Stefan-Boltzmann-Gesetz

Graph einer Funktion der gesamten abgestrahlten Energie eines schwarzen Körpers $j^{\star }$ proportional zu seiner thermodynamischen Temperatur $T\,$. In blau ist die Gesamtenergie nach der Wienschen Näherung dargestellt, $j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,$ ⓘ

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschreibt die von einem schwarzen Körper abgestrahlte Energie in Abhängigkeit von seiner Temperatur. Konkret besagt das Stefan-Boltzmann-Gesetz, dass die Gesamtenergie, die pro Flächeneinheit eines schwarzen Körpers über alle Wellenlängen pro Zeiteinheit abgestrahlt wird $j^{\star }$ (auch bekannt als die Strahlungsemission des schwarzen Körpers) direkt proportional zur vierten Potenz der thermodynamischen Temperatur T des schwarzen Körpers ist:

$j^{\star }=\sigma T^{4}.$ ⓘ

Die Proportionalitätskonstante σ, die sogenannte Stefan-Boltzmann-Konstante, wird aus anderen bekannten physikalischen Konstanten abgeleitet. Seit 2019 ist der Wert der Konstante ⓘ

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670374\ldots \times 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}\,K^{-4}} ,$ ⓘ

wobei k die Boltzmann-Konstante, h die Plancksche Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Strahldichte aus einem bestimmten Blickwinkel (Watt pro Quadratmeter und Steradiant) ist gegeben durch

$L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.$ ⓘ

Ein Körper, der nicht die gesamte einfallende Strahlung absorbiert (manchmal auch als grauer Körper bezeichnet), gibt weniger Gesamtenergie ab als ein schwarzer Körper und ist durch einen Emissionsgrad gekennzeichnet, $0<\varepsilon <1$:

$j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.$ ⓘ

Der Strahlungs-Emissionsgrad $j^{\star }$ hat die Dimension des Energieflusses (Energie pro Zeiteinheit pro Flächeneinheit), und die SI-Einheiten für die Messung sind Joule pro Sekunde pro Quadratmeter oder entsprechend Watt pro Quadratmeter. Die SI-Einheit für die absolute Temperatur T ist das Kelvin. $\varepsilon$ ist der Emissionsgrad des grauen Körpers; wenn es sich um einen perfekten schwarzen Körper handelt, $\varepsilon =1$. In einem noch allgemeineren (und realistischeren) Fall hängt der Emissionsgrad von der Wellenlänge ab, $\varepsilon =\varepsilon (\lambda )$. ⓘ

Um die von einem Objekt abgestrahlte Gesamtleistung zu ermitteln, multipliziert man mit seiner Oberfläche, $A$:

$P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.$ ⓘ

Für Partikel im Wellenlängen- und Subwellenlängenbereich, Metamaterialien und andere Nanostrukturen gelten die strahlenoptischen Grenzen nicht, und sie können so gestaltet werden, dass sie das Stefan-Boltzmann-Gesetz übertreffen. ⓘ

Geschichte

1864 stellte John Tyndall Messungen der Infrarotemission eines Platinfadens und der entsprechenden Farbe des Fadens vor. Die Proportionalität zur vierten Potenz der absoluten Temperatur wurde 1877 von Josef Stefan (1835-1893) auf der Grundlage der experimentellen Messungen von Tyndall in dem Artikel Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur in den Mitteilungen der Sitzungen der Wiener Akademie der Wissenschaften hergeleitet. ⓘ

Eine Ableitung des Gesetzes aus theoretischen Überlegungen wurde 1884 von Ludwig Boltzmann (1844-1906) vorgelegt, der sich auf die Arbeiten von Adolfo Bartoli stützte. Bartoli hatte 1876 die Existenz des Strahlungsdrucks aus den Grundsätzen der Thermodynamik abgeleitet. In Anlehnung an Bartoli betrachtete Boltzmann eine ideale Wärmekraftmaschine mit elektromagnetischer Strahlung anstelle eines idealen Gases als Arbeitsmittel. ⓘ

Das Gesetz wurde fast sofort experimentell verifiziert. Heinrich Weber wies 1888 auf Abweichungen bei höheren Temperaturen hin, aber bis 1897 wurde die perfekte Genauigkeit innerhalb der Messunsicherheiten bis zu Temperaturen von 1535 K bestätigt. Das Gesetz, einschließlich der theoretischen Vorhersage der Stefan-Boltzmann-Konstante als Funktion der Lichtgeschwindigkeit, der Boltzmann-Konstante und der Planckschen Konstante, ist eine direkte Folge des Planckschen Gesetzes, wie es 1900 formuliert wurde. ⓘ

Seit der Neudefinition der SI-Basiseinheiten im Jahr 2019, die die Werte der Boltzmann-Konstante k, der Planck-Konstante h und der Lichtgeschwindigkeit c festlegt, ist die Stefan-Boltzmann-Konstante genau

$\sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\ \pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}\,\mathrm {Wm^{-2}K^{-4}} \,.$ ⓘ

σ = 5,67037441918442945397099673188923087584012297029130...×10-8 W/m²K⁴. ⓘ

Beispiele

Temperatur der Sonne

Mit seinem Gesetz bestimmte Stefan auch die Temperatur der Sonnenoberfläche. Er leitete aus den Daten von Jacques-Louis Soret (1827-1890) ab, dass die Energiestromdichte der Sonne 29 Mal größer ist als die Energiestromdichte einer bestimmten erwärmten Metalllamelle (einer dünnen Platte). Eine runde Lamelle wurde in einem solchen Abstand zum Messgerät platziert, dass sie im gleichen Winkel wie die Sonne zu sehen war. Soret schätzte die Temperatur der Lamelle auf etwa 1900 °C bis 2000 °C. Stefan vermutete, dass ⅓ des Energiestroms von der Sonne von der Erdatmosphäre absorbiert wird, also nahm er für den richtigen Energiestrom der Sonne einen Wert an, der 3/2 mal größer war als der von Soret, nämlich 29 × 3/2 = 43,5. ⓘ

Genaue Messungen der atmosphärischen Absorption wurden erst 1888 und 1904 vorgenommen. Die von Stefan ermittelte Temperatur war ein Mittelwert der früheren Werte, nämlich 1950 °C und der absolute thermodynamische Wert 2200 K. Da 2,57⁴ = 43,5 ist, ergibt sich aus dem Gesetz, dass die Temperatur der Sonne 2,57 Mal größer ist als die Temperatur der Lamelle, so dass Stefan einen Wert von 5430 °C oder 5700 K erhielt (der moderne Wert ist 5778 K). Dies war der erste vernünftige Wert für die Temperatur der Sonne. Davor wurden Werte zwischen 1800 °C und 13.000.000 °C angegeben. Der untere Wert von 1800 °C wurde 1838 von Claude Pouillet (1790-1868) mit Hilfe des Dulong-Petit-Gesetzes ermittelt. Pouillet nahm auch nur die Hälfte des Wertes des korrekten Energieflusses der Sonne an. ⓘ

Temperatur von Sternen

Die Temperatur von anderen Sternen als der Sonne lässt sich auf ähnliche Weise annähern, indem man die abgestrahlte Energie als Strahlung eines schwarzen Körpers behandelt. So:

$L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}$ ⓘ

L ist die Leuchtkraft, σ ist die Stefan-Boltzmann-Konstante, R ist der Sternradius und T ist die effektive Temperatur. Diese Formel kann dann umgestellt werden, um die Temperatur zu berechnen:

$T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}$ ⓘ

oder alternativ den Radius:

$R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}$ ⓘ

Dieselben Formeln können auch vereinfacht werden, um die Parameter in Bezug auf die Sonne zu berechnen:

${\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}$ ⓘ

${\frac {T}{T_{\odot }}}=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}{\sqrt {\frac {R_{\odot }}{R}}}$ ⓘ

${\frac {R}{R_{\odot }}}=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}$ ⓘ

wobei $R_{\odot }$ der Sonnenradius ist und so weiter. Sie können auch in Form der Oberfläche A und der Strahlungsemission umgeschrieben werden $j^{\star }$:

$L=Aj^{\star }$ ⓘ

$j^{\star }={\frac {L}{A}}$ ⓘ

$A={\frac {L}{j^{\star }}}$ ⓘ

wobei $A=4\pi R^{2}$ und $j^{\star }=\sigma T^{4}.$ ⓘ

Mit dem Stefan-Boltzmann-Gesetz können Astronomen leicht auf die Radien von Sternen schließen. Das Gesetz findet sich auch in der Thermodynamik von Schwarzen Löchern in der so genannten Hawking-Strahlung wieder. ⓘ

Effektive Temperatur der Erde

In ähnlicher Weise lässt sich die effektive Temperatur der Erde T_⊕ berechnen, indem man die von der Sonne empfangene Energie mit der von der Erde abgestrahlten Energie gleichsetzt, und zwar nach der Schwarze-Körper-Näherung (wobei die eigene Energieproduktion der Erde so gering ist, dass sie vernachlässigt werden kann). Die Leuchtkraft der Sonne, L_⊙, ist gegeben durch:

$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}$ ⓘ

Auf der Erde fließt diese Energie durch eine Kugel mit dem Radius a₀, dem Abstand zwischen Erde und Sonne, und die Bestrahlungsstärke (empfangene Leistung pro Flächeneinheit) ist gegeben durch ⓘ

$E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}$ ⓘ

Die Erde hat einen Radius von R_⊕, und daher einen Querschnitt von $\pi R_{\oplus }^{2}$. Der von der Erde absorbierte Strahlungsfluss (d. h. die Sonnenleistung) ist somit gegeben durch:

$\Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }:$ ⓘ

Da das Stefan-Boltzmann-Gesetz eine vierte Potenz verwendet, wirkt es sich stabilisierend auf den Austausch aus, und der von der Erde emittierte Strahlungsfluss tendiert dazu, gleich dem absorbierten Strahlungsfluss zu sein, nahe dem stationären Zustand:

${\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}$ ⓘ

T_⊕ kann dann gefunden werden:

${\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}$ ⓘ

wobei T_⊙ die Temperatur der Sonne, R_⊙ der Radius der Sonne und a₀ der Abstand zwischen Erde und Sonne ist. Daraus ergibt sich eine effektive Temperatur von 6 °C auf der Erdoberfläche, wenn man davon ausgeht, dass die Erde die gesamte auf sie fallende Strahlung perfekt absorbiert und keine Atmosphäre besitzt. ⓘ

Die Erde hat eine Albedo von 0,3, was bedeutet, dass 30 % der auf den Planeten auftreffenden Sonnenstrahlung ohne Absorption in den Weltraum zurückgestreut wird. Die Auswirkung der Albedo auf die Temperatur lässt sich annähernd berechnen, indem man annimmt, dass die absorbierte Energie mit 0,7 multipliziert wird, der Planet aber immer noch wie ein schwarzer Körper strahlt (letzteres gemäß der Definition der effektiven Temperatur, die wir berechnen). Diese Annäherung reduziert die Temperatur um den Faktor 0,7^1/4 und ergibt 255 K (-18 °C). ⓘ

Die obige Temperatur ist die Temperatur der Erde aus dem Weltraum gesehen, nicht die Bodentemperatur, sondern ein Durchschnitt über alle emittierenden Körper der Erde von der Oberfläche bis in große Höhen. Aufgrund des Treibhauseffekts beträgt die tatsächliche durchschnittliche Oberflächentemperatur der Erde etwa 288 K (15 °C), was höher ist als die effektive Temperatur von 255 K und sogar höher als die Temperatur von 279 K, die ein schwarzer Körper haben würde. ⓘ

In der obigen Diskussion haben wir angenommen, dass die gesamte Erdoberfläche eine einheitliche Temperatur hat. Eine weitere interessante Frage ist, welche Temperatur ein Schwarzer Körper auf der Erde hätte, wenn er mit dem auf ihn fallenden Sonnenlicht ins Gleichgewicht käme. Dies hängt natürlich vom Winkel ab, in dem die Sonne auf die Oberfläche fällt, und davon, wie viel Luft das Sonnenlicht durchdrungen hat. Wenn die Sonne im Zenit steht und die Oberfläche horizontal ist, kann die Bestrahlungsstärke bis zu 1120 W/m² betragen. Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ergibt sich dann eine Temperatur von ⓘ

$T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}$ ⓘ

oder 102 °C. (Oberhalb der Atmosphäre ist das Ergebnis sogar noch höher: 394 K.) Man kann sich die Erdoberfläche so vorstellen, dass sie tagsüber "versucht", die Gleichgewichtstemperatur zu erreichen, aber durch die Atmosphäre abgekühlt wird, und dass sie nachts "versucht", das Gleichgewicht mit dem Sternen- und möglicherweise Mondlicht zu erreichen, aber durch die Atmosphäre erwärmt wird. ⓘ

Entstehung

Thermodynamische Herleitung der Energiedichte

Die Tatsache, dass die Energiedichte der Box, die Strahlung enthält, proportional ist zu $T^{4}$ ist, lässt sich mit Hilfe der Thermodynamik herleiten. Diese Ableitung verwendet die Beziehung zwischen dem Strahlungsdruck p und der inneren Energiedichte $u$eine Beziehung, die mit Hilfe der Form des elektromagnetischen Spannungs-Energie-Tensors gezeigt werden kann. Diese Beziehung lautet:

$p={\frac {u}{3}}.$ ⓘ

Aus der grundlegenden thermodynamischen Beziehung ⓘ

$dU=T\,dS-p\,dV,$ ⓘ

erhalten wir den folgenden Ausdruck, nachdem wir durch $dV$ und Festsetzung $T$ :

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.$ ⓘ

Die letzte Gleichheit ergibt sich aus der folgenden Maxwellschen Beziehung:

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.$ ⓘ

Aus der Definition der Energiedichte ergibt sich, dass ⓘ

$U=uV$ ⓘ

wobei die Energiedichte der Strahlung nur von der Temperatur abhängt, also ⓘ

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.$ ⓘ

Nun, die Gleichheit ⓘ

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,$ ⓘ

nach Substitution von $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.$ Unterdessen ist der Druck die Rate der Impulsänderung pro Flächeneinheit. Da der Impuls eines Photons gleich der Energie geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit ist, ⓘ

$u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},$

wobei der Faktor 1/3 aus der Projektion der Impulsübertragung auf die Normale zur Behälterwand stammt. ⓘ

Da die partielle Ableitung $\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}$ als eine Beziehung zwischen nur $u$ und $T$ ausgedrückt werden kann (wenn man sie auf einer Seite der Gleichheit isoliert), kann die partielle Ableitung durch die gewöhnliche Ableitung ersetzt werden. Nach Abtrennung der Differentiale wird die Gleichheit zu ⓘ

${\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},$ ⓘ

was unmittelbar zu $u=AT^{4}$führt, wobei $A$ als eine Integrationskonstante. ⓘ

Ableitung aus dem Planckschen Gesetz

Ableitung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes mit Hilfe des Planckschen Gesetzes. ⓘ

Das Gesetz kann abgeleitet werden, indem man eine kleine flache Oberfläche eines schwarzen Körpers betrachtet, die in eine Halbkugel ausstrahlt. Bei dieser Ableitung werden Kugelkoordinaten verwendet, wobei θ der Zenitwinkel und φ der Azimutwinkel ist; die kleine flache schwarze Körperoberfläche liegt in der xy-Ebene, wobei θ = ^π/₂. ⓘ

Die Intensität des von der Schwarzkörperoberfläche abgestrahlten Lichts ist durch das Plancksche Gesetz gegeben:

$$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.$$

wobei

• $I(\nu ,T)$ ist der Betrag der Leistung pro Flächeneinheit pro Raumwinkel pro Frequenzeinheit, der bei einer Frequenz $\nu$ von einem schwarzen Körper mit der Temperatur T emittiert wird.
• $h$ ist die Plancksche Konstante
• $c$ ist die Lichtgeschwindigkeit, und
• $k$ ist die Boltzmannsche Konstante. ⓘ

Die Größe $I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega$ ist die Leistung, die von einer Fläche A durch einen Raumwinkel dΩ im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν abgestrahlt wird. ⓘ

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt die pro Flächeneinheit des emittierenden Körpers abgestrahlte Leistung an,

$${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega$$

ⓘ

Man beachte, dass der Kosinus erscheint, weil schwarze Körper lambertianisch sind (d. h. sie gehorchen dem Lambertschen Kosinusgesetz), was bedeutet, dass die entlang der Kugel beobachtete Intensität der tatsächlichen Intensität mal dem Kosinus des Zenitwinkels entspricht. Um das Stefan-Boltzmann-Gesetz abzuleiten, muss man integrieren ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ über die Halbkugel und integrieren $\nu$ von 0 bis ∞. ⓘ

$${\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}$$

ⓘ

Dann setzen wir für I ein:

$${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu$$

ⓘ

Um dieses Integral auszuwerten, führen Sie eine Substitution durch, ⓘ

$${\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}$$

ⓘ

das ergibt:

$${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.$$

ⓘ

Das Integral auf der rechten Seite ist ein Standardintegral und hat viele Namen: Es ist ein Sonderfall des Bose-Einstein-Integrals, der Polylogarithmus oder die Riemannsche Zeta-Funktion $\zeta (s)$. Der Wert des Integrals ist $\Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}$ (wobei $\Gamma (s)$ ist die Gamma-Funktion), was zu dem Ergebnis führt, dass für eine perfekte Schwarzkörperoberfläche:

$$j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$$

ⓘ

Schließlich wurde in diesem Beweis zunächst nur eine kleine ebene Fläche betrachtet. Jede differenzierbare Oberfläche kann jedoch durch eine Ansammlung von kleinen ebenen Flächen angenähert werden. Solange die Geometrie der Oberfläche nicht dazu führt, dass der Schwarze Körper seine eigene Strahlung wieder absorbiert, ist die gesamte abgestrahlte Energie nur die Summe der von jeder Oberfläche abgestrahlten Energien; und der gesamte Oberflächenbereich ist nur die Summe der Bereiche jeder Oberfläche - dieses Gesetz gilt also auch für alle konvexen Schwarzen Körper, solange die Oberfläche überall die gleiche Temperatur hat. Das Gesetz gilt auch für die Strahlung von nicht konvexen Körpern, da die konvexe Hülle eines schwarzen Körpers so strahlt, als wäre sie selbst ein schwarzer Körper. ⓘ

Zur Herleitung geht man von der spektralen Strahlungsdichte eines Schwarzen Körpers aus und integriert diese sowohl über den gesamten Halbraum, in den das betrachtete Flächenelement abstrahlt, als auch über alle Frequenzen:

$M^{o}(T)=\int \limits _{\nu =0}^{\infty }\int \limits _{\text{Halbraum}}{\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}\,\cos \beta \,\sin \beta \,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \nu$

Gemäß dem Lambertschen Gesetz berücksichtigt dabei der Kosinusfaktor den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch die Winkel $\beta$ und $\varphi$ gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion $\cos \beta \,\mathrm {d} A$ der Fläche $\mathrm {d} A$ als effektive Strahlfläche auftritt. Der Term $\sin \beta \,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi$ ist ein Raumwinkelelement. ⓘ

Da der Schwarze Körper grundsätzlich ein diffuser Strahler und seine spektrale Strahldichte daher richtungsunabhängig ist, ergibt das Integral, ausgeführt über den Halbraum, den Wert $\pi$. Für die Integration über die Frequenzen ist

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

zu beachten. Integriert man die so erhaltene spezifische Ausstrahlung $M^{o}(T)$ noch über die abstrahlende Fläche, erhält man das Stefan-Boltzmann-Gesetz in der oben angegebenen Form. ⓘ

Hierbei ist $\zeta (\cdot )$ die Riemannsche Zetafunktion und $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion. Somit folgt für $n=1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\zeta (2)\cdot 1!={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

und daraus folgt für $n=2$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\zeta (3)\cdot 2!=2\cdot \zeta (3)\approx 2{,}40411.$

Diese Integrale werden z. B. durch geschickte Umformung oder mit Hilfe der Funktionentheorie gelöst. ⓘ

Energiedichte

Die Gesamtenergiedichte U kann in ähnlicher Weise berechnet werden, nur dass die Integration über die gesamte Kugel erfolgt und es keinen Kosinus gibt, so dass der Energiefluss (U c) durch die Geschwindigkeit c geteilt werden muss, um die Energiedichte U zu erhalten:

$$U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega$$

So wird ${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ ersetzt durch ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$ersetzt, was einen zusätzlichen Faktor von 4 ergibt. ⓘ

Also insgesamt:

$$U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}$$

ⓘ