Dreikörperproblem

Näherungsweise Flugbahnen von drei identischen Körpern, die sich in den Spitzen eines skalenförmigen Dreiecks befinden und deren Anfangsgeschwindigkeiten gleich Null sind. Es zeigt sich, dass der Massenschwerpunkt gemäß dem Impulserhaltungssatz an seinem Platz bleibt. ⓘ

In der Physik und der klassischen Mechanik ist das Dreikörperproblem ein Problem, bei dem es darum geht, die Ausgangspositionen und -geschwindigkeiten (oder Impulse) von drei Punktmassen zu bestimmen und ihre anschließende Bewegung gemäß den Newtonschen Bewegungsgesetzen und dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation zu lösen. Das Dreikörperproblem ist ein Spezialfall des n-Körperproblems. Im Gegensatz zu Zweikörperproblemen gibt es keine allgemeine Lösung in geschlossener Form, da das resultierende dynamische System für die meisten Anfangsbedingungen chaotisch ist und im Allgemeinen numerische Methoden erforderlich sind. ⓘ

Historisch gesehen war das erste spezifische Dreikörperproblem, das ausführlich untersucht wurde, dasjenige, das Mond, Erde und Sonne betraf. In einem erweiterten modernen Sinne ist ein Dreikörperproblem jedes Problem der klassischen Mechanik oder Quantenmechanik, das die Bewegung von drei Teilchen modelliert. ⓘ

Die chaotischen Bewegungen dreier Körper ⓘ

Mathematische Beschreibung

Die mathematische Beschreibung des Dreikörperproblems kann mit Hilfe der Newtonschen Bewegungsgleichungen für Vektorpositionen gegeben werden $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ von drei gravitativ wechselwirkenden Körpern mit Massen $m_{i}$ :

{\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}

wobei $G$ die Gravitationskonstante ist. Es handelt sich um eine Reihe von neun Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Das Problem kann auch gleichwertig im Hamilton-Formalismus formuliert werden. In diesem Fall wird es durch einen Satz von 18 Differentialgleichungen erster Ordnung beschrieben, eine für jede Komponente der Positionen $\mathbf {r_{i}}$ und Momente $\mathbf {p_{i}}$ :

{\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},

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wobei ${\mathcal {H}}$ ist der Hamiltonian:

{\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.

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In diesem Fall ist ${\mathcal {H}}$ einfach die Gesamtenergie des Systems, d. h. Gravitationsenergie und kinetische Energie. ⓘ

Eingeschränktes Dreikörperproblem

Das kreisförmige eingeschränkte Dreikörperproblem ist eine gültige Annäherung an die elliptischen Bahnen im Sonnensystem und kann als Kombination der Potenziale aufgrund der Schwerkraft der beiden primären Körper und der Zentrifugalwirkung aufgrund ihrer Rotation dargestellt werden (Coriolis-Effekte sind dynamisch und nicht dargestellt). Die Lagrange-Punkte können dann als die fünf Orte betrachtet werden, an denen der Gradient auf der resultierenden Fläche Null ist (als blaue Linien dargestellt), was bedeutet, dass die Kräfte dort im Gleichgewicht sind. ⓘ

Beim eingeschränkten Dreikörperproblem bewegt sich ein Körper mit vernachlässigbarer Masse (der "Planetoid") unter dem Einfluss von zwei massiven Körpern. Da er eine vernachlässigbare Masse hat, kann die Kraft, die der Planetoid auf die beiden massiven Körper ausübt, vernachlässigt werden, und das System kann analysiert und somit durch eine Zweikörperbewegung beschrieben werden. Diese Zweikörperbewegung besteht in der Regel aus Kreisbahnen um den Masseschwerpunkt, und man nimmt an, dass sich der Planetoid in der durch die Kreisbahnen definierten Ebene bewegt. ⓘ

Das eingeschränkte Dreikörperproblem ist theoretisch leichter zu analysieren als das vollständige Problem. Es ist auch von praktischem Interesse, da es viele Probleme der realen Welt genau beschreibt, das wichtigste Beispiel ist das Erde-Mond-Sonne-System. Aus diesen Gründen hat es eine wichtige Rolle in der historischen Entwicklung des Dreikörperproblems eingenommen. ⓘ

Mathematisch wird das Problem wie folgt beschrieben. Sei $m_{1,2}$ seien die Massen der beiden massiven Körper mit den (planaren) Koordinaten $(x_{1},y_{1})$ und $(x_{2},y_{2})$ und sei $(x,y)$ die Koordinaten des Planetoiden sein. Der Einfachheit halber wählen wir die Einheiten so, dass sowohl der Abstand zwischen den beiden massiven Körpern als auch die Gravitationskonstante gleich sind $1$ . Dann ist die Bewegung des Planetoiden gegeben durch ⓘ

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}

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wobei $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$ . In dieser Form tragen die Bewegungsgleichungen eine explizite Zeitabhängigkeit durch die Koordinaten $x_{i}(t),y_{i}(t)$ . Diese Zeitabhängigkeit kann jedoch durch eine Transformation in ein rotierendes Bezugssystem beseitigt werden, was jede nachfolgende Analyse vereinfacht. ⓘ

Lösungen

Allgemeine Lösung

Während ein System aus 3 Körpern, die gravitativ wechselwirken, chaotisch ist, ist ein System aus 3 Körpern, die elastisch wechselwirken, nicht chaotisch. ⓘ

Es gibt keine allgemeine Lösung in geschlossener Form für das Dreikörperproblem, d. h. es gibt keine allgemeine Lösung, die sich durch eine endliche Anzahl von mathematischen Standardoperationen ausdrücken lässt. Außerdem ist die Bewegung von drei Körpern im Allgemeinen nicht wiederholend, außer in speziellen Fällen. ⓘ

Im Jahr 1912 bewies der finnische Mathematiker Karl Fritiof Sundman jedoch, dass es eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer Potenzreihe in Potenzen von $t 1/3$ gibt. Diese Reihe konvergiert für alle reellen t, mit Ausnahme der Anfangsbedingungen, die dem Drehimpuls Null entsprechen. In der Praxis ist die letztgenannte Einschränkung unbedeutend, da Anfangsbedingungen mit Drehimpuls Null selten sind und das Lebesgue-Maß Null haben. ⓘ

Ein wichtiger Punkt beim Nachweis dieses Ergebnisses ist die Tatsache, dass der Konvergenzradius für diese Reihe durch den Abstand zur nächsten Singularität bestimmt wird. Daher ist es notwendig, die möglichen Singularitäten der Dreikörperprobleme zu untersuchen. Wie im Folgenden kurz erörtert wird, sind die einzigen Singularitäten des Dreikörperproblems binäre Kollisionen (Kollisionen zwischen zwei Teilchen zu einem Zeitpunkt) und Dreifachkollisionen (Kollisionen zwischen drei Teilchen zu einem Zeitpunkt). ⓘ

Kollisionen, ob binär oder dreifach (eigentlich jede Anzahl), sind etwas unwahrscheinlich, da gezeigt wurde, dass sie einem Satz von Anfangsbedingungen mit dem Maß Null entsprechen. Es ist jedoch kein Kriterium bekannt, das an den Anfangszustand angelegt werden kann, um Kollisionen für die entsprechende Lösung zu vermeiden. Sundmans Strategie bestand also aus den folgenden Schritten:

Verwendung einer geeigneten Änderung der Variablen, um die Analyse der Lösung über die binäre Kollision hinaus fortzusetzen, ein Prozess, der als Regularisierung bekannt ist.
Nachweis, dass Dreifachkollisionen nur auftreten, wenn der Drehimpuls $L$ verschwindet. Indem er die Anfangsdaten auf $L \neq 0$ beschränkte, entfernte er alle realen Singularitäten aus den transformierten Gleichungen für das Dreikörperproblem.
Er zeigte, dass, wenn $L \neq 0$ ist, es nicht nur keine Dreifachkollision geben kann, sondern das System streng von einer Dreifachkollision abgegrenzt ist. Dies impliziert, unter Verwendung des Cauchy'schen Existenzsatzes für Differentialgleichungen, dass es keine komplexen Singularitäten in einem Streifen (abhängig vom Wert von $L$ ) in der komplexen Ebene gibt, der um die reelle Achse zentriert ist (Anlehnung an Kovalevskaya).
Finden Sie eine konforme Transformation, die diesen Streifen auf die Einheitsscheibe abbildet. Wenn zum Beispiel $s = t 1/3$ (die neue Variable nach der Regularisierung) und wenn $| ln s | \leq β$ ist, dann ist diese Abbildung gegeben durch $\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$ ⓘ

Damit ist der Beweis des Satzes von Sundman abgeschlossen. ⓘ

Die entsprechende Reihe konvergiert jedoch sehr langsam. Das heißt, um einen Wert von sinnvoller Genauigkeit zu erhalten, sind so viele Terme erforderlich, dass diese Lösung von geringem praktischen Nutzen ist. David Beloriszky berechnete 1930, dass die Verwendung der Sundmanschen Reihe für astronomische Beobachtungen mindestens 10^8000000 Terme erfordern würde. ⓘ

Spezialfall-Lösungen

1767 fand Leonhard Euler drei Familien von periodischen Lösungen, bei denen die drei Massen zu jedem Zeitpunkt kollinear sind. Siehe Eulers Dreikörperproblem. ⓘ

Im Jahr 1772 fand Lagrange eine Familie von Lösungen, bei denen die drei Massen zu jedem Zeitpunkt ein gleichseitiges Dreieck bilden. Zusammen mit Eulers kollinearen Lösungen bilden diese Lösungen die zentralen Konfigurationen für das Dreikörperproblem. Diese Lösungen sind für beliebige Massenverhältnisse gültig, und die Massen bewegen sich auf Keplerschen Ellipsen. Diese vier Familien sind die einzigen bekannten Lösungen, für die es explizite analytische Formeln gibt. Im speziellen Fall des kreisförmigen, eingeschränkten Dreikörperproblems werden diese Lösungen, wenn man sie in einem mit den Primären rotierenden Rahmen betrachtet, zu Punkten, die als L₁, L₂, L₃, L₄ und L₅ bezeichnet werden und Lagrange-Punkte genannt werden, wobei L₄ und L₅ symmetrische Instanzen der Lagrange-Lösung sind. ⓘ

In seinen 1892-1899 verfassten Arbeiten stellte Henri Poincaré fest, dass es unendlich viele periodische Lösungen für das eingeschränkte Dreikörperproblem gibt und dass es möglich ist, diese Lösungen auf das allgemeine Dreikörperproblem zu übertragen. ⓘ

1893 stellte Meissel das so genannte pythagoreische Dreikörperproblem auf: Drei Massen im Verhältnis 3:4:5 ruhen an den Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks im Verhältnis 3:4:5. Burrau untersuchte dieses Problem im Jahr 1913 weiter. Im Jahr 1967 gelang es Victor Szebehely und C. Frederick Peters, dieses Problem durch numerische Integration zu lösen und gleichzeitig eine nahe periodische Lösung zu finden. ⓘ

In den 1970er Jahren fanden Michel Hénon und Roger A. Broucke jeweils eine Reihe von Lösungen, die zur gleichen Lösungsfamilie gehören: die Broucke-Henon-Hadjidemetriou-Familie. In dieser Familie haben die drei Objekte alle die gleiche Masse und können sowohl retrograde als auch direkte Formen aufweisen. In einigen Lösungen von Broucke folgen zwei der Körper demselben Weg. ⓘ

Eine Animation der Figur-8-Lösung des Dreikörperproblems über eine einzige Periode T ≃ 6,3259. ⓘ

1993 entdeckte der Physiker Cris Moore vom Santa Fe Institute numerisch eine Null-Drehmoment-Lösung mit drei gleichen Massen, die sich um eine Achterform bewegen. Ihre formale Existenz wurde später im Jahr 2000 von den Mathematikern Alain Chenciner und Richard Montgomery bewiesen. Es wurde numerisch gezeigt, dass die Lösung für kleine Störungen der Masse und der Bahnparameter stabil ist, was es möglich macht, dass solche Bahnen im physikalischen Universum beobachtet werden können. Es wurde jedoch argumentiert, dass dieses Vorkommen unwahrscheinlich ist, da der Bereich der Stabilität klein ist. So wurde die Wahrscheinlichkeit, dass ein binär-binäres Streuungsereignis zu einer Achterbahn führt, auf einen kleinen Bruchteil von 1 % geschätzt. ⓘ

Im Jahr 2013 entdeckten die Physiker Milovan Šuvakov und Veljko Dmitrašinović vom Institut für Physik in Belgrad 13 neue Lösungsfamilien für das Dreikörperproblem mit gleicher Masse und Null-Eckimpuls. ⓘ

Im Jahr 2015 entdeckte die Physikerin Ana Hudomal 14 neue Lösungsfamilien für das Drei-Körper-Problem der gleichen Masse und des Null-Winkelmoments. ⓘ

Im Jahr 2017 fanden die Forscher Xiaoming Li und Shijun Liao 669 neue periodische Bahnen für das Null-Winkelmoment-Dreikörperproblem mit gleicher Masse. Im Jahr 2018 folgten weitere 1223 neue Lösungen für ein Null-Winkelmoment-System mit ungleichen Massen. ⓘ

Im Jahr 2018 berichteten Li und Liao über 234 Lösungen für das "Freifall"-Dreikörperproblem mit ungleichen Massen. Bei der Formulierung des Drei-Körper-Problems im freien Fall befinden sich zunächst alle drei Körper in Ruhe. Daher kreisen die Massen in einer Freifallkonfiguration nicht in einer geschlossenen "Schleife", sondern bewegen sich entlang einer offenen "Bahn" vorwärts und rückwärts. ⓘ

Numerische Ansätze

Mit einem Computer kann das Problem durch numerische Integration mit beliebig hoher Genauigkeit gelöst werden, obwohl eine hohe Genauigkeit viel Rechenzeit erfordert. Mit Hilfe der Theorie der Random Walks können die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse berechnet werden. ⓘ

Geschichte

Das Gravitationsproblem von drei Körpern im traditionellen Sinne stammt im Wesentlichen aus dem Jahr 1687, als Isaac Newton seine Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica veröffentlichte. In Satz 66 von Buch 1 der Principia und seinen 22 Korollarien unternahm Newton die ersten Schritte zur Definition und Untersuchung des Problems der Bewegungen dreier massiver Körper, die ihren sich gegenseitig störenden Gravitationsanziehungen ausgesetzt sind. In den Propositionen 25 bis 35 von Buch 3 unternahm Newton auch die ersten Schritte zur Anwendung seiner Ergebnisse aus Proposition 66 auf die Mondtheorie, die Bewegung des Mondes unter dem Gravitationseinfluss von Erde und Sonne. ⓘ

Das physikalische Problem wurde von Amerigo Vespucci und später von Galileo Galilei aufgegriffen. Im Jahr 1499 nutzte Vespucci die Kenntnis der Mondposition, um seine Position in Brasilien zu bestimmen. In den 1720er Jahren erlangte sie technische Bedeutung, da eine genaue Lösung für die Navigation, insbesondere für die Bestimmung des Längengrads auf See, in der Praxis durch die Erfindung des Marinechronometers durch John Harrison gelöst wurde. Allerdings war die Genauigkeit der Mondtheorie aufgrund der störenden Wirkung der Sonne und der Planeten auf die Bewegung des Mondes um die Erde gering. ⓘ

Jean le Rond d'Alembert und Alexis Clairaut, die seit langem miteinander rivalisierten, versuchten beide, das Problem einigermaßen allgemein zu analysieren; sie legten ihre konkurrierenden ersten Analysen 1747 der Académie Royale des Sciences vor. Im Zusammenhang mit ihren Forschungen, die in den 1740er Jahren in Paris stattfanden, wurde der Name "Dreikörperproblem" (französisch: Problème des trois Corps) allgemein verwendet. Aus einem 1761 von Jean le Rond d'Alembert veröffentlichten Bericht geht hervor, dass der Name erstmals 1747 verwendet wurde. ⓘ

George William Hill arbeitete im späten 19. Jahrhundert an dem begrenzten Problem. ⓘ

Im Jahr 2019 kündigten Breen et al. einen schnellen neuronalen Netzwerklöser für das Dreikörperproblem an, der mit einem numerischen Integrator trainiert wurde. ⓘ

Andere Probleme mit drei Körpern

Der Begriff "Dreikörperproblem" wird manchmal im allgemeineren Sinne verwendet, um sich auf jedes physikalische Problem zu beziehen, das die Wechselwirkung von drei Körpern beinhaltet. ⓘ

Ein quantenmechanisches Analogon des Gravitations-Dreikörperproblems in der klassischen Mechanik ist das Heliumatom, in dem ein Heliumkern und zwei Elektronen gemäß der quadratischen Coulomb-Wechselwirkung wechselwirken. Wie bei dem Gravitations-Dreikörperproblem lässt sich das Heliumatom nicht exakt lösen. ⓘ

Sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik gibt es jedoch neben der invers-quadratischen Kraft auch nichttriviale Wechselwirkungsgesetze, die zu exakten analytischen Dreikörperlösungen führen. Ein solches Modell besteht aus einer Kombination von harmonischer Anziehung und einer abstoßenden inversen Würfelkraft. Dieses Modell wird als nicht trivial angesehen, da es mit einer Reihe nichtlinearer Differentialgleichungen verbunden ist, die Singularitäten enthalten (im Vergleich z. B. zu harmonischen Wechselwirkungen allein, die zu einem leicht zu lösenden System linearer Differentialgleichungen führen). In diesen beiden Aspekten ist es analog zu (unlösbaren) Modellen mit Coulomb-Wechselwirkungen und wurde daher als Instrument zum intuitiven Verständnis physikalischer Systeme wie des Heliumatoms vorgeschlagen. ⓘ

Das gravitative Dreikörperproblem wurde ebenfalls mit Hilfe der allgemeinen Relativitätstheorie untersucht. Physikalisch gesehen wird eine relativistische Behandlung in Systemen mit sehr starken Gravitationsfeldern notwendig, wie etwa in der Nähe des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs. Das relativistische Problem ist jedoch wesentlich schwieriger als in der Newtonschen Mechanik, und es sind hochentwickelte numerische Verfahren erforderlich. Selbst für das vollständige Zweikörperproblem (d. h. für beliebige Massenverhältnisse) gibt es in der allgemeinen Relativitätstheorie keine strenge analytische Lösung. ⓘ

n-Körper-Problem

Das Dreikörperproblem ist ein Spezialfall des n-Körperproblems, das beschreibt, wie sich n Objekte unter einer der physikalischen Kräfte, z. B. der Gravitation, bewegen. Diese Probleme haben eine globale analytische Lösung in Form einer konvergenten Potenzreihe, wie von Karl F. Sundman für $n = 3$ und von Qiudong Wang für $n > 3$ bewiesen wurde (siehe n-Körper-Problem für Details). Die Sundman- und Wang-Reihen konvergieren jedoch so langsam, dass sie für praktische Zwecke unbrauchbar sind; daher ist es derzeit notwendig, die Lösungen durch numerische Analyse in Form von numerischer Integration oder in einigen Fällen durch klassische trigonometrische Reihenapproximationen zu approximieren (siehe n-Körper-Simulation). Atomare Systeme, z. B. Atome, Ionen und Moleküle, können im Sinne des Quanten-N-Körper-Problems behandelt werden. Bei den klassischen physikalischen Systemen bezieht sich das n-Körper-Problem in der Regel auf eine Galaxie oder einen Galaxienhaufen; Planetensysteme, wie Sterne, Planeten und ihre Satelliten, können ebenfalls als n-Körper-Systeme behandelt werden. Einige Anwendungen werden zweckmäßigerweise mit Hilfe der Störungstheorie behandelt, bei der das System als Zweikörperproblem plus zusätzliche Kräfte betrachtet wird, die Abweichungen von einer hypothetischen ungestörten Zweikörperbahn verursachen. ⓘ

In der Populärkultur

In dem Science-Fiction-Klassiker Der Tag, an dem die Erde stillstand von 1951 macht der Außerirdische Klaatu unter dem Pseudonym Mr. Carpenter einige Anmerkungen zu den Gleichungen an der Tafel von Prof. Barnhardt. Diese Gleichungen sind eine genaue Beschreibung einer bestimmten Form des Dreikörperproblems. ⓘ

Der erste Band der Trilogie Erinnerung an die Vergangenheit der Erde der chinesischen Autorin Liu Cixin trägt den Titel Das Dreikörperproblem und enthält das Dreikörperproblem als zentrales Handlungselement. ⓘ

Im Science-Fiction-Roman Die drei Sonnen des chinesischen Autors Cixin Liu spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen Zivilisation. ⓘ

Mathematisch-Historisches

Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von Johannes Kepler und Nikolaus Kopernikus als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie Alexis-Claude Clairaut, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Thorvald Nicolai Thiele, George William Hill und Henri Poincaré beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung chaotisch und kann nur numerisch berechnet werden. ⓘ

Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert. ⓘ

Sehr kleine Intervallschritte ⓘ

Etwas vergröberte Intervallschritte ⓘ

Verallgemeinerung

Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das Mehrkörperproblem. Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man durch Mehrkörpersimulationen. ⓘ