Gammafunktion

Gamma ⓘ
Die Gammafunktion entlang eines Teils der reellen Achse
Allgemeine Informationen
Allgemeine Definition	$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx$
Anwendungsgebiete	Kalkül, mathematische Analyse, Statistik

In der Mathematik ist die Gammafunktion (dargestellt durch Γ, den Großbuchstaben Gamma aus dem griechischen Alphabet) eine häufig verwendete Erweiterung der Fakultät auf komplexe Zahlen. Die Gammafunktion ist für alle komplexen Zahlen außer den nichtpositiven ganzen Zahlen definiert. Für jede positive ganze Zahl n,

$$\Gamma (n)=(n-1)!\ .$$

ⓘ

Die von Daniel Bernoulli abgeleitete Gammafunktion ist für komplexe Zahlen mit positivem Realteil über ein konvergentes uneigentliches Integral definiert:

$$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0\ .$$

ⓘ

Die Gammafunktion ist dann definiert als die analytische Fortsetzung dieser Integralfunktion zu einer meromorphen Funktion, die in der gesamten komplexen Ebene holomorph ist, mit Ausnahme von Null und den negativen ganzen Zahlen, wo die Funktion einfache Pole hat. ⓘ

Die Gammafunktion hat keine Nullstellen, so dass die reziproke Gammafunktion 1/Γ(z) eine ganze Funktion ist. Tatsächlich entspricht die Gammafunktion der Mellin-Transformation der negativen Exponentialfunktion:

$$\Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).$$

ⓘ

Es gibt noch andere Erweiterungen der Fakultät, aber die Gammafunktion ist die bekannteste und nützlichste. Sie ist Bestandteil verschiedener Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen und als solche in den Bereichen Wahrscheinlichkeit und Statistik sowie in der Kombinatorik anwendbar. ⓘ

Graph der Gammafunktion im Reellen ⓘ

Komplexe Gammafunktion: Die Helligkeit entspricht dem Betrag, die Farbe dem Argument des Funktionswerts. Zusätzlich sind Höhenlinien konstanten Betrags eingezeichnet. ⓘ

Betrag der komplexen Gammafunktion ⓘ

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde. ⓘ

Begründung

Die Gammafunktion interpoliert die Faktorialfunktion auf nicht ganzzahlige Werte. ⓘ

Die Gammafunktion kann als Lösung für das folgende Interpolationsproblem angesehen werden:

"Finde eine glatte Kurve, die die durch y = (x - 1)! gegebenen Punkte (x, y) mit den positiven ganzzahligen Werten für x verbindet." ⓘ

Ein Plot der ersten paar Fakultäten macht deutlich, dass eine solche Kurve gezeichnet werden kann, aber es wäre besser, eine Formel zu haben, die die Kurve genau beschreibt, in der die Anzahl der Operationen nicht von der Größe von x abhängt. Die einfache Formel für die Fakultät, x! = 1 × 2 × ⋯ × x, kann nicht direkt für nicht-ganzzahlige Werte von x verwendet werden, da sie nur gültig ist, wenn x eine natürliche Zahl (oder positive ganze Zahl) ist. Relativ gesehen gibt es keine so einfachen Lösungen für Fakultäten; keine endliche Kombination von Summen, Produkten, Potenzen, Exponentialfunktionen oder Logarithmen reicht aus, um x! auszudrücken; aber es ist möglich, eine allgemeine Formel für Fakultäten zu finden, indem man Werkzeuge wie Integrale und Grenzwerte aus der Infinitesimalrechnung verwendet. Eine gute Lösung hierfür ist die Gammafunktion. ⓘ

Es gibt unendlich viele kontinuierliche Erweiterungen der Fakultät auf Nicht-Ganzzahlen: Durch jede Menge isolierter Punkte können unendlich viele Kurven gezogen werden. Die Gammafunktion ist in der Praxis die nützlichste Lösung, da sie analytisch ist (mit Ausnahme der nichtpositiven ganzen Zahlen) und auf mehrere gleichwertige Arten definiert werden kann. Sie ist jedoch nicht die einzige analytische Funktion, die die Fakultät erweitert, denn wenn man ihr eine analytische Funktion hinzufügt, die auf den positiven ganzen Zahlen null ist, wie k sin mπx für eine ganze Zahl m, erhält man eine andere Funktion mit dieser Eigenschaft. ⓘ

Die Gammafunktion, Γ(z) in blau, aufgetragen zusammen mit Γ(z) + sin(πz) in grün. Beachten Sie den Schnittpunkt bei positiven ganzen Zahlen, beide sind gültige analytische Fortsetzungen der Faktoren zu den Nicht-Ganzzahlen ⓘ

Eine restriktivere Eigenschaft als die Erfüllung der obigen Interpolation ist die Erfüllung der Rekursionsrelation, die eine übersetzte Version der Faktorialfunktion definiert, ⓘ

$f(1)=1,$

$f(x+1)=xf(x),$ ⓘ

Dies würde jedoch die Multiplikation mit einer beliebigen Funktion g(x) ermöglichen, die sowohl g(x) = g(x+1) für alle reellen Zahlen x als auch g(0) = 1 erfüllt, wie z. B. die Funktion g(x) = e ^{k sin 2mπx}. Eine von mehreren Möglichkeiten, die Zweideutigkeit endgültig aufzulösen, ergibt sich aus dem Bohr-Mollerup-Theorem. Es besagt, dass die Bedingung, dass f logarithmisch konvex ist (oder "superkonvex", was bedeutet, dass $\ln \circ f$ konvex ist) hinzugefügt wird, bestimmt sie f eindeutig für positive, reelle Eingaben. Von dort aus kann die Gammafunktion durch die eindeutige analytische Fortsetzung von f auf alle reellen und komplexen Werte (außer den negativen ganzen Zahlen und Null) ausgedehnt werden. ⓘ

Definition

Hauptdefinition

Die Schreibweise $\Gamma (z)$ geht auf Legendre zurück. Wenn der Realteil der komplexen Zahl z streng positiv ist ($\Re (z)>0$), dann konvergiert das Integral ⓘ

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx$ ⓘ

absolut konvergiert und wird als Euler-Integral zweiter Art bezeichnet. (Das Eulersche Integral erster Art ist die Betafunktion.) Wenn man die Integration nach Teilen anwendet, sieht man das:

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&={\Bigl [}-x^{z}e^{-x}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }\left(-x^{z}e^{-x}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.\end{aligned}}$

Wenn man erkennt, dass $-x^{z}e^{-x}\to 0$ als $x\to \infty ,$

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}$ ⓘ

Wir können berechnen $\Gamma (1)$:

${\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }\left(-e^{-x}\right)-\left(-e^{-0}\right)\\&=0-(-1)\\&=1.\end{aligned}}$ ⓘ

Unter der Voraussetzung, dass $\Gamma (1)=1$ und $\Gamma (n+1)=n\Gamma (n),$

$\Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!$

für alle positiven ganzen Zahlen n. Dies kann als ein Beispiel für einen Beweis durch Induktion angesehen werden. ⓘ

Die Identität ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ kann verwendet werden (oder, was zum gleichen Ergebnis führt, kann die analytische Fortsetzung verwendet werden), um die Integralformulierung für $\Gamma (z)$ zu einer meromorphen Funktion zu erweitern, die für alle komplexen Zahlen z definiert ist, außer für ganze Zahlen kleiner oder gleich Null. Diese erweiterte Version wird gemeinhin als Gamma-Funktion bezeichnet. ⓘ

Alternative Definitionen

Eulers Definition als unendliches Produkt

Bei der Suche nach einer Näherung $z!$ für eine komplexe Zahl $z$zu approximieren, ist es zweckmäßig, zunächst zu berechnen $n!$ für eine große ganze Zahl $n$. Verwenden Sie diese, um einen Wert für $(n+z)!$und verwenden Sie dann die Rekursionsbeziehung $m!=m(m-1)!$ rückwärts $n$ um sie zu einem Näherungswert für $z!$. Außerdem ist diese Näherung exakt im Grenzwert, wenn $n$ gegen unendlich geht. ⓘ

Konkret bedeutet dies, dass für eine feste ganze Zahl $m$ist es der Fall, dass

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.$ ⓘ

Wenn $m$ keine ganze Zahl ist, kann man nicht sagen, ob diese Gleichung wahr ist, da wir (in diesem Abschnitt) die Fakultät noch nicht für Nicht-Ganzzahlen definiert haben. Wir erhalten jedoch eine eindeutige Erweiterung der Fakultät auf Nicht-Ganzzahlen, indem wir darauf bestehen, dass diese Gleichung weiterhin gilt, wenn die beliebige Ganzzahl $m$ durch eine beliebige komplexe Zahl ersetzt wird $z$. ⓘ

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.$

Die Multiplikation beider Seiten mit $z!$ ergibt

${\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}$

Dieses unendliche Produkt konvergiert für alle komplexen Zahlen $z$ außer für die negativen ganzen Zahlen, die nicht konvergieren, weil der Versuch, die Rekursionsbeziehung $m!=m(m-1)!$ rückwärts durch den Wert $m=0$ eine Division durch Null beinhaltet. ⓘ

Auch für die Gamma-Funktion gilt die Definition als unendliches Produkt nach Euler für alle komplexen Zahlen $z$ außer den nicht-positiven ganzen Zahlen:

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\,.$

Nach dieser Konstruktion ist die Gammafunktion die einzige Funktion, die gleichzeitig erfüllt $\Gamma (1)=1$, $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$ für alle komplexen Zahlen $z$ außer den nicht-positiven ganzen Zahlen, und ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ für alle komplexen Zahlen $z$. ⓘ

Weierstraß'sche Definition

Die Definition der Gammafunktion nach Weierstraß gilt auch für alle komplexen Zahlen z mit Ausnahme der nichtpositiven ganzen Zahlen:

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},$

wobei $\gamma \approx 0.577216$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Dies ist das Hadamard-Produkt von $1/\Gamma (z)$ in einer umgeschriebenen Form. In der Tat, da $1/\Gamma (z)$ ganz vom Genus 1 ist mit einer einfachen Nullstelle bei $z=0$ist, haben wir die Produktdarstellung

${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{Az+B}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {z}{\rho }}\right)e^{z/\rho },$

wobei sich das Produkt über die Nullstellen $\rho \neq 0$ von $1/\Gamma (z)$. Da $\Gamma (z)$ einfache Pole bei den nichtpositiven ganzen Zahlen hat, folgt daraus $1/\Gamma (z)$ einfache Nullstellen bei den nichtpositiven ganzen Zahlen hat, und so wird die obige Gleichung zur Weierstraß'schen Formel mit $-Az-B$ anstelle von $-\gamma z$. Die Herleitung der Konstanten $A=\gamma$ und $B=0$ ist etwas technisch, kann aber mit Hilfe einiger Identitäten, die die Riemannsche Zeta-Funktion betreffen, durchgeführt werden (siehe z. B. diese Identität). Siehe auch das Weierstraß-Faktorisierungs-Theorem. ⓘ

In Bezug auf verallgemeinerte Laguerre-Polynome

Eine Darstellung der unvollständigen Gammafunktion in Form von verallgemeinerten Laguerre-Polynomen ist

$\Gamma (z,x)=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}^{(z)}(x)}{n+1}},$

die konvergiert für $\Re (z)>-1$ und $x>0$. ⓘ

Eigenschaften

Allgemein

Weitere wichtige funktionale Gleichungen für die Gamma-Funktion sind die Eulersche Reflexionsformel ⓘ

$\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z}$ ⓘ

die impliziert ⓘ

$\Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z}$ ⓘ

und die Legendre-Verdopplungsformel ⓘ

$\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$ ⓘ

Herleitung der Eulerschen Reflexionsformel ⓘ

Da $e^{-t}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n},$ kann die Gammafunktion dargestellt werden als $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\,dt.$ Integrieren nach Teilen $n$ mal ergibt $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{nz}}\cdot {\frac {n-1}{n(z+1)}}\cdot {\frac {n-2}{n(z+2)}}\cdots {\frac {1}{n(z+n-1)}}\int _{0}^{n}t^{z+n-1}\,dt,$ was gleich ist mit $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}\left(\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}\right)n^{z+n}.$ Dies kann umgeschrieben werden als $\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k}{z+k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {z}{k}}}}.$ Damit können wir die linke Seite der Reflexionsformel auswerten: $\Gamma (1-z)\Gamma (z)=-z\Gamma (-z)\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.$ Es kann bewiesen werden, dass $\sin \pi z=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right).$ Dann ${\frac {\pi }{\sin \pi z}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}}}.$ folgt die Eulersche Reflexionsformel: $\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} .$

Herleitung der Legendre-Verdopplungsformel ⓘ

Die Betafunktion kann dargestellt werden als $\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.$ Die Einstellung $z_{1}=z_{2}=z$ ergibt ${\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.$ Nach der Substitution $t={\frac {1+x}{2}}$ erhalten wir ${\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx.$ Die Funktion $(1-x^{2})^{z-1}$ ist gerade, also $2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx.$ Nehmen wir nun an $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}.$ Dann $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx.$ Dies impliziert $2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right).$ Da $\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ folgt die Legendre-Verdopplungsformel: $\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).$

Die Verdopplungsformel ist ein Spezialfall des Multiplikationssatzes (siehe Gl. 5.5.6) ⓘ

$\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).$ ⓘ

Eine einfache, aber nützliche Eigenschaft, die sich aus der Grenzwertdefinition ergibt, ist:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .$ ⓘ

Insbesondere mit z = a + bi ist dieses Produkt ⓘ

$|\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}$ ⓘ

Wenn der Realteil eine ganze oder halbe Zahl ist, lässt sich dies in geschlossener Form endlich ausdrücken:

${\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}$ ⓘ

Beweis der Absolutwertformeln für Argumente mit ganz- oder halbzahligem Realteil ⓘ

Betrachten wir zunächst die Reflexionsformel, angewandt auf $z=bi$. $\Gamma (bi)\Gamma (1-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}$ Wendet man die Rekursionsbeziehung auf den zweiten Term an, so erhält man $-bi\cdot \Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}$ was durch einfaches Umordnen folgendes ergibt $\Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{-bi\sin \pi bi}}={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}$ Zweitens: Betrachten Sie die Reflexionsformel angewandt auf $z={\tfrac {1}{2}}+bi$. $\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma \left(1-({\tfrac {1}{2}}+bi)\right)=\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi ({\tfrac {1}{2}}+bi)}}={\frac {\pi }{\cos \pi bi}}={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}$ Formeln für andere Werte von $z$ für die der Realteil ganz- oder halbzahlig ist, folgen schnell durch Induktion unter Verwendung der Rekursionsbeziehung in positiver und negativer Richtung.

Der vielleicht bekannteste Wert der Gammafunktion für ein nicht ganzzahliges Argument ist ⓘ

$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ ⓘ

der gefunden werden kann, indem man ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ in den Reflexions- oder Verdopplungsformeln, durch Verwendung der unten angegebenen Beziehung zur Betafunktion mit ${\textstyle x=y={\frac {1}{2}}}$oder einfach durch Einsetzen der Substitution $u={\sqrt {x}}$ in der Integraldefinition der Gammafunktion, was zu einem Gaußschen Integral führt. Im Allgemeinen gilt für nichtnegative ganzzahlige Werte von $n$ haben wir:

${\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}$ ⓘ

wobei die doppelte Fakultät $(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)$. Siehe Besondere Werte der Gammafunktion für berechnete Werte. ⓘ

Es könnte verlockend sein, das Ergebnis zu verallgemeinern, dass ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ durch die Suche nach einer Formel für andere Einzelwerte $\Gamma (r)$ wobei $r$ rational ist, zumal dies nach dem Digamma-Theorem von Gauß auch für die eng verwandte Digamma-Funktion für jeden rationalen Wert möglich ist. Allerdings sind diese Zahlen $\Gamma (r)$ sind jedoch nicht dafür bekannt, dass sie selbst durch elementare Funktionen ausgedrückt werden können. Es ist bewiesen worden, dass $\Gamma (n+r)$ ist eine transzendente Zahl und algebraisch unabhängig von $\pi$ für jede ganze Zahl $n$ und jeder der Brüche ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$. Im Allgemeinen müssen wir uns bei der Berechnung von Werten der Gammafunktion mit numerischen Näherungen begnügen. ⓘ

Die Ableitungen der Gamma-Funktion werden durch die Polygamma-Funktion beschrieben. Ein Beispiel:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).$ ⓘ

Für eine positive ganze Zahl m kann die Ableitung der Gammafunktion wie folgt berechnet werden (hier $\gamma$ ist die Euler-Mascheroni-Konstante):

$\Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.$ ⓘ

Für $\Re (x)>0$ die $n$Ableitung der Gammafunktion ist:

Ableitung der Funktion Γ(z) ⓘ

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.$ ⓘ

(Diese lässt sich durch Differenzieren der Integralform der Gammafunktion nach $x$und durch Anwendung der Technik der Differenzierung unter dem Integralzeichen). ⓘ

Unter Verwendung der Identität ⓘ

$\Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}$ ⓘ

wobei $\zeta (z)$ ist die Riemannsche Zetafunktion, und $\pi$ ist eine Partition von $n$ gegeben durch

$\pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ terms}}},$ ⓘ

haben wir insbesondere ⓘ

$\Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).$ ⓘ

Ungleichungen

Bei Beschränkung auf die positiven reellen Zahlen ist die Gammafunktion eine streng logarithmisch konvexe Funktion. Diese Eigenschaft kann auf eine der folgenden drei äquivalenten Weisen angegeben werden:

• Für zwei beliebige positive reelle Zahlen $x_{1}$ und $x_{2}$, und für jede $t\in [0,1]$,
  $$\Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.$$
• Für zwei beliebige positive reelle Zahlen x und y mit y > x,
  $$\left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\right).$$
• Für jede positive reelle Zahl $x$,
  $$\Gamma (x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.$$

Die letzte dieser Aussagen ist, im Wesentlichen per Definition, die gleiche wie die Aussage, dass $\psi ^{(1)}(x)>0$, wobei $\psi ^{(1)}$ die Polygamma-Funktion der Ordnung 1 ist. Um die logarithmische Konvexität der Gammafunktion zu beweisen, genügt es also zu beobachten, dass $\psi ^{(1)}$ eine Reihendarstellung hat, die für positive reelle x nur aus positiven Termen besteht. ⓘ

Die logarithmische Konvexität und die Jensensche Ungleichung implizieren für alle positiven reellen Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und $a_{1},\ldots ,a_{n}$,

$$\Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.$$

ⓘ

Es gibt auch Schranken für Verhältnisse von Gammafunktionen. Die bekannteste ist die Ungleichung von Gautschi, die besagt, dass für jede positive reelle Zahl x und jedes s ∈ (0, 1),

$$x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.$$

ⓘ

Stirlingsche Formel

Darstellung der Gammafunktion in der komplexen Ebene. Jeder Punkt $z$ ist entsprechend dem Argument von $\Gamma (z)$. Die Konturdarstellung des Moduls $|\Gamma (z)|$ wird ebenfalls angezeigt. ⓘ

3-dimensionale Darstellung des Absolutwerts der komplexen Gammafunktion ⓘ

Das Verhalten von $\Gamma (x)$ für eine zunehmende positive reelle Variable wird durch die Stirling-Formel gegeben

$\Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},$

wobei das Symbol $\sim$ asymptotische Konvergenz bedeutet; das Verhältnis der beiden Seiten konvergiert im Grenzwert gegen 1 ${\textstyle x\to +\infty }$. Dieses Wachstum ist schneller als exponentiell, $\exp(\beta x)$für jeden festen Wert von $\beta$. ⓘ

Ein weiterer nützlicher Grenzwert für asymptotische Näherungen für $x\to +\infty$ ist:

${\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .$ ⓘ

Residuen

Das Verhalten für nicht-positive $z$ ist etwas komplizierter. Das Eulersche Integral konvergiert nicht für $z\leq 0$nicht, aber die Funktion, die es in der positiven komplexen Halbebene definiert, hat eine eindeutige analytische Fortsetzung in der negativen Halbebene. Eine Möglichkeit, diese analytische Fortsetzung zu finden, besteht darin, das Eulersche Integral für positive Argumente zu verwenden und den Bereich durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformel auf negative Zahlen auszudehnen,

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},$

Auswahl von $n$ so wählen, dass $z+n$ positiv ist. Das Produkt im Nenner ist Null, wenn $z$ gleich einer der ganzen Zahlen $0,-1,-2,\dots$. Die Gammafunktion muss also an diesen Stellen undefiniert sein, um eine Division durch Null zu vermeiden; sie ist eine meromorphe Funktion mit einfachen Polen an den nichtpositiven ganzen Zahlen. ⓘ

Für eine Funktion $f$ einer komplexen Variablen $z$an einem einfachen Pol $c$ist der Rückstand von $f$ gegeben durch:

$\operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).$ ⓘ

Für den einfachen Pol $z=-n,$ schreiben wir die Rekursionsformel wie folgt um:

$(z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.$

Der Zähler bei $z=-n,$ ist

$\Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1$

und der Nenner

$z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.$

Die Residuen der Gammafunktion an diesen Punkten sind also:

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.$ ⓘ

Die Gammafunktion ist überall entlang der reellen Linie ungleich Null, obwohl sie beliebig nahe an Null herankommt, wenn z → -∞. Es gibt in der Tat keine komplexe Zahl $z$ für die $\Gamma (z)=0$und damit die reziproke Gammafunktion ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ eine ganze Funktion ist, mit Nullen bei $z=0,-1,-2,\dots$. ⓘ

Minima

Auf der reellen Linie hat die Gammafunktion ein lokales Minimum bei z_min ≈ +1,46163214496836234126 (abgeschnitten), wo sie den Wert Γ(z_min) ≈ +0,88560319441088870027 (abgeschnitten) erreicht. Die Gammafunktion steigt zu beiden Seiten dieses Minimums an. Die Lösung von Γ(z - 0,5) = Γ(z + 0,5) ist z = 1,5. Die positive Lösung von Γ(z - 1) = Γ(z + 1) ist z ≈ 1,618, der Goldene Schnitt. ⓘ

Die Gammafunktion muss zwischen ihren Polen bei den nichtpositiven ganzen Zahlen das Vorzeichen wechseln, da das Produkt in der Vorwärtsrekursion eine ungerade Anzahl negativer Faktoren enthält, wenn die Anzahl der Pole zwischen $z$ und $z+n$ ungerade ist, und eine gerade Anzahl, wenn die Anzahl der Pole gerade ist. ⓘ

Integrale Darstellungen

Neben dem Euler-Integral zweiter Art gibt es viele Formeln, die die Gamma-Funktion als Integral ausdrücken. Zum Beispiel, wenn der Realteil von z positiv ist,

$\Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.$ ⓘ

wobei $\log$ den komplexen Logarithmus bezeichnet. ⓘ

Die erste Integralformel von Binet für die Gammafunktion besagt, dass, wenn der Realteil von z positiv ist, dann:

$\log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.$

Das Integral auf der rechten Seite kann als eine Laplace-Transformation interpretiert werden. Das bedeutet,

$\log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).$ ⓘ

Die zweite Integralformel von Binet besagt, dass, wiederum wenn der Realteil von z positiv ist, dann:

$\log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.$ ⓘ

Sei C eine Hankel-Kontur, d.h. ein Weg, der im Punkt ∞ auf der Riemannschen Kugel beginnt und endet, dessen Einheitstangentenvektor am Anfang des Weges zu -1 und am Ende zu 1 konvergiert, der die Windungszahl 1 um 0 hat und der [0, ∞) nicht schneidet. Fixieren Sie einen Zweig von $\log(-t)$ durch einen Zweigschnitt entlang [0, ∞) und indem man $\log(-t)$ real ist, wenn t auf der negativen reellen Achse liegt. Angenommen, z ist keine ganze Zahl. Dann lautet die Hankelsche Formel für die Gammafunktion:

$\Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,$

wobei $(-t)^{z-1}$ wird interpretiert als $\exp((z-1)\log(-t))$. Die Reflexionsformel führt zu dem eng verwandten Ausdruck

${\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,$

der wiederum gültig ist, wenn z keine ganze Zahl ist. ⓘ

Fourierreihenentwicklung

Der Logarithmus der Gamma-Funktion hat die folgende Fourier-Reihenentwicklung für $0<z<1:$

$\ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),$ ⓘ

die lange Zeit Ernst Kummer zugeschrieben wurde, der sie 1847 ableitete. Iaroslav Blagouchine entdeckte jedoch, dass Carl Johan Malmsten diese Reihe erstmals 1842 ableitete. ⓘ

Raabes Formel

Im Jahr 1840 bewies Joseph Ludwig Raabe, dass

$\int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.$

Insbesondere, wenn $a=0$ dann

$\int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .$ ⓘ

Letztere lässt sich ableiten, indem man den Logarithmus in der obigen Multiplikationsformel nimmt, die einen Ausdruck für die Riemannsche Summe des Integranden liefert. Wenn man den Grenzwert für $a\to \infty$ ergibt die Formel. ⓘ

Pi-Funktion

Eine alternative Notation, die ursprünglich von Gauß eingeführt wurde, ist die $\Pi$-Funktion, die in Bezug auf die Gamma-Funktion wie folgt lautet ⓘ

$\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,$ ⓘ

so dass $\Pi (n)=n!$ für jede nichtnegative ganze Zahl $n$. ⓘ

Bei Verwendung der pi-Funktion erhält die Reflexionsformel die Form ⓘ

$\Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}$ ⓘ

wobei sinc die normierte sinc-Funktion ist, während der Multiplikationssatz folgende Form annimmt ⓘ

$\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .$ ⓘ

Wir finden manchmal auch ⓘ

$\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,$ ⓘ

die eine ganze Funktion ist, die für jede komplexe Zahl definiert ist, genau wie die reziproke Gamma-Funktion. Dass $\pi (z)$ ganz ist, bedeutet, dass sie keine Pole hat, also $\Pi \left(z\right)$, wie $\Gamma \left(z\right)$keine Nullstellen hat. ⓘ

Das Volumen eines n-Ellipsoids mit den Radien r₁, ..., rn kann ausgedrückt werden als ⓘ

$V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.$ ⓘ

Beziehung zu anderen Funktionen

• Im ersten Integral oben, das die Gammafunktion definiert, sind die Integrationsgrenzen festgelegt. Die oberen und unteren unvollständigen Gamma-Funktionen sind die Funktionen, die man erhält, wenn man die untere bzw. obere Integrationsgrenze variieren lässt.
• Die Gammafunktion ist mit der Betafunktion durch die folgende Formel verbunden
  $$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$$
• Die logarithmische Ableitung der Gammafunktion wird als Digammafunktion bezeichnet; höhere Ableitungen sind die Polygammafunktionen.
• Das Analogon der Gammafunktion über einem endlichen Feld oder einem endlichen Ring sind die Gaußschen Summen, eine Art Exponentialsumme.
• Die reziproke Gammafunktion ist eine vollständige Funktion und wurde als spezielles Thema untersucht.
• Die Gammafunktion steht auch in einem wichtigen Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion, $\zeta (z)$.
  $$\pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).$$
  Sie taucht auch in der folgenden Formel auf:
  $$\zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},$$
  die nur gültig ist für $\Re (z)>1$. Der Logarithmus der Gammafunktion erfüllt die folgende Formel von Lerch:
  $$\log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta '(0),$$
  wobei $\zeta _{H}$ ist die Hurwitz-Zetafunktion, $\zeta$ ist die Riemannsche Zetafunktion und die Primzahl (′) bezeichnet die Differenzierung in der ersten Variablen.
• Die Gamma-Funktion ist mit der gestreckten Exponentialfunktion verwandt. Die Momente dieser Funktion sind zum Beispiel
  $$\langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).$$
  ⓘ

Besondere Werte

Einschließlich der ersten 20 Stellen nach dem Komma sind einige besondere Werte der Gammafunktion:

${\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}$

Die komplexwertige Gammafunktion ist für nicht-positive ganze Zahlen undefiniert, aber in diesen Fällen kann der Wert auf der Riemannschen Sphäre als ∞ definiert werden. Die reziproke Gammafunktion ist bei diesen Werten (und in der gesamten komplexen Ebene) wohldefiniert und analytisch:

${\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.$ ⓘ

Die log-Gamma-Funktion

Die analytische Funktion log Γ(z) ⓘ

Da die Gamma- und die faktorielle Funktion bei mäßig großen Argumenten so schnell wachsen, enthalten viele Computerumgebungen eine Funktion, die den natürlichen Logarithmus der Gammafunktion zurückgibt (in Programmierumgebungen oft lgamma oder lngamma genannt, in Tabellenkalkulationen gammaln); diese wächst viel langsamer und ermöglicht bei kombinatorischen Berechnungen das Addieren und Subtrahieren von Logarithmen, anstatt sehr große Werte zu multiplizieren und zu dividieren. Sie wird oft definiert als ⓘ

$\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].$ ⓘ

Die Digamma-Funktion, die die Ableitung dieser Funktion ist, wird ebenfalls häufig verwendet. Im Zusammenhang mit technischen und physikalischen Anwendungen, z. B. bei der Wellenausbreitung, wird die Funktionsgleichung ⓘ

$\ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln z$ ⓘ

häufig verwendet, da sie es erlaubt, Funktionswerte in einem Streifen der Breite 1 in z aus dem benachbarten Streifen zu bestimmen. Insbesondere kann man sich, ausgehend von einer guten Näherung für ein z mit großem Realteil, schrittweise an das gewünschte z herantasten. Nach einem Hinweis von Carl Friedrich Gauß schlug Rocktaeschel (1922) für $\ln(\Gamma (z))$ eine Näherung für große Re(z) vor:

$\ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).$ ⓘ

Diese kann verwendet werden, um ln(Γ(z)) für z mit einem kleineren Re(z) über (P.E.Böhmer, 1939) genau zu approximieren ⓘ

$\ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k).$ ⓘ

Eine genauere Näherung kann durch die Verwendung weiterer Terme aus den asymptotischen Erweiterungen von ln(Γ(z)) und Γ(z), die auf der Stirlingschen Näherung beruhen, erreicht werden. ⓘ

$\Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)$

als |z| → ∞ bei konstantem |arg(z)| < π. ⓘ

In einer "natürlicheren" Darstellung:

$\ln \Gamma (z)=z\ln z-z-{\tfrac {1}{2}}\ln z+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)$

als |z| → ∞ bei konstantem |arg(z)| < π. ⓘ

Die Koeffizienten der Terme mit k > 1 von z1-k in der letzten Erweiterung sind einfach ⓘ

${\frac {B_{k}}{k(k-1)}}$

wobei die Bk die Bernoulli-Zahlen sind. ⓘ

Die Gamma-Funktion hat auch eine Stirling-Reihe (abgeleitet von Charles Hermite im Jahr 1900), die gleich ist mit ⓘ

$\log \Gamma \left(1+x\right)={\frac {x\left(x-1\right)}{2!}}\log \left(2\right)+{\frac {x\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{3!}}\left(\log \left(3\right)-2\log \left(2\right)\right)+...,\quad \Re (x)>0.$ ⓘ

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939) charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:

Eine holomorphe Funktion $G$, definiert auf einem Gebiet $D$, das den Streifen $S=\{x\in \mathbb {C} \mid 1\leq \operatorname {Re} (x)<2\}$ enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf $D$, wenn gilt:

1. $G(1)=1,$
2. $G(x+1)=x\cdot G(x),$
3. $|G|$ ist auf dem Streifen $S$ beschränkt, das heißt, es existiert ein $c>0$, sodass $|G(x)|<c$ für alle $x$ aus $S$. ⓘ

Eigenschaften

Das Bohr-Mollerup-Theorem besagt, dass unter allen Funktionen, die die faktoriellen Funktionen auf die positiven reellen Zahlen erweitern, nur die Gamma-Funktion log-konvex ist, d. h. ihr natürlicher Logarithmus ist auf der positiven reellen Achse konvex. Eine weitere Charakterisierung ergibt sich aus dem Wielandt-Theorem. ⓘ

In gewissem Sinne ist die ln(Γ)-Funktion die natürlichere Form; sie macht einige Eigenschaften der Funktion deutlicher. Ein eindrucksvolles Beispiel ist die Taylorreihe von ln(Γ) um 1:

$\ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1$ ⓘ

wobei ζ(k) die Riemannsche Zeta-Funktion bei k bezeichnet. ⓘ

Unter Verwendung der folgenden Eigenschaft:

$\zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}$

Wir können eine integrale Darstellung für die Funktion ln(Γ) finden:

$\ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\left(e^{-zt}-1+zt\right)\,}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt$ ⓘ

Wenn wir z = 1 setzen, um ein Integral für γ zu erhalten, können wir den γ-Term durch sein Integral ersetzen und dieses in die obige Formel einfügen:

$\ln \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\left(e^{-zt}-ze^{-t}-1+z\right)\,}{t(e^{t}-1)}}\,dt\,.$ ⓘ

Es gibt auch spezielle Formeln für den Logarithmus der Gammafunktion für rationale z. Zum Beispiel, wenn $k$ und $n$ ganze Zahlen sind mit $k<n$ und $k\neq n/2\,,$ dann ⓘ

${\begin{aligned}\ln \Gamma \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\ln 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\ln r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x\end{aligned}}$ ⓘ

siehe. Diese Formel wird manchmal für numerische Berechnungen verwendet, da der Integrand sehr schnell abnimmt. ⓘ

Integration über log-gamma

Das Integral ⓘ

$\int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx$ ⓘ

kann in Form der Barnes-G-Funktion ausgedrückt werden (siehe Barnes-G-Funktion für einen Beweis):

$\int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\ln \Gamma (z)-\ln G(z+1)$ ⓘ

wobei Re(z) > -1 ist. ⓘ

Es kann auch in Form der Hurwitz-Zeta-Funktion geschrieben werden:

$\int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).$ ⓘ

Wenn $z=1$ folgt daraus, dass

$\int _{0}^{1}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {1}{2}}\ln(2\pi ),$

und dies ist auch eine Folge der Raabe'schen Formel. O. Espinosa und V. Moll leiteten eine ähnliche Formel für das Integral des Quadrats von $\ln \Gamma$:

$\int _{0}^{1}\ln ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},$

wobei $L_{1}$ ist ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi )$. ⓘ

D. H. Bailey und seine Mitautoren gaben eine Auswertung für

$L_{n}:=\int _{0}^{1}\ln ^{n}\Gamma (x)dx$

wenn $n=1,2$ in Form der Tornheim-Witten-Zetafunktion und ihrer Ableitungen. ⓘ

Darüber hinaus ist auch bekannt, dass

$\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.$ ⓘ

Annäherungen

Vergleich der Gammafunktion (blaue Linie) mit der Fakultät (blaue Punkte) und der Stirlingschen Approximation (rote Linie) ⓘ

Komplexe Werte der Gamma-Funktion können mit der Stirlingschen Approximation oder der Lanczos-Approximation angenähert werden,

$\Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .$

Dies ist insofern präzise, als sich das Verhältnis zwischen der Annäherung und dem wahren Wert im Grenzwert gegen 1 bewegt, wenn |z| ins Unendliche geht. ⓘ

Die Gammafunktion kann mit fester Genauigkeit berechnet werden für $\operatorname {Re} (z)\in [1,2]$ durch Anwendung der Integration durch Teile auf das Eulersche Integral berechnet werden. Für jede positive Zahl x kann die Gammafunktion wie folgt geschrieben werden ⓘ

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Wenn Re(z) ∈ [1,2] und $x\geq 1$ist der Absolutwert des letzten Integrals kleiner als $(x+1)e^{-x}$. Durch die Wahl eines ausreichend großen $x$kann dieser letzte Ausdruck kleiner gemacht werden als $2^{-N}$ für jeden gewünschten Wert $N$. Somit kann die Gammafunktion mit einer Genauigkeit von $N$ Bits genau mit der obigen Reihe ausgewertet werden. ⓘ

Ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Euler-Gammafunktion für beliebige algebraische Argumente (auch rationale) wurde von E.A. Karatsuba entwickelt. ⓘ

Für Argumente, die ganzzahlige Vielfache von 1/24 sind, kann die Gammafunktion auch schnell mit arithmetisch-geometrischen Mittelwert-Iterationen berechnet werden (siehe bestimmte Werte der Gammafunktion). ⓘ

Anwendungen

Ein Autor beschreibt die Gammafunktion als "die wohl gebräuchlichste Spezialfunktion, oder die am wenigsten 'spezielle' von ihnen. Die anderen transzendentalen Funktionen [...] werden als 'speziell' bezeichnet, weil man einige von ihnen möglicherweise vermeiden könnte, wenn man sich von vielen speziellen mathematischen Themen fernhält. Die Gammafunktion y = Γ(x) ist dagegen am schwierigsten zu vermeiden." ⓘ

Integrationsprobleme

Die Gammafunktion findet in so unterschiedlichen Bereichen wie Quantenphysik, Astrophysik und Strömungsdynamik Anwendung. Die Gamma-Verteilung, die in Form der Gamma-Funktion formuliert ist, wird in der Statistik verwendet, um eine Vielzahl von Prozessen zu modellieren, zum Beispiel die Zeit zwischen dem Auftreten von Erdbeben. ⓘ

Der Hauptgrund für die Nützlichkeit der Gammafunktion in solchen Zusammenhängen ist das Vorherrschen von Ausdrücken des Typs $f(t)e^{-g(t)}$ die Prozesse beschreiben, die in der Zeit oder im Raum exponentiell abklingen. Integrale solcher Ausdrücke können gelegentlich in Form der Gammafunktion gelöst werden, wenn keine elementare Lösung existiert. Wenn zum Beispiel f eine Potenzfunktion und g eine lineare Funktion ist, ergibt ein einfacher Variablenwechsel die Auswertung ⓘ

$\int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.$ ⓘ

Die Tatsache, dass die Integration entlang der gesamten positiven reellen Linie durchgeführt wird, könnte bedeuten, dass die Gammafunktion die Kumulation eines zeitabhängigen Prozesses beschreibt, der unendlich lange andauert, oder der Wert könnte die Summe einer Verteilung in einem unendlichen Raum sein. ⓘ

Natürlich ist es häufig sinnvoll, andere Integrationsgrenzen als 0 und ∞ zu nehmen, um die Kumulierung eines endlichen Prozesses zu beschreiben. In diesem Fall ist die gewöhnliche Gammafunktion keine Lösung mehr; die Lösung wird dann als unvollständige Gammafunktion bezeichnet. (Die gewöhnliche Gammafunktion, die man durch Integration über die gesamte positive reelle Linie erhält, wird zum Vergleich manchmal als vollständige Gammafunktion bezeichnet.) ⓘ

Eine wichtige Kategorie exponentiell abklingender Funktionen ist die der Gaußschen Funktionen

$ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}$

und deren Integrale, wie z. B. die Fehlerfunktion. Zwischen diesen Funktionen und der Gammafunktion gibt es zahlreiche Wechselbeziehungen; insbesondere der Faktor ${\sqrt {\pi }}$ der durch Auswertung von ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$ ist derselbe wie der Normalisierungsfaktor der Fehlerfunktion und der Normalverteilung. ⓘ

Bei den bisher besprochenen Integralen handelt es sich um transzendentale Funktionen, aber die Gammafunktion ergibt sich auch aus Integralen von rein algebraischen Funktionen. Insbesondere die Bogenlängen von Ellipsen und der Lemniskate, die durch algebraische Gleichungen definierte Kurven sind, sind durch elliptische Integrale gegeben, die in speziellen Fällen in Form der Gammafunktion ausgewertet werden können. Die Gammafunktion kann auch zur Berechnung des "Volumens" und der "Fläche" von n-dimensionalen Hypersphären verwendet werden. ⓘ

Berechnung von Produkten

Die Fähigkeit der Gammafunktion, faktorielle Produkte zu verallgemeinern, führt unmittelbar zu Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik: in der Kombinatorik und in der Folge auch in Bereichen wie der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Berechnung von Potenzreihen. Viele Ausdrücke, die Produkte aufeinanderfolgender ganzer Zahlen beinhalten, können als eine Kombination von Faktoren geschrieben werden; das vielleicht wichtigste Beispiel ist der Binomialkoeffizient ⓘ

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$ ⓘ

Das Beispiel der Binomialkoeffizienten verdeutlicht, warum die Eigenschaften der Gammafunktion, wenn sie auf negative Zahlen ausgedehnt wird, natürlich sind. Ein Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen; wenn k > n ist, gibt es natürlich keine Möglichkeiten. Wenn k > n ist, ist (n - k)! die Fakultät einer negativen ganzen Zahl und somit unendlich, wenn wir die Definition der Gammafunktion für Fakultäten verwenden - die Division durch unendlich ergibt den Erwartungswert 0. ⓘ

Wir können die Fakultät durch eine Gammafunktion ersetzen, um eine solche Formel auf die komplexen Zahlen auszudehnen. Im Allgemeinen funktioniert dies für jedes Produkt, bei dem jeder Faktor eine rationale Funktion der Indexvariablen ist, indem man die rationale Funktion in lineare Ausdrücke zerlegt. Wenn P und Q monische Polynome vom Grad m und n mit den jeweiligen Wurzeln p₁, ..., pm und q₁, ..., qn sind, gilt ⓘ

$\prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).$ ⓘ

Wenn wir eine Möglichkeit haben, die Gammafunktion numerisch zu berechnen, ist es ein Kinderspiel, die numerischen Werte solcher Produkte zu berechnen. Die Anzahl der Gammafunktionen auf der rechten Seite hängt nur vom Grad der Polynome ab, so dass es keine Rolle spielt, ob b - a gleich 5 oder 10⁵ ist. Durch Einsetzen der entsprechenden Grenzwerte kann die Gleichung auch dann gelten, wenn das linke Produkt Nullstellen oder Pole enthält. ⓘ

Bestimmte rationale Produkte mit unendlich vielen Faktoren lassen sich durch Grenzwertbetrachtung auch in Bezug auf die Gammafunktion auswerten. Aufgrund des Weierstraß'schen Faktorisierungssatzes können analytische Funktionen als unendliche Produkte geschrieben werden, und diese können manchmal als endliche Produkte oder Quotienten der Gammafunktion dargestellt werden. Wir haben bereits ein markantes Beispiel gesehen: Die Reflexionsformel stellt die Sinusfunktion im Wesentlichen als Produkt zweier Gammafunktionen dar. Ausgehend von dieser Formel können die Exponentialfunktion sowie alle trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen durch die Gammafunktion ausgedrückt werden. ⓘ

Weitere Funktionen, einschließlich der hypergeometrischen Funktion und ihrer Spezialfälle, lassen sich durch komplexe Konturintegrale von Produkten und Quotienten der Gammafunktion darstellen, die so genannten Mellin-Barnes-Integrale. ⓘ

Analytische Zahlentheorie

Eine Anwendung der Gamma-Funktion ist die Untersuchung der Riemannschen Zeta-Funktion. Eine grundlegende Eigenschaft der Riemannschen Zetafunktion ist ihre Funktionsgleichung:

$\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.$ ⓘ

Diese liefert unter anderem eine explizite Form für die analytische Fortsetzung der Zetafunktion zu einer meromorphen Funktion in der komplexen Ebene und führt zu einem unmittelbaren Beweis, dass die Zetafunktion unendlich viele sogenannte "triviale" Nullstellen auf der reellen Linie hat. Borwein et al. bezeichnen diese Formel als "eine der schönsten Entdeckungen der Mathematik". Ein weiterer Anwärter auf diesen Titel könnte sein ⓘ

$\zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.$ ⓘ

Beide Formeln wurden von Bernhard Riemann in seiner bahnbrechenden Arbeit "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe" von 1859 abgeleitet, einem der Meilensteine in der Entwicklung der analytischen Zahlentheorie - dem Zweig der Mathematik, der Primzahlen mit den Mitteln der mathematischen Analyse untersucht. Faktorielle Zahlen, die als diskrete Objekte betrachtet werden, sind ein wichtiges Konzept in der klassischen Zahlentheorie, da sie viele Primfaktoren enthalten, aber Riemann fand eine Verwendung für ihre kontinuierliche Erweiterung, die sich als noch wichtiger erweisen dürfte. ⓘ

Geschichte

Die Gamma-Funktion hat das Interesse einiger der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten geweckt. Ihre Geschichte, die vor allem von Philip J. Davis in einem Artikel dokumentiert wurde, für den er 1963 den Chauvenet-Preis erhielt, spiegelt viele der wichtigsten Entwicklungen in der Mathematik seit dem 18. In den Worten von Davis: "Jede Generation hat etwas Interessantes über die Gamma-Funktion zu sagen. Vielleicht wird es die nächste Generation auch tun." ⓘ

18. Jahrhundert: Euler und Stirling

Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach, 6. Oktober 1729 ⓘ

Das Problem der Ausweitung der Fakultät auf nicht-ganzzahlige Argumente wurde offenbar erstmals von Daniel Bernoulli und Christian Goldbach in den 1720er Jahren erwogen. In einem Brief von Bernoulli an Goldbach vom 6. Oktober 1729 führte Bernoulli insbesondere die Produktdarstellung

$$x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}$$

ein, die für reelle Werte von x mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen gut definiert ist. ⓘ

Leonard Euler gab später zwei verschiedene Definitionen: Die erste war nicht sein Integral, sondern ein unendliches Produkt, das für alle komplexen Zahlen n außer den negativen ganzen Zahlen wohldefiniert ist, ⓘ

$n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,$ ⓘ

Darüber informierte er Goldbach in einem Brief vom 13. Oktober 1729. Am 8. Januar 1730 schrieb er erneut an Goldbach, um seine Entdeckung der integralen Darstellung bekannt zu geben ⓘ

$n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds\,,$ ⓘ

die gültig ist, wenn der Realteil der komplexen Zahl n streng größer als -1 ist (d.h., $\Re (n)>-1$). Durch den Wechsel der Variablen t = -ln s wird daraus das bekannte Euler-Integral. Euler veröffentlichte seine Ergebnisse in der Schrift "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Über transzendentale Progressionen, d.h. solche, deren allgemeine Terme nicht algebraisch angegeben werden können"), die er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorlegte. Euler entdeckte außerdem einige wichtige funktionale Eigenschaften der Gamma-Funktion, darunter die Reflexionsformel. ⓘ

James Stirling, ein Zeitgenosse Eulers, versuchte ebenfalls, einen kontinuierlichen Ausdruck für die Fakultät zu finden, und kam zu dem, was heute als Stirlings Formel bekannt ist. Obwohl die Stirling-Formel eine gute Schätzung von n! auch für nicht ganzzahlige Zahlen ermöglicht, liefert sie nicht den genauen Wert. Erweiterungen seiner Formel, die den Fehler korrigieren, wurden von Stirling selbst und von Jacques Philippe Marie Binet entwickelt. ⓘ

für unendlich große $A$, entsprechend heutiger Notation $x!$ oder $\Gamma (x+1)$. Wenige Tage später, am 13. Oktober^jul. / 24. Oktober 1729^greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach die ähnliche, etwas einfachere Formel ⓘ

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet und geht durch die Substitution $t=-\log x$ in die Form ⓘ

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }t^{n}\mathrm {e} ^{-t}\mathrm {d} t$ ⓘ

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird. ⓘ

Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel $\Gamma$ (Gamma) als Funktionssymbol ein. Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol $\Pi$ (Pi) so, dass $\Pi (x)=\Gamma (x+1)$ und somit auch $\Pi (n)=n!$ für nichtnegative ganzzahlige $n$ gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird $\Pi$ als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu $\Sigma$ für eine Summe). ⓘ

19. Jahrhundert: Gauß, Weierstraß und Legendre

Die erste Seite von Eulers Arbeit ⓘ

Carl Friedrich Gauß schrieb das Eulersche Produkt um in ⓘ

$\Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}$ ⓘ

und nutzte diese Formel, um neue Eigenschaften der Gamma-Funktion zu entdecken. Obwohl Euler ein Pionier in der Theorie der komplexen Variablen war, scheint er sich nicht mit der Fakultät einer komplexen Zahl befasst zu haben, was Gauß stattdessen zuerst tat. Gauß bewies auch den Multiplikationssatz der Gammafunktion und untersuchte den Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und elliptischen Integralen. ⓘ

Karl Weierstraß führte die Rolle der Gammafunktion in der komplexen Analysis weiter aus, wobei er von einer weiteren Produktdarstellung ausging, ⓘ

$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},$ ⓘ

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Ursprünglich schrieb Weierstrass sein Produkt als eines für 1/Γ, in diesem Fall wird es über die Nullstellen der Funktion und nicht über ihre Pole genommen. Inspiriert von diesem Ergebnis bewies er den so genannten Weierstraß-Faktorisierungssatz, der besagt, dass jede beliebige Funktion als Produkt über ihre Nullstellen in der komplexen Ebene geschrieben werden kann; eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra. ⓘ

Der Name Gammafunktion und das Symbol Γ wurden um 1811 von Adrien-Marie Legendre eingeführt; Legendre schrieb auch Eulers Integraldefinition in ihrer modernen Form um. Obwohl das Symbol ein großgeschriebenes griechisches Gamma ist, gibt es keinen akzeptierten Standard dafür, ob der Funktionsname "Gamma-Funktion" oder "Gamma-Funktion" geschrieben werden sollte (einige Autoren schreiben einfach "Γ-Funktion"). Die auf Gauß zurückgehende alternative Schreibweise der "Pi-Funktion" Π(z) = z! ist in der älteren Literatur gelegentlich anzutreffen, während in modernen Werken die Schreibweise von Legendre vorherrscht. ⓘ

Es ist berechtigt zu fragen, warum wir zwischen der "gewöhnlichen Fakultät" und der Gammafunktion durch die Verwendung unterschiedlicher Symbole unterscheiden, und insbesondere, warum die Gammafunktion zu Γ(n + 1) = n! normalisiert werden sollte, anstatt einfach "Γ(n) = n!" zu verwenden. Man bedenke, dass die Notation der Exponenten, xn, von den ganzen Zahlen zu den komplexen Zahlen xz verallgemeinert wurde, ohne dass sich etwas ändert. Legendres Motivation für die Normalisierung scheint nicht bekannt zu sein und wurde von einigen als schwerfällig kritisiert (der Mathematiker Cornelius Lanczos aus dem 20. Jahrhundert bezeichnete sie beispielsweise als "bar jeder Rationalität" und würde stattdessen z! verwenden). Die Legendre-Normalisierung vereinfacht zwar einige Formeln, verkompliziert aber andere. Aus moderner Sicht ist die Legendre-Normalisierung der Gamma-Funktion das Integral des additiven Charakters e-x gegen den multiplikativen Charakter xz in Bezug auf das Haar-Maß ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ auf der Lie-Gruppe R⁺. Durch diese Normalisierung wird deutlicher, dass die Gammafunktion ein kontinuierliches Analogon einer Gaußschen Summe ist. ⓘ

19. und 20. Jahrhundert: Charakterisierung der Gammafunktion

Es ist etwas problematisch, dass eine große Anzahl von Definitionen für die Gammafunktion gegeben wurde. Obwohl sie die gleiche Funktion beschreiben, ist es nicht ganz einfach, die Gleichwertigkeit zu beweisen. Stirling hat nie bewiesen, dass seine erweiterte Formel genau der Eulerschen Gammafunktion entspricht; ein Beweis wurde erstmals von Charles Hermite im Jahr 1900 erbracht. Anstatt einen speziellen Beweis für jede Formel zu finden, wäre es wünschenswert, eine allgemeine Methode zur Identifizierung der Gamma-Funktion zu haben. ⓘ

Eine Möglichkeit des Beweises wäre, eine Differentialgleichung zu finden, die die Gammafunktion charakterisiert. Die meisten speziellen Funktionen in der angewandten Mathematik entstehen als Lösungen von Differentialgleichungen, deren Lösungen eindeutig sind. Die Gamma-Funktion scheint jedoch keine einfache Differentialgleichung zu erfüllen. Otto Hölder bewies 1887, dass die Gamma-Funktion zumindest keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, indem er zeigte, dass die Lösung einer solchen Gleichung die Rekursionsformel der Gamma-Funktion nicht erfüllen kann, was sie zu einer transzendentalen Funktion macht. Dieses Ergebnis ist als Hölder-Theorem bekannt. ⓘ

Eine eindeutige und allgemein gültige Charakterisierung der Gammafunktion wurde erst 1922 gegeben. Harald Bohr und Johannes Mollerup bewiesen dann das so genannte Bohr-Mollerup-Theorem: Die Gamma-Funktion ist die einzige Lösung der faktoriellen Rekursionsrelation, die positiv und logarithmisch konvex für positive z ist und deren Wert bei 1 gleich 1 ist (eine Funktion ist logarithmisch konvex, wenn ihr Logarithmus konvex ist). Eine weitere Charakterisierung ergibt sich aus dem Wielandt-Theorem. ⓘ

Das Bohr-Mollerup-Theorem ist nützlich, weil es relativ einfach ist, die logarithmische Konvexität für jede der verschiedenen Formeln zu beweisen, die zur Definition der Gamma-Funktion verwendet werden. Anstatt die Gamma-Funktion durch eine bestimmte Formel zu definieren, können wir die Bedingungen des Bohr-Mollerup-Theorems als Definition wählen und dann eine beliebige Formel, die die Bedingungen erfüllt, als Ausgangspunkt für die Untersuchung der Gamma-Funktion wählen. Dieser Ansatz wurde von der Bourbaki-Gruppe verwendet. ⓘ

Borwein & Corless geben einen Überblick über drei Jahrhunderte Arbeit an der Gamma-Funktion. ⓘ

Referenztabellen und Software

Obwohl die Gamma-Funktion mit einem modernen Computer - sogar mit einem programmierbaren Taschenrechner - praktisch so einfach berechnet werden kann wie jede andere mathematisch einfachere Funktion, war dies natürlich nicht immer der Fall. Bis Mitte des 20. Jahrhunderts verließen sich die Mathematiker auf handgefertigte Tabellen, im Falle der Gamma-Funktion insbesondere auf eine von Gauß im Jahr 1813 und eine von Legendre im Jahr 1825 berechnete Tabelle. ⓘ

Ein von Hand gezeichnetes Diagramm des Absolutwerts der komplexen Gammafunktion, aus Tables of Higher Functions von Jahnke und Emde [de]. ⓘ

Tabellen mit komplexen Werten der Gamma-Funktion sowie handgezeichnete Graphen finden sich in den Tabellen der Funktionen mit Formeln und Kurven von Jahnke und Emde [de], die erstmals 1909 in Deutschland veröffentlicht wurden. Michael Berry zufolge "erlangte die Veröffentlichung eines dreidimensionalen Graphen, der die Pole der Gamma-Funktion in der komplexen Ebene zeigt, in J&E einen fast ikonischen Status". ⓘ

Bis in die 1930er Jahre, als in der theoretischen Physik Anwendungen für die komplexe Gammafunktion entdeckt wurden, bestand in der Praxis kaum Bedarf an etwas anderem als reellen Werten der Gammafunktion. Als in den 1950er Jahren elektronische Computer für die Erstellung von Tabellen zur Verfügung standen, wurden mehrere umfangreiche Tabellen für die komplexe Gammafunktion veröffentlicht, um die Nachfrage zu befriedigen, darunter eine auf 12 Dezimalstellen genaue Tabelle des U.S. National Bureau of Standards. ⓘ

Doppelt genaue Fließkomma-Implementierungen der Gamma-Funktion und ihres Logarithmus sind heute in den meisten wissenschaftlichen Computerprogrammen und Bibliotheken für spezielle Funktionen verfügbar, z. B. TK Solver, Matlab, GNU Octave und die GNU Scientific Library. Die Gamma-Funktion wurde auch in die C-Standardbibliothek (math.h) aufgenommen. Implementierungen mit beliebiger Genauigkeit sind in den meisten Computeralgebra-Systemen, wie Mathematica und Maple, verfügbar. PARI/GP, MPFR und MPFUN enthalten freie Implementierungen mit beliebiger Genauigkeit. Die Faktorialfunktion des Windows-Rechners gibt Γ(x+1) zurück, wenn die Eingabe x ein nicht ganzzahliger Wert ist. ⓘ

Globale Eigenschaften

Funktionalgleichung und Meromorphie

Die Gammafunktion erfüllt in ihrem Definitionsbereich für alle $z$ die Funktionalgleichung

$z\;\Gamma (z)=\Gamma (z+1).$

Mittels dieser Relation ist eine induktive Fortsetzung (beispielsweise des Eulerschen Integrals) möglich. Es gilt für alle $n=0,1,2,\dotsc$

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}}.$ ⓘ

Nullstellen und Polstellen

Aus der vorherigen Darstellung kann gefolgert werden, dass $\Gamma (z)$ zu einer auf $\mathbb {C}$ meromorphen Funktion fortgesetzt werden kann, die Pole an den Stellen $z=0,-1,-2,\dotsc$ besitzt. Alle Pole sind einfach und besitzen das Residuum

$\operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$,

hierbei ist $n\in \mathbb {N} _{0}$. Nullstellen besitzt $\Gamma$ keine. Das macht $\Gamma ^{-1}$ zu einer ganzen Funktion mit ausschließlich einfachen Nullstellen. ⓘ

Funktionalgleichungen und spezielle Werte

Grundlegende Funktionalgleichung

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung ⓘ

$\Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x)$     mit     $\Gamma (1)=1.$ ⓘ

Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion

Bernhard Riemann brachte 1859 die Gammafunktion mit der Riemannschen ζ-Funktion über die Formel ⓘ

$\Gamma (s)\,\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x$ ⓘ

und die folgende Feststellung in Beziehung: Der Ausdruck $\Gamma (s/2)\,\pi ^{-s/2}\,\zeta (s)$ „bleibt ungeändert, wenn $s$ in $1-s$ verwandelt wird“, also ⓘ

$\Gamma (s/2)\,\pi ^{-s/2}\,\zeta (s)=\Gamma {\bigl (}(1-s)/2{\bigr )}\,\pi ^{-(1-s)/2}\,\zeta (1-s).$ ⓘ

Näherungsweise Berechnung

Stirlingsche Formel

Näherungswerte der Gammafunktion für $x>0$ liefert unter anderem die Stirlingsche Formel, es gilt ⓘ

$\Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}\,x^{x-1/2}\,\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {e} ^{\mu (x)}$     mit     $0<\mu (x)<1/(12x).$ ⓘ

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung ist die multivariate Gammafunktion, welche in der Wishart-Verteilung anzutreffen ist. ⓘ