Kugelflächenfunktionen

Visuelle Darstellung der ersten paar reellen sphärischen Harmonischen. Blaue Bereiche stellen Regionen dar, in denen die Funktion positiv ist, und gelbe Bereiche, in denen sie negativ ist. Der Abstand der Fläche vom Ursprung gibt den absoluten Wert von $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$ in Winkelrichtung $(\theta ,\phi )$. ⓘ

In der Mathematik und den Naturwissenschaften sind die sphärischen Harmonischen spezielle Funktionen, die auf der Oberfläche einer Kugel definiert sind. Sie werden häufig bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen in vielen wissenschaftlichen Bereichen verwendet. ⓘ

Da die sphärischen Harmonischen einen vollständigen Satz orthogonaler Funktionen und damit eine orthonormale Basis bilden, kann jede auf einer Kugeloberfläche definierte Funktion als eine Summe dieser sphärischen Harmonischen geschrieben werden. Dies ist vergleichbar mit periodischen Funktionen, die auf einem Kreis definiert sind und die durch Fourier-Reihen als Summe von Kreisfunktionen (Sinus und Kosinus) ausgedrückt werden können. Wie die Sinus- und Kosinusfunktionen in Fourier-Reihen können auch die sphärischen Harmonischen nach (räumlichen) Winkelfrequenzen geordnet werden, wie in den Funktionsreihen in der Abbildung rechts zu sehen ist. Darüber hinaus sind sphärische Harmonische Basisfunktionen für irreduzible Darstellungen von SO(3), der Gruppe der Rotationen in drei Dimensionen, und spielen daher eine zentrale Rolle in der gruppentheoretischen Diskussion von SO(3). ⓘ

Die sphärische Harmonik geht auf die Lösung der Laplace-Gleichung in sphärischen Bereichen zurück. Funktionen, die Lösungen der Laplace-Gleichung sind, werden als Harmonische bezeichnet. Trotz ihres Namens haben die sphärischen Harmonischen ihre einfachste Form in kartesischen Koordinaten, wo sie als homogene Polynome vom Grad $\ell$ in $(x,y,z)$ definiert werden, die der Laplace-Gleichung gehorchen. Der Zusammenhang mit den Kugelkoordinaten ergibt sich unmittelbar, wenn man die Homogenität nutzt, um einen Faktor der radialen Abhängigkeit $r^{\ell }$ aus dem oben erwähnten Polynom vom Grad $\ell$zu extrahieren; der verbleibende Faktor kann als eine Funktion der sphärischen Winkelkoordinaten $\theta$ und $\varphi$ oder gleichwertig von dem durch diese Winkel bestimmten Orientierungseinheitsvektor $\mathbf {r}$ der durch diese Winkel spezifiziert wird. In diesem Rahmen können sie als der Winkelanteil einer Menge von Lösungen der Laplace-Gleichung in drei Dimensionen betrachtet werden, und diese Sichtweise wird oft als alternative Definition verwendet. Es ist jedoch zu beachten, dass die sphärischen Harmonischen keine Funktionen auf der Sphäre sind, die in Bezug auf den Laplace-Beltrami-Operator für die runde Standardmetrik auf der Sphäre harmonisch sind: Die einzigen harmonischen Funktionen in diesem Sinne auf der Sphäre sind die Konstanten, da harmonische Funktionen das Maximumprinzip erfüllen. Sphärische Harmonische sind als Funktionen auf der Sphäre Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators (siehe Abschnitt Höhere Dimensionen weiter unten). ⓘ

Ein bestimmter Satz von sphärischen Harmonischen, bezeichnet als $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ oder $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$sind als Laplace'sche sphärische Harmonische bekannt, da sie erstmals 1782 von Pierre Simon de Laplace eingeführt wurden. Diese Funktionen bilden ein orthogonales System und sind somit die Grundlage für die oben erwähnte Entwicklung einer allgemeinen Funktion auf der Kugel. ⓘ

Die sphärische Harmonik ist in vielen theoretischen und praktischen Anwendungen von Bedeutung, z. B. bei der Darstellung von mehrpoligen elektrostatischen und elektromagnetischen Feldern, Elektronenkonfigurationen, Gravitationsfeldern, Geoiden, den Magnetfeldern von Planeten und Sternen sowie der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung. In der 3D-Computergrafik spielt die sphärische Harmonik bei einer Vielzahl von Themen eine Rolle, darunter indirekte Beleuchtung (Umgebungslicht, globale Beleuchtung, vorberechneter Strahlungstransfer usw.) und Modellierung von 3D-Formen. ⓘ

Darstellung des Betrags des Realanteils der ersten Kugelflächenfunktionen als Radius in kartesischen Koordinaten. Die Farben geben das Vorzeichen der Kugelflächenfunktion an (rot entspricht positiv, grün entspricht negativ). ⓘ

Veranschaulichung des Realanteils einiger Kugelflächenfunktionen (um die z-Achse rotierend) auf der Einheitskugel. Dargestellt ist $Y_{l,m}$, wobei $l$ der Zeile und $m$ der Spalte entspricht. Zeilen und Spalten werden jeweils bei null beginnend durchnummeriert. ⓘ

Die Kugelflächenfunktionen sind ein vollständiger und orthonormaler Satz von Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplace-Operators. Dieser Winkelanteil zeigt sich, wenn der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten geschrieben wird. Die Eigenwertgleichung lautet:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \vartheta ^{2}}}+{\frac {\cos \vartheta }{\sin \vartheta }}{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\vartheta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=-l(l+1)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ ⓘ

Die Eigenfunktionen sind die Kugelflächenfunktionen $Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$, dabei sind $N_{lm}$ Normierungsfaktoren und $P_{lm}(z)$ die zugeordneten Legendrepolynome (Details siehe unten):

$Y_{lm}:\;\left[0,\pi \right]\times \left[0,2\pi \right]\rightarrow \mathbb {C} ,\quad (\vartheta ,\varphi )\mapsto {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,N_{lm}\,P_{lm}(\cos \vartheta )\,e^{\mathrm {i} m\varphi }$ $\quad {\text{mit}}\quad N_{lm}:={\sqrt {{\tfrac {2l+1}{2}}\,{\tfrac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}$ ⓘ

Besonders in der theoretischen Physik haben die Kugelflächenfunktionen eine große Bedeutung für die Lösung partieller Differentialgleichungen. Sie treten zum Beispiel bei der Berechnung von Atomorbitalen auf, da die beschreibende zeitunabhängige Schrödingergleichung den Laplace-Operator enthält und sich das Problem am besten in Kugelkoordinaten lösen lässt. Auch die in der Elektrostatik auftretenden Randwertprobleme können elegant durch die Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen gelöst werden. In der Geophysik und Geodäsie werden die Kugelflächenfunktionen bei der Approximation des Geoids und des Magnetfeldes verwendet. ⓘ

Geschichte

Die sphärische Harmonik wurde erstmals im Zusammenhang mit dem Newtonschen Potenzial des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation in drei Dimensionen untersucht. Im Jahr 1782 hatte Pierre-Simon de Laplace in seiner Mécanique Céleste festgestellt, dass das Gravitationspotenzial $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ an einem Punkt x in Verbindung mit einer Reihe von Punktmassen mi, die sich an den Punkten xi befinden, gegeben ist durch ⓘ

$$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$$

ⓘ

Jeder Term in der obigen Summation ist ein individuelles Newtonsches Potenzial für eine Punktmasse. Kurz vor dieser Zeit hatte Adrien-Marie Legendre die Entwicklung des Newtonschen Potenzials in Potenzen von r = |x| und r₁ = |x₁| untersucht. Er entdeckte, dass, wenn r ≤ r₁, dann ⓘ

$${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots$$

ⓘ

wobei γ der Winkel zwischen den Vektoren x und x₁ ist. Die Funktionen $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ sind die Legendre-Polynome, und sie lassen sich als Spezialfall der sphärischen Harmonischen herleiten. In seiner Denkschrift von 1782 untersuchte Laplace diese Koeffizienten unter Verwendung sphärischer Koordinaten, um den Winkel γ zwischen x₁ und x darzustellen (siehe Anwendungen der Legendre-Polynome in der Physik für eine detailliertere Analyse). ⓘ

Im Jahr 1867 führten William Thomson (Lord Kelvin) und Peter Guthrie Tait in ihrer Abhandlung über Naturphilosophie die festen sphärischen Harmonischen ein und führten auch erstmals den Namen "sphärische Harmonische" für diese Funktionen ein. Die festen Oberschwingungen waren homogene polynomische Lösungen $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ der Laplace-Gleichung

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$$

Durch die Untersuchung der Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten konnten Thomson und Tait die sphärische Harmonik von Laplace wiederherstellen. (Der Begriff "Laplace-Koeffizienten" wurde von William Whewell verwendet, um das auf diese Weise eingeführte spezielle Lösungssystem zu beschreiben, während andere diese Bezeichnung für die zonalen sphärischen Harmonischen reservierten, die eigentlich von Laplace und Legendre eingeführt worden waren. ⓘ

Die Entwicklung der Fourier-Reihen im 19. Jahrhundert ermöglichte die Lösung einer Vielzahl von physikalischen Problemen in rechteckigen Bereichen, wie z. B. die Lösung der Wärmegleichung und der Wellengleichung. Dies konnte durch die Entwicklung von Funktionen in Reihen von trigonometrischen Funktionen erreicht werden. Während die trigonometrischen Funktionen in einer Fourier-Reihe die Grundschwingungsformen einer Saite darstellen, repräsentieren die sphärischen Harmonischen die Grundschwingungsformen einer Kugel in ähnlicher Weise. Viele Aspekte der Theorie der Fourier-Reihen könnten verallgemeinert werden, indem man statt der trigonometrischen Funktionen die Expansionen der sphärischen Harmonischen nimmt. Analog zu den trigonometrischen Funktionen, die als komplexe Exponentiale geschrieben werden können, besaßen die sphärischen Harmonischen auch eine äquivalente Form als komplexwertige Funktionen. Dies war ein Segen für Probleme mit sphärischer Symmetrie, wie die der Himmelsmechanik, die ursprünglich von Laplace und Legendre untersucht wurden. ⓘ

Die weite Verbreitung der sphärischen Harmonischen in der Physik bereitete den Boden für ihre spätere Bedeutung bei der Entstehung der Quantenmechanik im 20. Die (komplexwertigen) sphärischen Oberschwingungen $S^{2}\to \mathbb {C}$ sind Eigenfunktionen des Quadrats des Bahndrehimpulsoperators

$$-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$$

und stellen daher die verschiedenen quantisierten Konfigurationen von Atomorbitalen dar. ⓘ

Laplace'sche sphärische Oberschwingungen

Reelle (Laplace) sphärische Oberschwingungen Y_ℓm für ℓ = 0, ..., 4 (von oben nach unten) und m = 0, ..., ℓ (von links nach rechts). Die zonalen, sektoralen und tesseralen Oberschwingungen sind in der Spalte ganz links, in der Hauptdiagonale bzw. an anderen Stellen dargestellt. (Die Oberschwingungen negativer Ordnung $Y_{\ell (-m)}$ würden um die z-Achse gedreht dargestellt werden, und zwar um $90^{\circ }/m$ gegenüber den Harmonischen positiver Ordnung gedreht.) ⓘ

Alternatives Bild für die reellen sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell m}$. ⓘ

Die Laplace-Gleichung besagt, dass der Laplacian eines Skalarfeldes f gleich Null ist. (Hier wird das Skalarfeld als komplex aufgefasst, d. h. es entspricht einer (glatten) Funktion $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$.) In sphärischen Koordinaten ist dies der Fall:

$$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$$

ⓘ

Betrachten wir das Problem, Lösungen der Form f(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ) zu finden. Durch Variablentrennung ergeben sich zwei Differentialgleichungen, wenn man die Laplace-Gleichung aufstellt:

$${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .$$

Die zweite Gleichung lässt sich vereinfachen, wenn man annimmt, dass Y die Form Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) hat. Wendet man auf die zweite Gleichung erneut die Variablentrennung an, so erhält man das Paar von Differentialgleichungen ⓘ

$${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$$

$$\lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}$$

ⓘ

A priori ist m eine komplexe Konstante, aber da Φ eine periodische Funktion sein muss, deren Periode gleichmäßig durch 2π geteilt wird, ist m notwendigerweise eine ganze Zahl und Φ ist eine Linearkombination der komplexen Exponentiale e^{± imφ}. Die Lösungsfunktion Y(θ, φ) ist an den Polen der Kugel regelmäßig, wobei θ = 0, π. Die Auferlegung dieser Regelmäßigkeit in der Lösung Θ der zweiten Gleichung an den Randpunkten des Gebiets ist ein Sturm-Liouville-Problem, das den Parameter λ zwingt, die Form λ = ℓ (ℓ + 1) für eine nichtnegative ganze Zahl mit ℓ ≥ |m| anzunehmen; dies wird weiter unten auch in Bezug auf den Bahndrehimpuls erläutert. Außerdem wird diese Gleichung durch einen Variablenwechsel t = cos θ in die Legendre-Gleichung umgewandelt, deren Lösung ein Vielfaches des zugehörigen Legendre-Polynoms Pm ist
_ℓ(cos θ) ist. Schließlich hat die Gleichung für R Lösungen der Form R(r) = A r^ℓ + B r-ℓ - 1; die Forderung, dass die Lösung in ganz R³ regelmäßig ist, erzwingt B = 0. ⓘ

Hier wurde angenommen, dass die Lösung die spezielle Form Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) hat. Für einen bestimmten Wert von ℓ gibt es 2ℓ + 1 unabhängige Lösungen dieser Form, eine für jede ganze Zahl m mit -ℓ ≤ m ≤ ℓ. Diese Winkellösungen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ sind ein Produkt aus trigonometrischen Funktionen, hier dargestellt als komplexes Exponential, und zugehörigen Legendre-Polynomen:

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })$$

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Die erfüllen

$$r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

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Hier $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ eine sphärische harmonische Funktion vom Grad ℓ und der Ordnung m, $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ ist ein zugehöriges Legendre-Polynom, N ist eine Normalisierungskonstante, und θ und φ stehen für die geografische Breite bzw. die geografische Länge. Insbesondere reicht die geographische Breite θ oder der Polarwinkel von 0 am Nordpol über π/2 am Äquator bis π am Südpol, und die geographische Länge φ oder der Azimut kann alle Werte mit 0 ≤ φ < 2π annehmen. Für eine feste ganze Zahl ℓ, jede Lösung Y(θ, φ), $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$des Eigenwertproblems

$$r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y$$

eine Linearkombination von $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$. Tatsächlich ist r^ℓ Y(θ, φ) für jede solche Lösung der Ausdruck eines homogenen Polynoms in Kugelkoordinaten $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ das harmonisch ist (siehe unten), und so zeigt das Zählen der Dimensionen, dass es 2ℓ + 1 linear unabhängige solche Polynome gibt. ⓘ

Die allgemeine Lösung $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ der Laplace-Gleichung $\Delta f=0$ in einer Kugel, deren Mittelpunkt der Ursprung ist, ist eine Linearkombination der sphärischen harmonischen Funktionen, multipliziert mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor r^ℓ, ⓘ

$$f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$$

ⓘ

wobei die $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ Konstanten sind und die Faktoren r^ℓ Y_ℓ^m als (regelmäßige) feste Oberschwingungen bezeichnet werden $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$. Eine solche Expansion gilt für die Kugel ⓘ

$$r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.$$

ⓘ

Für $r>R$gelten die festen Oberschwingungen mit negativen Potenzen von $r$ (die irregulären festen Oberschwingungen $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$) gewählt werden. In diesem Fall muss man die Lösung der bekannten Regionen in Laurent-Reihen (über $r=\infty$) zu erweitern, anstelle der oben verwendeten Taylor-Reihe (über $r=0$) verwenden, um die Terme anzupassen und die Koeffizienten der Reihenentwicklung zu finden $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$. ⓘ

Der rechte, eingeklammerte Teil wird hier als Winkelanteil $\Delta _{\vartheta ,\varphi }$ bezeichnet. Er ist direkt proportional zum Quadrat des Drehimpulsoperators ${\hat {\mathbf {L} }}^{2}=-\hbar ^{2}\Delta _{\vartheta ,\varphi }$. ⓘ

Die Laplacesche Differentialgleichung in Kugelkoordinaten

$\Delta f(r,\vartheta ,\varphi )\ =0$

hat neben der trivialen Lösung, $f=0$, verschiedenste Lösungen mit vielen technischen Anwendungen. ⓘ

Diese Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn in beiden Summanden unabhängig voneinander Radius und Winkel variierbar sind. Beide Summanden müssen somit denselben konstanten Wert annehmen, der zu $l(l+1)$ gewählt wird (diese Festlegung erweist sich später als sinnvoll):

${\frac {r^{2}\Delta _{r}R_{l}(r)}{R_{l}(r)}}=l(l+1)=-{\frac {\Delta _{\vartheta ,\varphi }Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}{Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}}$ ⓘ

Nun lässt sich aufgrund der Orthogonalität und Vollständigkeit der Kugelflächenfunktionen zeigen, dass sich jede quadratintegrable Funktion aus diesen speziellen Funktionen als Summe zusammensetzen lässt:

$f(r,\vartheta ,\varphi )\ =\sum _{l,m}R_{l}(r)Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ ⓘ

Aufgrund der Linearität des Laplace-Operators lassen sich also durch Addition der Lösungen der Radialgleichung, multipliziert mit den Kugelflächenfunktionen, beliebig viele Lösungen der Laplace-Gleichung konstruieren. Damit ergibt sich automatisch eine Darstellung des Lösungsraumes der Laplace-Gleichung. ⓘ

Die Kugelfunktionen wurden besonders von Legendre (Kugelfunktionen erster Art), Laplace (Kugelfunktionen zweiter Art) und Carl Gottfried Neumann (Kugelfunktionen mit mehreren Veränderlichen) behandelt. ⓘ

Orbitaler Drehimpuls

In der Quantenmechanik werden die Laplace'schen sphärischen Oberschwingungen in Bezug auf den Bahndrehimpuls verstanden

$$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .$$

Das ħ ist in der Quantenmechanik üblich; es ist bequem, in Einheiten zu arbeiten, in denen ħ = 1 ist. Die sphärischen Harmonischen sind Eigenfunktionen des Quadrats des Bahndrehimpulses

$${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}$$

Die Laplace'schen sphärischen Harmonischen sind die gemeinsamen Eigenfunktionen des Quadrats des Bahndrehimpulses und des Generators der Drehungen um die Azimutalachse:

$${\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Diese Operatoren kommutieren und sind dicht definierte, selbstadjungierte Operatoren auf dem gewichteten Hilbert-Raum der Funktionen f, die quadratisch integrabel in Bezug auf die Normalverteilung als Gewichtsfunktion auf R³ sind:

$${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .$$

Außerdem ist L² ein positiver Operator. ⓘ

Wenn Y eine gemeinsame Eigenfunktion von L² und L_z ist, dann gilt per Definition

$${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}$$

für einige reelle Zahlen m und λ. Hier muss m tatsächlich eine ganze Zahl sein, denn Y muss in der Koordinate φ periodisch sein mit einer Periode, die gleichmäßig durch 2π geteilt ist. Außerdem, da

$$\mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$$

und jedes von L_x, L_y, Lz selbstadjungiert sind, folgt daraus, dass λ ≥ m² ist. ⓘ

Bezeichnen Sie diesen gemeinsamen Eigenraum mit E_λ,m und definieren Sie die Hebungs- und Senkungsoperatoren durch

$${\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}$$

Dann sind L₊ und L- kommutabel mit L², und die von L₊, L-, Lz erzeugte Lie-Algebra ist die spezielle lineare Lie-Algebra der Ordnung 2, ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$mit Kommutationsbeziehungen

$$[L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.$$

Somit ist L₊ : E_λ,m → E_λ,m+1 (es ist ein "Hebungsoperator") und L- : E_λ,m → Eλ,m-1 (es ist ein "Senkungsoperator"). Insbesondere Lk
₊ : E_λ,m → E_λ,m+k muss für k hinreichend groß Null sein, weil die Ungleichung λ ≥ m² in jedem der nichttrivialen gemeinsamen Eigenräume gelten muss. Y ∈ E_λ,m sei eine gemeinsame Eigenfunktion ungleich Null, und k sei die kleinste ganze Zahl, für die gilt

$$L_{+}^{k}Y=0.$$

Da dann

$$L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}$$

folgt, dass

$$0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.$$

Somit sei λ = ℓ(ℓ + 1) für die positive ganze Zahl ℓ = m + k. ⓘ

Die vorstehenden Ausführungen wurden alle in der sphärischen Koordinatendarstellung ausgearbeitet, $\langle \theta ,\phi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ kann aber abstrakter in der vollständigen, orthonormalen sphärischen Ket-Basis ausgedrückt werden. ⓘ

Darstellung der harmonischen Polynome

Die sphärische Harmonik lässt sich als die Beschränkung bestimmter Polynomfunktionen auf die Einheitskugel darstellen $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$. Konkret bedeutet dies, dass eine (komplexwertige) Polynomfunktion $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ homogen ist vom Grad $\ell$ wenn

$$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )$$

für alle reellen Zahlen $\lambda \in \mathbb {R}$ und alle $x\in \mathbb {R} ^{3}$. Wir sagen, dass $p$ harmonisch ist, wenn

$$\Delta p=0,$$

wobei $\Delta$ die Laplacian ist. Dann gilt für jede $\ell$definieren wir

$$\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.$$

ⓘ

Zum Beispiel, wenn $\ell =1$, $\mathbf {A} _{1}$ nur der 3-dimensionale Raum aller linearen Funktionen ist $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$, da jede solche Funktion automatisch harmonisch ist. Währenddessen, wenn $\ell =2$ist, haben wir einen 5-dimensionalen Raum:

$$\mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).$$

ⓘ

Für jede $\ell$der Raum $\mathbf {H} _{\ell }$ der sphärischen Harmonischen des Grades $\ell$ nur der Raum der Beschränkungen auf die Sphäre $S^{2}$ der Elemente von $\mathbf {A} _{\ell }$. Wie in der Einleitung angedeutet, ist diese Perspektive vermutlich der Ursprung des Begriffs "sphärische Harmonische" (d. h. die Beschränkung auf die Sphäre einer harmonischen Funktion). ⓘ

Zum Beispiel kann für jede $c\in \mathbb {C}$ die Formel

$$p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }$$

ein homogenes Polynom vom Grad $\ell$ mit Domäne und Kodomäne $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$, das zufällig unabhängig ist von $x_{3}$. Dieses Polynom ist leicht zu erkennen, dass es harmonisch ist. Wenn wir schreiben $p$ in sphärischen Koordinaten $(r,\theta ,\phi )$ und beschränken uns dann auf $r=1$einschränken, erhalten wir

$$p(\theta ,\phi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\phi )+i\sin(\phi ))^{\ell },$$

was umgeschrieben werden kann als

$$p(\theta ,\phi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \phi }.$$

Nach Verwendung der Formel für das zugehörige Legendre-Polynom $P_{\ell }^{\ell }$verwenden, können wir dies als die Formel für die sphärische Harmonische erkennen $Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\phi ).$ (Siehe den folgenden Abschnitt über Spezialfälle der sphärischen Harmonischen). ⓘ

Konventionen

Orthogonalität und Normalisierung

Für die Laplace-Funktionen der sphärischen Harmonischen sind mehrere verschiedene Normalisierungen gebräuchlich $S^{2}\to \mathbb {C}$. Im gesamten Abschnitt verwenden wir die Standardkonvention, dass für $m>0$ (siehe zugehörige Legendre-Polynome)

$$P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$$

was die natürliche Normalisierung gemäß der Formel von Rodrigues ist. ⓘ

In der Akustik werden die sphärischen Laplace-Oberschwingungen im Allgemeinen wie folgt definiert (dies ist die in diesem Artikel verwendete Konvention)

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

während in der Quantenmechanik:

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

ⓘ

wobei $P_{\ell }^{m}$ sind die zugehörigen Legendre-Polynome ohne die Condon-Shortley-Phase (um zu vermeiden, dass die Phase doppelt gezählt wird). ⓘ

In beiden Definitionen sind die sphärischen Oberschwingungen orthonormal

$$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},$$

wobei δ_ij das Kronecker-Delta ist und dΩ = sin(θ) dφ dθ. Diese Normalisierung wird in der Quantenmechanik verwendet, weil sie sicherstellt, dass die Wahrscheinlichkeit normalisiert wird, d.h.,

$$\int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.$$

ⓘ

Die Disziplinen der Geodäsie und der Spektralanalyse verwenden ⓘ

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

ⓘ

die eine Einheitsleistung besitzen ⓘ

$${\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$$

ⓘ

Die Magnetik verwendet dagegen die halbnormierten Schmidt-Harmonischen ⓘ

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

ⓘ

die die Normalisierung haben ⓘ

$$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$$

ⓘ

In der Quantenmechanik wird diese Normalisierung manchmal ebenfalls verwendet und nach Giulio Racah als Racahsche Normalisierung bezeichnet. ⓘ

Es kann gezeigt werden, dass alle oben genannten normalisierten sphärischen harmonischen Funktionen folgende Bedingungen erfüllen ⓘ

$$Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),$$

ⓘ

wobei der hochgestellte * die komplexe Konjugation bezeichnet. Alternativ ergibt sich diese Gleichung aus der Beziehung zwischen den sphärischen harmonischen Funktionen und der Wigner-D-Matrix. ⓘ

Condon-Shortley-Phase

Eine Quelle der Verwirrung bei der Definition der sphärischen harmonischen Funktionen betrifft einen Phasenfaktor von (-1)m, der in der quantenmechanischen Literatur gemeinhin als Condon-Shortley-Phase bezeichnet wird. In der Quantenmechanik ist es üblich, diesen Phasenfaktor entweder in die Definition der zugehörigen Legendre-Polynome aufzunehmen oder ihn an die Definition der sphärischen harmonischen Funktionen anzuhängen. Es ist nicht erforderlich, die Condon-Shortley-Phase in der Definition der sphärischen harmonischen Funktionen zu verwenden, aber ihre Einbeziehung kann einige quantenmechanische Operationen vereinfachen, insbesondere die Anwendung von Hebungs- und Senkungsoperatoren. In der Geodäsie und Magnetik wird der Condon-Shortley-Phasenfaktor weder in den Definitionen der sphärischen harmonischen Funktionen noch in den Definitionen der zugehörigen Legendre-Polynome berücksichtigt. ⓘ

Reelle Form

Eine reelle Basis der sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ kann in Form ihrer komplexen Analoga definiert werden $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ durch die Einstellung

$${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}$$

Aus Gründen der Konsistenz wird hier die Condon-Shortley-Phasenkonvention verwendet. Die entsprechenden inversen Gleichungen zur Definition der komplexen sphärischen Harmonischen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ in Form der reellen sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ lauten

$$Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}$$

ⓘ

Die reellen sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ werden manchmal auch als tesseralische sphärische Harmonische bezeichnet. Diese Funktionen haben die gleichen Orthonormalitätseigenschaften wie die komplexen Funktionen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ oben. Die reellen sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell m}$ mit m > 0 sind vom Kosinustyp und die mit m < 0 vom Sinustyp. Der Grund dafür wird deutlich, wenn man die Funktionen in Form von Legendre-Polynomen schreibt

$$Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$$

ⓘ

Die gleichen Sinus- und Kosinusfaktoren sind auch im folgenden Unterabschnitt zu sehen, der sich mit der kartesischen Darstellung befasst. ⓘ

Hier finden Sie eine Liste der reellen sphärischen Harmonischen bis einschließlich $\ell =4$die mit dem Ergebnis der obigen Gleichungen übereinstimmen. ⓘ

Verwendung in der Quantenchemie

Wie aus den analytischen Lösungen für das Wasserstoffatom bekannt ist, sind die Eigenfunktionen des Winkelteils der Wellenfunktion sphärische Harmonische. Die Lösungen der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung ohne magnetische Terme können jedoch reell gemacht werden. Aus diesem Grund werden die reellen Formen häufig in Basisfunktionen für die Quantenchemie verwendet, da die Programme dann keine komplexe Algebra verwenden müssen. In diesem Zusammenhang ist es wichtig zu wissen, dass die reellen Funktionen denselben Raum aufspannen wie die komplexen Funktionen. ⓘ

Wie aus der Tabelle der sphärischen Harmonischen ersichtlich ist, sind beispielsweise die üblichen p-Funktionen ($\ell =1$) komplex sind und die Achsenrichtungen mischen, aber die reellen Versionen sind im Wesentlichen nur x, y und z. ⓘ

Sphärische Oberschwingungen in kartesischer Form

Die komplexen sphärischen Oberschwingungen $Y_{\ell }^{m}$ führen zu den festen Harmonischen, indem sie sich von $S^{2}$ zu allen von $\mathbb {R} ^{3}$ als eine homogene Funktion vom Grad $\ell$, d.h. die Einstellung

$$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)$$

Es zeigt sich, dass $R_{\ell }^{m}$ die Basis des Raums der harmonischen und homogenen Polynome vom Grad $\ell$. Genauer gesagt ist es die (bis zur Normalisierung eindeutige) Gelfand-Tsetlin-Basis dieser Darstellung der Rotationsgruppe $SO(3)$ und eine explizite Formel für $R_{\ell }^{m}$ in kartesischen Koordinaten lässt sich daraus ableiten. ⓘ

Die erzeugende Herglotz-Funktion

Nimmt man die quantenmechanische Konvention für die $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$angenommen, dann

$$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$$

hier, $\mathbf {r}$ der Vektor mit den Komponenten $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, $r=|\mathbf {r} |$, und

$${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right)$$

ist ein Vektor mit komplexen Koeffizienten. Es genügt, wenn man $v$ und $\lambda$ als reelle Parameter zu nehmen. Die wesentliche Eigenschaft von $\mathbf {a}$ ist, dass sie Null ist:

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$$

ⓘ

Indem wir diese erzeugende Funktion nach Herglotz benennen, folgen wir Courant & Hilbert 1962, §VII.7, die unveröffentlichte Notizen von ihm für ihre Entdeckung anführen. ⓘ

Im Wesentlichen lassen sich alle Eigenschaften der sphärischen Harmonischen aus dieser erzeugenden Funktion ableiten. Ein unmittelbarer Vorteil dieser Definition ist, dass, wenn der Vektor $\mathbf {r}$ durch den quantenmechanischen Spin-Vektor-Operator ersetzt wird $\mathbf {J}$ersetzt, so dass ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ das Operator-Analogon der festen Harmonischen ist $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ist, erhält man eine erzeugende Funktion für einen standardisierten Satz von sphärischen Tensoroperatoren, ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$:

$$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$$

ⓘ

Die Parallelität der beiden Definitionen stellt sicher, dass die ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$unter Rotationen (siehe unten) auf die gleiche Weise transformiert werden wie die $Y_{\ell }^{m}$was wiederum garantiert, dass sie sphärische Tensoroperatoren sind, $T_{q}^{(k)}$sind, wobei $k={\ell }$ und $q=m$die allen Eigenschaften solcher Operatoren gehorchen, wie z. B. dem Clebsch-Gordan-Kompositionstheorem und dem Wigner-Eckart-Theorem. Sie sind außerdem eine standardisierte Menge mit einer festen Skala oder Normalisierung. ⓘ

Getrennte kartesische Form

Die Herglotzsche Definition liefert Polynome, die, wenn man will, weiter faktorisiert werden können in ein Polynom von $z$ und ein weiteres von $x$ und $y$faktorisiert werden können (Condon-Shortley-Phase):

$$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.$$

und für m = 0:

$$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$$

Hier

$$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$$

$$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$$

und

$${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$$

Für $m=0$ Dies reduziert sich auf

$${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.$$

ⓘ

Der Faktor ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ist im wesentlichen das zugehörige Legendre-Polynom $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$, und die Faktoren $(A_{m}\pm iB_{m})$ sind im Wesentlichen $e^{\pm im\varphi }$. ⓘ

Beispiele

Unter Verwendung der Ausdrücke für ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$, $A_{m}(x,y)$, und $B_{m}(x,y)$ die oben explizit aufgeführt sind, erhalten wir:

$$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)$$

ⓘ

$$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$$

Es kann überprüft werden, dass dies mit der hier und hier aufgeführten Funktion übereinstimmt. ⓘ

Reelle Formen

Wendet man die obigen Gleichungen zur Bildung der reellen sphärischen Harmonischen an, so stellt man fest, dass für $m>0$ nur die $A_{m}$ Terme (Kosinus) enthalten sind, und für $m<0$ nur die $B_{m}$ Terme (Sinus) enthalten sind:

$$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$$

und für m = 0:

$$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$$

ⓘ

Sonderfälle und Werte

1. Wenn $m=0$werden die sphärischen Harmonischen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ auf die gewöhnlichen Legendre-Polynome reduziert:
   $$Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).$$
2. Wenn $m=\pm \ell$,
   $$Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$$
   oder einfacher in kartesischen Koordinaten,
   $$r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$$
3. Am Nordpol, wo $\theta =0$, und $\varphi$ undefiniert ist, verschwinden alle sphärischen Oberschwingungen außer denen mit $m=0$ verschwinden:
   $$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.$$
   ⓘ

Symmetrieeigenschaften

Die sphärischen Oberschwingungen haben tief greifende und folgenreiche Eigenschaften bei den Operationen der räumlichen Inversion (Parität) und Rotation. ⓘ

Parität

Die sphärischen Oberschwingungen haben eine eindeutige Parität. Das heißt, sie sind entweder gerade oder ungerade in Bezug auf die Inversion um den Ursprung. Die Invertierung wird durch den Operator $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$. Wie man auf vielerlei Weise sehen kann (vielleicht am einfachsten anhand der Herglotz-Erzeugungsfunktion), gilt dann, wenn $\mathbf {r}$ ein Einheitsvektor ist,

$$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$$

ⓘ

In Bezug auf die sphärischen Winkel transformiert die Parität einen Punkt mit den Koordinaten $\{\theta ,\phi \}$ in $\{\pi -\theta ,\pi +\phi \}$. Die Aussage der Parität der sphärischen Harmonischen ist dann

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\phi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$$

(Dies kann wie folgt gesehen werden: Die zugehörigen Legendre-Polynome ergeben (-1)^ℓ+m und aus der Exponentialfunktion ergibt sich (-1)m, was zusa^mmen für die sphärischen Harmonischen eine Parität von (-1)^ℓ ergibt). ⓘ

Die Parität gilt weiterhin für reelle sphärische Oberschwingungen und für sphärische Oberschwingungen in höheren Dimensionen: Die Anwendung einer Punktspiegelung auf eine sphärische Oberschwingung vom Grad ℓ ändert das Vorzeichen um den Faktor (-1)^ℓ. ⓘ

Drehungen

Die Drehung einer reellen sphärischen Funktion mit m = 0 und ℓ = 3. Die Koeffizienten sind nicht gleich den Wigner-D-Matrizen, da reelle Funktionen dargestellt sind, sondern können durch Rückzerlegung der komplexen Funktionen erhalten werden ⓘ

Betrachten wir eine Drehung ${\mathcal {R}}$ um den Ursprung, die den Einheitsvektor $\mathbf {r}$ in $\mathbf {r} '$. Unter dieser Operation wird eine sphärische Harmonische vom Grad $\ell$ und Ordnung $m$ in eine Linearkombination von sphärischen Oberschwingungen desselben Grades umgewandelt. Das heißt,

$$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$$

wobei $A_{mm'}$ ist eine Matrix der Ordnung $(2\ell +1)$ die von der Drehung abhängt ${\mathcal {R}}$. Dies ist jedoch nicht die Standardmethode, um diese Eigenschaft auszudrücken. In der Standardform schreibt man, ⓘ

$$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$$

wobei $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ die komplex Konjugierte eines Elements der Wigner-D-Matrix ist. Insbesondere, wenn $\mathbf {r} '$ ist eine $\phi _{0}$ Drehung des Azimuts ist, erhalten wir die Identität, ⓘ

$$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.$$

ⓘ

Das Rotationsverhalten der sphärischen Harmonischen ist vielleicht ihr wesentliches Merkmal aus der Sicht der Gruppentheorie. Die $Y_{\ell }^{m}$vom Grad $\ell$ liefern eine Basismenge von Funktionen für die irreduzible Darstellung der Gruppe SO(3) der Dimension $(2\ell +1)$. Viele Tatsachen über die sphärische Harmonik (wie der Additionssatz), die mühsam mit den Methoden der Analyse bewiesen werden, erhalten einfachere Beweise und eine tiefere Bedeutung mit den Methoden der Symmetrie. ⓘ

Erweiterung der sphärischen Harmonischen

Die sphärischen Laplace-Oberschwingungen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ bilden eine vollständige Menge orthonormaler Funktionen und damit eine orthonormale Basis des Hilbert-Raums der quadratisch-integrablen Funktionen $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$. Auf der Einheitskugel $S^{2}$kann jede quadratisch-integrable Funktion $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ als Linearkombination dieser Funktionen erweitert werden:

$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

ⓘ

Diese Erweiterung gilt im Sinne der mittleren quadratischen Konvergenz - Konvergenz in L² der Kugel -, d.h. dass ⓘ

$$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$$

ⓘ

Die Expansionskoeffizienten sind die Entsprechungen der Fourier-Koeffizienten und können durch Multiplikation der obigen Gleichung mit der konjugierten Komplexen einer sphärischen Harmonischen, durch Integration über den Raumwinkel Ω und unter Verwendung der obigen Orthogonalitätsbeziehungen erhalten werden. Dies ist durch die grundlegende Hilbert-Raum-Theorie streng begründet. Für den Fall orthonormierter Oberschwingungen ergibt sich daraus:

$$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).$$

ⓘ

Wenn die Koeffizienten in ℓ hinreichend schnell abfallen - zum Beispiel exponentiell -, dann konvergiert die Reihe auch gleichmäßig gegen f. ⓘ

Eine quadratisch-integrable Funktion $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ lässt sich auch in Bezug auf die reellen Oberschwingungen $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ oben als Summe ⓘ

$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).$$

ⓘ

Die Konvergenz der Reihe gilt wieder im gleichen Sinne, nämlich für die reellen sphärischen Harmonischen $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ bilden eine vollständige Menge orthonormaler Funktionen und damit eine orthonormale Basis des Hilbert-Raums der quadratisch-integrablen Funktionen $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$. Der Vorteil der Erweiterung in Form der reellen harmonischen Funktionen $Y_{\ell m}$ ist, dass für reelle Funktionen $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ die Expansionskoeffizienten $f_{\ell m}$ garantiert reell sind, während ihre Koeffizienten $f_{\ell }^{m}$ bei ihrer Expansion in Form der $Y_{\ell }^{m}$ (wenn man sie als Funktionen $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$) diese Eigenschaft nicht haben. ⓘ

Analyse des Spektrums

Leistungsspektrum in der Signalverarbeitung

Die Gesamtleistung einer Funktion f ist in der Signalverarbeitungsliteratur definiert als das Integral der Funktion zum Quadrat, geteilt durch die Fläche ihres Bereichs. Unter Verwendung der Orthonormalitätseigenschaften der reellen sphärischen Harmonischen mit Einheitsleistung lässt sich leicht nachweisen, dass die Gesamtleistung einer auf der Einheitskugel definierten Funktion mit ihren Spektralkoeffizienten durch eine Verallgemeinerung des Parseval-Theorems zusammenhängt (hier wird das Theorem für halbnormalisierte Schmidt-Harmonische angegeben, für orthonormale Harmonische ist die Beziehung etwas anders):

$${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$$

wobei

$$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}$$

ⓘ

ist definiert als das Winkelleistungsspektrum (für halbnormalisierte Schmidt-Harmonische). In ähnlicher Weise kann man die Kreuzleistung zweier Funktionen definieren als

$${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$$

wobei

$$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }$$

ⓘ

ist definiert als das Kreuzleistungsspektrum. Wenn die Funktionen f und g einen Mittelwert von Null haben (d. h., die Spektralkoeffizienten f₀₀ und g₀₀ sind Null), dann stellen S_ff(ℓ) und S_fg(ℓ) die Beiträge zur Varianz bzw. Kovarianz der Funktion für den Grad ℓ dar. Üblicherweise wird das (Kreuz-)Leistungsspektrum durch ein Potenzgesetz der folgenden Form gut angenähert ⓘ

$$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$$

ⓘ

Wenn β = 0 ist, ist das Spektrum "weiß", da jeder Grad die gleiche Leistung besitzt. Wenn β < 0 ist, wird das Spektrum als "rot" bezeichnet, da die Leistung bei den niedrigen Graden mit langen Wellenlängen höher ist als bei den höheren Graden. Wenn β > 0 ist, wird das Spektrum schließlich als "blau" bezeichnet. Die Bedingung für die Wachstumsordnung von S_ff(ℓ) hängt mit der Ordnung der Differenzierbarkeit von f im nächsten Abschnitt zusammen. ⓘ

Eigenschaften der Differenzierbarkeit

Man kann die Differenzierbarkeitseigenschaften der ursprünglichen Funktion f auch in Form der Asymptotik von S_ff(ℓ) verstehen. Insbesondere, wenn S_ff(ℓ) schneller abfällt als jede rationale Funktion von ℓ als ℓ → ∞, dann ist f unendlich differenzierbar. Wenn außerdem S_ff(ℓ) exponentiell abklingt, dann ist f auf der Sphäre tatsächlich reell analytisch. ⓘ

Die allgemeine Technik besteht darin, die Theorie der Sobolev-Räume zu verwenden. Aussagen, die das Wachstum von S_ff(ℓ) mit der Differenzierbarkeit in Verbindung bringen, sind dann ähnlich wie analoge Ergebnisse zum Wachstum der Koeffizienten von Fourier-Reihen. Genauer gesagt, wenn

$$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$$

dann liegt f im Sobolev-Raum Hs(S²). Insbesondere impliziert das Sobolev-Einbettungs-Theorem, dass f unendlich differenzierbar ist, vorausgesetzt, dass

$$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$$

für alle s. ⓘ

Algebraische Eigenschaften

Additionstheorem

Ein mathematisches Ergebnis von beträchtlichem Interesse und Nutzen ist der Additionssatz für die sphärische Harmonik. Bei zwei Vektoren r und r′ mit sphärischen Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$ und $(r',\theta ',\varphi ')$gegeben, so ist der Winkel $\gamma$ zwischen ihnen durch die Beziehung

$$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$$

wobei die Rolle der trigonometrischen Funktionen auf der rechten Seite von der sphärischen Harmonischen und die der linken Seite von den Legendre-Polynomen übernommen wird. ⓘ

Das Additionstheorem besagt ⓘ

$$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y} )\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N} _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2}=\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$$

(1) ⓘ

wobei P_ℓ das Legendre-Polynom vom Grad ℓ ist. Dieser Ausdruck ist sowohl für reelle als auch für komplexe Harmonische gültig. Das Ergebnis kann analytisch bewiesen werden, indem man die Eigenschaften des Poisson-Kerns in der Einheitskugel nutzt, oder geometrisch, indem man den Vektor y so dreht, dass er auf die z-Achse zeigt, und dann direkt die rechte Seite berechnet. ⓘ

Insbesondere, wenn x = y ist, ergibt sich daraus der Unsöldsche Lehrsatz

$$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$$

der die Identität cos²θ + sin²θ = 1 auf zwei Dimensionen verallgemeinert. ⓘ

Bei der Erweiterung (1) ist die linke Seite P_ℓ(x⋅y) ein konstantes Vielfaches der zonalen sphärischen Harmonischen vom Grad ℓ. Aus dieser Perspektive ergibt sich die folgende Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen. Y_j sei eine beliebige Orthonormalbasis des Raums H_ℓ der sphärischen Harmonischen vom Grad ℓ auf der n-Sphäre. Dann $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$die zonale Harmonische vom Grad ℓ, die dem Einheitsvektor x entspricht, zerlegt sich in ⓘ

$$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$$

(2) ⓘ

Außerdem ist die zonale Harmonische $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ als ein konstantes Vielfaches des entsprechenden Gegenbauer-Polynoms gegeben:

$$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })$$

(3) ⓘ

Die Kombination von (2) und (3) ergibt (1) in der Dimension n = 2, wenn x und y in Kugelkoordinaten dargestellt werden. Schließlich ergibt die Auswertung bei x = y die funktionale Identität

$${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$$

wobei ωn-1 das Volumen der (n-1)-Sphäre ist. ⓘ

Kontraktionsregel

Eine weitere nützliche Identität drückt das Produkt zweier sphärischer Oberschwingungen als eine Summe über sphärische Oberschwingungen aus

$$Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).$$

Viele der Terme in dieser Summe sind trivialerweise Null. Die Werte von $c$ und $\gamma$ die zu Nicht-Null-Termen in dieser Summe führen, werden durch die Auswahlregeln für die 3j-Symbole bestimmt. ⓘ

Clebsch-Gordan-Koeffizienten

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind die Koeffizienten, die bei der Entwicklung des Produkts zweier sphärischer Oberschwingungen in Form der sphärischen Oberschwingungen selbst auftreten. Es gibt eine Reihe von Techniken, mit denen im Wesentlichen dieselbe Berechnung durchgeführt werden kann, darunter das Wigner-3-jm-Symbol, die Racah-Koeffizienten und die Slater-Integrale. Abstrakt ausgedrückt, drücken die Clebsch-Gordan-Koeffizienten das Tensorprodukt zweier irreduzibler Darstellungen der Rotationsgruppe als Summe irreduzibler Darstellungen aus: In geeigneter Weise normalisiert, sind die Koeffizienten dann die Multiplikationen. ⓘ

Visualisierung der sphärischen Harmonischen

Schematische Darstellung von $Y_{\ell m}$ auf der Einheitskugel und ihren Knotenlinien. $\Re [Y_{\ell m}]$ ist auf m Großkreisen, die durch die Pole gehen, und auf ℓ-m Kreisen gleicher Breite gleich 0. Die Funktion wechselt jedes Mal das Vorzeichen, wenn sie eine dieser Linien kreuzt. ⓘ

3D-Farbdiagramm der sphärischen Harmonischen des Grades n = 5. Beachten Sie, dass n = ℓ. ⓘ

Die sphärischen Laplace-Oberschwingungen $Y_{\ell }^{m}$ können visualisiert werden, indem man ihre "Knotenlinien" betrachtet, d. h. die Menge der Punkte auf der Kugel, an denen $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$, oder alternativ, wo $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$. Die Knotenlinien von $Y_{\ell }^{m}$ bestehen aus ℓ Kreisen: Es gibt |m| Kreise entlang der Längengrade und ℓ-|m| Kreise entlang der Breitengrade. Man kann die Anzahl der Knotenlinien jedes Typs bestimmen, indem man die Anzahl der Nullen von $Y_{\ell }^{m}$ in den $\theta$ und $\varphi$ Richtungen zählt. Betrachtet man $Y_{\ell }^{m}$ als Funktion von $\theta$betrachtet, so besitzen die Real- und Imaginärkomponenten der zugehörigen Legendre-Polynome jeweils ℓ-|m| Nullstellen, die jeweils eine Knotenlinie der "geographischen Breite" ergeben. Andererseits betrachtet man $Y_{\ell }^{m}$ als Funktion von $\varphi$besitzen die trigonometrischen sin- und cos-Funktionen 2|m| Nullstellen, von denen jede eine nodale "Längengerade" ergibt. ⓘ

Wenn die sphärische Oberschwingungsordnung m Null ist (oben links in der Abbildung), sind die sphärischen Oberschwingungsfunktionen nicht von der geographischen Länge abhängig und werden als zonal bezeichnet. Solche sphärischen Oberschwingungen sind ein Spezialfall der zonalen sphärischen Funktionen. Wenn ℓ = |m| (unten rechts in der Abbildung), gibt es keine Nulldurchgänge in der geografischen Breite, und die Funktionen werden als sektoral bezeichnet. In den anderen Fällen decken die Funktionen die Kugel ab und werden als tesseral bezeichnet. ⓘ

Allgemeinere sphärische Harmonische vom Grad ℓ sind nicht unbedingt die der Laplace-Basis $Y_{\ell }^{m}$und ihre Knotenmengen können recht allgemeiner Art sein. ⓘ

Liste der sphärischen Harmonischen

Analytische Ausdrücke für die ersten paar orthonormierten sphärischen Laplace-Oberschwingungen $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ die die Condon-Shortley-Phasenkonvention verwenden:

$$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$$

ⓘ

$${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}$$

ⓘ

$${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}$$

ⓘ

Höhere Dimensionen

Die klassischen sphärischen Harmonischen sind definiert als komplexwertige Funktionen auf der Einheitskugel $S^{2}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$. Die sphärische Harmonik kann auf den höherdimensionalen euklidischen Raum verallgemeinert werden $\mathbb {R} ^{n}$ wie folgt verallgemeinert werden und führen zu Funktionen $S^{n-1}\to \mathbb {C}$. Bezeichne P_ℓ den Raum der komplexwertigen homogenen Polynome vom Grad ℓ in n reellen Variablen, hier als Funktionen betrachtet $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$. Das heißt, ein Polynom p ist in P_ℓ unter der Voraussetzung, dass für jede reelle $\lambda \in \mathbb {R}$, hat man ⓘ

$$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).$$

ⓘ

Bezeichnen wir mit A_ℓ den Unterraum von P_ℓ, der aus allen harmonischen Polynomen besteht:

$$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$$

Dies sind die (regelmäßigen) festen sphärischen Harmonischen. H_ℓ bezeichne den Raum der Funktionen auf der Einheitskugel

$$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$$

die man durch Restriktion von A_ℓ erhält.

$$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.$$

ⓘ

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

• Die Summe der Räume H_ℓ ist dicht in der Menge $C(S^{n-1})$ der stetigen Funktionen auf $S^{n-1}$ mit Bezug auf die einheitliche Topologie, durch den Satz von Stone-Weierstraß. Infolgedessen ist die Summe dieser Räume auch dicht im Raum L²(Sn-1) der quadratisch-integrablen Funktionen auf der Kugel. Somit zerfällt jede quadratisch-integrable Funktion auf der Sphäre eindeutig in eine Reihe von sphärischen Harmonischen, wobei die Reihe im L²-Sinn konvergiert.
• Für alle f ∈ H_ℓ, hat man
  $$\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$$
  wobei ΔSn-1 der Laplace-Beltrami-Operator auf Sn-1 ist. Dieser Operator ist das Analogon des Winkelteils des Laplacianers in drei Dimensionen, d. h. der Laplacianer in n Dimensionen zerlegt sich wie folgt
  $$\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$$
• Aus dem Stokes-Theorem und der vorangegangenen Eigenschaft folgt, dass die Räume H_ℓ orthogonal sind in Bezug auf das innere Produkt von L²(Sn-1). Das heißt, dass
  $$\int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0$$
  für f ∈ H_ℓ und g ∈ H_k für k ≠ ℓ.
• Umgekehrt sind die Räume H_ℓ genau die Eigenräume von ΔSn-1. Insbesondere eine Anwendung des Spektralsatzes auf das Riesz-Potential $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ einen weiteren Beweis, dass die Räume H_ℓ paarweise orthogonal und vollständig in L²(Sn-1) sind.
• Jedes homogene Polynom p ∈ P_ℓ kann eindeutig geschrieben werden in der Form
  $$p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}$$
  wobei p_j ∈ A_j. Im Besonderen,
  $$\dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}.$$
  ⓘ

Eine orthogonale Basis der sphärischen Harmonischen in höheren Dimensionen kann induktiv durch die Methode der Variablentrennung konstruiert werden, indem das Sturm-Liouville-Problem für den sphärischen Laplacian gelöst wird

$$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$$

wobei φ die axiale Koordinate in einem sphärischen Koordinatensystem auf Sn-1 ist. Das Endergebnis eines solchen Verfahrens ist

$$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$$

wobei die Indizes |ℓ₁| ≤ ℓ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓn-1 erfüllen und der Eigenwert -ℓn-1(ℓn-1 + n-2) ist. Die Funktionen im Produkt sind durch die Legendre-Funktion definiert

$${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$$

ⓘ

Verbindung zur Darstellungstheorie

Der Raum H_ℓ der sphärischen Harmonischen vom Grad ℓ ist eine Darstellung der Symmetriegruppe der Rotationen um einen Punkt (SO(3)) und ihrer Doppeldeckung SU(2). Tatsächlich wirken Rotationen auf die zweidimensionale Sphäre und damit auch auf H_ℓ durch Funktionskomposition

$$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$$

für ψ eine sphärische Harmonische und ρ eine Drehung. Die Darstellung H_ℓ ist eine irreduzible Darstellung von SO(3). ⓘ

Die Elemente von H_ℓ ergeben sich als Einschränkungen der Elemente von A_ℓ auf die Sphäre: harmonische Polynome homogenen Grades ℓ im dreidimensionalen euklidischen Raum R³. Durch Polarisierung von ψ ∈ A_ℓ gibt es Koeffizienten $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ symmetrisch zu den Indizes, die eindeutig durch die Bedingung

$$\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$$

Die Bedingung, dass ψ harmonisch ist, ist äquivalent zu der Behauptung, dass der Tensor $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ für jedes Paar von Indizes spurenfrei sein muss. Als irreduzible Darstellung von SO(3) ist H_ℓ also isomorph zum Raum der spurlosen symmetrischen Tensoren vom Grad ℓ. ⓘ

Allgemeiner gelten die analogen Aussagen in höheren Dimensionen: der Raum H_ℓ der sphärischen Harmonischen auf der n-Sphäre ist die irreduzible Darstellung von SO(n+1), die den spurlosen symmetrischen ℓ-Tensoren entspricht. Während jedoch jede irreduzible Tensordarstellung von SO(2) und SO(3) von dieser Art ist, haben die speziellen orthogonalen Gruppen in höheren Dimensionen zusätzliche irreduzible Darstellungen, die nicht auf diese Weise entstehen. ⓘ

Die speziellen orthogonalen Gruppen haben zusätzliche Spindarstellungen, die keine Tensordarstellungen sind und typischerweise keine sphärischen Harmonischen sind. Eine Ausnahme bilden die Spin-Darstellungen von SO(3): Streng genommen handelt es sich um Darstellungen der Doppelhülle SU(2) von SO(3). SU(2) wiederum wird mit der Gruppe der Einheitsquaternionen identifiziert und fällt somit mit der 3-Sphäre zusammen. Die Räume der sphärischen Harmonischen auf der 3-Sphäre sind bestimmte Spin-Darstellungen von SO(3) unter Berücksichtigung der Wirkung der quaternionischen Multiplikation. ⓘ

Zusammenhang mit der hemisphärischen Harmonik

Die sphärische Harmonik kann in zwei Gruppen von Funktionen unterteilt werden. Die eine ist die hemisphärische Funktion (HSH), orthogonal und vollständig auf der Hemisphäre. Die andere ist die komplementäre hemisphärische Harmonik (CHSH). ⓘ

Verallgemeinerungen

Die winkelerhaltenden Symmetrien der Zweikugel werden durch die Gruppe der Möbius-Transformationen PSL(2,C) beschrieben. In Bezug auf diese Gruppe ist die Kugel äquivalent zur üblichen Riemannschen Kugel. Die Gruppe PSL(2,C) ist isomorph zur (echten) Lorentz-Gruppe, und ihre Wirkung auf die Zweikugel stimmt mit der Wirkung der Lorentz-Gruppe auf die Himmelskugel im Minkowski-Raum überein. Das Analogon der sphärischen Harmonischen für die Lorentz-Gruppe ist durch die hypergeometrische Reihe gegeben; darüber hinaus können die sphärischen Harmonischen in Form der hypergeometrischen Reihe wiedergegeben werden, da SO(3) = PSU(2) eine Untergruppe von PSL(2,C) ist. ⓘ

Ganz allgemein können hypergeometrische Reihen verallgemeinert werden, um die Symmetrien eines beliebigen symmetrischen Raums zu beschreiben; insbesondere können hypergeometrische Reihen für jede Lie-Gruppe entwickelt werden. ⓘ

Eigenschaften

Darstellung der Kugelflächenfunktionen ⓘ

Die Kugelflächenfunktionen haben folgende Eigenschaften:

• Orthonormalitätsrelation: ($\delta _{ij}$ ist das Kronecker-Delta)

${\begin{aligned}&\int Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\mathrm {d} \Omega \\&\quad =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )\,Y_{l'm'}(\vartheta ,\varphi )\,\sin {\vartheta }\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad =\delta _{l\,l'}\,\delta _{mm'}\\\end{aligned}}$ ⓘ

• Vollständigkeit: ($\delta (x)$ ist die Delta-Distribution)

$\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta }-\cos {\vartheta '})$ ⓘ

• Parität: Der Übergang ${\vec {r}}\rightarrow -{\vec {r}}$ sieht in Kugelkoordinaten folgendermaßen aus: $(r,\vartheta ,\varphi )\rightarrow (r,\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )$. Unter dieser Transformation verhalten sich die Kugelflächenfunktionen wie folgt:

$Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )$ ⓘ

• Komplexe Konjugation: Die jeweiligen $Y_{l,-m}$ erhält man aus den $Y_{lm}$ durch:

$Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )$ ⓘ

Anwendungen

Quantenmechanik

Als Eigenfunktionen des Winkelanteils des Laplaceoperators sind die Kugelflächenfunktionen zugleich Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators zur Nebenquantenzahl $l$ als Eigenwert. Daher spielen sie eine große Rolle bei der Beschreibung von Atomzuständen. Ferner ist

${\hat {\mathbf {L} }}^{2}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$

${\hat {L}}_{z}Y_{l,m}(\theta ,\varphi )=\hbar mY_{l,m}(\theta ,\varphi )$ ⓘ

Nomenklatur in der Geophysik

Kugelflächenfunktionen werden auch in der Geophysik verwendet. Man unterscheidet hier zwischen:

• zonal ($m=0$): unabhängig von Längengrad $\varphi$
• sektoriell ($m=l$):

$Y_{ll}(\vartheta ,\varphi ):={\frac {(-1)}{l!}}^{l}{\sqrt {\frac {(2l+1)!}{4^{l+1}\pi }}}\sin ^{l}\vartheta e^{\mathrm {i} l\varphi }$

• tesseral (sonst): längen- und breitengradabhängig ⓘ