Lebesgue-Integral

Das Integral einer positiven Funktion kann als die Fläche unter einer Kurve interpretiert werden. ⓘ

In der Mathematik kann das Integral einer nichtnegativen Funktion einer einzelnen Variablen im einfachsten Fall als die Fläche zwischen dem Graphen dieser Funktion und der x-Achse betrachtet werden. Das Lebesgue-Integral, benannt nach dem französischen Mathematiker Henri Lebesgue, erweitert das Integral auf eine größere Klasse von Funktionen. Es erweitert auch die Bereiche, in denen diese Funktionen definiert werden können. ⓘ

Schon lange vor dem 20. Jahrhundert wussten die Mathematiker, dass für nichtnegative Funktionen mit einem ausreichend glatten Graphen - wie z. B. kontinuierliche Funktionen auf geschlossenen, begrenzten Intervallen - die Fläche unter der Kurve als Integral definiert und mit Hilfe von Approximationstechniken für die Region durch Polygone berechnet werden kann. Als jedoch die Notwendigkeit entstand, unregelmäßigere Funktionen zu betrachten - z. B. als Ergebnis der begrenzenden Prozesse der mathematischen Analyse und der mathematischen Theorie der Wahrscheinlichkeit - wurde klar, dass sorgfältigere Annäherungstechniken erforderlich waren, um ein geeignetes Integral zu definieren. Außerdem möchte man vielleicht auf allgemeineren Räumen als der reellen Linie integrieren. Das Lebesgue-Integral bietet dafür die notwendigen Abstraktionen. ⓘ

Das Lebesgue-Integral spielt eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der reellen Analysis und vielen anderen Bereichen der Mathematik. Es ist nach Henri Lebesgue (1875-1941) benannt, der das Integral eingeführt hat (Lebesgue 1904). Sie ist auch ein zentraler Bestandteil der axiomatischen Theorie der Wahrscheinlichkeit. ⓘ

Der Begriff Lebesgue-Integration kann entweder die allgemeine Theorie der Integration einer Funktion in Bezug auf ein allgemeines Maß, wie sie von Lebesgue eingeführt wurde, oder den speziellen Fall der Integration einer Funktion, die auf einem Teilbereich der reellen Linie definiert ist, in Bezug auf das Lebesgue-Maß bezeichnen. ⓘ

Abbildung 1: Illustration der Grenzwertbildung beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral (rot) ⓘ

Anschaulich gesprochen bedeutet dies: Zur Annäherung des Riemann-Integrals (Abb. 1 blau) wird die Abszissenachse in Intervalle unterteilt (Partitionen) und Rechtecke gemäß dem Funktionswert an einer Stützstelle innerhalb der betreffenden Intervalle konstruiert und diese Flächen addiert. Dagegen wird zur Annäherung des Lebesgue-Integrals (Abb. 1 rot) die Ordinatenachse in Intervalle unterteilt und die Flächen zur Approximation ergeben sich aus einer Stützstelle des jeweiligen Ordinatenintervalls multipliziert mit der Gesamtlänge der Vereinigung der Urbilder des Ordinatenintervalls (gleiche Rottöne). Die Summe der so gebildeten Flächen ergibt eine Approximation des Lebesgue-Integrals. Die Gesamtlänge der Urbild-Menge wird auch als ihr Maß bezeichnet. Man vergleiche dazu auch das Zitat von Henri Lebesgue im Abschnitt unten. ⓘ

Einführung

Das Integral einer positiven Funktion f zwischen den Grenzwerten a und b kann als Fläche unter dem Graphen von f interpretiert werden. Für Funktionen wie Polynome ist dies einfach, aber was bedeutet es für exotischere Funktionen? Für welche Klasse von Funktionen ist die "Fläche unter der Kurve" überhaupt sinnvoll? Die Antwort auf diese Frage ist von großer theoretischer und praktischer Bedeutung. ⓘ

Jahrhundert versuchten die Mathematiker, die Integralrechnung auf eine solide Grundlage zu stellen, und zwar als Teil einer allgemeinen Bewegung in Richtung Strenge in der Mathematik. Das Riemannsche Integral - vorgeschlagen von Bernhard Riemann (1826-1866) - ist ein weitgehend erfolgreicher Versuch, eine solche Grundlage zu schaffen. Riemanns Definition beginnt mit der Konstruktion einer Folge von leicht zu berechnenden Flächen, die zum Integral einer bestimmten Funktion konvergieren. Diese Definition ist insofern erfolgreich, als sie für viele bereits gelöste Probleme die erwartete Antwort liefert und für viele andere Probleme nützliche Ergebnisse liefert. ⓘ

Allerdings verträgt sich die Riemannsche Integration nicht gut mit der Bestimmung von Grenzwerten von Funktionsfolgen, so dass solche Grenzwertprozesse schwer zu analysieren sind. Dies ist z. B. bei der Untersuchung von Fourier-Reihen, Fourier-Transformationen und anderen Themen von Bedeutung. Das Lebesgue-Integral ist besser in der Lage zu beschreiben, wie und wann es möglich ist, Grenzwerte unter dem Integralzeichen zu nehmen (über den Satz der monotonen Konvergenz und den Satz der dominierten Konvergenz). ⓘ

Während das Riemann-Integral die Fläche unter einer Kurve als aus vertikalen Rechtecken bestehend betrachtet, berücksichtigt die Lebesgue-Definition horizontale Platten, die nicht unbedingt nur Rechtecke sind, und ist daher flexibler. Aus diesem Grund ermöglicht es die Lebesgue-Definition, Integrale für eine breitere Klasse von Funktionen zu berechnen. So hat beispielsweise die Dirichlet-Funktion, die 0 ist, wenn ihr Argument irrational ist, und ansonsten 1, ein Lebesgue-Integral, aber kein Riemann-Integral. Außerdem ist das Lebesgue-Integral dieser Funktion gleich Null, was mit der Intuition übereinstimmt, dass bei der zufälligen Auswahl einer reellen Zahl aus dem Einheitsintervall die Wahrscheinlichkeit, eine rationale Zahl zu wählen, gleich Null sein sollte. ⓘ

Lebesgue fasste seinen Ansatz zur Integration in einem Brief an Paul Montel zusammen:

Ich habe eine bestimmte Summe zu bezahlen, die ich in meiner Tasche gesammelt habe. Ich nehme die Scheine und Münzen aus meiner Tasche und gebe sie dem Gläubiger in der Reihenfolge, in der ich sie finde, bis ich die Gesamtsumme erreicht habe. Das ist das Riemannsche Integral. Ich kann aber auch anders vorgehen. Nachdem ich alles Geld aus meiner Tasche genommen habe, ordne ich die Scheine und Münzen nach gleichen Werten und zahle dann die verschiedenen Haufen nacheinander an den Gläubiger aus. Das ist mein Integral.

- Quelle: (Siegmund-Schultze 2008) ⓘ

Die Einsicht ist, dass man die Werte einer Funktion frei umordnen können sollte, wobei der Wert des Integrals erhalten bleibt. Dieser Prozess der Umordnung kann eine sehr pathologische Funktion in eine aus Sicht der Integration "schöne" Funktion umwandeln und somit solche pathologischen Funktionen integrierbar machen. ⓘ

Intuitive Interpretation

Dargestellt ist eine messbare Funktion, zusammen mit der Menge $\{x:f(x)>t\}$ (auf der x-Achse). Das Lebesgue-Integral erhält man durch Schneiden entlang der y-Achse, wobei das eindimensionale Lebesgue-Maß zur Messung der "Breite" der Schnitte verwendet wird. ⓘ

Folland (1984) fasst den Unterschied zwischen dem Riemann- und dem Lebesgue-Ansatz wie folgt zusammen: "Um das Riemann-Integral von f zu berechnen, unterteilt man den Bereich [a, b] in Teilintervalle", während man beim Lebesgue-Integral "in Wirklichkeit den Bereich von f unterteilt". ⓘ

Beim Riemann-Integral wird der Bereich in Intervalle unterteilt, und es werden Balken konstruiert, die der Höhe des Graphen entsprechen. Die Flächen dieser Balken werden addiert, wodurch das Integral angenähert wird, und zwar durch Addition von Flächen der Form $f(x)dx$ wobei $f(x)$ die Höhe eines Rechtecks ist und $dx$ seine Breite ist. ⓘ

Für das Lebesgue-Integral wird der Bereich in Intervalle unterteilt, und so wird die Region unter dem Graphen in horizontale "Tafeln" unterteilt (die keine zusammenhängenden Mengen sein müssen). Die Fläche einer kleinen horizontalen "Platte" unter dem Graphen von f, mit der Höhe dy, ist gleich dem Maß der Breite der Platte mal dy:

$\mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.$

Das Lebesgue-Integral kann dann durch Addition der Flächen dieser horizontalen Tafeln definiert werden. ⓘ

Einfache Funktionen

Riemannsche (oben) und Lebesgue-Integration (unten) von geglätteten COVID-19-Tagesfalldaten aus Serbien (Sommer-Herbst 2021). ⓘ

Eine gleichwertige Möglichkeit, das Lebesgue-Integral einzuführen, ist die Verwendung sogenannter einfacher Funktionen, die die Stufenfunktionen der Riemannschen Integration verallgemeinern. Betrachten wir zum Beispiel die Bestimmung der kumulativen COVID-19-Fallzahl aus einem Diagramm der geglätteten täglichen neuen Fälle (rechts). ⓘ

Der Riemann-Darboux-Ansatz

Unterteilen Sie den Bereich (Zeitraum) in Intervalle (acht, im Beispiel rechts) und konstruieren Sie Balken mit Höhen, die dem Diagramm entsprechen. Die kumulative Anzahl wird ermittelt, indem über alle Balken das Produkt aus Intervallbreite (Zeit in Tagen) und Balkenhöhe (Fälle pro Tag) summiert wird. ⓘ

Der Lebesgue-Ansatz

Wählen Sie eine endliche Anzahl von Zielwerten (im Beispiel acht) im Bereich der Funktion. Durch die Konstruktion von Balken mit Höhen, die diesen Werten entsprechen, aber unterhalb der Funktion liegen, implizieren sie eine Partitionierung des Bereichs in die gleiche Anzahl von Teilmengen (Teilmengen, im Beispiel farblich gekennzeichnet, müssen nicht miteinander verbunden sein). Dies ist eine "einfache Funktion", wie unten beschrieben. Die kumulative Anzahl wird ermittelt, indem über alle Teilmengen des Bereichs das Produkt aus dem Maß für diese Teilmenge (Gesamtzeit in Tagen) und der Balkenhöhe (Fälle pro Tag) summiert wird. ⓘ

Maßtheorie

Die Maßtheorie wurde ursprünglich entwickelt, um eine nützliche Abstraktion des Begriffs der Länge von Teilmengen der reellen Linie - und, allgemeiner, der Fläche und des Volumens von Teilmengen des euklidischen Raums - zu schaffen. Insbesondere lieferte sie eine systematische Antwort auf die Frage, welche Teilmengen von R eine Länge haben. Wie spätere Entwicklungen in der Mengenlehre zeigten (siehe nicht messbare Menge), ist es tatsächlich unmöglich, allen Teilmengen von R eine Länge zuzuweisen, und zwar so, dass einige natürliche Eigenschaften der Additivität und Translationsinvarianz erhalten bleiben. Dies legt nahe, dass die Auswahl einer geeigneten Klasse von messbaren Teilmengen eine wesentliche Voraussetzung ist. ⓘ

Das Riemann-Integral verwendet ausdrücklich den Begriff der Länge. Das Rechenelement des Riemann-Integrals ist das Rechteck [a, b] × [c, d], dessen Fläche als (b - a)(d - c) berechnet wird. Die Größe b - a ist die Länge der Basis des Rechtecks und d - c ist die Höhe des Rechtecks. Riemann konnte nur ebene Rechtecke zur Annäherung an die Fläche unter der Kurve verwenden, da es keine geeignete Theorie zur Messung allgemeinerer Mengen gab. ⓘ

In der Entwicklung der Theorie in den meisten modernen Lehrbüchern (nach 1950) ist der Ansatz zur Messung und Integration axiomatisch. Das bedeutet, dass ein Maß jede Funktion μ ist, die auf einer bestimmten Klasse X von Teilmengen einer Menge E definiert ist und eine bestimmte Liste von Eigenschaften erfüllt. Diese Eigenschaften können in vielen verschiedenen Fällen nachgewiesen werden. ⓘ

Messbare Funktionen

Wir beginnen mit einem Maßraum (E, X, μ), wobei E eine Menge, X eine σ-Algebra von Teilmengen von E und μ ein (nicht-negatives) Maß auf E ist, das auf den Mengen von X definiert ist. ⓘ

Beispielsweise kann E der euklidische n-Raum Rn oder eine Lebesgue-messbare Teilmenge davon sein, X ist die σ-Algebra aller Lebesgue-messbaren Teilmengen von E, und μ ist das Lebesgue-Maß. In der mathematischen Theorie der Wahrscheinlichkeit beschränken wir uns auf ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ, das die Bedingung μ(E) = 1 erfüllt. ⓘ

Die Lebesgue-Theorie definiert Integrale für eine Klasse von Funktionen, die messbare Funktionen genannt werden. Eine reellwertige Funktion f auf E ist messbar, wenn das Vorabbild eines jeden Intervalls der Form (t, ∞) in X liegt:

$\{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .$ ⓘ

Wir können zeigen, dass dies äquivalent zu der Forderung ist, dass das Vorabbild jeder Borel-Teilmenge von R in X liegt. Die Menge der messbaren Funktionen ist unter algebraischen Operationen geschlossen, aber noch wichtiger ist, dass sie unter verschiedenen Arten von punktweisen sequentiellen Grenzen geschlossen ist:

$\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}$ ⓘ

Sie sind messbar, wenn die ursprüngliche Folge (fk)k, mit k ∈ N, aus messbaren Funktionen besteht. ⓘ

Es gibt verschiedene Ansätze zur Definition eines Integrals:

$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f\left(x\right)\,d\mu \left(x\right)$ ⓘ

für messbare reellwertige Funktionen f, die auf E definiert sind. ⓘ

Definition

Die Theorie des Lebesgue-Integrals erfordert eine Theorie der messbaren Mengen und der Maße auf diesen Mengen, sowie eine Theorie der messbaren Funktionen und der Integrale auf diesen Funktionen. ⓘ

Über einfache Funktionen

Annäherung an eine Funktion durch eine einfache Funktion. ⓘ

Eine Möglichkeit, das Lebesgue-Integral zu konstruieren, besteht darin, sogenannte einfache Funktionen zu verwenden: endliche, reelle Linearkombinationen von Indikatorfunktionen. Einfache Funktionen, die direkt unter einer gegebenen Funktion f liegen, lassen sich konstruieren, indem man den Bereich von f in eine endliche Anzahl von Ebenen unterteilt. Der Schnittpunkt des Graphen von f mit einer Ebene identifiziert eine Menge von Intervallen im Bereich von f, die zusammengenommen als Vorabbildung der unteren Schranke dieser Ebene unter der einfachen Funktion definiert ist. Auf diese Weise impliziert die Partitionierung des Bereichs von f eine Partitionierung seiner Domäne. Das Integral einer einfachen Funktion wird gefunden, indem über diese (nicht notwendigerweise zusammenhängenden) Teilmengen des Bereichs das Produkt aus dem Maß der Teilmenge und ihrem Bild unter der einfachen Funktion (der unteren Schranke der entsprechenden Ebene) summiert wird; intuitiv ist dieses Produkt die Summe der Flächen aller Balken gleicher Höhe. Das Integral einer nicht-negativen allgemeinen messbaren Funktion ist dann definiert als ein geeignetes Supremum von Näherungen durch einfache Funktionen, und das Integral einer (nicht notwendigerweise positiven) messbaren Funktion ist die Differenz zweier Integrale von nicht-negativen messbaren Funktionen. ⓘ

Indikatorfunktionen

Um dem Integral der Indikatorfunktion 1_S einer messbaren Menge S, die mit dem gegebenen Maß μ konsistent ist, einen Wert zuzuweisen, ist die einzig sinnvolle Wahl, zu setzen:

$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).$ ⓘ

Man beachte, dass das Ergebnis gleich +∞ sein kann, es sei denn, μ ist ein endliches Maß. ⓘ

Einfache Funktionen

Eine endliche Linearkombination von Indikatorfunktionen ⓘ

$\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$ ⓘ

wobei die Koeffizienten ak reelle Zahlen und Sk disjunkte messbare Mengen sind, wird als messbare einfache Funktion bezeichnet. Wir erweitern das Integral durch Linearität auf nichtnegative messbare einfache Funktionen. Wenn die Koeffizienten ak positiv sind, setzen wir ⓘ

$\int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})$ ⓘ

ob diese Summe endlich oder +∞ ist. Eine einfache Funktion kann auf verschiedene Weise als Linearkombination von Indikatorfunktionen geschrieben werden, aber das Integral ist aufgrund der Additivität der Maße dasselbe. ⓘ

Bei der Definition des Integrals einer reellwertigen einfachen Funktion ist etwas Vorsicht geboten, um den undefinierten Ausdruck ∞ - ∞ zu vermeiden: Man nimmt an, dass die Darstellung ⓘ

$f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$ ⓘ

so beschaffen ist, dass μ(S_k) < ∞ ist, wann immer a_k ≠ 0 ist. Dann ergibt die obige Formel für das Integral von f einen Sinn, und das Ergebnis hängt nicht von der speziellen Darstellung von f ab, die die Annahmen erfüllt. ⓘ

Wenn B eine messbare Teilmenge von E ist und s eine messbare einfache Funktion ist, definiert man ⓘ

$\int _{B}s\,d\mu =\int 1_{B}\,s\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).$ ⓘ

Nicht-negative Funktionen

Sei f eine nichtnegative messbare Funktion auf E, die den Wert +∞ annehmen kann, d.h. f nimmt nichtnegative Werte auf der erweiterten reellen Zahlengeraden an. Wir definieren ⓘ

$\int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.$ ⓘ

Wir müssen zeigen, dass dieses Integral mit dem vorhergehenden übereinstimmt, das auf der Menge der einfachen Funktionen definiert ist, wenn E ein Segment [a, b] ist. Es stellt sich auch die Frage, ob dies in irgendeiner Weise dem Riemannschen Begriff der Integration entspricht. Es ist möglich zu beweisen, dass die Antwort auf beide Fragen ja lautet. ⓘ

Wir haben das Integral von f für jede nicht-negative erweiterte reellwertige messbare Funktion auf E definiert. Für einige Funktionen ist dieses Integral ∫E f dμ unendlich. ⓘ

Oft ist es nützlich, eine bestimmte Folge von einfachen Funktionen zu haben, die das Lebesgue-Integral gut approximiert (analog zu einer Riemannschen Summe). Für eine nicht-negative, messbare Funktion f sei $s_{n}(x)$ die einfache Funktion sein, deren Wert $k/2^{n}$ wenn $k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}$für k eine nichtnegative ganze Zahl kleiner als (sagen wir) $4^{n}$. Dann kann direkt bewiesen werden, dass

$\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu$

und dass der Grenzwert auf der rechten Seite als eine erweiterte reelle Zahl existiert. Damit ist die Verbindung zwischen der Annäherung an das Lebesgue-Integral mittels einfacher Funktionen und der Motivation für das Lebesgue-Integral mittels einer Partition des Bereichs hergestellt. ⓘ

Vorzeichenbehaftete Funktionen

Um vorzeichenbehaftete Funktionen zu behandeln, benötigen wir einige weitere Definitionen. Wenn f eine messbare Funktion der Menge E zu den Reellen ist (einschließlich ±∞), dann können wir schreiben ⓘ

$f=f^{+}-f^{-},$ ⓘ

wobei ⓘ

$f^{+}(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{if }}f(x)>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

$f^{-}(x)={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ ⓘ

Beachten Sie, dass sowohl f⁺ als auch f- nicht-negative messbare Funktionen sind. Beachten Sie auch, dass ⓘ

$|f|=f^{+}+f^{-}.\quad$ ⓘ

Wir sagen, dass das Lebesgue-Integral der messbaren Funktion f existiert oder definiert ist, wenn mindestens eines von ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ und ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$ endlich ist:

$\min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .$ ⓘ

In diesem Fall definieren wir ⓘ

$\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .$ ⓘ

Wenn ⓘ

$\int |f|\,d\mu <\infty ,$ ⓘ

sagen wir, dass f Lebesgue-integrierbar ist. ⓘ

Es stellt sich heraus, dass diese Definition die erwünschten Eigenschaften des Integrals liefert. ⓘ

Über das uneigentliche Riemannsche Integral

Unter der Annahme, dass $f$ messbar und nicht-negativ ist, ist die Funktion

$f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).$

monoton nicht-erhöhend ist. Das Lebesgue-Integral kann dann definiert werden als das uneigentliche Riemann-Integral von $f^{*}$:

$\int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.$

Dieses Integral ist unzulässig bei $\infty$ und (möglicherweise) auch bei Null. Es existiert, mit der Einschränkung, dass es unendlich sein kann. ⓘ

Wie oben wird das Integral einer Lebesgue-integrierbaren (nicht notwendigerweise nichtnegativen) Funktion durch Subtraktion des Integrals ihres positiven und negativen Teils definiert. ⓘ

Komplexe Funktionen

Komplexe Funktionen können auf ähnliche Weise integriert werden, indem man den Realteil und den Imaginärteil getrennt betrachtet. ⓘ

Wenn h=f+ig für reellwertige integrierbare Funktionen f, g ist, dann ist das Integral von h definiert durch ⓘ

$\int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .$ ⓘ

Die Funktion ist dann und nur dann Lebesgue-integrierbar, wenn ihr Absolutwert Lebesgue-integrierbar ist (siehe Absolut integrierbare Funktion). ⓘ

Beispiel

Betrachten wir die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen, 1_Q, auch bekannt als Dirichlet-Funktion. Diese Funktion ist nirgends stetig. ⓘ

• $1_{\mathbf {Q} }$ ist nicht Riemann-integrierbar auf [0, 1]: Egal wie man die Menge [0, 1] in Teilintervalle unterteilt, jede Unterteilung enthält mindestens eine rationale und mindestens eine irrationale Zahl, da sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen sind. Die oberen Darboux-Summen sind also alle eins und die unteren Darboux-Summen sind alle null.
• $1_{\mathbf {Q} }$ ist mit Hilfe des Lebesgue-Maßes auf [0, 1] Lebesgue-integrabel: Sie ist nämlich die Indikatorfunktion der Rationalen, also per Definition
  $$\int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,$$
  weil Q abzählbar ist. ⓘ

Bereich der Integration

Ein technisches Problem bei der Lebesgue-Integration besteht darin, dass der Bereich der Integration als eine Menge (eine Teilmenge eines Maßraums) definiert ist, ohne dass es einen Begriff der Orientierung gibt. In der Elementarrechnung definiert man die Integration in Bezug auf eine Orientierung:

$\int _{b}^{a}f:=-\int _{a}^{b}f.$

Verallgemeinert man dies auf höhere Dimensionen, erhält man die Integration von Differentialformen. Im Gegensatz dazu bietet die Lebesgue-Integration eine alternative Verallgemeinerung, die Integration über Teilmengen in Bezug auf ein Maß; dies kann notiert werden als

$\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu$

notiert werden, um die Integration über eine Teilmenge A anzugeben. Einzelheiten über die Beziehung zwischen diesen Verallgemeinerungen finden Sie unter Differentialform § Beziehung zu Maßen. ⓘ

Beschränkungen des Riemann-Integrals

Mit dem Aufkommen der Fourier-Reihen tauchten viele analytische Probleme mit Integralen auf, deren zufriedenstellende Lösung den Austausch von Grenzwertprozessen und Integralzeichen erforderte. Allerdings erwiesen sich die Bedingungen, unter denen die Integrale ⓘ

$\sum _{k}\int f_{k}(x)dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx$ ⓘ

gleich sind, erwiesen sich jedoch im Riemannschen Rahmen als recht schwer fassbar. Es gibt noch einige andere technische Schwierigkeiten mit dem Riemannschen Integral. Diese hängen mit der oben diskutierten Schwierigkeit der Grenzwertbildung zusammen. ⓘ

Versagen der monotonen Konvergenz. Wie oben gezeigt, ist die Indikatorfunktion 1_Q auf den rationalen Zahlen nicht Riemann-integrierbar. Insbesondere versagt der Satz von der monotonen Konvergenz. Um zu sehen warum, sei {ak} sei eine Aufzählung aller rationalen Zahlen in [0, 1] (sie sind abzählbar, so dass dies möglich ist.) Dann sei

$g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ ⓘ

Die Funktion gk ist überall Null, außer in einer endlichen Menge von Punkten. Daher ist ihr Riemann-Integral gleich Null. Jedes gk ist nicht-negativ, und diese Folge von Funktionen ist monoton steigend, aber ihr Grenzwert mit k → ∞ ist 1_Q, was nicht Riemann-integrierbar ist. ⓘ

Untauglichkeit für unbeschränkte Intervalle. Das Riemannsche Integral kann nur Funktionen auf einem begrenzten Intervall integrieren. Es kann jedoch auf unbeschränkte Intervalle ausgedehnt werden, indem man Grenzwerte nimmt, solange dies nicht zu einer Antwort wie ∞ - ∞ führt. ⓘ

Integrieren über andere Strukturen als den euklidischen Raum. Das Riemannsche Integral ist untrennbar mit der Ordnungsstruktur der reellen Linie verbunden. ⓘ

Grundlegende Theoreme des Lebesgue-Integrals

Man sagt, dass zwei Funktionen fast überall gleich sind (kurz$f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g$ abgekürzt), wenn $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ eine Teilmenge einer Nullmenge ist. ⓘ

Die Messbarkeit der Menge $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ ist nicht erforderlich. ⓘ

• Wenn f, g nicht-negative messbare Funktionen sind (die eventuell den Wert +∞ annehmen), so dass f = g fast überall ist, dann
  $$\int f\,d\mu =\int g\,d\mu .$$
  Das heißt, das Integral respektiert die Äquivalenzrelation der fast-überall-Gleichheit.
• Wenn f, g solche Funktionen sind, dass f = g fast überall ist, dann ist f dann und nur dann Lebesgue-integrierbar, wenn g Lebesgue-integrierbar ist, und die Integrale von f und g sind gleich, wenn sie existieren.
• Linearität: Wenn f und g Lebesgue-integrierbare Funktionen sind und a und b reelle Zahlen sind, dann ist af + bg Lebesgue-integrierbar und
  $$\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .$$
• Monotonizität: Wenn f ≤ g, dann
  $$\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .$$
• Sei $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ sei ein Maßraum. Bezeichne $\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ die $\sigma$-Algebra der Borelmengen auf $[0,+\infty ]$. (Per Definition, $\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ enthält die Menge $\{+\infty \}$ und alle Borel-Teilmengen von $\mathbb {R} _{\geq 0}$.) Betrachten Sie eine $(\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$-messbare nicht-negative Funktion $s:\Omega \to [0,+\infty ]$. Für eine Menge $S\in \Sigma$, definieren Sie
  $$\nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .$$
  Dann ist $\nu$ ein Lebesgue-Maß auf $(\Omega ,\Sigma )$.
• Monotones Konvergenz-Theorem: Angenommen, { fk}_{k ∈ N} sei eine Folge von nicht-negativen messbaren Funktionen, so dass
  $$f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.$$
  Dann ist der punktweise Grenzwert f von fk Lebesgue-messbar und
  $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$
  Der Wert eines der Integrale darf unendlich sein.
• Fatou's Lemma: Wenn { fk}_{k ∈ N} eine Folge von nicht-negativen messbaren Funktionen ist, dann
  $$\int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .$$
  Auch hier kann der Wert jedes der Integrale unendlich sein.
• Satz über die dominante Konvergenz: Angenommen {fk}_{k ∈ N} ist eine Folge komplexer messbarer Funktionen mit punktweisem Grenzwert f, und es gibt eine Lebesgue-integrierbare Funktion g (d.h. g gehört zum Raum L¹), so dass | fk | ≤ g für alle k. Dann ist f Lebesgue-integrierbar und
  $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$
  ⓘ

Alternative Formulierungen

Es ist möglich, das Integral in Bezug auf das Lebesgue-Maß zu entwickeln, ohne auf die gesamte Maschinerie der Maßtheorie zurückzugreifen. Ein solcher Ansatz wird durch das Daniell-Integral bereitgestellt. ⓘ

Es gibt auch einen alternativen Ansatz zur Entwicklung der Integrationstheorie mit Hilfe von Methoden der Funktionsanalyse. Das Riemann-Integral existiert für jede kontinuierliche Funktion f mit kompakter Unterstützung, die auf Rn (oder einer festen offenen Teilmenge) definiert ist. Ausgehend von diesen Integralen können Integrale von allgemeineren Funktionen gebildet werden. ⓘ

Sei Cc der Raum aller reellwertigen, kompakt unterstützten stetigen Funktionen von R. Definieren Sie eine Norm auf Cc durch

$$\left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.$$

ⓘ

Dann ist Cc ein normierter Vektorraum (und insbesondere ein metrischer Raum). Alle metrischen Räume haben Hausdorff-Abschlüsse, also sei L¹ sein Abschluss. Dieser Raum ist isomorph zum Raum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen modulo des Unterraums der Funktionen mit Integral Null. Außerdem ist das Riemannsche Integral ∫ ein gleichmäßig stetiges Funktional in Bezug auf die Norm auf Cc, die dicht in L¹ ist. Daher hat ∫ eine eindeutige Ausdehnung auf ganz L¹. Dieses Integral ist genau das Lebesgue-Integral. ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt: Wenn der Maßraum, auf dem die Funktionen definiert sind, ebenfalls ein lokal kompakter topologischer Raum ist (wie es bei den reellen Zahlen R der Fall ist), kann für Maße, die mit der Topologie in einem geeigneten Sinne kompatibel sind (Radon-Maße, von denen das Lebesgue-Maß ein Beispiel ist), ein Integral in Bezug auf sie auf dieselbe Weise definiert werden, ausgehend von den Integralen kontinuierlicher Funktionen mit kompakter Unterstützung. Genauer gesagt, bilden die kompakt unterstützten Funktionen einen Vektorraum, der eine natürliche Topologie trägt, und ein (Radon-)Maß ist als kontinuierliches lineares Funktional auf diesem Raum definiert. Der Wert eines Maßes bei einer kompakt unterstützten Funktion ist dann auch per Definition das Integral der Funktion. Man geht dann dazu über, das Maß (das Integral) durch Kontinuität auf allgemeinere Funktionen zu erweitern, und definiert das Maß einer Menge als das Integral ihrer Indikatorfunktion. Dies ist der Ansatz von Bourbaki (2004) und einer Reihe anderer Autoren. Für Details siehe Radon-Maße. ⓘ

Beschränkungen des Lebesgue-Integrals

Der Hauptzweck des Lebesgue-Integrals besteht darin, einen Integralbegriff bereitzustellen, bei dem die Grenzen von Integralen unter milden Annahmen gelten. Es gibt keine Garantie, dass jede Funktion Lebesgue-integrierbar ist. Es kann aber vorkommen, dass es unzulässige Integrale für Funktionen gibt, die nicht Lebesgue-integrierbar sind. Ein Beispiel wäre die sinc-Funktion:

$${\frac {\sin(x)}{x}}$$

über die gesamte reelle Linie. Diese Funktion ist nicht Lebesgue-integrierbar, da

$$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .$$

Andererseits, ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx}$ als unzulässiges Integral existiert und als endlich berechnet werden kann; es ist das Doppelte des Dirichlet-Integrals. ⓘ

Geschichtliches zum Lebesgue-Integral

Die Begründung der Differential- und Integralrechnung beginnt im 17. Jahrhundert mit Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz (1687 erscheint Newtons „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Sie stellt einen Meilenstein in der Wissenschaftsgeschichte dar, besaß man doch nun zum ersten Mal ein mathematisches Konzept zur Beschreibung kontinuierlicher, dynamischer Prozesse in der Natur und – dadurch motiviert – zur Berechnung krummlinig berandeter Flächen. Es sollten aber noch viele Jahrzehnte vergehen, bis die Integralrechnung gegen Mitte des 19. Jahrhunderts durch Augustin Louis Cauchy und Bernhard Riemann auf ein solides theoretisches Fundament gestellt wurde. ⓘ

Die Verallgemeinerung des so genannten Riemann-Integrals auf höherdimensionale Räume, zum Beispiel zur Berechnung der Volumina beliebiger Körper im Raum, erwies sich jedoch als schwierig. Die Entwicklung eines moderneren und leistungsfähigeren Integralbegriffes ist untrennbar mit der Entwicklung der Maßtheorie verknüpft. Tatsächlich begannen die Mathematiker erst reichlich spät systematisch zu untersuchen, wie sich beliebigen Teilmengen des ${\displaystyle }$ in sinnvoller Weise ein Volumen zuordnen lässt. Unverzichtbare Voraussetzung für diese Arbeiten war die strenge axiomatische Begründung der reellen Zahlen durch Richard Dedekind und Georg Cantor und die Begründung der Mengenlehre durch Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts. ⓘ

Erste Antworten auf die Frage nach dem Volumen beliebiger Teilmengen des ${\displaystyle }$ gaben zum Beispiel Giuseppe Peano und Marie Ennemond Camille Jordan. Eine befriedigende Lösung dieses Problems gelang aber erst Émile Borel und Henri Lebesgue durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 1902 formulierte Lebesgue in seiner Pariser Thèse zum ersten Mal das moderne Maßproblem und wies explizit darauf hin, es nicht in voller Allgemeinheit lösen zu können, sondern nur für eine ganz bestimmte Klasse von Mengen, die er messbare Mengen nannte. Tatsächlich sollte sich herausstellen, dass das Maßproblem nicht allgemein lösbar ist, d. h. tatsächlich Mengen existieren, denen man kein sinnvolles Maß zuordnen kann (siehe Satz von Vitali, Banach-Tarski-Paradoxon). Durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes stand nun der Weg für einen neuen, verallgemeinerbaren Integralbegriff offen. Die erste Definition des Lebesgue-Integrals gab denn auch Henri Lebesgue in seiner Thèse gleich selbst. Weitere bedeutende Definitionen des Lebesgue-Integrals stammten wenig später von William Henry Young (1905) und Frigyes Riesz (1910). Die nachfolgend vorgestellte Definition, die mittlerweile in der Fachliteratur am üblichsten ist, folgt der Konstruktion Youngs. ⓘ

Heutzutage ist das Lebesgue-Integral der Integralbegriff der modernen Mathematik. Seine Verallgemeinerbarkeit und seine – aus mathematischer Sicht – schönen Eigenschaften machen ihn auch zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der Funktionalanalysis, der Physik und der Wahrscheinlichkeitstheorie. ⓘ

Schreibweisen und Spezialfälle

Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei ${\displaystyle }$ eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable ${\displaystyle }$ angeben, so schreibt man ⓘ

${\displaystyle }$ oder ${\displaystyle }$ oder auch ${\displaystyle }$. ⓘ

Für ${\displaystyle }$ und das Lebesgue-Maß ${\displaystyle }$ schreibt man statt ${\displaystyle }$ einfach ${\displaystyle }$, im eindimensionalen Fall, also ${\displaystyle }$, schreibt man auch ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

für das Integral über das Intervall ${\displaystyle }$ oder ${\displaystyle }$. ⓘ

Wenn das Maß ${\displaystyle }$ eine Radon-Nikodým-Dichte ${\displaystyle }$ bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt ⓘ

${\displaystyle }$ . ⓘ

In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

häufig auch dann verwendet, wenn ${\displaystyle }$ formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man ${\displaystyle }$ nicht als Funktion, sondern als Distribution auffasst. ⓘ

Ist das Maß ${\displaystyle }$ im Fall ${\displaystyle }$ durch eine Verteilungsfunktion ${\displaystyle }$ definiert, so erhält man das Lebesgue-Stieltjes-Integral, das mit ⓘ

${\displaystyle }$ oder ${\displaystyle }$ ⓘ

bezeichnet wird. ⓘ

Ist ${\displaystyle }$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, so kann man ${\displaystyle }$ als Zufallsvariable auffassen (wofür die Notation ${\displaystyle }$ statt ${\displaystyle }$ üblich ist). Man definiert dann den Erwartungswert ${\displaystyle }$ von ${\displaystyle }$ als ⓘ

${\displaystyle }$. ⓘ

In der theoretischen Physik wird die Schreibweise ${\displaystyle }$ verwendet, in der Funktionalanalysis manchmal die Schreibweise${\displaystyle }$. ⓘ