Impedanz

In der Elektrotechnik ist die Impedanz der Widerstand, der dem Wechselstrom durch die kombinierte Wirkung von Widerstand und Reaktanz in einem Stromkreis entgegengesetzt wird. ⓘ

Quantitativ gesehen ist die Impedanz eines Schaltungselements mit zwei Anschlüssen das Verhältnis der komplexen Darstellung der sinusförmigen Spannung zwischen seinen Anschlüssen zur komplexen Darstellung des Stroms, der durch das Element fließt. Im Allgemeinen ist sie abhängig von der Frequenz der Sinusspannung. ⓘ

Die Impedanz erweitert das Konzept des Widerstands auf Wechselstromkreise und hat im Gegensatz zum Widerstand, der nur den Betrag kennt, sowohl einen Betrag als auch eine Phase. ⓘ

Die Impedanz ist eine komplexe Zahl mit denselben Einheiten wie der Widerstand, für den die SI-Einheit Ohm (Ω) ist. Ihr Symbol ist in der Regel Z, und sie kann durch die Darstellung von Betrag und Phase in der Polarform |Z|∠θ dargestellt werden. Für die Analyse von Schaltkreisen ist die kartesisch-komplexe Zahlendarstellung jedoch oft besser geeignet. ⓘ

Der Begriff der Impedanz ist für die Wechselstromanalyse elektrischer Netze nützlich, da er es ermöglicht, sinusförmige Spannungen und Ströme durch ein einfaches lineares Gesetz in Beziehung zu setzen. In Netzwerken mit mehreren Anschlüssen ist die Definition der Impedanz mit zwei Anschlüssen unzureichend, aber die komplexen Spannungen an den Anschlüssen und die durch sie fließenden Ströme sind immer noch linear durch die Impedanzmatrix verbunden. ⓘ

Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz, deren SI-Einheit das Siemens ist, früher mho genannt. ⓘ

Die zur Messung der elektrischen Impedanz verwendeten Geräte werden Impedanzanalysatoren genannt. ⓘ

Die Impedanz (lat. impedire „hemmen“, „hindern“), auch Wechselstromwiderstand, ist ein elektrischer Widerstand in der Wechselstromtechnik. Sie gibt bei einem zweipoligen Netzwerkelement das Verhältnis von elektrischer Spannung zur Stromstärke an. Der Begriff wird insbesondere dann verwendet, wenn zwischen den beiden Größen eine Phasenverschiebung besteht, wodurch sich das Verhältnis vom Widerstand in Gleichstromanwendungen unterscheidet. ⓘ

Die Impedanz ist eine physikalische Größe zur Beschreibung

• des Verhaltens eines Bauelementes oder Gerätes (genauer gesagt eines passiven linearen Zweipols) beim Anliegen eines elektrischen Wechselstroms (siehe auch komplexe Wechselstromrechnung),
• der elektromagnetischen Wellenausbreitung in einer Leitung oder einem Medium (siehe auch Wellenimpedanz). Bei der Wellenausbreitung ist kein konkretes Bauelement an diesem Widerstand beteiligt, weder ein Wirk- noch ein Blindwiderstand. ⓘ

Einführung

Der Begriff Impedanz wurde im Juli 1886 von Oliver Heaviside geprägt. Arthur Kennelly war der erste, der 1893 die Impedanz mit komplexen Zahlen darstellte. ⓘ

Neben dem Widerstand, wie er in Gleichstromkreisen vorkommt, umfasst die Impedanz in Wechselstromkreisen die Auswirkungen der Induktion von Spannungen in Leitern durch die Magnetfelder (Induktivität) und die elektrostatische Speicherung von Ladungen, die durch Spannungen zwischen Leitern induziert werden (Kapazität). Die durch diese beiden Effekte verursachte Impedanz wird als Reaktanz bezeichnet und bildet den Imaginärteil der komplexen Impedanz, während der Widerstand den Realteil bildet. ⓘ

Komplexe Impedanz

Eine grafische Darstellung der komplexen Impedanzebene ⓘ

Die Impedanz eines zweipoligen Schaltungselements wird als komplexe Größe dargestellt $Z$. Die Polarform erfasst sowohl die Betrags- als auch die Phasencharakteristik wie folgt ⓘ

$\ Z=|Z|e^{j\arg(Z)}$ ⓘ

wobei der Betrag $|Z|$ das Verhältnis der Spannungsdifferenzamplitude zur Stromamplitude darstellt, während das Argument $\arg(Z)$ (üblicherweise mit dem Symbol $\theta$) die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom angibt. $j$ ist die imaginäre Einheit und wird anstelle von $i$ in diesem Zusammenhang, um Verwechslungen mit dem Symbol für elektrischen Strom zu vermeiden. ⓘ

In kartesischer Form ist die Impedanz definiert als ⓘ

$\ Z=R+jX$ ⓘ

wobei der Realteil der Impedanz der Widerstand ist $R$ und der Imaginärteil ist der Blindwiderstand $X$. ⓘ

Wenn Impedanzen addiert oder subtrahiert werden müssen, ist die kartesische Form praktischer; wenn jedoch Größen multipliziert oder dividiert werden, wird die Berechnung einfacher, wenn die Polarform verwendet wird. Bei einer Schaltungsberechnung, wie z. B. der Ermittlung der Gesamtimpedanz von zwei parallel geschalteten Impedanzen, kann es erforderlich sein, während der Berechnung mehrmals zwischen den Formen zu wechseln. Die Umrechnung zwischen den Formen erfolgt nach den normalen Umrechnungsregeln für komplexe Zahlen. ⓘ

Komplexe Spannung und Strom

Verallgemeinerte Impedanzen in einer Schaltung können mit dem gleichen Symbol wie ein Widerstand (US ANSI oder DIN Euro) oder mit einem beschrifteten Kästchen gezeichnet werden. ⓘ

Um die Berechnungen zu vereinfachen, werden sinusförmige Spannungs- und Stromwellen üblicherweise als komplexwertige Funktionen der Zeit dargestellt, die als $V$ und $I$. ⓘ

${\begin{aligned}V&=|V|e^{j(\omega t+\phi _{V})},\\I&=|I|e^{j(\omega t+\phi _{I})}.\end{aligned}}$ ⓘ

Die Impedanz einer bipolaren Schaltung ist definiert als das Verhältnis dieser Größen:

$Z={\frac {V}{I}}={\frac {|V|}{|I|}}e^{j(\phi _{V}-\phi _{I})}.$ ⓘ

Daraus ergibt sich, dass $\theta =\phi _{V}-\phi _{I}$haben wir ⓘ

${\begin{aligned}|V|&=|I||Z|,\\\phi _{V}&=\phi _{I}+\theta .\end{aligned}}$ ⓘ

Die Betragsgleichung ist das bekannte Ohmsche Gesetz, das auf die Spannungs- und Stromamplituden angewandt wird, während die zweite Gleichung die Phasenbeziehung definiert. ⓘ

Gültigkeit der komplexen Darstellung

Die Darstellung mit komplexen Exponentialen lässt sich mit der Eulerschen Formel begründen:

$\ \cos(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}$ ⓘ

Die reellwertige Sinusfunktion, die entweder die Spannung oder den Strom darstellt, kann in zwei komplexwertige Funktionen zerlegt werden. Nach dem Überlagerungsprinzip können wir das Verhalten der Sinuskurve auf der linken Seite analysieren, indem wir das Verhalten der beiden komplexen Terme auf der rechten Seite analysieren. Aufgrund der Symmetrie brauchen wir die Analyse nur für einen rechten Term durchzuführen. Die Ergebnisse sind für den anderen identisch. Am Ende einer jeden Berechnung können wir zu den reellwertigen Sinuskurven zurückkehren, indem wir weiterhin feststellen, dass ⓘ

$\ \cos(\omega t+\phi )=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}$ ⓘ

Ohmsches Gesetz

Eine Wechselstromversorgung, die eine Spannung $V$über eine Last $Z$, die einen Strom treibt $I$ ⓘ

Die Bedeutung der elektrischen Impedanz lässt sich verstehen, wenn man sie in das Ohmsche Gesetz einsetzt. Angenommen, ein zweipoliges Schaltungselement mit einer Impedanz $Z$ von einer sinusförmigen Spannung oder einem sinusförmigen Strom wie oben beschrieben angesteuert wird, gilt ⓘ

$\ V=IZ=I|Z|e^{j\arg(Z)}$ ⓘ

Der Betrag der Impedanz $|Z|$ verhält sich genau wie der Widerstand und gibt den Spannungsabfall über einer Impedanz $Z$ für einen gegebenen Strom $I$. Der Phasenfaktor sagt uns, dass der Strom der Spannung um eine Phase von $\theta =\arg(Z)$ nacheilt (d. h. im Zeitbereich ist das Stromsignal gegenüber dem Spannungssignal ${\textstyle {\frac {\theta }{2\pi }}T}$ später als das Spannungssignal). ⓘ

So wie die Impedanz das Ohm'sche Gesetz auf Wechselstromkreise ausdehnt, können auch andere Ergebnisse aus der Analyse von Gleichstromkreisen, wie die Spannungsteilung, die Stromteilung, der Satz von Thévenin und der Satz von Norton, auf Wechselstromkreise übertragen werden, indem man den Widerstand durch die Impedanz ersetzt. ⓘ

Phasoren

Ein Phasor wird durch eine konstante komplexe Zahl dargestellt, die in der Regel in Exponentialform ausgedrückt wird und die komplexe Amplitude (Betrag und Phase) einer sinusförmigen Funktion der Zeit darstellt. Phasoren werden von Elektroingenieuren zur Vereinfachung von Berechnungen mit Sinuskurven (z. B. in Wechselstromkreisen) verwendet, wo sie oft ein Differentialgleichungsproblem auf ein algebraisches reduzieren können. ⓘ

Die Impedanz eines Schaltungselements kann als das Verhältnis zwischen der Phasenspannung über dem Element und dem Phasenstrom durch das Element definiert werden, das durch die relativen Amplituden und Phasen der Spannung und des Stroms bestimmt wird. Dies ist identisch mit der Definition aus dem ohmschen Gesetz, wobei die Faktoren von $e^{j\omega t}$ aufheben. ⓘ

Beispiele für Geräte

Widerstand

Die Phasenwinkel in den Gleichungen für die Impedanz von Kondensatoren und Induktivitäten zeigen, dass die Spannung an einem Kondensator dem Strom durch ihn um eine Phase von $\pi /2$nacheilt, während die Spannung an einer Induktivität dem Strom durch die Induktivität um $\pi /2$. Die identischen Spannungs- und Stromamplituden zeigen, dass der Betrag der Impedanz gleich eins ist. ⓘ

Die Impedanz eines idealen Widerstands ist rein reell und wird als ohmsche Impedanz bezeichnet:

$\ Z_{R}=R$ ⓘ

In diesem Fall sind die Spannungs- und Stromwellenformen proportional und gleichphasig. ⓘ

Induktivität und Kondensator

Ideale Induktivitäten und Kondensatoren haben eine rein imaginäre Blindimpedanz: Die Impedanz von Induktivitäten nimmt mit steigender Frequenz zu; ⓘ

$Z_{L}=j\omega L$ ⓘ

die Impedanz von Kondensatoren nimmt mit steigender Frequenz ab; ⓘ

$Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}$ ⓘ

In beiden Fällen ist der resultierende Strom bei einer angelegten Sinusspannung ebenfalls sinusförmig, aber in Quadratur, d. h. 90 Grad phasenverschoben zur Spannung. Die Phasen haben jedoch entgegengesetzte Vorzeichen: In einer Induktivität ist der Strom nacheilend, in einem Kondensator ist er voreilend. ⓘ

Beachten Sie die folgenden Gleichungen für die imaginäre Einheit und ihren Kehrwert:

${\begin{aligned}j&\equiv \cos {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j{\frac {\pi }{2}}}\\{\frac {1}{j}}\equiv -j&\equiv \cos {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}+j\sin {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\equiv e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}$ ⓘ

Die Impedanzgleichungen von Induktor und Kondensator können also in Polarform umgeschrieben werden:

${\begin{aligned}Z_{L}&=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}\\Z_{C}&={\frac {1}{\omega C}}e^{j\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}\end{aligned}}$ ⓘ

Der Betrag gibt die Änderung der Spannungsamplitude bei einer bestimmten Stromamplitude durch die Impedanz an, während die Exponentialfaktoren die Phasenbeziehung angeben. ⓘ

Ableitung der gerätespezifischen Impedanzen

Im Folgenden wird die Impedanz für jedes der drei grundlegenden Schaltungselemente abgeleitet: den Widerstand, den Kondensator und die Spule. Obwohl die Idee erweitert werden kann, um die Beziehung zwischen der Spannung und dem Strom eines beliebigen Signals zu definieren, gehen diese Ableitungen von sinusförmigen Signalen aus. Tatsächlich gilt dies für jedes beliebige periodische Signal, da diese durch Fourier-Analyse als Summe von Sinuskurven approximiert werden können. ⓘ

Widerstand

Für einen Widerstand gibt es die Beziehung

$v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}=i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}R$ ⓘ

das ist das Ohmsche Gesetz. ⓘ

Betrachtet man das Spannungssignal als

$v_{\text{R}}(t)=V_{p}\sin(\omega t)$ ⓘ

folgt, dass

${\frac {v_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{R}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {V_{p}\sin(\omega t)}{I_{p}\sin {\mathord {\left(\omega t\right)}}}}=R$ ⓘ

Dies besagt, dass das Verhältnis der Amplitude der Wechselspannung zur Amplitude des Wechselstroms (AC) über einem Widerstand $R$und dass die Wechselspannung dem Strom über einen Widerstand um 0 Grad vorauseilt. ⓘ

Dieses Ergebnis wird üblicherweise ausgedrückt als

$Z_{\text{resistor}}=R$ ⓘ

Kondensator

Für einen Kondensator gilt die Beziehung:

$i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}$ ⓘ

Betrachtet man das Spannungssignal als

$v_{\text{C}}(t)=V_{p}e^{j\omega t}$ ⓘ

folgt, dass

${\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}=j\omega V_{p}e^{j\omega t}$ ⓘ

und somit, wie zuvor,

$Z_{\text{capacitor}}={\frac {v_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}{i_{\text{C}}{\mathord {\left(t\right)}}}}={\frac {1}{j\omega C}}.$ ⓘ

Nimmt man umgekehrt an, dass der Strom durch den Stromkreis sinusförmig ist, so ist seine komplexe Darstellung

$i_{\text{C}}(t)=I_{p}e^{j\omega t}$

dann führt die Integration der Differentialgleichung

$i_{\text{C}}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}$

führt zu

$v_{C}(t)={\frac {1}{j\omega C}}I_{p}e^{j\omega t}+{\text{Const.}}={\frac {1}{j\omega C}}i_{C}(t)+{\text{Const.}}$

Der Const-Term stellt eine feste Potentialvorspannung dar, die dem sinusförmigen Wechselstrompotential überlagert ist und in der Wechselstromanalyse keine Rolle spielt. Für diesen Zweck kann dieser Term als 0 angenommen werden, was wiederum die Impedanz

$Z_{\text{capacitor}}={\frac {1}{j\omega C}}.$ ⓘ

Induktor

Für die Induktivität gilt die Beziehung (aus dem Faraday'schen Gesetz):

$v_{\text{L}}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}$ ⓘ

Diesmal wird das Stromsignal als:

$i_{\text{L}}(t)=I_{p}\sin(\omega t)$ ⓘ

folgt daraus, dass:

${\frac {\mathrm {d} i_{\text{L}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\omega I_{p}\cos {\mathord {\left(\omega t\right)}}$ ⓘ

Dieses Ergebnis wird üblicherweise in polarer Form ausgedrückt als

$Z_{\text{inductor}}=\omega Le^{j{\frac {\pi }{2}}}$ ⓘ

oder, unter Verwendung der Eulerschen Formel, als

$Z_{\text{inductor}}=j\omega L$ ⓘ

Wie bei den Kondensatoren kann diese Formel auch direkt aus den komplexen Darstellungen der Spannungen und Ströme abgeleitet werden, oder man nimmt eine sinusförmige Spannung zwischen den beiden Polen der Spule an. Im letzteren Fall führt die Integration der obigen Differentialgleichung zu einem konstanten Term für den Strom, der eine feste Gleichstromvorspannung darstellt, die durch die Induktivität fließt. Dieser wird auf Null gesetzt, da bei der Wechselstromanalyse mit Impedanz im Frequenzbereich jeweils eine Frequenz betrachtet wird und Gleichstrom in diesem Zusammenhang eine eigene Frequenz von Null Hertz darstellt. ⓘ

Verallgemeinerte Impedanz der s-Ebene

Die durch jω definierte Impedanz kann streng genommen nur auf Schaltungen angewendet werden, die mit einem stationären Wechselstromsignal betrieben werden. Das Konzept der Impedanz kann auf einen Stromkreis ausgedehnt werden, der mit einem beliebigen Signal gespeist wird, indem anstelle von jω die komplexe Frequenz verwendet wird. Die komplexe Frequenz wird mit dem Symbol s bezeichnet und ist im Allgemeinen eine komplexe Zahl. Signale werden als komplexe Frequenz ausgedrückt, indem man die Laplace-Transformation des Zeitbereichsausdrucks des Signals nimmt. Die Impedanz der grundlegenden Schaltungselemente in dieser allgemeineren Schreibweise lautet wie folgt:

Element	Ausdruck der Impedanz ⓘ
Widerstand	$R\,$
Induktor	$sL\,$
Kondensator	${\frac {1}{sC}}\,$

Für einen Gleichstromkreis vereinfacht sich dies zu s = 0. Für ein stationäres sinusförmiges Wechselstromsignal ist s = jω. ⓘ

Formale Herleitung

Die Impedanz $Z$ eines elektrischen Bauteils ist definiert als das Verhältnis zwischen den Laplace-Transformierten der Spannung über dem Bauteil und des Stroms durch das Bauteil, d. h. ⓘ

$Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}\{v(t)\}}{{\mathcal {L}}\{i(t)\}}}={\frac {V(s)}{I(s)}}\qquad {\text{(general impedance)}}$ ⓘ

wobei $s=\sigma +j\omega$ der komplexe Laplace-Parameter ist. Ein Beispiel ist das I-U-Gesetz eines Kondensators, ${\mathcal {L}}\{i(t)\}={\mathcal {L}}\{C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t\}=sC{\mathcal {L}}\{v(t)\}$woraus folgt, dass $Z_{C}(s)=1/sC$. ⓘ

Im Phasor-Regime (stationärer Wechselstrom, d. h. alle Signale werden mathematisch als einfache komplexe Exponentiale dargestellt $v(t)={\hat {V}}\,e^{j\omega t}$ und $i(t)={\hat {I}}\,e^{j\omega t}$ die mit einer gemeinsamen Frequenz schwingen $\omega$) kann die Impedanz einfach als das Verhältnis von Spannung zu Strom berechnet werden, wobei sich der gemeinsame zeitabhängige Faktor aufhebt:

$Z(\omega )={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {{\hat {V}}\,e^{j\omega t}}{{\hat {I}}\,e^{j\omega t}}}={\frac {\hat {V}}{\hat {I}}}\qquad {\text{(phasor-regime impedance)}}$ ⓘ

Für einen Kondensator erhält man wiederum, dass $i(t)=C\,\mathrm {d} v(t)/\mathrm {d} t=j\omega C\,v(t)$, und damit $Z_{C}(\omega )=1/j\omega C$. Der Phasenbereich wird manchmal auch als Frequenzbereich bezeichnet, obwohl ihm eine der Dimensionen des Laplace-Parameters fehlt. Bei stationärem Wechselstrom setzt die Polarform der komplexen Impedanz die Amplitude und Phase von Spannung und Strom in Beziehung. Im Besonderen:

• Der Betrag der komplexen Impedanz ist das Verhältnis der Spannungsamplitude zur Stromamplitude;
• Die Phase der komplexen Impedanz ist die Phasenverschiebung, um die der Strom der Spannung hinterherhinkt.

Diese beiden Beziehungen bleiben auch dann bestehen, wenn man den Realteil der komplexen Exponentiale (siehe Phasoren) nimmt, also den Teil des Signals, den man in realen Schaltungen tatsächlich misst. ⓘ

Widerstand und Reaktanz

Widerstand und Reaktanz bestimmen zusammen den Betrag und die Phase der Impedanz durch die folgenden Beziehungen:

${\begin{aligned}|Z|&={\sqrt {ZZ^{*}}}={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {X}{R}}\right)}\end{aligned}}$ ⓘ

In vielen Anwendungen ist die relative Phase der Spannung und des Stroms nicht entscheidend, so dass nur der Betrag der Impedanz von Bedeutung ist. ⓘ

Widerstand

Widerstand $R$ ist der Realteil der Impedanz; ein Gerät mit einer rein ohmschen Impedanz weist keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom auf. ⓘ

$\ R=|Z|\cos {\theta }\quad$ ⓘ

Reaktanz

Reaktanz $X$ ist der Imaginärteil der Impedanz; ein Bauteil mit einem endlichen Blindwiderstand induziert eine Phasenverschiebung $\theta$ zwischen der an ihr anliegenden Spannung und dem durch sie fließenden Strom. ⓘ

$\ X=|Z|\sin {\theta }\quad$ ⓘ

Ein rein reaktives Bauteil zeichnet sich dadurch aus, dass die sinusförmige Spannung über dem Bauteil in Quadratur zum sinusförmigen Strom durch das Bauteil steht. Dies bedeutet, dass das Bauteil abwechselnd Energie aus dem Stromkreis aufnimmt und Energie an den Stromkreis zurückgibt. Ein reiner Blindwiderstand gibt keine Leistung ab. ⓘ

Kapazitiver Blindwiderstand

Ein Kondensator hat eine rein reaktive Impedanz, die umgekehrt proportional zur Signalfrequenz ist. Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern, die durch einen Isolator, auch Dielektrikum genannt, getrennt sind. ⓘ

$X_{C}=-(\omega C)^{-1}=-(2\pi fC)^{-1}\quad$ ⓘ

Das Minuszeichen bedeutet, dass der Imaginärteil der Impedanz negativ ist. ⓘ

Bei niedrigen Frequenzen nähert sich ein Kondensator einem offenen Stromkreis, so dass kein Strom durch ihn fließt. ⓘ

Eine an einen Kondensator angelegte Gleichspannung führt dazu, dass sich auf einer Seite Ladung ansammelt; das elektrische Feld, das durch die angesammelte Ladung entsteht, ist die Quelle des Widerstands gegen den Strom. Wenn das mit der Ladung verbundene Potenzial die angelegte Spannung genau ausgleicht, geht der Strom gegen Null. ⓘ

Ein Kondensator, der von einer Wechselspannung gespeist wird, kann nur eine begrenzte Ladung ansammeln, bevor die Potenzialdifferenz das Vorzeichen wechselt und sich die Ladung auflöst. Je höher die Frequenz ist, desto weniger Ladung sammelt sich an und desto geringer ist der Widerstand gegen den Strom. ⓘ

Induktiver Blindwiderstand

Induktiver Blindwiderstand $X_{L}$ ist proportional zur Signalfrequenz $f$ und der Induktivität $L$. ⓘ

$X_{L}=\omega L=2\pi fL\quad$ ⓘ

Eine Induktivität besteht aus einem gewickelten Leiter. Das Faraday'sche Gesetz der elektromagnetischen Induktion gibt die Gegen-EMK ${\mathcal {E}}$ (Spannung gegen Strom) aufgrund einer Änderungsrate der magnetischen Flussdichte $B$ durch eine Stromschleife. ⓘ

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\quad$ ⓘ

Für einen Induktor, der aus einer Spule mit $N$ Schleifen besteht, ergibt dies:

${\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}\quad$ ⓘ

Die Gegen-EMK ist die Quelle für den Widerstand gegen den Stromfluss. Ein konstanter Gleichstrom hat eine Änderungsrate von Null und sieht einen Induktor als Kurzschluss (er besteht typischerweise aus einem Material mit geringem Widerstand). Ein Wechselstrom hat eine zeitlich gemittelte Änderungsrate, die proportional zur Frequenz ist, wodurch der induktive Blindwiderstand mit der Frequenz zunimmt. ⓘ

Gesamtreaktanz

Der Gesamtwiderstand ist gegeben durch ⓘ

${X=X_{L}+X_{C}}$ (beachten Sie, dass $X_{C}$ negativ ist) ⓘ

so dass die Gesamtimpedanz beträgt ⓘ

$\ Z=R+jX$ ⓘ

Kombinieren von Impedanzen

Die Gesamtimpedanz vieler einfacher Komponentennetzwerke kann mit den Regeln für die Kombination von Impedanzen in Reihe und parallel berechnet werden. Die Regeln sind identisch mit denen für die Kombination von Widerständen, mit der Ausnahme, dass die Zahlen im Allgemeinen komplexe Zahlen sind. Im allgemeinen Fall sind jedoch zusätzlich zur Reihen- und Parallelschaltung äquivalente Impedanztransformationen erforderlich. ⓘ

Reihenschaltung

Bei in Reihe geschalteten Bauteilen ist der Strom durch jedes Schaltungselement gleich; die Gesamtimpedanz ist die Summe der Impedanzen der Bauteile. ⓘ

$\ Z_{\text{eq}}=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}\quad$ ⓘ

Oder explizit im Real- und Imaginärteil:

$\ Z_{\text{eq}}=R+jX=(R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n})+j(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})\quad$ ⓘ

Parallelschaltung

Bei parallel geschalteten Bauteilen ist die Spannung an jedem Schaltungselement gleich; das Verhältnis der Ströme durch zwei beliebige Elemente ist das umgekehrte Verhältnis ihrer Impedanzen. ⓘ

Die inverse Gesamtimpedanz ist also die Summe der inversen Impedanzen der Komponenten:

${\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}$ ⓘ

oder, wenn n = 2:

${\frac {1}{Z_{\text{eq}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}={\frac {Z_{1}+Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}}}$

$\ Z_{\text{eq}}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ ⓘ

Die äquivalente Impedanz $Z_{\text{eq}}$ lässt sich aus dem äquivalenten Serienwiderstand $R_{\text{eq}}$ und Reaktanz $X_{\text{eq}}$. ⓘ

${\begin{aligned}Z_{\text{eq}}&=R_{\text{eq}}+jX_{\text{eq}}\\R_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\\X_{\text{eq}}&={\frac {(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2})}{(R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}}\end{aligned}}$ ⓘ

Messung

Die Messung der Impedanz von Geräten und Übertragungsleitungen ist ein praktisches Problem in der Funktechnik und anderen Bereichen. Die Impedanzmessungen können bei einer Frequenz durchgeführt werden, oder es kann die Veränderung der Geräteimpedanz über einen Frequenzbereich von Interesse sein. Die Impedanz kann direkt in Ohm gemessen oder angezeigt werden, oder es können andere, mit der Impedanz zusammenhängende Werte angezeigt werden; bei einer Funkantenne kann beispielsweise das Stehwellenverhältnis oder der Reflexionskoeffizient nützlicher sein als die Impedanz allein. Die Messung der Impedanz erfordert die Messung des Betrags von Spannung und Strom und der Phasendifferenz zwischen ihnen. Die Impedanz wird häufig mit "Brücken"-Methoden gemessen, ähnlich wie bei der Wheatstone-Brücke für Gleichstrom; eine kalibrierte Referenzimpedanz wird eingestellt, um die Auswirkungen der Impedanz des zu prüfenden Geräts auszugleichen. Die Impedanzmessung in leistungselektronischen Geräten kann die gleichzeitige Messung und Versorgung des Geräts mit Strom erfordern. ⓘ

Die Impedanz eines Geräts kann durch komplexe Division von Spannung und Strom berechnet werden. Die Impedanz des Geräts kann berechnet werden, indem man eine sinusförmige Spannung an das Gerät in Reihe mit einem Widerstand anlegt und die Spannung über dem Widerstand und über dem Gerät misst. Die Durchführung dieser Messung durch Wobbeln der Frequenzen des angelegten Signals liefert die Phase und den Betrag der Impedanz. ⓘ

Die Verwendung einer Impulsantwort kann in Kombination mit der schnellen Fourier-Transformation (FFT) zur schnellen Messung der elektrischen Impedanz verschiedener elektrischer Geräte verwendet werden. ⓘ

Das LCR-Meter (Induktivität (L), Kapazität (C) und Widerstand (R)) ist ein Gerät, das üblicherweise zur Messung der Induktivität, des Widerstands und der Kapazität eines Bauteils verwendet wird; aus diesen Werten lässt sich die Impedanz bei jeder Frequenz berechnen. ⓘ

Beispiel

Betrachten Sie eine LC-Tankschaltung. Die komplexe Impedanz der Schaltung ist

$Z(\omega )={\frac {j\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}.$

Es ist sofort ersichtlich, dass der Wert von ${\textstyle {1 \over |Z|}}$ minimal ist (in diesem Fall sogar gleich 0), wenn

$\omega ^{2}LC=1.$

Daher ist die Grundresonanz-Winkelfrequenz

$\omega ={1 \over {\sqrt {LC}}}.$ ⓘ

Variable Impedanz

Im Allgemeinen können weder Impedanz noch Admittanz mit der Zeit variieren, da sie für komplexe Exponentiale definiert sind, bei denen -∞ < t < +∞. Wenn sich das komplexe exponentielle Verhältnis von Spannung und Strom über die Zeit oder die Amplitude ändert, kann das Schaltungselement nicht im Frequenzbereich beschrieben werden. Viele Komponenten und Systeme (z. B. Varicaps, die in Radiotunern verwendet werden) können jedoch nichtlineare oder zeitlich veränderliche Spannungs-/Stromverhältnisse aufweisen, die für kleine Signale und über kleine Beobachtungsfenster linear zeitinvariant (LTI) zu sein scheinen, so dass sie grob beschrieben werden können, als hätten sie eine zeitlich veränderliche Impedanz. Diese Beschreibung ist eine Annäherung: Bei großen Signalschwankungen oder großen Beobachtungsfenstern ist das Verhältnis zwischen Spannung und Strom nicht LTI und kann nicht durch eine Impedanz beschrieben werden. ⓘ

Berechnung

Die Impedanzen und ihre unterschiedlichen Namen ⓘ

Ri	Ra
Innenwiderstand	Außenwiderstand
Quellwiderstand	Lastwiderstand
Ausgangswiderstand	Eingangswiderstand
Wellenimpedanz	Abschlusswiderstand

Die Impedanz ist der Quotient aus den Augenblickswerten von komplexer Wechselspannung ${\underline {u}}$ und komplexem Wechselstrom ${\underline {i}}$ (Zur Darstellung einer Wechselgröße als komplexe Wechselgröße siehe Komplexe Wechselstromrechnung).

${\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}$ ⓘ

Der Scheinwiderstand $Z$ ergibt sich als Quotient aus den reellen Amplituden oder aus den Effektivwerten der Wechselspannung $u$ und des Wechselstroms $i$

$Z={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}.$

Hierbei kürzen sich im Falle der Effektivwerte die normierenden Faktoren. ⓘ

Bei der elektromagnetischen Wellenimpedanz werden Spannung und Stromstärke durch andere, entsprechende Größen ersetzt: Die Spannung durch die Feldstärke und die Stromstärke durch die magnetische Flussdichte sowie in der Akustik die Spannung durch den Schalldruck und die Stromstärke durch die Schallschnelle. ⓘ

Anwendungen

Impedanzverlauf eines Lautsprechers als Funktion der Frequenz ⓘ

Die Impedanz hat Bedeutung bei der Anpassung von Hochfrequenzleitungen, aber auch bei der Wellenausbreitung im freien Raum. Wenn zum Beispiel die Eingangsimpedanz eines Gerätes nicht mit der Impedanz der Leitung übereinstimmt, kommt es zu Reflexionen, was die Leistungsübertragung mindert und was zu Resonanzerscheinungen und damit zu einem nichtlinearen Frequenzgang führen kann. ⓘ

Elektrodynamische Lautsprecher werden mit Wechselstrom betrieben, deshalb verursacht der induktive Widerstand der eingebauten Schwingspule eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, die frequenzabhängig ist. Aus diesem Grund wird nicht vom Widerstand gesprochen, sondern von der Impedanz des Lautsprechers. ⓘ

Werden Impulse durch Kabel übertragen, hat ein ohmscher Widerstand der Leitung geringen Bezug zur Impedanz des Kabels. Hier kommt es fast immer darauf an, Reflexionen der Impulse am entgegengesetzten Ende des Kabels zu vermeiden. Der dazu nötige Abschlusswiderstand ist bei verlustfreien Leitungen praktisch reell, also ein ohmscher Widerstand. Dieser Wert wird als Wellenimpedanz oder Leitungswellenwiderstand des Kabels bezeichnet. Dieser kann abhängig von den Leitungsverlusten bei niedrigen Frequenzen komplexwertig und stark frequenzabhängig werden. Er kann mittels Zeitbereichsreflektometrie bestimmt werden. ⓘ

In der Biologie kann mittels Electric Cell-Substrate Impedance Sensing die Impedanz genutzt werden, um Formveränderungen bei tierischen Zellen nachzuweisen. Bei in vitro Zellkulturen wird die elektrische Impedanz bei einer festen Frequenz als TEER-Wert angegeben. ⓘ

Die elektrochemische Impedanzspektroskopie ist eine wichtige Untersuchungsmethode der Elektrochemie, die sowohl in der Grundlagenforschung als auch zur Optimierung verschiedener elektrochemischer Anwendungen (z. B. Energiespeicher wie Batterien oder Brennstoffzellen, elektrochemische Sensoren wie z. B. Sauerstoffsonden) genutzt wird. ⓘ

Darstellung

Die Impedanz hat die Einheit Ohm mit dem Einheitenzeichen Ω. In den zwei Darstellungen als komplexe Größe ${\underline {Z}}$ lassen sich ihre Bestandteile und deren Bedeutung ablesen:

• Bei der Formulierung in Polarkoordinaten steht der Betrag $Z$ der komplexen Größe ${\underline {Z}}$ für den Scheinwiderstand; er ergibt im Zeigerdiagramm die Länge des Zeigers. Die Winkelangabe $\varphi$ steht für die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Stromstärke; sie ergibt im Zeigerdiagramm die Drehung des Zeigers gegenüber der reellen Achse:

${\underline {Z}}=Z\ e^{\mathrm {j} \varphi }=Z\ (\cos \varphi +\mathrm {j} \sin \varphi )\ .$

• Bei der Formulierung in kartesischen Koordinaten steht der Realteil für den Wirkwiderstand (Resistanz) oder ohmschen Widerstand $R$, der die übertragene Wirkleistung umsetzt. Der Imaginärteil steht für den Blindwiderstand (Reaktanz) $X$, der keine Wirkleistung umsetzt, sondern Energie speichert und nach einer viertel Periodendauer an den Generator zurückspeist (siehe Blindleistung):

${\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X\ .$ ⓘ

In einem Verbraucher mit einer Induktivität $L$ hat diese einen positiven (induktiven) Blindwiderstand $X=X_{L}=\omega L>0$; die Spannung eilt dem Strom vor. Dabei steht $\omega$ für die Kreisfrequenz der Schwingung. In einem Verbraucher mit einer Kapazität $C$ hat diese hingegen einen negativen (kapazitiven) Blindwiderstand $X=X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}<0$; die Spannung eilt dem Strom nach. (Zur verwendeten Vorzeichenkonvention siehe Anmerkung unter Blindwiderstand, zur Herleitung siehe unter Komplexe Wechselstromrechnung). ⓘ

Ersatzschaltbild eines Kondensators bei höherer Frequenz (oben); Darstellung der zugehörigen Impedanz als Zeigerdiagramm in der komplexen Ebene (unten) ⓘ

Im Zeigerdiagramm für ${\underline {Z}}$ lässt sich ablesen, wie sich die Komponente verhält,

• induktiv: Zeiger im ersten (oberen rechten) Quadranten des Koordinatensystems, positiver Imaginärteil, $0<\varphi <\pi /2$ oder
• kapazitiv: Zeiger im vierten (unteren rechten) Quadranten, negativer Imaginärteil, $-\pi /2<\varphi <0$.

Den Scheinwiderstand liefert die pythagoreische Addition der Wirk- und der Blindwiderstände:

$Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}\ .$

Bei technischen Geräten wird häufig nur dieser Betrag der Impedanz, also der Scheinwiderstand, angegeben. In einem allgemeinen Netzwerk aus ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten ist dieser jedoch frequenzabhängig. ⓘ

Lautsprecher haben stark frequenzabhängige Impedanzen – es wird jedoch ein Nennwert (z. B. 4 Ω oder 8 Ω) angegeben. Nach internationalem Standard (IEC 60268) darf die im Frequenzbereich vorkommende niedrigste Impedanz diesen Nennwert um nicht mehr als 20 % unterschreiten. Höhere Impedanzen bei anderen Frequenzen sind beliebig zulässig. ⓘ

Bei Hochfrequenz-Kabeln wird die (bauartbedingte) Kennimpedanz als Wellenwiderstand bezeichnet. Er beträgt bei Koaxialkabeln 50 Ω bis 100 Ω und bei symmetrischen (Zweidraht-)Leitungen 110 Ω bis 300 Ω. ⓘ

Bei Antennen wird die Eingangsimpedanz auch Fußpunktwiderstand genannt, er sollte bei der Frequenz, für welche die Antenne vorgesehen ist, reell sein und mit der Impedanz des Kabels übereinstimmen (z. B. 60 Ω oder 240 Ω). ⓘ

Impedanzanpassung

Siehe auch: Reflexion bei elektrischen Leitungen, Impedanzanpassung und Wellenimpedanz

Bei der Übertragung von Wechselspannung kommt es zu Reflexionen von Wellen, wenn sich die Impedanz einer Leitung oder des Übertragungsmittels ändert. Dies ist grundsätzlich nicht an die Anzahl der Wellenlängen auf einer Leitung gebunden, bei im Verhältnis zur Wellenlänge kurzen Übertragungswegen wirkt sich aber die Änderung der Impedanz des Übertragungsmittels kaum aus. Am Ort der Impedanzänderung wird ein Teil der ankommenden Welle reflektiert. Der Betrag des Reflexionsfaktors $r$ liegt zwischen 0 und 1. Wenn sein Betrag 1 ist, wird die gesamte Welle reflektiert und bei $r$ = 0 (das bedeutet $Z_{1}=Z_{2}$) tritt keine Reflexion auf, in diesem Fall liegt Impedanzanpassung vor. Diese ist bei Hochfrequenzleitungen und bei der elektromagnetischen Wellenausbreitung oft erwünscht.

$r={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}$ ⓘ