Distributivgesetz

Distributivgesetz ⓘ

Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen
Typ	Gesetz, Ersetzungsregel
Feld	Elementare Algebra Boolesche Algebra Abstrakte Algebra Mengenlehre Aussagenkalkül
Symbolische Aussage	Elementare Algebra $$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$ Aussagenkalkül: $(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))$ $(P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$

In der Mathematik verallgemeinert die Distributiv-Eigenschaft der binären Operationen das Distributivgesetz, das besagt, dass die Gleichheit

$$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$$

in der elementaren Algebra immer wahr ist. In der Elementararithmetik hat man zum Beispiel

$$2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).$$

Man sagt, dass die Multiplikation über die Addition verteilt. ⓘ

Diese grundlegende Eigenschaft von Zahlen ist Teil der Definition der meisten algebraischen Strukturen, die zwei Operationen namens Addition und Multiplikation haben, wie z. B. komplexe Zahlen, Polynome, Matrizen, Ringe und Felder. Sie ist auch in der Booleschen Algebra und der mathematischen Logik anzutreffen, wo jedes der logischen und (bezeichnet als $\,\land \,$) und das logische oder (bezeichnet als $\,\lor \,$) über das jeweils andere verteilt werden. ⓘ

Die Distributivgesetze/Verteilungsgesetze (lat. distribuere „verteilen“) sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung in einer bestimmten Weise mit der anderen Verknüpfung verträglich ist. ⓘ

Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet. ⓘ

Das Distributivgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz grundlegende Regeln der Algebra. ⓘ

Definition

Gegeben eine Menge $S$ und zwei binäre Operatoren $\,*\,$ und $\,+\,$ auf $S,$ ⓘ

die Operation $\,*\,$ ist linksdistributiv über (oder in Bezug auf) $\,+\,$ wenn bei beliebigen Elementen $x,y,{\text{ and }}z$ von $S,$

$$x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$$

die Operation $\,*\,$ ist rechts-distributiv über $\,+\,$ wenn bei beliebigen Elementen $x,y,{\text{ and }}z$ von $S,$

$$(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$$

und die Operation $\,*\,$ ist distributiv über $\,+\,$ wenn sie links- und rechtsdistributiv ist. ⓘ

Wenn $\,*\,$ kommutativ ist, sind die drei obigen Bedingungen logisch äquivalent. ⓘ

Bedeutung

Als Beispiel können die zweistelligen Verknüpfungen der Addition $(+)$ und der Multiplikation $(\cdot )$ von Zahlen dienen. ⓘ

Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c$  (linksdistributiv)

$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c$  (rechtsdistributiv) ⓘ

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert). ⓘ

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt. ⓘ

Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die Division, die nicht kommutativ ist:

$(a\pm b):c=a:c\pm b:c$

Hier gilt in der Regel:

$a:(b\pm c)\neq a:b\pm a:c$

In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:

seien $a=m\cdot c$ und $b=n\cdot c$

$(a\pm b):c=(m\cdot c\pm n\cdot c):c=(m\pm n)\cdot c:c=m\pm n$ ⓘ

Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv gegenüber der Multiplikation. ⓘ

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert. ⓘ

Die für die Beispiele in diesem Abschnitt verwendeten Operatoren sind die der üblichen Addition $\,+\,$ und Multiplikation $\,\cdot .\,$ ⓘ

Wenn die Operation mit der Bezeichnung $\cdot$ nicht kommutativ ist, wird zwischen Links- und Rechtsdistributivität unterschieden:

$$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}$$

$$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.$$

ⓘ

Beispiele

Reelle Zahlen

In den folgenden Beispielen wird die Anwendung des Distributivgesetzes auf die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ veranschaulicht. Wenn in der Elementarmathematik von Multiplikation die Rede ist, ist meist diese Art der Multiplikation gemeint. Aus der Sicht der Algebra bilden die reellen Zahlen ein Feld, das die Gültigkeit des Distributivgesetzes gewährleistet. ⓘ

Erstes Beispiel (mentale und schriftliche Multiplikation)

Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oft unbewusst angewendet:

$$6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$$

ⓘ Um also zu rechnen $6\cdot 16$ im Kopf zu rechnen, multipliziert man zunächst $6\cdot 10$ und $6\cdot 6$ und addiert die Zwischenergebnisse. Die schriftliche Multiplikation basiert ebenfalls auf dem Distributivgesetz.

Zweites Beispiel (mit Variablen)

$$3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}$$

Drittes Beispiel (mit zwei Summen)

$${\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}$$

ⓘ Hier wurde das Distributivgesetz zweimal angewendet, und es ist egal, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird.

Viertes Beispiel

Hier wird das Distributivgesetz im Vergleich zu den vorherigen Beispielen umgekehrt angewandt. Betrachten Sie .

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.$$

ⓘ Da der Faktor $6a^{2}b$ in allen Summanden vorkommt, kann er ausgeklammert werden. Das heißt, aufgrund des Distributivgesetzes erhält man

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).$$

ⓘ

Matrizen

Das Distributivgesetz gilt auch für die Multiplikation von Matrizen. Genauer gesagt

$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$

für alle $l\times m$-Matrizen $A,B$ und $m\times n$-Matrizen $C,$ als auch für

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

für alle $l\times m$-Matrizen $A$ und $m\times n$-Matrizen $B,C.$ Da die Kommutativitätseigenschaft für die Matrixmultiplikation nicht gilt, folgt das zweite Gesetz nicht aus dem ersten Gesetz. In diesem Fall handelt es sich also um zwei verschiedene Gesetze. ⓘ

Andere Beispiele

• Die Multiplikation von Ordnungszahlen ist dagegen nur links- und nicht rechtsdistributiv.
• Das Kreuzprodukt ist links- und rechtsdistributiv über die Vektoraddition, allerdings nicht kommutativ.
• Die Vereinigung von Mengen ist distributiv über die Schnittmenge, und die Schnittmenge ist distributiv über die Vereinigung.
• Die logische Disjunktion ("oder") ist distributiv über die logische Konjunktion ("und") und vice versa.
• Für reelle Zahlen (und für jede vollständig geordnete Menge) ist die Maximaloperation distributiv über die Minimaloperation und umgekehrt:
  $$\max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).$$
• Bei ganzen Zahlen ist der größte gemeinsame Teiler distributiv über das kleinste gemeinsame Vielfache und umgekehrt:
  $$\gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).$$
• Bei reellen Zahlen verteilt sich die Addition sowohl auf die Maximal- als auch auf die Minimal-Operation:
  $$a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).$$
• Bei der binomischen Multiplikation wird die Verteilung manchmal als FOIL-Methode bezeichnet (First terms $ac,$ Äußere $ad,$ Inneres $bc,$ und Letzte $bd$) bezeichnet: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$
• In allen Semiringen, einschließlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, Polynome und Matrizen, ist die Multiplikation der Addition überlegen: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• In allen Algebren über einem Feld, einschließlich der Oktonionen und anderer nicht-assoziativer Algebren, hat die Multiplikation Vorrang vor der Addition. ⓘ

Aussagenlogik

Regel der Ersetzung

In der standardmäßigen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik, Verteilung in logischen Beweisen zwei gültige Ersetzungsregeln, um einzelne Vorkommen bestimmter logischer Konnektive innerhalb einer Formel in separate Anwendungen dieser Konnektive in Teilformeln der gegebenen Formel zu erweitern. Die Regeln lauten

$$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$$

wobei "$\Leftrightarrow$", auch geschrieben $\,\equiv ,\,$ ein metalogisches Symbol ist, das "kann in einem Beweis ersetzt werden durch" oder "ist logisch äquivalent zu". ⓘ

Wahrheitsfunktionale Konnektive

Distributivität ist eine Eigenschaft einiger logischer Konnektive der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik. Die folgenden logischen Äquivalenzen zeigen, dass Distributivität eine Eigenschaft bestimmter Konnektive ist. Die folgenden sind wahrheitsfunktionale Tautologien.

$${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}$$

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Doppelte Verteilung

$${\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}$$

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Verteilbarkeit und Rundung

In der approximativen Arithmetik, z. B. in der Fließkommaarithmetik, kann die distributive Eigenschaft der Multiplikation (und Division) gegenüber der Addition an den Grenzen der arithmetischen Präzision scheitern. Zum Beispiel versagt die Identität $1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3$ in der Dezimalarithmetik nicht, unabhängig von der Anzahl der signifikanten Ziffern. Methoden wie das Runden nach dem Bankprinzip können in einigen Fällen helfen, ebenso wie die Erhöhung der verwendeten Genauigkeit, aber letztendlich sind einige Rechenfehler unvermeidlich. ⓘ

In Ringen und anderen Strukturen

Die Distributivität kommt am häufigsten in Semiren vor, insbesondere in Ringen und distributiven Gittern. ⓘ

Ein Semiring hat zwei binäre Operationen, die üblicherweise mit $\,+\,$ und $\,*,$ und erfordert, dass $\,*\,$ sich aufteilen muss über $\,+.$ ⓘ

Ein Ring ist ein Semiring mit additiven Inversen. ⓘ

Ein Gitter ist eine andere Art von algebraischer Struktur mit zwei binären Operationen, $\,\land {\text{ and }}\lor .$ Wenn eine dieser Operationen über die andere verteilt ist (z. B. $\,\land \,$ verteilt über $\,\lor$), dann gilt auch der umgekehrte Fall ($\,\lor \,$ verteilt über $\,\land \,$), und der Verband wird distributiv genannt. Siehe auch Distributivität (Ordnungstheorie). ⓘ

Eine Boolesche Algebra kann entweder als eine spezielle Art von Ring (ein Boolescher Ring) oder als eine spezielle Art von distributivem Gitter (ein Boolesches Gitter) interpretiert werden. Jede Interpretation ist für unterschiedliche Distributivgesetze in der Booleschen Algebra verantwortlich. ⓘ

Ähnliche Strukturen ohne Distributivgesetze sind Near-Ringe und Near-Fields anstelle von Ringen und Divisionsringen. Die Operationen sind in der Regel so definiert, dass sie auf der rechten Seite distributiv sind, auf der linken Seite jedoch nicht. ⓘ

Verallgemeinerungen

In mehreren mathematischen Bereichen werden verallgemeinerte Distributivitätsgesetze in Betracht gezogen. Dabei kann es sich um die Abschwächung der obigen Bedingungen oder um die Erweiterung auf infinitäre Operationen handeln. Vor allem in der Ordnungstheorie findet man zahlreiche wichtige Varianten der Distributivität, von denen einige unendliche Operationen einschließen, wie z. B. das unendliche Distributivgesetz; andere sind definiert bei Vorhandensein von nur einer binären Operation definiert sind, wie die entsprechenden Definitionen und ihre Beziehungen im Artikel Distributivität (Ordnungstheorie) aufgeführt sind. Dazu gehört auch der Begriff des vollständig distributiven Gitters. ⓘ

Bei Vorhandensein einer Ordnungsrelation kann man die obigen Gleichungen auch abschwächen, indem man $\,=\,$ entweder durch $\,\leq \,$ oder $\,\geq .$ Dies führt natürlich nur in bestimmten Situationen zu sinnvollen Begriffen. Eine Anwendung dieses Prinzips ist der Begriff der Unterdistributivität, der im Artikel über Intervallarithmetik erläutert wird. ⓘ

In der Kategorientheorie, wenn $(S,\mu ,\nu )$ und $\left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)$ Monaden auf einer Kategorie sind $C,$ ein Distributivgesetz $S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ ist eine natürliche Transformation $\lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S$ derart, dass $\left(S^{\prime },\lambda \right)$ eine laxe Abbildung von Monaden ist $S\to S$ und $(S,\lambda )$ eine Colax-Abbildung von Monaden ist $S^{\prime }\to S^{\prime }.$ Dies sind genau die Daten, die zur Definition einer Monadenstruktur auf $S^{\prime }.S$zu definieren: die Multiplikationsabbildung ist $S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S$ und die Einheitskarte ist $\eta ^{\prime }S.\eta .$ Siehe: Distributivgesetz zwischen Monaden. ⓘ

Ein verallgemeinertes Distributivgesetz wurde auch auf dem Gebiet der Informationstheorie vorgeschlagen. ⓘ

Antidistributivität

Die allgegenwärtige Identität, die die Inversen mit der binären Operation in jeder Gruppe verbindet, nämlich $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},$ die im allgemeineren Kontext einer Halbgruppe mit Involution als Axiom betrachtet wird, wird manchmal als antidistributive Eigenschaft (der Inversion als unäre Operation) bezeichnet. ⓘ

Im Kontext eines Beinahe-Rings, der die Kommutativität der additiv geschriebenen Gruppe aufhebt und nur einseitige Distributivität voraussetzt, kann man von (zweiseitigen) distributiven Elementen, aber auch von antidistributiven Elementen sprechen. Letztere kehren die Reihenfolge der (nicht-kommutativen) Addition um; unter der Annahme einer Linksverknüpfung (d.h. einer, bei der alle Elemente bei der Multiplikation auf der linken Seite verteilt werden), kehrt ein antidistributives Element $a$ die Reihenfolge der Addition um, wenn es nach rechts multipliziert wird: $(x+y)a=ya+xa.$ ⓘ

Im Studium der Aussagenlogik und der Booleschen Algebra wird der Begriff Antidistributivgesetz manchmal verwendet, um den Austausch zwischen Konjunktion und Disjunktion zu bezeichnen, wenn die Implikation über sie faktorisiert:

$$(a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)$$

$$(a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).$$

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Diese beiden Tautologien sind eine direkte Folge der Dualität der De Morganschen Gesetze. ⓘ