Wirkungsquerschnitt

In der Physik ist der Wirkungsquerschnitt ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Prozess stattfindet, wenn eine Art von Strahlungsanregung (z. B. ein Teilchenstrahl, eine Schallwelle, Licht oder eine Röntgenstrahlung) auf ein örtlich begrenztes Phänomen (z. B. ein Teilchen oder eine Dichtefluktuation) trifft. Der Rutherford-Wirkungsquerschnitt beispielsweise ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Alphateilchen bei einer Wechselwirkung mit einem Atomkern um einen bestimmten Winkel abgelenkt wird. Der Wirkungsquerschnitt wird üblicherweise mit σ (sigma) bezeichnet und in Flächeneinheiten, genauer gesagt in Scheunen, ausgedrückt. In gewisser Weise kann man ihn sich als die Größe des Objekts vorstellen, auf das die Anregung treffen muss, damit der Prozess stattfindet, aber genauer gesagt ist er ein Parameter eines stochastischen Prozesses. ⓘ

In der klassischen Physik konvergiert diese Wahrscheinlichkeit oft zu einem deterministischen Anteil der am Prozess beteiligten Anregungsenergie, so dass z. B. bei der Streuung von Licht an einem Teilchen der Wirkungsquerschnitt die Menge der optischen Leistung angibt, die von Licht einer bestimmten Bestrahlungsstärke (Leistung pro Fläche) gestreut wird. Es ist wichtig zu beachten, dass der Querschnitt, obwohl er dieselben Einheiten wie die Fläche hat, nicht unbedingt mit der tatsächlichen physikalischen Größe des Ziels übereinstimmt, die durch andere Formen der Messung ermittelt wird. Es ist nicht ungewöhnlich, dass die tatsächliche Querschnittsfläche eines streuenden Objekts viel größer oder kleiner ist als der Querschnitt im Verhältnis zu einem physikalischen Prozess. So können beispielsweise plasmonische Nanopartikel für bestimmte Frequenzen Lichtstreuquerschnitte haben, die viel größer sind als ihre tatsächlichen Querschnittsflächen. ⓘ

Wenn zwei diskrete Teilchen in der klassischen Physik interagieren, ist ihr gegenseitiger Querschnitt die Fläche quer zu ihrer relativen Bewegung, in der sie sich treffen müssen, um voneinander zu streuen. Handelt es sich bei den Teilchen um harte, unelastische Kugeln, die nur bei Kontakt miteinander wechselwirken, hängt ihr Streuquerschnitt von ihrer geometrischen Größe ab. Wenn die Teilchen durch eine auf Distanz wirkende Kraft, wie z. B. Elektromagnetismus oder Schwerkraft, wechselwirken, ist ihr Streuquerschnitt im Allgemeinen größer als ihre geometrische Größe. ⓘ

Wird ein Wirkungsquerschnitt als Differentialgrenzwert einer Funktion einer Endzustandsvariablen, z. B. des Teilchenwinkels oder der Energie, angegeben, spricht man von einem differentiellen Wirkungsquerschnitt (siehe ausführliche Diskussion unten). Wird ein Wirkungsquerschnitt über alle Streuwinkel (und möglicherweise andere Variablen) integriert, wird er als Gesamtquerschnitt oder integrierter Gesamtquerschnitt bezeichnet. Bei der Rayleigh-Streuung beispielsweise ist die nach vorne und hinten gestreute Intensität größer als die seitlich gestreute Intensität, so dass der vordere differentielle Streuquerschnitt größer ist als der senkrechte differentielle Querschnitt, und durch Addition aller infinitesimalen Querschnitte über den gesamten Winkelbereich mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich der Gesamtquerschnitt ermitteln. ⓘ

Streuquerschnitte können in der Kern-, Atom- und Teilchenphysik für Kollisionen von beschleunigten Strahlen einer Teilchenart mit (stationären oder bewegten) Zielen einer zweiten Teilchenart definiert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Reaktion stattfindet, ist proportional zu ihrem Wirkungsquerschnitt. Daher ist die Angabe des Wirkungsquerschnitts für eine bestimmte Reaktion ein Ersatz für die Angabe der Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Streuprozess stattfindet. ⓘ

Die gemessene Reaktionsrate eines bestimmten Prozesses hängt stark von experimentellen Variablen wie der Dichte des Zielmaterials, der Intensität des Strahls, der Nachweisleistung des Geräts oder der Winkeleinstellung des Nachweisgeräts ab. Diese Größen können jedoch herausgerechnet werden, so dass der zugrunde liegende Wirkungsquerschnitt für zwei Teilchen gemessen werden kann. ⓘ

Differential- und Gesamtstreuquerschnitte gehören zu den wichtigsten messbaren Größen in der Kern-, Atom- und Teilchenphysik. ⓘ

Der Wirkungsquerschnitt $\sigma$ (Sigma) ist in der Molekül-, Atom-, Kern- und Teilchenphysik ein Maß für die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung zwischen einer einfallenden Wellenstrahlung oder einem einfallenden Teilchen („Projektil“) und einem anderen Teilchen (Streukörper oder Target). Beispiele für eine solche Wechselwirkung wären Absorption, Streuung oder eine Reaktion. ⓘ

Der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension Fläche. Er wird meist in folgenden Einheiten angegeben:

• in der Kern- und Teilchenphysik in Barn (1 b = 10⁻²⁸ m² = 10⁻⁴ pm² = 100 fm²)
• in der Atom- und Molekülphysik in 10⁻²² m² = 1 Mb = 10⁻⁴ nm² = 100 pm². ⓘ

Die Vorstellung vom Wirkungsquerschnitt als einer jedem Targetteilchen zugeordneten Trefferfläche bietet ein anschauliches Maß für die „Stärke“ des jeweils betrachteten Vorgangs: Einem häufig eintretenden Vorgang entspricht ein großer Wirkungsquerschnitt, einem selten eintretenden ein kleiner Wirkungsquerschnitt. Mit anschaulichen Vorstellungen über Größe, Form und Lage des Targetteilchens stimmt diese Trefferfläche allerdings im Allgemeinen nicht überein. ⓘ

Der Wirkungsquerschnitt hängt vom jeweils interessierenden Vorgang ab, von Art und kinetischer Energie des einfallenden Teilchens oder Quants und von der Art des getroffenen Teilchens, z. B. Atom, Atomkern. Die letztgenannte Abhängigkeit bedeutet, dass Wirkungsquerschnitte Materialeigenschaften sind. Beispielsweise sind zur Berechnung von Kernreaktoren oder Kernfusionsreaktoren umfangreiche Kerndatenbibliotheken erforderlich, die die Wirkungsquerschnitte der verschiedenen Materialien für einfallende Neutronen verschiedener Energien für verschiedene mögliche Streuprozesse und Kernreaktionen enthalten. ⓘ

Insbesondere bei Kernreaktionen wird der Wirkungsquerschnitt, betrachtet als Funktion der Energie des einfallenden Teilchens/Quants, manchmal auch als Anregungsfunktion bezeichnet. ⓘ

Kollisionen zwischen Gasteilchen

Abbildung 1. In einem Gas aus Teilchen mit dem Einzeldurchmesser 2r hängt der Wirkungsquerschnitt σ für Kollisionen mit der Teilchendichte n und der mittleren freien Weglänge zwischen den Kollisionen λ zusammen. ⓘ

In einem Gas aus Teilchen endlicher Größe kommt es zu Zusammenstößen zwischen Teilchen, die von ihrer Querschnittsgröße abhängen. Die durchschnittliche Entfernung, die ein Teilchen zwischen Kollisionen zurücklegt, hängt von der Dichte der Gasteilchen ab. Diese Größen sind miteinander verbunden durch

$\sigma ={\frac {1}{n\lambda }},$ ⓘ

wobei

σ ist der Querschnitt eines Zusammenstoßes von zwei Teilchen (SI-Einheiten: m²),

λ die mittlere freie Weglänge zwischen Kollisionen ist (SI-Einheiten: m),

n die Anzahldichte der Zielteilchen ist (SI-Einheiten: m-3). ⓘ

Wenn die Teilchen im Gas als harte Kugeln mit dem Radius r behandelt werden können, die durch direkten Kontakt wechselwirken, wie in Abbildung 1 dargestellt, dann ist der Wirkungsquerschnitt für den Zusammenstoß eines Paares

$\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}$ ⓘ

Wenn die Teilchen im Gas durch eine Kraft mit einem größeren Bereich als ihrer physikalischen Größe wechselwirken, dann ist der Wirkungsquerschnitt eine größere effektive Fläche, die von einer Vielzahl von Variablen wie der Energie der Teilchen abhängen kann. ⓘ

Wirkungsquerschnitte können für atomare Kollisionen berechnet werden, werden aber auch im subatomaren Bereich verwendet. In der Kernphysik kollidiert beispielsweise ein "Gas" von Neutronen niedriger Energie mit Kernen in einem Reaktor oder einer anderen kerntechnischen Anlage, wobei der Wirkungsquerschnitt von der Energie abhängt und somit auch die mittlere freie Weglänge zwischen den Kollisionen genau definiert ist. ⓘ

Abschwächung eines Teilchenstrahls

Tritt ein Teilchenstrahl in eine dünne Materialschicht der Dicke dz ein, so verringert sich der Fluss Φ des Strahls um dΦ gemäß

${\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,$ ⓘ

wobei σ der Gesamtwirkungsquerschnitt aller Ereignisse ist, einschließlich Streuung, Absorption oder Umwandlung in eine andere Spezies. Die volumetrische Anzahldichte der Streuzentren wird mit n bezeichnet. Die Lösung dieser Gleichung zeigt die exponentielle Abschwächung der Strahlintensität:

$\Phi =\Phi _{0}e^{-n\sigma z},$ ⓘ

Dabei ist Φ₀ der Ausgangsfluss und z die Gesamtdicke des Materials. Für Licht wird dies als Beer-Lambert-Gesetz bezeichnet. ⓘ

Differentieller Wirkungsquerschnitt

Betrachten wir eine klassische Messung, bei der ein einzelnes Teilchen an einem einzelnen stationären Zielteilchen gestreut wird. Üblicherweise wird ein kugelförmiges Koordinatensystem verwendet, wobei sich das Zielteilchen im Ursprung befindet und die z-Achse dieses Koordinatensystems auf den einfallenden Strahl ausgerichtet ist. Der Winkel θ ist der Streuwinkel, gemessen zwischen dem einfallenden Strahl und dem gestreuten Strahl, und φ ist der Azimutwinkel.

Der Stoßparameter b ist der senkrechte Versatz der Flugbahn des eintretenden Teilchens, und das austretende Teilchen tritt unter einem Winkel θ aus. Für eine gegebene Wechselwirkung (Coulomb, Magnetismus, Gravitation, Kontakt usw.) haben der Stoßparameter und der Streuwinkel eine eindeutige eins-zu-eins funktionale Abhängigkeit voneinander. Im Allgemeinen kann der Stoßparameter weder kontrolliert noch von Ereignis zu Ereignis gemessen werden, und es wird angenommen, dass er alle möglichen Werte annimmt, wenn über viele Streuungsereignisse gemittelt wird. Die differentielle Größe des Querschnitts ist das Flächenelement in der Ebene des Stoßparameters, d. h. dσ = b dφ db. Der differentielle Winkelbereich des gestreuten Teilchens im Winkel θ ist das Raumwinkelelement dΩ = sin θ dθ dφ. Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist der Quotient aus diesen Größen, dσ/dΩ. ⓘ

Er ist eine Funktion des Streuwinkels (und damit auch des Stoßparameters) sowie anderer Beobachtungsgrößen wie des Impulses des einfallenden Teilchens. Der differentielle Wirkungsquerschnitt wird immer als positiv angenommen, auch wenn größere Stoßparameter im Allgemeinen eine geringere Ablenkung bewirken. In zylindersymmetrischen Situationen (um die Strahlachse) wird der azimutale Winkel φ durch den Streuprozess nicht verändert, und der differentielle Wirkungsquerschnitt kann geschrieben werden als

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi$. ⓘ

In Situationen, in denen der Streuprozess nicht azimutal symmetrisch ist, z. B. wenn der Strahl oder die Zielteilchen magnetische Momente besitzen, die senkrecht zur Strahlachse ausgerichtet sind, muss der differentielle Wirkungsquerschnitt auch als Funktion des azimutalen Winkels ausgedrückt werden. ⓘ

Für die Streuung von Teilchen des einfallenden Flusses F_inc an einem stationären Ziel, das aus vielen Teilchen besteht, ist der differentielle Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ bei einem Winkel (θ,φ) mit dem Fluss der gestreuten Teilchendetektion F_out(θ,φ) in Teilchen pro Zeiteinheit verbunden durch

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.$ ⓘ

Dabei ist ΔΩ die endliche Winkelgröße des Detektors (SI-Einheit: sr), n die Anzahldichte der Zielteilchen (SI-Einheiten: m-3) und t die Dicke des stationären Targets (SI-Einheiten: m). Diese Formel geht davon aus, dass das Target so dünn ist, dass jedes Strahlteilchen mit höchstens einem Targetteilchen wechselwirkt. ⓘ

Der Gesamtwirkungsquerschnitt σ lässt sich durch Integration des differentiellen Wirkungsquerschnitts dσ/dΩ über den gesamten Raumwinkel (4π Steradian) ermitteln:

$\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$ ⓘ

Es ist üblich, den Zusatz "differentiell" wegzulassen, wenn sich die Art des Wirkungsquerschnitts aus dem Kontext erschließen lässt. In diesem Fall kann σ als integraler Wirkungsquerschnitt oder Gesamtquerschnitt bezeichnet werden. Der letztgenannte Begriff kann in Kontexten, in denen mehrere Ereignisse beteiligt sind, verwirrend sein, da sich "total" auch auf die Summe der Wirkungsquerschnitte aller Ereignisse beziehen kann. ⓘ

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist in vielen Bereichen der Physik eine äußerst nützliche Größe, da seine Messung eine große Menge an Informationen über die innere Struktur der Zielteilchen liefern kann. So lieferte beispielsweise der differentielle Wirkungsquerschnitt der Rutherford-Streuung einen eindeutigen Beweis für die Existenz des Atomkerns. ⓘ

Anstelle des Raumwinkels kann der Impulstransfer als unabhängige Variable für differentielle Wirkungsquerschnitte verwendet werden. ⓘ

Differenzielle Wirkungsquerschnitte bei inelastischer Streuung enthalten Resonanzspitzen, die auf die Entstehung metastabiler Zustände hinweisen und Informationen über deren Energie und Lebensdauer enthalten. ⓘ

Wirkungsquerschnitte für sechs Kernreaktionen von Neutron und Atomkern ²³⁵U und ihre Summe, der totale Wirkungsquerschnitt, als Funktion der kinetischen Energie der Neutronen. In der Legende steht teilweise z statt des üblichen Symbols n für Neutron (Datenquelle: JEFF, graphische Darstellung: Kerndatenbetrachter JANIS 4[1]) ⓘ

Sekundärenergieverteilung

Seltener benötigt wird der nach der Energie $E_{s}$ des Sekundärteilchens, also des gestreuten Teilchens oder Reaktionsproduktes, abgeleitete Wirkungsquerschnitt ${\frac {d\sigma }{dE_{s}}}$, der die Energieverteilung der Sekundärteilchen beschreibt. Er hängt ab von der Primär- und der Sekundärenergie. ⓘ

Doppelt differentieller Wirkungsquerschnitt

Bei komplexen Vorgängen wie etwa dem Eindringen (Transport) schneller Neutronen in dicke Materieschichten, wo ein Neutron an verschiedenen Streuprozessen und Kernreaktionen nacheinander teilnehmen kann, wird auch der doppelt differentielle Wirkungsquerschnitt ${\frac {d^{2}\sigma }{d\Omega \cdot dE_{s}}}$ betrachtet, da er die detaillierteste physikalische Beschreibung erlaubt. ⓘ

Quantenstreuung

Im zeitunabhängigen Formalismus der Quantenstreuung wird die anfängliche Wellenfunktion (vor der Streuung) als eine ebene Welle mit einem bestimmten Impuls k angenommen:

$\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},$ ⓘ

wobei z und r die relativen Koordinaten zwischen dem Projektil und dem Ziel sind. Der Pfeil zeigt an, dass dies nur das asymptotische Verhalten der Wellenfunktion beschreibt, wenn das Projektil und das Ziel zu weit voneinander entfernt sind, als dass die Wechselwirkung irgendeine Wirkung hätte. ⓘ

Nachdem die Streuung stattgefunden hat, wird erwartet, dass die Wellenfunktion die folgende asymptotische Form annimmt:

$\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},$ ⓘ

wobei f eine Funktion der Winkelkoordinaten ist, die als Streuungsamplitude bezeichnet wird. Diese allgemeine Form gilt für jede kurzreichweitige, energieerhaltende Wechselwirkung. Sie gilt nicht für langreichweitige Wechselwirkungen, so dass es bei elektromagnetischen Wechselwirkungen zusätzliche Komplikationen gibt. ⓘ

Die vollständige Wellenfunktion des Systems verhält sich asymptotisch wie die Summe

$\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).$ ⓘ

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist mit der Streuamplitude verknüpft:

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.$ ⓘ

Diese lässt sich einfach als die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auffinden des gestreuten Projektils unter einem bestimmten Winkel interpretieren. ⓘ

Der Wirkungsquerschnitt ist also ein Maß für die effektive Oberfläche, die von den auftreffenden Teilchen gesehen wird, und wird als solches in Flächeneinheiten ausgedrückt. Der Querschnitt zweier Teilchen (d. h. der Querschnitt, der beobachtet wird, wenn die beiden Teilchen miteinander kollidieren) ist ein Maß für das Wechselwirkungsereignis zwischen den beiden Teilchen. Der Wirkungsquerschnitt ist proportional zur Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Wechselwirkung; bei einem einfachen Streuexperiment beispielsweise hängt die Anzahl der pro Zeiteinheit gestreuten Teilchen (Strom der gestreuten Teilchen Ir) nur von der Anzahl der einfallenden Teilchen pro Zeiteinheit (Strom der einfallenden Teilchen Ii), den Eigenschaften des Ziels (z. B. der Anzahl der Teilchen pro Flächeneinheit N) und der Art der Wechselwirkung ab. Für Nσ ≪ 1 gilt

${\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{probability of interaction}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Fermis Goldene Regel besagt, dass für die Reaktionsrate $W$ (Anzahl von Reaktionen pro Zeit) gilt:

$W={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{fi}|^{2}\rho$ ⓘ

mit

• $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum
• $M_{fi}$ dem Übergangsmatrixelement bzw. der Wahrscheinlichkeitsamplitude (in der Bornschen Näherung gegeben durch den Formfaktor des Potentials der Wechselwirkung)
• $\rho$ dem Phasenraumfaktor. ⓘ

$W=L\,\sigma$ (vgl. oben: $L\,$ als Luminosität des Teilchenstrahls), ⓘ

gilt folglich:

$\sigma ={\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {1}{L}}\cdot |M_{fi}|^{2}\rho .$ ⓘ

Beziehung zur S-Matrix

Wenn die reduzierten Massen und Impulse des koll_id_ierenden Systems mi, pi bzw. mf, pf vor und nach dem Zusammenstoß sind, ist der differentielle Wirkungsquerschnitt gegeben durch

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},$ ⓘ

wobei die T-Matrix auf der Schale definiert ist durch

$S_{fi}=\delta _{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}$ ⓘ

in Bezug auf die S-Matrix definiert ist. Dabei ist δ die Dirac-Delta-Funktion. Die Berechnung der S-Matrix ist das Hauptziel der Streuungstheorie. ⓘ

Einheiten

Obwohl die SI-Einheit des Gesamtwirkungsquerschnitts m² ist, werden in der Praxis meist kleinere Einheiten verwendet. ⓘ

In der Kern- und Teilchenphysik ist die konventionelle Einheit die Scheune b, wobei 1 b = 10-28 m² = 100 fm². Kleinere vorangestellte Einheiten wie mb und μb werden ebenfalls häufig verwendet. Dementsprechend kann der differentielle Wirkungsquerschnitt in Einheiten wie mb/sr gemessen werden. ⓘ

Handelt es sich bei der Streustrahlung um sichtbares Licht, ist es üblich, die Weglänge in Zentimetern zu messen. Um Umrechnungsfaktoren zu vermeiden, wird der Streuquerschnitt in cm² und die Anzahlkonzentration in cm-3 angegeben. Die Messung der Streuung von sichtbarem Licht wird als Nephelometrie bezeichnet und ist für Partikel mit einem Durchmesser von 2-50 µm wirksam: Sie wird daher häufig in der Meteorologie und bei der Messung der Luftverschmutzung eingesetzt. ⓘ

Die Streuung von Röntgenstrahlen kann auch in Form von Streuquerschnitten beschrieben werden, wobei das Quadrat ångström eine geeignete Einheit ist: 1 Ų = 10-20 m² = 10000 pm² = 10⁸ b. Die Summe der Streu-, Photoelektrizitäts- und Paarproduktionsquerschnitte (in Scheunen) wird als "atomarer Schwächungskoeffizient" (Engstrahl) in Scheunen angegeben. ⓘ

Streuung von Licht

Bei Licht ist der Streuquerschnitt für Teilchen im Allgemeinen anders als der geometrische Querschnitt des Teilchens und hängt von der Wellenlänge des Lichts und der Dielektrizitätskonstante, der Form und der Größe des Teilchens ab. Die Gesamtmenge der Streuung in einem dünn besiedelten Medium ist proportional zum Produkt aus dem Streuquerschnitt und der Anzahl der vorhandenen Teilchen. ⓘ

Bei der Wechselwirkung von Licht mit Teilchen treten viele Prozesse auf, jeder mit seinem eigenen Wirkungsquerschnitt, einschließlich Absorption, Streuung und Photolumineszenz. Die Summe der Absorptions- und Streuquerschnitte wird manchmal als Abschwächungs- oder Extinktionsquerschnitt bezeichnet.

$\sigma =\sigma _{\text{a}}+\sigma _{\text{s}}+\sigma _{\text{l}}.$

Der Gesamtextinktionsquerschnitt ist mit der Abschwächung der Lichtintensität durch das Beer-Lambert-Gesetz verbunden, das besagt, dass die Abschwächung proportional zur Teilchenkonzentration ist:

$A_{\lambda }=Cl\sigma ,$

Dabei ist A_λ die Abschwächung bei einer bestimmten Wellenlänge λ, C ist die Teilchenkonzentration als Anzahldichte und l ist die Weglänge. Das Absorptionsvermögen der Strahlung ist der Logarithmus (dekadisch oder meist natürlich) des Kehrwerts des Transmissionsvermögens T:

$A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.$ ⓘ

Die Kombination von Streu- und Absorptionsquerschnitt ist oft notwendig, da sie experimentell nicht zu unterscheiden sind. Daher wurden viele Forschungsanstrengungen unternommen, um Modelle zu entwickeln, die eine Unterscheidung ermöglichen, wobei die Kubelka-Munk-Theorie zu den wichtigsten auf diesem Gebiet gehört. ⓘ

Wirkungsquerschnitt und Mie-Theorie

Die Querschnitte, die üblicherweise mit der Mie-Theorie berechnet werden, umfassen die Effizienzkoeffizienten für die Extinktion ${\textstyle Q_{\text{ext}}}$Streuung ${\textstyle Q_{\text{sc}}}$und Absorption ${\textstyle Q_{\text{abs}}}$ Querschnitte. Diese werden durch die geometrischen Wirkungsquerschnitte des Teilchens normiert ${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$ als

$$Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.$$

Der Querschnitt ist definiert durch

$\sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}$

wobei $\left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]$ ist der Energiefluss durch die umgebende Oberfläche, und $\left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]$ ist die Intensität der einfallenden Welle. Für eine ebene Welle ist die Intensität $I_{\text{ext}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )$sein, wobei $\eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}$ die Impedanz des Aufnahmemediums ist. ⓘ

Der Hauptansatz beruht auf folgendem. Erstens konstruieren wir eine imaginäre Kugel mit dem Radius $r$ (Oberfläche $A$) um das Teilchen (den Streuer). Die Nettorate der elektromagnetischen Energie, die die Oberfläche durchquert $A$ ist

$W_{a}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA$

wobei $\mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]$ ist der zeitlich gemittelte Poynting-Vektor. Wenn $W_{a}>0$ wird Energie innerhalb der Kugel absorbiert, andernfalls wird Energie innerhalb der Kugel erzeugt. Die letztere Variante wird nicht berücksichtigt. Sobald das Wirtsmedium nicht absorbiert, wird die Energie vom Teilchen absorbiert. Wir zerlegen das Gesamtfeld in einen einfallenden und einen gestreuten Teil $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{i}+\mathbf {E} _{s}$und das Gleiche gilt für das magnetische Feld $\mathbf {H}$. Wir können also zerlegen $W_{a}$ in die drei Terme $W_{a}=W_{i}-W_{s}+W_{\text{ext}}$sein, wobei

$W_{i}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{i}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{s}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{s}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.$

wobei $\mathbf {\Pi } _{i}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{i}\right]$, $\mathbf {\Pi } _{s}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]$, und $\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]$. ⓘ

Das gesamte Feld kann in die Reihe der vektoriellen sphärischen Oberschwingungen (VSH) zerlegt werden. Danach können alle Integrale genommen werden. Im Fall einer einheitlichen Kugel mit dem Radius $a$, Dielektrizitätskonstante $\varepsilon$und Permeabilität $\mu$ hat das Problem eine präzise Lösung. Die Streu- und Extinktionskoeffizienten sind

$$Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})$$

$$Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$$

wobei ${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$. Diese sind verbunden als

$$\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}$$

ⓘ

Dipolapproximation für den Streuquerschnitt

Nehmen wir an, dass die Teilchen nur elektrische und magnetische Dipolmoden mit den Polarisierbarkeiten ${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$ und ${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$ (hier verwenden wir die Notation der magnetischen Polarisierbarkeit in der Art von Bekshaev et al. anstelle der Notation von Nieto-Vesperians et al.), ausgedrückt durch die Mie-Koeffizienten als

$$\alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.$$

Dann werden die Querschnitte zu

$$\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})$$

$$\sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}$$

und schließlich die elektrischen und magnetischen Absorptionsquerschnitte ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$ sind

$$\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]$$

und

$$\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]$$

ⓘ

Für den Fall eines Teilchens ohne inneren Gewinn, d.h. wenn das Teilchen keine Energie nach innen abgibt (${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$), haben wir einen besonderen Fall des Optischen Theorems

$${\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]$$

Das Vorzeichen der Gleichheit ${\textstyle \geq \to =}$ wird für nicht absorbierende Teilchen erreicht, d.h. für ${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$. ⓘ

Streuung von Licht an ausgedehnten Körpern

Im Zusammenhang mit der Streuung von Licht an ausgedehnten Körpern beschreibt der Streuquerschnitt σ_scat die Wahrscheinlichkeit, dass das Licht an einem makroskopischen Teilchen gestreut wird. Im Allgemeinen unterscheidet sich der Streuquerschnitt vom geometrischen Querschnitt eines Teilchens, da er neben der Form und Größe des Teilchens auch von der Wellenlänge des Lichts und der Permittivität abhängt. Die Gesamtmenge der Streuung in einem dünn besiedelten Medium wird durch das Produkt aus dem Streuquerschnitt und der Anzahl der vorhandenen Teilchen bestimmt. Bezogen auf die Fläche ist der Gesamtquerschnitt (σ) die Summe der Querschnitte durch Absorption, Streuung und Lumineszenz:

$\sigma =\sigma _{\text{a}}+\sigma _{\text{s}}+\sigma _{\text{l}}.$ ⓘ

Der Gesamtwirkungsquerschnitt ist mit der Absorption der Lichtintensität durch das Beer-Lambert-Gesetz verbunden, das besagt, dass die Absorption proportional zur Konzentration ist: A_λ = Clσ, wobei A_λ das Absorptionsvermögen bei einer bestimmten Wellenlänge λ, C die Konzentration als Zahlendichte und l die Weglänge ist. Die Extinktion oder Absorption der Strahlung ist der Logarithmus (dekadisch oder meist natürlich) des Kehrwerts des Transmissionsgrads T:

$A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.$ ⓘ

Beziehung zur physikalischen Größe

Es gibt keine einfache Beziehung zwischen dem Streuquerschnitt und der physikalischen Größe der Teilchen, da der Streuquerschnitt von der Wellenlänge der verwendeten Strahlung abhängt. Dies wird deutlich, wenn man an einem nebligen Abend einen Halo um den Mond betrachtet: Photonen des roten Lichts treffen auf eine größere Querschnittsfläche von Wassertröpfchen als Photonen höherer Energie. Der Halo um den Mond hat also einen Umfang von rotem Licht, weil Photonen niedrigerer Energie weiter vom Mondzentrum entfernt gestreut werden. Photonen aus dem übrigen sichtbaren Spektrum bleiben im Zentrum des Halos und werden als weißes Licht wahrgenommen. ⓘ

Meteorologischer Bereich

Der Streuungsquerschnitt hängt mit dem meteorologischen Bereich L_V zusammen:

$L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.$ ⓘ

Die Größe Cσscat wird manchmal auch als bscat bezeichnet, der Streukoeffizient pro Längeneinheit. ⓘ

Beispiele

Beispiel 1: elastischer Zusammenstoß zweier harter Kugeln

Der elastische Zusammenstoß zweier harter Kugeln ist ein lehrreiches Beispiel, das den Sinn der Bezeichnung dieser Größe als Querschnitt verdeutlicht. R und r sind jeweils die Radien des Streuzentrums und der gestreuten Kugel. Der Gesamtwirkungsquerschnitt ist

$\sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.$ ⓘ

In diesem Fall ist der Gesamtstreuquerschnitt also gleich der Fläche des Kreises (mit Radius r + R), innerhalb derer der Massenschwerpunkt der ankommenden Kugel ankommen muss, damit sie abgelenkt wird, und außerhalb derer sie am stationären Streuzentrum vorbeifliegt. Wenn der Radius der einfallenden Kugel gegen Null geht, ist der Querschnitt gerade die Fläche eines Kreises mit Radius R. ⓘ

Beispiel 2: Streulicht an einem 2D-Kreisspiegel

Ein weiteres Beispiel veranschaulicht die Einzelheiten der Berechnung eines einfachen Modells der Lichtstreuung, das durch eine Verkleinerung der Dimensionen erreicht wird. Der Einfachheit halber betrachten wir die Streuung eines Lichtstrahls in einer Ebene, die als gleichmäßige Dichte paralleler Strahlen behandelt wird, im Rahmen der geometrischen Optik an einem Kreis mit dem Radius r mit einer perfekt reflektierenden Begrenzung. Sein dreidimensionales Äquivalent ist daher das schwierigere Problem der Streuung des Lichts eines Lasers oder einer Taschenlampe an einer Spiegelkugel, z. B. an einer mechanischen Lagerkugel. Die Einheit des Querschnitts in einer Dimension ist die Längeneinheit, z. B. 1 m. Sei α der Winkel zwischen dem Lichtstrahl und dem Radius, der den Reflexionspunkt des Lichtstrahls mit dem Mittelpunkt des Kreisspiegels verbindet. Dann wird die Zunahme des Längenelements senkrecht zum Lichtstrahl durch diesen Winkel ausgedrückt als

$\mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,$

der Reflexionswinkel dieses Strahls in Bezug auf den einfallenden Strahl ist dann 2α, und der Streuungswinkel ist

$\theta =\pi -2\alpha .$

Die Energie oder die Anzahl der vom Lichtstrahl reflektierten Photonen mit der Intensität oder Dichte der Photonen I auf der Länge dx ist

$I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .$

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist also (dΩ = dθ)

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Wie aus dem Verhalten der Sinusfunktion ersichtlich ist, hat diese Größe das Maximum für die Rückwärtsstreuung (θ = π; das Licht wird senkrecht reflektiert und kehrt zurück) und das Nullminimum für die Streuung vom Rand des Kreises direkt nach vorne (θ = 0). Dies bestätigt die intuitive Erwartung, dass der Spiegelkreis wie eine Zerstreuungslinse wirkt und ein dünner Strahl umso mehr verdünnt wird, je näher er sich in Bezug auf die Einfallsrichtung am Rand befindet. Der Gesamtquerschnitt lässt sich durch Summieren (Integrieren) des differentiellen Querschnitts über den gesamten Winkelbereich ermitteln:

$\sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =\left.-r\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|_{0}^{2\pi }=2r,$

Er ist also so groß, wie der kreisförmige Spiegel den zweidimensionalen Raum für den Lichtstrahl vollständig abschirmt. In drei Dimensionen für die Spiegelkugel mit dem Radius r ist es also gleich σ = πr². ⓘ

Beispiel 3: Streuung des Lichts an einem 3D-Kugelspiegel

Wir können nun das Ergebnis aus Beispiel 2 verwenden, um den differentiellen Wirkungsquerschnitt für das Licht zu berechnen, das an der perfekt reflektierenden Kugel in drei Dimensionen gestreut wird. Bezeichnen wir nun den Radius der Kugel als a. Parametrisieren wir die Ebene senkrecht zum einfallenden Lichtstrahl durch die Zylinderkoordinaten r und φ. In jeder Ebene des einfallenden und des reflektierten Strahls können wir nun aus dem vorherigen Beispiel schreiben:

${\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}$

während das Element der Auftrefffläche ist

$\mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Unter Verwendung der Beziehung für den Raumwinkel in den sphärischen Koordinaten:

$\mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$

und der trigonometrischen Identität

$\sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),$

erhalten wir

${\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}},$

während der Gesamtquerschnitt wie erwartet ist

$\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.$

Wie man sieht, stimmt dies auch mit dem Ergebnis aus Beispiel 1 überein, wenn das Photon als starre Kugel mit Radius Null angenommen wird. ⓘ

Spezielle Bezeichnungen

Je nach Art des betrachteten Vorgangs werden verschiedene Bezeichnungen für den Wirkungsquerschnitt verwendet:

• Absorptionsquerschnitt für jede Absorption des einfallenden Teilchens
• Streuquerschnitt für Streuung, also Ablenkung des einfallenden Teilchens
• Extinktionsquerschnitt für Schwächung oder Energieentnahme, Summe von Streu- und Absorptionsquerschnitt
• Einfangquerschnitt für eine bestimmte Absorption, nämlich den Neutroneneinfang (die (n,$\gamma$)-Kernreaktion)
• Neutronenquerschnitt für (beliebige) Wechselwirkung des Atomkerns mit einem freien Neutron
• Reaktionsquerschnitt für die chemische Reaktion, die durch den Stoß zweier Atome oder Moleküle ausgelöst wird
• Elastischer Wirkungsquerschnitt (oft auch nur „elastischer Querschnitt“) für elastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem die gesamte kinetische Energie erhalten bleibt
• Inelastischer Wirkungsquerschnitt („inelastischer Querschnitt“) für inelastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem kinetische Energie in andere Energieformen übergeht, z. B. wird ein Teilchen angeregt (d. h. in einen Zustand höherer Energie versetzt) oder es werden neue Teilchen erzeugt
• Ionisationsquerschnitt für die Ionisation des getroffenen Atoms
• Spaltquerschnitt für die induzierte Kernspaltung
• Strahlungsdruckquerschnitt für Strahlungsdruck. ⓘ

Definition

Die Trefferwahrscheinlichkeit $w$ ist die Gesamtfläche der $N_{T}$ Targetteilchen, also $\sigma \cdot N_{T}$ (rot), geteilt durch die Gesamtfläche des Targets (blau). ⓘ

Bei einem Experiment mit gleichmäßiger Bestrahlung des Targets wird dem Zielteilchen (Targetteilchen) eine Fläche σ als gedachte „Zielscheibe“ zugeordnet. Ihre Größe wird so gewählt, dass die Zahl der beobachteten Reaktionen ("Wechselwirkungen") genau durch die Anzahl der – punktförmig, also ausdehnungslos gedachten – Projektilteilchen angegeben wird, die durch diese Fläche hindurchfliegen. Diese Fläche ist der Wirkungsquerschnitt des betreffenden Targets für die betreffende Wechselwirkung bei der betreffenden Energie der Projektilteilchen. ⓘ

Die Wahrscheinlichkeit $w$, dass ein einfallendes Teilchen mit einem Targetteilchen wechselwirkt, errechnet sich aus ⓘ

$w=\sigma {\frac {N_{T}}{F}}\quad \Leftrightarrow \quad \sigma =w{\frac {F}{N_{T}}}.$ ⓘ

Darin ist

• $F\,$ die bestrahlte Targetfläche und
• $N_{T}\,$ die Anzahl der darin enthaltenen Targetteilchen;

auch wird $\sigma N_{T}\ll F\quad \Leftrightarrow \quad w\ll 1$ vorausgesetzt, weil sich die Targetteilchen sonst gegenseitig abschatten. ⓘ

Wenn insgesamt $\,N$ Projektilteilchen einlaufen und jedes von ihnen mit der Wahrscheinlichkeit $\,w$ eine Reaktion verursacht, dann ist die Gesamtzahl der Reaktionen gegeben durch:

$N_{\text{Reaktion}}=wN\quad \Leftrightarrow \quad w={\frac {N_{\text{Reaktion}}}{N}}.\,$ ⓘ

Zusammen:

$\sigma ={\frac {N_{\text{Reaktion}}}{N}}\,{\frac {F}{N_{T}}}\quad \Leftrightarrow \quad N_{\text{Reaktion}}=\sigma {\frac {N_{T}}{F}}N.$ ⓘ

Zur experimentellen Bestimmung eines Wirkungsquerschnitts wird $\,N_{\text{Reaktion}}$ durch geeignete Detektoren gemessen, während $N_{T}\,$, $N\,$ und $F\,$ aus Aufbau und Durchführung des Experiments bekannt sind. ⓘ

In der theoretischen Herleitung (z. B. in der quantenmechanischen Streutheorie) wird die Formel häufig noch durch die Zeit dividiert, also die Reaktionsrate $W$ (Reaktorphysik: Kernreaktionsrate $R$):

$W={\frac {N_{\text{Reaktion}}}{t}}=\sigma N_{T}\,j=\sigma L$ ⓘ

mit

• der Teilchenstromdichte $j={\frac {N}{F\,t}}$ der Projektilteilchen und
• der Luminosität $L=N_{T}\,j$ der Kombination von Target und Teilchenstrahl. ⓘ

Abschwächung des einfallenden Teilchenstrahls im dicken Target

Für eine infinitesimal dünne Targetschicht der Dicke $\mathrm {d} x$ erhält man aus der obigen Gleichung, wenn man für „Teilchen pro Fläche“ das Produkt „Teilchendichte $\rho _{T}$ mal Dicke $\mathrm {d} x$“ einsetzt:

${\frac {\mathrm {d} N_{\text{Reaktion}}}{N}}=\sigma \cdot (\rho _{T}\cdot \mathrm {d} x)$. ⓘ

Hierbei ist $\rho _{T}$ die Teilchendichte des Targetmaterials, also die Anzahl der Targetteilchen pro Volumeneinheit:

$\rho _{T}={\frac {N_{\text{A}}\cdot \rho }{M}}$ ⓘ

mit

• $N_{\text{A}}$ der Avogadrokonstante,
• $\rho$ der Massendichte und
• $M$ der Molaren Masse. ⓘ

Löst man obige Gleichung nach $N_{\text{Reaktion}}$ auf und setzt dies gleich $-\mathrm {d} N$, erhält man die Differentialgleichung ⓘ

$-\mathrm {d} N=N(x)\,\rho _{T}\,\sigma \,\mathrm {d} x\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} x}}=-N(x)\,\rho _{T}\,\sigma .$ ⓘ

Die Lösung hierfür ist ⓘ

$N(x)=N_{0}\cdot e^{-\sigma \rho _{T}x}.$ ⓘ

Interpretation: die wechselwirkenden Projektilteilchen $N_{\text{Reaktion}}$ sind nicht mehr Teil des einfallenden Strahls mit der Teilchenanzahl $N_{0}$, da sie (bei Reaktion) absorbiert oder (bei Streuung) aus ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt worden sind. D. h., nach dem Durchlaufen einer Targetschicht der Dicke x sind nur noch $N(x)=N_{0}-N_{\text{Reaktion}}$ Teilchen im Strahl vorhanden. ⓘ

Betrachtet man die Wechselwirkungen in einem bestimmten Volumen, so ist $x=l$, wenn $l$ die Länge dieses Volumens ist. Setzt man dieses ein, kann man zur Berechnung des Wirkungsquerschnitt die Gleichung umstellen:

$\Rightarrow \quad \sigma ={\frac {1}{l\cdot \rho _{T}}}\cdot \ln \left({\frac {N_{0}}{N_{0}-N_{\text{Reaktion}}}}\right)$ ⓘ

Offenbar gilt auch ⓘ

$\sigma \cdot \rho _{T}={\frac {1}{\lambda }}\quad \Leftrightarrow \quad \sigma ={\frac {1}{\lambda \cdot \rho _{T}}},$ ⓘ

wobei $\lambda$ die mittlere freie Weglänge ist, nach der die Intensität des einfallenden Strahls auf ${\frac {1}{e}}$ ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. ⓘ

Sofern mehr als eine Art von Vorgang möglich ist, bezieht sich $\sigma$ in dieser Gleichung auf alle zusammen, ist also der totale Wirkungsquerschnitt (siehe unten). ⓘ

Geometrischer Wirkungsquerschnitt

Veranschaulichung des geometrischen Wirkungsquerschnitts
(zum 1. Beispiel):
wenn der Mittelpunkt von Teilchen b in den blauen Kreis eindringt, kommt es zur Kollision mit Teilchen a.
Die Fläche des blauen Kreises ist somit der geometrische Wirkungsquerschnitt, sein Radius ist die Summe der Teilchenradien. ⓘ

In der klassischen Mechanik fliegen alle Teilchen auf wohldefinierten Trajektorien. Für Reaktionen, die eine Berührung von Projektil- und Targetteilchen voraussetzen, wird der Begriff geometrischer Wirkungsquerschnitt benutzt, denn hier haben nicht nur die Größe des Wirkungsquerschnitt als Trefferfläche, sondern auch deren Form und Lage (relativ zum Targetteilchen) eine einfache geometrische Bedeutung: alle Teilchen, die auf ihrer Trajektorie durch diese Fläche fliegen, lösen die betrachtete Reaktion aus, alle anderen nicht.

• Beispiel Stoß zweier Kugeln (Radien $R_{a}$ und $R_{b}$, vgl. Abbildung): Eine Berührung mit der Targetkugel a findet genau für die Projektilkugeln b statt, deren Mittelpunkt am Mittelpunkt der Targetkugel nicht weiter entfernt vorbeifliegen würde als durch die Summe ihrer beider Radien angegeben ist. Die Trefferfläche ist für den Mittelpunkt der bewegten Kugel also eine Kreisscheibe um den Mittelpunkt der ruhenden Kugel mit Radius $R_{\sigma }=R_{a}+R_{b}$. Der (totale) Wirkungsquerschnitt ist die Fläche dieses Kreises:

$\sigma _{\text{geom}}=\pi \,(R_{a}+R_{b})^{2}.$

• Beispiel Fußball (Radius $R_{\text{Ball}}$) und Torwand (Radius des Lochs $R_{\text{Loch}}$), Flugrichtung senkrecht zur Wand. Gefragt sei der geometrische Wirkungsquerschnitt für die (Zuschauer-)Reaktion TOOR!!, also für freies Hindurchfliegen: Falls $R_{\text{Ball}}>R_{\text{Loch}}$ gilt, ist $\sigma _{\text{geom}}=0$. Im Fall $R_{\text{Ball}}\leq R_{\text{Loch}}$ passt der Ball zwar hindurch, doch darf die Trajektorie des Ballmittelpunkts den Lochmittelpunkt höchstens um den Abstand $R_{\sigma }=R_{\text{Loch}}-R_{\text{Ball}}$ verfehlen. Die Trefferfläche (für den Mittelpunkt des Balls) liegt als Kreisscheibe mit Radius $R_{\sigma }$ um den Mittelpunkt des Lochs. Der geometrische Wirkungsquerschnitt ist

$\sigma _{\text{geom}}=\pi \,(R_{\text{Loch}}-R_{\text{Ball}})^{2}$. ⓘ

Beide Beispiele zeigen, dass man nicht einmal den geometrischen Wirkungsquerschnitt mit der Größe eines der beteiligten Körper identifizieren darf (außer wenn das Projektil einschließlich der Reichweite der Kraft als punktförmig angesehen wird). Das zweite zeigt zudem, wie groß der Anwendungsbereich des Begriffs Wirkungsquerschnitt sein kann. ⓘ

Bei Wellenphänomenen ist die geometrische Interpretation nicht möglich. Auch in der Quantenmechanik können prinzipiell keine deterministischen Aussagen über einzelne Projektil- oder Targetteilchen gemacht werden. ⓘ

Makroskopischer Wirkungsquerschnitt

In der Physik der Kernreaktoren wird neben dem oben definierten mikroskopischen (d. h. auf 1 Targetteilchen, meist 1 Atom bezogenen) Wirkungsquerschnitt auch der makroskopische, auf 1 cm³ Material bezogene Wirkungsquerschnitt mit dem Formelzeichen $\Sigma$ (großes Sigma) verwendet. Er ergibt sich aus dem mikroskopischen Wirkungsquerschnitt durch Multiplikation mit der Atomzahldichte, also der Zahl der jeweiligen Atome pro cm³. Damit entspricht er dem Kehrwert der oben eingeführten mittleren freien Weglänge. Die übliche Einheit des makroskopischen Wirkungsquerschnitts ist cm²/cm³ = 1/cm. In diesem Anwendungsbereich sind im Allgemeinen die Energien der beiden Reaktionspartner nicht einheitlich festgelegt, so dass die kinetische Energie in ihrem Schwerpunktsystem im Rahmen einer bestimmten Häufigkeitsverteilung variiert. Die interessierende Größe ist dann der mit dieser Verteilung ermittelte Durchschnittswert der makroskopischen Wirkungsquerschnitte. Dieser kann z. B. temperaturabhängig sein. ⓘ

Temperaturabhängiger Wirkungsquerschnitt

Im thermodynamischen Gleichgewicht besitzen die Atome und Moleküle der Materie bei einer gegebenen Temperatur eine im Vergleich zu den Teilchen geringe kinetische Energie. In einem thermischen Reaktor erreicht ein Neutron nach sehr kurzer Zeit (in der Größenordnung von Mikrosekunden), vor allem durch elastische Streuung am Moderator, die „Temperatur“ des Mediums. Dann wird der Wirkungsquerschnitt nicht mehr durch die Geschwindigkeit des Teilchens allein, sondern von der Relativgeschwindigkeit von Atomkern und Teilchen abhängen. Der Wirkungsquerschnitt wird temperaturabhängig und man spricht von einem temperaturabhängigen Wirkungsquerschnitt oder einem temperaturabhängigen makroskopischen Wirkungsquerschnitt. ⓘ

Praktische Auswirkungen temperaturabhängiger Wirkungsquerschnitte

Im CANDU ist die Temperatur des Moderators geringer als die des (ebenfalls als Moderator wirkenden) Primärkühlkreislaufes, während in einem Leichtwasserreaktor Moderator und Primärkühlmittel dieselbe Temperatur haben, da sie dasselbe Wasser sind. Deswegen haben Neutronen im Durchschnitt im CANDU eine geringere Geschwindigkeit und interagieren häufiger mit Atomkernen. Neben dem geringeren Einfangsquerschnitt von schwerem Wasser im Vergleich zu „normalen“ Wasser ist dies ein weiterer Aspekt, der die hervorragende Neutronenökonomie des CANDU begründet, welche den Betrieb mit Natururan erlaubt. ⓘ

In Forschungs-Neutronenquellen werden oft (tief)kalte Neutronen erforscht bzw. verwendet um mikroskopische Materialeigenschaften zu ergründen. Deren Erzeugung ist nur möglich, indem Neutronen aus der Quelle (Spallation oder Kernspaltung für größere Mengen) in einem kryogenen Moderator (zum Beispiel festes Methan) „abgebremst“ werden, bis sie nur noch eine Bewegungsenergie haben, die makroskopisch einer Temperatur von wenigen bis einigen Dutzend Kelvin entsprechen würde. Die Verwendung tiefkalter Neutronen ist nötig, um die Querschnitte unerwünschte Reaktionen im Verhältnis zu den Querschnitten erwünschter Interaktionen so weit es geht zu verringern. ⓘ