Gini-Koeffizient

Weltkarte der Einkommensungleichheit Gini-Koeffizienten nach Ländern (in %). Basierend auf Daten der Weltbank von 1992 bis 2020.

•   Über 50
•   Zwischen 45 und 50
•   Zwischen 40 und 45
•   Zwischen 35 und 40
•   Zwischen 30 und 35
•   Unter 30
•   Keine Daten ⓘ

Eine Karte mit den Gini-Koeffizienten für Vermögen innerhalb der Länder für 2019 ⓘ

Globaler Anteil des Vermögens nach Vermögensgruppen, Credit Suisse, 2021 ⓘ

In den Wirtschaftswissenschaften ist der Gini-Koeffizient (/ˈdʒiːni/ JEE-nee), der auch als Gini-Index oder Gini-Ratio bezeichnet wird, ein Maß für die statistische Streuung, das die Einkommens- oder Vermögensungleichheit innerhalb einer Nation oder einer sozialen Gruppe darstellen soll. Der Gini-Koeffizient wurde von dem Statistiker und Soziologen Corrado Gini entwickelt. ⓘ

Der Gini-Koeffizient misst die Ungleichheit zwischen den Werten einer Häufigkeitsverteilung, z. B. den Einkommensniveaus. Ein Gini-Koeffizient von 0 drückt vollkommene Gleichheit aus, d. h. alle Werte sind gleich (d. h. alle haben das gleiche Einkommen), während ein Gini-Koeffizient von 1 (oder 100 %) die maximale Ungleichheit zwischen den Werten ausdrückt (d. h. für eine große Anzahl von Personen, bei der nur eine Person über das gesamte Einkommen oder den gesamten Verbrauch verfügt und alle anderen nichts haben, beträgt der Gini-Koeffizient nahezu 1). ⓘ

Der Gini-Koeffizient wurde von Corrado Gini als Maß für die Ungleichheit von Einkommen und Vermögen vorgeschlagen. Für die OECD-Länder lag der Einkommens-Gini-Koeffizient im späten 20. Jahrhundert unter Berücksichtigung der Auswirkungen von Steuern und Transferzahlungen zwischen 0,24 und 0,49, wobei Slowenien den niedrigsten und Mexiko den höchsten Wert aufwies. Die afrikanischen Länder wiesen 2008-2009 die höchsten Gini-Koeffizienten vor Steuern auf, wobei Südafrika mit 0,63 bis 0,7 den weltweit höchsten Wert aufwies, obwohl dieser Wert nach Berücksichtigung der Sozialhilfe auf 0,52 und nach Steuern wieder auf 0,47 sinkt. Der globale Einkommens-Gini-Koeffizient im Jahr 2005 wird von verschiedenen Quellen auf 0,61 bis 0,68 geschätzt. ⓘ

Die Interpretation eines Gini-Koeffizienten ist nicht ganz unproblematisch; ein und derselbe Wert kann sich aus vielen verschiedenen Verteilungskurven ergeben. Die demografische Struktur sollte berücksichtigt werden. In Ländern mit einer alternden Bevölkerung oder mit einem Babyboom steigt der Gini-Koeffizient vor Steuern, selbst wenn die reale Einkommensverteilung für erwerbstätige Erwachsene konstant bleibt. Die Wissenschaft hat mehr als ein Dutzend Varianten des Gini-Koeffizienten entwickelt. ⓘ

Gini-Koeffizient (in %) der Einkommensverteilung (Weltbank, 2018)

≤ 30 30–34,9 35–39,9 40–44,9

45–49,9 50–54,9 55–59,9 60–64,9 keine Daten ⓘ

Lorenz-Kurve (rot) der realen Verteilung zur Berechnung des Gini-Koeffizienten und ideale Gleichverteilung (schwarz) ⓘ

Geschichte

Der Gini-Koeffizient wurde von dem italienischen Statistiker Corrado Gini entwickelt und 1912 in seinem Aufsatz Variabilität und Veränderlichkeit (italienisch: Variabilità e mutabilità) veröffentlicht. Aufbauend auf den Arbeiten des amerikanischen Ökonomen Max Lorenz schlug Gini vor, die Differenz zwischen der hypothetischen geraden Linie, die perfekte Gleichheit darstellt, und der tatsächlichen Linie, die die Einkommen der Menschen darstellt, als Maß für die Ungleichheit zu verwenden. ⓘ

Definition

A wird auf B verteilt, beispielsweise wird das Vermögen (A) auf die Bevölkerung (B) verteilt. ⓘ

50 Prozent von B (b1) wird  2,5 Prozent von A zugeordnet (v1).
40 Prozent von B (b2) wird 47,5 Prozent von A zugeordnet (v2).
 9 Prozent von B (b3) wird 27,0 Prozent von A zugeordnet (v3).
 1 Prozent von B (b4) wird 23,0 Prozent von A zugeordnet (v4). ⓘ

In einem ersten Schritt werden die Daten „normalisiert“ dargestellt:

b1 = 0,50     v1 = 0,025          v1/b1 =  0,05
b2 = 0,40     v2 = 0,475          v2/b2 =  1,188
b3 = 0,09     v3 = 0,270          v3/b3 =  3
b4 = 0,01     v4 = 0,230          v4/b4 = 23 ⓘ

Im zweiten Schritt wird der Gini-Koeffizient berechnet. ⓘ

Den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten (GUK) erhält man durch Auswertung einer Lorenz-Kurve. ⓘ

Damit tatsächlich eine Lorenz-Kurve entsteht, müssen gegebenenfalls die obigen Werte umsortiert werden. Alle Werte-Paare $(v_{i},b_{i})$ müssen zunächst so vorsortiert werden, dass gilt:

${\frac {v_{i}}{b_{i}}}\geq {\frac {v_{i-1}}{b_{i-1}}}$ ⓘ

Bei dem obigen Beispiel liegt schon die richtige Sortierung vor, so dass nicht umsortiert werden muss. ⓘ

Die gesuchte Lorenz-Kurve entsteht, wenn man (x_i,y_i)-Paare als Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem einträgt und anschließend benachbarte Punkte mit einer Geraden verbindet. Die $(x_{i},y_{i})$-Paare entstehen aus den $(v_{i},b_{i})$-Paaren nach folgender Rechenvorschrift:

$x_{n}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\quad {\text{und}}\quad y_{n}=\sum _{j=1}^{n}v_{j}.$ ⓘ

Im zweiten Schritt werden aus den Daten des ersten Schritts die nachfolgenden Daten durch Summation ermittelt (wobei am Anfang (0, 0) als fester Wert dazu kommt):

x0 = 0,00     y0 = 0
x1 = 0,50     y1 = 0,025
x2 = 0,90     y2 = 0,5    (da 0,5 + 0,4 = 0,9 und 0,025 + 0,475 = 0,5 ist)
x3 = 0,99     y3 = 0,77
x4 = 1,00     y4 = 1 ⓘ

Bei totaler Gleichverteilung des Vermögens ist die Lorenz-Kurve eine gerade Linie von Punkt (0|0) zu Punkt (1|1). ⓘ

Zur Bestimmung des Gini-Koeffizienten werden zuerst zwei Größen bestimmt, die graphisch betrachtet Flächen sind. Einmal die Fläche unter der Gleichverteilungslinie, nennen wir diese Größe beispielsweise A. Die zweite Fläche ist die Fläche unter der tatsächlichen Verteilungskurve, nennen wir diese Größe beispielsweise B. Mit diesen beiden Größen berechnet sich der Gini-Ungleichverteilungskoeffizient wie folgt:

$\mathrm {GUK} ={\frac {A-B}{A}}$ ⓘ

B ist die dunkelgraue Fläche; A setzt sich aus der hell- und der dunkelgrauen Fläche zusammen. ⓘ

Errechnen der y-Werte der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung:

y0 = 0,000
y1 = v1 = 0,025
y2 = v1 + v2 = 0,500
y3 = v1 + v2 + v3 = 0,770
y4 = v1 + v2 + v3 + v4 = 1,000 ⓘ

Berechnung der Fläche B unter der Lorenz-Kurve der tatsächlichen Verteilung (siehe unten):

(y1 - 0,5 · v1) · b1 = 0,00625
(y2 - 0,5 · v2) · b2 = 0,105
(y3 - 0,5 · v3) · b3 = 0,05715
(y4 - 0,5 · v4) · b4 = 0,00885 ⓘ

B = 0,17725 ⓘ

Da eine normierte Darstellung verwendet wird, verbindet die Kurve der totalen Gleichverteilung die Eckpunkte (0|0) und (1|1) miteinander. Das Dreieck mit der Fläche A beträgt also 0,5. Darum gilt für den Gini-Ungleichverteilungskoeffizienten:

$\mathrm {GUK} ={\frac {A-B}{A}}={\frac {0{,}5-B}{0{,}5}}=1-2\cdot B=1-0{,}3545=0{,}6455$ ⓘ

Graphisch betrachtet ist der Gini-Koeffizient das Verhältnis der Fläche zwischen Gleichverteilungslinie und Lorenzkurve (A-B) zur Fläche unterhalb der Gleichverteilungslinie (A). ⓘ

Erläuterung zur Berechnung ⓘ

Die gesamte Gini-Fläche ist ein Rechteck mit den Seiten $v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}$ mal $b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}$. Die Gini-Fläche einer Gleichverteilung ist die Hälfte der gesamten Gini-Fläche. Zur Berechnung der Fläche unter der Kurve werden alle Einzelflächen addiert. Nehmen wir beispielsweise $b_{2}$. Voll anzurechnen ist das Rechteck mit der Höhe $y_{1}$ und der Breite $b_{2}$ (d. h. von $x_{1}$ bis $x_{2}$). Von dem Rechteck, das von der Höhe $y_{1}$ bis zur Höhe $y_{2}$ geht, ist nur die Hälfte zu nehmen, da die andere Hälfte oberhalb der Ginilinie nicht zur Gini-Fläche gehört. Also ist ⓘ

${\text{Fläche}}=y_{1}\cdot b_{2}+{\frac {(y_{2}-y_{1})\cdot b_{2}}{2}}={\frac {(y_{2}+y_{1})\cdot b_{2}}{2}}$ ⓘ

oder auch ⓘ

${\text{Fläche}}=\left(y_{2}-{\frac {v_{2}}{2}}\right)\cdot b_{2}.$ ⓘ

Alternative Anschauung zur Flächenberechnung: Die Einzelfläche über $b_{2}$ ist die Differenz aus der Rechtecksfläche, die von den Punkten (x₁,y₀=0), (x₂,y₀=0), (x₂,y₂), (x₁,y₁) begrenzt wird (Inhalt: $b_{2}\cdot y_{2}$), abzüglich der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das von den Punkten (x₁,y₁), (x₂,y₁), (x₁,y₂) begrenzt wird (Inhalt: ${\tfrac {b_{2}\cdot v_{2}}{2}}$), mit gleichem Ergebnis. ⓘ

Der Gini-Koeffizient ist eine einzelne Zahl, die den Grad der Ungleichheit in einer Einkommens-/Vermögensverteilung angibt. Er wird verwendet, um abzuschätzen, wie weit die Vermögens- oder Einkommensverteilung eines Landes von einer völlig gleichmäßigen Verteilung abweicht. ⓘ

Wenn alle Menschen ein nicht-negatives Einkommen (bzw. Vermögen) haben, kann der Gini-Koeffizient theoretisch zwischen 0 (völlige Gleichheit) und 1 (völlige Ungleichheit) liegen; er wird manchmal als Prozentsatz zwischen 0 und 100 ausgedrückt. In der Realität werden beide Extremwerte nicht ganz erreicht. Wenn negative Werte möglich sind (z. B. negativer Reichtum von Menschen mit Schulden), dann könnte der Gini-Koeffizient theoretisch mehr als 1 betragen. Normalerweise wird angenommen, dass der Mittelwert (oder die Summe) positiv ist, was einen Gini-Koeffizienten von weniger als Null ausschließt. ⓘ

Ein alternativer Ansatz besteht darin, den Gini-Koeffizienten als die Hälfte der relativen mittleren absoluten Differenz zu definieren, was mathematisch der Definition auf der Grundlage der Lorenzkurve entspricht. Die mittlere absolute Differenz ist die durchschnittliche absolute Differenz aller Paare von Elementen der Grundgesamtheit, und die relative mittlere absolute Differenz ist die mittlere absolute Differenz geteilt durch den Durchschnitt, ${\bar {x}}$dividiert wird, um eine Skalennormalisierung vorzunehmen. Wenn xi das Vermögen oder Einkommen von Person i ist und es n Personen gibt, dann ist der Gini-Koeffizient G gegeben durch:

$G={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n^{2}{\bar {x}}}}}$ ⓘ

wobei $\textstyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xp(x)\,dx$ der Mittelwert der Verteilung ist, und die unteren Grenzen der Integration durch Null ersetzt werden können, wenn alle Einkommen positiv sind. ⓘ

Berechnung

Die reichsten u der Bevölkerung (rot) teilen sich gleichmäßig f des gesamten Einkommens oder Vermögens; die anderen (grün) teilen sich gleichmäßig den Rest: G = f - u. Eine gleichmäßige Verteilung (blau) mit gleichen u und f hat immer G > f - u. ⓘ

Auch wenn die Einkommensverteilung in einem bestimmten Land in der Realität nicht immer den theoretischen Modellen entspricht, vermitteln diese Funktionen ein qualitatives Verständnis der Einkommensverteilung in einem Land anhand des Gini-Koeffizienten. ⓘ

Beispiel: zwei Einkommensniveaus

Die Extremfälle sind die "gleichste" Gesellschaft, in der jede Person das gleiche Einkommen erhält (G = 0), und die "ungleichste" Gesellschaft (bestehend aus N Individuen), in der eine einzige Person 100 % des Gesamteinkommens erhält und die übrigen N - 1 Personen nichts erhalten (G = 1 - 1/N). ⓘ

In einem allgemeineren, vereinfachten Fall werden ebenfalls nur zwei Einkommensniveaus unterschieden, ein niedriges und ein hohes. Wenn die Gruppe mit hohem Einkommen einen Anteil u der Bevölkerung ausmacht und einen Anteil f des Gesamteinkommens verdient, dann ist der Gini-Koeffizient f - u. Eine tatsächliche, stärker abgestufte Verteilung mit denselben Werten u und f wird immer einen höheren Gini-Koeffizienten als f - u aufweisen. ⓘ

Der sprichwörtliche Fall, dass die reichsten 20 % über 80 % des gesamten Einkommens verfügen (siehe Pareto-Prinzip), würde zu einem Einkommens-Gini-Koeffizienten von mindestens 60 % führen. ⓘ

Der oft zitierte Fall, in dem 1 % der Weltbevölkerung 50 % des gesamten Vermögens besitzt, würde einen Vermögens-Gini-Koeffizienten von mindestens 49 % bedeuten. ⓘ

Alternative Ausdrücke

In einigen Fällen kann diese Gleichung zur Berechnung des Gini-Koeffizienten ohne direkten Bezug auf die Lorenzkurve verwendet werden. Ein Beispiel: (wobei y das Einkommen oder Vermögen einer Person oder eines Haushalts bezeichnet):

• Für eine einheitliche Bevölkerung mit den Werten yi, i = 1 bis n, die in nicht abnehmender Reihenfolge indiziert sind (yi ≤ y_i+1):

$G={\frac {1}{n}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right).$

Dies kann vereinfacht werden zu:

$G={\frac {2\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{n\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}-{\frac {n+1}{n}}.$

Diese Formel gilt eigentlich für jede reale Bevölkerung, da jeder Person ein eigenes yi zugeordnet werden kann. ⓘ

Da der Gini-Koeffizient die Hälfte der relativen mittleren absoluten Differenz ist, kann er auch mit Formeln für die relative mittlere absolute Differenz berechnet werden. Für eine Zufallsstichprobe S, die aus Werten yi, i = 1 bis n, besteht, die in nicht abnehmender Reihenfolge indiziert sind (yi ≤ y_i+1), ist die Statistik:

$G(S)={\frac {1}{n-1}}\left(n+1-2\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}(n+1-i)y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right)\right)$ ⓘ

G(S) ist ein konsistenter Schätzer des Gini-Koeffizienten der Grundgesamtheit, ist aber im Allgemeinen nicht unverzerrt. Wie G hat auch G(S) eine einfachere Form:

$G(S)=1-{\frac {2}{n-1}}\left(n-{\frac {\sum _{i=1}^{n}iy_{i}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\right).$ ⓘ

Es gibt keine Stichprobenstatistik, die im Allgemeinen ein unverzerrter Schätzer des Gini-Koeffizienten der Grundgesamtheit ist, wie die relative mittlere absolute Differenz. ⓘ

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion $f(y_{i}),$ $i=1,\ldots ,n$, wobei $f(y_{i})$ der Anteil der Bevölkerung mit Einkommen oder Vermögen $y_{i}>0$ist, ist der Gini-Koeffizient:

$G={\frac {1}{2\mu }}\sum \limits _{i=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}\,f(y_{i})f(y_{j})|y_{i}-y_{j}|$

wobei

$\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}f(y_{i}).$ ⓘ

Wenn die Punkte mit Nicht-Null-Wahrscheinlichkeiten in aufsteigender Reihenfolge indiziert werden $(y_{i}<y_{i+1})$ dann:

$G=1-{\frac {\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(S_{i-1}+S_{i})}{S_{n}}}$

wobei

$S_{i}=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\,$ und $S_{0}=0.$ Diese Formeln sind auch im Grenzfall anwendbar, da $n\rightarrow \infty .$ ⓘ

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wenn die Bevölkerung groß ist, kann die Einkommensverteilung durch eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) dargestellt werden, wobei f(x) dx der Anteil der Bevölkerung mit Vermögen oder Einkommen im Intervall dx um x ist:

$F(x)=\int _{0}^{x}f(x)\,dx$ ⓘ

und L(x) die Lorenzfunktion ist:

$L(x)={\frac {\int _{0}^{x}x\,f(x)\,dx}{\int _{0}^{\infty }x\,f(x)\,dx}}$ ⓘ

dann kann die Lorenzkurve L(F) als eine Funktion dargestellt werden, die in L(x) und F(x) parametrisch ist, und der Wert von B kann durch Integration ermittelt werden:

$B=\int _{0}^{1}L(F)\,dF.$ ⓘ

Der Gini-Koeffizient kann auch direkt aus der kumulativen Verteilungsfunktion der Verteilung F(y) berechnet werden. Definiert man μ als den Mittelwert der Verteilung und gibt an, dass F(y) für alle negativen Werte gleich Null ist, so ergibt sich der Gini-Koeffizient wie folgt:

$G=1-{\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\infty }F(y)(1-F(y))\,dy$

Das letztgenannte Ergebnis ergibt sich aus der Integration durch Teile. (Man beachte, dass diese Formel auch bei negativen Werten angewendet werden kann, wenn die Integration von minus unendlich bis plus unendlich erfolgt). ⓘ

Der Gini-Koeffizient kann durch die Quantilsfunktion Q(F) ausgedrückt werden (Umkehrung der kumulativen Verteilungsfunktion: Q(F(x)) = x)

$G={\frac {1}{2\mu }}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|Q(F_{1})-Q(F_{2})|\,dF_{1}\,dF_{2}.$ ⓘ

Da der Gini-Koeffizient skalenunabhängig ist, kann die Verteilungsfunktion in der Form f(x,φ,a,b,c...) ausgedrückt werden, wobei φ ein Skalenfaktor ist und a,b,c... dimensionslose Parameter sind, dann ist der Gini-Koeffizient nur eine Funktion von a,b,c.... Zum Beispiel ist der Gini-Koeffizient für die Exponentialverteilung, die nur eine Funktion von x und einem Skalenparameter ist, eine Konstante, die gleich 1/2 ist. ⓘ

Für einige Funktionsformen kann der Gini-Index explizit berechnet werden. Wenn zum Beispiel y einer Log-Normalverteilung folgt, bei der die Standardabweichung der Logs gleich $\sigma$, dann ist $G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)$ wobei $\operatorname {erf}$ die Fehlerfunktion ( da $G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1$, wobei $\Phi$ die kumulative Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung ist). In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit Unterstützung auf $[0,\infty )$ gezeigt. Die Dirac-Delta-Verteilung stellt den Fall dar, in dem jeder das gleiche Vermögen (oder Einkommen) hat; sie impliziert, dass es keinerlei Unterschiede zwischen den Einkommen gibt. ⓘ

Einkommensverteilungsfunktion	PDF(x)	Gini-Koeffizient
Dirac-Delta-Funktion $\delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0$	0
Gleichmäßige Verteilung	${\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$	${\frac {(b-a)}{3(b+a)}}$
Exponentialverteilung	$\lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0$	$1/2$
Log-Normal-Verteilung	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \,(x)-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\textrm {erf}}(\sigma /2)=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1$
Pareto-Verteilung	${\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}$	${\begin{cases}1&0<\alpha <1\\{\frac {1}{2\alpha -1}}&\alpha \geq 1\end{cases}}$
Chi-Verteilung	$f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}$	$(-1)^{k}\left|I_{-1}(k,{\tfrac {1}{2}})\right|$
Chi-Quadrat-Verteilung	${\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}$	${\frac {2\,\Gamma \left({\frac {1+k}{2}}\right)}{k\,\Gamma (k/2){\sqrt {\pi }}}}$
Gamma-Verteilung	${\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}$	${\frac {\Gamma \left({\frac {2k+1}{2}}\right)}{k\,\Gamma (k){\sqrt {\pi }}}}$
Weibull-Verteilung	${\frac {k}{\lambda }}\,\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}$	$1-2^{-1/k}$
Beta-Verteilung	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}$	$\left({\frac {2}{\alpha }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}$
Log-logistische Verteilung	${\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}$	$1/\beta$

ⓘ

• $\Gamma (\,)$ ist die Gamma-Funktion
• $B(\,)$ ist die Beta-Funktion
• $I_{k}(\,)$ ist die regulierte unvollständige Betafunktion ⓘ

Andere Ansätze

Manchmal ist nicht die gesamte Lorenzkurve bekannt, sondern es liegen nur Werte in bestimmten Intervallen vor. In diesem Fall kann der Gini-Koeffizient mit Hilfe verschiedener Techniken zur Interpolation der fehlenden Werte der Lorenzkurve angenähert werden. Wenn (Xk, Yk) die bekannten Punkte auf der Lorenzkurve sind, wobei die Xk in aufsteigender Reihenfolge indiziert sind (Xk - 1 < Xk), so dass:

• Xk ist der kumulierte Anteil der Bevölkerungsvariablen, für k = 0,...,n, mit X₀ = 0, Xn = 1.
• Yk ist der kumulierte Anteil der Einkommensvariablen, für k = 0,...,n, mit Y₀ = 0, Yn = 1.
• Yk sollte in nicht abnehmender Reihenfolge indiziert werden (Yk > Yk - 1)

Wenn die Lorenzkurve auf jedem Intervall als Linie zwischen aufeinanderfolgenden Punkten angenähert wird, dann kann die Fläche B durch Trapeze und approximiert werden:

$G_{1}=1-\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1})$ ⓘ

Genauere Ergebnisse können mit anderen Methoden zur Annäherung der Fläche B erzielt werden, z. B. durch Annäherung der Lorenzkurve mit einer quadratischen Funktion über Paare von Intervallen oder durch Erstellung einer angemessen glatten Annäherung an die zugrunde liegende Verteilungsfunktion, die den bekannten Daten entspricht. Wenn der Mittelwert der Bevölkerung und die Grenzwerte für jedes Intervall ebenfalls bekannt sind, können auch diese häufig zur Verbesserung der Genauigkeit der Annäherung verwendet werden. ⓘ

Der anhand einer Stichprobe berechnete Gini-Koeffizient ist eine Statistik, und sein Standardfehler oder Konfidenzintervalle für den Gini-Koeffizienten der Grundgesamtheit sollten angegeben werden. Diese können mit Hilfe von Bootstrap-Verfahren berechnet werden, doch die vorgeschlagenen Verfahren sind selbst im Zeitalter schneller Computer mathematisch kompliziert und rechenintensiv. Der Wirtschaftswissenschaftler Tomson Ogwang hat das Verfahren effizienter gestaltet, indem er ein "Trickregressionsmodell" entwickelt hat, bei dem die jeweiligen Einkommensvariablen in der Stichprobe in eine Rangfolge gebracht werden, wobei das niedrigste Einkommen den Rang 1 erhält. Das Modell drückt dann den Rang (abhängige Variable) als Summe aus einer Konstanten A und einem normalen Fehlerterm aus, dessen Varianz umgekehrt proportional zu yk ist:

$k=A+\ N(0,s^{2}/y_{k})$ ⓘ

G kann also als Funktion der gewichteten Schätzung der kleinsten Quadrate für die Konstante A ausgedrückt werden, was zur Beschleunigung der Berechnung der Jackknife-Schätzung für den Standardfehler verwendet werden kann. Der Ökonom David Giles argumentierte, dass der Standardfehler der Schätzung von A verwendet werden kann, um den Standardfehler der Schätzung von G direkt abzuleiten, ohne dass ein Jackknife verwendet wird. Diese Methode erfordert lediglich die Anwendung einer Regression der gewöhnlichen kleinsten Quadrate nach der Anordnung der Stichprobendaten. Die Ergebnisse lassen sich gut mit den Schätzungen des Klappmessers vergleichen, wobei die Übereinstimmung mit zunehmendem Stichprobenumfang zunimmt. ⓘ

Es wurde jedoch argumentiert, dass dies von den Annahmen des Modells über die Fehlerverteilungen und die Unabhängigkeit der Fehlerterme abhängt, Annahmen, die für reale Datensätze oft nicht gelten. Die Debatte über dieses Thema ist noch nicht abgeschlossen. ⓘ

Guillermina Jasso und Angus Deaton haben unabhängig voneinander die folgende Formel für den Gini-Koeffizienten vorgeschlagen:

$G={\frac {N+1}{N-1}}-{\frac {2}{N(N-1)\mu }}(\sum _{i=1}^{n}P_{i}X_{i})$ ⓘ

wobei $\mu$ ist das mittlere Einkommen der Bevölkerung, Pi ist der Einkommensrang P der Person i mit dem Einkommen X, so dass die reichste Person einen Rang von 1 und die ärmste einen Rang von N erhält. Dadurch erhalten ärmere Menschen in der Einkommensverteilung ein höheres Gewicht, wodurch der Gini-Koeffizient dem Transferprinzip entspricht. Man beachte, dass die Jasso-Deaton-Formel den Koeffizienten so umskaliert, dass sein Wert 1 ist, wenn alle $X_{i}$ Null sind, außer einem. Beachten Sie jedoch Allisons Antwort, dass stattdessen durch N² geteilt werden muss. ⓘ

Die FAO erklärt eine andere Version der Formel. ⓘ

Verallgemeinerte Ungleichheitsindizes

Der Gini-Koeffizient und andere Standard-Ungleichheitsindizes lassen sich auf eine gemeinsame Form reduzieren. Vollkommene Gleichheit - das Fehlen von Ungleichheit - liegt dann und nur dann vor, wenn das Ungleichheitsverhältnis, $r_{j}=x_{j}/{\overline {x}}$für alle j Einheiten einer Population gleich 1 ist (z. B. ist perfekte Einkommensgleichheit gegeben, wenn das Einkommen von allen $x_{j}$ gleich dem mittleren Einkommen ${\overline {x}}$, so dass $r_{j}=1$ für alle gleich ist). Ungleichheitsmaße sind also Maße für die durchschnittliche Abweichung der $r_{j}=1$ von 1; je größer die durchschnittliche Abweichung ist, desto größer ist die Ungleichheit. Auf der Grundlage dieser Beobachtungen haben die Ungleichheitsindizes die folgende gemeinsame Form:

${\text{Inequality}}=\sum _{j}p_{j}\,f(r_{j}),$ ⓘ

wobei pj die Einheiten nach ihrem Bevölkerungsanteil gewichtet und f(rj) eine Funktion der Abweichung des rj jeder Einheit von 1, dem Punkt der Gleichheit, ist. Die Erkenntnis dieses verallgemeinerten Ungleichheitsindex ist, dass sich die Ungleichheitsindizes unterscheiden, weil sie unterschiedliche Funktionen des Abstands der Ungleichheitsverhältnisse (rj) von 1 verwenden. ⓘ

Von Einkommensverteilungen

Ableitung der Lorenzkurve und des Gini-Koeffizienten für das globale Einkommen im Jahr 2011 ⓘ

Die Gini-Koeffizienten der Einkommen werden sowohl auf der Basis des Markteinkommens als auch auf der Basis des verfügbaren Einkommens berechnet. Der Gini-Koeffizient für das Markteinkommen - manchmal auch als Gini-Koeffizient vor Steuern bezeichnet - wird für das Einkommen vor Steuern und Transfers berechnet und misst die Einkommensungleichheit ohne Berücksichtigung der Auswirkungen von Steuern und Sozialausgaben, die in einem Land bereits bestehen. Der Gini-Koeffizient für das verfügbare Einkommen - manchmal auch als Gini-Koeffizient nach Steuern bezeichnet - wird für das Einkommen nach Steuern und Transfers berechnet und misst die Einkommensungleichheit nach Berücksichtigung der Auswirkungen von Steuern und Sozialausgaben, die in einem Land bereits vorhanden sind. ⓘ

In den OECD-Ländern lag der Gini-Koeffizient (vor Steuern und Transfers) für die Gesamtbevölkerung im Zeitraum 2008-2009 zwischen 0,34 und 0,53, wobei Südkorea den niedrigsten und Italien den höchsten Wert aufwies. Der Gini-Koeffizient (nach Steuern und Transferleistungen) für die Gesamtbevölkerung lag zwischen 0,25 und 0,48, wobei Dänemark den niedrigsten und Mexiko den höchsten Wert aufwies. In den Vereinigten Staaten, dem bevölkerungsreichsten Land der OECD-Länder, lag der Gini-Index vor Steuern im Zeitraum 2008-2009 bei 0,49 und der Gini-Index nach Steuern bei 0,38. Der OECD-Durchschnitt für die Gesamtbevölkerung der OECD-Länder lag bei 0,46 für den Gini-Index vor Steuern und bei 0,31 für den Gini-Index nach Steuern. Steuern und Sozialausgaben, die im Zeitraum 2008-2009 in den OECD-Ländern eingeführt wurden, senkten die effektive Einkommensungleichheit erheblich, und im Allgemeinen "erreichen die europäischen Länder - insbesondere die nordischen und kontinentalen Wohlfahrtsstaaten - ein niedrigeres Niveau der Einkommensungleichheit als andere Länder". ⓘ

Die Verwendung des Gini-Koeffizienten kann dazu beitragen, Unterschiede in der Wohlfahrts- und Ausgleichspolitik und -philosophie zu quantifizieren. Es sollte jedoch bedacht werden, dass der Gini-Koeffizient irreführend sein kann, wenn er für politische Vergleiche zwischen großen und kleinen Ländern oder Ländern mit unterschiedlicher Einwanderungspolitik verwendet wird (siehe Abschnitt "Einschränkungen"). ⓘ

Der Gini-Koeffizient für die gesamte Welt wird von verschiedenen Parteien auf einen Wert zwischen 0,61 und 0,68 geschätzt. Das Schaubild zeigt die in Prozent ausgedrückten Werte in ihrer historischen Entwicklung für eine Reihe von Ländern. ⓘ

Regionale Einkommens-Gini-Indizes

Nach Angaben von UNICEF wies die Region Lateinamerika und Karibik im Jahr 2008 mit 48,3 im ungewichteten Durchschnitt den höchsten Nettoeinkommens-Gini-Index der Welt auf. Die übrigen regionalen Durchschnittswerte waren: Afrika südlich der Sahara (44,2), Asien (40,4), Naher Osten und Nordafrika (39,2), Osteuropa und Zentralasien (35,4) und Länder mit hohem Einkommen (30,9). Nach der gleichen Methode haben die Vereinigten Staaten einen Gini-Index von 36, während Südafrika mit 67,8 den höchsten Einkommens-Gini-Index aufweist. ⓘ

Weltweiter Einkommens-Gini-Index seit 1800

Betrachtet man die Einkommensverteilung aller Menschen, so hat die weltweite Einkommensungleichheit seit Anfang des 19. Jahrhunderts ständig zugenommen. Der Gini-Index für die weltweite Einkommensungleichheit hat von 1820 bis 2002 stetig zugenommen, wobei zwischen 1980 und 2002 ein deutlicher Anstieg zu verzeichnen war. Dieser Trend scheint mit dem raschen Wirtschaftswachstum in den Schwellenländern, insbesondere in den bevölkerungsreichen BRIC-Ländern, seinen Höhepunkt erreicht zu haben und sich umzukehren. ⓘ

Die nachstehende Tabelle zeigt die geschätzten weltweiten Einkommens-Gini-Koeffizienten der letzten 200 Jahre, wie sie von Milanovic berechnet wurden. ⓘ

Einkommens-Gini-Koeffizient - Welt, 1820-2005 ⓘ

Jahr	Weltweite Gini-Koeffizienten
1820	0.43
1850	0.53
1870	0.56
1913	0.61
1929	0.62
1950	0.64
1960	0.64
1980	0.66
2002	0.71
2005	0.68

Detailliertere Daten aus ähnlichen Quellen zeigen einen kontinuierlichen Rückgang seit 1988. Dies wird auf die Globalisierung zurückgeführt, die das Einkommen von Milliarden armer Menschen, vor allem in Ländern wie China und Indien, erhöht hat. Entwicklungsländer wie Brasilien haben auch die Grundversorgung in den Bereichen Gesundheitsversorgung, Bildung und Abwasserentsorgung verbessert; andere wie Chile und Mexiko haben eine progressivere Steuerpolitik eingeführt. ⓘ

Einkommens-Gini-Koeffizient - Welt, 1988-2013 ⓘ

Jahr	Weltweite Gini-Koeffizienten
1988	0.80
1993	0.76
1998	0.74
2003	0.72
2008	0.70
2013	0.65

Soziale Entwicklung

Der Gini-Koeffizient wird in so unterschiedlichen Bereichen wie Soziologie, Wirtschaft, Gesundheitswissenschaften, Ökologie, Technik und Landwirtschaft verwendet. In den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften zum Beispiel haben Wissenschaftler neben dem Einkommens-Gini-Koeffizienten auch den Bildungs-Gini-Koeffizienten und den Chancen-Gini-Koeffizienten veröffentlicht. ⓘ

Bildung

Der Bildungs-Gini-Index schätzt die Ungleichheit im Bildungsbereich für eine bestimmte Bevölkerung. Er wird verwendet, um Trends in der sozialen Entwicklung anhand des Bildungsniveaus im Laufe der Zeit zu erkennen. Aus einer Studie von drei Ökonomen der Weltbank, Vinod Thomas, Yan Wang und Xibo Fan, über 85 Länder geht hervor, dass Mali 1990 den höchsten Bildungs-Gini-Index von 0,92 aufwies (was auf eine sehr große Ungleichheit im Bildungsniveau der Bevölkerung hindeutet), während die Vereinigten Staaten den niedrigsten Bildungs-Gini-Index von 0,14 hatten. Zwischen 1960 und 1990 sank der Gini-Index der Bildungsungleichheit in China, Indien und Südkorea am schnellsten. Sie behaupten auch, dass der Gini-Index für Bildung in den Vereinigten Staaten im Zeitraum 1980-1990 leicht gestiegen ist. ⓘ

Chancengleichheit

Ähnlich wie der Einkommens-Gini-Koeffizient misst der Chancen-Gini-Koeffizient die Ungleichheit der Chancen. Das Konzept basiert auf Amartya Sen's Vorschlag, dass die Ungleichheitskoeffizienten der sozialen Entwicklung auf dem Prozess der Erweiterung der Wahlmöglichkeiten der Menschen und der Verbesserung ihrer Fähigkeiten beruhen sollten, und nicht auf dem Prozess der Verringerung der Einkommensungleichheit. Kovacevic erklärt in einem Überblick über den Opportunitäts-Gini-Koeffizienten, dass der Koeffizient abschätzt, wie gut eine Gesellschaft es ihren Bürgern ermöglicht, im Leben erfolgreich zu sein, wobei der Erfolg auf den Entscheidungen, Bemühungen und Talenten einer Person beruht und nicht auf ihrem Hintergrund, der durch eine Reihe von bei der Geburt vorherbestimmten Umständen definiert ist, wie z. B. Geschlecht, Rasse, Geburtsort, Einkommen der Eltern und Umstände, die außerhalb der Kontrolle des Einzelnen liegen. ⓘ

Im Jahr 2003 berichtete Roemer, dass Italien und Spanien unter den fortgeschrittenen Volkswirtschaften den höchsten Gini-Index der Chancenungleichheit aufweisen. ⓘ

Einkommensmobilität

1978 führte Anthony Shorrocks ein auf den Gini-Koeffizienten der Einkommen basierendes Maß zur Schätzung der Einkommensmobilität ein. Dieses Maß, das von Maasoumi und Zandvakili verallgemeinert wurde, wird heute allgemein als Shorrocks-Index bezeichnet, manchmal auch als Shorrocks-Mobilitätsindex oder Shorrocks-Starrheitsindex. Er versucht abzuschätzen, ob der Gini-Koeffizient der Einkommensungleichheit dauerhaft oder vorübergehend ist und inwieweit ein Land oder eine Region seinen Bürgern wirtschaftliche Mobilität ermöglicht, so dass sie im Laufe der Zeit von einem Einkommensquantil (z. B. untere 20 %) in ein anderes (z. B. mittlere 20 %) wechseln können. Mit anderen Worten: Der Shorrocks-Index vergleicht die Ungleichheit der kurzfristigen Einkommen, z. B. das Jahreseinkommen der Haushalte, mit der Ungleichheit der langfristigen Einkommen, z. B. das 5-Jahres- oder 10-Jahres-Gesamteinkommen der gleichen Haushalte. ⓘ

Der Shorrocks-Index wird auf verschiedene Weise berechnet. Ein gängiger Ansatz ist das Verhältnis der Gini-Koeffizienten zwischen kurzfristigem und langfristigem Einkommen für dieselbe Region oder dasselbe Land. ⓘ

Eine Studie aus dem Jahr 2010, die Einkommensdaten der Sozialversicherung für die Vereinigten Staaten seit 1937 und Gini-basierte Shorrocks-Indizes verwendet, kommt zu dem Schluss, dass die Einkommensmobilität in den Vereinigten Staaten eine komplizierte Geschichte hat, die vor allem auf den massiven Zustrom von Frauen in die amerikanische Erwerbsbevölkerung nach dem Zweiten Weltkrieg zurückzuführen ist. Einkommensungleichheit und Einkommensmobilität haben sich für männliche und weibliche Arbeitnehmer zwischen 1937 und den 2000er Jahren unterschiedlich entwickelt. Werden Männer und Frauen zusammen betrachtet, so zeigen die Trends des auf dem Gini-Koeffizienten basierenden Shorrocks-Index, dass die langfristige Einkommensungleichheit unter allen Arbeitnehmern in den letzten Jahrzehnten in den Vereinigten Staaten erheblich zurückgegangen ist. Andere Wissenschaftler, die nur Daten aus den 1990er Jahren oder andere kurze Zeiträume verwenden, sind zu anderen Schlussfolgerungen gekommen. So kommen beispielsweise Sastre und Ayala in ihrer Studie über Daten zum Einkommens-Gini-Koeffizienten zwischen 1993 und 1998 für sechs Industrieländer zu dem Schluss, dass Frankreich in diesen fünf Jahren die geringste Einkommensmobilität aufwies, Italien die höchste und die Vereinigten Staaten und Deutschland ein mittleres Niveau der Einkommensmobilität. ⓘ

Merkmale

Der Gini-Koeffizient weist Merkmale auf, die ihn als Maß für die Streuung in einer Bevölkerung und insbesondere für Ungleichheiten nützlich machen. ⓘ

Beschränkungen

Der Gini-Koeffizient ist ein relatives Maß. Es ist möglich, dass der Gini-Koeffizient eines Entwicklungslandes steigt (aufgrund zunehmender Einkommensungleichheit), während die Zahl der Menschen in absoluter Armut sinkt. Dies liegt daran, dass der Gini-Koeffizient den relativen und nicht den absoluten Wohlstand misst. Eine sich verändernde Einkommensungleichheit, die durch den Gini-Koeffizienten gemessen wird, kann auf strukturelle Veränderungen in einer Gesellschaft zurückzuführen sein, wie z. B. Bevölkerungswachstum (Babyboom, Überalterung der Bevölkerung, höhere Scheidungsraten, Aufteilung von Großfamilien in Kernfamilien, Auswanderung, Einwanderung) und Einkommensmobilität. Gini-Koeffizienten sind einfach, und diese Einfachheit kann zu Ungenauigkeiten führen und den Vergleich verschiedener Bevölkerungen verwirren. So hatten beispielsweise sowohl Bangladesch (Pro-Kopf-Einkommen von 1.693 US-Dollar) als auch die Niederlande (Pro-Kopf-Einkommen von 42.183 US-Dollar) im Jahr 2010 einen Einkommens-Gini-Koeffizienten von 0,31, doch die Lebensqualität, die wirtschaftlichen Möglichkeiten und das absolute Einkommen in diesen Ländern sind sehr unterschiedlich, d. h. die Länder können identische Gini-Koeffizienten haben, aber große Unterschiede im Wohlstand aufweisen. In einer entwickelten Volkswirtschaft kann das Nötigste für alle verfügbar sein, während in einer unterentwickelten Volkswirtschaft mit demselben Gini-Koeffizienten das Nötigste für die meisten nicht verfügbar oder aufgrund des geringeren absoluten Wohlstands ungleichmäßig verfügbar ist. ⓘ

Tabelle A. Unterschiedliche Einkommensverteilungen mit demselben Gini-Index ⓘ

Gruppe der Haushalte	Land A Jahreseinkommen ($)	Land B Jahreseinkommen ($)
1	20,000	9,000
2	30,000	40,000
3	40,000	48,000
4	50,000	48,000
5	60,000	55,000
Gesamteinkommen	$200,000	$200,000
Gini-Index des Landes	0.2	0.2

Unterschiedliche Einkommensverteilungen mit gleichem Gini-Koeffizienten

Selbst wenn das Gesamteinkommen einer Bevölkerung gleich ist, können in bestimmten Situationen zwei Länder mit unterschiedlicher Einkommensverteilung denselben Gini-Index haben (z. B. wenn sich die Lorenzkurven der Einkommen kreuzen). Tabelle A veranschaulicht eine solche Situation. Beide Länder haben einen Gini-Koeffizienten von 0,2, aber die durchschnittlichen Einkommensverteilungen der Haushaltsgruppen sind unterschiedlich. Ein weiteres Beispiel: In einer Bevölkerung, in der die untersten 50 % der Personen kein Einkommen haben und die anderen 50 % das gleiche Einkommen haben, beträgt der Gini-Koeffizient 0,5, während in einer anderen Bevölkerung, in der die untersten 75 % der Personen 25 % des Einkommens haben und die obersten 25 % 75 % des Einkommens, der Gini-Index ebenfalls 0,5 beträgt. Volkswirtschaften mit ähnlichen Einkommen und Gini-Koeffizienten können sehr unterschiedliche Einkommensverteilungen aufweisen. Bellù und Liberati behaupten, dass es manchmal nicht möglich oder irreführend ist, die Einkommensungleichheit zwischen zwei verschiedenen Bevölkerungsgruppen anhand ihrer Gini-Indizes zu bewerten. ⓘ

Extreme Vermögensungleichheit, aber niedriger Gini-Koeffizient für Einkommen

Ein Gini-Index enthält keine Informationen über absolute nationale oder persönliche Einkommen. Bevölkerungen können sehr niedrige Einkommens-Gini-Indizes, aber gleichzeitig sehr hohe Vermögens-Gini-Indizes haben. Durch die Messung der Einkommensungleichheit ignoriert der Gini-Index die unterschiedliche Effizienz der Verwendung des Haushaltseinkommens. Durch die Nichtberücksichtigung von Vermögen (außer wenn es zum Einkommen beiträgt) kann der Gini-Index den Anschein von Ungleichheit erwecken, wenn sich die verglichenen Personen in unterschiedlichen Lebensphasen befinden. Wohlhabende Länder wie Schweden können einen niedrigen Gini-Koeffizienten für das verfügbare Einkommen von 0,31 aufweisen und damit gleich erscheinen, haben aber einen sehr hohen Gini-Koeffizienten für das Vermögen von 0,79 bis 0,86, was auf eine extrem ungleiche Vermögensverteilung in ihrer Gesellschaft schließen lässt. Diese Faktoren werden beim einkommensbasierten Gini nicht berücksichtigt. ⓘ

Tabelle B. Gleiche Einkommensverteilung, aber unterschiedlicher Gini-Index ⓘ

Anzahl der Haushalte	Land Jahreseinkommen ($)	Gesamtzahl der Haushalte	Land A kombiniert Jahreseinkommen ($)
1	20,000	1 & 2	50,000
2	30,000
3	40,000	3 & 4	90,000
4	50,000
5	60,000	5 & 6	130,000
6	70,000
7	80,000	7 & 8	170,000
8	90,000
9	120,000	9 & 10	270,000
10	150,000
Gesamteinkommen	$710,000		$710,000
Gini-Index des Landes	0.303		0.293

Kleine Stichprobe - dünn besiedelte Regionen haben eher einen niedrigen Gini-Koeffizienten

Der Gini-Index ist bei kleinen Bevölkerungszahlen eher nach unten gerichtet. Bezirke, Staaten oder Länder mit einer kleinen Bevölkerung und einer weniger vielfältigen Wirtschaft weisen tendenziell kleine Gini-Koeffizienten auf. Für große Bevölkerungsgruppen mit großer wirtschaftlicher Vielfalt wird ein viel höherer Koeffizient erwartet als für jede ihrer Regionen. Nimmt man die Weltwirtschaft als eine Einheit und die Einkommensverteilung für alle Menschen als Beispiel, so schätzen verschiedene Wissenschaftler den globalen Gini-Index auf 0,61 bis 0,68. Wie bei anderen Ungleichheitskoeffizienten wird auch der Gini-Koeffizient durch die Granularität der Messungen beeinflusst. So ergeben beispielsweise fünf 20 %-Quantile (niedrige Granularität) in der Regel einen niedrigeren Gini-Koeffizienten als zwanzig 5 %-Quantile (hohe Granularität) für dieselbe Verteilung. Philippe Monfort hat gezeigt, dass die Verwendung einer inkonsistenten oder nicht spezifizierten Granularität die Nützlichkeit der Messungen des Gini-Koeffizienten einschränkt. ⓘ

Die Messung des Gini-Koeffizienten führt zu unterschiedlichen Ergebnissen, wenn sie auf Einzelpersonen statt auf Haushalte angewandt wird, und zwar für dieselbe Wirtschaft und dieselbe Einkommensverteilung. Wenn Haushaltsdaten verwendet werden, hängt der gemessene Wert des Einkommens-Gini davon ab, wie der Haushalt definiert ist. Wenn verschiedene Populationen nicht mit einheitlichen Definitionen gemessen werden, ist der Vergleich nicht sinnvoll. ⓘ

Deininger und Squire (1996) zeigen, dass die Einkommens-Gini-Koeffizienten, die auf dem individuellen Einkommen und nicht auf dem Haushaltseinkommen basieren, unterschiedlich sind. So stellen sie beispielsweise für die Vereinigten Staaten fest, dass der auf dem individuellen Einkommen basierende Gini-Index 0,35 beträgt, während er für Frankreich bei 0,43 liegt. Nach ihrer auf das Individuum bezogenen Methode wies Südafrika in den 108 untersuchten Ländern mit 0,62 den höchsten Gini-Koeffizienten der Welt auf, Malaysia mit 0,5 den höchsten Gini-Koeffizienten in Asien, Brasilien mit 0,57 den höchsten in Lateinamerika und der Karibik und die Türkei mit 0,5 den höchsten in den OECD-Ländern. ⓘ

Tabelle C. Geldeinkommensverteilungen der Haushalte und Gini-Index, USA ⓘ

Einkommensklasse (in 2010 bereinigten Dollar)	% der Bevölkerung 1979	% der Bevölkerung 2010
Unter 15.000 $	14.6%	13.7%
$15,000 – $24,999	11.9%	12.0%
$25,000 – $34,999	12.1%	10.9%
$35,000 – $49,999	15.4%	13.9%
$50,000 – $74,999	22.1%	17.7%
$75,000 – $99,999	12.4%	11.4%
$100,000 – $149,999	8.3%	12.1%
$150,000 – $199,999	2.0%	4.5%
200.000 $ und mehr	1.2%	3.9%
Haushalte insgesamt	80,776,000	118,682,000
Gini der Vereinigten Staaten auf Vorsteuerbasis	0.404	0.469

Der Gini-Koeffizient ist nicht in der Lage, die Auswirkungen von strukturellen Veränderungen in der Bevölkerung zu erkennen

Der Gini-Koeffizient als Punktschätzung der Gleichheit zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt Veränderungen des Einkommens über die gesamte Lebensspanne hinweg außer Acht, was die Bedeutung von Messungen über die Lebensspanne weiter verdeutlicht. Normalerweise führt ein Anstieg des Anteils junger oder alter Mitglieder einer Gesellschaft zu offensichtlichen Veränderungen in der Gleichheit, einfach weil die Menschen im Allgemeinen ein geringeres Einkommen und Vermögen haben, wenn sie jung sind, als wenn sie alt sind. Aus diesem Grund können Faktoren wie die Altersverteilung innerhalb einer Bevölkerung und die Mobilität innerhalb der Einkommensklassen den Anschein von Ungleichheit erwecken, obwohl es unter Berücksichtigung der demografischen Effekte keine gibt. So kann eine bestimmte Volkswirtschaft zu einem bestimmten Zeitpunkt einen höheren Gini-Koeffizienten aufweisen als eine andere, während der über das Lebenseinkommen des Einzelnen berechnete Gini-Koeffizient in Wirklichkeit niedriger ist als der der scheinbar (zu einem bestimmten Zeitpunkt) gleicheren Volkswirtschaft. Im Grunde genommen kommt es nicht nur auf die Ungleichheit in einem bestimmten Jahr an, sondern auf die Zusammensetzung der Verteilung im Laufe der Zeit. ⓘ

Der Milliardär Thomas Kwok behauptet, dass der Einkommens-Gini-Koeffizient in Hongkong hoch ist (0,434 im Jahr 2010), was zum Teil auf die strukturellen Veränderungen in der Bevölkerung zurückzuführen ist. In den letzten Jahrzehnten gab es in Hongkong immer mehr kleine Haushalte, ältere Haushalte und allein lebende ältere Menschen. Das Gesamteinkommen wird nun auf mehr Haushalte aufgeteilt. Viele alte Menschen leben in Hongkong getrennt von ihren Kindern. Diese sozialen Veränderungen haben zu erheblichen Veränderungen in der Einkommensverteilung der Haushalte geführt. Der Einkommens-Gini-Koeffizient, so Kwok, spiegelt diese strukturellen Veränderungen in der Gesellschaft nicht wider. Die in Tabelle C dieses Abschnitts zusammengefasste Verteilung des Geldeinkommens der Haushalte in den Vereinigten Staaten bestätigt, dass dieses Problem nicht nur auf Hongkong beschränkt ist. Nach Angaben des US Census Bureau kam es zwischen 1979 und 2010 in der Bevölkerung der Vereinigten Staaten zu strukturellen Veränderungen in den Haushalten insgesamt, das Einkommen aller Einkommensklassen stieg inflationsbereinigt, die Einkommensverteilung der Haushalte verschob sich im Laufe der Zeit in höhere Einkommensklassen, während der Gini-Koeffizient der Einkommen zunahm. ⓘ

Eine weitere Einschränkung des Gini-Koeffizienten besteht darin, dass er kein geeignetes Maß für Gleichheit ist, da er nur die Einkommensstreuung misst. Wenn beispielsweise zwei gleichermaßen egalitäre Länder eine unterschiedliche Einwanderungspolitik verfolgen, wird das Land, das einen höheren Anteil an einkommensschwachen oder verarmten Zuwanderern aufnimmt, einen höheren Gini-Koeffizienten ausweisen und somit scheinbar eine größere Einkommensungleichheit aufweisen. ⓘ

Die Unfähigkeit, Leistungen und Einkommen aus der informellen Wirtschaft zu bewerten, beeinflusst die Genauigkeit des Gini-Koeffizienten

In einigen Ländern werden Leistungen verteilt, die schwer zu bewerten sind. Länder, die subventionierten Wohnraum, medizinische Versorgung, Bildung oder andere derartige Leistungen anbieten, sind schwer objektiv zu bewerten, da dies von der Qualität und dem Umfang der Leistung abhängt. Da es keine freien Märkte gibt, ist die Bewertung dieser Einkommenstransfers als Haushaltseinkommen subjektiv. Das theoretische Modell des Gini-Koeffizienten ist darauf beschränkt, richtige oder falsche subjektive Annahmen zu akzeptieren. ⓘ

In subsistenzorientierten und informellen Volkswirtschaften können die Menschen über ein erhebliches Einkommen in anderen Formen als Geld verfügen, z. B. durch Subsistenzlandwirtschaft oder Tauschhandel. In Schwellen- und Transformationsländern wie den afrikanischen Ländern südlich der Sahara, Lateinamerika, Asien und Osteuropa fallen diese Einkommen in der Regel dem Teil der Bevölkerung zu, der unterhalb der Armutsgrenze oder sehr arm ist. Die informelle Wirtschaft macht mehr als die Hälfte der weltweiten Beschäftigung aus und in einigen der ärmeren Länder südlich der Sahara mit hohen offiziellen Gini-Ungleichheitskoeffizienten sogar 90 Prozent der Beschäftigung. Schneider et al. berichten in ihrer 2010 durchgeführten Studie über 162 Länder, dass etwa 31,2 % oder etwa 20 Billionen Dollar des weltweiten BIP informell erwirtschaftet werden. In den Entwicklungsländern überwiegt die informelle Wirtschaft in allen Einkommensschichten mit Ausnahme der reicheren, städtischen Bevölkerung der oberen Einkommensschichten. Selbst in den entwickelten Volkswirtschaften sind zwischen 8 % (Vereinigte Staaten) und 27 % (Italien) des BIP eines Landes informell, und das daraus resultierende informelle Einkommen ist für die untersten Einkommensschichten die wichtigste Einkommensquelle. Der Wert und die Verteilung des Einkommens aus der informellen Wirtschaft oder der Schattenwirtschaft sind schwer zu quantifizieren, was die Schätzung echter Einkommens-Gini-Koeffizienten erschwert. Unterschiedliche Annahmen und Quantifizierungen dieses Einkommens führen zu unterschiedlichen Gini-Koeffizienten. ⓘ

Der Gini-Koeffizient hat auch einige mathematische Grenzen. Er ist nicht additiv und verschiedene Gruppen von Personen können nicht gemittelt werden, um den Gini-Koeffizienten aller Personen in den Gruppen zu erhalten. ⓘ

Alternativen

Angesichts der Einschränkungen des Gini-Koeffizienten werden andere statistische Methoden in Kombination oder als alternatives Maß für die Streuung der Bevölkerung verwendet. So werden beispielsweise häufig Entropiemaße verwendet (z. B. der Atkinson-Index oder der Theil-Index und die mittlere logarithmische Abweichung als Spezialfälle des verallgemeinerten Entropieindex). Mit diesen Maßen wird versucht, die Verteilung der Ressourcen durch intelligente Agenten auf dem Markt mit einer Zufallsverteilung mit maximaler Entropie zu vergleichen, die sich ergeben würde, wenn sich diese Agenten wie nicht interagierende Teilchen in einem geschlossenen System verhalten würden, das den Gesetzen der statistischen Physik folgt. ⓘ

Beziehung zu anderen statistischen Maßen

Es gibt ein zusammenfassendes Maß für die Diagnosefähigkeit eines binären Klassifizierungssystems, das auch als Gini-Koeffizient bezeichnet wird und als doppelte Fläche zwischen der ROC-Kurve (Receiver Operating Characteristic) und ihrer Diagonalen definiert ist. Er ist verwandt mit dem AUC-Maß (Area Under the ROC Curve) der Leistung, das wie folgt angegeben wird $AUC=(G+1)/2$ und Mann-Whitney U. Obwohl beide Gini-Koeffizienten als Flächen zwischen bestimmten Kurven definiert sind und bestimmte Eigenschaften gemeinsam haben, gibt es keine direkte einfache Beziehung zwischen dem Gini-Koeffizienten der statistischen Streuung und dem Gini-Koeffizienten eines Klassifikators. ⓘ

Der Gini-Index ist auch mit dem Pietra-Index verwandt - beide sind ein Maß für die statistische Heterogenität und werden von der Lorenzkurve und der Diagonalen abgeleitet. ⓘ

In bestimmten Bereichen wie der Ökologie wird der inverse Simpson-Index $1/\lambda$ zur Quantifizierung der Vielfalt verwendet, der nicht mit dem Simpson-Index verwechselt werden sollte $\lambda$. Diese Indikatoren sind mit dem Gini-Index verwandt. Der inverse Simpson-Index nimmt mit der Vielfalt zu, im Gegensatz zum Simpson-Index und zum Gini-Koeffizienten, die mit der Vielfalt abnehmen. Der Simpson-Index liegt im Bereich [0, 1], wobei 0 für maximale und 1 für minimale Vielfalt (oder Heterogenität) steht. Da die Diversitätsindizes in der Regel mit zunehmender Heterogenität ansteigen, wird der Simpson-Index häufig in den inversen Simpson-Index umgewandelt, oder man verwendet das Komplement $1-\lambda$bekannt als Gini-Simpson-Index. ⓘ

Andere Verwendungen

Obwohl der Gini-Koeffizient in den Wirtschaftswissenschaften am populärsten ist, kann er theoretisch in jedem wissenschaftlichen Bereich angewendet werden, der eine Verteilung untersucht. In der Ökologie wurde der Gini-Koeffizient beispielsweise als Maß für die biologische Vielfalt verwendet, wobei der kumulative Anteil der Arten gegen den kumulativen Anteil der Individuen aufgetragen wird. Im Gesundheitsbereich wurde er als Maß für die Ungleichheit der gesundheitsbezogenen Lebensqualität in einer Bevölkerung verwendet. Im Bildungswesen wurde er als Maß für die Ungleichheit der Universitäten verwendet. In der Chemie wurde er verwendet, um die Selektivität von Proteinkinase-Inhibitoren gegenüber einer Reihe von Kinasen auszudrücken. In der Technik wurde er verwendet, um die Fairness zu bewerten, die Internet-Router bei der Planung von Paketübertragungen aus verschiedenen Verkehrsströmen erreichen. ⓘ

Der Gini-Koeffizient wird manchmal zur Messung der Trennschärfe von Ratingsystemen im Kreditrisikomanagement verwendet. ⓘ

Eine Studie aus dem Jahr 2005 griff auf US-Volkszählungsdaten zurück, um den Besitz von Heimcomputern zu messen, und verwendete den Gini-Koeffizienten, um Ungleichheiten zwischen Weißen und Afroamerikanern zu messen. Die Ergebnisse zeigten, dass die Ungleichheit beim Computerbesitz unter weißen Haushalten deutlich geringer ist, obwohl sie insgesamt abnimmt. ⓘ

Eine von Experten begutachtete Studie aus dem Jahr 2016 mit dem Titel Employing the Gini coefficient to measure participation inequality in treatment-focused Digital Health Social Networks (Verwendung des Gini-Koeffizienten zur Messung der Beteiligungsungleichheit in behandlungsorientierten sozialen Netzwerken im Bereich der digitalen Gesundheit) zeigte, dass der Gini-Koeffizient bei der Messung von Verschiebungen in der Ungleichheit hilfreich und genau ist, als eigenständige Messgröße jedoch nicht die Gesamtgröße des Netzwerks berücksichtigt. ⓘ

Die Trennschärfe bezieht sich auf die Fähigkeit eines Kreditrisikomodells, zwischen säumigen und nicht säumigen Kunden zu unterscheiden. Die Formel $G_{1}$im obigen Berechnungsabschnitt kann für das endgültige Modell und auch auf der Ebene der einzelnen Modellfaktoren verwendet werden, um die Trennschärfe einzelner Faktoren zu quantifizieren. Sie steht im Zusammenhang mit dem Genauigkeitsgrad in Modellen zur Bevölkerungsbewertung. ⓘ

Der Gini-Koeffizient wurde auch zur Analyse der Ungleichheit bei Dating-Apps verwendet. ⓘ

Kaminskiy und Krivtsov erweiterten das Konzept des Gini-Koeffizienten aus der Wirtschaftswissenschaft auf die Zuverlässigkeitstheorie und schlugen einen Gini-Koeffizienten vor, mit dessen Hilfe der Grad der Alterung nicht reparabler Systeme oder der Alterung und Verjüngung reparabler Systeme bewertet werden kann. Der Koeffizient ist zwischen -1 und 1 definiert und kann sowohl in empirischen als auch in parametrischen Lebensdauerverteilungen verwendet werden. Er nimmt negative Werte für die Klasse der Verteilungen mit abnehmender Ausfallrate und Punktprozesse mit abnehmender Ausfallintensität an und ist positiv für die Verteilungen mit zunehmender Ausfallrate und Punktprozesse mit zunehmender Ausfallintensität. Der Wert Null entspricht der exponentiellen Lebensdauerverteilung oder dem homogenen Poisson-Prozess. ⓘ

Anwendungen

Ökonomie

Der Gini-Koeffizient wird insbesondere in der Wohlfahrtsökonomik verwendet, um beispielsweise das Maß der Gleichheit oder Ungleichheit der Verteilung von Vermögen oder Einkommen zu beschreiben. Der Koeffizient ist eine Alternative zum S80/S20-Einkommensquintilverhältnis, das in der EU-Statistik Verwendung findet. Außerdem wird er als Konzentrationsrate bei der Messung der Unternehmenskonzentration auf einem Markt eingesetzt. ⓘ

Informationstheorie

In der Informationstheorie wird er als Maß der „Reinheit“ oder „Unreinheit“ von Information verwendet. ⓘ

Bankwesen

Im Bankwesen wird der Gini-Koeffizient als Maß dafür verwendet, wie gut ein Ratingsystem gute von schlechten Kunden trennen kann (Trennschärfe). ⓘ

Normierung

Die Skala möglicher Werte reicht je nach Anwendungsfall von 0 bis 1, von 0 bis 100, von 0 bis 10000. Je nach Anwendungsfall steht der kleinste oder eben der größte Wert für die gleichmäßige Verteilung. Der Wert der absoluten Ungleichheit kann dabei im Allgemeinen nur asymptotisch erreicht werden. Durch Renormierung kann man dies vermeiden. ⓘ