Gleichheitszeichen

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Gleichheitszeichen
In Unicode	U+003D = EQUALS-Zeichen (=)
Verwandt
Siehe auch	U+2260 ≠ NICHT GLEICH; U+2248 ≈ FAST GLEICH ; U+2261 ≡ IDENTISCH MIT

= ⓘ
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Das Gleichheitszeichen (=, auch Ist-gleich-Zeichen genannt) steht in der Mathematik, der formalen Logik und in den exakten Naturwissenschaften zwischen zwei in ihrem Wert gleichen Ausdrücken. ⓘ

In Unicode und ASCII hat es den Codepunkt U+003D. Es wurde 1557 von Robert Recorde erfunden. ⓘ

Geschichte

Die Etymologie des Wortes "gleich" leitet sich vom lateinischen Wort "æqualis" ab, das "einheitlich", "identisch" oder "gleich" bedeutet, von aequus ("gleich", "eben" oder "gerecht"). ⓘ

Die erste Verwendung eines Gleichheitszeichens, das in moderner Schreibweise 14x+15=71 entspricht. Aus Der Wetzstein von Witte (1557) von Robert Recorde. ⓘ

Recorde's Einführung von "=" ⓘ

Das Symbol =, das heute in der Mathematik allgemein für Gleichheit steht, wurde erstmals vom walisischen Mathematiker Robert Recorde in The Whetstone of Witte (1557) aufgezeichnet. Die ursprüngliche Form des Symbols war viel breiter als die heutige Form. In seinem Buch erläutert Recorde seinen Entwurf der "Gemowe-Linien" (Zwillingslinien, vom lateinischen gemellus)

And to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes : is equalle to : Ich werde ſette, wie ich es oft in woorke vſe, ein Paar Parallelen, oder Gemowe-Zeilen von einer Länge, also: =, bicauſe keine .2. thynges, kann moare equalle sein.

- Und um die mühsame Wiederholung dieser Worte zu vermeiden: "ist gleich" werde ich, wie ich es oft im Arbeitsgebrauch tue, ein Paar Parallelen oder doppelte Linien von einer [gleichen] Länge setzen, also: =, denn keine 2 Dinge können gleicher sein.

"Das Symbol = war nicht sofort populär. Das Symbol || wurde von einigen verwendet, und æ (oder œ), vom lateinischen Wort aequalis, das gleich bedeutet, war bis in die 1700er Jahre weit verbreitet" (History of Mathematics, University of St Andrews). ⓘ

Die Einführung des in England bereits verwendeten = erfolgte auf dem europäischen Kontinent vermutlich erst durch Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). ⓘ

Verwendung in der Mathematik und der Computerprogrammierung

In der Mathematik kann das Gleichheitszeichen als einfache Feststellung eines Sachverhalts in einem bestimmten Fall (x = 2), oder zur Erstellung von Definitionen (Lass x = 2), bedingte Aussagen (wenn x = 2, dann ...), oder um eine universelle Äquivalenz auszudrücken ((x + 1)² = x² + 2x + 1). ⓘ

Die erste wichtige Computerprogrammiersprache, die das Gleichheitszeichen verwendete, war die ursprüngliche Version von Fortran, FORTRAN I, die 1954 entwickelt und 1957 eingeführt wurde. In Fortran dient = als Zuweisungsoperator: X = 2 setzt den Wert von X auf 2. Dies ähnelt in gewisser Weise der Verwendung von = in einer mathematischen Definition, allerdings mit einer anderen Semantik: Der auf = folgende Ausdruck wird zuerst ausgewertet und kann sich auf einen früheren Wert von X. Zum Beispiel könnte die Zuweisung X = X + 2 erhöht den Wert von X um 2. ⓘ

Eine konkurrierende Verwendung in Programmiersprachen wurde durch die ursprüngliche Version von ALGOL eingeführt, die 1958 entworfen und 1960 implementiert wurde. ALGOL enthielt einen relationalen Operator, der auf Gleichheit prüfte und Konstruktionen wie wenn x = 2 mit im Wesentlichen der gleichen Bedeutung von = wie die bedingte Verwendung in der Mathematik. Das Gleichheitszeichen war für diese Verwendung reserviert. ⓘ

Beide Verwendungen sind bis ins frühe 21. Jahrhundert in verschiedenen Programmiersprachen üblich geblieben. Neben Fortran wird = auch in Sprachen wie C, Perl, Python, awk und deren Nachfolgern für Zuweisungen verwendet. In der Pascal-Familie, in Ada, Eiffel, APL und anderen Sprachen wird = jedoch für Gleichheit und nicht für Zuweisung verwendet. ⓘ

Einige wenige Sprachen, wie BASIC und PL/I, haben das Gleichheitszeichen sowohl für Zuweisung als auch für Gleichheit verwendet, je nach Kontext. In den meisten Sprachen, in denen = eine dieser Bedeutungen hat, wird jedoch ein anderes Zeichen oder häufiger eine Zeichenfolge für die andere Bedeutung verwendet. In Anlehnung an ALGOL verwenden die meisten Sprachen, die = für Gleichheit verwenden, := für Zuweisung, obwohl APL mit seinem speziellen Zeichensatz einen nach links zeigenden Pfeil verwendet. ⓘ

Fortran hatte bis zur Veröffentlichung von FORTRAN IV im Jahr 1962 keinen Gleichheitsoperator (es war nur möglich, einen Ausdruck mit Null zu vergleichen, indem man die arithmetische IF-Anweisung verwendete). .EQ. um auf Gleichheit zu testen. Die Sprache B führte die Verwendung von == mit dieser Bedeutung ein, die von ihrem Nachfahren C und den meisten späteren Sprachen übernommen wurde, in denen = eine Zuweisung bedeutet. ⓘ

Das Gleichheitszeichen wird auch bei der Definition von Attribut-Wert-Paaren verwendet, bei denen einem Attribut ein Wert zugewiesen wird. ⓘ

Es gibt auch abgewandelte Formen mit anderer Bedeutung, wie z. B. das Entspricht-Zeichen ( ≙ ) oder das Rundungszeichen ( ≈ ) mit der Bedeutung ungefähr gleich / gerundet. Soll die Ungleichheit zweier Zahlen dargestellt werden, so wird ein durchgestrichenes Gleichheitszeichen ( ≠ ) eingesetzt. Als Zeichen für die Identität zweier arithmetischer Ausdrücke wird eine Form mit drei waagerechten Strichen ( ≡ ) verwendet. ⓘ

Die Abwandlungen := oder =: werden in der Mathematik benutzt, um eine Definition einer Seite durch die andere Seite darzustellen. Dabei stehen die Doppelpunkte immer bei dem zu definierenden Objekt. Das früher dafür verwendete ≡ soll in diesem Sinne nicht mehr verwendet werden (DIN 1302), aber Formen wie ${=}_{\mathrm {def} }$ (DIN 1302) oder ${}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}$ (ISO 31-11) sind möglich. ⓘ

Beispielsweise kann man die Menge A folgendermaßen definieren:

A\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{2;4;7;9\}\ \mathrm {oder} \ A:=\{2;4;7;9\}\ \mathrm {oder} \ \{2;4;7;9\}=:A

. ⓘ

Mehrere Gleichheitszeichen

In PHP steht das dreifache Gleichheitszeichen, ===für Wert- und Typgleichheit, was bedeutet, dass die beiden Ausdrücke nicht nur zu gleichen Werten ausgewertet werden, sondern auch vom gleichen Datentyp sind. Zum Beispiel ist der Ausdruck 0 == falsch ist wahr, aber 0 === falsch ist nicht wahr, weil die Zahl 0 ein ganzzahliger Wert ist, während false ein boolescher Wert ist. ⓘ

JavaScript hat die gleiche Semantik für ===und wird als "Gleichheit ohne Typenzwang" bezeichnet. Allerdings lässt sich in JavaScript das Verhalten von == nicht durch einfache, konsistente Regeln beschrieben werden. Der Ausdruck 0 == falsch ist wahr, aber 0 == undefiniert ist falsch, auch wenn sich beide Seiten des == im booleschen Kontext dasselbe tun. Aus diesem Grund wird manchmal empfohlen, den == Operator in JavaScript zu vermeiden und stattdessen den ===. ⓘ

In Ruby erfordert die Gleichheit unter == erfordert, dass beide Operanden vom gleichen Typ sind, z. B. 0 == falsch ist falsch. Der === Operator ist flexibel und kann für jeden Typ beliebig definiert werden. Zum Beispiel kann ein Wert vom Typ Bereich ein Bereich von Ganzzahlen, z. B. 1800..1899. (1800..1899) == 1844 ist falsch, da die Typen unterschiedlich sind (Range vs. Integer); jedoch (1800..1899) === 1844 ist wahr, da === auf Bereich Werte "Einbeziehung in den Bereich" bedeutet. Unter dieser Semantik ist === nicht symmetrisch; z.B. ist 1844 === (1800..1899) falsch, da es so interpretiert wird, dass es Integer#=== und nicht Range#=== bedeutet. ⓘ

In Python wird == zur Überprüfung der Gleichheit verwendet, so dass 1844 == 1844 wahr ergibt. ⓘ

Andere Verwendungen

Rechtschreibung

Tonbuchstabe

Das Gleichheitszeichen wird in der Orthografie von Budu in Kongo-Kinshasa, in Krumen, Mwan und Dan in der Elfenbeinküste auch als grammatikalischer Tonbuchstabe verwendet. Das für den Tonbuchstaben verwendete Unicode-Zeichen (U+A78A) unterscheidet sich von dem mathematischen Symbol (U+003D). ⓘ

Persönliche Namen

Die Unterschrift von Santos-Dumont, die einen doppelten Bindestrich zeigt, der wie ein Gleichheitszeichen aussieht. ⓘ

Ein möglicherweise einzigartiger Fall des europäischen Gleichheitszeichens in einem Personennamen, insbesondere in einem Doppelnamen, war der des Flugpioniers Alberto Santos-Dumont, von dem nicht nur bekannt ist, dass er häufig einen doppelten Bindestrich, der einem Gleichheitszeichen = zwischen seinen beiden Nachnamen ähnelt, anstelle eines Bindestrichs verwendet hat, sondern der diese Praxis auch persönlich bevorzugt zu haben scheint, um der französischen Ethnizität seines Vaters und der brasilianischen Ethnizität seiner Mutter den gleichen Respekt zu erweisen. ⓘ

Anstelle eines doppelten Bindestrichs wird im Japanischen manchmal das Gleichheitszeichen als Trennzeichen zwischen Namen verwendet. Im Ojibwe wird das auf der Tastatur leicht verfügbare Gleichheitszeichen als Ersatz für einen doppelten Bindestrich verwendet. ⓘ

Linguistik

In linguistischen Interlinearglossen wird das Gleichheitszeichen üblicherweise verwendet, um Klitikgrenzen zu markieren: Das Gleichheitszeichen steht zwischen dem Klitik und dem Wort, an das das Klitik angehängt ist. ⓘ

Chemie

In chemischen Formeln werden die beiden parallelen Linien, die eine Doppelbindung bezeichnen, üblicherweise mit einem Gleichheitszeichen dargestellt. ⓘ

LGBT-Symbol

In den letzten Jahren wurde das Gleichheitszeichen verwendet, um die Rechte von LGBT zu symbolisieren. Das Symbol wird seit 1995 von der Human Rights Campaign verwendet, die sich für die Gleichstellung der Ehe einsetzt, und später von der Organisation Free & Equal der Vereinten Nationen, die sich bei den Vereinten Nationen für die Rechte von LGBT einsetzt. ⓘ

Hassrede

Das Symbol Not Equal (≠) wurde von einigen weißen Rassisten und anderen rassistischen Gruppen übernommen. ⓘ

Telegramme und Telex

Im Morsealphabet wird das Gleichheitszeichen durch die Buchstaben B (-...) und T (-) verschlüsselt, die aneinandergereiht werden (-...-). Die Buchstaben BT stehen für Break Text und werden zwischen Absätze oder Gruppen von Absätzen in Nachrichten gesetzt, die über Telex, eine standardisierte Fernschreibmaschine, gesendet werden. Das Zeichen, das für Break Text steht, wird am Ende eines Telegramms verwendet, um den Text der Nachricht von der Signatur zu trennen. ⓘ

Falsche Verwendung

Das Gleichheitszeichen wird manchmal fälschlicherweise innerhalb eines mathematischen Arguments verwendet, um Rechenschritte auf eine nicht standardisierte Weise zu verbinden, anstatt Gleichheit zu zeigen (insbesondere von Mathematikanfängern). ⓘ

Wenn man zum Beispiel die Summe der Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 Schritt für Schritt ermitteln will, könnte man fälschlicherweise schreiben

1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15.

Strukturell ist dies eine Kurzform für

([(1 + 2 = 3) + 3 = 6] + 4 = 10) + 5 = 15,

aber die Schreibweise ist falsch, da jeder Teil der Gleichheit einen anderen Wert hat. Bei strenger Auslegung würde dies bedeuten, dass

3 = 6 = 10 = 15 = 15.

Eine korrekte Version des Arguments würde lauten

1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15. ⓘ

Diese Schwierigkeit ergibt sich aus der unterschiedlichen Verwendung des Zeichens in der Bildung. In frühen, auf Arithmetik ausgerichteten Klassenstufen kann das Gleichheitszeichen operativ sein; wie die Gleichheitstaste auf einem elektronischen Taschenrechner fordert es das Ergebnis einer Berechnung. Ab dem Algebra-Unterricht nimmt das Zeichen eine relationale Bedeutung an, nämlich die Gleichheit zwischen zwei Berechnungen. Die Verwechslung der beiden Verwendungen des Gleichheitszeichens ist auf Hochschulebene manchmal noch nicht ganz geklärt. ⓘ

Kodierungen

U+003D = GLEICHHEITSZEICHEN (=)

Verwandt:

U+2260 ≠ NICHT GLEICH (≠, &NichtGleich;) ⓘ

Darstellung

Das Gleichheitszeichen wird ASCII mit 61 (dezimal) kodiert, damit als Unicode U+003D (61 dezimal = 3D hexadezimal). Es kann in HTML durch =, = oder = ersetzt werden. ⓘ

Verwendung

Allgemeine Verwendung

Die Glyphe = wird allgemein zur Darstellung von Sachverhalten der Entsprechung, Gleichheit oder Identität, in Mathematik, Informatik und Technik auch der Zuweisung im Sinne einer nachfolgenden Gleichverwendung eingesetzt. ⓘ

Das Gleichheitszeichen wird häufig als Ersatzzeichen des Doppelbindestrichs ⹀ (U+2E40) bzw. dessen japanischer Variante (U+30A0) verwendet. ⓘ

In der Elektrotechnik dient das Gleichheitszeichen zur Kennzeichnung für Gleichspannung. ⓘ

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