Umlaufbahn

Eine Animation zeigt Bahnen mit geringer Exzentrizität (Beinahe-Kreis, in rot) und Bahnen mit hoher Exzentrizität (Ellipse, in lila) ⓘ

In der Himmelsmechanik ist eine Umlaufbahn die gekrümmte Bahn eines Objekts, z. B. die Bahn eines Planeten um einen Stern, eines natürlichen Satelliten um einen Planeten oder eines künstlichen Satelliten um ein Objekt oder eine Position im Raum, z. B. einen Planeten, Mond, Asteroiden oder Lagrange-Punkt. Normalerweise bezieht sich eine Umlaufbahn auf eine sich regelmäßig wiederholende Flugbahn, sie kann sich aber auch auf eine sich nicht wiederholende Flugbahn beziehen. In grober Näherung folgen Planeten und Satelliten elliptischen Bahnen, wobei sich der Massenschwerpunkt in einem Brennpunkt der Ellipse befindet, wie in den Keplerschen Gesetzen zur Planetenbewegung beschrieben. ⓘ

Für die meisten Situationen wird die Orbitalbewegung durch die Newtonsche Mechanik adäquat approximiert, die die Schwerkraft als eine Kraft erklärt, die dem Gesetz des umgekehrten Quadrats gehorcht. Die allgemeine Relativitätstheorie von Albert Einstein, die die Schwerkraft auf die Krümmung der Raumzeit zurückführt, wobei die Umlaufbahnen Geodäten folgen, ermöglicht jedoch eine genauere Berechnung und ein besseres Verständnis der exakten Mechanik der Orbitalbewegung. ⓘ

Als Umlaufbahn oder Orbit (entlehnt über englisch orbit aus lateinisch orbis für „[Kreis-]Bahn“) wird in der Astronomie die Bahnkurve bezeichnet, auf der sich ein Objekt aufgrund der Gravitation im freien Fall periodisch um ein anderes Objekt bewegt, den Zentralkörper. ⓘ

Der Umlauf auf einer Umlaufbahn wird auch als Revolution bezeichnet (siehe De revolutionibus orbium coelestium). Die dafür benötigte Zeit ist die Umlaufzeit (oder Revolutionsperiode). ⓘ

Geschichte

Historisch gesehen wurden die scheinbaren Bewegungen der Planeten von europäischen und arabischen Philosophen mit Hilfe der Vorstellung von Himmelskugeln beschrieben. Dieses Modell ging von der Existenz perfekt beweglicher Kugeln oder Ringe aus, an denen die Sterne und Planeten befestigt waren. Es ging davon aus, dass der Himmel abgesehen von der Bewegung der Sphären unbeweglich war, und wurde ohne Kenntnis der Schwerkraft entwickelt. Nachdem die Bewegungen der Planeten genauer gemessen worden waren, wurden theoretische Mechanismen wie Deferent und Epizykel hinzugefügt. Obwohl das Modell in der Lage war, die Positionen der Planeten am Himmel einigermaßen genau vorherzusagen, wurden mit zunehmender Genauigkeit der Messungen immer mehr Epizyklen benötigt, so dass das Modell immer unhandlicher wurde. Das ursprünglich geozentrische Modell wurde von Kopernikus dahingehend geändert, dass er die Sonne in den Mittelpunkt stellte, um das Modell zu vereinfachen. Das Modell wurde im 16. Jahrhundert weiter in Frage gestellt, als Kometen beobachtet wurden, die die Sphären durchquerten. ⓘ

Die Grundlage für das moderne Verständnis der Umlaufbahnen wurde erstmals von Johannes Kepler formuliert, dessen Ergebnisse in seinen drei Gesetzen der Planetenbewegung zusammengefasst sind. Erstens stellte er fest, dass die Bahnen der Planeten in unserem Sonnensystem elliptisch und nicht, wie bisher angenommen, kreisförmig (oder epizyklisch) sind und dass sich die Sonne nicht im Zentrum der Bahnen befindet, sondern in einem Brennpunkt. Zweitens stellte er fest, dass die Umlaufgeschwindigkeit der einzelnen Planeten nicht konstant ist, wie man zuvor angenommen hatte, sondern dass die Geschwindigkeit von der Entfernung des Planeten zur Sonne abhängt. Drittens fand Kepler eine universelle Beziehung zwischen den Bahneigenschaften aller Planeten, die die Sonne umkreisen. Bei den Planeten sind die Kuben ihrer Entfernungen von der Sonne proportional zu den Quadraten ihrer Umlaufzeiten. Jupiter und Venus zum Beispiel sind etwa 5,2 bzw. 0,723 AE von der Sonne entfernt, ihre Umlaufzeiten liegen bei 11,86 bzw. 0,615 Jahren. Die Proportionalität zeigt sich daran, dass das Verhältnis für Jupiter, 5,2³/11,86², praktisch gleich dem für Venus, 0,723³/0,615², ist, was der Beziehung entspricht. Idealisierte Bahnen, die diesen Regeln entsprechen, werden als Kepler-Bahnen bezeichnet. ⓘ

Isaac Newton zeigte, dass sich die Keplerschen Gesetze aus seiner Gravitationstheorie ableiten lassen und dass die Bahnen von Körpern, die der Schwerkraft unterliegen, im Allgemeinen Kegelschnitte sind (dies setzt voraus, dass sich die Schwerkraft sofort ausbreitet). Newton zeigte, dass bei einem Paar von Körpern die Größe der Bahnen umgekehrt proportional zu ihren Massen ist und dass diese Körper um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt kreisen. Wenn ein Körper viel massereicher ist als der andere (wie im Fall eines künstlichen Satelliten, der einen Planeten umkreist), ist es eine bequeme Annäherung, den Massenschwerpunkt mit dem Zentrum des massiveren Körpers zusammenfallen zu lassen. ⓘ

Die Fortschritte in der Newtonschen Mechanik wurden dann genutzt, um Abweichungen von den einfachen Annahmen, die den Keplerschen Bahnen zugrunde liegen, zu erforschen, wie z. B. die Störungen durch andere Körper oder die Auswirkungen von kugelförmigen statt kugelförmigen Körpern. Lagrange (1736-1813) entwickelte eine neue Herangehensweise an die Newtonsche Mechanik, bei der die Energie stärker betont wurde als die Kraft, und machte Fortschritte beim Dreikörperproblem, indem er die Lagrangeschen Punkte entdeckte. In einer dramatischen Rechtfertigung der klassischen Mechanik gelang es Urbain Le Verrier 1846, die Position des Neptun auf der Grundlage unerklärlicher Störungen in der Uranusbahn vorherzusagen. ⓘ

Albert Einstein (1879-1955) erklärte 1916 in seinem Aufsatz Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass die Schwerkraft auf die Krümmung der Raumzeit zurückzuführen ist, und hob Newtons Annahme auf, dass sich Veränderungen augenblicklich ausbreiten. Dies führte dazu, dass die Astronomen erkannten, dass die Newtonsche Mechanik nicht die höchste Genauigkeit beim Verständnis von Umlaufbahnen bot. In der Relativitätstheorie folgen die Umlaufbahnen geodätischen Bahnen, die in der Regel sehr gut durch die Newtonschen Vorhersagen angenähert werden (außer bei sehr starken Schwerefeldern und sehr hohen Geschwindigkeiten), aber die Unterschiede sind messbar. Im Wesentlichen stimmen alle experimentellen Beweise, die zwischen den Theorien unterscheiden können, mit der Relativitätstheorie überein, und zwar innerhalb der experimentellen Messgenauigkeit. Die ursprüngliche Rechtfertigung der allgemeinen Relativitätstheorie besteht darin, dass sie in der Lage war, den verbleibenden unerklärten Betrag der Präzession des Merkur-Perihels zu erklären, der zuerst von Le Verrier festgestellt wurde. Für die meisten kurzfristigen Zwecke wird jedoch nach wie vor die Newtonsche Lösung verwendet, da sie wesentlich einfacher zu handhaben und ausreichend genau ist. ⓘ

Planetenumlaufbahnen

Innerhalb eines Planetensystems umkreisen Planeten, Zwergplaneten, Asteroiden und andere Kleinplaneten, Kometen und Weltraummüll das Baryzentrum des Systems auf elliptischen Bahnen. Ein Komet auf einer parabolischen oder hyperbolischen Umlaufbahn um ein Baryzentrum ist nicht gravitativ an den Stern gebunden und wird daher nicht als Teil des Planetensystems des Sterns betrachtet. Körper, die durch die Schwerkraft an einen der Planeten eines Planetensystems gebunden sind, entweder natürliche oder künstliche Satelliten, bewegen sich auf Bahnen um ein Baryzentrum in der Nähe oder innerhalb dieses Planeten. ⓘ

Aufgrund gegenseitiger gravitativer Störungen ändern sich die Exzentrizitäten der Planetenbahnen im Laufe der Zeit. Merkur, der kleinste Planet im Sonnensystem, hat die exzentrischste Umlaufbahn. In der gegenwärtigen Epoche hat Mars die nächstgrößte Exzentrizität, während Venus und Neptun die kleinsten Exzentrizitäten aufweisen. ⓘ

Wenn zwei Objekte einander umkreisen, ist die Periapse der Punkt, an dem sich die beiden Objekte am nächsten sind, und die Apoapse der Punkt, an dem sie am weitesten voneinander entfernt sind. (Für bestimmte Körper werden spezifischere Begriffe verwendet. So sind beispielsweise Perigäum und Apogäum der niedrigste und der höchste Punkt einer Umlaufbahn um die Erde, während Perihel und Aphel der nächstgelegene und der am weitesten entfernte Punkt einer Umlaufbahn um die Sonne sind). ⓘ

Bei Planeten, die einen Stern umkreisen, wird die Masse des Sterns und aller seiner Trabanten an einem einzigen Punkt, dem Baryzentrum, berechnet. Die Bahnen aller Satelliten des Sterns sind elliptische Bahnen um dieses Baryzentrum. Jeder Satellit in diesem System hat seine eigene elliptische Bahn, wobei das Baryzentrum in einem Brennpunkt dieser Ellipse liegt. An jedem Punkt seiner Bahn hat jeder Satellit einen bestimmten Wert an kinetischer und potentieller Energie in Bezug auf das Baryzentrum, und die Summe dieser beiden Energien ist an jedem Punkt seiner Bahn ein konstanter Wert. Folglich nimmt die Geschwindigkeit eines Planeten zu, wenn er sich der Periapsis nähert, da seine potenzielle Energie abnimmt; wenn er sich der Apoapsis nähert, nimmt seine Geschwindigkeit ab, da seine potenzielle Energie zunimmt. ⓘ

Verständnis von Umlaufbahnen

Es gibt einige gängige Methoden zum Verständnis von Umlaufbahnen:

• Eine Kraft, z. B. die Schwerkraft, zieht ein Objekt auf eine gekrümmte Bahn, während es versucht, in einer geraden Linie davonzufliegen.
• Wenn das Objekt in Richtung eines massiven Körpers gezogen wird, fällt es in Richtung dieses Körpers. Wenn es jedoch eine ausreichende Tangentialgeschwindigkeit hat, fällt es nicht in den Körper hinein, sondern folgt weiterhin der gekrümmten Flugbahn, die durch den Körper verursacht wird. Man sagt dann, dass das Objekt den Körper umkreist. ⓘ

Zur Veranschaulichung einer Umlaufbahn um einen Planeten kann das Modell der Newtonschen Kanonenkugel nützlich sein (siehe Abbildung unten). Dabei handelt es sich um ein "Gedankenexperiment", bei dem eine Kanone auf einem hohen Berg eine Kanonenkugel mit beliebiger Mündungsgeschwindigkeit horizontal abfeuern kann. Die Auswirkungen der Luftreibung auf die Kanonenkugel werden ignoriert (oder der Berg ist hoch genug, dass sich die Kanone oberhalb der Erdatmosphäre befindet, was dasselbe ist). ⓘ

Newtons Kanonenkugel, eine Veranschaulichung, wie Objekte in einer Kurve "fallen" können ⓘ

Wenn die Kanone ihre Kugel mit einer niedrigen Anfangsgeschwindigkeit abfeuert, krümmt sich die Flugbahn der Kugel nach unten und trifft auf den Boden (A). Wenn die Abschussgeschwindigkeit erhöht wird, schlägt die Kanonenkugel weiter entfernt von der Kanone auf dem Boden auf (B), denn während die Kugel immer noch auf den Boden fällt, krümmt sich der Boden zunehmend von ihr weg (siehe erster Punkt). Alle diese Bewegungen sind im technischen Sinne "Umlaufbahnen" - sie beschreiben einen Teil einer elliptischen Bahn um den Schwerpunkt -, aber die Umlaufbahnen werden durch das Auftreffen auf die Erde unterbrochen. ⓘ

Wenn die Kanonenkugel mit ausreichender Geschwindigkeit abgefeuert wird, krümmt sich der Boden mindestens in dem Maße von der Kugel weg, wie sie fällt - die Kugel trifft also nie auf den Boden auf. Sie befindet sich nun in einer so genannten nicht unterbrochenen oder umlaufenden Umlaufbahn. Für jede bestimmte Kombination von Höhe über dem Schwerpunkt und Masse des Planeten gibt es eine bestimmte Abschussgeschwindigkeit (unabhängig von der Masse der Kugel, die im Verhältnis zur Masse der Erde als sehr klein angenommen wird), die eine kreisförmige Umlaufbahn erzeugt, wie in (C) dargestellt. ⓘ

Wenn die Abschussgeschwindigkeit darüber hinaus erhöht wird, entstehen ununterbrochene elliptische Bahnen; eine davon ist in (D) dargestellt. Befindet sich der anfängliche Abschuss, wie gezeigt, über der Erdoberfläche, so ergeben sich auch bei langsamerer Abschussgeschwindigkeit nicht unterbrochene elliptische Bahnen; diese kommen der Erde an dem Punkt am nächsten, der eine halbe Umlaufbahn über den Abschusspunkt hinaus und direkt gegenüber diesem liegt, also unterhalb der kreisförmigen Bahn. ⓘ

Bei einer bestimmten horizontalen Abschussgeschwindigkeit, der so genannten Fluchtgeschwindigkeit, die von der Masse des Planeten und dem Abstand des Objekts vom Baryzentrum abhängt, wird eine offene Umlaufbahn (E) mit einer parabolischen Bahn erreicht. Bei noch höheren Geschwindigkeiten folgt das Objekt einer Reihe von hyperbolischen Bahnen. In praktischer Hinsicht bedeuten diese beiden Bahntypen, dass sich das Objekt von der Schwerkraft des Planeten "löst" und auf Nimmerwiedersehen "ins All fliegt". ⓘ

Die Geschwindigkeitsbeziehung zwischen zwei sich bewegenden Objekten mit Masse kann somit in vier praktische Klassen mit Untertypen eingeteilt werden:

Keine Umlaufbahn

Suborbitale Flugbahnen

Bereich der unterbrochenen elliptischen Bahnen

Orbitale Bahnen (oder einfach Umlaufbahnen)

• Bereich der elliptischen Bahnen mit dem engsten Punkt gegenüber dem Abschusspunkt
• Kreisförmige Bahn
• Bereich der elliptischen Bahnen mit dem engsten Punkt am Abschusspunkt

Offene (oder Flucht-)Bahnen

• Parabolische Bahnen
• Hyperbolische Bahnen ⓘ

Es sei darauf hingewiesen, dass Orbitalraketen zunächst senkrecht gestartet werden, um die Rakete über die Atmosphäre zu heben (was einen Reibungswiderstand verursacht), und dann langsam umkippen und die Zündung des Raketentriebwerks parallel zur Atmosphäre beenden, um die Umlaufbahngeschwindigkeit zu erreichen. ⓘ

Sobald sie in der Umlaufbahn sind, hält ihre Geschwindigkeit sie in der Umlaufbahn oberhalb der Atmosphäre. Wenn z. B. eine elliptische Umlaufbahn in dichte Luft eintaucht, verliert das Objekt an Geschwindigkeit und tritt wieder ein (d. h. es fällt). Gelegentlich dringt ein Raumfahrzeug absichtlich in die Atmosphäre ein, was als Aerobraking-Manöver bezeichnet wird. ⓘ

Die Newtonschen Bewegungsgesetze

Newtonsches Gravitationsgesetz und Bewegungsgesetze für Zweikörperprobleme

In den meisten Situationen können die relativistischen Effekte vernachlässigt werden, und die Newtonschen Gesetze beschreiben die Bewegung ausreichend genau. Die Beschleunigung eines Körpers ist gleich der Summe der auf ihn wirkenden Kräfte, geteilt durch seine Masse, und die auf einen Körper wirkende Gravitationskraft ist proportional zum Produkt der Massen der beiden anziehenden Körper und nimmt umgekehrt mit dem Quadrat des Abstands zwischen ihnen ab. Nach dieser Newton'schen Näherung lassen sich für ein System aus zwei punktförmigen Massen oder kugelförmigen Körpern, die nur durch ihre gegenseitige Gravitation beeinflusst werden (so genanntes Zweikörperproblem), ihre Flugbahnen genau berechnen. Wenn der schwerere Körper viel massereicher ist als der kleinere, wie im Fall eines Satelliten oder kleinen Mondes, der einen Planeten umkreist, oder im Fall der Erde, die die Sonne umkreist, ist es genau genug und bequem, die Bewegung in einem Koordinatensystem zu beschreiben, das auf den schwereren Körper zentriert ist, und wir sagen, dass sich der leichtere Körper auf einer Umlaufbahn um den schwereren befindet. Für den Fall, dass die Massen der beiden Körper vergleichbar sind, ist eine exakte Newtonsche Lösung immer noch ausreichend, indem man das Koordinatensystem in den Mittelpunkt der Masse des Systems setzt. ⓘ

Definition der potenziellen Gravitationsenergie

Energie ist mit Gravitationsfeldern verbunden. Ein stationärer Körper, der weit von einem anderen entfernt ist, kann externe Arbeit verrichten, wenn er zu ihm hingezogen wird, und besitzt daher potenzielle Gravitationsenergie. Da Arbeit erforderlich ist, um zwei Körper gegen die Anziehungskraft der Schwerkraft zu trennen, nimmt ihre potenzielle Gravitationsenergie zu, wenn sie sich voneinander entfernen, und nimmt ab, wenn sie sich einander nähern. Für Punktmassen sinkt die Gravitationsenergie auf Null, wenn sie sich dem Nullabstand nähern. Es ist bequem und üblich, der potenziellen Energie einen Wert von Null zuzuweisen, wenn sie unendlich weit voneinander entfernt sind, und daher hat sie einen negativen Wert (da sie von Null abnimmt) für kleinere endliche Abstände. ⓘ

Bahnenergien und Bahnformen

Wenn nur zwei Gravitationskörper wechselwirken, folgen ihre Bahnen einem Kegelschnitt. Die Bahn kann offen (was bedeutet, dass das Objekt nie zurückkehrt) oder geschlossen (zurückkehrend) sein. Welche Form die richtige ist, hängt von der Gesamtenergie (kinetische + potenzielle Energie) des Systems ab. Bei einer offenen Umlaufbahn ist die Geschwindigkeit an jeder Position der Umlaufbahn mindestens die Fluchtgeschwindigkeit für diese Position, bei einer geschlossenen Umlaufbahn ist die Geschwindigkeit immer kleiner als die Fluchtgeschwindigkeit. Da die kinetische Energie niemals negativ ist, wenn man die potentielle Energie bei unendlichem Abstand als Null annimmt, haben die gebundenen Bahnen eine negative Gesamtenergie, die parabolischen Bahnen eine Gesamtenergie von Null und die hyperbolischen Bahnen eine positive Gesamtenergie. ⓘ

Eine offene Bahn hat eine parabolische Form, wenn ihre Geschwindigkeit an diesem Punkt der Bahn genau der Fluchtgeschwindigkeit entspricht, und sie hat die Form einer Hyperbel, wenn ihre Geschwindigkeit größer als die Fluchtgeschwindigkeit ist. Wenn sich Körper mit Fluchtgeschwindigkeit oder höher einander nähern, werden sie sich zum Zeitpunkt ihrer größten Annäherung kurz umeinander drehen und sich dann für immer trennen. ⓘ

Alle geschlossenen Bahnen haben die Form einer Ellipse. Eine Kreisbahn ist ein Sonderfall, bei dem die Brennpunkte der Ellipse zusammenfallen. Der Punkt, an dem der umkreisende Körper der Erde am nächsten ist, wird als Perigäum bezeichnet, und er heißt Periapse (weniger korrekt "Perifokus" oder "Perizentrum"), wenn es sich um eine Umlaufbahn um einen anderen Körper als die Erde handelt. Der Punkt, an dem der Satellit am weitesten von der Erde entfernt ist, wird Apogäum, Apoapsis oder manchmal auch Apifokus oder Apozentron genannt. Eine von Periapsis zu Apoapsis gezogene Linie ist die Apsidenlinie. Dies ist die Hauptachse der Ellipse, die Linie durch ihren längsten Teil. ⓘ

Die Keplerschen Gesetze

Körper, die sich auf geschlossenen Bahnen bewegen, wiederholen ihre Bahnen in einer bestimmten Zeit, die als Periode bezeichnet wird. Diese Bewegung wird durch die empirischen Gesetze von Kepler beschrieben, die sich mathematisch aus den Newtonschen Gesetzen ableiten lassen. Sie lassen sich wie folgt formuliert werden:

1. Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse, wobei die Sonne in einem der Brennpunkte dieser Ellipse liegt. [Dieser Brennpunkt ist eigentlich das Baryzentrum des Systems Sonne-Planet; der Einfachheit halber wird in dieser Erklärung davon ausgegangen, dass die Masse der Sonne unendlich viel größer ist als die des Planeten.] Die Umlaufbahn des Planeten liegt in einer Ebene, der sogenannten Bahnebene. Der Punkt auf der Umlaufbahn, der dem anziehenden Körper am nächsten liegt, ist die Periapse. Der Punkt, der am weitesten vom anziehenden Körper entfernt ist, wird Apoapsis genannt. Es gibt auch spezielle Bezeichnungen für Bahnen um bestimmte Körper: Dinge, die die Sonne umkreisen, haben ein Perihel und ein Aphel, Dinge, die die Erde umkreisen, haben ein Perigäum und ein Apogäum, und Dinge, die den Mond umkreisen, haben eine Perilune und eine Apolune (bzw. Periselene und Aposelene). Eine Umlaufbahn um einen beliebigen Stern, nicht nur um die Sonne, hat ein Periastron und ein Apastron.
2. Wenn sich der Planet auf seiner Bahn bewegt, überstreicht die Linie von der Sonne zum Planeten während einer bestimmten Zeitspanne einen konstanten Bereich der Bahnebene, unabhängig davon, welchen Teil seiner Bahn der Planet während dieser Zeitspanne durchläuft. Das bedeutet, dass sich der Planet in der Nähe seines Perihels schneller bewegt als in der Nähe seines Aphels, da er in der geringeren Entfernung einen größeren Bogen zurücklegen muss, um die gleiche Fläche zu überstreichen. Dieses Gesetz wird gewöhnlich als "gleiche Fläche in gleicher Zeit" bezeichnet.
3. Für eine gegebene Umlaufbahn ist das Verhältnis zwischen dem Kubus der Halbachse und dem Quadrat der Periode konstant. ⓘ

Beschränkungen des Newtonschen Gravitationsgesetzes

Während es sich bei den gebundenen Bahnen einer Punktmasse oder eines kugelförmigen Körpers mit einem Newtonschen Gravitationsfeld um geschlossene Ellipsen handelt, die sich exakt und unbegrenzt wiederholen, führen alle nicht-sphärischen oder nicht-Newtonschen Effekte (z. B. durch die leichte Abflachung der Erde oder durch relativistische Effekte, die das Verhalten des Gravitationsfeldes mit der Entfernung verändern) dazu, dass die Form der Bahn von den für die Newtonsche Zweikörperbewegung charakteristischen geschlossenen Ellipsen abweicht. Die Zweikörperlösungen wurden von Newton 1687 in Principia veröffentlicht. Im Jahr 1912 entwickelte Karl Fritiof Sundman eine konvergierende unendliche Reihe, die das Dreikörperproblem löst; sie konvergiert jedoch zu langsam, um von großem Nutzen zu sein. Abgesehen von Sonderfällen wie den Lagrange-Punkten ist keine Methode zur Lösung der Bewegungsgleichungen für ein System mit vier oder mehr Körpern bekannt. ⓘ

Lösungsansätze für Vielkörperprobleme

Anstelle einer exakten Lösung in geschlossener Form können Bahnen mit vielen Körpern mit beliebig hoher Genauigkeit angenähert werden. Diese Näherungen können zwei Formen annehmen:

Die eine Form nimmt die reine elliptische Bewegung als Grundlage und fügt Störungsterme hinzu, um den Gravitationseinfluss der vielen Körper zu berücksichtigen. Dies ist für die Berechnung der Positionen von astronomischen Körpern geeignet. Die Bewegungsgleichungen der Monde, Planeten und anderer Körper sind mit großer Genauigkeit bekannt und werden zur Erstellung von Tabellen für die Himmelsnavigation verwendet. Dennoch gibt es weltliche Phänomene, die mit postnewtonschen Methoden behandelt werden müssen.

Die Form der Differentialgleichung wird für wissenschaftliche Zwecke oder zur Planung von Missionen verwendet. Nach den Newtonschen Gesetzen ist die Summe aller Kräfte, die auf einen Körper wirken, gleich der Masse des Körpers mal seiner Beschleunigung (F = ma). Daher können Beschleunigungen in Form von Positionen ausgedrückt werden. Die Störungsterme sind in dieser Form viel einfacher zu beschreiben. Die Vorhersage der nachfolgenden Positionen und Geschwindigkeiten aus den Anfangswerten von Position und Geschwindigkeit entspricht der Lösung eines Anfangswertproblems. Numerische Methoden berechnen die Positionen und Geschwindigkeiten der Objekte für eine kurze Zeit in der Zukunft und wiederholen die Berechnung dann bis zum Gehtnichtmehr. Allerdings kumulieren sich winzige Rechenfehler aufgrund der begrenzten Rechengenauigkeit eines Computers, was die Genauigkeit dieses Ansatzes einschränkt. ⓘ

Bei differentiellen Simulationen mit einer großen Anzahl von Objekten werden die Berechnungen paarweise und hierarchisch zwischen Massenzentren durchgeführt. Mit diesem Schema wurden Galaxien, Sternhaufen und andere große Ansammlungen von Objekten simuliert. ⓘ

Newtonsche Analyse der Orbitalbewegung

Die folgende Herleitung gilt für eine solche elliptische Umlaufbahn. Wir beginnen mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz, das besagt, dass die Gravitationsbeschleunigung auf den Zentralkörper mit dem Kehrwert des Quadrats des Abstands zwischen den beiden Körpern zusammenhängt, nämlich ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei F₂ die auf die Masse m₂ wirkende Kraft ist, die durch die Anziehungskraft der Masse m₁ auf m₂ verursacht wird, G die universelle Gravitationskonstante ist und r der Abstand zwischen den beiden Massenzentren ist. ⓘ

Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz ergibt sich die Summe der Kräfte, die auf m₂ wirken, bezogen auf die Beschleunigung dieses Körpers:

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei A₂ die Beschleunigung von m₂ ist, die durch die auf m₂ wirkende Anziehungskraft F₂ von m₁ verursacht wird. ⓘ

Kombination der Gleichungen 1 und 2:

${\displaystyle }$ ⓘ

Lösung für die Beschleunigung A₂:

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei ${\displaystyle }$ der Standard-Gravitationsparameter ist, in diesem Fall ${\displaystyle }$. Es wird davon ausgegangen, dass es sich bei dem beschriebenen System um m₂ handelt, daher können die Indizes weggelassen werden. ⓘ

Wir gehen davon aus, dass der zentrale Körper so massiv ist, dass er als stationär betrachtet werden kann, und wir ignorieren die subtileren Auswirkungen der allgemeinen Relativitätstheorie. ⓘ

Wenn ein Pendel oder ein an einer Feder befestigtes Objekt in einer Ellipse schwingt, ist die nach innen gerichtete Beschleunigung/Kraft proportional zum Abstand ${\displaystyle }$ Aufgrund der Art und Weise, wie sich Vektoren addieren, ist die Komponente der Kraft in der ${\displaystyle }$ oder in den ${\displaystyle }$ Richtungen ebenfalls proportional zu den jeweiligen Komponenten der Abstände, ${\displaystyle }$. Daher kann die gesamte Analyse separat in diesen Dimensionen durchgeführt werden. Daraus ergeben sich die harmonischen parabolischen Gleichungen ${\displaystyle }$ und ${\displaystyle }$ der Ellipse. Im Gegensatz dazu können bei der abnehmenden Beziehung ${\displaystyle }$können die Dimensionen nicht getrennt werden. ⓘ

Der Ort des umlaufenden Objekts zum aktuellen Zeitpunkt ${\displaystyle }$ wird in der Ebene mit Hilfe der Vektorrechnung in Polarkoordinaten sowohl mit der euklidischen Standardbasis als auch mit der polaren Basis, deren Ursprung mit dem Kraftzentrum zusammenfällt, bestimmt. Sei ${\displaystyle }$ der Abstand zwischen dem Objekt und dem Zentrum und ${\displaystyle }$ sei der Winkel, um den es sich gedreht hat. Sei ${\displaystyle }$ und ${\displaystyle }$ seien die euklidischen Standardbasen und ${\displaystyle }$ und ${\displaystyle }$ die radiale und die transversale polare Basis sein, wobei die erste der Einheitsvektor ist, der vom Zentralkörper zum aktuellen Standort des umlaufenden Objekts zeigt, und die zweite der orthogonale Einheitsvektor, der in die Richtung zeigt, in die sich das umlaufende Objekt bewegen würde, wenn es gegen den Uhrzeigersinn um die Erde kreisen würde. Der Vektor zum umkreisenden Objekt ist dann ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Wir verwenden ${\displaystyle }$ und ${\displaystyle }$ um die Standardableitungen der zeitlichen Veränderung von Abstand und Winkel zu bezeichnen. Wir nehmen die Ableitung eines Vektors, um zu sehen, wie er sich im Laufe der Zeit verändert, indem wir seine Position zur Zeit ${\displaystyle }$ von demjenigen zum Zeitpunkt ${\displaystyle }$ und dividiert durch ${\displaystyle }$. Das Ergebnis ist ebenfalls ein Vektor. Da sich unser Basisvektor ${\displaystyle }$ sich mit der Umlaufbahn des Objekts bewegt, beginnen wir damit, ihn zu differenzieren. Vom Zeitpunkt ${\displaystyle }$ bis ${\displaystyle }$beginnt der Vektor ${\displaystyle }$ seinen Anfang im Ursprung und dreht sich um den Winkel ${\displaystyle }$ bis ${\displaystyle }$ wodurch sich sein Kopf um eine Strecke ${\displaystyle }$ in der Richtung der Senkrechten ${\displaystyle }$ was eine Ableitung von ${\displaystyle }$. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Wir können nun die Geschwindigkeit und die Beschleunigung unseres umlaufenden Objekts bestimmen. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Koeffizienten von ${\displaystyle }$ und ${\displaystyle }$ ergeben die Beschleunigungen in radialer und transversaler Richtung. Wie gesagt, Newton gibt diese erste aufgrund der Schwerkraft ${\displaystyle }$ und die zweite ist Null. ⓘ

${\displaystyle }$

(1)

ⓘ

${\displaystyle }$

(2)

ⓘ

Gleichung (2) kann durch Integration nach Teilen umgestellt werden. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Wir können durchmultiplizieren mit ${\displaystyle }$ multiplizieren, da sie nicht Null ist, es sei denn, das umkreisende Objekt stürzt ab. Wenn die Ableitung Null ist, ist die Funktion eine Konstante. ⓘ

${\displaystyle }$

(3)

ⓘ

Dies ist der theoretische Beweis für das zweite Keplersche Gesetz (Eine Linie, die einen Planeten mit der Sonne verbindet, überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeitintervallen). Die Integrationskonstante h ist der Drehimpuls pro Masseneinheit. ⓘ

Um aus Gleichung (1) eine Gleichung für die Umlaufbahn zu erhalten, müssen wir die Zeit eliminieren. (Siehe auch Binet-Gleichung.) In Polarkoordinaten würde dies die Entfernung ausdrücken ${\displaystyle }$ des umlaufenden Objekts vom Zentrum in Abhängigkeit von seinem Winkel ${\displaystyle }$. Es ist jedoch einfacher, die Hilfsvariable ${\displaystyle }$ einzuführen und ${\displaystyle }$ als eine Funktion von ${\displaystyle }$. Die Ableitungen von ${\displaystyle }$ nach der Zeit können umgeschrieben werden als Ableitungen von ${\displaystyle }$ in Bezug auf den Winkel umgeschrieben werden. ⓘ

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ (Umarbeitung von (3))

${\displaystyle }$ ⓘ

Das Einsetzen dieser Ableitungen in (1) ergibt ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

${\displaystyle }$

(4)

ⓘ

Für die Gravitationskraft - oder allgemeiner für jedes Gesetz der inversen quadratischen Kraft - wird die rechte Seite der Gleichung zu einer Konstanten, und die Gleichung erweist sich als harmonische Gleichung (bis zu einer Verschiebung des Ursprungs der abhängigen Variablen). Die Lösung lautet:

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei A und θ₀ beliebige Konstanten sind. Die sich daraus ergebende Gleichung für die Umlaufbahn des Objekts ist die einer Ellipse in Polarform relativ zu einem der Brennpunkte. Diese wird in eine Standardform gebracht, indem man ${\displaystyle }$ die Exzentrizität ist und ${\displaystyle }$ die Halbachse ist. Schließlich sei ${\displaystyle }$ so dass die Längsachse der Ellipse entlang der positiven x-Koordinate verläuft. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Wenn das Zweikörpersystem unter dem Einfluss eines Drehmoments steht, ist der Drehimpuls h nicht konstant. Nach der folgenden Berechnung:

${\displaystyle }$ ⓘ

erhalten wir die Sturm-Liouville-Gleichung des Zweikörpersystems. ⓘ

${\displaystyle }$

(5)

ⓘ

Relativistische Orbitalbewegung

Die obige klassische (Newtonsche) Analyse der Bahnmechanik geht davon aus, dass die subtileren Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie, wie z. B. der Rahmenwiderstand und die gravitative Zeitdilatation, vernachlässigbar sind. Relativistische Effekte sind nicht mehr vernachlässigbar, wenn man sich in der Nähe von sehr massiven Körpern befindet (wie bei der Präzession der Merkurbahn um die Sonne) oder wenn extreme Präzision erforderlich ist (wie bei Berechnungen der Bahnelemente und Zeitsignalreferenzen für GPS-Satelliten). ⓘ

Bahnebenen

Die bisherige Analyse war zweidimensional; es stellt sich heraus, dass eine ungestörte Umlaufbahn in einer im Raum fixierten Ebene zweidimensional ist, und daher erfordert die Erweiterung auf drei Dimensionen einfach die Drehung der zweidimensionalen Ebene in den erforderlichen Winkel relativ zu den Polen des betreffenden Planetenkörpers. ⓘ

Die Drehung in drei Dimensionen erfordert drei Zahlen zur eindeutigen Bestimmung; traditionell werden diese als drei Winkel ausgedrückt. ⓘ

Umlaufzeit

Die Umlaufzeit ist einfach die Zeit, die ein umlaufender Körper braucht, um eine Bahn zu vollenden. ⓘ

Spezifizierung von Bahnen

Sechs Parameter sind erforderlich, um eine Keplersche Umlaufbahn um einen Körper zu bestimmen. Die drei Zahlen, die die Anfangsposition des Körpers angeben, und die drei Werte, die seine Geschwindigkeit spezifizieren, definieren beispielsweise eine eindeutige Bahn, die in der Zeit vorwärts (oder rückwärts) berechnet werden kann. Traditionell sind die verwendeten Parameter jedoch etwas anders. ⓘ

Der traditionell verwendete Satz von Bahnelementen wird nach Johannes Kepler und seinen Gesetzen als Keplerscher Satz bezeichnet. Die Keplerschen Elemente sind sechs:

• Neigung (i)
• Längengrad des aufsteigenden Knotens (Ω)
• Argument der Periapse (ω)
• Exzentrizität (e)
• Semimajorale Achse (a)
• Mittlere Anomalie zur Epoche (M₀). ⓘ

Sobald die Bahnelemente eines Körpers bekannt sind, kann seine Position prinzipiell unbegrenzt in der Zeit vor- und zurückgerechnet werden. In der Praxis werden die Bahnen jedoch durch andere Kräfte als die einfache Schwerkraft einer angenommenen Punktquelle beeinflusst oder gestört (siehe nächster Abschnitt), so dass sich die Bahnelemente im Laufe der Zeit ändern. ⓘ

Orbitalstörungen

Eine Orbitalstörung liegt vor, wenn eine Kraft oder ein Impuls, der viel kleiner ist als die Gesamtkraft oder der durchschnittliche Impuls des Hauptgravitationskörpers und der außerhalb der beiden umlaufenden Körper liegt, eine Beschleunigung verursacht, die die Parameter der Umlaufbahn im Laufe der Zeit verändert. ⓘ

Radiale, prograde und transversale Störeinflüsse

Ein kleiner radialer Impuls, der auf einen Körper in einer Umlaufbahn einwirkt, verändert die Exzentrizität, nicht aber die Umlaufzeit (erster Ordnung). Ein prograder oder retrograder Impuls (d. h. ein Impuls entlang der Bahnbewegung) ändert sowohl die Exzentrizität als auch die Bahnperiode. Insbesondere erhöht ein prograder Impuls bei Periapsis die Höhe bei Apoapsis und umgekehrt, während ein retrograder Impuls das Gegenteil bewirkt. Ein transversaler Impuls (außerhalb der Bahnebene) bewirkt eine Drehung der Bahnebene, ohne die Periode oder Exzentrizität zu verändern. In allen Fällen schneidet eine geschlossene Umlaufbahn den Störungspunkt dennoch. ⓘ

Orbitaler Zerfall

Wenn sich eine Umlaufbahn um einen Planeten mit einer bedeutenden Atmosphäre dreht, kann ihre Bahn aufgrund des Luftwiderstands zerfallen. Insbesondere bei jeder Periapsis erfährt das Objekt einen atmosphärischen Luftwiderstand, wodurch es Energie verliert. Jedes Mal wird die Bahn weniger exzentrisch (kreisförmiger), weil das Objekt genau dann an kinetischer Energie verliert, wenn diese Energie am größten ist. Dies ist vergleichbar mit dem Effekt, der eintritt, wenn man ein Pendel an seinem tiefsten Punkt abbremst; der höchste Punkt der Pendelschwingung wird tiefer. Mit jeder weiteren Verlangsamung wird ein größerer Teil der Bahn durch die Atmosphäre beeinflusst, und der Effekt wird immer stärker ausgeprägt. Schließlich wird der Effekt so groß, dass die maximale kinetische Energie nicht mehr ausreicht, um die Bahn über die Grenzen des atmosphärischen Widerstandseffekts hinaus zu bringen. In diesem Fall dreht sich der Körper schnell nach unten und schneidet den Zentralkörper. ⓘ

Die Grenzen der Atmosphäre sind sehr unterschiedlich. Während eines Sonnenmaximums verursacht die Erdatmosphäre einen bis zu hundert Kilometer höheren Luftwiderstand als während eines Sonnenminimums. ⓘ

Bei einigen Satelliten mit langen leitfähigen Fesseln kann es aufgrund des elektromagnetischen Luftwiderstands des Erdmagnetfelds ebenfalls zu einem Orbitalabfall kommen. Wenn der Draht das Magnetfeld schneidet, wirkt er wie ein Generator, der Elektronen von einem Ende zum anderen bewegt. Die Energie der Umlaufbahn wird im Draht in Wärme umgewandelt. ⓘ

Umlaufbahnen können künstlich beeinflusst werden, indem man Raketentriebwerke einsetzt, die die kinetische Energie des Körpers an einem bestimmten Punkt seiner Bahn verändern. Dabei handelt es sich um die Umwandlung von chemischer oder elektrischer Energie in kinetische Energie. Auf diese Weise können Änderungen der Bahnform oder -ausrichtung ermöglicht werden. ⓘ

Eine weitere Methode zur künstlichen Beeinflussung einer Umlaufbahn ist der Einsatz von Sonnensegeln oder Magnetsegeln. Diese Antriebsformen benötigen keinen anderen Treibstoff oder Energieeintrag als den der Sonne und können daher unbegrenzt genutzt werden. Siehe Statit für eine solche vorgeschlagene Verwendung. ⓘ

Orbitaler Zerfall kann aufgrund von Gezeitenkräften bei Objekten auftreten, die sich unterhalb der synchronen Umlaufbahn des Körpers befinden, den sie umkreisen. Die Schwerkraft des umkreisenden Objekts hebt die Gezeitenwülste im Primärkreis an, und da sich das umkreisende Objekt unterhalb der synchronen Umlaufbahn schneller bewegt als die Oberfläche des Körpers, hinken die Wülste in einem kurzen Winkel hinter ihm her. Die Schwerkraft der Ausbuchtungen liegt etwas außerhalb der Achse des primären Satelliten und hat somit eine Komponente, die mit der Bewegung des Satelliten einhergeht. Die nahe Ausbuchtung bremst das Objekt stärker ab als die ferne Ausbuchtung es beschleunigt, und infolgedessen wird die Bahn langsamer. Umgekehrt übt die Schwerkraft des Satelliten auf die Ausbuchtungen ein Drehmoment auf den Primärkreislauf aus und beschleunigt dessen Rotation. Künstliche Satelliten sind zu klein, um einen nennenswerten Gezeiteneffekt auf die Planeten, die sie umkreisen, auszuüben, aber mehrere Monde im Sonnensystem werden durch diesen Mechanismus auf ihrer Umlaufbahn geschwächt. Der innerste Marsmond Phobos ist ein Paradebeispiel und wird voraussichtlich innerhalb von 50 Millionen Jahren entweder auf die Marsoberfläche prallen oder in einen Ring zerfallen. ⓘ

Die Bahnen können durch die Emission von Gravitationswellen zerfallen. Dieser Mechanismus ist bei den meisten stellaren Objekten nur sehr schwach ausgeprägt und kommt nur bei einer Kombination aus extremer Masse und extremer Beschleunigung zum Tragen, wie z. B. bei Schwarzen Löchern oder Neutronensternen, die sich in einer engen Umlaufbahn umeinander befinden. ⓘ

Abgeschiedenheit

Bei der Standardanalyse von Körpern, die sich in einer Umlaufbahn befinden, wird davon ausgegangen, dass alle Körper aus gleichförmigen Kugeln oder allgemeiner aus konzentrischen Schalen mit jeweils gleichmäßiger Dichte bestehen. Es kann gezeigt werden, dass solche Körper gravitativ gleichwertig mit Punktquellen sind. ⓘ

In der realen Welt rotieren jedoch viele Körper, was zu einer Abflachung und Verzerrung des Gravitationsfeldes führt und dem Gravitationsfeld ein Quadrupolmoment verleiht, das bei Entfernungen, die mit dem Radius des Körpers vergleichbar sind, von Bedeutung ist. Im allgemeinen Fall wird das Gravitationspotential eines rotierenden Körpers, wie z.B. eines Planeten, in der Regel durch Multipole erweitert, die die Abweichungen von der Kugelsymmetrie berücksichtigen. Aus der Sicht der Satellitendynamik sind die so genannten geraden zonalen harmonischen Koeffizienten von besonderer Bedeutung, da sie säkulare Orbitalstörungen verursachen, die sich über Zeitspannen kumulieren, die länger als die Orbitalperiode sind. Sie hängen von der Ausrichtung der Symmetrieachse des Körpers im Raum ab und wirken sich im Allgemeinen auf die gesamte Umlaufbahn aus, mit Ausnahme der Halbwertsachse. ⓘ

Mehrere gravitierende Körper

Die Auswirkungen anderer gravitativer Körper können erheblich sein. So kann beispielsweise die Bahn des Mondes nicht genau beschrieben werden, ohne die Wirkung der Schwerkraft der Sonne und der Erde zu berücksichtigen. Ein ungefähres Ergebnis ist, dass die Umlaufbahnen von Körpern um einen schwereren Planeten oder Mond trotz dieser Störungen in der Regel recht stabil sind, sofern sie sich innerhalb der Hill-Sphäre des schwereren Körpers bewegen. ⓘ

Wenn es mehr als zwei gravitierende Körper gibt, spricht man von einem n-Körper-Problem. Für die meisten n-Körper-Probleme gibt es keine Lösung in geschlossener Form, obwohl einige Sonderfälle formuliert worden sind. ⓘ

Lichtstrahlung und stellarer Wind

Insbesondere bei kleineren Körpern können Licht und Sternwind erhebliche Störungen der Lage und Bewegungsrichtung des Körpers verursachen, die im Laufe der Zeit beträchtlich sein können. Von den planetarischen Körpern wird die Bewegung von Asteroiden über große Zeiträume hinweg besonders stark beeinflusst, wenn die Asteroiden relativ zur Sonne rotieren. ⓘ

Seltsame Bahnen

Mathematiker haben herausgefunden, dass es prinzipiell möglich ist, mehrere Körper auf nicht-elliptischen Bahnen zu haben, die sich periodisch wiederholen, obwohl die meisten solcher Bahnen gegenüber kleinen Störungen der Masse, Position oder Geschwindigkeit nicht stabil sind. Es wurden jedoch einige stabile Sonderfälle identifiziert, darunter eine planare Achterbahn, die von drei sich bewegenden Körpern eingenommen wird. Weitere Studien haben ergeben, dass auch nichtplanare Bahnen möglich sind, darunter eine mit 12 Massen, die sich auf 4 annähernd kreisförmigen, ineinandergreifenden Bahnen bewegen, die topologisch den Kanten eines Kuboktaeders entsprechen. ⓘ

Es gilt als äußerst unwahrscheinlich, dass solche Bahnen auf natürliche Weise im Universum vorkommen, da es unwahrscheinlich ist, dass die erforderlichen Bedingungen zufällig gegeben sind. ⓘ

Astrodynamik

Die Orbitalmechanik oder Astrodynamik ist die Anwendung der Ballistik und der Himmelsmechanik auf die praktischen Probleme der Bewegung von Raketen und anderen Raumfahrzeugen. Die Bewegung dieser Objekte wird in der Regel anhand der Newtonschen Bewegungsgesetze und des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation berechnet. Die Himmelsmechanik ist eine Kerndisziplin bei der Planung und Steuerung von Raumfahrtmissionen. Die Himmelsmechanik befasst sich im weiteren Sinne mit der Bahndynamik von Systemen unter dem Einfluss der Schwerkraft, einschließlich Raumfahrzeugen und natürlichen astronomischen Körpern wie Sternensystemen, Planeten, Monden und Kometen. Die Orbitalmechanik befasst sich mit den Flugbahnen von Raumfahrzeugen, einschließlich Orbitalmanövern, Änderungen der Bahnebene und interplanetaren Transfers, und wird von Missionsplanern verwendet, um die Ergebnisse von Antriebsmanövern vorherzusagen. Die allgemeine Relativitätstheorie ist eine genauere Theorie als die Newton'schen Gesetze zur Berechnung von Umlaufbahnen und ist manchmal für eine größere Genauigkeit oder in Situationen mit hoher Schwerkraft (z. B. bei Umlaufbahnen in der Nähe der Sonne) erforderlich. ⓘ

Erdumlaufbahnen

• Niedrige Erdumlaufbahn (LEO): Geozentrische Bahnen mit Höhen bis zu 2.000 km (0-1.240 Meilen).
• Mittlere Erdumlaufbahn (MEO): Geozentrische Umlaufbahnen mit einer Höhe von 2.000 km (1.240 Meilen) bis knapp unterhalb der geosynchronen Umlaufbahn in 35.786 km (22.236 Meilen). Auch bekannt als mittlere kreisförmige Umlaufbahn. Diese befinden sich "meist in 20.200 Kilometern oder 20.650 Kilometern mit einer Umlaufzeit von 12 Stunden".
• Sowohl die geosynchrone Umlaufbahn (GSO) als auch die geostationäre Umlaufbahn (GEO) sind Umlaufbahnen um die Erde, die mit der siderischen Rotationsperiode der Erde übereinstimmen. Alle geosynchronen und geostationären Umlaufbahnen haben eine Halbachse von 42.164 km (26.199 mi). Alle geostationären Umlaufbahnen sind auch geosynchron, aber nicht alle geosynchronen Umlaufbahnen sind geostationär. Eine geostationäre Umlaufbahn bleibt genau über dem Äquator, während eine geosynchrone Umlaufbahn nach Norden und Süden schwenken kann, um einen größeren Teil der Erdoberfläche abzudecken. Beide vollziehen pro siderischem Tag eine volle Umrundung der Erde (relativ zu den Sternen, nicht zur Sonne).
• Hohe Erdumlaufbahn: Geozentrische Umlaufbahnen oberhalb der Höhe der geosynchronen Umlaufbahn 35.786 km (22.240 Meilen). ⓘ

Einige Satellitenorbits im Vergleich ⓘ

Skalierung der Schwerkraft

Die Gravitationskonstante G wurde berechnet als:

• (6,6742 ± 0,001) × 10-11 (kg/m³)-1s-2. ⓘ

Die Konstante hat also die Dimension Dichte-1 Zeit-2. Dies entspricht den folgenden Eigenschaften. ⓘ

Die Skalierung von Entfernungen (einschließlich der Größe von Körpern, wobei die Dichten gleich bleiben) führt zu ähnlichen Umlaufbahnen, ohne dass die Zeit skaliert wird: Wenn beispielsweise die Entfernungen halbiert werden, werden die Massen durch 8, die Gravitationskräfte durch 16 und die Gravitationsbeschleunigungen durch 2 geteilt. Folglich werden die Geschwindigkeiten halbiert und die Umlaufzeiten und andere mit der Gravitation zusammenhängende Laufzeiten bleiben gleich. Wenn zum Beispiel ein Gegenstand von einem Turm fällt, bleibt die Zeit, die er braucht, um auf den Boden zu fallen, bei einem maßstabsgetreuen Modell des Turms auf einem maßstabsgetreuen Modell der Erde dieselbe. ⓘ

Eine Skalierung der Entfernungen bei gleichbleibenden Massen (im Falle von Punktmassen oder durch Anpassung der Dichten) führt zu ähnlichen Umlaufbahnen; wenn die Entfernungen mit 4 multipliziert werden, werden die Gravitationskräfte und Beschleunigungen durch 16 geteilt, die Geschwindigkeiten halbiert und die Umlaufzeiten mit 8 multipliziert. ⓘ

Wenn alle Dichten mit 4 multipliziert werden, sind die Umlaufbahnen gleich; die Gravitationskräfte werden mit 16 und die Beschleunigungen mit 4 multipliziert, die Geschwindigkeiten werden verdoppelt und die Umlaufzeiten halbiert. ⓘ

Wenn alle Dichten mit 4 multipliziert und alle Größen halbiert werden, sind die Bahnen gleich; die Massen werden durch 2 geteilt, die Gravitationskräfte sind gleich, die Gravitationsbeschleunigungen werden verdoppelt. Folglich sind die Geschwindigkeiten gleich und die Umlaufzeiten halbiert. ⓘ

In all diesen Fällen der Skalierung werden die Zeiten halbiert, wenn die Dichten mit 4 multipliziert werden; wenn die Geschwindigkeiten verdoppelt werden, werden die Kräfte mit 16 multipliziert. ⓘ

Diese Eigenschaften werden in der Formel (abgeleitet von der Formel für die Umlaufzeit) veranschaulicht ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

für eine elliptische Umlaufbahn mit der Halbachse a eines kleinen Körpers um einen kugelförmigen Körper mit dem Radius r und der mittleren Dichte ρ, wobei T die Umlaufzeit ist. Siehe auch das Dritte Keplersche Gesetz. ⓘ

Patente

Die Anwendung bestimmter Orbits oder Orbitalmanöver für bestimmte nützliche Zwecke ist Gegenstand von Patenten. ⓘ

Gezeitensperre

Einige Himmelskörper sind mit anderen Körpern gezeitenverriegelt, d. h. eine Seite des Himmelskörpers ist permanent dem Wirtsobjekt zugewandt. Dies ist der Fall beim Erde-Mond- und Pluto-Charon-System. ⓘ

Niedrige Umlaufbahnen

Wenn der Bahndurchmesser nur unwesentlich größer als der Durchmesser des Zentralkörpers ist, spricht man von einem oberflächennahen oder niedrigen Orbit, fachsprachlich von einem LEO für Low Earth Orbit. Wenn der Zentralkörper und die Bahn als kreisförmig mit gleichem Radius angesetzt werden, erhält man bei Gleichsetzung der Gewichtskraft mit der Zentripetalkraft Resultate für Umlaufgeschwindigkeit (die Erste kosmische Geschwindigkeit) und Umlaufzeit. ⓘ

Newtonsches Gravitationsgesetz:

${\displaystyle }$ ⓘ

mit ${\displaystyle }$ = Gewichtskraft, ${\displaystyle }$ = Gravitationskonstante, ${\displaystyle }$ = Masse des Satelliten, ${\displaystyle }$ = Masse des Zentralkörpers, ${\displaystyle }$ = Radius des Zentralkörpers ⓘ

Die Gewichtskraft des Satelliten ergibt sich dann, wenn die Dichte ${\displaystyle }$ des Zentralkörpers als konstant angenommen wird und daraus die Masse berechnet wird, wie folgt:

${\displaystyle }$ ⓘ

Durch Gleichsetzen mit dem Ausdruck ${\displaystyle }$ für die Gewichtskraft ergibt sich daraus die Zentripetalbeschleunigung ${\displaystyle }$ (im Fall der Erde die Erdbeschleunigung):

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Gewichtskraft ${\displaystyle }$ und die Zentrifugalkraft ${\displaystyle }$ bei Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle }$ sollen (${\displaystyle }$) im Gleichgewicht sein:

${\displaystyle }$ ⓘ

Da sich Masse des Satelliten aus dieser Gleichung heraushebt, ist seine Bahn von seiner Masse unabhängig, ebenso wie von seiner Form. ⓘ

Aufgelöst nach ${\displaystyle }$ nach Kürzen von ${\displaystyle }$:

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Umlaufzeit ${\displaystyle }$ ergibt sich aus ${\displaystyle }$, also Umfang / Geschwindigkeit:

${\displaystyle }$ ⓘ

Abgesehen von Naturkonstanten hängt die Umlaufzeit von niedrig fliegenden Satelliten also lediglich von der Dichte des Zentralkörpers ab, nicht jedoch von dessen Radius. ⓘ

Konkrete Werte für Umlaufbahnen um die Erde:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ⓘ

Der Wert von ca. 90 Minuten ist von niedrigen Satellitenorbits und von den meisten bemannten erdumkreisenden Raumschiffen als Faustregel bekannt. Das entspricht ca. 16 Umläufen pro Tag. ⓘ

Zum Vergleich der Marsmond Phobos:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ⓘ

Obwohl Phobos also nur einen Durchmesser von etwa 25 Kilometer aufweist, ist die Umlaufzeit für einen oberflächennahen Orbit bei ihm sehr ähnlich der auf der Erde (und sogar größer). Die Bahngeschwindigkeit auf diesem Orbit hingegen beträgt nur rund 33 Kilometer in der Stunde. Ein Astronaut auf der Phobos-Oberfläche könnte also theoretisch einen Ball aus der Hand in eine Umlaufbahn werfen. Da Phobos stark von der Kugelform abweicht, sind die Formeln für oberflächennahe Umlaufbahnen allerdings hier nicht praxistauglich. ⓘ

Dass die Umlaufzeit für eine oberflächennahe Bahn unabhängig vom Radius des Zentralkörpers ist, lässt sich also verallgemeinern: Wenn ein Zentralkörper eine ähnliche mittlere Dichte wie die Erde aufweist, also grob gesprochen „steinig“ strukturiert ist, dann liegt die Umlaufzeit in der Größenordnung von 90 Minuten, ob es sich beim Zentralkörper um einen Asteroiden handelt oder um einen Exo-Planeten, der einen ganz anderen Stern umkreist. ⓘ