Isomorphismus

Die Gruppe der fünften Wurzel der Einheit unter Multiplikation ist isomorph zur Gruppe der Rotationen des regelmäßigen Fünfecks unter Komposition.

In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Strukturen desselben Typs, die durch eine inverse Abbildung rückgängig gemacht werden kann. Zwei mathematische Strukturen sind isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus besteht. Das Wort Isomorphismus stammt aus dem Altgriechischen: ἴσος isos "gleich", und μορφή morphe "Form" oder "Gestalt". ⓘ

Das Interesse an Isomorphismen liegt in der Tatsache, dass zwei isomorphe Objekte die gleichen Eigenschaften haben (ohne weitere Informationen wie zusätzliche Struktur oder Namen von Objekten). Isomorphe Strukturen lassen sich also nicht nur von der Struktur her unterscheiden, sondern können identifiziert werden. Im mathematischen Fachjargon sagt man, dass zwei Objekte bis zu einem Isomorphismus identisch sind. ⓘ

Ein Automorphismus ist ein Isomorphismus von einer Struktur zu sich selbst. Ein Isomorphismus zwischen zwei Strukturen ist ein kanonischer Isomorphismus (eine kanonische Abbildung, die ein Isomorphismus ist), wenn es nur einen Isomorphismus zwischen den beiden Strukturen gibt (wie es bei Lösungen einer universellen Eigenschaft der Fall ist), oder wenn der Isomorphismus viel natürlicher ist (in irgendeinem Sinne) als andere Isomorphismen. Zum Beispiel sind für jede Primzahl p alle Felder mit p Elementen kanonisch isomorph, mit einem eindeutigen Isomorphismus. Die Isomorphismustheoreme liefern kanonische Isomorphismen, die nicht eindeutig sind. ⓘ

Der Begriff Isomorphismus wird hauptsächlich für algebraische Strukturen verwendet. In diesem Fall werden die Abbildungen als Homomorphismen bezeichnet, und ein Homomorphismus ist nur dann ein Isomorphismus, wenn er bijektiv ist. ⓘ

In verschiedenen Bereichen der Mathematik haben Isomorphismen je nach der Art der betrachteten Struktur spezielle Namen erhalten. Zum Beispiel:

• Eine Isometrie ist ein Isomorphismus von metrischen Räumen.
• Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus von topologischen Räumen.
• Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus von Räumen mit einer differenziellen Struktur, typischerweise differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
• Eine Permutation ist ein Automorphismus einer Menge.
• In der Geometrie werden Isomorphismen und Automorphismen oft als Transformationen bezeichnet, z. B. starre Transformationen, affine Transformationen, projektive Transformationen. ⓘ

Die Kategorientheorie, die als Formalisierung des Konzepts der Abbildung zwischen Strukturen betrachtet werden kann, bietet eine Sprache, die zur Vereinheitlichung der Herangehensweise an diese verschiedenen Aspekte der Grundidee verwendet werden kann. ⓘ

Beispiele

Logarithmus und Exponentialfunktion

Sei $\mathbb {R} ^{+}$ sei die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, und $\mathbb {R}$ sei die additive Gruppe der reellen Zahlen. ⓘ

Die Logarithmusfunktion $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ erfülle $\log(xy)=\log x+\log y$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ also ist sie ein Gruppenhomomorphismus. Die Exponentialfunktion $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ erfülle $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ für alle $x,y\in \mathbb {R} ,$ ist also auch ein Homomorphismus. ⓘ

Die Identitäten $\log \exp x=x$ und $\exp \log y=y$ zeigen, dass $\log$ und $\exp$ Inverse von einander sind. Da $\log$ ein Homomorphismus ist, der ein Inverses hat, das ebenfalls ein Homomorphismus ist, $\log$ ein Isomorphismus von Gruppen. ⓘ

Die $\log$ Funktion ist ein Isomorphismus, der die Multiplikation positiver reeller Zahlen in die Addition reeller Zahlen umwandelt. Auf diese Weise lassen sich reelle Zahlen mit einem Lineal und einer Logarithmentabelle oder mit einem Rechenschieber mit logarithmischer Skala multiplizieren. ⓘ

Ganze Zahlen modulo 6

Betrachten wir die Gruppe $(\mathbb {Z} _{6},+),$ die ganzen Zahlen von 0 bis 5 mit Addition modulo 6. Betrachten Sie auch die Gruppe $\left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),$ die geordneten Paare, bei denen die x-Koordinaten 0 oder 1 und die y-Koordinaten 0, 1 oder 2 sein können, wobei die Addition in der x-Koordinate modulo 2 und die Addition in der y-Koordinate modulo 3 ist. ⓘ

Diese Strukturen sind nach dem folgenden Schema unter Addition isomorph:

$${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$$

oder ganz allgemein $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$ ⓘ

Zum Beispiel, $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ was in dem anderen System übersetzt wird als $1+3=4.$ ⓘ

Auch wenn diese beiden Gruppen unterschiedlich "aussehen", da die Mengen unterschiedliche Elemente enthalten, sind sie tatsächlich isomorph: Ihre Strukturen sind genau gleich. Allgemeiner ausgedrückt: Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen $\mathbb {Z} _{m}$ und $\mathbb {Z} _{n}$ ist isomorph zu $(\mathbb {Z} _{mn},+)$ isomorph, wenn und nur wenn m und n koprim sind, gemäß dem chinesischen Restsatz. ⓘ

Beziehungserhaltender Isomorphismus

Wenn ein Objekt aus einer Menge X mit einer binären Relation R und das andere Objekt aus einer Menge Y mit einer binären Relation S besteht, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine bijektive Funktion $f:X\to Y$ derart, dass:

$$\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$$

ⓘ

S ist reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, total, trichotom, eine partielle Ordnung, eine totale Ordnung, eine wohlgeordnete Ordnung, eine strenge schwache Ordnung, eine totale Vorordnung (schwache Ordnung), eine Äquivalenzrelation oder eine Relation mit anderen besonderen Eigenschaften, wenn und nur wenn R es ist. ⓘ

Zum Beispiel, R ist eine Ordnung ≤ und S eine Ordnung $\scriptstyle \sqsubseteq ,$ dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine bijektive Funktion $f:X\to Y$ derart, dass

$$f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$$

Ein solcher Isomorphismus wird als Ordnungsisomorphismus oder (seltener) ein isotoner Isomorphismus. ⓘ

Wenn $X=Y,$ dann ist dies ein beziehungserhaltender Automorphismus. ⓘ

$f(u)+f(v)=f(u\cdot v)$ für alle $u,v\in X$ ⓘ

Bei manchen Isomorphismen impliziert die Homomorphie der Funktion auch die der Umkehrfunktion; bei den anderen muss man sie extra nachweisen. ⓘ

Anwendungen

In der Algebra werden Isomorphismen für alle algebraischen Strukturen definiert. Einige werden genauer untersucht, zum Beispiel:

• Lineare Isomorphismen zwischen Vektorräumen; sie werden durch invertierbare Matrizen spezifiziert.
• Gruppenisomorphismen zwischen Gruppen; die Klassifizierung der Isomorphismenklassen endlicher Gruppen ist ein offenes Problem.
• Ringisomorphismen zwischen Ringen.
• Feldisomorphismen sind dasselbe wie Ringisomorphismen zwischen Feldern; ihre Untersuchung, genauer gesagt die Untersuchung von Feldautomorphismen, ist ein wichtiger Teil der Galoistheorie. ⓘ

So wie die Automorphismen einer algebraischen Struktur eine Gruppe bilden, bilden die Isomorphismen zwischen zwei Algebren, die eine gemeinsame Struktur haben, einen Haufen. Lässt man einen bestimmten Isomorphismus die beiden Strukturen identifizieren, so wird dieser Haufen zu einer Gruppe. ⓘ

In der mathematischen Analyse ist die Laplace-Transformation ein Isomorphismus, der schwierige Differentialgleichungen in einfachere algebraische Gleichungen umwandelt. ⓘ

In der Graphentheorie ist ein Isomorphismus zwischen zwei Graphen G und H eine bijektive Abbildung f von den Scheitelpunkten von G auf die Scheitelpunkte von H, die die "Kantenstruktur" in dem Sinne bewahrt, dass es eine Kante von Scheitelpunkt u zu Scheitelpunkt v in G gibt, wenn und nur wenn es eine Kante von $f(u)$ zu $f(v)$ in H gibt. Siehe Graphenisomorphismus. ⓘ

In der mathematischen Analyse ist ein Isomorphismus zwischen zwei Hilbert-Räumen eine Bijektion, bei der Addition, skalare Multiplikation und inneres Produkt erhalten bleiben. ⓘ

In den frühen Theorien des logischen Atomismus wurde die formale Beziehung zwischen Fakten und wahren Sätzen von Bertrand Russell und Ludwig Wittgenstein als isomorph beschrieben. Ein Beispiel für diesen Gedankengang findet sich in Russells Einführung in die mathematische Philosophie. ⓘ

In der Kybernetik gilt das Conant-Ashby-Theorem: "Jeder gute Regulator eines Systems muss ein Modell dieses Systems sein". Unabhängig davon, ob es sich um ein reguliertes oder selbstregulierendes System handelt, ist eine Isomorphie zwischen dem Regulator und den verarbeitenden Teilen des Systems erforderlich. ⓘ

Kategorientheoretische Sichtweise

In der Kategorientheorie ist ein Isomorphismus bei einer Kategorie C ein Morphismus $f:a\to b$ der einen inversen Morphismus hat $g:b\to a,$ ist, $fg=1_{b}$ und $gf=1_{a}.$ So ist beispielsweise eine bijektive lineare Abbildung ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen, und eine bijektive stetige Funktion, deren Inverse ebenfalls stetig ist, ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen, der als Homöomorphismus bezeichnet wird. ⓘ

Zwei Kategorien C und D sind isomorph, wenn es Funktoren gibt $F:C\to D$ und $G:D\to C$ existieren, die gegenseitig invers zueinander sind, d. h, $FG=1_{D}$ (der Identitätsfunktor auf D) und $GF=1_{C}$ (der Identitätsfunktor auf C). ⓘ

Isomorphismus vs. bijektiver Morphismus

In einer konkreten Kategorie (grob gesagt eine Kategorie, deren Objekte Mengen sind (vielleicht mit zusätzlicher Struktur) und deren Morphismen strukturerhaltende Funktionen sind), wie die Kategorie der topologischen Räume oder Kategorien algebraischer Objekte (wie die Kategorie der Gruppen, die Kategorie der Ringe und die Kategorie der Module), muss ein Isomorphismus auf den zugrunde liegenden Mengen bijektiv sein. In algebraischen Kategorien (insbesondere in Kategorien von Varietäten im Sinne der universellen Algebra) ist ein Isomorphismus dasselbe wie ein Homomorphismus, der bijektiv auf den zugrunde liegenden Mengen ist. Es gibt jedoch konkrete Kategorien, in denen bijektive Morphismen nicht unbedingt Isomorphismen sind (z. B. die Kategorie der topologischen Räume). ⓘ

Beziehung zur Gleichheit

In bestimmten Bereichen der Mathematik, vor allem in der Kategorientheorie, ist es sinnvoll, zu unterscheiden zwischen Gleichheit auf der einen Seite und Isomorphismus auf der anderen Seite. Gleichheit bedeutet, dass zwei Objekte genau gleich sind und alles, was für das eine Objekt gilt, auch für das andere gilt, während ein Isomorphismus bedeutet, dass alles, was für einen bestimmten Teil der Struktur des einen Objekts gilt, auch für das andere Objekt gilt. Zum Beispiel, die Mengen

$$A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$$

sind gleichSie sind lediglich unterschiedliche Darstellungen - die erste eine intensionale (in der Notation des Mengenbauers) und die zweite eine extensionale (durch explizite Aufzählung) - derselben Teilmenge der ganzen Zahlen. Im Gegensatz dazu sind die Mengen $\{A,B,C\}$ und $\{1,2,3\}$ nicht gleich-die erste hat Elemente, die Buchstaben sind, während die zweite Elemente hat, die Zahlen sind. Sie sind als Mengen isomorph, da endliche Mengen bis zur Isomorphie durch ihre Kardinalität (Anzahl der Elemente) bestimmt sind und beide drei Elemente haben, aber es gibt viele Möglichkeiten der Isomorphie - eine Isomorphie ist

${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,$ und ein anderer ist ${\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,$

und kein Isomorphismus ist von Natur aus besser als ein anderer. Aus dieser Sicht und in diesem Sinne sind diese beiden Mengen nicht gleich, denn man kann sie nicht als identischMan kann einen Isomorphismus zwischen ihnen wählen, aber das ist eine schwächere Behauptung als Identität und gilt nur im Zusammenhang mit dem gewählten Isomorphismus. ⓘ

Manchmal können die Isomorphismen offensichtlich und zwingend erscheinen, sind aber dennoch nicht gleich. Ein einfaches Beispiel: Die genealogischen Beziehungen zwischen Joe, John und Bobby Kennedy sind im wahrsten Sinne des Wortes die gleichen wie die zwischen den American-Football-Quarterbacks der Familie Manning: Archie, Peyton und Eli. Die Vater-Sohn-Paare und die Paare Älterer-Bruder-Jüngerer-Bruder stimmen perfekt überein. Diese Ähnlichkeit zwischen den beiden Familienstrukturen verdeutlicht den Ursprung des Wortes Isomorphismus (griechisch iso-, "gleich", und -morph, "Form" oder "Gestalt"). Da die Kennedys aber nicht dasselbe Volk sind wie die Mannings, sind die beiden genealogischen Strukturen lediglich isomorph und nicht gleich. ⓘ

Ein anderes Beispiel ist formaler und veranschaulicht direkter die Motivation für die Unterscheidung zwischen Gleichheit und Isomorphie: die Unterscheidung zwischen einem endlich-dimensionalen Vektorraum V und seinem dualen Raum $V^{*}=\left\{\varphi :V\to \mathbf {K} \right\}$ der linearen Abbildungen von V auf sein Skalarfeld $\mathbf {K} .$ Diese Räume haben die gleiche Dimension und sind daher als abstrakte Vektorräume isomorph (da algebraische Vektorräume nach Dimensionen klassifiziert werden, so wie Mengen nach Kardinalität), aber es gibt keine "natürliche" Wahl des Isomorphismus $\scriptstyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{*}.$ Wählt man eine Basis für V, so ergibt dies einen Isomorphismus: Für alle $u,v\in V,$

$$v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} \phi _{v}\in V^{*}\quad {\text{ such that }}\quad \phi _{v}(u)=v^{\mathrm {T} }u.$$

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Dies entspricht der Umwandlung eines Spaltenvektors (Element von V) in einen Zeilenvektor (Element von V*) durch Transponieren, aber eine andere Wahl der Basis ergibt einen anderen Isomorphismus: der Isomorphismus "hängt von der Wahl der Basis ab". Noch subtiler ausgedrückt, gibt es gibt es eine Abbildung von einem Vektorraum V auf seinen doppelten Dual $V^{**}=\left\{x:V^{*}\to \mathbf {K} \right\}$ die nicht von der Wahl der Basis abhängt: Für alle $v\in V{\text{ and }}\varphi \in V^{*},$

$$v\mathrel {\overset {\sim }{\mapsto }} x_{v}\in V^{**}\quad {\text{ such that }}\quad x_{v}(\phi )=\phi (v).$$

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Dies führt zu einem dritten Begriff, dem des natürlichen Isomorphismus: Während $V$ und $V^{**}$ verschiedene Mengen sind, gibt es eine "natürliche" Wahl des Isomorphismus zwischen ihnen. Dieser intuitive Begriff des "Isomorphismus, der nicht von einer willkürlichen Wahl abhängt", wird durch den Begriff der natürlichen Transformation formalisiert; kurz gesagt, dass man konsistent einen endlich-dimensionalen Vektorraum konsistent mit seinem doppelten Dual identifizieren oder, allgemeiner, abbilden kann, $\scriptstyle V\mathrel {\overset {\sim }{\to }} V^{**},$ für jeden Vektorraum auf konsistente Weise abbilden kann. Die Formalisierung dieser Intuition ist eine Motivation für die Entwicklung der Kategorientheorie. ⓘ

Es gibt jedoch einen Fall, in dem die Unterscheidung zwischen natürlicher Isomorphie und Gleichheit normalerweise nicht getroffen wird. Das gilt für Objekte, die durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert werden können. In der Tat gibt es einen eindeutigen Isomorphismus, der notwendigerweise natürlich ist, zwischen zwei Objekten, die dieselbe universelle Eigenschaft haben. Ein typisches Beispiel ist die Menge der reellen Zahlen, die durch unendliche Dezimalentwicklung, unendliche Binärentwicklung, Cauchy-Folgen, Dedekind-Schnitte und viele andere Möglichkeiten definiert werden kann. Formal gesehen definieren diese Konstruktionen verschiedene Objekte, die alle Lösungen mit der gleichen universellen Eigenschaft sind. Da diese Objekte genau dieselben Eigenschaften haben, kann man die Methode der Konstruktion vergessen und sie als gleichwertig betrachten. Das tut jeder, wenn er sich auf "die Menge der reellen Zahlen" spricht. Dasselbe geschieht mit Quotientenräumen: Sie werden üblicherweise als Mengen von Äquivalenzklassen konstruiert. Da es jedoch kontraintuitiv sein kann, sich auf eine Menge von Mengen zu beziehen, werden Quotientenräume üblicherweise als ein Paar aus einer Menge unbestimmter Objekte, oft "Punkte" genannt, und einer surjektiven Abbildung auf diese Menge betrachtet. ⓘ

Wenn man zwischen einem willkürlichen Isomorphismus (der von einer Wahl abhängt) und einem natürlichen Isomorphismus (der konsistent durchgeführt werden kann) unterscheiden möchte, kann man schreiben $\,\approx \,$ für einen unnatürlichen Isomorphismus und ≅ für einen natürlichen Isomorphismus, wie in $V\approx V^{*}$ und $V\cong V^{**}.$ Diese Konvention wird nicht durchgängig befolgt, und Autoren, die zwischen unnatürlichen Isomorphismen und natürlichen Isomorphismen unterscheiden wollen, weisen in der Regel ausdrücklich auf diese Unterscheidung hin. ⓘ

Im Allgemeinen ist die Aussage, dass zwei Objekte gleich sind, wenn es eine Vorstellung von einem größeren (umgebenden) Raum gibt, in dem diese Objekte leben. Meistens spricht man von der Gleichheit zweier Teilmengen einer gegebenen Menge (wie im obigen Beispiel der ganzzahligen Menge), aber nicht von zwei abstrakt dargestellten Objekten. Zum Beispiel die 2-dimensionale Einheitskugel im 3-dimensionalen Raum

$$S^{2}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$$

und die Riemannsche Kugel ${\widehat {\mathbb {C} }}$ die als Ein-Punkt-Kompaktierung der komplexen Ebene dargestellt werden kann $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ oder als die komplexe projektive Linie (ein Quotientenraum)

$$\mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=\left(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\right)/\left(\mathbb {C} ^{*}\right)$$

sind drei verschiedene Beschreibungen für ein mathematisches Objekt, die alle isomorph sind, aber nicht gleich weil sie nicht alle Teilmengen eines einzigen Raums sind: die erste ist eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3},$ die zweite ist $\mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}$ plus einem zusätzlichen Punkt, und die dritte ist ein Unterquotient von $\mathbb {C} ^{2}.$ ⓘ

Im Kontext der Kategorientheorie sind Objekte in der Regel höchstens isomorph - eine Motivation für die Entwicklung der Kategorientheorie war der Nachweis, dass verschiedene Konstruktionen der Homologietheorie äquivalente (isomorphe) Gruppen ergeben. Bei Abbildungen zwischen zwei Objekten X und Y stellt sich jedoch die Frage, ob sie gleich sind oder nicht (sie sind beide Elemente der Menge $\hom(X,Y),$ daher ist Gleichheit die richtige Beziehung), insbesondere in kommutativen Diagrammen. ⓘ

Definition

Relationale Strukturen

Es seien ${\boldsymbol {A}}=(A,(R_{i}))$ und ${\boldsymbol {B}}=(B,(S_{i}))$ zwei relationale Strukturen vom gleichen Typ $(n_{i}),$ sodass $n_{i}\in \mathbb {N}$ für jedes $i$ die Stelligkeit der Relationen $R_{i}$ und $S_{i}$ bezeichnet. Eine Bijektion $\varphi \colon A\to B$ heißt Isomorphismus, wenn sie für jedes $i$ und für alle $a_{1},\ldots ,a_{n_{i}}\in A$ die folgende Verträglichkeitseigenschaft besitzt:

$(a_{1},\ldots ,a_{n_{i}})\in R_{i}\Leftrightarrow (\varphi (a_{1}),\ldots ,\varphi (a_{n_{i}}))\in S_{i}.$ ⓘ

Im Gegensatz zu algebraischen Strukturen ist nicht jeder bijektive Homomorphismus zwischen relationalen Strukturen ein Isomorphismus. Ein Beispiel für Isomorphismen zwischen relationalen Strukturen sind Isomorphismen zwischen Graphen. ⓘ

Isometrischer Isomorphismus

Sind $\left(X,d\right)$ und $\left(Y,D\right)$ metrische Räume und ist $f$ eine Bijektion von $X$ nach $Y$ mit der Eigenschaft ⓘ

$D\left(f(u),f(v)\right)=d(u,v)$ für alle $u,v\in X$, ⓘ

dann nennt man $f$ einen isometrischen Isomorphismus. ⓘ

In den bisherigen Beispielen sind Isomorphismen genau die homomorphen Bijektionen – die Umkehrabbildung ist automatisch homomorph. In den folgenden Beispielen muss zusätzlich gefordert werden, dass auch die Umkehrabbildung homomorph ist. ⓘ

In der Funktionalanalysis nennt man eine Abbildung $T\colon X\to Y$ zwischen normierten Räumen $(X,\|\cdot \|_{X}),(Y,\|\cdot \|_{Y})$ einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

• $T$ ist linear
• $T$ ist stetig
• Die Umkehrfunktion $T^{-1}$ ist auch stetig

Falls zusätzlich für alle $x\in X$ gilt $\|T(x)\|_{Y}=\|x\|_{X}$, so nennt man $T$ einen isometrischen Isomorphismus. ⓘ