Heaviside-Funktion

Heaviside-Schritt ⓘ
Die Heaviside-Stufenfunktion, unter Verwendung der Halbmaximum-Konvention
Allgemeine Informationen
Allgemeine Definition	$$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}$$
Anwendungsgebiete	Operationelle Kalkulation

Die Heaviside-Schrittfunktion oder Einheitsschrittfunktion, die gewöhnlich mit H oder θ (manchmal auch mit u, 1 oder 𝟙) bezeichnet wird, ist eine nach Oliver Heaviside (1850-1925) benannte Schrittfunktion, deren Wert für negative Argumente Null und für positive Argumente Eins ist. Sie ist ein Beispiel für die allgemeine Klasse der Stufenfunktionen, die alle als Linearkombinationen von Übersetzungen dieser Funktion dargestellt werden können. ⓘ

Die Funktion wurde ursprünglich in der Operationsrechnung zur Lösung von Differentialgleichungen entwickelt, wo sie ein Signal darstellt, das sich zu einem bestimmten Zeitpunkt einschaltet und auf unbestimmte Zeit eingeschaltet bleibt. Oliver Heaviside, der die Operationsrechnung als Werkzeug für die Analyse der telegrafischen Kommunikation entwickelte, stellte die Funktion als 1 dar. ⓘ

Die Heaviside-Funktion kann definiert werden als:

• eine stückweise Funktion:
  $$H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leq 0\end{cases}}$$
• eine Indikatorfunktion:
  $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}$$
• die Ableitung der Rampenfunktion:
  $$H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$$
  ⓘ

Die Dirac-Delta-Funktion ist die Ableitung der Heaviside-Funktion

$$\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)$$

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Daher kann die Heaviside-Funktion als Integral der Dirac-Delta-Funktion betrachtet werden. Dies wird manchmal geschrieben als

$$H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds$$

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geschrieben, obwohl diese Erweiterung für x = 0 möglicherweise nicht gilt (oder sogar keinen Sinn ergibt), je nachdem, welchen Formalismus man verwendet, um Integralen mit δ eine Bedeutung zu geben. In diesem Zusammenhang ist die Heaviside-Funktion die kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, die mit ziemlicher Sicherheit 0 ist (siehe konstante Zufallsvariable). ⓘ

In der Operationsrechnung hängen nützliche Antworten nur selten davon ab, welcher Wert für H(0) verwendet wird, da H meist als Verteilung verwendet wird. In der Funktionalanalysis und in der Spieltheorie, wo allgemeinere Formen der Kontinuität betrachtet werden, kann die Wahl jedoch einige wichtige Konsequenzen haben. Nachfolgend werden einige gängige Wahlmöglichkeiten vorgestellt. ⓘ

Annäherungen an die Heaviside-Stufenfunktion sind in der Biochemie und den Neurowissenschaften von Nutzen, wo logistische Annäherungen von Stufenfunktionen (wie die Hill- und die Michaelis-Menten-Gleichung) verwendet werden können, um binäre zelluläre Schalter als Reaktion auf chemische Signale zu approximieren. ⓘ

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt. ⓘ

Analytische Näherungen

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$
nähert sich der Stufenfunktion mit k → ∞. ⓘ

Für eine glatte Annäherung an die Stufenfunktion kann man die logistische Funktion verwenden

$$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$$

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wobei ein größeres k einem schärferen Übergang bei x = 0 entspricht. Nimmt man H(0) = 1/2, so gilt im Grenzfall Gleichheit:

$$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$$

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Es gibt viele andere glatte, analytische Näherungen an die Stufenfunktion. Zu den Möglichkeiten gehören:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

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Diese Grenzen gelten punktweise und im Sinne von Verteilungen. Im Allgemeinen muss die punktweise Konvergenz jedoch nicht die verteilungsmäßige Konvergenz implizieren, und umgekehrt muss die verteilungsmäßige Konvergenz nicht die punktweise Konvergenz implizieren. (Wenn jedoch alle Mitglieder einer punktweise konvergenten Folge von Funktionen gleichmäßig durch eine "schöne" Funktion begrenzt sind, dann gilt die Konvergenz auch im Sinne von Verteilungen). ⓘ

Im Allgemeinen kann jede kumulative Verteilungsfunktion einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die um Null herum spitz zuläuft und einen Parameter hat, der die Varianz steuert, im Grenzwert, wenn die Varianz gegen Null geht, als Näherung dienen. Alle drei oben genannten Näherungen sind beispielsweise kumulative Verteilungsfunktionen gängiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen: die logistische Verteilung, die Cauchy-Verteilung und die Normalverteilung. ⓘ

Integrale Darstellungen

Oft ist eine integrale Darstellung der Heaviside-Stufenfunktion nützlich:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$$

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Die zweite Darstellung lässt sich leicht aus der ersten ableiten, da die Stufenfunktion reell ist und somit ihre eigene konjugierte komplexe Funktion darstellt. ⓘ

Null-Argument

Da H in der Regel bei der Integration verwendet wird und der Wert einer Funktion in einem einzelnen Punkt keinen Einfluss auf ihr Integral hat, spielt es kaum eine Rolle, welcher Wert für H(0) gewählt wird. Betrachtet man H als eine Verteilung oder ein Element von L^∞ (siehe Lp-Raum), so ist es nicht einmal sinnvoll, von einem Wert bei Null zu sprechen, da solche Objekte nur fast überall definiert sind. Wenn man eine analytische Näherung verwendet (wie in den obigen Beispielen), dann wird oft das verwendet, was zufällig der relevante Grenzwert bei Null ist. ⓘ

Es gibt verschiedene Gründe für die Wahl eines bestimmten Wertes.

• H(0) = 1/2 wird häufig verwendet, da der Graph dann rotationssymmetrisch ist; anders ausgedrückt, H - 1/2 ist dann eine ungerade Funktion. In diesem Fall gilt die folgende Beziehung mit der Vorzeichenfunktion für alle x:
  $$H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).$$
• H(0) = 1 wird verwendet, wenn H rechtsstetig sein muss. So werden z. B. kumulative Verteilungsfunktionen in der Regel als rechtsstetig angesehen, ebenso wie Funktionen, gegen die bei der Lebesgue-Stieltjes-Integration integriert wird. In diesem Fall ist H die Indikatorfunktion eines geschlossenen, halbunendlichen Intervalls:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).$$
  Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die degenerierte Verteilung.
• H(0) = 0 wird verwendet, wenn H linksstetig sein muss. In diesem Fall ist H eine Indikatorfunktion eines offenen, halbunendlichen Intervalls:
  $$H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).$$
• In Zusammenhängen der Funktionsanalyse von Optimierung und Spieltheorie ist es oft nützlich, die Heaviside-Funktion als mengenwertige Funktion zu definieren, um die Stetigkeit der begrenzenden Funktionen zu erhalten und die Existenz bestimmter Lösungen zu gewährleisten. In diesen Fällen liefert die Heaviside-Funktion ein ganzes Intervall von möglichen Lösungen, H(0) = [0,1]. ⓘ

Diskrete Form

Eine alternative Form des Einheitsschritts, die stattdessen als Funktion H : ℤ → ℝ (d. h. mit einer diskreten Variablen n) definiert ist, ist:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$$

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oder unter Verwendung der Halb-Maximum-Konvention:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}$$

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wobei n eine ganze Zahl ist. Wenn n eine ganze Zahl ist, dann muss n < 0 bedeuten, dass n ≤ -1 ist, während n > 0 bedeuten muss, dass die Funktion bei n = 1 den Wert Eins erreicht. Daher weist die "Stufenfunktion" im Bereich [-1, 1] ein rampenartiges Verhalten auf und kann nicht wirklich eine Stufenfunktion sein, wenn man die Konvention des halben Maximums verwendet. ⓘ

Anders als im kontinuierlichen Fall ist die Definition von H[0] von Bedeutung. ⓘ

Der zeitdiskrete Einheitsimpuls ist die erste Differenz des zeitdiskreten Schritts ⓘ

$$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$$

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Diese Funktion ist die kumulative Summation des Kronecker-Deltas:

$$H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]$$

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wobei ⓘ

$$\delta [k]=\delta _{k,0}$$

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die Funktion des diskreten Einheitsimpulses ist. ⓘ

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen $x<0$ und $x\geq 0$ aus der Fallunterscheidung in der Definition:

• Für $x>0$ gilt

  ${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t&=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}0\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x\end{aligned}}$

• Für $x\leq 0$ tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt

  $\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}0\,\mathrm {d} t=0$.

Zusammengenommen gilt also

$\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}x\leq 0\\x&{\text{,}}&&{\text{falls }}x>0\end{alignedat}}\right.$

beziehungsweise

$\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}$.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

$\int \Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\max \left\{0,x\right\}+C$. ⓘ

Die Rampenfunktion ist eine Antiderivative der Heaviside-Schrittfunktion:

$$\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.$$

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Die verteilungsmäßige Ableitung der Heaviside-Stufenfunktion ist die Dirac-Delta-Funktion:

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.$$

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Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation der Heaviside-Stufenfunktion ist eine Verteilung. Bei einer Wahl der Konstanten für die Definition der Fourier-Transformation ergibt sich

$${\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).$$

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Hier ist p.v.1/s die Verteilung, die eine Testfunktion φ auf den Cauchy-Hauptwert von $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds$. Der im Integral erscheinende Grenzwert wird ebenfalls im Sinne von (temperierten) Verteilungen genommen. ⓘ

Einseitige Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation der Heaviside-Stufenfunktion ist eine meromorphe Funktion. Bei Verwendung der unilateralen Laplace-Transformation haben wir:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}$$

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Bei Verwendung der zweiseitigen Transformation kann das Integral in zwei Teile zerlegt werden, und das Ergebnis ist dasselbe. ⓘ

Andere Ausdrücke

Die Heaviside-Stufenfunktion kann als Hyperfunktion wie folgt dargestellt werden

$$H(x)=\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right).$$

wobei log z der Hauptwert des komplexen Logarithmus von z ist. ⓘ

Sie kann auch für x ≠ 0 in Form der Absolutwertfunktion ausgedrückt werden als

$$H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}\,.$$

ⓘ

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle $x=0$ kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man ⓘ

${\begin{aligned}\Theta _{c}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {K} \\\,&x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\c:&x=0\\1:&x>0\end{cases}}\end{aligned}}$

mit $0,1,c\in \mathbb {K}$. Es kann $\mathbb {K}$ also eine beliebige Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch $\mathbb {K} =[0,1]\subset \mathbb {R}$ verwendet. ⓘ

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann $\Theta _{c}(0)=c$ ist. ⓘ

Durch die Wahl $c:={\tfrac {1}{2}}$ und folglich $\Theta _{\frac {1}{2}}(0)=\textstyle {\frac {1}{2}}$ erreicht man, dass die Gleichungen ⓘ

$\Theta _{\frac {1}{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {sgn} {(x)}+1)$ und damit auch

$\Theta _{\frac {1}{2}}(-x)=1-\Theta _{\frac {1}{2}}(x)$ ⓘ

für alle reellen $x$ gültig sind. ⓘ

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

$\Theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\varepsilon }e^{-ix\tau }\,\mathrm {d} \tau$ ⓘ

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch ⓘ

$\Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\left[\arctan \left({x \over \varepsilon }\right)+{\pi \over 2}\right]$ ⓘ

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\Theta (x)=\delta (x)$ ⓘ

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man $\Theta (x)$ und $\delta (x)$ geeignet approximiert, z. B. durch

$\Theta _{\epsilon }(x):={\begin{cases}0&x<(-\epsilon )\\\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\epsilon }}\right)&|x|\leq \epsilon \\1&x>\epsilon \,,\end{cases}}$

sowie

$\delta _{\epsilon }(x):={\begin{cases}0&|x|>\epsilon \\{\frac {1}{2\epsilon }}&|x|\leq \epsilon \,,\end{cases}}$

wobei jeweils der Grenzwert $\lim _{\epsilon \searrow 0}$ betrachtet wird. ⓘ

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden. ⓘ