Fluktuation

Diffusion von Atomen auf der Oberfläche eines Kristalls. Das Schütteln der Atome ist ein Beispiel für thermische Fluktuationen. Ebenso liefern thermische Fluktuationen die Energie, die die Atome benötigen, um gelegentlich von einem Ort zu einem benachbarten zu springen. Der Einfachheit halber sind die thermischen Fluktuationen der blauen Atome nicht dargestellt. ⓘ

In der statistischen Mechanik sind thermische Fluktuationen zufällige Abweichungen eines Systems von seinem Durchschnittszustand, die in einem System im Gleichgewicht auftreten. Alle thermischen Fluktuationen werden größer und häufiger, wenn die Temperatur steigt, und sie nehmen ebenfalls ab, wenn sich die Temperatur dem absoluten Nullpunkt nähert. ⓘ

Thermische Fluktuationen sind eine grundlegende Erscheinungsform der Temperatur von Systemen: Ein System mit einer Temperatur ungleich Null verharrt nicht in seinem mikroskopischen Gleichgewichtszustand, sondern probiert zufällig alle möglichen Zustände aus, wobei die Wahrscheinlichkeiten durch die Boltzmann-Verteilung gegeben sind. ⓘ

Thermische Fluktuationen betreffen im Allgemeinen alle Freiheitsgrade eines Systems: Es kann zu zufälligen Vibrationen (Phononen), zufälligen Rotationen (Rotonen), zufälligen elektronischen Anregungen usw. kommen. ⓘ

Thermodynamische Größen wie Druck, Temperatur oder Entropie unterliegen ebenfalls thermischen Fluktuationen. Bei einem System mit einem Gleichgewichtsdruck beispielsweise schwankt der Systemdruck bis zu einem gewissen Grad um den Gleichgewichtswert. ⓘ

Nur die "Kontrollvariablen" statistischer Ensembles (wie die Anzahl der Teilchen N, das Volumen V und die innere Energie E im mikrokanonischen Ensemble) schwanken nicht. ⓘ

Thermische Fluktuationen sind eine Quelle des Rauschens in vielen Systemen. Die zufälligen Kräfte, die zu thermischen Fluktuationen führen, sind eine Quelle sowohl für Diffusion als auch für Dissipation (einschließlich Dämpfung und Viskosität). Die konkurrierenden Effekte von zufälliger Drift und Widerstand gegen Drift werden durch das Fluktuations-Dissipations-Theorem in Beziehung gesetzt. Thermische Fluktuationen spielen eine wichtige Rolle bei Phasenübergängen und in der chemischen Kinetik. ⓘ

Der Begriff Fluktuation (von lateinisch fluctuare, „hin- und her schwanken“, „wiegen, wallen“) bezeichnet allgemein eine kurzzeitige oder andauernde Veränderung (Schwankung, Wechsel) von Personen, Personal, Sachverhalten oder Zuständen. Je nach Bedeutungszusammenhang und Fachgebiet kann Fluktuation unterschiedliche Begriffsinhalte aufweisen. ⓘ

Zentraler Grenzwertsatz (Central Limit Theorem)

Das Volumen des Phasenraums ${\mathcal {V}}$, das von einem System mit $2m$ Freiheitsgraden ist das Produkt aus dem Konfigurationsvolumen $V$ und dem Impulsraumvolumen. Da die Energie eine quadratische Form der Impulse für ein nichtrelativistisches System ist, beträgt der Radius des Impulsraums ${\sqrt {E}}$ so dass das Volumen einer Hypersphäre wie folgt variiert ${\sqrt {E}}^{2m}$ ergibt sich ein Phasenvolumen von

${\mathcal {V}}={\frac {(C\cdot E)^{m}}{\Gamma (m+1)}},$

wobei $C$ eine Konstante ist, die von den spezifischen Eigenschaften des Systems abhängt, und $\Gamma$ die Gamma-Funktion ist. Für den Fall, dass diese Hypersphäre eine sehr hohe Dimensionalität hat, $2m$was der übliche Fall in der Thermodynamik ist, liegt im Wesentlichen das gesamte Volumen in der Nähe der Oberfläche

$\Omega (E)={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial E}}={\frac {C^{m}\cdot E^{m-1}}{\Gamma (m)}},$

wo wir die Rekursionsformel verwendet haben $m\Gamma (m)=\Gamma (m+1)$. ⓘ

Der Oberflächenbereich $\Omega (E)$ hat ihre Wurzeln in zwei Welten: (i) der makroskopischen, in der sie als Funktion der Energie und der anderen extensiven Variablen, wie dem Volumen, betrachtet wird, die bei der Differenzierung des Phasenvolumens konstant gehalten wurden, und (ii) der mikroskopischen Welt, in der sie die Anzahl der Komplexe darstellt, die mit einem bestimmten makroskopischen Zustand vereinbar sind. Diese Größe bezeichnete Planck als "thermodynamische" Wahrscheinlichkeit. Sie unterscheidet sich von der klassischen Wahrscheinlichkeit insofern, als sie nicht normalisiert werden kann, d. h. ihr Integral über alle Energien divergiert - aber es divergiert als Potenz der Energie und nicht schneller. Da ihr Integral über alle Energien unendlich ist, können wir versuchen, ihre Laplace-Transformation zu betrachten

${\mathcal {Z}}(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}\Omega (E)\,dE,$

die physikalisch interpretiert werden kann. Der exponentiell abnehmende Faktor, wobei $\beta$ ein positiver Parameter ist, wird die schnell wachsende Oberfläche überwältigen, so dass sich bei einer bestimmten Energie ein enorm scharfer Peak entwickelt $E^{\star }$. Der größte Teil des Beitrags zum Integral wird aus der unmittelbaren Umgebung dieses Energiewerts stammen. Dies ermöglicht die Definition einer eigenen Wahrscheinlichkeitsdichte gemäß

$f(E;\beta )={\frac {e^{-\beta E}}{{\mathcal {Z}}(\beta )}}\Omega (E),$

deren Integral über alle Energien gleich Eins ist, je nach Definition von ${\mathcal {Z}}(\beta )$ist, die als Partitionsfunktion oder erzeugende Funktion bezeichnet wird. Letzterer Name rührt daher, dass die Ableitungen ihres Logarithmus die zentralen Momente erzeugen, nämlich,

$\langle E\rangle =-{\frac {\partial \ln {\mathcal {Z}}}{\partial \beta }},\qquad \ \langle (E-\langle E\rangle )^{2}\rangle =(\Delta E)^{2}={\frac {\partial ^{2}\ln {\mathcal {Z}}}{\partial \beta ^{2}}},$

usw., wobei der erste Term die mittlere Energie und der zweite die Streuung der Energie ist. ⓘ

Die Tatsache, dass $\Omega (E)$ nicht schneller als eine Potenz der Energie ansteigt, gewährleistet, dass diese Momente endlich sind. Daher können wir den Faktor $e^{-\beta E}\Omega (E)$ um den Mittelwert $\langle E\rangle$erweitern, der mit $E^{\star }$ für Gaußsche Fluktuationen (d. h. Mittelwert und wahrscheinlichster Wert fallen zusammen), und unter Beibehaltung der Terme niedrigster Ordnung ergibt sich

$f(E;\beta )={\frac {e^{-\beta E}}{{\mathcal {Z}}(\beta )}}\Omega (E)\approx {\frac {\exp\{-(E-\langle E\rangle )^{2}/2\langle (\Delta E)^{2}\rangle \}}{\sqrt {2\pi (\Delta E)^{2}}}}.$

Dies ist die Gaußsche oder normale Verteilung, die durch ihre ersten beiden Momente definiert ist. Im Allgemeinen würde man alle Momente benötigen, um die Wahrscheinlichkeitsdichte zu bestimmen, $f(E;\beta )$zu bestimmen, die als kanonische oder posteriore Dichte bezeichnet wird, im Gegensatz zur prior density $\Omega$die als "Strukturfunktion" bezeichnet wird. Dies ist der zentrale Grenzwertsatz, wie er für thermodynamische Systeme gilt. ⓘ

Wenn das Phasenvolumen wie folgt zunimmt $E^{m}$zunimmt, ändert sich seine Laplace-Transformation, die Partitionsfunktion, wie folgt $\beta ^{-m}$. Wenn man die Normalverteilung so umformt, dass sie ein Ausdruck für die Strukturfunktion wird, und sie bei $E=\langle E\rangle$ ergibt

$\Omega (\langle E\rangle )={\frac {e^{\beta (\langle E\rangle )\langle E\rangle }{\mathcal {Z}}(\beta (\langle E\rangle ))}{\sqrt {2\pi (\Delta E)^{2}}}}.$

Aus dem Ausdruck für das erste Moment folgt, dass $\beta (\langle E\rangle )=m/\langle E\rangle$, während aus dem zweiten zentralen Moment, $\langle (\Delta E)^{2}\rangle =\langle E\rangle ^{2}/m$. Setzt man diese beiden Ausdrücke in den Ausdruck für die Strukturfunktion ein, die mit dem Mittelwert der Energie bewertet wird, erhält man

$\Omega (\langle E\rangle )={\frac {\langle E\rangle ^{m-1}m}{{\sqrt {2\pi m}}m^{m}e^{-m}}}$.

Der Nenner ist genau die Stirlingsche Näherung für $m!=\Gamma (m+1)$und wenn die Strukturfunktion die gleiche funktionale Abhängigkeit für alle Werte der Energie beibehält, gehört die kanonische Wahrscheinlichkeitsdichte,

$f(E;\beta )=\beta {\frac {(\beta E)^{m-1}}{\Gamma (m)}}e^{-\beta E}$

zur Familie der Exponentialverteilungen, den so genannten Gamma-Dichten. Folglich fällt die kanonische Wahrscheinlichkeitsdichte in den Geltungsbereich des lokalen Gesetzes der großen Zahlen, das besagt, dass eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen zum Normalgesetz tendiert, wenn die Folge unbegrenzt zunimmt. ⓘ

Verteilung um das Gleichgewicht

Die nachstehenden Ausdrücke gelten für Systeme, die sich in der Nähe des Gleichgewichts befinden und vernachlässigbare Quanteneffekte aufweisen. ⓘ

Einzelne Variable

Angenommen, $x$ ist eine thermodynamische Variable. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $w(x)dx$ für $x$ wird bestimmt durch die Entropie $S$:

$w(x)\propto \exp \left(S(x)\right).$

Wird die Entropie nach Taylor um ihr Maximum (das dem Gleichgewichtszustand entspricht) erweitert, so ist der Term niedrigster Ordnung eine Gaußverteilung:

$w(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \langle x^{2}\rangle }}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\langle x^{2}\rangle }}\right).$

Die Größe $\langle x^{2}\rangle$ ist die mittlere quadratische Schwankung. ⓘ

Mehrere Variablen

Der obige Ausdruck lässt sich ohne weiteres auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung verallgemeinern $w(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$:

$w=\prod _{i,j=1\ldots n}{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}{\sqrt {\langle x_{i}x_{j}\rangle }}}}\exp \left(-{\frac {x_{i}x_{j}}{2\langle x_{i}x_{j}\rangle }}\right),$

wobei $\langle x_{i}x_{j}\rangle$ ist der Mittelwert von $x_{i}x_{j}$. ⓘ

Fluktuationen der grundlegenden thermodynamischen Größen

In der folgenden Tabelle sind die mittleren quadratischen Schwankungen der thermodynamischen Größen $T,V,P$ und $S$ in einem beliebigen kleinen Teil eines Körpers. Der kleine Teil muss jedoch noch groß genug sein, um vernachlässigbare Quanteneffekte zu haben. ⓘ

Mittelwerte $\langle x_{i}x_{j}\rangle$ der thermodynamischen Fluktuationen. $C_{P}$ ist die Wärmekapazität bei konstantem Druck; $C_{V}$ ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen. ⓘ

	$\Delta T$	$\Delta V$	$\Delta S$	$\Delta P$
$\Delta T$	${\frac {k_{\rm {B}}}{C_{V}}}T^{2}$	$0$	$k_{\rm {B}}T$	${\frac {k_{\rm {B}}}{C_{V}}}T^{2}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}$
$\Delta V$	$0$	$-k_{\rm {B}}T\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}$	$k_{\rm {B}}T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}$	$-k_{\rm {B}}T$
$\Delta S$	$k_{\rm {B}}T$	$k_{\rm {B}}T\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}$	$k_{\rm {B}}C_{P}$	$0$
$\Delta P$	${\frac {k_{\rm {B}}}{C_{V}}}T^{2}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}$	$-k_{\rm {B}}T$	$0$	$-k_{\rm {B}}T\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{S}$

Fluktuation in der Naturwissenschaft

In vielen Naturwissenschaften und der Mathematik versteht man unter Fluktuation die zufällige oder zufällig erscheinende Änderung einer Systemgröße gegenüber einer näherungsweise als bekannt angesehenen Bezugsgröße. Beispiele sind thermische Fluktuationen der Teilchendichte in einem Gas, statistische Schwankungen der Zählrate bei Messung eines radioaktiven Präparats, Variationen einer Tierpopulation oder der Höhe des Meeresspiegels. ⓘ

In der Medizin bezeichnet Fluktuation meist die Bewegung einer Flüssigkeit unter der Haut. ⓘ

Fluktuation in der Sozial- und Wirtschaftswissenschaft

Fluktuation bezeichnet in der Sozial- und Wirtschaftswissenschaft im übertragenen Sinne die Austauschrate des Personals in Unternehmen, Behörden oder Institutionen sowie die Eintritts- bzw. Austrittsrate von Personen in eine Organisation oder Gruppe. Es ist damit eine Kurzform des Begriffs Fluktuationsrate, welche die Veränderung pro Zeitspanne bzw. Abrechnungszeitraum misst. ⓘ

Fluktuation verändert zum Beispiel

• die Anzahl der Personen in einer Institution (Schüler, Studenten, Häftlinge etc.),
• die Mitarbeiterzahl eines Unternehmens oder
• die Teilnehmerzahl an einer Veranstaltung (Besucher, Zuschauer).

Die Fluktuation der Mitarbeiter wird wie folgt ermittelt:

${\text{Fluktuationsrate}}={\frac {\text{Abgänge}}{\text{durchschnittlicher Personalbestand}}}$.

Die Fluktuationsrate sinkt erfahrungsgemäß mit steigendem Lebensalter und Dienstalter, weibliches Personal kündigt häufiger als männliches, ledige Männer kündigen häufiger als verheiratete, umgekehrt haben verheiratete Frauen eine höhere Fluktuation als ledige Frauen. Der Begriff ist auch Gegenstand der Organisationspsychologie, die u. a. den Einfluss der Mitarbeiterzufriedenheit auf die Fluktuation untersucht. ⓘ

Arten von Fluktuation

• Institutionelle Fluktuation:
  • Eine Grundschule, die die Jahrgangsklassen 1 bis 4 betreut, hat durch reguläre Versetzungen der Schüler eine durchschnittliche Fluktuation von ca. 25 % pro Schuljahr bzw. knapp 100 % in vier Jahren.
  • Der Bundestag hat alle vier Jahre eine institutionelle Fluktuation von 100 Prozent.
• Individuelle Fluktuation:
  • Die tatsächliche Fluktuation an einer Grundschule wird durch Fort- und Zuzüge, sonstige Zu- und Abgänge sowie Wiederholer bzw. Überspringer von Klassenstufen verändert.
  • Die institutionelle Fluktuation des Bundestags wird durch individuelle Wahlerfolge (Wiederwahl) und die Zweitstimmen deutlich reduziert.
• Natürliche Fluktuation:

  Sie umfasst den Anteil der Gesamtfluktuation, der sich ergibt, weil Personen alters- oder todesfallbedingt aus einer Institution oder einem Unternehmen ausscheiden. ⓘ

Externe Einflussfaktoren für Personalfluktuation in Unternehmen

• Das Arbeitsverhältnis der Mitarbeiter in Unternehmen

  In privaten Unternehmen mit überwiegend Arbeitern oder Angestellten wird die Fluktuation im Regelfall höher sein als in einer Behörde mit einem großen Beamtenanteil.

• Die konjunkturelle Lage

  Die Fluktuation ist tendenziell in konjunkturellen Hochphasen höher als in Phasen einer Konjunkturschwäche, da die Arbeitskräfte eher geneigt sind, den Arbeitsplatz zu wechseln.

• Die Arbeitslosenzahl

  Mit steigender Arbeitslosenzahl sinkt die Bereitschaft, ein Arbeitsverhältnis freiwillig zu verlassen.

• Bindung an das Unternehmen

  Durch Mitarbeiterbindung sinkt die Fluktuationsrate, da eine stärkere Bindung zwischen den Produktionsfaktoren Personal und Kapital vorliegt. Beispiele sind Unkündbarkeit, Kapitalbeteiligungen der Mitarbeiter am Unternehmen (Belegschaftsaktien) oder Arbeitgeberdarlehen. ⓘ