Rydberg-Konstante

In der Spektroskopie wird die Rydberg-Konstante, Symbol $R_{\infty }$ für schwere Atome oder $R_{\text{H}}$ für Wasserstoff, benannt nach dem schwedischen Physiker Johannes Rydberg, ist eine physikalische Konstante, die sich auf die elektromagnetischen Spektren eines Atoms bezieht. Die Konstante tauchte zunächst als empirischer Anpassungsparameter in der Rydberg-Formel für die Wasserstoff-Spektralserie auf, aber Niels Bohr zeigte später, dass ihr Wert mit Hilfe seines Bohr-Modells aus grundlegenderen Konstanten berechnet werden kann. Stand: 2018, $R_{\infty }$ und der g-Faktor des Elektronenspins sind die am genauesten gemessenen physikalischen Konstanten. ⓘ

Die Konstante wird entweder für Wasserstoff ausgedrückt als $R_{\text{H}}$oder an der Grenze der unendlichen Kernmasse als $R_{\infty }$. In beiden Fällen wird die Konstante verwendet, um den Grenzwert der höchsten Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines beliebigen Photons auszudrücken, das von einem Atom emittiert werden kann, oder alternativ die Wellenzahl des Photons mit der niedrigsten Energie, das ein Atom aus seinem Grundzustand heraus ionisieren kann. Die Wasserstoff-Spektralserie lässt sich einfach durch die Rydberg-Konstante für Wasserstoff $R_{\text{H}}$ und der Rydberg-Formel ausgedrückt werden. ⓘ

In der Atomphysik entspricht die Rydberg-Energieeinheit, Symbol Ry, der Energie des Photons, dessen Wellenzahl der Rydberg-Konstante entspricht, d. h. der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms in einem vereinfachten Bohr-Modell. ⓘ

Physikalische Konstante ⓘ
Name	Rydberg-Konstante
Formelzeichen	$R_{\infty }$
Wert
SI	1.0973731568160(21)e7 $\textstyle {\frac {1}{\mathrm {m} }}$
Unsicherheit (rel.)	1.9e-12
Bezug zu anderen Konstanten
$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}}$ $\alpha$ – Feinstrukturkonstante $m_{\mathrm {e} }$ – Elektronenmasse $c$ – Lichtgeschwindigkeit $h$ – Plancksches Wirkungsquantum
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:

$R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}.$ ⓘ

Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10⁻¹². Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt. ⓘ

Wert

Rydberg-Konstante

Der CODATA-Wert ist ⓘ

$R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$ = 10973731.568160(21) m-1, ⓘ

wobei

• $m_{\text{e}}$ die Ruhemasse des Elektrons ist,
• $e$ die Elementarladung ist,
• $\varepsilon _{0}$ die Dielektrizitätskonstante des freien Raums ist,
• $h$ die Planck-Konstante ist und
• $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. ⓘ

Die Rydberg-Konstante für Wasserstoff lässt sich aus der reduzierten Masse des Elektrons berechnen:

$R_{\text{H}}=R_{\infty }{\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{ m}}^{-1},$ ⓘ

wobei ⓘ

• $m_{\text{e}}$ ist die Masse des Elektrons,
• $m_{\text{p}}$ ist die Masse des Kerns (eines Protons). ⓘ

Rydberg-Einheit der Energie

Die Rydberg-Energieeinheit entspricht den Joule und Elektronenvolt auf folgende Weise:

$1\ {\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}={\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}}}=2.179\;872\;361\;1035(42)\times 10^{-18}\ {\text{J}}\ =13.605\;693\;122\;994(26)\ {\text{eV}}.$ ⓘ

Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie

Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:

• Rydberg-Frequenz: $R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz}$
• Rydberg-Energie: $R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=2{,}1798723611035(42)\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} =13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} .$ ⓘ

Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $R_{y}$ wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar. ⓘ

Rydberg-Wellenlänge

${\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;824(17)\times 10^{-8}\ {\text{m}}$. ⓘ

Die Winkelwellenlänge ist ⓘ

${\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;7696(28)\times 10^{-8}\ {\text{m}}$. ⓘ

Vorkommen im Bohrschen Modell

Das Bohr-Modell erklärt das Atomspektrum von Wasserstoff (siehe Wasserstoff-Spektralserie) sowie von verschiedenen anderen Atomen und Ionen. Es ist nicht vollkommen genau, stellt aber in vielen Fällen eine bemerkenswert gute Annäherung dar und spielte historisch gesehen eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Quantenmechanik. Das Bohrsche Modell geht davon aus, dass die Elektronen um den Atomkern kreisen, so wie die Planeten um die Sonne kreisen. ⓘ

In der einfachsten Version des Bohr-Modells wird die Masse des Atomkerns im Vergleich zur Masse des Elektrons als unendlich groß angesehen, so dass der Massenschwerpunkt des Systems, das Baryzentrum, im Zentrum des Kerns liegt. Auf diese Annäherung an die unendliche Masse wird mit dem $\infty$ angedeutet. Das Bohrsche Modell sagt dann voraus, dass die Wellenlängen der Wasserstoff-Atomübergänge wie folgt sind (siehe Rydberg-Formel):

${\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

wobei n₁ und n₂ zwei beliebige positive ganze Zahlen sind (1, 2, 3, ...), und $\lambda$ die Wellenlänge (im Vakuum) des emittierten oder absorbierten Lichts ist. ⓘ

${\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)$

wobei $R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},$ und M ist die Gesamtmasse des Atomkerns. Diese Formel ergibt sich, wenn man die reduzierte Masse des Elektrons einsetzt. ⓘ

Präzise Messung

Die Rydberg-Konstante ist eine der am genauesten bestimmten physikalischen Konstanten mit einer relativen Standardunsicherheit von unter 2 Teilen in 10¹². Diese Präzision schränkt die Werte der anderen physikalischen Konstanten ein, die sie definieren. ⓘ

Da das Bohrsche Modell aufgrund von Feinstruktur, Hyperfeinaufspaltung und anderen Effekten nicht vollkommen genau ist, kann die Rydberg-Konstante $R_{\infty }$ nicht direkt und mit sehr hoher Genauigkeit aus den atomaren Übergangsfrequenzen von Wasserstoff gemessen werden. Stattdessen wird die Rydberg-Konstante aus Messungen der atomaren Übergangsfrequenzen in drei verschiedenen Atomen (Wasserstoff, Deuterium und antiprotonisches Helium) abgeleitet. Detaillierte theoretische Berechnungen im Rahmen der Quantenelektrodynamik werden verwendet, um die Auswirkungen der endlichen Kernmasse, der Feinstruktur, der Hyperfeinaufspaltung usw. zu berücksichtigen. Schließlich wird der Wert von $R_{\infty }$ aus der besten Anpassung der Messungen an die Theorie bestimmt. ⓘ

Alternative Ausdrücke

Die Rydberg-Konstante kann auch wie in den folgenden Gleichungen ausgedrückt werden. ⓘ

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}$

und in Energieeinheiten

${\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}}.$

wobei

• $m_{\text{e}}$ ist die Ruhemasse des Elektrons,
• $e$ ist die elektrische Ladung des Elektrons,
• $h$ ist die Planck-Konstante,
• $\hbar =h/2\pi$ ist die reduzierte Planck-Konstante,
• $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
• $\varepsilon _{0}$ ist die elektrische Feldkonstante (Permittivität) des freien Raums,
• $\alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}$ ist die Feinstrukturkonstante,
• $\lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c$ ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons,
• $f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h$ ist die Compton-Frequenz des Elektrons,
• $\omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}$ ist die Compton-Winkelfrequenz des Elektrons,
• $a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}$ ist der Bohr-Radius,
• $r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}$ ist der klassische Elektronenradius. ⓘ

Der letzte Ausdruck in der ersten Gleichung zeigt, dass die zur Ionisierung eines Wasserstoffatoms erforderliche Lichtwellenlänge das 4π/α-fache des Bohrschen Radius des Atoms beträgt. ⓘ

Die zweite Gleichung ist relevant, weil ihr Wert der Koeffizient für die Energie der Atomorbitale eines Wasserstoffatoms ist: $E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}$. ⓘ

Herleitung

Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante $R_{\infty }$ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem. ⓘ

In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:

$E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}}$ ⓘ

Aus der Differenz zweier Energieniveaus ⓘ

$\Delta E=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right)$ ⓘ

lässt sich mit ⓘ

$\Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }}$ ⓘ

die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu ⓘ

${\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right).$ ⓘ

Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch ⓘ

$R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}.$ ⓘ

Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht. ⓘ