Blindwiderstand

In elektrischen Schaltkreisen ist der Blindwiderstand der Widerstand, der dem Wechselstrom durch Induktivität oder Kapazität entgegengesetzt wird. Ein größerer Blindwiderstand führt zu einem geringeren Strom bei gleicher angelegter Spannung. Der Blindwiderstand ähnelt in dieser Hinsicht dem Widerstand, unterscheidet sich aber insofern, als der Blindwiderstand nicht zur Ableitung von elektrischer Energie in Form von Wärme führt. Stattdessen wird die Energie kurzzeitig im Blindwiderstand gespeichert und eine Viertelstunde später wieder in den Stromkreis eingespeist, während ein Widerstand kontinuierlich Energie verliert. ⓘ

Der Blindwiderstand wird zur Berechnung von Amplituden- und Phasenänderungen eines sinusförmigen Wechselstroms (AC) verwendet, der durch ein Schaltungselement fließt. Wie der Widerstand wird auch der Blindwiderstand in Ohm gemessen, wobei positive Werte den induktiven Blindwiderstand und negative den kapazitiven Blindwiderstand angeben. Er wird mit dem Symbol $X$. Ein idealer Widerstand hat einen Blindwiderstand von Null, während ideale Induktivitäten und Kondensatoren einen Widerstand von Null haben. Mit zunehmender Frequenz steigt der induktive Blindwiderstand und sinkt der kapazitive Blindwiderstand. ⓘ

Vergleich zum Widerstand

Der Blindwiderstand ist dem Widerstand insofern ähnlich, als ein größerer Blindwiderstand zu kleineren Strömen bei gleicher angelegter Spannung führt. Außerdem kann ein Stromkreis, der ausschließlich aus Elementen besteht, die nur einen Blindwiderstand (und keinen Widerstand) aufweisen, auf die gleiche Weise behandelt werden wie ein Stromkreis, der ausschließlich aus Widerständen besteht. Dieselben Techniken können auch verwendet werden, um Elemente mit Reaktanz mit Elementen mit Widerstand zu kombinieren, aber dazu sind normalerweise komplexe Zahlen erforderlich. Dies wird weiter unten im Abschnitt über Impedanz behandelt. ⓘ

Es gibt jedoch einige wichtige Unterschiede zwischen Reaktanz und Widerstand. Erstens ändert der Blindwiderstand die Phase, so dass der durch das Element fließende Strom um eine Viertelstunde gegenüber der Phase der an das Element angelegten Spannung verschoben wird. Zweitens wird in einem reinen Reaktanzelement keine Leistung abgeleitet, sondern gespeichert. Drittens können die Blindwiderstände negativ sein, so dass sie sich gegenseitig "aufheben" können. Schließlich haben die wichtigsten Schaltungselemente, die einen Blindwiderstand haben (Kondensatoren und Induktivitäten), einen frequenzabhängigen Blindwiderstand, im Gegensatz zu Widerständen, die für alle Frequenzen den gleichen Widerstand haben, zumindest im Idealfall. ⓘ

Der Begriff Reaktanz wurde erstmals vom französischen Ingenieur M. Hospitalier in L'Industrie Electrique am 10. Mai 1893 vorgeschlagen. Er wurde im Mai 1894 vom amerikanischen Institute of Electrical Engineers offiziell übernommen. ⓘ

Kapazitiver Blindwiderstand

Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern, die durch einen Isolator, auch Dielektrikum genannt, getrennt sind. ⓘ

Der kapazitive Blindwiderstand ist ein Widerstand gegen die Änderung der Spannung an einem Element. Der kapazitive Blindwiderstand $X_{C}$ ist umgekehrt proportional zur Signalfrequenz $f$ (oder Winkelfrequenz $\omega$) und der Kapazität $C$. ⓘ

In der Literatur gibt es zwei Möglichkeiten, den Blindwiderstand für einen Kondensator zu definieren. Zum einen wird der Reaktanzbegriff einheitlich als Imaginärteil der Impedanz verwendet, wobei der Reaktanzwert eines Kondensators eine negative Zahl ist, ⓘ

$X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}=-{\frac {1}{2\pi fC}}$. ⓘ

Eine andere Möglichkeit besteht darin, den kapazitiven Blindwiderstand als eine positive Zahl zu definieren, ⓘ

$X_{C}={\frac {1}{\omega C}}={\frac {1}{2\pi fC}}$. ⓘ

In diesem Fall muss man jedoch daran denken, ein negatives Vorzeichen für die Impedanz eines Kondensators hinzuzufügen, d. h. $Z_{c}=-jX_{c}$. ⓘ

Bei $f=0$ist der Blindwiderstand des Kondensators unendlich groß und verhält sich wie ein offener Stromkreis (es fließt kein Strom durch das Dielektrikum). Mit steigender Frequenz nimmt der Blindwiderstand ab, so dass mehr Strom fließen kann. Wenn $f$ nähert sich $\infty$nähert sich der Blindwiderstand des Kondensators $0$und verhält sich wie ein Kurzschluss. ⓘ

Das Anlegen einer Gleichspannung an einen Kondensator bewirkt, dass sich auf der einen Seite eine positive Ladung und auf der anderen Seite eine negative Ladung ansammelt; das elektrische Feld, das durch die angesammelte Ladung entsteht, ist die Quelle des Widerstands gegen den Strom. Wenn das mit der Ladung verbundene Potenzial die angelegte Spannung genau ausgleicht, geht der Strom gegen Null. ⓘ

Ein Kondensator, der mit Wechselstrom betrieben wird (ideale Wechselstromquelle), kann nur eine begrenzte Menge an Ladung ansammeln, bevor die Potenzialdifferenz ihre Polarität ändert und die Ladung an die Quelle zurückgegeben wird. Je höher die Frequenz ist, desto weniger Ladung kann sich ansammeln und desto geringer ist der Widerstand gegen den Strom. ⓘ

Induktiver Blindwiderstand

Der induktive Blindwiderstand ist eine Eigenschaft einer Spule und beruht auf der Tatsache, dass ein elektrischer Strom ein Magnetfeld um ihn herum erzeugt. Im Zusammenhang mit einem Wechselstromkreis (obwohl dieses Konzept immer dann gilt, wenn sich der Strom ändert) ändert sich dieses Magnetfeld ständig, da der Strom hin und her schwingt. Diese Änderung des Magnetfelds führt dazu, dass ein anderer elektrischer Strom in derselben Leitung fließt (Gegen-EMK), und zwar in einer Richtung, die dem Fluss des ursprünglich für die Erzeugung des Magnetfelds verantwortlichen Stroms entgegengesetzt ist (Lenzsche Regel). Der induktive Blindwiderstand ist also ein Widerstand gegen die Änderung des Stroms durch ein Element. ⓘ

Bei einer idealen Induktivität in einem Wechselstromkreis führt die hemmende Wirkung auf den Stromfluss zu einer Verzögerung oder einer Phasenverschiebung des Wechselstroms gegenüber der Wechselspannung. Bei einer idealen Induktivität (ohne Widerstand) hinkt der Strom der Spannung um eine Viertelperiode oder 90° hinterher. ⓘ

In Stromversorgungssystemen kann die induktive Reaktanz (und die kapazitive Reaktanz, wobei die induktive Reaktanz häufiger vorkommt) die Leistungskapazität einer Wechselstromübertragungsleitung begrenzen, da die Leistung nicht vollständig übertragen wird, wenn Spannung und Strom phasenverschoben sind (siehe oben). Das heißt, dass in einem phasenverschobenen System zwar Strom fließt, aber zu bestimmten Zeiten keine Wirkleistung übertragen wird, weil es Punkte gibt, an denen der momentane Strom positiv ist, während die momentane Spannung negativ ist, oder umgekehrt, was eine negative Leistungsübertragung bedeutet. Folglich wird keine echte Arbeit verrichtet, wenn die Leistungsübertragung "negativ" ist. Allerdings fließt auch dann noch Strom, wenn ein System phasenverschoben ist, was dazu führt, dass sich die Übertragungsleitungen aufgrund des Stromflusses erwärmen. Folglich können sich die Übertragungsleitungen nur bis zu einem gewissen Grad erwärmen (andernfalls würden sie aufgrund der Wärmeausdehnung der metallischen Übertragungsleitungen physisch zu stark durchhängen), so dass die Betreiber von Übertragungsleitungen eine "Obergrenze" für die Strommenge haben, die durch eine bestimmte Leitung fließen kann, und eine übermäßige induktive Reaktanz kann die Leistungskapazität einer Leitung begrenzen. Stromversorger setzen Kondensatoren ein, um die Phase zu verschieben und die Verluste je nach Verbrauchsmuster zu minimieren. ⓘ

Induktiver Blindwiderstand $X_{L}$ ist proportional zur Frequenz des sinusförmigen Signals $f$ und der Induktivität $L$die von der physikalischen Form der Induktivität abhängt: $X_{L}=\omega L=2\pi fL$. ⓘ

Der durchschnittliche Strom, der durch eine Induktivität $L$ in Reihe mit einer sinusförmigen Wechselspannungsquelle mit RMS-Amplitude $A$ und Frequenz $f$ ist gleich:

$I_{L}={A \over \omega L}={A \over 2\pi fL}.$ ⓘ

Da eine Rechteckwelle mehrere Amplituden bei sinusförmigen Oberschwingungen hat, ist der durchschnittliche Strom, der durch eine Induktivität fließt $L$ in Reihe mit einer Rechteck-Wechselspannungsquelle mit RMS-Amplitude $A$ und Frequenz $f$ ist gleich:

$I_{L}={A\pi ^{2} \over 8\omega L}={A\pi \over 16fL}$

so dass es so aussieht, als ob die induktive Reaktanz gegenüber einer Rechteckwelle etwa 19 % kleiner wäre $X_{L}={16 \over \pi }fL$ als die Reaktanz gegenüber der Sinuswechselspannung. ⓘ

Jeder Leiter mit endlichen Abmessungen hat eine Induktivität; die Induktivität wird durch die vielen Windungen in einer elektromagnetischen Spule vergrößert. Das Faraday'sche Gesetz der elektromagnetischen Induktion gibt die Gegen-EMK ${\mathcal {E}}$ (Spannung, die dem Strom entgegengesetzt ist) aufgrund einer Änderungsrate der magnetischen Flussdichte $\scriptstyle {B}$ durch eine Stromschleife. ⓘ

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}$ ⓘ

Für einen Induktor, der aus einer Spule mit $N$ Schleifen besteht, ergibt dies:

${\mathcal {E}}=-N{d\Phi _{B} \over dt}$. ⓘ

Die Gegen-EMK ist die Quelle für den Widerstand gegen den Stromfluss. Ein konstanter Gleichstrom hat eine Änderungsrate von Null und sieht einen Induktor als Kurzschluss (er besteht typischerweise aus einem Material mit geringem Widerstand). Ein Wechselstrom hat eine zeitlich gemittelte Änderungsrate, die proportional zur Frequenz ist, was zu einer Zunahme der induktiven Reaktanz mit der Frequenz führt. ⓘ

Impedanz

Sowohl der Blindwiderstand ${X}$ und Widerstand ${R}$ sind Komponenten der Impedanz ${\mathbf {Z} }$.

$\mathbf {Z} =R+\mathbf {j} X$

wobei:

• $\mathbf {Z}$ ist die komplexe Impedanz, gemessen in Ohm;
• $R$ der in Ohm gemessene Widerstand ist. Er ist der Realteil der Impedanz: ${R={\text{Re}}{(\mathbf {Z} )}}$
• $X$ ist die Reaktanz, gemessen in Ohm. Dies ist der Imaginärteil der Impedanz: ${X={\text{Im}}{(\mathbf {Z} )}}$
• $\mathbf {j}$ ist die Quadratwurzel aus minus eins, gewöhnlich dargestellt durch $\mathbf {i}$ in nicht-elektrischen Formeln. $\mathbf {j}$ wird verwendet, um die imaginäre Einheit nicht mit der Stromstärke zu verwechseln, die in der Regel wie folgt dargestellt wird $\mathbf {i}$. ⓘ

Wenn sowohl ein Kondensator als auch eine Induktivität in einem Stromkreis in Reihe geschaltet sind, sind ihre Beiträge zur Gesamtimpedanz des Stromkreises entgegengesetzt. Kapazitiver Blindwiderstand $X_{C}$ und induktiver Blindwiderstand $X_{L}$ tragen zum Gesamtwiderstand $X$ wie folgt bei:

${X=X_{L}+X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}$

wobei:

• $X_{L}$ ist der induktive Blindwiderstand, gemessen in Ohm;
• $X_{C}$ ist der kapazitive Blindwiderstand, gemessen in Ohm;
• $\omega$ ist die Winkelfrequenz, $2\pi$ mal die Frequenz in Hz. ⓘ

Daraus folgt:

• wenn $\scriptstyle X>0$ist der Gesamtwiderstand induktiv;
• wenn $\scriptstyle X=0$dann ist die Impedanz rein ohmsch;
• wenn $\scriptstyle X<0$ist der Gesamtreaktanzwert kapazitiv. ⓘ

Beachten Sie jedoch, dass wenn $X_{L}$ und $X_{C}$ per Definition als positiv angenommen werden, dann ändert sich die Zwischenformel in eine Differenz:

${X=X_{L}-X_{C}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}$ ⓘ

Der Endwert ist jedoch derselbe. ⓘ

Phasenbeziehung

Die Phase der Spannung an einem reinen Blindwiderstand (d. h. ohne parasitären Widerstand) folgt dem Strom um ${\tfrac {\pi }{2}}$ Bogenmaß für eine kapazitive Reaktanz und führt den Strom um ${\tfrac {\pi }{2}}$ Bogenmaß für eine induktive Reaktanz. Ohne Kenntnis des Widerstands und der Reaktanz lässt sich das Verhältnis zwischen Spannung und Strom nicht bestimmen. ⓘ

Der Ursprung der unterschiedlichen Vorzeichen für kapazitive und induktive Reaktanz ist der Phasenfaktor $e^{\pm \mathbf {j} {\frac {\pi }{2}}}$ in der Impedanz. ⓘ

${\begin{aligned}\mathbf {Z} _{C}&={1 \over \omega C}e^{-\mathbf {j} {\pi \over 2}}=\mathbf {j} \left({-{\frac {1}{\omega C}}}\right)=\mathbf {j} X_{C}\\\mathbf {Z} _{L}&=\omega Le^{\mathbf {j} {\pi \over 2}}=\mathbf {j} \omega L=\mathbf {j} X_{L}\quad \end{aligned}}$ ⓘ

Bei einer reaktiven Komponente ist die Sinusspannung über der Komponente quadratur (eine ${\tfrac {\pi }{2}}$ Phasendifferenz) mit dem sinusförmigen Strom durch das Bauteil. Das Bauteil nimmt abwechselnd Energie aus dem Stromkreis auf und gibt dann Energie an den Stromkreis zurück, so dass eine reine Reaktanz keine Leistung abgibt. ⓘ

Induktiver und kapazitiver Blindwiderstand

Kondensatoren und Spulen sind Energiespeicher. Beim Fließen von Strom baut ein Kondensator ein elektrisches Feld auf; beim Anliegen einer Spannung an einer Spule baut sie ein magnetisches Feld auf. Einer Strom- oder Spannungsquelle wird während dieser Zeit elektrische Energie entzogen. Diese Energie kann jedoch bei einer Umkehr der Strom- bzw. Spannungsrichtung wieder zur Quelle zurückgeführt werden – anders als bei einem Wirkwiderstand. Der Verlauf des Energietransportes ist bestimmt durch den Verlauf der Spannung bzw. des Stromes. ⓘ

Der am häufigsten betrachtete Verlauf in der Elektrotechnik ist der von sinusförmigen Wechselgrößen. In diesem Fall folgt die Auf- und Entladung des Energiespeichers periodisch durch einen sinusförmigen Spannungsverlauf und einen phasenverschobenen sinusförmigen Stromverlauf („Blindstrom“). Das Verhältnis zwischen der Spannung und der um eine viertel Periodendauer verschobenen Stromstärke bezeichnet man als Blindwiderstand, die zwischen Quelle und Energiespeicher pendelnde Energie als Blindenergie. ⓘ

Bei einem transienten, einmaligen Auflade- bzw. Entladevorgang folgt der Verlauf der aufgenommenen bzw. abgegebenen Energie einer Exponentialfunktion. Ermittelt werden können diese zeitlichen Verläufe im Speziellen durch das Lösen von Differentialgleichungen. ⓘ

Blindwiderstand bei sinusförmigen Signalen

Die Herleitung der folgenden Gleichungen findet sich unter den Stichworten Komplexe Wechselstromrechnung und Elektrischer Widerstand. ⓘ

Blindwiderstand bei nicht sinusförmigen Signalen

Bei einem nicht sinusförmigen Verlauf von Spannung oder Strom lässt sich kein eindeutiger Blindwiderstand angeben. Jedes periodische Signal lässt sich durch eine Summe von sinusförmigen Signalen unterschiedlicher Frequenzen darstellen, was die Grundlage der Fourieranalyse darstellt. Diese zusätzlich zur sinusförmigen Grundschwingung auftretenden Oberschwingungen müssen dabei jede für sich beachtet werden und deren Blindwiderstände ermittelt werden. Ein einziger Blindwiderstandswert lässt sich nicht angeben, sondern es ist eine Überlagerung verschiedener Blindwiderstände bei unterschiedlichen Frequenzen und unterschiedlichen Spannungs- bzw. Stromamplituden zu ermitteln. Damit verzerrt sich der Stromverlauf gegenüber dem Spannungsverlauf. Dieser Fall tritt beispielsweise bei nichtlinearen Verbrauchern, wie Schaltnetzteilen, oder bei induktiven Bauelementen, welche sich in magnetischer Sättigung befinden, auf. ⓘ

Blindwiderstand eines elektrischen Verbrauchers am Stromnetz

Ein idealer linearer Blindwiderstand verursacht nur Blindleistung im Netz, verbraucht jedoch keine Wirkleistung. Die zum Auf- und Abbau elektrischer oder magnetischer Felder benötigte elektrische Energie wird wieder an den Erzeuger zurückgegeben, belastet jedoch die Leitungen. ⓘ

Blindwiderstände treten allerdings nie allein auf, da es in der Praxis keine verlustlosen Stromkreise gibt. So sind Blindwiderstände immer mit Wirkwiderständen verknüpft, die tatsächlich Leistung umsetzen. ⓘ

Überwiegt in einem Verbraucher der induktive Blindwiderstand gegenüber dem kapazitiven, so wird der Verbraucher als ohmsch-induktiv bezeichnet, anderenfalls als ohmsch-kapazitiv. ⓘ

Beispiel: Die Vorschaltdrossel bei Leuchtstoff- und Gasentladungslampen ist ein induktiver Vorwiderstand (Blindwiderstand) zur Strombegrenzung und verursacht daher gegenüber einem ohmschen Widerstand nur geringe Verluste (ohmsche und magnetische Verluste). ⓘ

Folgende Verbraucher sind in der Regel ohmsch-induktiv:

• Elektromotoren
• Transformatoren
• Leuchtstoff- und Gasentladungslampen mit konventionellem Vorschaltgerät, wenn nicht kompensiert
• Schütze ⓘ

Folgende Verbraucher sind in der Regel ohmsch-kapazitiv:

• Schaltnetzteile ohne Leistungsfaktorkorrektur (engl.: Power Factor Correction, PFC), u. a. viele Computernetzteile
• Kondensatornetzteile
• Frequenzumrichter ohne PFC
• Leuchtstofflampen mit einer Reihenschaltung aus Drossel und Kondensator (verwendet zur Blindstrom-Kompensation weiterer Leuchten ohne diese Reihenschaltung)
• Kondensatoren zur Blindleistungskompensation (eigenständige Schaltschränke oder Bestandteil von Leuchten und anderen induktiven Verbrauchern) ⓘ

Die beiden erstgenannten kapazitiven Verbraucher sind – wenn sie keine Schaltungsmaßnahmen zur Leistungsfaktorkorrektur besitzen – aufgrund des Eingangsgleichrichters auch nichtlineare Lasten; sie erzeugen neben Blindleistung daher auch Oberschwingungen im Versorgungsnetz. ⓘ