Partialbruchzerlegung

In der Algebra ist die partielle Bruchzerlegung oder partielle Brucherweiterung eines rationalen Bruchs (d. h. eines Bruchs, bei dem sowohl der Zähler als auch der Nenner ein Polynom ist) eine Operation, die darin besteht, den Bruch als Summe eines Polynoms (möglicherweise Null) und eines oder mehrerer Brüche mit einem einfacheren Nenner auszudrücken. ⓘ

Die Bedeutung der partiellen Bruchzerlegung liegt in der Tatsache, dass sie Algorithmen für verschiedene Berechnungen mit rationalen Funktionen liefert, einschließlich der expliziten Berechnung von Antiderivaten, Taylorreihenexpansionen, inversen Z-Transformationen und inversen Laplace-Transformationen. Das Konzept wurde 1702 unabhängig voneinander von Johann Bernoulli und Gottfried Leibniz entdeckt. ⓘ

In Symbolen wird die partielle Bruchzerlegung eines rationalen Bruchs der Form ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ wobei f und g Polynome sind, ist ihr Ausdruck als ⓘ

$${\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}$$

ⓘ

wobei p(x) ein Polynom ist, und für jedes j, der Nenner gj (x) eine Potenz eines irreduziblen Polynoms ist (das nicht in Polynome positiven Grades faktorisierbar ist), und der Zähler fj (x) ist ein Polynom kleineren Grades als der Grad dieses irreduziblen Polynoms. ⓘ

Wenn es um explizite Berechnungen geht, wird häufig eine gröbere Zerlegung bevorzugt, die darin besteht, in der Beschreibung des Ergebnisses "irreduzibles Polynom" durch "quadratfreies Polynom" zu ersetzen. Auf diese Weise kann die Faktorisierung von Polynomen durch die viel einfacher zu berechnende quadratfreie Faktorisierung ersetzt werden. Dies ist für die meisten Anwendungen ausreichend und vermeidet die Einführung irrationaler Koeffizienten, wenn die Koeffizienten der Eingabepolynome ganze oder rationale Zahlen sind. ⓘ

Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung. ⓘ

Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler $a_{i}$ die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung. ⓘ

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen $x_{i}$ und infolgedessen auch die Zahlen $a_{i}$ nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle $z_{i}$ auch die konjugiert komplexe Zahl ${\overline {z_{i}}}$ Nullstelle ist. ⓘ

Statt ${\tfrac {a_{1}}{(x-z_{i})^{j}}}$ und ${\tfrac {a_{2}}{(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}$ verwendet man dann einen Term ${\tfrac {b_{i}+c_{i}x}{(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{j}}}$, wobei ${x^{2}+p_{i}x+q_{i}}=(x-z_{i})\cdot (x-{\overline {z_{i}}})$ ein reelles quadratisches Polynom ist und auch $b_{i}$ und $c_{i}$ reell sind. ⓘ

Grundlegende Prinzipien

Sei

$$R(x)={\frac {F}{G}}$$

sei ein rationaler Bruch, wobei F und G univariate Polynome in der unbestimmten Zahl x über einem Feld sind. Die Existenz des Teilbruchs kann durch induktive Anwendung der folgenden Reduktionsschritte bewiesen werden. ⓘ

Polynomieller Teil

Es existieren zwei Polynome E und F₁ derart, dass

$${\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},$$

und

$$\deg F_{1}<\deg G,$$

wobei $\deg P$ den Grad des Polynoms P bezeichnet. ⓘ

Dies ergibt sich unmittelbar aus der euklidischen Division von F durch G, die die Existenz von E und F₁ beweist, so dass $F=EG+F_{1}$ und $\deg F_{1}<\deg G.$ ⓘ

Dies erlaubt es, in den nächsten Schritten anzunehmen, dass $\deg F<\deg G.$ ⓘ

Faktoren des Nenners

Wenn $\deg F<\deg G,$ und

$$G=G_{1}G_{2},$$

wobei G₁ und G₂ koprimale Polynome sind, dann gibt es Polynome $F_{1}$ und $F_{2}$ derart, dass

$${\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},$$

und

$$\deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.$$

ⓘ

Dies kann wie folgt bewiesen werden. Die Identität von Bézout besagt, dass es Polynome C und D gibt, die

$$CG_{1}+DG_{2}=1$$

(unter der Hypothese, dass 1 ein größter gemeinsamer Teiler von G₁ und G₂ ist). ⓘ

Sei $DF=G_{1}Q+F_{1}$ mit $\deg F_{1}<\deg G_{1}$ sei die euklidische Division von DF durch $G_{1}.$ Setzt man $F_{2}=CF+QG_{2},$ erhält man

$${\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}$$

Es bleibt zu zeigen, dass $\deg F_{2}<\deg G_{2}.$ Wenn man die letzte Summe der Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt, erhält man $F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},$ und somit

$${\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}$$

ⓘ

Potenzen im Nenner

Wendet man die vorangegangene Zerlegung induktiv an, erhält man Brüche der Form ${\frac {F}{G^{k}}},$ mit $\deg F<\deg G^{k}=k\deg G,$ wobei G ein nicht reduzierbares Polynom ist. Wenn k > 1 ist, kann man weiter zerlegen, indem man verwendet, dass ein irreduzibles Polynom ein quadratfreies Polynom ist, d. h, $1$ ist ein größter gemeinsamer Teiler des Polynoms und seiner Ableitung. Wenn $G'$ die Ableitung von G ist, liefert die Bézout-Identität die Polynome C und D so, dass $CG+DG'=1$ und somit $F=FCG+FDG'.$ Euklidische Division von $FDG'$ durch $G$ die Polynome $H_{k}$ und $Q$ derart, dass $FDG'=QG+H_{k}$ und $\deg H_{k}<\deg G.$ Setzt man $F_{k-1}=FC+Q,$ erhält man

$${\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},$$

mit $\deg H_{k}<\deg G.$ ⓘ

Iteriert man diesen Prozess mit ${\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}$ anstelle von ${\frac {F}{G^{k}}}$ führt schließlich zu folgendem Lehrsatz. ⓘ

Aussage

Theorem - Seien f und g Polynome ungleich Null über einem Feld K. Schreibe g als Produkt von Potenzen verschiedener irreduzibler Polynome :

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

Es gibt (eindeutige) Polynome b und a_ij mit deg a_ij < deg pi, so dass

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.$$

Wenn deg f < deg g, dann ist b = 0. ⓘ

Die Eindeutigkeit kann wie folgt bewiesen werden. Es sei d = max(1 + deg f, deg g). Insgesamt haben b und die a_ij d Koeffizienten. Die Form der Zerlegung definiert eine lineare Abbildung von Koeffizientenvektoren auf Polynome f vom Grad kleiner als d. Der Existenzbeweis bedeutet, dass diese Abbildung surjektiv ist. Da die beiden Vektorräume die gleiche Dimension haben, ist die Abbildung auch injektiv, was die Eindeutigkeit der Zerlegung bedeutet. Übrigens führt dieser Beweis zu einem Algorithmus zur Berechnung der Zerlegung durch lineare Algebra. ⓘ

Wenn K ein Feld komplexer Zahlen ist, impliziert der Fundamentalsatz der Algebra, dass alle pi den Grad eins haben und alle Zähler $a_{ij}$ Konstanten sind. Wenn K der Bereich der reellen Zahlen ist, können einige der pi quadratisch sein, so dass in der partiellen Bruchzerlegung auch Quotienten von linearen Polynomen durch Potenzen von quadratischen Polynomen auftreten können. ⓘ

Im vorhergehenden Satz kann man "verschiedene irreduzible Polynome" durch "paarweise koprime Polynome, die mit ihrer Ableitung koprim sind" ersetzen. Wenn K der Bereich der rationalen Zahlen ist, wie es typischerweise in der Computeralgebra der Fall ist, kann man die Faktorisierung durch die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers ersetzen, um eine partielle Bruchzerlegung zu berechnen. ⓘ

Anwendung auf symbolische Integration

Für die Zwecke der symbolischen Integration kann das obige Ergebnis verfeinert werden zu ⓘ

Theorem - Seien f und g Polynome ungleich Null über einem Feld K. Schreiben Sie g als Produkt von Potenzen paarweise koprimer Polynome, die keine mehrfache Wurzel in einem algebraisch geschlossenen Feld haben:

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

Es gibt (eindeutige) Polynome b und c_ij mit deg c_ij < deg pi, so dass

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}.$$

wobei $X'$ die Ableitung von $X.$ ⓘ

Damit reduziert sich die Berechnung der Antiderivative einer rationalen Funktion auf die Integration der letzten Summe, die als logarithmischer Teil bezeichnet wird, weil ihre Antiderivative eine Linearkombination von Logarithmen ist. ⓘ

Es gibt verschiedene Methoden, um die Zerlegung im Theorem zu berechnen. Eine einfache Methode ist die Hermite-Methode. Zunächst wird b unmittelbar durch euklidische Division von f durch g berechnet, was auf den Fall reduziert, dass deg(f) < deg(g) ist. Dann weiß man, dass deg(c_ij) < deg(pi) ist, so dass man jedes c_ij als Polynom mit unbekannten Koeffizienten schreiben kann. Reduziert man die Summe der Brüche im Satz auf einen gemeinsamen Nenner und setzt die Koeffizienten jeder Potenz von x in den beiden Zählern gleich, erhält man ein System linearer Gleichungen, das gelöst werden kann, um die gewünschten (eindeutigen) Werte für die unbekannten Koeffizienten zu erhalten. ⓘ

Verfahren

Gegeben sind zwei Polynome $P(x)$ und $Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$, wobei die αi verschiedene Konstanten sind und deg P < n, erhält man im Allgemeinen partielle Brüche, indem man annimmt, dass

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}$$

und die Konstanten c_i durch Substitution, durch Gleichsetzen der Koeffizienten von Termen, die die Potenzen von x enthalten, oder auf andere Weise gelöst werden. (Dies ist eine Variante der Methode der unbestimmten Koeffizienten.) ⓘ

Eine direktere Berechnung, die eng mit der Lagrange-Interpolation verbunden ist, besteht darin, dass man schreibt

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}$$

wobei $Q'$ ist die Ableitung des Polynoms $Q$. Die Koeffizienten von ${\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}$ werden die Residuen von f/g genannt. ⓘ

Dieser Ansatz berücksichtigt einige andere Fälle nicht, kann aber entsprechend modifiziert werden:

• Wenn $\deg P\geq \deg Q,$ Dann ist es notwendig, die euklidische Division von P durch Q unter Verwendung der langen Polynomdivision durchzuführen, was P(x) = E(x) Q(x) + R(x) mit deg R < n ergibt.
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},$$
  und sucht dann nach Teilbrüchen für den Restbruch (der per Definition deg R < deg Q erfüllt).
• Wenn Q(x) Faktoren enthält, die über dem gegebenen Feld irreduzibel sind, dann muss der Zähler N(x) jedes Teilbruchs mit einem solchen Faktor F(x) im Nenner als Polynom mit deg N < deg F gesucht werden, und nicht als Konstante. Nehmen wir zum Beispiel die folgende Zerlegung über R:
  $${\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.$$
• Nehmen wir an, Q(x) = (x - α)r S(x) und S(α) ≠ 0, d. h. α ist eine Wurzel von Q(x) der Vielfachheit r. Bei der Partialbruchzerlegung treten die r ersten Potenzen von (x - α) als Nenner der Partialbrüche auf (eventuell mit einem Zähler von Null). Wenn zum Beispiel S(x) = 1 ist, hat die Partialbruchzerlegung die Form
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.$$
  ⓘ

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion $R$ wird in mehreren Schritten bestimmt:

1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von $R$:
   • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom $P$ und möglicherweise eine rationale Restfunktion $R^{*}={\tfrac {Z^{*}}{N^{*}}}$, sodass gilt: $R(x)=P(x)+R^{*}(x)$.
     • Ist $R^{*}\equiv 0$, ist das Verfahren abgeschlossen.
     • Andernfalls hat der Zähler $Z^{*}$ von $R^{*}$ einen kleineren Grad als der Nenner $N^{*}$. Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion $R^{*}$ weiter.
   • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion $R$ direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall $R^{*}:=R$.
2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von $N^{*}$. Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
3. Die Konstanten $a_{ij}$, $b_{ij}$ und $c_{ij}$ erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom. ⓘ

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden. ⓘ

Abbildung

In einer beispielhaften Anwendung dieses Verfahrens kann (3x + 5)/(1 - 2x)² in die folgende Form zerlegt werden ⓘ

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.$$

ⓘ

Die Klärung der Nenner zeigt, dass 3x + 5 = A + B(1 - 2x) ist. Durch Expandieren und Gleichsetzen der Koeffizienten von Potenzen von x erhält man

5 = A + B und 3x = -2Bx ⓘ

Löst man dieses lineare Gleichungssystem für A und B, so ergibt sich A = 13/2 und B = -3/2. Daraus folgt, ⓘ

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.$$

ⓘ

Residuen-Methode

Nehmen wir an, f(x) sei ein rationaler echter Bruch und könne zerlegt werden in ⓘ

$$f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).$$

ⓘ

Sei

$$g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),$$

dann ist a_ij gemäß der Eindeutigkeit von Laurent-Reihen der Koeffizient des Terms (x - xi)-1 in der Laurent-Entwicklung von g_ij(x) um den Punkt xi, d.h. sein Residuum

$$a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).$$

ⓘ

Dieser ist direkt durch die Formel gegeben

$$a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),$$

oder in dem speziellen Fall, wenn xi eine einfache Wurzel ist,

$$a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},$$

wenn

$$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$$

ⓘ

Über die Reellen

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen. ⓘ

Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation verwendet. Die Transformierten der einzelnen Partialbrüche können in Tabellen nachgeschlagen werden. Somit erspart man sich eine analytische Berechnung, wenn der zu transformierende Term in entsprechende Summanden zerlegt werden kann. ⓘ

• Anwendung auf symbolische Integration, oben
• Partielle Brüche in Laplace-Transformationen ⓘ

Allgemeines Ergebnis

Sei f(x) eine beliebige rationale Funktion über den reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gebe reelle Polynomfunktionen p(x) und q(x) ≠ 0, so dass

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}$$

ⓘ

Indem wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch den führenden Koeffizienten von q(x) teilen, können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass q(x) monisch ist. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra können wir schreiben ⓘ

$$q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}$$

ⓘ

wobei a₁,..., am, b₁,..., bn, c₁,..., cn reelle Zahlen mit bi² - 4ci < 0 sind, und j₁,..., jm, k₁,..., kn positive ganze Zahlen sind. Die Terme (x - ai) sind die linearen Faktoren von q(x), die reellen Wurzeln von q(x) entsprechen, und die Terme (xi² + bix + ci) sind die irreduziblen quadratischen Faktoren von q(x), die Paaren von konjugiert komplexen Wurzeln von q(x) entsprechen. ⓘ

Dann ist die partielle Bruchzerlegung von f(x) die folgende:

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}$$

ⓘ

Hier ist P(x) ein Polynom (möglicherweise Null), und Air, Bir und Cir sind reelle Konstanten. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Konstanten zu ermitteln. ⓘ

Die einfachste Methode ist die Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner q(x). Wir erhalten dann eine Polynomgleichung, deren linke Seite einfach p(x) ist und deren rechte Seite Koeffizienten hat, die lineare Ausdrücke der Konstanten Air, Bir und Cir sind. Da zwei Polynome nur dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, können wir die Koeffizienten gleicher Terme gleichsetzen. Auf diese Weise erhält man ein System linearer Gleichungen, das immer eine eindeutige Lösung hat. Diese Lösung kann mit allen Standardmethoden der linearen Algebra gefunden werden. Sie kann auch mit Hilfe von Grenzwerten gefunden werden (siehe Beispiel 5). ⓘ

Beispiele

Beispiel 1

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}$$

ⓘ

Hier teilt sich der Nenner in zwei verschiedene Linearfaktoren auf:

$$q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$$

ⓘ

Wir haben also die partielle Bruchzerlegung ⓘ

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}$$

ⓘ

Durch Multiplikation mit dem Nenner auf der linken Seite erhält man die Polynomidentität ⓘ

$$1=A(x-1)+B(x+3)$$

ⓘ

Setzt man x = -3 in diese Gleichung ein, erhält man A = -1/4, und setzt man x = 1 ein, erhält man B = 1/4, so dass ⓘ

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$$

ⓘ

Beispiel 2

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}$$

ⓘ

Nach der langen Division erhalten wir ⓘ

$$f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}$$

ⓘ

Der Faktor x² - 4x + 8 ist irreduzibel über den Realzahlen, da seine Diskriminante (-4)² - 4×8 = -16 negativ ist. Somit hat die partielle Bruchzerlegung über den Reellen die Form ⓘ

$${\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}$$

ⓘ

Durch Multiplikation mit x³ - 4x² + 8x ergibt sich die Polynomidentität ⓘ

$$4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x$$

ⓘ

Nimmt man x = 0, so ergibt sich 16 = 8A, also A = 2. Vergleicht man die x²-Koeffizienten, so ergibt sich 4 = A + B = 2 + B, also B = 2. Vergleicht man die linearen Koeffizienten, so stellt man fest, dass -8 = -4A + C = -8 + C, also C = 0. Insgesamt, ⓘ

$$f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)$$

ⓘ

Der Bruch kann vollständig in komplexe Zahlen zerlegt werden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes komplexe Polynom vom Grad n n (komplexe) Wurzeln (von denen einige wiederholt werden können). Der zweite Bruch kann in zerlegt werden:

$${\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}$$

ⓘ

Durchmultiplizieren mit dem Nenner ergibt:

$$x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))$$

ⓘ

Wenn man die Koeffizienten von x und die konstanten (in Bezug auf x) Koeffizienten auf beiden Seiten dieser Gleichung gleichsetzt, erhält man ein System von zwei linearen Gleichungen in D und E, dessen Lösung lautet ⓘ

$$D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.$$

ⓘ

Wir haben also eine vollständige Zerlegung:

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}$$

ⓘ

Man kann A, D und E auch direkt mit der Residuenmethode berechnen (siehe auch Beispiel 4 unten). ⓘ

Beispiel 3

Dieses Beispiel veranschaulicht fast alle "Tricks", die man anwenden kann, ohne ein Computeralgebrasystem zu Rate zu ziehen. ⓘ

$$f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}$$

ⓘ

Nach der langen Division und der Faktorisierung des Nenners ergibt sich ⓘ

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}$$

ⓘ

Die partielle Bruchzerlegung hat die Form ⓘ

$${\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

ⓘ

Durch Multiplikation mit dem Nenner auf der linken Seite ergibt sich die Polynomidentität ⓘ

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}$$

ⓘ

Wir verwenden nun verschiedene Werte von x, um die Koeffizienten zu berechnen:

$${\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}$$

ⓘ

Durch Lösen dieser Aufgabe erhalten wir:

$${\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}$$

ⓘ

Mit diesen Werten können wir schreiben:

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}$$

ⓘ

Wir vergleichen die Koeffizienten von x⁶ und x⁵ auf beiden Seiten und erhalten:

$${\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.$$

ⓘ

Daher:

$$2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x$$

ⓘ

Das ergibt B = 0. Die partielle Bruchzerlegung ist also gegeben durch:

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

ⓘ

Anstatt zu expandieren, kann man auch andere lineare Abhängigkeiten von den Koeffizienten erhalten, indem man einige Ableitungen bei $x=1,\imath$ in der obigen Polynomidentität berechnen. (Zu diesem Zweck sei daran erinnert, dass die Ableitung von (x - a)mp(x) bei x = a verschwindet, wenn m > 1 ist, und einfach p(a) für m = 1 ist). Zum Beispiel ergibt die erste Ableitung nach x = 1 ⓘ

$$2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0$$

ⓘ

das ist 8 = 4B + 8, also B = 0. ⓘ

Beispiel 4 (Residuenmethode)

$$f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}$$

ⓘ

Somit kann f(z) in rationale Funktionen zerlegt werden, deren Nenner z+1, z-1, z+i, z-i sind. Da jeder Term die Potenz eins hat, sind -1, 1, -i und i einfache Pole. ⓘ

Daher sind die mit jedem Pol verbundenen Residuen, gegeben durch

$${\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},$$

sind

$$1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},$$

bzw. und ⓘ

$$f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.$$

ⓘ

Beispiel 5 (Grenzwertmethode)

Grenzwerte können verwendet werden, um eine partielle Bruchzerlegung zu finden. Betrachten wir das folgende Beispiel:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}$$

ⓘ

Man faktorisiert zunächst den Nenner, der die Zerlegung bestimmt:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.$$

ⓘ

Man multipliziert alles mit $x-1$und Grenzwertbildung bei $x\to 1$, erhalten wir ⓘ

$$\lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.$$

ⓘ

Auf der anderen Seite, ⓘ

$$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},$$

ⓘ

und somit:

$$A={\frac {1}{3}}.$$

ⓘ

Man multipliziert mit x und nimmt den Grenzwert, wenn $x\to \infty$, haben wir ⓘ

$$\lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,$$

ⓘ

und ⓘ

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.$$

ⓘ

Dies impliziert A + B = 0 und somit $B=-{\frac {1}{3}}$. ⓘ

Für x = 0 erhalten wir $-1=-A+C,$ und somit $C=-{\tfrac {2}{3}}$. ⓘ

Setzt man alles zusammen, erhält man die Zerlegung ⓘ

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).$$

ⓘ

Beispiel 6 (Integral)

Nehmen wir an, wir haben ein unbestimmtes Integral:

$$\int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx$$

ⓘ

Bevor wir die Zerlegung durchführen, müssen wir natürlich eine lange Polynomdivision durchführen und den Nenner faktorisieren. Dies würde zu folgendem Ergebnis führen:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx$$

ⓘ

Daraufhin können wir nun die partielle Bruchzerlegung durchführen. ⓘ

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx$$

also:

$$A(x-1)+B(x+2)=-3x+7$$

. Nach dem Einsetzen unserer Werte, in diesem Fall x=1, um B zu lösen, und x=-2, um A zu lösen, erhalten wir: :

$$A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}$$

ⓘ

Wenn wir all dies in unser Integral einsetzen, erhalten wir die Antwort:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C$$

ⓘ

Einfache Polstellen

Gegeben sei die rationale Funktion ⓘ

$R(x)={\frac {x}{x^{2}-1}}$. ⓘ

Es gibt zwei einfache Polstellen $x_{1}=1$ und $x_{2}=-1$. Der Ansatz lautet also ⓘ

${\frac {x}{x^{2}-1}}={\frac {a_{1}}{x-1}}+{\frac {a_{2}}{x+1}}$, ⓘ

wobei $a_{1}$ und $a_{2}$ unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit $(x^{2}-1)=(x+1)(x-1)$, erhält man ⓘ

$x=a_{1}(x+1)+a_{2}(x-1)$. ⓘ

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit $x$ und Gliedern ohne $x$, so ergibt sich ⓘ

$x=(a_{1}+a_{2})x+(a_{1}-a_{2})$. ⓘ

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von $x$ ist Eins: $a_{1}+a_{2}=1$ und das absolute Glied Null: $a_{1}-a_{2}=0$. Hieraus lässt sich berechnen: $a_{1}=a_{2}={\tfrac {1}{2}}.$ Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also ⓘ

${\frac {x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x+1}}.$ ⓘ

Doppelte Polstellen

Gegeben sei die rationale Funktion ⓘ

$R(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}$. ⓘ

Mittels Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners folgt ⓘ

$R(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}=1+{\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}$. ⓘ

Die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist $x_{0}=1$. Ansatz:

${\frac {2\;x-1}{(x-1)^{2}}}={\frac {a_{1}}{x-1}}+{\frac {a_{2}}{(x-1)^{2}}}\quad |\cdot (x-1)^{2}$ ⓘ

$2\;x-1=a_{1}(x-1)+a_{2}$ ⓘ

$2\;x-1=a_{1}x-a_{1}+a_{2}$ ⓘ

Koeffizientenvergleich:

$a_{1}=2$

$-a_{1}+a_{2}=-1$ ⓘ

Lösung:

$a_{1}=2,\quad a_{2}=1$, ⓘ

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

${\frac {x^{2}}{x^{2}-2x+1}}=1+{\frac {2}{x-1}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}$. ⓘ

Die Rolle des Taylor-Polynoms

Die partielle Bruchzerlegung einer rationalen Funktion kann wie folgt mit dem Taylor-Theorem in Verbindung gebracht werden. Sei ⓘ

$$P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)$$

ⓘ

seien reelle oder komplexe Polynome angenommen, dass ⓘ

$$Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},$$

ⓘ

erfüllt

$$\deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.$$

ⓘ

Definieren Sie auch ⓘ

$$Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.$$

ⓘ

Dann haben wir ⓘ

$${\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}$$

ⓘ

wenn, und nur wenn, jedes Polynom $A_{i}(x)$ das Taylor-Polynom von ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$ der Ordnung $\nu _{i}-1$ an dem Punkt $\lambda _{i}$:

$$A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.$$

ⓘ

Das Taylorsche Theorem (im reellen oder komplexen Fall) liefert dann einen Beweis für die Existenz und Eindeutigkeit der partiellen Bruchzerlegung und eine Charakterisierung der Koeffizienten. ⓘ

Jede rationale Funktion $R\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit den $n$ verschiedenen Polstellen $z_{i}$ der Ordnung $r_{i}$ hat eine eindeutig bestimmte Darstellung ⓘ

mit einer Polynomfunktion $P$ und komplexen Konstanten $a_{ij}$. ⓘ

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern. ⓘ

Skizze des Beweises

Die obige partielle Bruchzerlegung impliziert für jedes 1 ≤ i ≤ r eine Polynomentwicklung ⓘ

$${\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

ⓘ

also $A_{i}$ das Taylor-Polynom von ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$Wegen der Eindeutigkeit der Polynomentwicklung der Ordnung $\nu _{i}-1$und durch die Vermutung $\deg A_{i}<\nu _{i}$. ⓘ

Umgekehrt, wenn die $A_{i}$ die Taylor-Polynome sind, gelten die obigen Erweiterungen für jede $\lambda _{i}$ gelten, daher haben wir auch ⓘ

$$P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

ⓘ

was impliziert, dass das Polynom $P-Q_{i}A_{i}$ teilbar ist durch $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$ ⓘ

Für $j\neq i,Q_{j}A_{j}$ ist auch teilbar durch $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}$, also ⓘ

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}$$

ⓘ

teilbar ist durch $Q$. Da ⓘ

$$\deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)$$

ⓘ

haben wir dann ⓘ

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,$$

ⓘ

und wir finden die partielle Bruchzerlegung durch die Division durch $Q$. ⓘ

Brüche von ganzen Zahlen

Die Idee der partiellen Brüche kann auf andere integrale Bereiche verallgemeinert werden, z. B. auf den Ring der ganzen Zahlen, in dem die Primzahlen die Rolle der nicht reduzierbaren Nenner übernehmen. Zum Beispiel:

$${\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.$$

ⓘ

Geschichte

Die Partialbruchzerlegung wurde ab 1702 in Arbeiten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann I Bernoulli entwickelt. Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen. Da zu dieser Zeit der Fundamentalsatz der Algebra noch nicht bewiesen war – er wurde damals aber schon vermutet –, behauptete Leibniz, dass es für das Nennerpolynom $x^{4}+a^{4}=\left(xx-aa{\sqrt {-1}}\right)\left(xx+aa{\sqrt {-1}}\right)$ keine Partialbruchzerlegung gebe. Johann Bernoulli schloss sich dieser Meinung nicht an. Dieses Beispiel wurde in den Folgejahren von verschiedenen Mathematikern diskutiert und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten, die das Beispiel als fehlerhaft nachwiesen und das (unbestimmte) Integral ⓘ

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{4}+a^{4}}}$ ⓘ

korrekt berechneten. ⓘ

Integration der Partialbrüche

Beim Auffinden der Stammfunktionen von Partialbrüchen lassen sich sechs Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Zählergrad 0 oder 1 ist, ob die Polstellen, also die Nullstellen des Nenners, reell oder nicht reell sind und ob sie einfach oder mehrfach sind. ⓘ

Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkörper

Die Partialbruchzerlegung lässt sich für einen Körper $K$ auf den rationalen Funktionenkörper $K(X)$ verallgemeinern. Bezeichnet man die normierten irreduziblen Polynome im Polynomring $K[X]$ mit $P$, so sind die rationalen Funktionen der Form ${\tfrac {X^{i}}{p^{j}}}$ mit $p\in P,j\in \mathbb {N} _{+},0\leq i<\deg(p)$ linear unabhängig und bilden mit den Monomen $X^{i},i\in \mathbb {N}$ eine $K$-Basis des $K$-Vektorraums $K(X)$. ⓘ