Sinussatz

Sinusgesetz

Abbildung 1, mit Umkreis

Abbildung 2, ohne Umkreis

Zwei Dreiecke, die mit den Komponenten des Sinusgesetzes beschriftet sind. α, β und γ sind die Winkel, die mit den Scheitelpunkten bei A, B bzw. C verbunden sind. Die klein geschriebenen a, b und c sind die Längen der ihnen gegenüberliegenden Seiten. (a ist gegenüber von α, usw.) ⓘ

In der Trigonometrie ist das Sinusgesetz, das Sinusgesetz, die Sinusformel oder die Sinusregel eine Gleichung, die die Längen der Seiten eines beliebigen Dreiecks mit den Sinuswerten seiner Winkel in Beziehung setzt. Das Gesetz besagt,

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,$$

wobei a, b und c die Seitenlängen eines Dreiecks und α, β und γ die gegenüberliegenden Winkel sind (siehe Abbildung 2), während R der Radius des Umkreises des Dreiecks ist. Wenn der letzte Teil der Gleichung nicht verwendet wird, wird das Gesetz manchmal unter Verwendung der Kehrwerte angegeben;

$${\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.$$

Das Sinusgesetz kann verwendet werden, um die verbleibenden Seiten eines Dreiecks zu berechnen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind - eine Technik, die als Triangulation bekannt ist. Es kann auch verwendet werden, wenn zwei Seiten und einer der nicht eingeschlossenen Winkel bekannt sind. In einigen dieser Fälle ist das Dreieck durch diese Daten nicht eindeutig bestimmt (der so genannte mehrdeutige Fall), und die Technik liefert zwei mögliche Werte für den eingeschlossenen Winkel. ⓘ

Das Sinusgesetz ist eine der beiden trigonometrischen Gleichungen, die üblicherweise zur Bestimmung von Längen und Winkeln in skaligen Dreiecken verwendet werden, die andere ist das Kosinusgesetz. ⓘ

Das Sinusgesetz kann auf Oberflächen mit konstanter Krümmung in höheren Dimensionen verallgemeinert werden. ⓘ

Geschichte

Laut Ubiratàn D'Ambrosio und Helaine Selin wurde das kugelförmige Sinusgesetz im 10. Es wird Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi und Abu Nasr Mansur zugeschrieben. ⓘ

Ibn Muʿādh al-Jayyānīs Buch der unbekannten Kreisbögen aus dem 11. Jahrhundert enthält das allgemeine Sinusgesetz. Das ebene Sinusgesetz wurde später im 13. Jahrhundert von Nasīr al-Dīn al-Tūsī aufgestellt. In seinem Werk On the Sector Figure gab er das Sinusgesetz für ebene und sphärische Dreiecke an und lieferte Beweise für dieses Gesetz. ⓘ

Laut Glen Van Brummelen "ist das Sinusgesetz in Wirklichkeit Regiomontanus' Grundlage für seine Lösungen von rechtwinkligen Dreiecken in Buch IV, und diese Lösungen sind wiederum die Basis für seine Lösungen von allgemeinen Dreiecken". Regiomontanus war ein deutscher Mathematiker des 15. Jahrhunderts. ⓘ

Beweis

Der Flächeninhalt T eines beliebigen Dreiecks kann als die Hälfte der Grundfläche mal der Höhe geschrieben werden. Wählt man eine Seite des Dreiecks als Basis, so berechnet sich die Höhe des Dreiecks in Bezug auf diese Basis aus der Länge einer anderen Seite mal dem Sinus des Winkels zwischen der gewählten Seite und der Basis. Je nach Wahl der Basis kann der Flächeninhalt des Dreiecks also als einer der folgenden Werte geschrieben werden:

$$T={\frac {1}{2}}b\left(c\sin {\alpha }\right)={\frac {1}{2}}c\left(a\sin {\beta }\right)={\frac {1}{2}}a\left(b\sin {\gamma }\right).$$

Die Multiplikation mit 2/abc ergibt

$${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin {\alpha }}{a}}={\frac {\sin {\beta }}{b}}={\frac {\sin {\gamma }}{c}}\,.$$

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Der zweideutige Fall der Dreieckslösung

Bei der Anwendung des Sinusgesetzes zur Bestimmung einer Seite eines Dreiecks liegt ein zweideutiger Fall vor, wenn aus den gegebenen Daten zwei verschiedene Dreiecke konstruiert werden können (d. h. es gibt zwei verschiedene mögliche Lösungen für das Dreieck). In dem unten dargestellten Fall sind dies die Dreiecke ABC und ABC′. ⓘ

Bei einem allgemeinen Dreieck müssten die folgenden Bedingungen erfüllt sein, damit der Fall mehrdeutig ist:

• Die einzige bekannte Information über das Dreieck ist der Winkel α und die Seiten a und c.
• Der Winkel α ist spitz (d.h. α < 90°).
• Die Seite a ist kürzer als die Seite c (d. h., a < c).
• Die Seite a ist länger als die Höhe h vom Winkel β, wobei h = c sin α ist (d.h. a > h). ⓘ

Wenn alle oben genannten Bedingungen wahr sind, dann ergibt jeder der Winkel β und β′ ein gültiges Dreieck, was bedeutet, dass beide der folgenden Bedingungen wahr sind:

$${\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.$$

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Von dort aus können wir bei Bedarf die entsprechenden β und b oder β′ und b′ finden, wobei b die von den Eckpunkten A und C begrenzte Seite ist und b′ von A und C′ begrenzt wird. ⓘ

Beispiele

Die folgenden Beispiele zeigen, wie man ein Problem mit Hilfe des Sinusgesetzes lösen kann. ⓘ

Beispiel 1

Beispiel 1 ⓘ

Gegeben: Seite a = 20, Seite c = 24, und Winkel γ = 40°. Gesucht ist der Winkel α. ⓘ

Mit Hilfe des Sinusgesetzes kommt man zu folgendem Ergebnis

$${\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.$$

$$\alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$$

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Man beachte, dass die mögliche Lösung α = 147,61° ausgeschlossen ist, da dies notwendigerweise α + β + γ > 180° ergeben würde. ⓘ

Beispiel 2

Beispiel 2 ⓘ

Wenn die Längen von zwei Seiten des Dreiecks a und b gleich x sind, die dritte Seite die Länge c hat und die Winkel gegenüber den Seiten der Längen a, b und c jeweils α, β und γ sind, dann

$${\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}$$

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Beziehung zum Umkreis

In der Identität

$${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},$$

ist der gemeinsame Wert der drei Brüche tatsächlich der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks. Dieses Ergebnis geht auf Ptolemäus zurück. ⓘ

Ableitung des Verhältnisses des Sinusgesetzes gleich dem umschreibenden Durchmesser. Man beachte, dass das Dreieck ADB durch den Mittelpunkt des umschreibenden Kreises mit dem Durchmesser d geht. ⓘ

Beweis

Wie in der Abbildung dargestellt, sei ein Kreis mit Inkreis $\triangle ABC$ und einem weiteren Inkreis $\triangle ADB$ der durch den Mittelpunkt O des Kreises geht. $\angle AOD$ hat einen zentralen Winkel von $180^{\circ }$ und somit $\angle ABD=90^{\circ }$. Da $\triangle ABD$ ein rechtwinkliges Dreieck ist,

$$\sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},$$

wobei $R={\frac {d}{2}}$ der Radius des umschreibenden Kreises des Dreiecks ist. Die Winkel ${\gamma }$ und ${\delta }$ haben denselben zentralen Winkel und sind daher gleich: ${\gamma }={\delta }$. Deshalb,

$$\sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.$$

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Das Umordnen ergibt

$$2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.$$

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Wiederholt man den Prozess der Erzeugung von $\triangle ADB$ mit anderen Punkten ergibt ⓘ

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.$ ⓘ

Beziehung zum Flächeninhalt des Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gegeben durch ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$, wobei $\theta$ der von den Seitenlängen a und b eingeschlossene Winkel ist. Setzt man das Sinusgesetz in diese Gleichung ein, erhält man

$$T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.$$

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Nimmt man $R$ als den umschreibenden Radius, ⓘ

$T={\frac {abc}{4R}}.$ ⓘ

Es kann auch gezeigt werden, dass diese Gleichheit Folgendes impliziert

$${\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}$$

wobei T der Flächeninhalt des Dreiecks und s der Halbmesser ist ${\textstyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}$ ⓘ

Die zweite Gleichheit oben lässt sich leicht zur Heronschen Formel für den Flächeninhalt vereinfachen. ⓘ

Die Sinusregel kann auch zur Ableitung der folgenden Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks verwendet werden: Wenn man die Halbsumme der Sinuswinkel als ${\textstyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}$so ergibt sich ⓘ

$T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}$ ⓘ

wobei $R$ ist der Radius des Umkreises: ${\textstyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$. ⓘ

Das kugelförmige Sinusgesetz

Das kugelförmige Sinusgesetz befasst sich mit Dreiecken auf einer Kugel, deren Seiten Bögen von Großkreisen sind. ⓘ

Angenommen, der Radius der Kugel sei 1. a, b und c seien die Längen der Großkreisbögen, die die Seiten des Dreiecks bilden. Da es sich um eine Einheitskugel handelt, sind a, b und c die Winkel im Mittelpunkt der Kugel, die von diesen Bögen eingeschlossen werden, in Radiant. A, B und C seien die Winkel, die den jeweiligen Seiten gegenüberliegen. Dies sind die Flächenwinkel zwischen den Ebenen der drei Großkreise. ⓘ

Dann gilt das kugelförmige Sinusgesetz:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$$

ⓘ

Vektorieller Beweis

Man betrachte eine Einheitskugel mit drei Einheitsvektoren OA, OB und OC, die vom Ursprung zu den Eckpunkten des Dreiecks gezogen werden. Die Winkel α, β und γ sind also die Winkel a, b bzw. c. Der Bogen BC bildet in der Mitte einen Winkel des Betrags a. Führen Sie eine kartesische Basis mit OA entlang der z-Achse und OB in der xz-Ebene ein, die einen Winkel c mit der z-Achse bildet. Der Vektor OC projiziert auf ON in der xy-Ebene und der Winkel zwischen ON und der x-Achse ist A. Daher haben die drei Vektoren Komponenten:

$$\mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.$$

ⓘ

Das skalare Dreifachprodukt OA ⋅ (OB × OC) ist das Volumen des Parallelepipeds, das durch die Ortsvektoren der Eckpunkte des sphärischen Dreiecks OA, OB und OC gebildet wird. Dieses Volumen ist invariant gegenüber dem spezifischen Koordinatensystem, das zur Darstellung von OA, OB und OC verwendet wird. Der Wert des skalaren Tripelprodukts OA ⋅ (OB × OC) ist die 3 × 3 Determinante mit OA, OB und OC als Zeilen. Mit der z-Achse entlang OA ist das Quadrat dieser Determinante

$${\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}$$

Wiederholt man diese Berechnung mit der z-Achse entlang OB, so erhält man (sin c sin a sin B)², mit der z-Achse entlang OC ist es (sin a sin b sin C)². Die Gleichsetzung dieser Ausdrücke und die Division durch (sin a sin b sin c)² ergibt

$${\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},$$

wobei V das Volumen des Parallelepipeds ist, das durch den Positionsvektor der Eckpunkte des sphärischen Dreiecks gebildet wird. Daraus folgt das Ergebnis. ⓘ

Es ist leicht zu sehen, dass für kleine sphärische Dreiecke, wenn der Radius der Kugel viel größer ist als die Seiten des Dreiecks, diese Formel im Grenzfall zur ebenen Formel wird, da

$$\lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1$$

und dasselbe gilt für sin b und sin c. ⓘ

Geometrischer Beweis

Betrachten Sie eine Einheitskugel mit:

$$OA=OB=OC=1$$

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Konstruieren Sie den Punkt $D$ und Punkt $E$ derart, dass $\angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }$ ⓘ

Konstruieren Sie den Punkt $A'$ derart, dass $\angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }$ ⓘ

Es ist also ersichtlich, dass $\angle ADA'=B$ und $\angle AEA'=C$ ⓘ

Beachten Sie, dass $A'$ ist die Projektion von $A$ auf die Ebene $OBC$. Daher $\angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }$ ⓘ

Nach den Grundregeln der Trigonometrie haben wir:

$$AD=\sin c$$

$$AE=\sin b$$

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Aber $AA'=AD\sin B=AE\sin C$ ⓘ

Kombiniert man sie, erhält man:

$$\sin c\sin B=\sin b\sin C$$

$${\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

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Durch Anwendung ähnlicher Überlegungen erhalten wir das kugelförmige Sinusgesetz:

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$$

ⓘ

Andere Beweise

Ein rein algebraischer Beweis kann aus dem kugelförmigen Kosinusgesetz konstruiert werden. Aus der Identität $\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$ und dem expliziten Ausdruck für $\cos A$ aus dem sphärischen Kosinussatz

$${\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}$$

Da die rechte Seite invariant ist unter einer zyklischen Permutation von $a,\;b,\;c$ invariant ist, folgt die sphärische Sinusregel unmittelbar. ⓘ

Die Abbildung, die im obigen geometrischen Beweis verwendet wird, wird auch von Banerjee verwendet (siehe Abbildung 3 in dieser Arbeit), um das Sinusgesetz mit Hilfe elementarer linearer Algebra und Projektionsmatrizen abzuleiten. ⓘ

Hyperbolischer Fall

In der hyperbolischen Geometrie, wenn die Krümmung -1 ist, lautet das Sinusgesetz

$${\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.$$

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In dem speziellen Fall, dass B ein rechter Winkel ist, erhält man

$$\sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}$$

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was der Formel in der euklidischen Geometrie entspricht, die den Sinus eines Winkels als die gegenüberliegende Seite geteilt durch die Hypotenuse ausdrückt. ⓘ

Der Fall von Flächen mit konstanter Krümmung

Definieren Sie eine verallgemeinerte Sinusfunktion, die auch von einem reellen Parameter K abhängt:

$$\sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .$$

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Das Sinusgesetz bei konstanter Krümmung K lautet

$${\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.$$

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Wenn man K = 0, K = 1 und K = -1 einsetzt, erhält man die euklidischen, sphärischen bzw. hyperbolischen Fälle des oben beschriebenen Sinusgesetzes. ⓘ

pK(r) sei der Umfang eines Kreises mit dem Radius r in einem Raum mit konstanter Krümmung K. Dann sei pK(r) = 2π sinK r. Das Sinusgesetz kann also auch wie folgt ausgedrückt werden:

$${\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.$$

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Diese Formulierung wurde von János Bolyai entdeckt. ⓘ

Höhere Dimensionen

Für ein n-dimensionales Simplex (d. h. Dreieck (n = 2), Tetraeder (n = 3), Pentatop (n = 4) usw.) im n-dimensionalen euklidischen Raum ist der Absolutwert des polaren Sinus (psin) der Normalenvektoren der Facetten, die sich in einem Scheitelpunkt treffen, geteilt durch die Hyperfläche der dem Scheitelpunkt gegenüberliegenden Facette, unabhängig von der Wahl des Scheitelpunkts. Schreibt man V für das Hypervolumen des n-dimensionalen Simplexes und P für das Produkt der Hyperflächen seiner (n - 1)-dimensionalen Facetten, so ergibt sich folgendes gemeinsames Verhältnis

$${\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.$$

ⓘ

Ein Tetraeder hat zum Beispiel vier dreieckige Facetten. Der Absolutwert des polaren Sinus der Normalenvektoren zu den drei Facetten, die sich einen Scheitelpunkt teilen, dividiert durch die Fläche der vierten Facette hängt nicht von der Wahl des Scheitelpunkts ab:

$${\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} )\right|}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} )\right|}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}$$

ⓘ

Sinussatz für Kugeldreiecke

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}$

Dabei sind $a$, $b$ und $c$ die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und $A$, $B$ und $C$ die gegenüber liegenden Winkel auf der Kugeloberfläche. ⓘ