Bruchrechnung

Ein Kuchen, bei dem ein Viertel (ein Viertel) entfernt wurde. Die verbleibenden drei Viertel sind durch gepunktete Linien dargestellt und mit dem Bruchteil 1/4 bezeichnet. ⓘ

Ein Bruch (von lateinisch fractus, "gebrochen") steht für einen Teil eines Ganzen oder, allgemeiner, für eine beliebige Anzahl von gleichen Teilen. Im Alltagssprachgebrauch beschreibt ein Bruch, wie viele Teile einer bestimmten Größe es gibt, z. B. die Hälfte, acht Fünftel, drei Viertel. Ein gewöhnlicher, vulgärer oder einfacher Bruch (Beispiele: ${\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {17}{3}}$) besteht aus einem Zähler, der über einem Strich (oder vor einem Schrägstrich wie 1⁄2) steht, und einem von Null verschiedenen Nenner, der unter (oder nach) diesem Strich steht. Zähler und Nenner werden auch in nicht-gemeinsamen Brüchen verwendet, einschließlich zusammengesetzter Brüche, komplexer Brüche und gemischter Zahlen. ⓘ

Bei positiven gewöhnlichen Brüchen sind der Zähler und der Nenner natürliche Zahlen. Der Zähler steht für eine Anzahl gleicher Teile, und der Nenner gibt an, wie viele dieser Teile eine Einheit oder ein Ganzes bilden. Der Nenner kann nicht gleich Null sein, da Nullteile niemals ein Ganzes bilden können. Beim Bruch 3/4 gibt der Zähler 3 beispielsweise an, dass der Bruch aus 3 gleichen Teilen besteht, und der Nenner 4, dass 4 Teile ein Ganzes bilden. Die Abbildung auf der rechten Seite zeigt 3/4 eines Kuchens. ⓘ

Ein gewöhnlicher Bruch ist eine Zahl, die eine rationale Zahl darstellt. Dieselbe Zahl kann auch als Dezimalzahl, Prozentzahl oder mit einem negativen Exponenten dargestellt werden. Zum Beispiel entsprechen 0,01, 1 % und 10-2 dem Bruch 1/100. Eine ganze Zahl hat einen impliziten Nenner von eins (z. B. 7 ist gleich 7/1). ⓘ

Andere Verwendungszwecke für Brüche sind die Darstellung von Verhältnissen und Divisionen. So kann der Bruch 3/4 auch zur Darstellung des Verhältnisses 3:4 (das Verhältnis des Teils zum Ganzen) und der Division 3 ÷ 4 (drei geteilt durch vier) verwendet werden. Die Nicht-Null-Nenner-Regel, die bei der Darstellung einer Division als Bruch gilt, ist ein Beispiel für die Regel, dass die Division durch Null undefiniert ist. ⓘ

Wir können auch negative Brüche schreiben, die das Gegenteil eines positiven Bruchs darstellen. Wenn z. B. 1/2 für einen halben Dollar Gewinn steht, dann bedeutet -1/2 einen halben Dollar Verlust. Aufgrund der Regeln für die Division vorzeichenbehafteter Zahlen (die unter anderem besagen, dass Negatives geteilt durch Positives negativ ist), stellen -1/2, -1/2 und 1/-2 denselben Bruch dar - eine negative Hälfte. Und da ein Negativ geteilt durch ein Negativ ein Positiv ergibt, steht -1/-2 für eine positive Hälfte. ⓘ

In der Mathematik wird die Menge aller Zahlen, die sich in der Form a/b ausdrücken lassen, wobei a und b ganze Zahlen sind und b nicht Null ist, als Menge der rationalen Zahlen bezeichnet und durch das Symbol Q dargestellt, das für Quotient steht. Eine Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie in dieser Form geschrieben werden kann (d. h. als gemeinsamer Bruch). Das Wort Bruch kann jedoch auch verwendet werden, um mathematische Ausdrücke zu beschreiben, die keine rationalen Zahlen sind. Beispiele für diese Verwendung sind algebraische Brüche (Quotienten algebraischer Ausdrücke) und Ausdrücke, die irrationale Zahlen enthalten, wie ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ (siehe Quadratwurzel aus 2) und π/4 (siehe Beweis, dass π irrational ist). ⓘ

Im engeren Sinn bezeichnet Bruchrechnung das Rechnen mit gemeinen Brüchen (manchmal auch gewöhnlichen Brüchen) in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ (siehe unten). Bruchrechnung gehört damit zur analytischen Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik. ⓘ

Eine wichtigere Erweiterung besteht in der Zulassung von Bruchtermen, das sind Ausdrücke, die formal wie gemeine Brüche gebildet werden, bei denen aber Zähler und Nenner Terme sein können, die Variablen enthalten. Für diese Bruchterme gelten die Bruchrechenregeln sinngemäß. Das Rechnen mit Bruchtermen gehört aber zur Algebra. ⓘ

Die Regeln der Bruchrechnung beziehen sich auf die Grundrechenarten, also auf Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, sowie auf die Kehrwertbildung. Insbesondere bei Bruchtermen kommen auch Regeln für Potenzen und Wurzeln hinzu. ⓘ

Außerdem gibt es eine Kürzungs- und Erweiterungsregel, die eine Besonderheit der Bruchrechnung sind. Sie beruht auf dem Unterschied zwischen Bruch und Bruchzahl, der im folgenden Abschnitt genauer dargestellt wird. ⓘ

Die Bruchschreibweise, also die Schreibweise mit Bruchstrich, geht auf Leonardo von Pisa zurück, der sie 1228 einführte. Sie wird ganz allgemein in verschiedenen Bereichen der Mathematik, besonders in der Algebra, immer dann verwendet, wenn in der untersuchten Struktur die elementaren Bruchrechenregeln, insbesondere die Kürzungs- und Erweiterungsregel, gelten. Auch hier spricht man immer dann von „Bruchrechnung“, wenn diese Regeln angewendet werden. ⓘ

Wortschatz

Bei einem Bruch ist die Anzahl der gleichen Teile, die beschrieben werden, der Zähler (von lateinisch numerātor, "Zähler" oder "Zähler"), und die Art oder Vielfalt der Teile ist der Nenner (von lateinisch dēnōminātor, "etwas, das benennt oder bezeichnet"). Ein Beispiel: Der Bruch 8/5 besteht aus acht Teilen, von denen jeder der Art "Fünftel" angehört. Bei der Division entspricht der Zähler dem Dividenden und der Nenner dem Divisor. ⓘ

Informell können Zähler und Nenner allein durch die Platzierung unterschieden werden, aber in formalen Zusammenhängen werden sie gewöhnlich durch einen Bruchstrich getrennt. Der Bruchstrich kann horizontal (wie in 1/3), schräg (wie in 2/5) oder diagonal (wie in 4⁄9) verlaufen. Diese Zeichen werden als horizontaler Balken, Virgule, Slash (US) oder Stroke (UK) und als Bruchstrich, Solidus oder Bruchschrägstrich bezeichnet. In der Typografie werden vertikal gestapelte Brüche auch als "en" oder "Nussbrüche" und diagonale Brüche als "em" oder "Hammelbrüche" bezeichnet, je nachdem, ob ein Bruch mit einem einstelligen Zähler und Nenner den Anteil eines schmalen en-Quadrats oder eines breiteren em-Quadrats einnimmt. Im traditionellen Schriftsatz wurde ein Schriftstück, das einen vollständigen Bruch (z. B. 1/2) enthielt, als "Fallfraktion" bezeichnet, während diejenigen, die nur einen Teil des Bruchs darstellten, "Stückfraktionen" genannt wurden. ⓘ

Die Nenner englischer Brüche werden im Allgemeinen als Ordnungszahlen ausgedrückt, und zwar im Plural, wenn der Zähler nicht 1 ist (z. B. 2/5 und 3/5 werden beide als eine Anzahl von "Quinten" gelesen). ) Ausnahmen sind der Nenner 2, der immer als "Hälfte" oder "Hälften" gelesen wird, der Nenner 4, der alternativ als "Viertel"/"Quarters" oder als "Viertel"/"Quarters" ausgedrückt werden kann, und der Nenner 100, der alternativ als "Hundertstel"/"Hundertstel" oder "Prozent" ausgedrückt werden kann. ⓘ

Wenn der Nenner 1 ist, kann er als "ganze Zahl" ausgedrückt werden, wird aber in der Regel ignoriert und der Zähler als ganze Zahl angegeben. Zum Beispiel kann 3/1 als "drei Ganzzahlen" oder einfach als "drei" bezeichnet werden. Wenn der Zähler 1 ist, kann er weggelassen werden (wie in "ein Zehntel" oder "jedes Viertel"). ⓘ

Der gesamte Bruch kann als eine einzige Zusammensetzung ausgedrückt werden, in diesem Fall wird er mit Bindestrich geschrieben, oder als eine Anzahl von Brüchen mit dem Zähler 1, in diesem Fall werden sie nicht geschrieben. (Zum Beispiel ist "zwei Fünftel" der Bruch 2/5 und "zwei Fünftel" ist derselbe Bruch, verstanden als 2 Instanzen von 1/5). Brüche sollten immer mit Bindestrich geschrieben werden, wenn sie als Adjektive verwendet werden. Alternativ kann ein Bruch auch so beschrieben werden, dass der Zähler "über" dem Nenner steht, wobei der Nenner als Kardinalzahl ausgedrückt wird. (Zum Beispiel kann 3/1 auch als "drei über eins" ausgedrückt werden.) Der Begriff "über" wird auch im Fall von Solidusbrüchen verwendet, bei denen die Zahlen links und rechts von einem Schrägstrich stehen. (Brüche mit großen Nennern, die keine Zehnerpotenzen sind, werden oft auf diese Weise wiedergegeben (z. B. 1/117 als "eins über einhundertsiebzehn"), während Brüche mit Nennern, die durch zehn teilbar sind, in der Regel auf die normale ordinale Weise gelesen werden (z. B. 6/1000000 als "sechs Millionstel", "sechs Millionstel" oder "sechs Einmillionstel"). ⓘ

Formen von Brüchen

Die folgenden Regeln gelten sowohl beim Bruchrechnen im engeren Sinn als auch beim Rechnen mit Bruchtermen. Beim Rechnen mit Brüchen stehen die Variablen $a,\;b,\;c,\;d,\;n\;$ in den Regeln für bestimmte ganze Zahlen. Setzt man stattdessen für diese Variablen andere Ausdrücke, z. B. selbst wieder echte Brüche, Dezimalbrüche oder Terme ein, dann erhält man Regeln für das Rechnen mit Bruchtermen, das Bruchrechnen im weiteren Sinn. ⓘ

Beim Rechnen mit Brüchen liefern die abstrakten Rechenregeln stets korrekte Ergebnisse, häufig ist die Rechnung mit den „praktischen Rechenregeln“ weniger aufwändig. ⓘ

Beim Multiplizieren oder Dividieren von gemischten Brüchen ist es meist nötig, diese zunächst in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. (Außer bei ganz einfachen Aufgaben, wie etwa $6{\tfrac {1}{3}}:2=3{\tfrac {1}{6}}$.) ⓘ

Beim Addieren und Subtrahieren dagegen ist es viel günstiger, die Ganzen für sich zu betrachten und Bruchrechnung nur bei den verbleibenden echten Brüchen anzuwenden. Beim Addieren kann hier ein zusätzliches Ganzes auftreten, beim Subtrahieren mögen die Bruchteile nicht ausreichen, sodass eines der Ganzen zu einem Scheinbruch aufgeteilt werden muss:

$13{\tfrac {3}{4}}+27{\tfrac {1}{2}}=40+\left({\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {1}{2}}\right)=40+1{\tfrac {1}{4}}=41{\tfrac {1}{4}}$; ⓘ

$16{\tfrac {1}{3}}-9{\tfrac {1}{2}}=7+\left({\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{2}}\right)=7+\left({\tfrac {2}{6}}-{\tfrac {3}{6}}\right)=6+\left({\tfrac {6}{6}}+{\tfrac {2}{6}}-{\tfrac {3}{6}}\right)=6{\tfrac {5}{6}}$. ⓘ

Einfache, gewöhnliche oder gemeine Brüche

Ein einfacher Bruch (auch als gewöhnlicher Bruch oder vulgärer Bruch bezeichnet, wobei vulgär lateinisch für "gewöhnlich" ist) ist eine rationale Zahl, die als a/b oder ${\tfrac {a}{b}}$geschrieben wird, wobei a und b beide ganze Zahlen sind. Wie bei anderen Brüchen kann der Nenner (b) nicht gleich Null sein. Beispiele hierfür sind ${\tfrac {1}{2}}$, $-{\tfrac {8}{5}}$, ${\tfrac {-8}{5}}$, und ${\tfrac {8}{-5}}$. Der Begriff wurde ursprünglich verwendet, um diese Art von Bruch von dem in der Astronomie verwendeten Sexagesimalbruch zu unterscheiden. ⓘ

Gemeinsame Brüche können positiv oder negativ sein, und sie können richtig oder unrichtig sein (siehe unten). Zusammengesetzte Brüche, komplexe Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalzahlen (siehe unten) sind keine gewöhnlichen Brüche, können aber, sofern sie nicht irrational sind, in einen gewöhnlichen Bruch umgerechnet werden.

• Ein Einheitsbruch ist ein gewöhnlicher Bruch mit einem Zähler von 1 (z. B., ${\tfrac {1}{7}}$). Einheitsbrüche können auch mit negativen Exponenten ausgedrückt werden, z. B. 2-1, was 1/2 entspricht, und 2-2, was 1/(2²) oder 1/4 entspricht.
• Ein dyadischer Bruch ist ein gemeinsamer Bruch, bei dem der Nenner eine Potenz von zwei ist, z. B. ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$. ⓘ

In Unicode befinden sich die vorkomponierten Bruchzeichen im Block Number Forms. ⓘ

Richtige und unrichtige Brüche

Gängige Brüche können entweder als echte oder unechte Brüche klassifiziert werden. Wenn Zähler und Nenner beide positiv sind, wird der Bruch als richtig bezeichnet, wenn der Zähler kleiner als der Nenner ist, andernfalls als unechter Bruch. Das Konzept des "unechten Bruchs" ist eine späte Entwicklung, wobei sich die Terminologie aus der Tatsache ableitet, dass "Bruch" "ein Stück" bedeutet, so dass ein echter Bruch kleiner als 1 sein muss. Dies wurde im Lehrbuch The Ground of Arts aus dem 17. ⓘ

Im Allgemeinen wird ein gewöhnlicher Bruch als echter Bruch bezeichnet, wenn der absolute Wert des Bruchs streng genommen kleiner als 1 ist, d. h. wenn der Bruch größer als -1 und kleiner als 1 ist. Er wird als unechter Bruch oder manchmal als kopflastiger Bruch bezeichnet, wenn der absolute Wert des Bruchs größer oder gleich 1 ist. Beispiele für echte Brüche sind 2/3, -3/4 und 4/9, während Beispiele für unechte Brüche 9/4, -4/3 und 3/3 sind. ⓘ

Kehrwerte und der "unsichtbare Nenner"

Der Kehrwert eines Bruchs ist ein anderer Bruch, bei dem der Zähler und der Nenner vertauscht sind. Der Kehrwert von ${\tfrac {3}{7}}$ist zum Beispiel ${\tfrac {7}{3}}$. Das Produkt aus einem Bruch und seinem Kehrwert ist 1, also ist der Kehrwert der multiplikative Kehrwert eines Bruchs. Der Kehrwert eines echten Bruchs ist ein unechter Bruch, und der Kehrwert eines unechten Bruchs, der nicht gleich 1 ist (d. h. Zähler und Nenner sind nicht gleich), ist ein echter Bruch. ⓘ

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleich sind (z. B., ${\tfrac {7}{7}}$), ist sein Wert 1, und der Bruch ist somit unechter Bruch. Sein Kehrwert ist identisch und daher ebenfalls gleich 1 und unzulässig. ⓘ

Jede ganze Zahl kann als Bruch mit der Zahl eins im Nenner geschrieben werden. Zum Beispiel kann 17 geschrieben werden als ${\tfrac {17}{1}}$wobei 1 manchmal als der unsichtbare Nenner bezeichnet wird. Daher hat jeder Bruch oder jede ganze Zahl, mit Ausnahme von Null, einen Kehrwert. Zum Beispiel ist der Kehrwert von 17 ${\tfrac {1}{17}}$. ⓘ

Verhältnisse

Ein Verhältnis ist eine Beziehung zwischen zwei oder mehr Zahlen, die manchmal als Bruch ausgedrückt werden kann. In der Regel wird eine Reihe von Elementen gruppiert und in einem Verhältnis verglichen, wobei das Verhältnis zwischen den einzelnen Gruppen numerisch angegeben wird. Verhältnisse werden ausgedrückt als "Gruppe 1 zu Gruppe 2 ... zu Gruppe n". Wenn zum Beispiel auf einem Parkplatz 12 Fahrzeuge stehen, von denen

• 2 weiß sind,
• 6 rot sind und
• 4 gelb sind, ⓘ

dann ist das Verhältnis von roten zu weißen zu gelben Autos 6 zu 2 zu 4. Das Verhältnis von gelben Autos zu weißen Autos ist 4 zu 2 und kann als 4:2 oder 2:1 ausgedrückt werden. ⓘ

Ein Verhältnis wird oft in einen Bruch umgewandelt, wenn es als Verhältnis zum Ganzen ausgedrückt wird. Im obigen Beispiel ist das Verhältnis der gelben Autos zu allen Autos auf dem Parkplatz 4:12 oder 1:3. Wir können diese Verhältnisse in einen Bruch umwandeln und sagen, dass 4/12 der Autos oder 1/3 der Autos auf dem Parkplatz gelb sind. Wenn also eine Person zufällig ein Auto auf dem Parkplatz auswählt, ist die Chance oder Wahrscheinlichkeit, dass es gelb ist, eins zu drei. ⓘ

Dezimalbrüche und Prozentsätze

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner nicht explizit angegeben ist, sondern als ganzzahlige Potenz von zehn verstanden wird. Dezimalbrüche werden üblicherweise mit der Dezimalschreibweise ausgedrückt, bei der der implizite Nenner durch die Anzahl der Ziffern rechts von einem Dezimaltrennzeichen bestimmt wird, dessen Aussehen (z. B. ein Punkt, ein erhöhter Punkt (-), ein Komma) vom jeweiligen Gebietsschema abhängt (für Beispiele siehe Dezimaltrennzeichen). So ist bei 0,75 der Zähler 75 und der implizite Nenner 10 hoch 100, weil sich rechts vom Dezimaltrennzeichen zwei Ziffern befinden. Bei Dezimalzahlen, die größer als 1 sind (z. B. 3,75), wird der Bruchteil der Zahl durch die Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen ausgedrückt (in diesem Fall mit einem Wert von 0,75). 3,75 kann entweder als unechter Bruch, 375/100, oder als gemischte Zahl geschrieben werden, $3{\tfrac {75}{100}}$. ⓘ

Dezimalbrüche können auch in wissenschaftlicher Notation mit negativen Exponenten ausgedrückt werden, z. B. 6,023×10-7, was 0,0000006023 entspricht. Die 10-7 steht für einen Nenner von 10⁷. Bei der Division durch 10⁷ wird der Dezimalpunkt um 7 Stellen nach links verschoben. ⓘ

Dezimalbrüche mit unendlich vielen Ziffern rechts vom Dezimaltrennzeichen stellen eine unendliche Reihe dar. Zum Beispiel steht 1/3 = 0,333... für die unendliche Reihe 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... . ⓘ

Eine andere Art von Bruch ist der Prozentsatz (lateinisch per centum für "pro Hundert", dargestellt durch das Symbol %), bei dem der implizite Nenner immer 100 ist. 51 % bedeutet also 51/100. Prozentzahlen, die größer als 100 oder kleiner als Null sind, werden auf die gleiche Weise behandelt, z. B. 311 % entspricht 311/100, und -27 % entspricht -27/100. ⓘ

Das verwandte Konzept von Promille oder Teilen pro Tausend (ppt) hat einen impliziten Nenner von 1000, während die allgemeinere Teile-pro-Schreibweise, wie in 75 Teile pro Million (ppm), bedeutet, dass der Anteil 75/1.000.000 beträgt. ⓘ

Ob gemeinsame Brüche oder Dezimalbrüche verwendet werden, ist oft eine Frage des Geschmacks und des Kontexts. Gemeinsame Brüche werden am häufigsten verwendet, wenn der Nenner relativ klein ist. Es ist einfacher, 16 mit 3/16 zu multiplizieren, als die gleiche Berechnung mit dem Dezimalbruch (0,1875) durchzuführen. Und es ist genauer, beispielsweise 15 mit 1/3 zu multiplizieren, als 15 mit einer beliebigen dezimalen Annäherung an ein Drittel zu multiplizieren. Geldwerte werden üblicherweise als Dezimalbrüche mit dem Nenner 100 ausgedrückt, d. h. mit zwei Dezimalstellen, z. B. 3,75 $. Wie bereits erwähnt, erhielten Shillings und Pence in der britischen Währung vor dem Dezimalsystem jedoch häufig die Form (aber nicht die Bedeutung) eines Bruchs, wie z. B. 3/6 (gelesen "drei und sechs"), was 3 Shillings und 6 Pence bedeutet und keine Beziehung zum Bruch 3/6 hat. ⓘ

Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl (auch gemischter Bruch oder gemischte Zahl genannt) ist eine traditionelle Bezeichnung für die Summe einer ganzen Zahl ungleich Null und eines echten Bruchs (mit demselben Vorzeichen). Sie wird vor allem im Messwesen verwendet: $2{\tfrac {3}{16}}$Zoll, zum Beispiel. Bei wissenschaftlichen Messungen wird fast ausnahmslos die Dezimalschreibweise und nicht die gemischte Zahl verwendet. Die Summe kann ohne die Verwendung eines sichtbaren Operators wie dem entsprechenden "+" impliziert werden. Wenn beispielsweise von zwei ganzen Kuchen und drei Vierteln eines anderen Kuchens die Rede ist, können die Ziffern, die den ganzzahligen Teil und den Bruchteil der Kuchen bezeichnen, nebeneinander geschrieben werden als $2{\tfrac {3}{4}}$anstelle der eindeutigen Schreibweise $2+{\tfrac {3}{4}}.$ Negative gemischte Ziffern, wie in $-2{\tfrac {3}{4}}$werden behandelt wie $\scriptstyle -\left(2+{\frac {3}{4}}\right).$ Jede derartige Summe aus einem Ganzen und einem Teil kann durch Anwendung der Regeln für die Addition ungleicher Mengen in einen unechter Bruch umgewandelt werden. ⓘ

Diese Tradition steht formal im Widerspruch zur Notation in der Algebra, wo benachbarte Symbole ohne expliziten Infix-Operator ein Produkt bezeichnen. In dem Ausdruck $2x$ist die "verstandene" Operation die Multiplikation. Ersetzt man x z. B. durch den Bruch ${\tfrac {3}{4}}$ersetzt, muss die "verstandene" Multiplikation durch eine explizite Multiplikation ersetzt werden, um das Auftreten einer gemischten Zahl zu vermeiden. ⓘ

Wenn die Multiplikation gemeint ist, $2{\tfrac {b}{c}}$ kann geschrieben werden als ⓘ

$2\cdot {\frac {b}{c}},\quad$ oder $\quad 2\times {\frac {b}{c}},\quad$ oder $\quad 2\left({\frac {b}{c}}\right),\;\ldots$ ⓘ

Ein unechter Bruch lässt sich wie folgt in eine gemischte Zahl umwandeln:

1. Unter Verwendung der euklidischen Division (Division mit Rest) wird der Zähler durch den Nenner geteilt. Im Beispiel, ${\tfrac {11}{4}}$wird 11 durch 4 geteilt. 11 ÷ 4 = 2, Rest 3.
2. Der Quotient (ohne den Rest) wird zum ganzzahligen Teil der gemischten Zahl. Der Rest wird zum Zähler des Bruchteils. In diesem Beispiel ist 2 der ganzzahlige Teil und 3 der Zähler des gebrochenen Teils.
3. Der neue Nenner ist derselbe wie der Nenner des unechten Bruchs. Im Beispiel ist er 4. Also, ${\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$. ⓘ

Historische Begriffe

Ägyptischer Bruch

Ein ägyptischer Bruch ist die Summe verschiedener positiver Einheitsbrüche, z. B. ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$. Diese Definition ergibt sich aus der Tatsache, dass die alten Ägypter alle Brüche außer ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$ auf diese Weise ausdrückten. Jede positive rationale Zahl kann als ägyptischer Bruch erweitert werden. Zum Beispiel, ${\tfrac {5}{7}}$ kann geschrieben werden als ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.$ Jede positive rationale Zahl kann auf unendlich viele Arten als Summe von Einheitsbrüchen geschrieben werden. Zwei Möglichkeiten der Schreibweise ${\tfrac {13}{17}}$ sind ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ und ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$. ⓘ

Komplexe und zusammengesetzte Brüche

Bei einem komplexen Bruch ist entweder der Zähler oder der Nenner oder beides ein Bruch oder eine gemischte Zahl, was der Division von Brüchen entspricht. Zum Beispiel, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ und ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ sind komplexe Brüche. Um einen komplexen Bruch auf einen einfachen Bruch zu reduzieren, wird die längste Bruchlinie als Division betrachtet. Ein Beispiel:

${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}$ ⓘ

${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}$ ⓘ

${\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}$ ⓘ

${\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.$ ⓘ

Wenn es bei einem komplexen Bruch keine eindeutige Möglichkeit gibt, zu sagen, welche Bruchlinie Vorrang hat, dann ist dieser Ausdruck aufgrund von Mehrdeutigkeit nicht korrekt gebildet. So ist 5/10/20/40 kein gültiger mathematischer Ausdruck, weil es mehrere mögliche Interpretationen gibt, z. B. als

$5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad$ oder als $\quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1$ ⓘ

Ein zusammengesetzter Bruch ist ein Bruch eines Bruchs oder eine beliebige Anzahl von Brüchen, die mit dem Wort of verbunden sind, was der Multiplikation von Brüchen entspricht. Um einen zusammengesetzten Bruch auf einen einfachen Bruch zu reduzieren, genügt es, die Multiplikation durchzuführen (siehe den Abschnitt über die Multiplikation). Zum Beispiel, ${\tfrac {3}{4}}$ von ${\tfrac {5}{7}}$ ist ein zusammengesetzter Bruch, der folgendem entspricht ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$. Die Begriffe zusammengesetzter Bruch und komplexer Bruch sind eng miteinander verwandt, und manchmal wird der eine als Synonym für den anderen verwendet. (Zum Beispiel ist der zusammengesetzte Bruch ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ ist gleichbedeutend mit dem komplexen Bruch ${\tfrac {3/4}{7/5}}$.) ⓘ

Dennoch können die Begriffe "komplexer Bruch" und "zusammengesetzter Bruch" als veraltet betrachtet werden und werden heute nicht mehr in eindeutiger Weise verwendet, teilweise werden sie sogar synonym füreinander oder für gemischte Zahlen verwendet. Sie haben ihre Bedeutung als Fachbegriffe verloren, und die Attribute "komplex" und "zusammengesetzt" werden eher in ihrer alltäglichen Bedeutung "aus Teilen bestehend" verwendet. ⓘ

Arithmetik mit Brüchen

Wie ganze Zahlen gehorchen auch Brüche dem Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz sowie der Regel gegen die Division durch Null. ⓘ

Äquivalente Brüche

Multipliziert man den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl (ungleich Null), so erhält man einen Bruch, der dem ursprünglichen Bruch entspricht. Dies ist wahr, weil für jede von Null verschiedene Zahl $n$der Bruch ${\tfrac {n}{n}}$ gleich ist. $1$. Daher ist die Multiplikation mit ${\tfrac {n}{n}}$ dasselbe wie die Multiplikation mit Eins, und jede mit Eins multiplizierte Zahl hat denselben Wert wie die ursprüngliche Zahl. Gehen wir als Beispiel von dem Bruch aus ${\tfrac {1}{2}}$. Wenn der Zähler und der Nenner beide mit 2 multipliziert werden, ist das Ergebnis ${\tfrac {2}{4}}$was den gleichen Wert (0,5) hat wie ${\tfrac {1}{2}}$. Um dies visuell zu veranschaulichen, stellen Sie sich vor, Sie schneiden einen Kuchen in vier Stücke; zwei der Stücke ergeben zusammen (${\tfrac {2}{4}}$) ergeben die Hälfte des Kuchens (${\tfrac {1}{2}}$). ⓘ

Vereinfachen (Reduzieren) von Brüchen

Teilt man den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl, die nicht Null ist, so erhält man einen äquivalenten Bruch: Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs beide durch eine Zahl (einen so genannten Faktor) größer als 1 teilbar sind, dann kann der Bruch in einen äquivalenten Bruch mit kleinerem Zähler und kleinerem Nenner reduziert werden. Wenn zum Beispiel sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs ${\tfrac {a}{b}}$ sind teilbar durch $c,$ dann können sie geschrieben werden als $a=cd$ und $b=ce,$ und der Bruch wird zu ${\tfrac {cd}{ce}}$der sich durch Division von Zähler und Nenner durch $c$ dividiert werden, was den reduzierten Bruch ergibt ${\tfrac {d}{e}}.$ ⓘ

Nimmt man für c den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, erhält man den äquivalenten Bruch, dessen Zähler und Nenner die kleinsten absoluten Werte haben. Man sagt, dass der Bruch auf seine kleinsten Terme reduziert wurde. ⓘ

Wenn der Zähler und der Nenner keinen Faktor größer als 1 haben, ist der Bruch bereits auf seine kleinsten Terme reduziert, und man sagt, er sei irreduzibel, reduziert oder in den einfachsten Termen. Ein Beispiel, ${\tfrac {3}{9}}$ nicht in den kleinsten Termen, weil sowohl 3 als auch 9 genau durch 3 geteilt werden können, ${\tfrac {3}{8}}$ in den kleinsten Termen - die einzige positive ganze Zahl, die gleichmäßig in 3 und 8 eingeht, ist 1. ⓘ

Mit diesen Regeln können wir zeigen, dass ${\tfrac {5}{10}}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {10}{20}}={\tfrac {50}{100}}$zum Beispiel. ⓘ

Ein weiteres Beispiel: Da der größte gemeinsame Teiler von 63 und 462 21 ist, kann der Bruch ${\tfrac {63}{462}}$ auf die kleinsten Terme reduziert werden, indem Zähler und Nenner durch 21 dividiert werden:

${\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}$ ⓘ

Der euklidische Algorithmus bietet eine Methode zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers zweier beliebiger ganzer Zahlen. ⓘ

Vergleich von Brüchen

Der Vergleich von Brüchen mit demselben positiven Nenner führt zum gleichen Ergebnis wie der Vergleich der Zähler:

${\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}$ denn 3 > 2, und die gleichen Nenner $4$ positiv sind. ⓘ

Sind die gleichen Nenner negativ, dann gilt für die Brüche das umgekehrte Ergebnis des Vergleichs der Zähler:

${\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.$ ⓘ

Wenn zwei positive Brüche denselben Zähler haben, dann ist der Bruch mit dem kleineren Nenner die größere Zahl. Wenn ein Ganzes in gleiche Teile geteilt wird und weniger gleiche Teile benötigt werden, um das Ganze zu bilden, muss jedes Teil größer sein. Wenn zwei positive Brüche denselben Zähler haben, stellen sie dieselbe Anzahl von Teilen dar, aber bei dem Bruch mit dem kleineren Nenner sind die Teile größer. ⓘ

Eine Möglichkeit, Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern zu vergleichen, besteht darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Um zu vergleichen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$zu vergleichen, werden diese umgewandelt in ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ und ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ (wobei der Punkt für die Multiplikation steht und ein alternatives Symbol zu × ist). Dann ist bd ein gemeinsamer Nenner und die Zähler ad und bc können verglichen werden. Es ist nicht notwendig, den Wert des gemeinsamen Nenners zu bestimmen, um Brüche zu vergleichen - man kann einfach ad und bc vergleichen, ohne bd zu bewerten, z. B. der Vergleich ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ ergibt ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$. ⓘ

Für die etwas aufwändigere Frage ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}},$ multipliziert man den oberen und unteren Teil jedes Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten, so ergibt sich ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$. Es ist nicht notwendig zu berechnen $18\times 17$ - nur die Zähler müssen verglichen werden. Da 5×17 (= 85) größer ist als 4×18 (= 72), ist das Ergebnis des Vergleichs ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$. ⓘ

Da jede negative Zahl, einschließlich negativer Brüche, kleiner als Null ist und jede positive Zahl, einschließlich positiver Brüche, größer als Null ist, folgt daraus, dass jeder negative Bruch kleiner ist als jeder positive Bruch. Zusammen mit den oben genannten Regeln lassen sich so alle möglichen Brüche vergleichen. ⓘ

Addition

Die erste Additionsregel besagt, dass nur gleiche Mengen addiert werden können, z. B. verschiedene Mengen von Vierteln. Ungleiche Mengen, wie z. B. die Addition von Dritteln zu Vierteln, müssen zunächst in gleiche Mengen umgewandelt werden, wie unten beschrieben: Stellen Sie sich eine Tasche mit zwei Vierteln und eine weitere Tasche mit drei Vierteln vor; insgesamt gibt es fünf Viertel. Da vier Vierteldollar einem (Dollar) entsprechen, lässt sich dies wie folgt darstellen:

${\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}$. ⓘ

Wenn ${\tfrac {1}{2}}$ eines Kuchens zu ${\tfrac {1}{4}}$ eines Kuchens addiert werden soll, müssen die Stücke in vergleichbare Mengen umgerechnet werden, z. B. in Kuchen-Achtel oder Kuchen-Viertel. ⓘ

Addieren ungleicher Mengen

Um Brüche zu addieren, die ungleiche Mengen enthalten (z. B. Viertel und Drittel), müssen alle Beträge in gleiche Mengen umgerechnet werden. Die Art des umzurechnenden Bruchs lässt sich leicht ermitteln: Multiplizieren Sie einfach die beiden Nenner (untere Zahl) jedes Bruchs miteinander. Im Falle einer ganzen Zahl wird der unsichtbare Nenner verwendet. $1.$ ⓘ

Bei der Addition von Vierteln zu Dritteln werden beide Brucharten in Zwölftel umgewandelt:

${\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$ ⓘ

Betrachten Sie die Addition der beiden folgenden Mengen:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$

Erstens: Umrechnung ${\tfrac {3}{5}}$ in Fünfzehntel um, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit drei multipliziert: ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$. Da ${\tfrac {3}{3}}$ gleich 1 ist, ändert die Multiplikation mit ${\tfrac {3}{3}}$ den Wert des Bruchs nicht verändern. ⓘ

Zweitens: Umrechnung ${\tfrac {2}{3}}$ in Fünfzehntel um, indem man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit fünf multipliziert: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$. ⓘ

Jetzt sieht man, dass:

${\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}$ ⓘ

äquivalent zu ist:

${\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}$ ⓘ

Diese Methode kann algebraisch ausgedrückt werden:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$ ⓘ

Diese algebraische Methode funktioniert immer und garantiert, dass die Summe der einfachen Brüche immer wieder ein einfacher Bruch ist. Wenn die einzelnen Nenner jedoch einen gemeinsamen Faktor enthalten, kann ein kleinerer Nenner als das Produkt dieser Nenner verwendet werden. Zum Beispiel: Bei der Addition ${\tfrac {3}{4}}$ und ${\tfrac {5}{6}}$ haben die einzelnen Nenner einen gemeinsamen Faktor $2,$ und daher kann anstelle des Nenners 24 (4 × 6) der halbierte Nenner 12 verwendet werden, wodurch sich nicht nur der Nenner im Ergebnis, sondern auch die Faktoren im Zähler verringern. ⓘ

${\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}$ ⓘ

Der kleinstmögliche Nenner ist durch das kleinste gemeinsame Vielfache der einzelnen Nenner gegeben, das sich aus der Division des roten Vielfachen durch alle gemeinsamen Faktoren der einzelnen Nenner ergibt. Dies wird als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet. ⓘ

Subtraktion

Das Verfahren zur Subtraktion von Brüchen ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Addition: Man findet einen gemeinsamen Nenner und ändert jeden Bruch in einen äquivalenten Bruch mit dem gewählten gemeinsamen Nenner. Der resultierende Bruch hat diesen Nenner, und sein Zähler ist das Ergebnis der Subtraktion der Zähler der ursprünglichen Brüche. Zum Beispiel, ⓘ

${\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}$ ⓘ

Multiplikation

Multiplikation eines Bruchs mit einem anderen Bruch

Um Brüche zu multiplizieren, multipliziert man die Zähler und multipliziert die Nenner. So:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}$ ⓘ

Um das Verfahren zu erklären, betrachte ein Drittel eines Viertels. Am Beispiel eines Kuchens: Wenn drei kleine, gleich große Scheiben ein Viertel ausmachen und vier Viertel ein Ganzes ergeben, dann ergeben zwölf dieser kleinen, gleich großen Scheiben ein Ganzes. Ein Drittel eines Viertels ist also ein Zwölftel. Betrachten wir nun die Zähler. Der erste Bruch, zwei Drittel, ist doppelt so groß wie ein Drittel. Da ein Drittel von einem Viertel ein Zwölftel ist, sind zwei Drittel von einem Viertel zwei Zwölftel. Der zweite Bruch, drei Viertel, ist dreimal so groß wie ein Viertel, also sind zwei Drittel von drei Vierteln dreimal so groß wie zwei Drittel von einem Viertel. Zwei Drittel mal drei Viertel sind also sechs Zwölftel. ⓘ

Eine Abkürzung für die Multiplikation von Brüchen ist die "Stornierung". Dabei wird die Antwort bei der Multiplikation auf die kleinsten Terme reduziert. Ein Beispiel:

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$ ⓘ

Eine Zwei ist ein gemeinsamer Faktor sowohl im Zähler des linken Bruches als auch im Nenner des rechten Bruches und wird aus beiden geteilt. Die Drei ist ein gemeinsamer Faktor des linken Nenners und des rechten Zählers und wird aus beiden herausgeteilt. ⓘ

Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl

Da eine ganze Zahl als sich selbst geteilt durch 1 umgeschrieben werden kann, können die normalen Regeln für die Multiplikation von Brüchen weiterhin angewendet werden. ⓘ

$6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}$ ⓘ

Diese Methode funktioniert, weil der Bruch 6/1 sechs gleiche Teile bedeutet, von denen jeder eine ganze Zahl ist. ⓘ

Multiplikation gemischter Zahlen

Bei der Multiplikation von gemischten Zahlen ist es besser, die gemischte Zahl in einen unechter Bruch umzuwandeln. Ein Beispiel:

$3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times \left({\frac {8}{4}}+{\frac {3}{4}}\right)=3\times {\frac {11}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}$ ⓘ

Mit anderen Worten, $2{\tfrac {3}{4}}$ ist das Gleiche wie ${\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}$und ergibt insgesamt 11 Viertel (weil 2 Kuchen, die jeweils in Viertel geteilt werden, insgesamt 8 Viertel ergeben) und 33 Viertel ist $8{\tfrac {1}{4}}$, denn 8 Kuchen, die jeweils aus Vierteln bestehen, ergeben insgesamt 32 Viertel. ⓘ

Division

Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu teilen, kann man entweder den Zähler durch die Zahl dividieren, wenn er gleichmäßig in den Zähler eingeht, oder den Nenner mit der Zahl multiplizieren. Zum Beispiel, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ gleich ist. ${\tfrac {2}{3}}$ und ist auch gleich ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$, was sich reduziert auf ${\tfrac {2}{3}}$. Um eine Zahl durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert man diese Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs. So, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$. ⓘ

Umrechnung zwischen Dezimalzahlen und Brüchen

Um einen gewöhnlichen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, führt man eine lange Division der Dezimaldarstellung des Zählers durch den Nenner durch (dies wird idiomatisch auch als "den Nenner durch den Zähler teilen" ausgedrückt) und rundet die Antwort auf die gewünschte Genauigkeit. Um z. B. 1/4 in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilen Sie 1,00 durch 4 ("4 durch 1,00"), um 0,25 zu erhalten. Um 1/3 in eine Dezimalzahl umzuwandeln, dividieren Sie 1,000... durch 3 ("3 durch 1,000..."), und hören Sie auf, wenn die gewünschte Genauigkeit erreicht ist, z. B. bei 4 Dezimalstellen mit 0,3333. Der Bruch 1/4 kann genau mit zwei Dezimalstellen geschrieben werden, während der Bruch 1/3 nicht genau als Dezimalzahl mit einer endlichen Anzahl von Ziffern geschrieben werden kann. Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibt man in den Nenner eine 1, gefolgt von so vielen Nullen, wie Ziffern rechts vom Dezimalpunkt vorhanden sind, und in den Zähler alle Ziffern der ursprünglichen Dezimalzahl, wobei man nur den Dezimalpunkt weglässt. Also $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.$ ⓘ

Umwandlung von sich wiederholenden Dezimalzahlen in Brüche

Dezimalzahlen sind zwar für Berechnungen nützlicher, haben aber manchmal nicht die Präzision, die bei Brüchen üblich ist. Manchmal ist eine sich unendlich wiederholende Dezimalzahl erforderlich, um die gleiche Genauigkeit zu erreichen. Daher ist es oft sinnvoll, sich wiederholende Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln. ⓘ

Eine herkömmliche Methode, eine sich wiederholende Dezimalzahl anzugeben, besteht darin, einen Balken (bekannt als Vinculum) über die sich wiederholenden Ziffern zu setzen, zum Beispiel 0,789 = 0,789789789... Bei sich wiederholenden Mustern, die unmittelbar nach dem Dezimalpunkt beginnen, ist das Ergebnis der Umrechnung der Bruch mit dem Muster als Zähler und der gleichen Anzahl von Neunen als Nenner. Zum Beispiel:

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

Wenn vor dem Muster führende Nullen stehen, werden die Neunen durch die gleiche Anzahl nachgestellter Nullen ergänzt:

0.05 = 5/90

0.000392 = 392/999000

0.0012 = 12/9900

Steht vor dem Muster eine sich nicht wiederholende Reihe von Dezimalstellen (z. B. 0,1523987), kann die Zahl als Summe der sich nicht wiederholenden und der sich wiederholenden Teile geschrieben werden:

0.1523 + 0.0000987

Dann wandeln Sie beide Teile in Brüche um und addieren sie mit den oben beschriebenen Methoden:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000 ⓘ

Alternativ kann man auch die Algebra verwenden, wie im Folgenden beschrieben:

1. x sei die sich wiederholende Dezimalzahl:

   x = 0.1523987

2. Multipliziere beide Seiten mit der 10er-Potenz, die gerade groß genug ist (in diesem Fall 10⁴), um den Dezimalpunkt kurz vor den sich wiederholenden Teil der Dezimalzahl zu setzen:

   10,000x = 1,523.987

3. Multiplizieren Sie beide Seiten mit der 10er-Potenz (in diesem Fall 10³), die der Anzahl der Stellen entspricht, die sich wiederholen:

   10,000,000x = 1,523,987.987

4. Subtrahiere die beiden Gleichungen voneinander (wenn a = b und c = d, dann ist a - c = b - d):

   10.000.000x - 10.000x = 1.523.987,987 - 1.523,987

5. Fahren Sie mit der Subtraktionsoperation fort, um die Nachkommastelle zu löschen:

   9,990,000x = 1,523,987 - 1,523

   9,990,000x = 1,522,464

6. Dividieren Sie beide Seiten durch 9.990.000, um x als Bruch darzustellen

   x = 1522464/9990000 ⓘ

Brüche in der abstrakten Mathematik

Brüche sind nicht nur von großer praktischer Bedeutung, sondern werden auch von Mathematikern untersucht, die prüfen, ob die oben genannten Regeln für Brüche konsistent und zuverlässig sind. Mathematiker definieren einen Bruch als ein geordnetes Paar $(a,b)$ von ganzen Zahlen $a$ und $b\neq 0,$ für die die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division wie folgt definiert sind:

$(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,$ ⓘ

$(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,$ ⓘ

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)$ ⓘ

$(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)$ ⓘ

Diese Definitionen stimmen in jedem Fall mit den oben genannten Definitionen überein; nur die Schreibweise ist anders. Anstatt Subtraktion und Division als Operationen zu definieren, könnten die "inversen" Brüche in Bezug auf Addition und Multiplikation auch wie folgt definiert werden:

${\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Außerdem ist die Beziehung, die als

$(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,$ ⓘ

ist eine Äquivalenzrelation von Brüchen. Jeder Bruch aus einer Äquivalenzklasse kann als Repräsentant für die gesamte Klasse betrachtet werden, und jede gesamte Klasse kann als ein abstrakter Bruch betrachtet werden. Diese Äquivalenz wird durch die oben definierten Operationen gewahrt, d. h. die Ergebnisse der Operationen auf Brüchen sind unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten aus ihrer Äquivalenzklasse. Formal gilt für die Addition von Brüchen

$(a,b)\sim (a',b')\quad$ und $\quad (c,d)\sim (c',d')\quad$ impliziert

$((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))$ ⓘ

und ähnlich auch für die anderen Operationen. ⓘ

Im Fall von Brüchen ganzer Zahlen werden die Brüche a/b mit a und b als Koprimzahlen und b > 0 oft als eindeutig bestimmte Vertreter für ihre äquivalenten Brüche genommen, die als dieselbe rationale Zahl betrachtet werden. Auf diese Weise bilden die Brüche der ganzen Zahlen das Feld der rationalen Zahlen. ⓘ

Ganz allgemein können a und b Elemente eines beliebigen Integralbereichs R sein; in diesem Fall ist ein Bruch ein Element des Feldes der Brüche von R. Polynome in einer Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Integralbereich D sind beispielsweise selbst ein Integralbereich, nennen wir ihn P. Für a und b, die Elemente von P sind, ist das erzeugte Feld der Brüche also das Feld der rationalen Brüche (auch bekannt als das Feld der rationalen Funktionen). ⓘ

Algebraische Brüche

Ein algebraischer Bruch ist der angegebene Quotient aus zwei algebraischen Ausdrücken. Wie bei Brüchen aus ganzen Zahlen kann der Nenner eines algebraischen Bruchs nicht gleich Null sein. Zwei Beispiele für algebraische Brüche sind ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ und ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. Für algebraische Brüche gelten die gleichen Feldeigenschaften wie für arithmetische Brüche. ⓘ

Wenn der Zähler und der Nenner Polynome sind, wie in ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$wird der algebraische Bruch als rationaler Bruch (oder rationaler Ausdruck) bezeichnet. Ein irrationaler Bruch ist ein Bruch, der nicht rational ist, z. B. einer, der die Variable unter einem Bruchexponenten oder einer Wurzel enthält, wie in ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. ⓘ

Die Terminologie, die zur Beschreibung algebraischer Brüche verwendet wird, ähnelt derjenigen für gewöhnliche Brüche. Ein algebraischer Bruch ist beispielsweise niederwertig, wenn die einzigen Faktoren, die dem Zähler und dem Nenner gemeinsam sind, 1 und -1 sind. Ein algebraischer Bruch, dessen Zähler oder Nenner oder beide einen Bruch enthalten, wie z. B. ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$enthält, wird als komplexer Bruch bezeichnet. ⓘ

Der Bereich der rationalen Zahlen ist der Bereich der Brüche der ganzen Zahlen, während die ganzen Zahlen selbst kein Bereich sind, sondern ein Integralbereich. In ähnlicher Weise bilden die rationalen Brüche mit Koeffizienten in einem Feld das Feld der Brüche von Polynomen mit Koeffizienten in diesem Feld. Betrachtet man die rationalen Brüche mit reellen Koeffizienten, so sind radikalische Ausdrücke, die Zahlen darstellen, wie z. B. $\textstyle {\sqrt {2}}/2,$ sind ebenfalls rationale Brüche, ebenso wie transzendente Zahlen wie ${\textstyle \pi /2,}$ da alle von ${\sqrt {2}},\pi ,$ und $2$ reelle Zahlen sind und somit als Koeffizienten gelten. Die gleichen Zahlen sind jedoch keine rationalen Brüche mit ganzzahligen Koeffizienten. ⓘ

Der Begriff Partialbruch wird verwendet, wenn rationale Brüche in Summen von einfacheren Brüchen zerlegt werden. Zum Beispiel kann der rationale Bruch ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ als Summe von zwei Brüchen zerlegt werden: ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}.$ Dies ist nützlich für die Berechnung von Antiderivaten rationaler Funktionen (siehe Partialbruchzerlegung für weitere Informationen). ⓘ

Radikale Ausdrücke

Ein Bruch kann auch Radikale im Zähler oder im Nenner enthalten. Wenn der Nenner Radikale enthält, kann es hilfreich sein, ihn zu rationalisieren (vgl. Vereinfachte Form eines Radikalausdrucks), vor allem, wenn weitere Operationen, wie die Addition oder der Vergleich dieses Bruchs mit einem anderen, durchgeführt werden sollen. Es ist auch bequemer, wenn die Division manuell durchgeführt werden soll. Handelt es sich bei dem Nenner um die Quadratwurzel eines Monomers, kann er rationalisiert werden, indem sowohl der obere als auch der untere Teil des Bruchs mit dem Nenner multipliziert wird:

${\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}$ ⓘ

Bei der Rationalisierung von binomischen Nennern werden der obere und der untere Teil eines Bruchs mit der Konjugierten des Nenners multipliziert, so dass der Nenner eine rationale Zahl wird. Ein Beispiel:

${\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}$

${\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}$ ⓘ

Selbst wenn dieses Verfahren dazu führt, dass der Zähler irrational ist, wie in den obigen Beispielen, kann das Verfahren dennoch spätere Manipulationen erleichtern, indem es die Anzahl der Irrationalen, mit denen man im Nenner arbeiten muss, verringert. ⓘ

Typografische Variationen

In Computerbildschirmen und in der Typografie werden einfache Brüche manchmal als ein einziges Zeichen gedruckt, z. B. ½ (eine Hälfte). Im Artikel über Zahlenformen finden Sie Informationen darüber, wie man dies in Unicode macht. ⓘ

Das wissenschaftliche Publizieren unterscheidet vier Arten, Brüche zu setzen, zusammen mit Richtlinien zur Verwendung:

• Spezielle Brüche: Brüche, die als einzelnes Zeichen mit einem schrägen Balken dargestellt werden, der ungefähr die gleiche Höhe und Breite wie andere Zeichen im Text hat. Im Allgemeinen werden sie für einfache Brüche verwendet, wie zum Beispiel: ½, ⅓, ⅔, ¼, und ¾. Da die Ziffern kleiner sind, kann die Lesbarkeit ein Problem sein, insbesondere bei kleinen Schriftgrößen. Diese werden nicht in der modernen mathematischen Notation verwendet, sondern in anderen Zusammenhängen.
• Großbuchstabenbrüche: Ähnlich wie die Sonderbrüche werden sie als ein einziges typografisches Zeichen dargestellt, jedoch mit einem horizontalen Balken, so dass sie aufrecht stehen. Ein Beispiel wäre ${\tfrac {1}{2}}$, das jedoch in der gleichen Höhe wie andere Zeichen dargestellt wird. In einigen Quellen werden alle Brüche als Großbuchstabenbruch dargestellt, wenn sie nur ein typografisches Leerzeichen einnehmen, unabhängig von der Richtung des Balkens.
• Schilling- oder Solidusbrüche: 1/2, so genannt, weil diese Schreibweise für die britische Währung vor dem Dezimalsystem (£sd) verwendet wurde, wie z. B. 2/6 für eine halbe Krone, d. h. zwei Schillinge und sechs Pence. Während die Notation "two shillings and six pence" keinen Bruch darstellte, wird der Schrägstrich heute in Brüchen verwendet, vor allem für Brüche, die in Prosa stehen (und nicht angezeigt werden), um ungerade Zeilen zu vermeiden. Er wird auch für Brüche innerhalb von Brüchen (komplexe Brüche) oder innerhalb von Exponenten verwendet, um die Lesbarkeit zu verbessern. Auf diese Weise geschriebene Brüche, die auch als Stückbrüche bezeichnet werden, werden alle auf einer Zeile geschrieben, benötigen aber 3 oder mehr Leerzeichen.
• Aufgebaute Brüche: ${\frac {1}{2}}$. Diese Schreibweise verwendet zwei oder mehr Zeilen normalen Textes und führt dazu, dass die Abstände zwischen den Zeilen variieren, wenn sie in anderen Text eingefügt werden. Sie sind zwar groß und gut lesbar, können aber insbesondere bei einfachen Brüchen oder innerhalb komplexer Brüche störend wirken. ⓘ

Geschichte

Die frühesten Brüche waren Kehrwerte ganzer Zahlen: antike Symbole, die einen Teil von zwei, einen Teil von drei, einen Teil von vier usw. darstellen. Die Ägypter verwendeten ägyptische Brüche etwa 1000 v. Chr. Vor etwa 4000 Jahren teilten die Ägypter mit Brüchen, wobei sie etwas andere Methoden verwendeten. Sie verwendeten das kleinste gemeinsame Vielfache mit Einheitsbrüchen. Ihre Methoden ergaben die gleiche Antwort wie die modernen Methoden. Die Ägypter hatten auch eine andere Notation für dyadische Brüche in der Akhmim-Holztafel und in mehreren Problemen des mathematischen Papyrus von Rhind. ⓘ

Die Griechen verwendeten Einheitsbrüche und (später) fortgesetzte Brüche. Die Anhänger des griechischen Philosophen Pythagoras (ca. 530 v. Chr.) entdeckten, dass die Quadratwurzel aus zwei nicht als Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. (Dies wird gemeinhin, wenn auch wahrscheinlich fälschlicherweise, Hippasus von Metapontum zugeschrieben, der für die Entdeckung dieser Tatsache hingerichtet worden sein soll). 150 v. Chr. schrieben Jain-Mathematiker in Indien das "Sthananga Sutra", das Arbeiten zur Zahlentheorie, zu arithmetischen Operationen und zu Operationen mit Brüchen enthält. ⓘ

Ein moderner Ausdruck für Brüche, der als bhinnarasi bekannt ist, scheint in Indien in den Werken von Aryabhatta (ca. 500 n. Chr.), Brahmagupta (ca. 628) und Bhaskara (ca. 1150) entstanden zu sein. In ihren Werken werden Brüche gebildet, indem die Zähler (Sanskrit: amsa) über die Nenner (cheda) gelegt werden, jedoch ohne einen Balken zwischen ihnen. In der Sanskrit-Literatur wurden Brüche immer als Addition zu oder Subtraktion von einer ganzen Zahl ausgedrückt. Die ganze Zahl wurde in eine Zeile geschrieben und der Bruch in seinen beiden Teilen in die nächste Zeile. Wenn der Bruch durch einen kleinen Kreis ⟨०⟩ oder ein Kreuz ⟨+⟩ gekennzeichnet war, wurde er von der ganzen Zahl subtrahiert; wenn kein solches Zeichen erschien, wurde er addiert. Zum Beispiel schreibt Bhaskara I:

६        १        २

१        १        १_०

४ ५ ९

Das ist die Entsprechung von

6        1        2

1        1        −1

4 5 9

und würde in moderner Notation als 61/4, 11/5 und 2 - 1/9 (d.h. 18/9) geschrieben werden. ⓘ

Der horizontale Bruchstrich ist erstmals bei Al-Hassār (um 1200), einem muslimischen Mathematiker aus Fez, Marokko, belegt, der sich auf islamische Erbrechtsprechung spezialisiert hatte. In seiner Erörterung schreibt er: "... wenn du zum Beispiel aufgefordert wirst, drei Fünftel und ein Drittel eines Fünftels zu schreiben, schreibe so, ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$." Die gleiche Bruchschreibweise - mit dem Bruch vor der ganzen Zahl - taucht bald darauf in den Arbeiten von Leonardo Fibonacci im 13. ⓘ

Bei der Erörterung der Ursprünge der Dezimalbrüche stellt Dirk Jan Struik fest:

"Die Einführung von Dezimalbrüchen als gängige Rechenpraxis lässt sich auf das flämische Pamphlet De Thiende zurückführen, das 1585 in Leyden zusammen mit einer französischen Übersetzung, La Disme, von dem flämischen Mathematiker Simon Stevin (1548-1620), der sich damals in den nördlichen Niederlanden niederließ, veröffentlicht wurde. Es stimmt, dass Dezimalbrüche von den Chinesen viele Jahrhunderte vor Stevin verwendet wurden und dass der persische Astronom Al-Kāshī in seinem Schlüssel zur Arithmetik (Samarkand, frühes fünfzehntes Jahrhundert) sowohl Dezimal- als auch Sexagesimalbrüche mit großer Leichtigkeit verwendete." ⓘ

Während der persische Mathematiker Jamshīd al-Kāshī behauptete, die Dezimalbrüche im 15. Jahrhundert selbst entdeckt zu haben, stellt J. Lennart Berggren fest, dass er sich geirrt hat, da Dezimalbrüche bereits im 10. Jahrhundert fünf Jahrhunderte vor ihm von dem Bagdad-Mathematiker Abu'l-Hasan al-Uqlidisi verwendet wurden. ⓘ

In der formalen Bildung

Pädagogische Hilfsmittel

In der Grundschule werden Brüche mit Hilfe von Cuisenaire-Stäben, Bruchstäben, Bruchstreifen, Bruchkreisen, Papier (zum Falten oder Ausschneiden), Musterblöcken, Tortenstücken, Plastikrechtecken, Gitterpapier, Punktpapier, Geoboards, Zählern und Computersoftware veranschaulicht. ⓘ

Dokumente für Lehrkräfte

Mehrere US-Bundesstaaten haben Lernpfade aus den Leitlinien der Common Core State Standards Initiative für den Mathematikunterricht übernommen. Neben der Reihenfolge, in der das Erlernen von Brüchen und Operationen mit Brüchen erfolgt, enthält das Dokument die folgende Definition eines Bruchs "Eine Zahl, die in der folgenden Form ausgedrückt werden kann $a$/$b$ wobei $a$ eine ganze Zahl ist und $b$ eine positive ganze Zahl ist. (Das Wort Bruch in diesen Standards bezieht sich immer auf eine nicht-negative Zahl)". Das Dokument selbst bezieht sich auch auf negative Brüche. ⓘ

Rechenregeln

Rechnen mit Bruchtermen

Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebra eine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auch Variablen. Die Rechenregeln für Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden. ⓘ

Definitionsbereich

Bei der Bestimmung des Definitionsbereiches eines Bruchterms ist zu beachten, dass der Nenner nicht den Wert 0 haben darf. Beispielsweise wäre der von $x$ abhängige Bruchterm ${\tfrac {1}{6-2x}}$ beim Einsetzen von $x=3$ nicht definiert. Der Definitionsbereich ist also $D=\mathbb {R} \setminus \{3\}$, wenn als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen vorausgesetzt wird. In komplizierteren Fällen sollte der Nenner in Faktoren zerlegt werden, damit der Definitionsbereich erkennbar wird. ⓘ

Beispiel: ${\tfrac {x}{x^{2}-9}}={\tfrac {x}{(x+3)(x-3)}}$ hat den Definitionsbereich $D=\mathbb {R} \setminus \{-3;+3\}$. ⓘ

Kürzen

Kürzen bedeutet, dass man Zähler und Nenner durch denselben Rechenausdruck dividiert. Wichtig dabei ist, dass nur Faktoren von Produkten herausgekürzt werden können. Summen und Differenzen im Zähler und im Nenner müssen gegebenenfalls zuerst in Produkte zerlegt werden (Faktorisierung). ⓘ

Beispiele:

1. $\quad {\frac {4abc^{3}}{6a^{2}bc}}={\frac {2c^{2}}{3a}}$
2. $\quad {\frac {x^{2}-6xy+9y^{2}}{2x-6y}}={\frac {(x-3y)^{2}}{2(x-3y)}}={\frac {x-3y}{2}}$

Beim Kürzen eines Bruchterms kann sich der Definitionsbereich ändern! So ist im ersten Beispiel der ungekürzte, links stehende Term nur definiert, wenn $a,b,c\neq 0$ gilt, der rechtsstehende bereits, wenn nur $a\neq 0$ gilt. Im zweiten Beispiel ist der ungekürzte Term nur definiert, wenn $x\neq 3y$ gilt, der gekürzte ist ohne Einschränkungen definiert. ⓘ

Die Änderung des Definitionsbereiches eines Bruchterms beim Kürzen ist eine der Techniken, mit denen Funktionsterme stetig fortgesetzt werden können. ⓘ

Weitere Darstellungsformen

Pythagoreische Brüche

Das Zahlentripel $({\tfrac {1}{5}},{\tfrac {24}{35}},{\tfrac {5}{7}})$ ist ein Beispiel eines pythagoreischen Bruchs (siehe auch pythagoreisches Tripel), denn

$\left({\frac {1}{5}}\right)^{2}+\left({\frac {24}{35}}\right)^{2}=\left({\frac {5}{7}}\right)^{2}$. ⓘ

Rationaler Zähler oder Nenner

Siehe Rationalisierung (Bruchrechnung). ⓘ