Tangente

Tangente an eine Kurve. Die rote Linie tangiert die Kurve an dem mit einem roten Punkt markierten Punkt. ⓘ

Tangentiale Ebene an eine Kugel ⓘ

In der Geometrie ist die Tangente (oder einfach Tangente) an eine ebene Kurve in einem bestimmten Punkt die gerade Linie, die die Kurve in diesem Punkt "gerade berührt". Leibniz definierte sie als die Linie durch ein Paar unendlich nahe beieinander liegender Punkte auf der Kurve. Genauer gesagt, eine Gerade ist eine Tangente an eine Kurve y = f(x) in einem Punkt x = c, wenn die Gerade durch den Punkt (c, f(c)) auf der Kurve verläuft und die Steigung f'(c) hat, wobei f' die Ableitung von f ist. ⓘ

Wenn sie durch den Punkt verläuft, an dem sich die Tangente und die Kurve treffen, den so genannten Tangentenpunkt, geht die Tangente "in dieselbe Richtung" wie die Kurve und ist somit die beste geradlinige Annäherung an die Kurve in diesem Punkt. ⓘ

Die Tangente an einen Punkt auf einer differenzierbaren Kurve kann auch als Annäherung an die Tangente betrachtet werden, d. h. als der Graph der affinen Funktion, der die ursprüngliche Funktion an dem gegebenen Punkt am besten annähert. ⓘ

In ähnlicher Weise ist die Tangentialebene an eine Fläche in einem bestimmten Punkt die Ebene, die die Fläche in diesem Punkt "gerade berührt". Der Begriff der Tangente ist einer der grundlegendsten Begriffe in der Differentialgeometrie und wurde umfassend verallgemeinert; siehe Tangentenraum. ⓘ

Das Wort "Tangente" kommt vom lateinischen tangere, "berühren". ⓘ

Kreis mit Tangente, Sekante und Passante ⓘ

Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gehörenden Radius des Krümmungskreises, sofern dieser existiert. Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben. Ist ein weiterer Punkt (der Ausgangskurve oder einer anderen Kurve) ebenfalls Berührpunkt, so spricht man von einer Bitangente. ⓘ

Geschichte

Euklid erwähnt die Tangente (ἐφαπτομένη ephaptoménē) an einen Kreis mehrfach im Buch III der Elemente (ca. 300 v. Chr.). In Apollonius' Werk Konik (ca. 225 v. Chr.) definiert er eine Tangente als eine Linie, die so beschaffen ist, dass keine andere gerade Linie zwischen ihr und der Kurve zwischen ihr und der Kurve liegt. ⓘ

Archimedes (ca. 287 - ca. 212 v. Chr.) fand die Tangente an eine archimedische Spirale, indem er den Weg eines Punktes betrachtete, der sich entlang der Kurve bewegt. ⓘ

In den 1630er Jahren entwickelte Fermat die Technik der Adäquanz zur Berechnung von Tangenten und anderen Problemen der Analysis und nutzte sie zur Berechnung von Tangenten an die Parabel. Die Technik der Adäquanz ist vergleichbar mit der Berechnung der Differenz zwischen $f(x+h)$ und $f(x)$ und dividiert durch eine Potenz von $h$. Unabhängig davon verwendete Descartes seine Methode der Normalen, die auf der Beobachtung beruht, dass der Radius eines Kreises immer normal zum Kreis selbst ist. ⓘ

Diese Methoden führten im 17. Jahrhundert zur Entwicklung der Differentialrechnung. Viele Menschen trugen dazu bei. Roberval entdeckte eine allgemeine Methode zum Zeichnen von Tangenten, indem er eine Kurve als durch einen sich bewegenden Punkt beschrieben betrachtete, dessen Bewegung die Resultante mehrerer einfacher Bewegungen ist. René-François de Sluse und Johannes Hudde fanden algebraische Algorithmen zur Bestimmung von Tangenten. Weitere Entwicklungen stammen von John Wallis und Isaac Barrow und führten zur Theorie von Isaac Newton und Gottfried Leibniz. ⓘ

Eine Definition von 1828 besagt, dass eine Tangente "eine gerade Linie ist, die eine Kurve berührt, sie aber nicht schneidet, wenn sie entsteht". Diese alte Definition verhindert, dass Wendepunkte eine Tangente haben. Sie wurde verworfen, und die modernen Definitionen entsprechen denen von Leibniz, der die Tangente als die Linie durch ein Paar unendlich nahe beieinander liegender Punkte auf der Kurve definierte. ⓘ

Tangente an eine ebene Kurve

Eine Tangente, eine Sehne und eine Sekante an einen Kreis ⓘ

Die intuitive Vorstellung, dass eine Tangente eine Kurve "berührt", lässt sich verdeutlichen, indem man die Folge von Geraden (Sekanten) betrachtet, die durch zwei Punkte A und B, die auf der Funktionskurve liegen, verlaufen. Die Tangente an A ist der Grenzwert, wenn sich der Punkt B an A annähert oder zu A tendiert. Die Existenz und Einzigartigkeit der Tangente hängt von einer bestimmten Art mathematischer Glätte ab, die als "Differenzierbarkeit" bezeichnet wird. Wenn sich beispielsweise zwei Kreisbögen in einem scharfen Punkt (einem Scheitelpunkt) treffen, dann gibt es keine eindeutig definierte Tangente am Scheitelpunkt, weil der Grenzwert des Verlaufs der Sekantenlinien von der Richtung abhängt, in der sich "Punkt B" dem Scheitelpunkt nähert. ⓘ

In den meisten Punkten berührt die Tangente die Kurve, ohne sie zu kreuzen (obwohl sie, wenn sie fortgesetzt wird, die Kurve an anderen, vom Tangentenpunkt entfernten Stellen kreuzen kann). Ein Punkt, an dem die Tangente (in diesem Punkt) die Kurve schneidet, wird als Wendepunkt bezeichnet. Kreise, Parabeln, Hyperbeln und Ellipsen haben keinen Wendepunkt, wohl aber kompliziertere Kurven wie der Graph einer kubischen Funktion, der genau einen Wendepunkt hat, oder ein Sinusoid, das für jede Periode des Sinus zwei Wendepunkte hat. ⓘ

Umgekehrt kann es vorkommen, dass die Kurve vollständig auf einer Seite einer Geraden liegt, die durch einen Punkt auf der Kurve verläuft, und diese Gerade dennoch keine Tangente ist. Dies ist beispielsweise der Fall bei einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt eines Dreiecks verläuft und es nicht anderweitig schneidet - hier existiert die Tangente aus den oben erläuterten Gründen nicht. In der konvexen Geometrie werden solche Linien als Stützlinien bezeichnet. ⓘ

In jedem Punkt ist die bewegliche Linie immer tangential zur Kurve. Ihre Steigung ist die Ableitung; grün markiert die positive Ableitung, rot die negative Ableitung und schwarz die Nullableitung. Der Punkt (x,y) = (0,1), in dem die Tangente die Kurve schneidet, ist weder ein Maximum noch ein Minimum, sondern ein Wendepunkt. ⓘ

Analytischer Ansatz

Die geometrische Vorstellung von der Tangente als Grenzwert von Sekantenlinien dient als Motivation für analytische Methoden, die explizit zum Auffinden von Tangenten verwendet werden. Die Frage, wie man die Tangente an einen Graphen findet, oder das Tangentenproblem, war eine der zentralen Fragen, die zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung im 17. Im zweiten Buch seiner Geometrie sagte René Descartes über das Problem der Konstruktion der Tangente an eine Kurve: "Und ich wage zu behaupten, dass dies nicht nur das nützlichste und allgemeinste Problem in der Geometrie ist, das ich kenne, sondern sogar das, das ich jemals zu kennen wünschte". ⓘ

Intuitive Beschreibung

Angenommen, eine Kurve ist als Graph einer Funktion y = f(x) gegeben. Um die Tangente an den Punkt p = (a, f(a)) zu finden, betrachtet man einen anderen nahe gelegenen Punkt q = (a + h, f(a + h)) auf der Kurve. Die Steigung der durch p und q verlaufenden Sekantenlinie ist gleich dem Differenzenquotienten ⓘ

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ ⓘ

Je mehr sich der Punkt q an p annähert, d. h. je kleiner h wird, desto mehr nähert sich der Differenzenquotient einem bestimmten Grenzwert k an, der die Steigung der Tangente im Punkt p darstellt. Ist k bekannt, kann die Gleichung der Tangente in Form der Punktsteilheit gefunden werden:

$y-f(a)=k(x-a).\,$ ⓘ

Strengere Beschreibung

Um die vorangegangene Argumentation zu vervollständigen, muss man erklären, was mit dem Differenzenquotienten gemeint ist, der sich einem bestimmten Grenzwert k nähert. Die genaue mathematische Formulierung wurde von Cauchy im 19. Dann gibt es einen eindeutigen Wert für k, so dass sich der Differenzenquotient bei Annäherung von h an 0 immer mehr an k annähert und der Abstand zwischen ihnen im Vergleich zur Größe von h vernachlässigbar wird, wenn h klein genug ist. Dies führt zur Definition der Steigung der Tangente an den Graphen als Grenzwert des Differenzenquotienten für die Funktion f. Dieser Grenzwert ist die Ableitung der Funktion f bei x = a, bezeichnet als f ′(a). Mit Hilfe der Ableitungen lässt sich die Gleichung der Tangente wie folgt formulieren:

$y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$ ⓘ

Die Infinitesimalrechnung bietet Regeln für die Berechnung der Ableitungen von Funktionen, die durch Formeln gegeben sind, wie die Potenzfunktion, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmus und ihre verschiedenen Kombinationen. So können die Gleichungen der Tangenten an die Graphen all dieser und vieler anderer Funktionen mit den Methoden der Infinitesimalrechnung gefunden werden. ⓘ

Wie die Methode versagen kann

Die Infinitesimalrechnung zeigt auch, dass es Funktionen und Punkte auf deren Graphen gibt, für die der Grenzwert, der die Steigung der Tangente bestimmt, nicht existiert. Für diese Punkte ist die Funktion f nicht differenzierbar. Es gibt zwei mögliche Gründe für das Scheitern der Methode, die Tangenten auf der Grundlage der Grenzwerte und Ableitungen zu finden: Entweder existiert die geometrische Tangente, aber es handelt sich um eine vertikale Linie, die nicht in der Punkt-Steigungs-Form angegeben werden kann, da sie keine Steigung hat, oder der Graph weist eines der drei Verhaltensweisen auf, die eine geometrische Tangente ausschließen. ⓘ

Der Graph y = x^1/3 veranschaulicht die erste Möglichkeit: Hier ist der Differenzenquotient bei a = 0 gleich h^1/3/h = h-2/3, der sehr groß wird, wenn h sich 0 nähert. Diese Kurve hat eine vertikale Tangente am Ursprung. ⓘ

Der Graph y = x^2/3 veranschaulicht eine andere Möglichkeit: Dieser Graph hat einen Scheitelpunkt im Ursprung. Das bedeutet, dass, wenn h sich 0 nähert, der Differenzenquotient bei a = 0 je nach Vorzeichen von x gegen plus oder minus unendlich geht. Somit liegen beide Zweige der Kurve in der Nähe der halben Senkrechten, für die y=0 gilt, aber keiner liegt in der Nähe des negativen Teils dieser Linie. Im Grunde gibt es in diesem Fall keine Tangente am Ursprung, aber in einem bestimmten Zusammenhang kann man diese Linie als Tangente betrachten, in der algebraischen Geometrie sogar als Doppeltangente. ⓘ

Der Graph y = |x| der Absolutwertfunktion besteht aus zwei Geraden mit unterschiedlichen Steigungen, die im Ursprung zusammenlaufen. Nähert sich ein Punkt q von rechts dem Ursprung, so hat die Sekantengerade immer die Steigung 1. Nähert sich ein Punkt q von links dem Ursprung, so hat die Sekantengerade immer die Steigung -1. Daher gibt es keine eindeutige Tangente an den Graphen im Ursprung. Zwei unterschiedliche (aber endliche) Steigungen zu haben, wird als Ecke bezeichnet. ⓘ

Da Differenzierbarkeit Kontinuität impliziert, bedeutet der umgekehrte Fall, dass Diskontinuität Nicht-Differenzierbarkeit impliziert. Ein solcher Sprung oder eine punktuelle Diskontinuität hat keine Tangente. Dies schließt Fälle ein, in denen sich eine Steigung dem positiven Unendlichen nähert, während sich die andere dem negativen Unendlichen nähert, was zu einer unendlichen Sprungdiskontinuität führt ⓘ

Gleichungen

Wenn die Kurve durch y = f(x) gegeben ist, ist die Steigung der Tangente ${\frac {dy}{dx}},$ Nach der Punkt-Steilheit-Formel lautet die Gleichung der Tangente an (X, Y) also

$y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)$

wobei (x, y) die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Tangentenlinie sind und die Ableitung bei $x=X$. ⓘ

Wenn die Kurve durch y = f(x) gegeben ist, kann die Gleichung der Tangente auch durch Polynomdivision gefunden werden, indem man $f\,(x)$ durch $(x-X)^{2}$Wenn der Rest mit $g(x)$bezeichnet wird, dann ist die Gleichung der Tangente gegeben durch ⓘ

$y=g(x).$ ⓘ

Wenn die Gleichung der Kurve in der Form f(x, y) = 0 gegeben ist, dann kann der Wert der Steigung durch implizite Differenzierung gefunden werden und ergibt

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}.$

Die Gleichung der Tangente an einem Punkt (X,Y), für den f(X,Y) = 0 gilt, lautet dann

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.$

Diese Gleichung bleibt wahr, wenn ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0$ aber ${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0$ (in diesem Fall ist die Steigung der Tangente unendlich). Wenn ${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$ ist die Tangente nicht definiert und der Punkt (X,Y) wird als singulär bezeichnet. ⓘ

Bei algebraischen Kurven können die Berechnungen etwas vereinfacht werden, indem man sie in homogene Koordinaten umwandelt. Konkret sei die homogene Gleichung der Kurve g(x, y, z) = 0, wobei g eine homogene Funktion vom Grad n ist. Wenn (X, Y, Z) auf der Kurve liegt, impliziert der Satz von Euler

$${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$$

Daraus folgt, dass die homogene Gleichung der Tangente lautet

${\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.$

Die Gleichung der Tangente in kartesischen Koordinaten lässt sich ermitteln, indem man z=1 in diese Gleichung einsetzt. ⓘ

Um dies auf algebraische Kurven anzuwenden, schreibt man f(x, y) als

$f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,$

wobei jedes ur die Summe aller Terme vom Grad r ist. Die homogene Gleichung der Kurve lautet dann

$g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,$

Wendet man die obige Gleichung an und setzt z=1, so erhält man

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0$

als Gleichung der Tangentenlinie. Die Gleichung in dieser Form ist in der Praxis oft einfacher zu verwenden, da nach ihrer Anwendung keine weitere Vereinfachung erforderlich ist. ⓘ

Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist durch

$x=x(t),\quad y=y(t)$

gegeben ist, dann ist die Steigung der Tangente

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}$

was die Gleichung für die Tangente bei $\,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)$ als

${\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).$

Wenn ${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$ ist die Tangente nicht definiert. Es kann jedoch vorkommen, dass die Tangente existiert und aus einer impliziten Gleichung der Kurve berechnet werden kann. ⓘ

Normalenlinie zu einer Kurve

Die Linie, die senkrecht zur Tangente an eine Kurve im Berührungspunkt verläuft, wird als Normale auf die Kurve in diesem Punkt bezeichnet. Die Steigungen der Senkrechten haben das Produkt -1. Wenn also die Gleichung der Kurve y = f(x) lautet, ist die Steigung der Normalen

$-{\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$

und daraus folgt, dass die Gleichung der Normalen in (X, Y) lautet

$(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.$

Wenn die Gleichung der Kurve die Form f(x, y) = 0 hat, dann ist die Gleichung der Normalen gegeben durch

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.$ ⓘ

Wenn die Kurve parametrisch gegeben ist durch

$x=x(t),\quad y=y(t)$

dann ist die Gleichung der Normalen

${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$ ⓘ

Winkel zwischen Kurven

Der Winkel zwischen zwei Kurven in einem Punkt, in dem sie sich schneiden, ist definiert als der Winkel zwischen ihren Berührungslinien in diesem Punkt. Genauer gesagt, zwei Kurven sind in einem Punkt tangential, wenn sie in einem Punkt die gleiche Tangente haben, und orthogonal, wenn ihre Tangentenlinien orthogonal sind. ⓘ

Mehrere Tangenten an einem Punkt

Die Limaçon-Trisectrix: eine Kurve mit zwei Tangenten im Ursprung. ⓘ

Die obigen Formeln versagen, wenn der Punkt ein singulärer Punkt ist. In diesem Fall kann es zwei oder mehr Kurvenäste geben, die durch den Punkt verlaufen, wobei jeder Ast seine eigene Tangente hat. Wenn der Punkt der Ursprung ist, können die Gleichungen dieser Linien für algebraische Kurven durch Faktorisierung der Gleichung gefunden werden, die durch Eliminierung aller Terme bis auf den niedrigsten Grad aus der ursprünglichen Gleichung gebildet wird. Da jeder beliebige Punkt durch eine Änderung der Variablen (oder durch Verschieben der Kurve) zum Ursprung gemacht werden kann, ergibt sich daraus eine Methode zur Bestimmung der Tangenten an jedem beliebigen singulären Punkt. ⓘ

Die Gleichung der rechts dargestellten Limaçon-Trisectrix lautet zum Beispiel

$(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

Erweitert man diese und eliminiert alle Terme außer denen vom Grad 2, erhält man

$a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,$

die, wenn sie faktorisiert wird, zu

$y=\pm {\sqrt {3}}x.$

Dies sind also die Gleichungen der beiden Tangenten durch den Ursprung. ⓘ

Wenn die Kurve nicht selbst kreuzend ist, kann die Tangente an einem Bezugspunkt immer noch nicht eindeutig definiert sein, weil die Kurve an diesem Punkt nicht differenzierbar ist, obwohl sie an anderer Stelle differenzierbar ist. In diesem Fall werden die linke und rechte Ableitung als die Grenzen der Ableitung definiert, wenn sich der Punkt, an dem sie ausgewertet wird, dem Bezugspunkt von links (niedrigere Werte) bzw. von rechts (höhere Werte) nähert. Zum Beispiel ist die Kurve y = |x | bei x = 0 nicht differenzierbar: ihre linke und rechte Ableitung haben die Steigungen -1 bzw. 1; die Tangenten an diesem Punkt mit diesen Steigungen werden als linke und rechte Tangente bezeichnet. ⓘ

Manchmal sind die Steigungen der linken und der rechten Tangente gleich, so dass die Tangentenlinien zusammenfallen. Dies gilt z. B. für die Kurve y = x ^2/3, bei der sowohl die linke als auch die rechte Ableitung bei x = 0 unendlich ist; sowohl die linke als auch die rechte Tangente haben die Gleichung x = 0. ⓘ

Tangentiale Kreise

Zwei Paare von Tangentialkreisen. Oben innen und unten außen tangiert

Zwei Kreise mit ungleichem Radius, die beide in derselben Ebene liegen, sind tangential zueinander, wenn sie sich nur in einem Punkt treffen. Zwei Kreise mit den Radien ri und den Mittelpunkten (xi, yi) für i = 1, 2 gelten als tangential zueinander, wenn ⓘ

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.\,$

• Zwei Kreise sind außen tangential, wenn der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten gleich der Summe ihrer Radien ist.

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.\,$

• Zwei Kreise sind innen tangential, wenn der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten gleich der Differenz ihrer Radien ist.

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.\,$ ⓘ

Tangentialebene an eine Fläche

Die Tangentialebene an eine Fläche in einem gegebenen Punkt p ist analog zur Tangentenlinie bei Kurven definiert. Sie ist die beste Annäherung an die Oberfläche durch eine Ebene bei p und kann als Grenzposition der Ebenen ermittelt werden, die durch drei verschiedene Punkte auf der Oberfläche in der Nähe von p verlaufen, wenn diese Punkte zu p konvergieren. ⓘ

Höherdimensionale Mannigfaltigkeiten

Allgemeiner ausgedrückt, gibt es an jedem Punkt einer k-dimensionalen Mannigfaltigkeit im n-dimensionalen euklidischen Raum einen k-dimensionalen Tangentenraum. ⓘ

Differentialgeometrie

Raumkurve mit Tangente ⓘ

Eine (reguläre) Kurve im $\mathbb {R} ^{n}$ sei durch eine auf dem reellen Intervall $[a,b]$ definierte Funktion $\gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ mit $|\gamma '(t)|\neq 0$ für alle $t\in [a,b]$ gegeben. Ist $\gamma (t_{0})$ (mit $t_{0}\in [a,b]$) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von $\gamma$ an der Stelle $t_{0}$ (also $\gamma '(t_{0})$) einen Tangentialvektor. Eine Kurventangente in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt $\gamma (t_{0})$, die die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat. ⓘ

Synthetische und endliche Geometrie

In der synthetischen Geometrie und der endlichen Geometrie kann der Begriff „Tangente“ für geeignete Mengen allein mit Begriffen der Inzidenz, also ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen definiert werden:

1. Für eine quadratische Menge, in einer projektiven Ebene ist eine Tangente eine Gerade, die mit dieser Menge genau einen Punkt gemeinsam hat oder ganz in ihr enthalten ist.
2. Mit dieser Definition existiert speziell für ein Oval in einer projektiven Ebene in jedem Punkt des Ovals genau eine Tangente. Keine Gerade hat mit dem Oval mehr als zwei Punkte gemein.
3. Analytisch bedeutet dies für eine projektive Quadrik über einer papposschen projektiven Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, dem wichtigsten Spezialfall einer quadratischen Menge: Eine projektive Gerade ist genau dann Tangente der Quadrik, wenn der Koeffizientenvektor der Geraden die homogene quadratische Gleichung erfüllt, die die Quadrik (als Punktmenge) definiert. ⓘ

Der dritte Fall ist für die reelle euklidische Ebene, wenn man sie als affinen Ausschnitt der reellen projektiven Ebene mit dem Standardskalarprodukt ansieht, gleichbedeutend dazu, dass der Gradient der Funktionsgleichung, die die Quadrik definiert, in dem Punkt, in der die Gerade die Quadrik berührt, ein Normalenvektor dieser Geraden ist. Insofern lässt sich ein, gegenüber dem reellen, durch Ableitung definierten verallgemeinerter, „algebraischer“ Tangentenbegriff auch durch formale Gradientenberechnung bilden. ⓘ

Vergleiche hierzu auch die Abbildung in der Einleitung: Der mit dem Rechter-Winkel-Symbol gekennzeichnete Radius des Kreises stellt gleichzeitig die Richtung eines Normalenvektors der eingezeichneten Tangente und (vom Mittelpunkt zum Berührpunkt orientiert) die Richtung des Gradienten der Kreisgleichung in deren Berührpunkt dar. ⓘ