher Speicher eingeführt, d. h. Programme und Daten blieben beim Ausschalten im CMOS-Speicher erhalten. 1979 brachte HP mit dem HP-41C den ersten alphanumerischen, programmierbaren und erweiterbaren Taschenrechner auf den Markt. Er konnte mit Modulen für den Arbeitsspeicher (RAM) und den Festspeicher (ROM) sowie mit Peripheriegeräten wie Strichcodelesern, Mikrokassetten- und Diskettenlaufwerken, Papierrollen-Thermodruckern und verschiedenen Kommunikationsschnittstellen (RS-232, HP-IL, HP-IB) erweitert werden. ⓘ
Der erste sowjetische batteriebetriebene programmierbare Taschenrechner, Elektronika B3-21, wurde Ende 1976 entwickelt und Anfang 1977 auf den Markt gebracht. Der Nachfolger von B3-21, der Elektronika B3-34, war nicht abwärtskompatibel mit B3-21, auch wenn er die umgekehrte polnische Notation (RPN) beibehielt. So definierte B3-34 einen neuen Befehlssatz, der später in einer Reihe von programmierbaren sowjetischen Taschenrechnern verwendet wurde. Trotz der sehr begrenzten Möglichkeiten (98 Byte Befehlsspeicher und etwa 19 Stapel- und adressierbare Register) gelang es den Menschen, alle Arten von Programmen für sie zu schreiben, darunter Abenteuerspiele und Bibliotheken mit rechenbezogenen Funktionen für Ingenieure. Hunderte, vielleicht Tausende von Programmen wurden für diese Maschinen geschrieben, von praktischer wissenschaftlicher und geschäftlicher Software, die in realen Büros und Labors eingesetzt wurde, bis hin zu lustigen Spielen für Kinder. Der Rechner Elektronika MK-52 (mit dem erweiterten Befehlssatz B3-34 und einem internen EEPROM-Speicher für die Speicherung von Programmen sowie einer externen Schnittstelle für EEPROM-Karten und andere Peripheriegeräte) wurde im sowjetischen Raumfahrtprogramm (für den Flug der Sojus TM-7) als Backup für den Bordcomputer eingesetzt. ⓘ
Diese Rechnerserie zeichnete sich auch durch eine große Anzahl höchst kontraintuitiver, mysteriöser und undokumentierter Funktionen aus, die der "synthetischen Programmierung" des amerikanischen HP-41 ähnelten und durch die Anwendung normaler arithmetischer Operationen auf Fehlermeldungen, das Springen zu nicht existierenden Adressen und andere Methoden ausgenutzt wurden. Eine Reihe angesehener Monatszeitschriften, darunter das populärwissenschaftliche Magazin Nauka i Zhizn (Наука и жизнь, Wissenschaft und Leben), brachten spezielle Rubriken, die sich mit Optimierungsmethoden für Taschenrechnerprogrammierer und Updates zu undokumentierten Funktionen für Hacker befassten, was sich zu einer ganzen esoterischen Wissenschaft mit vielen Zweigen entwickelte, die "Yeggogologie" ("еггогология") genannt wurde. Die Fehlermeldungen auf diesen Rechnern erscheinen als russisches Wort "YEGGOG" ("ЕГГОГ"), das - wenig überraschend - mit "Fehler" übersetzt wird. ⓘ
Eine ähnliche Hackerkultur gab es in den USA rund um den HP-41, der sich ebenfalls durch eine Vielzahl undokumentierter Funktionen auszeichnete und viel leistungsfähiger als der B3-34 war. ⓘ
Phase des Massenmarktes
Zu Beginn der 1970er Jahre waren elektronische Taschenrechner mit zwei bis drei Wochenlöhnen sehr teuer und daher ein Luxusgut. Der hohe Preis war darauf zurückzuführen, dass die Konstruktion viele mechanische und elektronische Bauteile erforderte, die in der Herstellung teuer waren, und dass die Produktionsmengen zu klein waren, um Größenvorteile zu nutzen. Viele Unternehmen erkannten, dass sich mit der Gewinnspanne bei so hohen Preisen gute Gewinne im Taschenrechnergeschäft erzielen ließen. Die Kosten für Taschenrechner sanken jedoch mit der Verbesserung der Komponenten und ihrer Produktionsmethoden, und die Größenvorteile wurden spürbar. ⓘ
Bis 1976 waren die Kosten für den billigsten Taschenrechner mit vier Funktionen auf wenige Dollar gesunken, was etwa einem Zwanzigstel des Preises fünf Jahre zuvor entsprach. Dies hatte zur Folge, dass der Taschenrechner erschwinglich wurde und dass es für die Hersteller nun schwierig war, mit Taschenrechnern Gewinn zu machen, was dazu führte, dass viele Firmen aus dem Geschäft ausstiegen oder schlossen. Die Firmen, die als Hersteller von Taschenrechnern überlebten, waren in der Regel diejenigen, die einen hohen Ausstoß an qualitativ hochwertigen Taschenrechnern hatten oder wissenschaftliche und programmierbare Taschenrechner mit hoher Spezifikation herstellten. ⓘ
Unterscheidungsmerkmale
Tastatur
Die Dateneingabe erfolgt bei den meisten Taschenrechnern mit dem Finger über kleine Drucktasten. Das Tastaturlayout ist von der Variante des Rechners abhängig. Manche Geräte sind mit einer alphanumerischen Tastatur ausgestattet. Die folgenden Tasten sind auf vielen Taschenrechnern mit algebraischer Eingabelogik zu finden:
| MC | Memory Clear (Speicher löschen) |
| MR | Memory Recall (gespeicherten Wert abrufen) |
| M− | Memory Subtraktion (vom Speicherinhalt subtrahieren) |
| M+ | Memory Addition (zum Speicherinhalt addieren) |
| C | Clear (alles löschen) |
| ± | Vorzeichenwechsel |
| % | Prozent |
| ÷ | Division |
| × | Multiplikation |
| − | Subtraktion |
| + | Addition |
| . | Dezimalpunkt |
| √ | Quadratwurzel |
| = | Ergebnis |
Oft ist bei der C-Taste auch noch eine CE-Taste zu finden: Clear Entry; (nur letzte Eingabe löschen). ⓘ
Die folgenden Tasten sind bei den meisten Taschenrechnern gleich. Während die Anordnung der Ziffern Standard ist, variiert die Position der anderen Tasten von Modell zu Modell; die Abbildung ist ein Beispiel. ⓘ
| MC | MR | M- | M+ ⓘ |
| C | ± | % | √ |
| 7 | 8 | 9 | ÷ |
| 4 | 5 | 6 | × |
| 1 | 2 | 3 | − |
| 0 | . | = | + |
Eingabelogik
Je nach Art des Rechners ist für die Berechnung der gleichen Funktion eine unterschiedliche Eingabe erforderlich:
- Sequentielle Eingabe: sofortige Ausführung der Operationen:
- 3 × 8 + 2 = ergibt 26, aber 2 + 8 × 3 = ergibt 30. Die Operationen werden direkt in der Reihenfolge ausgewertet, in der sie eingegeben werden. Operationen (a+b)×(c+d) mit zwei Zwischenergebnissen können nicht direkt ausgerechnet werden. ⓘ
- Algebraische Notation: Beim Algebraic Operation System wird die Rangfolge der Operatoren berücksichtigt:
- Sowohl 2 + 8 × 3 = als auch 8 × 3 + 2 = ergibt 26. Beide Eingaben liefern das Ergebnis 26, da die Multiplikation Vorrang vor der Addition hat. Wenn jedoch (2+8)×3 gefragt ist, muss 2 + 8 = × 3 = getippt werden. Operationen (a+b)×(c+d) mit zwei Zwischenergebnissen können nicht direkt ausgerechnet werden. ⓘ
- Algebraische Notation mit Klammern:
- Sowohl 2 + 8 × 3 = als auch 8 × 3 + 2 = ergibt 26. Wenn jedoch (2+8)×3 gefragt ist, muss ( 2 + 8 ) × 3 = getippt werden. Die zusätzlichen Klammertasten ermöglichen eine freiere Eingabereihenfolge. Es gibt eine maximale Anzahl von Klammerebenen (meist 8). ⓘ
- Herkömmliche algebraische Notation:
- Während Operationen mit zwei Operanden (+, −, *, /) eingegeben werden, wie man sie auch schreibt, und erst beim Drücken auf „=“ zur Ausführung kommen, werden Funktionen (einstellige Operationen) sofort beim Drücken der entsprechenden Taste ausgeführt, denn es muss nicht auf einen zweiten Operanden gewartet werden. Das hat zur Folge, dass man das Argument vor der Funktion eingeben muss, also z. B. 4 sin 30° wird eingegeben als 4 × 3 0 sin =. ⓘ
- Direkte algebraische Logik – wird je nach Hersteller mit „D.A.L.“ (Sharp), „V.P.A.M.“ – engl. für Visually Perfect Algebraic Method (Casio) oder „AOS“ (Algebraic Operating System, Texas Instruments) – bezeichnet und ist in der Regel auf dem Gehäuse aufgedruckt. Die Eingabe erfolgt so, wie man die entsprechende Gleichung schreiben würde. ⓘ
- Die obige Gleichung wird also eingegeben als 4 × sin 3 0 =. ⓘ
- Der Unterschied ist für den Unterricht an Schulen von Bedeutung, weil es dort regelmäßig vorkommt, dass Tastenreihenfolgen angesagt und von mehreren Schülern mitgetippt werden. Besitzen die Schüler Rechner mit unterschiedlicher Eingabelogik, kommt es zu Missverständnissen. ⓘ
- umgekehrte polnische Notation (UPN), basierend auf einer Stack-Rechnerarchitektur:
- Bei dieser Eingabelogik wird der Operator immer nach den Operanden eingegeben. Zur Trennung von Operanden muss gelegentlich die ENTER-Taste benutzt werden. Rechner dieser Bauart erkennt man meistens an der ENTER-Taste, während die „=“-Taste fehlt
- 3 ENTER 8 × 2 +, unüblich aber möglich 2 ENTER 3 ENTER 8 × +. ⓘ
- Manche Taschenrechner wie der HP-49G+ und der HP 35s lassen sich auch zwischen der umgekehrten polnischen Notation und der algebraischen Notation umschalten. ⓘ
- Zweidimensionaler Eingabe-Editor:
- Zunehmend verfügen auch neuere Modelle wie Casio fx-991ES oder TI-30X Plus MultiView über einen zweidimensionalen Eingabe-Editor wie der ab dem Jahr 1989 gebaute HP-48. Damit erfolgt die Eingabe und typischerweise auch die Ausgabe so, wie man schreibt oder druckt. ⓘ
Varianten
- Einfach (Grundrechenarten, Prozentrechnung)
- Finanzwirtschaft (Zinsrechnung, …), zum Beispiel der „Klassiker“ HP-12C (hergestellt seit 1981), HP 17 B (II) (hergestellt seit 1988)
- Boolesche Rechnungen (Rechnen mit Dual-, Oktal- und Hexadezimalzahlen, z. B. TI Programmer)
- Wissenschaftlich (Winkelfunktionen, Logarithmus, mathematische Statistik, …), zum Beispiel TI-30 (seit 1976 dieselbe Typbezeichnung für intern völlig unterschiedliche Geräte)
- Programmierbarer Taschenrechner
- Grafikfähiger Taschenrechner (Funktions-/Kurvendarstellung) – ab 1985 Geräte von Casio (fx-Serie, aktuelles Modell fx 9860G SD), 1989 bis heute die HP-48-49-Reihe, ab 1993 der TI-82 und seine Nachfolger, aktuell der TI-84 Plus und TI-Nspire. Grafikrechner sind typischerweise auch programmierbar.
- Computeralgebra-Rechner (grafikfähige Taschenrechner mit eingebautem Computeralgebra-Kern); erstes verbreitetes Gerät war der HP-48 von Hewlett-Packard (ab 1989), spätere Geräte zum Beispiel TI-92(+) (ab 1995), TI-89 (ab 1998) und Voyage 200 (ab 2002), TI-Nspire CAS (ab 2007) von Texas Instruments, ClassPad 300 von Casio, HP 49g+ von Hewlett-Packard. ⓘ
Die meisten aktuellen Modelle enthalten mehrere der oben genannten Funktionsgruppen, vereinzelt sogar mit einer einfachen Tabellenkalkulation. ⓘ
Numerische Genauigkeit
Auch wenn heutige Taschenrechner im Regelfall kaum Programmfehler bei einfachen Berechnungen aufweisen, lassen sich zwischen verschiedenen Taschenrechnermodellen unterschiedliche Genauigkeiten und Auflösungen bei numerischen Berechnungen bestimmen. Die Gründe liegen in den numerischen Näherungsverfahren (beispielsweise Horner-Schema und CORDIC), mit denen beispielsweise transzendente Funktionen wie die Sinus-Funktion berechnet werden. Genauer gesagt kommt es auf die Anzahl der abgespeicherten Koeffizienten für die Funktionsapproximationen an: der dafür benötigte Speicherplatz war vor allem in der Anfangszeit ein extremer Engpass. Diese kleinen Unterschiede in den Verfahren und unterschiedliche Genauigkeiten lassen sich auch als Erkennungsmerkmal für eine bestimmte Firmware verwenden. ⓘ
Beispielsweise liefert die numerische Berechnung von sin(22) in Radiant auf verschiedenen Taschenrechnern folgende voneinander abweichende Ergebnisse:
| Rechner | Wert für sin(22) ⓘ |
|---|---|
| Die ersten 40 signifikanten Stellen: | −0,008851309290403875921690256815772332463289… |
| Casio FX-3900Pv | −0,0088513094194 |
| Casio fx-991D, Casio FX-82SX, Casio FX-702P, Casio FX-603P, Casio fx-5000F | −0,008851309219 |
| Casio FX-992S | −0,008851309290957 |
| Casio fx-7400GII, Casio fx-CG 20 | −0,00885130929035653 |
| Casio FX-850P, Casio FX-880P 20 | −0,00885130921901 |
| Casio ALGEBRA FX 2.0 PLUS, Casio FX-85ES, Casio CFX-9850G, Casio fx-991DE PLUS, Casio fx-82DE PLUS, Casio fx-991DE X |
−0,00885130929035655 |
| Casio ClassPad 330 (Ver. 3.03) | −0,00885130929035651226567489… |
| Casio fx-991ES | −0,00885130929021092 |
| Casio fx-180P | −0,0088513078196 |
| HP-10s | −0,008851309290389 |
| HP-11C, HP15C, HP-34C, HP-41, Casio FX-85MS, Casio FX-115MS, Casio fx-991WA | −0,008851309289 |
| HP-25, HP 45, HP-65 | −0,008851306326 |
| HP-48S/X, HP 48G/X, HP 49G, HP 49G+, HP 50, HP-33s, HP 35s, HP-71B, HP Prime | −0,0088513092904 |
| Logitech LC-605 | −0,008851304 |
| Sharp EL-506 P, Sharp EL-5020, Sharp EL-5120, TI-35x, TI-52, Sharp PC-1401 | −0,008851309 |
| Sharp EL-W506, EL-W531 | −0,0088513092902112 |
| Sharp EL-520R | −0,00885130915412 |
| Sharp EL-9900 | −0,0088513092902122 |
| Sharp PC-E500(S) (Nach Umschalten in DEFDBL) | −0,0088513092904038759217 |
| Simvalley Instruments GRC-1000 | −0,008851309288957 |
| Texas Instruments TI-25, TI-30-SLX, Schul-Rechner 1 | −0,0088487 |
| Texas Instruments TI-30 (Rote LEDs), TI-45, CASIO fx-3600P | −0,008851307832 |
| Texas Instruments TI-30 eco RS | −0,0088513093286 |
| Texas Instruments TI-30X IIS, TI-36X II | −0,008851309288956 |
| Texas Instruments TI-35 II | −0,0088513 |
| Texas Instruments SR-51-II | −0,00885130929151 |
| Texas Instruments TI-51-III | −0,0088513097488 |
| Texas Instruments TI-59 | −0,008851309285516 |
| Texas Instruments TI-66 | −0,008851309290408 |
| Texas Instruments TI-89 | −0,0088513092904 |
| Texas Instruments TI-200, TI-89 Titanium, TI-83 Plus | −0,0088513092903565 |
| Texas Instruments TI-Nspire CAS (frühe Version) | −0,0088513092901566 |
| Texas Instruments TI-Nspire CAS (aktuelle Version) | −0,00885130929016 |
Selbst bei ausschließlicher Verwendung der Grundrechenarten kann es zu Fehlern kommen, da jeder einfache Taschenrechner mit Festkommazahlen und jeder wissenschaftliche Taschenrechner mit Gleitkommazahlen arbeitet. Gibt man z. B. auf einem einfachen 8-stelligen Taschenrechner ⓘ
1 2 3 4 5 6 7 8 + 0 . 1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 = ⓘ
ein, so ist das Ergebnis 0 statt korrekt 0,1. In ähnlicher Weise führt bei einem wissenschaftlichen Taschenrechner mit 12-stelliger Mantisse die Eingabe von ⓘ
1 + 1 ×10^ - 1 3 - 1 = ⓘ
zum falschen Ergebnis 0 (statt korrekt ), weil der mittlere Summand kleiner als die Maschinengenauigkeit ist. ⓘ
Beide Beispiele zeigen ferner, dass Gesetzmäßigkeiten der Mathematik wie das Kommutativgesetz auf Taschenrechnern im Allgemeinen nicht mehr gültig sind; vertauscht man bei der Eingabe den zweiten mit dem dritten Summanden, so sind die Berechnungen in beiden Fällen korrekt. ⓘ
Speziell bei der Hintereinanderausführung von Berechnungen können sich die Fehler zu einem völlig unbrauchbaren Endergebnis akkumulieren. ⓘ
Entwicklungen seit dem Jahr 2000
- Taschenrechner mit exakter Arithmetik und Natürlicher Darstellung von Termen: Diese beherrschen z. B. das Rationalisieren des Nenners. Damit stoßen sie in Bereiche vor, die zuvor nur den Computeralgebra-Rechnern vorbehalten waren. Beispiele sind Casio FX-85ES, Casio fx-991ES oder Texas Instruments TI-30X Plus MultiView.
- Integrierte/interaktive Taschenrechner bzw. -computer: Taschenrechner, die die grundlegenden mathematischen Softwaretypen (Computer-Algebra, Dynamische Geometrie, Tabellenkalkulation) zu einem zusammenhängenden System integrieren und damit über die bislang bekannten Computeralgebra-Rechner deutlich hinausgehen. Die ersten Vertreter sind seit 2002 die Modelle Casio ClassPad 300 und seit 2007 Texas Instruments TI-Nspire und TI-Nspire CAS. ⓘ
Zulassungsvorschriften an Schulen
In den Schulen haben sich diverse Abkürzungen für die jeweiligen Geräteklassen herausgebildet:
- WTR: Wissenschaftlicher Taschenrechner, wissenschaftlicher Schulrechner
- GTR: Graphischer Taschenrechner, numerischer Graphikrechner
- CAS: Graphischer Taschenrechner mit Computeralgebrasystem ⓘ
Situation in Deutschland
Mit Beschluss vom 18. Oktober 2012 hat die Kultusministerkonferenz (KMK) Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife in verschiedenen Fächern, darunter im Fach Mathematik, eingeführt und damit für diese Fächer die Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (EPA) abgelöst. Das Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) stellt im Auftrag der Kultusministerkonferenz einen Pool von Aufgaben zusammen, aus denen sich zukünftig Abiturprüfungen speisen sollen. In diesem Zusammenhang wurden Anforderungen zur Verwendung von digitalen Hilfsmitteln definiert. Als digitale Hilfsmittel zugelassen sind ein „einfacher wissenschaftlicher Taschenrechner“ oder ein Computeralgebrasystem (CAS). Für jedes der beiden digitalen Hilfsmittel wird vorausgesetzt, dass es bei seiner Verwendung einen Zugriff auf Netzwerke jeglicher Art nicht zulässt. ⓘ
Die Ausführungen zum „einfachen wissenschaftlichen Taschenrechner“ entsprechen den Vorgaben der Bundesländer Baden-Württemberg und Bayern. Nicht vorgesehen ist die Verwendung von programmierbaren Taschenrechnern. Ein Taschenrechner wird als programmierbar angesehen, wenn zusätzliche Routinen gespeichert werden können, die nicht zum ursprünglichen Funktionsumfang gehören. Abgesehen von Bayern und Baden-Württemberg sowie Berlin und Brandenburg erlauben die aktuellen Prüfungsbedingungen der übrigen Länder, sofern als digitales Hilfsmittel in der Abiturprüfung nicht GTR oder CAS vorgeschrieben sind, wissenschaftliche Taschenrechner, die in allen Punkten den Vorgaben des IQB widersprechen. ⓘ
Bei Computeralgebrasystemen wird vorausgesetzt, dass das CAS über typische Funktionen wie das algebraische Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, Differenzieren und Integrieren, Rechnen mit Vektoren und Matrizen und dergleichen verfügt. Außerdem wird vorausgesetzt, dass das CAS vor seiner Verwendung in der Prüfung in einen Zustand versetzt wird, in dem ein Zugriff auf Dateien und Programme, die nicht zum Lieferumfang oder einem Systemupdate gehören, unterbunden ist. ⓘ
Die nachfolgende Tabelle wurde anhand der Angaben der Kultusministerien der Bundesländer entwickelt. Soweit diese nicht auffindbar waren, wurden die Angaben der verschiedenen Taschenrechnerhersteller verwendet. Sie gibt die Gegebenheiten an Gymnasien hinsichtlich Zulassung in Prüfungen wieder, da der Einsatz im Unterricht aufgrund der pädagogischen Freiheit der Lehrkraft überall möglich ist. ⓘ
| Bundesland | wissenschaftlicher Schulrechner (WTR) z. B. Casio fx-991DE PLUS, TI-30X Plus MultiView |
Numerischer Graphikrechner (GTR) z. B. Casio FX-CG20, TI-84 Plus |
Computer-Algebra-Taschencomputer (CAS) z. B. Casio ClassPad 300, TI-Nspire CAS, HP Prime ⓘ |
|---|---|---|---|
 Baden-Württemberg
|
ja | nein | nein |
 Bayern
|
ja | nein | ja |
 Berlin
|
ja | ja | ja |
 Brandenburg
|
ja | nein | ja |
 Bremen
|
ja | ja | ja |
 Hamburg
|
ja | nein | ja |
 Hessen
|
ja | ja | ja |
 Mecklenburg-Vorpommern
|
ja | nein | ja |
 Niedersachsen
|
nein | ja | ja |
 Nordrhein-Westfalen
|
ja | ja | ja |
 Rheinland-Pfalz
|
ja | ja | ja |
 Saarland
|
ja | ja | nein |
 Sachsen
|
nein | ja | ja |
 Sachsen-Anhalt
|
ja | nein | nein |
 Schleswig-Holstein
|
ja | ja | ja |
 Thüringen
|
nein | nein | ja |
Situation in Österreich
Bis zur Einführung der Zentralreifeprüfung Mitte der 2010er-Jahre gab es keine bundesweit einheitlichen Bestimmungen zur Zulassung bestimmter Hilfsmittel zur Matura, da die Matura selbst dezentral, also von den Lehrkräften vor Ort, erstellt wurde. Die Entscheidung, ob ein bestimmtes Hilfsmittel zugelassen war oder nicht, oblag damit der jeweiligen Lehrkraft. ⓘ
Seit 2018 lauten die Mindestanforderungen an technische Hilfsmittel (wie etwa Taschenrechner; auch Computer sind zulässig) wie folgt:
- Gymnasien: „grundlegende Funktionen zur Darstellung von Funktionsgraphen, zum numerischen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, zur Ermittlung von Ableitungs- bzw. Stammfunktionen, zur numerischen Integration sowie zur Unterstützung bei Methoden und Verfahren in der Stochastik“ (§ 18 Abs. 3 Prüfungsordnung AHS)
- Berufsbildende Höhere Schulen: „grundlegende Funktionen zur Darstellung von Funktionsgrafen, zum numerischen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, zur Matrizenrechnung, zur numerischen Integration sowie zur Unterstützung bei Methoden und Verfahren in der Stochastik.“ (§ 17 Abs. 3 Prüfungsordnung BMHS) ⓘ
Situation in der Schweiz
Gegenwärtig gibt es weder schweizweite noch kantonsweite einheitliche Bestimmungen zur Zulassung bestimmter Hilfsmittel zur Maturitätsprüfung, da die Prüfung dezentral, sprich von den Lehrkräften selbst, erstellt wird. Die Entscheidung, ob ein bestimmtes Hilfsmittel zugelassen ist oder nicht, obliegt damit der jeweiligen Lehrkraft. Die üblichen Maturitätsprüfungen weisen zwei Teile auf, wobei der eine (mehrstündige, schriftliche) mit Taschenrechner, der andere (kurze, mündliche) Teil ohne Taschenrechner abgelegt wird. Die eidgenössische Maturitätsprüfung wird nur mündlich, ohne Taschenrechner, abgelegt. ⓘ
Bildergalerie
Vorläufer des elektronischen Taschenrechners: Mechanischer Taschenrechner aus den sechziger Jahren
Sharp EL-8, der erste mobile Taschenrechner (1971)
HP-35, erster wissenschaftlicher Taschenrechner (1972), umgekehrte polnische Notation und LED-Anzeige
MBO-Taschenrechner mit LED-Anzeige (ca. 1972), einer der ersten Taschenrechner aus bundesdeutscher Produktion
TI Taschenrechner SR 10 mit wissenschaftlicher Notation (1973)
Quelle Privileg wissenschaftlicher Taschenrechner (1974)
Taschenrechner (ab 1975): LED-Anzeige mit Exponentialschreibweise, einer der ersten mit Gon-Funktionen
Taschenrechner mit Vakuumfluoreszenz-anzeige (um 1975)
Taschenrechner aus dem Jahre 1976 (Preis damals 49 DM, was heute ca. EUR entspricht)
Innenansicht eines Casio FX 20 (ca. 1976)
Braun ET 23 (1977)
Braun ETS 77 (1987)
HP-15C mit numerischer Integration, Nullstellen- und Matrizenberechnung
DDR-Taschenrechner MR 609, baugleich mit dem Schultaschenrechner SR1
Vorderansicht des Sharp PC-1403, ein Pocket Computer
TI Programmer
Taschenrechner wissenschaftlich Dual-Power
TI-Nspire (CAS) von Texas Instruments
Casio JS-20WK (2018) ⓘ
Taschenrechner als Programm
Nachdem Taschenrechner im (Berufs-)Leben zu einem verbreiteten Hilfsmittel geworden waren, wurde ihre Funktionalität in Computerprogrammen simuliert. Diese gehörten bald zur Grundausstattung von Betriebssystemen, etwa in Personal Computern und Mobiltelefonen. Einige klassische Taschenrechner können heute als App auf den Computer oder auf das Mobiltelefon geladen werden. Daneben gibt es eine große Auswahl an Programmen, die komplexe Funktionalitäten wie Programmierbarkeit oder Umrechnung physikalischer Größen bieten. ⓘ
Display-Ausgabe
Taschenrechner verfügen in der Regel über Flüssigkristallanzeigen (LCD) als Ausgabe anstelle der historischen Leuchtdiodenanzeigen (LED) und Vakuum-Fluoreszenzanzeigen (VFD); Einzelheiten finden Sie im Abschnitt Technische Verbesserungen. ⓘ
Um die Lesbarkeit zu verbessern, werden häufig größere Ziffern verwendet; gleichzeitig werden Dezimaltrennzeichen (in der Regel ein Punkt statt eines Kommas) anstelle von oder zusätzlich zu gewöhnlichen Brüchen verwendet. Verschiedene Symbole für Funktionsbefehle können ebenfalls auf dem Display angezeigt werden. Brüche wie 1⁄3 werden als dezimale Näherungswerte angezeigt, zum Beispiel gerundet auf 0,33333333. Auch einige Brüche (wie 1⁄7, was 0,14285714285714 entspricht; mit 14 signifikanten Stellen) können in dezimaler Form schwer zu erkennen sein; daher können viele wissenschaftliche Rechner auch mit gewöhnlichen Brüchen oder gemischten Zahlen arbeiten. ⓘ
Speicher
Taschenrechner haben auch die Möglichkeit, Zahlen im Computerspeicher zu speichern. Einfache Taschenrechner speichern in der Regel jeweils nur eine Zahl; spezifischere Typen sind in der Lage, viele Zahlen zu speichern, die in Variablen dargestellt werden. Die Variablen können auch zum Erstellen von Formeln verwendet werden. Einige Modelle haben die Möglichkeit, die Speicherkapazität zu erweitern, um mehr Zahlen zu speichern; die erweiterte Speicheradresse wird als Array-Index bezeichnet. ⓘ
Energiequelle
Die Stromquellen von Taschenrechnern sind Batterien, Solarzellen oder Netzstrom (bei älteren Modellen), die mit einem Schalter oder einer Taste eingeschaltet werden. Einige Modelle haben sogar keine Ausschalttaste, sondern bieten eine Möglichkeit zum Ausschalten (z. B. indem sie einen Moment lang nicht bedient werden, die Solarzellen abdecken oder den Deckel schließen). Auch in der frühen Computerära waren kurbelbetriebene Taschenrechner üblich. ⓘ
Interne Funktionsweise
Ein einfacher elektronischer Taschenrechner besteht im Allgemeinen aus den folgenden Komponenten:
- Stromquelle (Netzstrom, Batterie und/oder Solarzelle)
- Tastenfeld (Eingabegerät) - besteht aus Tasten zur Eingabe von Zahlen und Funktionsbefehlen (Addition, Multiplikation, Quadratwurzel usw.)
- Anzeigefeld (Ausgabegerät) - zeigt eingegebene Zahlen, Befehle und Ergebnisse an. Flüssigkristallanzeigen (LCDs), Vakuum-Fluoreszenzanzeigen (VFDs) und Leuchtdiodenanzeigen (LEDs) verwenden sieben Segmente, um jede Ziffer in einem einfachen Taschenrechner darzustellen. Fortgeschrittene Taschenrechner können Punktmatrixanzeigen verwenden.
- Ein druckender Rechner verfügt zusätzlich zu einem Anzeigefeld über ein Druckwerk, das die Ergebnisse mit Tinte auf eine Papierrolle druckt.
- Prozessorchip (Mikroprozessor oder zentrale Recheneinheit). ⓘ
| Einheit | Funktion ⓘ |
|---|---|
| Abtasteinheit (Polling) | Wenn ein Rechner eingeschaltet wird, tastet er das Tastenfeld ab und wartet darauf, ein elektrisches Signal zu empfangen, wenn eine Taste gedrückt wird. |
| Kodiereinheit | Wandelt die Zahlen und Funktionen in Binärcode um. |
| X-Register und Y-Register | Sie sind Zahlenspeicher, in denen die Zahlen während der Berechnungen vorübergehend gespeichert werden. Alle Zahlen werden zuerst im X-Register gespeichert; die Zahl im X-Register wird auf dem Display angezeigt. |
| Flag-Register | Hier wird die Funktion für die Berechnung gespeichert, bis der Taschenrechner sie benötigt. |
| Permanenter Speicher (ROM) | Hier werden die Befehle für die eingebauten Funktionen (arithmetische Operationen, Quadratwurzeln, Prozentrechnung, Trigonometrie usw.) in binärer Form gespeichert. Diese Anweisungen sind Programme, die dauerhaft gespeichert werden und nicht gelöscht werden können. |
| Benutzerspeicher (RAM) | Der Speicher, in dem Zahlen vom Benutzer gespeichert werden können. Der Inhalt des Benutzerspeichers kann vom Benutzer geändert oder gelöscht werden. |
| Arithmetische Logikeinheit (ALU) | Die ALU führt alle arithmetischen und logischen Befehle aus und liefert die Ergebnisse in binär codierter Form. |
| Binäre Decodereinheit | Wandelt den Binärcode in Dezimalzahlen um, die auf der Anzeigeeinheit angezeigt werden können. |
Die Taktrate eines Prozessorchips bezieht sich auf die Frequenz, mit der die zentrale Verarbeitungseinheit (CPU) arbeitet. Sie dient als Indikator für die Geschwindigkeit des Prozessors und wird in Taktzyklen pro Sekunde oder Hertz (Hz) gemessen. Bei einfachen Rechenmaschinen kann die Geschwindigkeit von einigen hundert Hertz bis in den Kilohertz-Bereich variieren. ⓘ
Beispiel
Eine einfache Erklärung, wie Berechnungen in einem einfachen Vier-Funktionen-Rechner durchgeführt werden: Um die Rechnung 25 + 9 auszuführen, drückt man bei den meisten Taschenrechnern die Tasten in der folgenden Reihenfolge: 2 5 + 9 =. ⓘ
- Wenn 2 5 eingegeben wird, wird sie von der Abtasteinheit erfasst; die Zahl 25 wird kodiert und an das X-Register gesendet;
- Wenn dann die + Taste wird die Anweisung "Addition" ebenfalls kodiert und an das Flag- oder Statusregister gesendet;
- Die zweite Zahl 9 wird kodiert und an das X-Register gesendet. Dadurch wird die erste Zahl in das Y-Register "geschoben" (verschoben);
- Wenn die = Taste gedrückt wird, teilt eine "Nachricht" (Signal) aus dem Flag- oder Statusregister dem permanenten oder nichtflüchtigen Speicher mit, dass es sich bei der auszuführenden Operation um eine "Addition" handelt;
- Die Zahlen in den Registern X und Y werden dann in die ALU geladen und die Berechnung wird nach den Anweisungen aus dem permanenten oder nichtflüchtigen Speicher durchgeführt;
- Die Antwort 34 wird in das X-Register zurückgeschickt (verschoben). Von dort wird sie von der Binärdecodereinheit in eine Dezimalzahl umgewandelt (in der Regel binär codierte Dezimalzahlen) und dann auf dem Anzeigefeld angezeigt. ⓘ
Andere Funktionen werden normalerweise durch wiederholte Additionen oder Subtraktionen ausgeführt. ⓘ
Numerische Darstellung
Die meisten Taschenrechner rechnen nicht binär, sondern binär kodiert (BCD). BCD ist in elektronischen Systemen üblich, in denen ein numerischer Wert angezeigt werden soll, insbesondere in Systemen, die ausschließlich aus digitaler Logik bestehen und keinen Mikroprozessor enthalten. Durch die Verwendung von BCD kann die Verarbeitung von numerischen Daten für die Anzeige stark vereinfacht werden, da jede Ziffer als separate einzelne Teilschaltung behandelt wird. Dies entspricht viel eher der physikalischen Realität der Anzeigehardware - ein Konstrukteur könnte beispielsweise eine Reihe von separaten identischen Siebensegmentanzeigen verwenden, um eine Messschaltung zu bauen. Würde die numerische Größe rein binär gespeichert und verarbeitet, würde die Anbindung an eine solche Anzeige eine komplexe Schaltung erfordern. Daher kann in Fällen, in denen die Berechnungen relativ einfach sind, die durchgängige Verwendung von BCD zu einem einfacheren Gesamtsystem führen als die Umwandlung in und aus dem Binärformat. (Zum Beispiel wird bei CDs die Titelnummer in BCD angegeben, was die Anzahl der Titel auf 99 begrenzt). ⓘ
Das gleiche Argument gilt, wenn Hardware dieser Art einen eingebetteten Mikrocontroller oder einen anderen kleinen Prozessor verwendet. Oft ergibt sich ein kleinerer Code, wenn Zahlen intern im BCD-Format dargestellt werden, da eine Konvertierung von oder in die binäre Darstellung auf solchen begrenzten Prozessoren teuer sein kann. Für diese Anwendungen verfügen einige kleine Prozessoren über BCD-Arithmetikmodi, die beim Schreiben von Routinen zur Bearbeitung von BCD-Mengen hilfreich sind. ⓘ
Bei Taschenrechnern mit zusätzlichen Funktionen (z. B. Quadratwurzel oder trigonometrische Funktionen) sind Software-Algorithmen erforderlich, um hochpräzise Ergebnisse zu erzielen. Manchmal ist ein erheblicher Entwicklungsaufwand erforderlich, um alle gewünschten Funktionen in dem begrenzten Speicherplatz des Rechnerchips unterzubringen und dabei eine akzeptable Rechenzeit zu erzielen. ⓘ
Taschenrechner im Vergleich zu Computern
Der grundlegende Unterschied zwischen einem Taschenrechner und einem Computer besteht darin, dass ein Computer so programmiert werden kann, dass das Programm je nach Zwischenergebnissen verschiedene Verzweigungen annimmt, während Taschenrechner mit bestimmten Funktionen (wie Addition, Multiplikation und Logarithmen) vorprogrammiert sind. Die Unterscheidung ist nicht eindeutig: Einige Geräte, die als programmierbare Taschenrechner eingestuft werden, verfügen über Programmierfunktionen, manchmal mit Unterstützung für Programmiersprachen (wie RPL oder TI-BASIC). ⓘ
Anstelle eines Hardware-Multiplizierers könnte ein Rechner beispielsweise Gleitkommamathematik mit Code im Festspeicher (ROM) implementieren und trigonometrische Funktionen mit dem CORDIC-Algorithmus berechnen, da CORDIC keine große Multiplikation erfordert. Bit-serielle Logikdesigns sind in Taschenrechnern häufiger anzutreffen, während bit-parallele Designs in Allzweckcomputern dominieren, da ein bit-serielles Design die Chipkomplexität minimiert, aber viel mehr Taktzyklen benötigt. Diese Unterscheidung verschwimmt bei High-End-Rechnern, die Prozessorchips verwenden, die mit dem Design von Computern und eingebetteten Systemen in Verbindung gebracht werden, insbesondere die Z80-, MC68000- und ARM-Architekturen, sowie einige kundenspezifische Designs, die auf den Taschenrechnermarkt spezialisiert sind. ⓘ
Verwendung in der Ausbildung
In den meisten Ländern verwenden Schüler Taschenrechner für Schularbeiten. Anfänglich gab es Widerstand gegen diese Idee, weil man befürchtete, dass die Grundkenntnisse im Rechnen darunter leiden würden. Über die Bedeutung des Kopfrechnens herrscht nach wie vor Uneinigkeit. Einige Lehrpläne beschränken die Verwendung von Taschenrechnern, bis ein bestimmtes Leistungsniveau erreicht ist, während andere sich mehr auf die Vermittlung von Schätzmethoden und Problemlösungen konzentrieren. Forschungsergebnisse deuten darauf hin, dass eine unzureichende Anleitung zur Verwendung von Rechenwerkzeugen die Art des mathematischen Denkens der Schüler einschränken kann. Andere haben argumentiert, dass die Verwendung von Taschenrechnern sogar dazu führen kann, dass mathematische Kernkompetenzen verkümmern, oder dass eine solche Verwendung das Verständnis fortgeschrittener algebraischer Konzepte verhindern kann. Im Dezember 2011 äußerte der britische Staatsminister für Schulen, Nick Gibb, die Befürchtung, dass Kinder "zu abhängig" von der Verwendung von Taschenrechnern werden könnten. Daher soll die Verwendung von Taschenrechnern in eine Überarbeitung des Lehrplans aufgenommen werden. In den Vereinigten Staaten haben viele Mathematiklehrer und Schulbehörden die Standards des National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) mit Begeisterung unterstützt und die Verwendung von Taschenrechnern im Unterricht vom Kindergarten bis zur High School aktiv gefördert. ⓘ