Exponentialverteilung

Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ ⓘ

Die Exponentialverteilung (auch negative Exponentialverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, die durch eine Exponentialfunktion gegeben ist. Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Länge von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z. B. ⓘ

• Zeit zwischen zwei Anrufen
• Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
• Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen.
• als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik ⓘ

$\lambda$ steht für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen Ereignissen (Intervalllänge $x$) wahrscheinlicher. Seltener treten aber auch sehr lange Intervalle auf. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann durchaus Werte >1 annehmen (z. B. für $\lambda =2$), da die Fläche unter der Kurve auf 1 normiert ist (Normierungseigenschaft). Konkrete Wahrscheinlichkeitsangaben über das Eintreten des nächsten Ereignisses gewinnt man hier am ehesten aus der Verteilungsfunktion. ⓘ

Oft ist die tatsächliche Verteilung keine Exponentialverteilung, jedoch ist die Exponentialverteilung einfach zu handhaben und wird zur Vereinfachung unterstellt. Sie ist anwendbar, wenn ein Poisson-Prozess vorliegt, also die poissonschen Annahmen erfüllt sind. ⓘ

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der viel größeren und allgemeineren Exponentialfamilie, einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die sich durch eine leichte Handhabbarkeit auszeichnen. ⓘ

Exponential ⓘ

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Kumulative Verteilungsfunktion
Parameter	$\lambda >0,$ Rate, oder inverse Skala
Unterstützung	$x\in [0,\infty )$
PDF	$\lambda e^{-\lambda x}$
CDF	$1-e^{-\lambda x}$
Quantil	$-{\frac {\ln(1-p)}{\lambda }}$
Mittelwert	${\frac {1}{\lambda }}$
Median	${\frac {\ln 2}{\lambda }}$
Modus	$0$
Varianz	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Schiefe	$2$
Bsp. Kurtosis	$6$
Entropie	$1-\ln \lambda$
MGF	${\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ for }}t<\lambda$
CF	${\frac {\lambda }{\lambda -it}}$
Fisher-Information	${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$
Kullback-Leibler-Divergenz	$\ln {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die Exponentialverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeit zwischen Ereignissen in einem Poisson-Punktprozess, d. h. einem Prozess, in dem Ereignisse kontinuierlich und unabhängig voneinander mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten. Sie ist ein Sonderfall der Gamma-Verteilung. Sie ist das kontinuierliche Analogon der geometrischen Verteilung und hat die Schlüsseleigenschaft, gedächtnislos zu sein. Sie wird nicht nur für die Analyse von Poisson-Punktprozessen verwendet, sondern findet sich auch in verschiedenen anderen Zusammenhängen. ⓘ

Definitionen

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) einer Exponentialverteilung ist ⓘ

$f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$ ⓘ

Dabei ist λ > 0 der Parameter der Verteilung, der oft als Ratenparameter bezeichnet wird. Die Verteilung ist auf dem Intervall [0, ∞) verteilt. Wenn eine Zufallsvariable X diese Verteilung hat, schreiben wir X ~ Exp(λ). ⓘ

Die Exponentialverteilung weist eine unendliche Teilbarkeit auf. ⓘ

Kumulative Verteilungsfunktion

Die kumulative Verteilungsfunktion ist gegeben durch ⓘ

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$ ⓘ

Alternative Parametrisierung

Die Exponentialverteilung wird manchmal in Form des Skalenparameters β = 1/λ parametrisiert, der auch der Mittelwert ist:

$$f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}\qquad \qquad F(x;\beta )={\begin{cases}1-e^{-x/\beta }&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$$

ⓘ

Eigenschaften

Mittelwert, Varianz, Momente und Median

Der Mittelwert ist das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsmasse, d. h. das erste Moment. ⓘ

Der Median ist das Vorbild F-1(1/2). ⓘ

Der Mittelwert oder Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X mit dem Ratenparameter λ ist gegeben durch

$$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.$$

ⓘ

In Anbetracht der nachstehenden Beispiele ist dies sinnvoll: Wenn Sie durchschnittlich 2 Anrufe pro Stunde erhalten, können Sie davon ausgehen, dass Sie eine halbe Stunde auf jeden Anruf warten müssen. ⓘ

Die Varianz von X ist gegeben durch

$$\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}},$$

Die Standardabweichung ist also gleich dem Mittelwert. ⓘ

Die Momente von X, für $n\in \mathbb {N}$ sind gegeben durch

$$\operatorname {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}.$$

ⓘ

Die zentralen Momente von X, für $n\in \mathbb {N}$ sind gegeben durch

$$\mu _{n}={\frac {!n}{\lambda ^{n}}}={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$$

wobei !n das Unterfaktorielle von n ist ⓘ

Der Median von X ist gegeben durch

$$\operatorname {m} [X]={\frac {\ln(2)}{\lambda }}<\operatorname {E} [X],$$

wobei sich ln auf den natürlichen Logarithmus bezieht. Die absolute Differenz zwischen dem Mittelwert und dem Median ist also

$$\left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],$$

ⓘ

in Übereinstimmung mit der Median-Mittelwert-Ungleichung. ⓘ

Speicherlosigkeit

Eine exponentialverteilte Zufallsvariable T gehorcht der Beziehung

$$\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.$$

ⓘ

Dies wird deutlich, wenn man die komplementäre kumulative Verteilungsfunktion betrachtet:

$${\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}$$

ⓘ

Wenn T als die Wartezeit auf das Eintreten eines Ereignisses in Bezug auf einen Anfangszeitpunkt interpretiert wird, impliziert diese Beziehung, dass die Verteilung der verbleibenden Wartezeit dieselbe ist wie die ursprüngliche unbedingte Verteilung, wenn T durch die Nichtbeobachtung des Ereignisses während eines Anfangszeitraums s bedingt ist. Wenn zum Beispiel ein Ereignis nach 30 Sekunden noch nicht eingetreten ist, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis noch mindestens 10 Sekunden dauert, gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis mehr als 10 Sekunden nach der Anfangszeit beobachtet wird. ⓘ

Die Exponentialverteilung und die geometrische Verteilung sind die einzigen speicherlosen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. ⓘ

Die Exponentialverteilung ist somit zwangsläufig auch die einzige kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine konstante Ausfallrate aufweist. ⓘ

Daraus ergibt sich nach Division durch $\Delta w$ die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\lambda }(w)=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}$ der Exponentialverteilung mit $\lambda$ als Ereignisrate und $1/\lambda$ als mittlerem Ereignisabstand. ⓘ

$P\left(X\geq x+t\,\mid \,X\geq x\right)=P\left(X\geq t\right)$. ⓘ

Quantile

Tukey-Kriterien für Anomalien. ⓘ

Die Quantilsfunktion (inverse kumulative Verteilungsfunktion) für Exp(λ) ist

$$F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1$$

ⓘ

Die Quartile sind also

• erstes Quartil: ln(4/3)/λ
• Median: ln(2)/λ
• drittes Quartil: ln(4)/λ ⓘ

Daraus folgt, dass der Interquartilsbereich ln(3)/λ ist. ⓘ

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

$F_{\lambda }^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}$. ⓘ

Damit ist der Interquartilabstand ${\frac {\ln 3}{\lambda }}\approx {\frac {1{,}10}{\lambda }}$. ⓘ

Kullback-Leibler-Divergenz

Die gerichtete Kullback-Leibler-Divergenz in nats von $e^{\lambda }$ ("approximierende" Verteilung) von $e^{\lambda _{0}}$ ("wahre" Verteilung) ist gegeben durch

$${\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}$$

ⓘ

Maximale Entropieverteilung

Unter allen kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Unterstützung [0, ∞) und Mittelwert μ hat die Exponentialverteilung mit λ = 1/μ die größte differentielle Entropie. Mit anderen Worten, sie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit maximaler Entropie für eine Zufallsvariable X, die größer oder gleich Null ist und für die E[X] fest ist. ⓘ

Verteilung des Minimums von exponentiellen Zufallsvariablen

Seien X₁, ..., Xn unabhängige exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Ratenparametern λ₁, ..., λn. Dann ist

$$\min \left\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\right\}$$

ebenfalls exponentialverteilt, mit dem Parameter

$$\lambda =\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}.$$

ⓘ

Dies wird deutlich, wenn man die komplementäre kumulative Verteilungsfunktion betrachtet:

$${\begin{aligned}&\Pr \left(\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}>x\right)\\={}&\Pr \left(X_{1}>x,\dotsc ,X_{n}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\Pr \left(X_{i}>x\right)\\={}&\prod _{i=1}^{n}\exp \left(-x\lambda _{i}\right)=\exp \left(-x\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).\end{aligned}}$$

ⓘ

Der Index der Variablen, die das Minimum erreicht, ist gemäß der kategorialen Verteilung

$$\Pr \left(X_{k}=\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}\right)={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.$$

ⓘ

Ein Beweis kann erbracht werden, indem man $I=\operatorname {argmin} _{i\in \{1,\dotsb ,n\}}\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$. Dann,

$${\begin{aligned}\Pr(I=k)&=\int _{0}^{\infty }\Pr(X_{k}=x)\Pr(\forall _{i\neq k}X_{i}>x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\lambda _{k}e^{-\lambda _{k}x}\left(\prod _{i=1,i\neq k}^{n}e^{-\lambda _{i}x}\right)dx\\&=\lambda _{k}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}\right)x}dx\\&={\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n}}}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Man beachte, dass

$$\max\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}$$

nicht exponentialverteilt ist, wenn X₁, ..., Xn nicht alle den Parameter 0 haben. ⓘ

Gemeinsame Momente von Statistiken i.i.d. exponentiellen Ordnung

Sei $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ seien $n$ unabhängige und identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit dem Ratenparameter λ. Sei $X_{(1)},\dotsc ,X_{(n)}$ die entsprechenden Ordnungsstatistiken bezeichnen. Für $i<j$ das gemeinsame Moment $\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]$ der Ordnungsstatistiken $X_{(i)}$ und $X_{(j)}$ ist gegeben durch

$${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right]\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}+\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{((n-k)\lambda )^{2}}}+\left(\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\right)^{2}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Dies wird deutlich, wenn man das Gesetz der Gesamterwartung und die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit heranzieht:

$${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\right]&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {E} \left[X_{(i)}X_{(j)}\mid X_{(i)}=x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\textrm {since}}~X_{(i)}=x\implies X_{(j)}\geq x\right)\\&=\int _{x=0}^{\infty }x\left[\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x\right]f_{X_{(i)}}(x)\,dx&&\left({\text{by the memoryless property}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{j-1}{\frac {1}{(n-k)\lambda }}\operatorname {E} \left[X_{(i)}\right]+\operatorname {E} \left[X_{(i)}^{2}\right].\end{aligned}}$$

ⓘ

Die erste Gleichung folgt aus dem Gesetz der Gesamterwartung. Die zweite Gleichung macht sich die Tatsache zunutze, dass, sobald wir die Bedingung $X_{(i)}=x$folgt, dass $X_{(j)}\geq x$. Die dritte Gleichung stützt sich auf die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit und ersetzt $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\mid X_{(j)}\geq x\right]$ durch $\operatorname {E} \left[X_{(j)}\right]+x$. ⓘ

Summe von zwei unabhängigen exponentiellen Zufallsvariablen

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (PDF) einer Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen ist die Faltung ihrer individuellen PDFs. Wenn $X_{1}$ und $X_{2}$ unabhängige exponentielle Zufallsvariablen mit entsprechenden Ratenparametern sind $\lambda _{1}$ und $\lambda _{2},$ dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte von $Z=X_{1}+X_{2}$ ist gegeben durch

$${\begin{aligned}f_{Z}(z)&=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1}}(x_{1})f_{X_{2}}(z-x_{1})\,dx_{1}\\&=\int _{0}^{z}\lambda _{1}e^{-\lambda _{1}x_{1}}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}(z-x_{1})}\,dx_{1}\\&=\lambda _{1}\lambda _{2}e^{-\lambda _{2}z}\int _{0}^{z}e^{(\lambda _{2}-\lambda _{1})x_{1}}\,dx_{1}\\&={\begin{cases}{\dfrac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}\left(e^{-\lambda _{1}z}-e^{-\lambda _{2}z}\right)&{\text{ if }}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\\[4pt]\lambda ^{2}ze^{-\lambda z}&{\text{ if }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda .\end{cases}}\end{aligned}}$$

Die Entropie dieser Verteilung ist in geschlossener Form verfügbar: unter der Annahme $\lambda _{1}>\lambda _{2}$ (ohne Verlust der Allgemeinheit), dann

$${\begin{aligned}H(Z)&=1+\gamma +\ln \left({\frac {\lambda _{1}-\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)+\psi \left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\right),\end{aligned}}$$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist und $\psi (\cdot )$ die Digamma-Funktion ist. ⓘ

Im Falle gleicher Ratenparameter ist das Ergebnis eine Erlang-Verteilung mit Form 2 und Parameter $\lambda ,$ die ihrerseits ein Spezialfall der Gamma-Verteilung ist. ⓘ

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

$\operatorname {GM} (X)=\exp \left(\int \limits _{0}^{\infty }\ln(x)\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\ln \left({\frac {1}{\lambda }}\right)-\gamma \right)={\frac {1}{\lambda \mathrm {e} ^{\gamma }}}$,

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. ⓘ

Erwartungswert

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert ${\tfrac {1}{\lambda }}$, denn

$\operatorname {E} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda }}$. ⓘ

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet. ⓘ

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog mittels

$\operatorname {Var} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\lambda \int \limits _{0}^{\infty }x^{2}\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x-2\int \limits _{0}^{\infty }x\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$. ⓘ

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}={\frac {1}{\lambda }}$. ⓘ

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

$\operatorname {VarK} (X)={\frac {\sqrt {\sigma ^{2}(X)}}{\operatorname {E} (X)}}={\frac {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}{\operatorname {E} (X)}}$.

Also gilt

$\operatorname {VarK} (X)=1$. ⓘ

Weitere Streumaße

Die mittlere absolute Abweichung

$e={\frac {2/\mathrm {e} }{\lambda }}\approx {\frac {0{,}736}{\lambda }}$

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

${\mathit {MD}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}$

ist noch etwas kleiner. ⓘ

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch ${\tilde {x}}<E(X)$ gilt. ⓘ

Wölbung

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer den Wert 9. ⓘ

Höhere Momente

Die k-ten Momente sind

$\operatorname {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}$. ⓘ

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen. ⓘ

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

$g_{X}(t)=\ln \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)$ für $t<\lambda$.

Damit ist die k-te Kumulante $\kappa _{k}={\frac {(k-1)!}{\lambda ^{k}}}$ ⓘ

Überlebenswahrscheinlichkeit

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

$P(X\operatorname {>} x)=1-F(x)=\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ ⓘ

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt $x_{0}$ bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit ⓘ

$P(X>x_{0}+x|X>x_{0})={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda (x_{0}+x)}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x_{0}}}}=\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ ⓘ

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden ⓘ

Die Ausfallrate $h(x)$ ergibt sich zu ⓘ

$h(x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x}}}=\lambda$ ⓘ

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet. ⓘ

Verwandte Verteilungen

• Wenn $X\sim \operatorname {Laplace} \left(\mu ,\beta ^{-1}\right)$ dann ist |X - μ| ~ Exp(β).
• Wenn X ~ Pareto(1, λ), dann log(X) ~ Exp(λ).
• Wenn X ~ SkewLogistic(θ), dann $\log \left(1+e^{-X}\right)\sim \operatorname {Exp} (\theta )$.
• Wenn X_i ~ U(0, 1), dann
  $$\lim _{n\to \infty }n\min \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)\sim \operatorname {Exp} (1)$$
• Die Exponentialverteilung ist ein Grenzwert einer skalierten Beta-Verteilung:
  $$\lim _{n\to \infty }n\operatorname {Beta} (1,n)=\operatorname {Exp} (1).$$
• Die Exponentialverteilung ist ein Spezialfall der Pearson-Verteilung vom Typ 3.
• Wenn X ~ Exp(λ) und X_i ~ Exp(λ_i) dann:
  • $kX\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {\lambda }{k}}\right)$, Schließung unter Skalierung mit einem positiven Faktor.
  • 1 + X ~ BenktanderWeibull(λ, 1), was auf eine abgeschnittene Exponentialverteilung reduziert.
  • ke^X ~ Pareto(k, λ).
  • e-X ~ Beta(λ, 1).
  • 1/ke^X ~ PowerLaw(k, λ)
  • ${\sqrt {X}}\sim \operatorname {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)$, die Rayleigh-Verteilung
  • $X\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda }},1\right)$, die Weibull-Verteilung
  • $X^{2}\sim \operatorname {Weibull} \left({\frac {1}{\lambda ^{2}}},{\frac {1}{2}}\right)$
  • μ - β log(λX) ∼ Gumbel(μ, β).
  • $\lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, eine geometrische Verteilung auf 0,1,2,3,...
  • $\lceil X\rceil \sim \operatorname {Geometric} \left(1-e^{-\lambda }\right)$, eine geometrische Verteilung auf 1,2,3,4,...
  • Wenn auch Y ~ Erlang(n, λ) oder$Y\sim \Gamma \left(n,{\frac {1}{\lambda }}\right)$ dann ${\frac {X}{Y}}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
  • Wenn auch λ ~ Gamma(k, θ) (Form, Skalenparametrisierung), dann ist die Randverteilung von X Lomax(k, 1/θ), die Gamma-Mischung
  • λ₁X₁ - λ₂Y₂ ~ Laplace(0, 1).
  • min{X₁, ..., X_n} ~ Exp(λ₁ + ... + λ_n).
  • Wenn auch λ_i = λ dann:
    • $X_{1}+\cdots +X_{k}=\sum _{i}X_{i}\sim$ Erlang(k, λ) = Gamma(k, λ-1) = Gamma(k, λ) (in (k, θ) bzw. (α, β)-Parametrisierung) mit einem ganzzahligen Formparameter k.
    • X_i - X_j ~ Laplace(0, λ-1).
  • Wenn auch Xi unabhäng_ig sind, dann:
    • ${\frac {X_{i}}{X_{i}+X_{j}}}$ ~ U(0, 1)
    • $Z={\frac {\lambda _{i}X_{i}}{\lambda _{j}X_{j}}}$ hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{Z}(z)={\frac {1}{(z+1)^{2}}}$. Dies kann verwendet werden, um ein Konfidenzintervall zu erhalten für ${\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{j}}}$.
  • Wenn auch λ = 1:
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {e^{-X}}{1-e^{-X}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$, die logistische Verteilung
    • $\mu -\beta \log \left({\frac {X_{i}}{X_{j}}}\right)\sim \operatorname {Logistic} (\mu ,\beta )$
    • μ - σ log(X) ~ GEV(μ, σ, 0).
    • Wenn ferner $Y\sim \Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{\alpha }}\right)$ dann ${\sqrt {XY}}\sim \operatorname {K} (\alpha ,\beta )$ (K-Distribution)
  • Wenn auch λ = 1/2, dann X ∼ χ²
    ₂; d.h. X hat eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden. Daraus folgt:
    $$\operatorname {Exp} (\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\operatorname {Exp} \left({\frac {1}{2}}\right)\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2}^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}\operatorname {Exp} (\lambda )\sim {\frac {1}{2\lambda }}\chi _{2n}^{2}$$
• Wenn $X\sim \operatorname {Exp} \left({\frac {1}{\lambda }}\right)$ und $Y\mid X$ ~ Poisson(X) dann $Y\sim \operatorname {Geometric} \left({\frac {1}{1+\lambda }}\right)$ (geometrische Verteilung)
• Die Hoyt-Verteilung lässt sich aus der Exponentialverteilung und der Arkussinusverteilung ableiten
• Die Exponentialverteilung ist ein Grenzwert der κ-Exponentialverteilung im $\kappa =0$ Fall.
• Die Exponentialverteilung ist ein Grenzwert der κ-Generalisierten Gamma-Verteilung in den $\alpha =1$ und $\nu =1$ Fällen:

  $\lim _{(\alpha ,\nu )\to (0,1)}p_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\alpha \lambda ^{\nu }}{\Gamma (\nu )}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\lambda x^{\alpha })=\lambda e^{-\lambda x}$ ⓘ

Andere verwandte Verteilungen:

• Hyper-Exponentialverteilung - die Verteilung, deren Dichte eine gewichtete Summe von Exponentialdichten ist.
• Hypoexponentialverteilung - die Verteilung einer allgemeinen Summe von exponentiellen Zufallsvariablen.
• exGaußsche Verteilung - die Summe einer Exponentialverteilung und einer Normalverteilung. ⓘ

Sind $X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})$ stochastisch unabhängig, so ist $X_{1}+\ldots +X_{n}$ eine Linearkombination von Exponentialverteilungen, sind die $\lambda _{i}$ alle gleich, so ist die Summe $\sim \operatorname {Erl} (n,\lambda )$ Erlang-verteilt. ⓘ

Statistische Inferenz

Im Folgenden wird angenommen, dass die Zufallsvariable X exponentialverteilt ist mit dem Ratenparameter λ, und $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ sind n unabhängige Stichproben von X, mit Stichprobenmittelwert ${\bar {x}}$. ⓘ

Schätzung der Parameter

Der Maximum-Likelihood-Schätzer für λ wird wie folgt konstruiert: Die Likelihood-Funktion für λ, gegeben eine unabhängige und identisch verteilte Stichprobe x = (x₁, ..., xn), die aus der Variable_n gezogen wurde, ist:

$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right),$$

ⓘ

wobei:

$${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$$

der Mittelwert der Stichprobe ist. ⓘ

Die Ableitung des Logarithmus der Likelihood-Funktion ist:

$${\frac {d}{d\lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {d}{d\lambda }}\left(n\ln \lambda -\lambda n{\overline {x}}\right)={\frac {n}{\lambda }}-n{\overline {x}}\ {\begin{cases}>0,&0<\lambda <{\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]=0,&\lambda ={\frac {1}{\overline {x}}},\\[8pt]<0,&\lambda >{\frac {1}{\overline {x}}}.\end{cases}}$$

ⓘ

Folglich ist der Maximum-Likelihood-Schätzwert für den Ratenparameter gleich:

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}={\frac {1}{\overline {x}}}={\frac {n}{\sum _{i}x_{i}}}$$

ⓘ

Dies ist nicht ein unverzerrter Schätzer für $\lambda ,$ obwohl ${\overline {x}}$ ist ein unverzerrter MLE-Schätzer für $1/\lambda$ und den Mittelwert der Verteilung. ⓘ

Die Verzerrung von ${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}$ ist gleich

$$b\equiv \operatorname {E} \left[\left({\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-\lambda \right)\right]={\frac {\lambda }{n-1}}$$

was zu dem verzerrungskorrigierten Maximum-Likelihood-Schätzer führt

$${\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}^{*}={\widehat {\lambda }}_{\text{mle}}-{\widehat {b}}.$$

ⓘ

Approximativer Minimierer des erwarteten quadratischen Fehlers

Angenommen, Sie haben mindestens drei Stichproben. Wenn wir eine Minimierung des erwarteten mittleren quadratischen Fehlers suchen (siehe auch: Bias-Varianz-Abgleich), die der Maximum-Likelihood-Schätzung ähnlich ist (d. h. eine multiplikative Korrektur der Likelihood-Schätzung), haben wir folgendes Ergebnis:

$${\widehat {\lambda }}=\left({\frac {n-2}{n}}\right)\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)={\frac {n-2}{\sum _{i}x_{i}}}$$

ⓘ

Diese wird aus dem Mittelwert und der Varianz der inversen Gamma-Verteilung abgeleitet: ${\textstyle {\mbox{Inv-Gamma}}(n,\lambda )}$. ⓘ

Fisher-Information

Die Fisher-Information, bezeichnet als ${\mathcal {I}}(\lambda )$für einen Schätzer des Ratenparameters $\lambda$ ist gegeben als:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\operatorname {E} \left[\left.\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}\right|\lambda \right]=\int \left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log f(x;\lambda )\right)^{2}f(x;\lambda )\,dx$$

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Durch Einsetzen der Verteilung und Lösen erhält man:

$${\mathcal {I}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \lambda }}\log \lambda e^{-\lambda x}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{\lambda }}-x\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\lambda ^{-2}.$$

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Dies bestimmt die Menge an Informationen, die jede unabhängige Stichprobe einer Exponentialverteilung über den unbekannten Ratenparameter enthält $\lambda$. ⓘ

Konfidenzintervalle

Das 100(1 - α)%-Konfidenzintervall für den Ratenparameter einer Exponentialverteilung ist gegeben durch:

$${\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n}{{\widehat {\lambda }}\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}$$

was auch gleich ist zu:

$${\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}<{\frac {1}{\lambda }}<{\frac {2n{\overline {x}}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},2n}^{2}}}$$

wobei χ²
_p,v das 100(p)-Perzentil der Chi-Quadrat-Verteilung mit v Freiheitsgraden ist, n die Anzahl der Beobachtungen der Ankunftszeiten in der Stichprobe und x-bar der Stichprobendurchschnitt ist. Eine einfache Annäherung an die exakten Intervallendpunkte lässt sich durch eine Normalannäherung an die χ²
_p,v-Verteilung. Diese Annäherung ergibt die folgenden Werte für ein 95%-Konfidenzintervall:

$${\begin{aligned}\lambda _{\text{lower}}&={\widehat {\lambda }}\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\\\lambda _{\text{upper}}&={\widehat {\lambda }}\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {n}}}\right)\end{aligned}}$$

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Diese Annäherung kann für Stichproben, die mindestens 15 bis 20 Elemente enthalten, akzeptabel sein. ⓘ

Bayes'sche Inferenz

Der konjugierte Prior für die Exponentialverteilung ist die Gammaverteilung (von der die Exponentialverteilung ein Spezialfall ist). Die folgende Parametrisierung der Gamma-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist nützlich:

$$\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta ).$$

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Die posteriore Verteilung p kann dann durch die oben definierte Likelihood-Funktion und einen Gamma-Prior ausgedrückt werden:

$${\begin{aligned}p(\lambda )&\propto L(\lambda )\Gamma (\lambda ;\alpha ,\beta )\\&=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right){\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\lambda ^{\alpha -1}\exp(-\lambda \beta )\\&\propto \lambda ^{(\alpha +n)-1}\exp(-\lambda \left(\beta +n{\overline {x}}\right)).\end{aligned}}$$

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Die Posterior-Dichte p ist nun bis auf eine fehlende Normalisierungskonstante spezifiziert. Da sie die Form einer Gamma-PDF hat, kann diese leicht ausgefüllt werden, und man erhält:

$$p(\lambda )=\operatorname {Gamma} (\lambda ;\alpha +n,\beta +n{\overline {x}}).$$

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Hier kann der Hyperparameter α als die Anzahl der vorherigen Beobachtungen interpretiert werden und β als die Summe der vorherigen Beobachtungen. Der posteriore Mittelwert ist hier:

$${\frac {\alpha +n}{\beta +n{\overline {x}}}}.$$

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Vorkommen und Anwendungen

Auftreten von Ereignissen

Die Exponentialverteilung kommt natürlicherweise vor, wenn es darum geht, die Länge der Eintreffzeiten in einem homogenen Poisson-Prozess zu beschreiben. ⓘ

Die Exponentialverteilung kann als kontinuierliches Gegenstück zur geometrischen Verteilung betrachtet werden, die die Anzahl der Bernoulli-Versuche beschreibt, die notwendig sind, damit ein diskreter Prozess seinen Zustand ändert. Im Gegensatz dazu beschreibt die Exponentialverteilung die Zeit, die ein kontinuierlicher Prozess benötigt, um seinen Zustand zu ändern. ⓘ

In realen Szenarien ist die Annahme einer konstanten Rate (oder Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit) selten erfüllt. Zum Beispiel ist die Rate der eingehenden Telefonanrufe je nach Tageszeit unterschiedlich. Wenn wir uns jedoch auf ein Zeitintervall konzentrieren, in dem die Rate annähernd konstant ist, wie z. B. zwischen 14 und 16 Uhr an Werktagen, kann die Exponentialverteilung als gutes Näherungsmodell für die Zeit bis zum nächsten eingehenden Anruf verwendet werden. Ähnliche Vorbehalte gelten für die folgenden Beispiele, die annähernd exponentiell verteilte Variablen ergeben:

• Die Zeit, bis ein radioaktives Teilchen zerfällt, oder die Zeit zwischen den Klicks eines Geigerzählers
• Die Zeit bis zu Ihrem nächsten Telefonanruf
• Die Zeit bis zum Zahlungsausfall (bei Zahlungen an die Gläubiger eines Unternehmens) bei der Modellierung von Kreditrisiken in reduzierter Form ⓘ

Exponentialvariablen können auch verwendet werden, um Situationen zu modellieren, in denen bestimmte Ereignisse mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit auftreten, wie z. B. der Abstand zwischen Mutationen auf einem DNA-Strang oder zwischen Verkehrsunfällen auf einer bestimmten Straße. ⓘ

In der Warteschlangentheorie werden die Servicezeiten der Agenten in einem System (z. B. wie lange ein Bankangestellter usw. braucht, um einen Kunden zu bedienen) häufig als exponentialverteilte Variablen modelliert. (Die Ankunft von Kunden wird z. B. auch durch die Poisson-Verteilung modelliert, wenn die Ankünfte unabhängig und identisch verteilt sind.) Die Länge eines Prozesses, den man sich als eine Folge mehrerer unabhängiger Aufgaben vorstellen kann, folgt der Erlang-Verteilung (das ist die Verteilung der Summe mehrerer unabhängiger exponentialverteilter Variablen). Auch die Zuverlässigkeitstheorie und die Zuverlässigkeitstechnik machen ausgiebig Gebrauch von der Exponentialverteilung. Aufgrund der gedächtnislosen Eigenschaft dieser Verteilung ist sie gut geeignet, um den konstanten Teil der Badewannenkurve zu modellieren, der in der Zuverlässigkeitstheorie verwendet wird. Sie ist auch sehr praktisch, weil es so einfach ist, Ausfallraten in ein Zuverlässigkeitsmodell einzufügen. Die Exponentialverteilung ist jedoch nicht geeignet, um die Gesamtlebensdauer von Organismen oder technischen Geräten zu modellieren, da die "Ausfallraten" hier nicht konstant sind: bei sehr jungen und sehr alten Systemen treten mehr Ausfälle auf. ⓘ

Angepasste kumulative Exponentialverteilung für jährlich maximale 1-Tages-Regenfälle mit CumFreq ⓘ

Betrachtet man in der Physik ein Gas bei fester Temperatur und festem Druck in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld, so folgen die Höhen der einzelnen Moleküle ebenfalls einer annähernden Exponentialverteilung, der so genannten Barometrischen Formel. Dies ist eine Folge der weiter unten erwähnten Entropieeigenschaft. ⓘ

In der Hydrologie wird die Exponentialverteilung verwendet, um Extremwerte von Variablen wie monatliche und jährliche Höchstwerte von Tagesniederschlägen und Flussabflussmengen zu analysieren. ⓘ

Das blaue Bild zeigt ein Beispiel für die Anpassung der Exponentialverteilung an die jährlich maximalen eintägigen Niederschlagsmengen, wobei auch der 90%ige Vertrauensbereich auf der Grundlage der Binomialverteilung dargestellt ist. Die Niederschlagsdaten werden als Teil der kumulativen Häufigkeitsanalyse durch Plotting-Positionen dargestellt.

Im OP-Management die Verteilung der OP-Dauer für eine Kategorie von Eingriffen ohne typischen Arbeitsinhalt (wie in einer Notaufnahme, die alle Arten von Eingriffen umfasst). ⓘ

Vorhersage

Nachdem eine Stichprobe von n Datenpunkten aus einer unbekannten Exponentialverteilung beobachtet wurde, besteht eine häufige Aufgabe darin, diese Stichproben zu verwenden, um Vorhersagen über zukünftige Daten aus derselben Quelle zu treffen. Eine gängige Vorhersageverteilung für künftige Stichproben ist die so genannte Plug-in-Verteilung, die durch Einsetzen eines geeigneten Schätzwertes für den Ratenparameter λ in die Exponentialdichtefunktion gebildet wird. Eine übliche Wahl der Schätzung ist diejenige, die durch das Prinzip der maximalen Wahrscheinlichkeit bereitgestellt wird, und die Verwendung dieser ergibt die Vorhersagedichte über eine zukünftige Stichprobe x_n+1, bedingt durch die beobachteten Stichproben x = (x₁, ..., xn), gegeben durch

$$p_{\rm {ML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {1}{\overline {x}}}\right)\exp \left(-{\frac {x_{n+1}}{\overline {x}}}\right)$$

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Der Bayes'sche Ansatz liefert eine prädiktive Verteilung, die die Unsicherheit des geschätzten Parameters berücksichtigt, obwohl dies entscheidend von der Wahl des Priors abhängen kann. ⓘ

Eine prädiktive Verteilung, die frei von den Problemen bei der Wahl der Prioren ist, die beim subjektiven Bayes'schen Ansatz auftreten, ist ⓘ

$$p_{\rm {CNML}}(x_{n+1}\mid x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n^{n+1}\left({\overline {x}}\right)^{n}}{\left(n{\overline {x}}+x_{n+1}\right)^{n+1}}},$$

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die betrachtet werden kann als

1. eine frequentistische Vertrauensverteilung, die sich aus der Verteilung der zentralen Größe ergibt ${x_{n+1}}/{\overline {x}}$;
2. eine prädiktive Profil-Likelihood, die durch Eliminierung des Parameters λ aus der gemeinsamen Likelihood von x_n+1 und λ durch Maximierung erhalten wird;
3. eine objektive Bayes'sche prädiktive Posterior-Verteilung, die unter Verwendung des nicht-informativen Jeffreys-Prior 1/λ ermittelt wird;
4. die aus informationstheoretischen Überlegungen abgeleitete bedingte normalisierte maximale Wahrscheinlichkeitsverteilung (Conditional Normalized Maximum Likelihood, CNML). ⓘ

Die Genauigkeit einer Vorhersageverteilung kann anhand des Abstands oder der Divergenz zwischen der wahren Exponentialverteilung mit dem Ratenparameter λ₀ und der auf der Stichprobe x basierenden Vorhersageverteilung gemessen werden. Die Kullback-Leibler-Divergenz ist ein allgemein verwendetes, parametrisierungsfreies Maß für die Differenz zwischen zwei Verteilungen. Lässt man Δ(λ₀||p) die Kullback-Leibler-Divergenz zwischen einer Exponentialverteilung mit dem Ratenparameter λ₀ und einer prädiktiven Verteilung p bezeichnen, so kann gezeigt werden, dass ⓘ

$${\begin{aligned}\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {ML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n-1}}-\log(n)\\\operatorname {E} _{\lambda _{0}}\left[\Delta (\lambda _{0}\parallel p_{\rm {CNML}})\right]&=\psi (n)+{\frac {1}{n}}-\log(n)\end{aligned}}$$

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wobei der Erwartungswert in Bezug auf die Exponentialverteilung mit dem Ratenparameter λ₀ ∈ (0, ∞) genommen wird und ψ( - ) die Digamma-Funktion ist. Es ist klar, dass die CNML-Vorhersageverteilung der Maximum-Likelihood-Plug-in-Verteilung in Bezug auf die durchschnittliche Kullback-Leibler-Divergenz für alle Stichprobengrößen n > 0 deutlich überlegen ist. ⓘ

Berechnungsmethoden

Generierung von Exponentialvariablen

Eine konzeptionell sehr einfache Methode zur Erzeugung von Exponentialvariablen basiert auf der inversen Transformationsstichprobe: Bei einer Zufallsvariablen U, die aus der Gleichverteilung auf dem Einheitsintervall (0, 1) gezogen wird, hat die Variate ⓘ

$$T=F^{-1}(U)$$

ⓘ

eine Exponentialverteilung, wobei F-1 die Quantilsfunktion ist, definiert durch ⓘ

$$F^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}.$$

ⓘ

Wenn U auf (0, 1) gleichförmig ist, ist es auch 1 - U. Das bedeutet, dass man Exponentialvariablen wie folgt erzeugen kann:

$$T={\frac {-\ln(U)}{\lambda }}.$$

ⓘ

Andere Methoden zur Erzeugung von Exponentialvariablen werden von Knuth und Devroye diskutiert. ⓘ

Eine schnelle Methode zur Erzeugung einer Menge fertig geordneter Exponentialvariablen ohne Verwendung einer Sortierroutine ist ebenfalls verfügbar. ⓘ

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

• Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des $n$-ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda$ ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern $1$ und $\lambda$. Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von $n$ unabhängigen, $\operatorname {Exp} (\lambda )$-verteilten Zufallsvariablen gamma- oder Erlang-verteilt mit Parametern $n$ und $\lambda$. ⓘ

• Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gammaverteilung mit $p=2$, $b=\lambda$. ⓘ

Beziehung zur Pareto-Verteilung

Wenn $X$ Pareto-verteilt $\operatorname {Par} (\lambda ,1)$ mit Parametern $\lambda$ und $1$ ist, dann ist $\log {X}$ exponentialverteilt $\operatorname {Exp} (\lambda )$ mit dem Parameter $\lambda$. ⓘ

Beziehung zur Weibull-Verteilung

• Mit $\beta =1$ geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate $\lambda$. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ($\lambda >1$) oder fallender ($\lambda <1$) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
• Wenn $X$ exponentialverteilt ist, dann ist $X^{\lambda }$ Weibull-verteilt. ⓘ

Anwendungsbeispiel

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate $\lambda$. ⓘ

Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht. ⓘ

Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen. ⓘ

Die Zufallsgröße $X=$ „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt mit der Ausfallrate $\lambda =0{,}005$. Entsprechend beträgt die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt, $1/\lambda =200$ Tage. ⓘ

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens (noch) 20 Tage hält, ist ⓘ

$1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 20}=0{,}0952$ ⓘ

d. h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen. ⓘ

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten, ⓘ

$1-\left(1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 180}\right)=1-0{,}5934=0{,}4066$ ⓘ

also halten durchschnittlich ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage. ⓘ

Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der Badewannenkurve verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate $\lambda$ höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung (Weibull-Verteilung) notwendig. ⓘ

Zufallszahlen

Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. ⓘ

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Inverse der Verteilungsfunktion $F(x)=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ lautet hierbei $F^{-1}(y)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-y)$. Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher eine Folge $x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u_{i})$ exponentialverteilter Zufallszahlen berechnen. Einfacher kann stattdessen auch $x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(u_{i})$ gerechnet werden. ⓘ