Krümmung

Eine wandernde Wildtyp-Dictyostelium discoideum-Zelle, deren Begrenzung durch die Krümmung gefärbt ist. Maßstabsleiste: 5 µm. ⓘ

In der Mathematik ist die Krümmung eines von mehreren stark verwandten Konzepten in der Geometrie. Intuitiv ist die Krümmung der Betrag, um den eine Kurve von einer geraden Linie oder eine Oberfläche von einer Ebene abweicht. ⓘ

Das kanonische Beispiel für Kurven ist der Kreis, dessen Krümmung gleich dem Kehrwert seines Radius ist. Kleinere Kreise sind stärker gekrümmt und haben daher eine höhere Krümmung. Die Krümmung eines Punktes einer differenzierbaren Kurve ist die Krümmung ihres Umkehrkreises, d. h. des Kreises, der sich der Kurve in der Nähe dieses Punktes am besten annähert. Die Krümmung einer Geraden ist Null. Im Gegensatz zur Tangente, die eine Vektorgröße ist, ist die Krümmung in einem Punkt typischerweise eine skalare Größe, d. h. sie wird durch eine einzige reelle Zahl ausgedrückt. ⓘ

Für Oberflächen (und allgemeiner für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten), die in einen euklidischen Raum eingebettet sind, ist das Konzept der Krümmung komplexer, da es von der Wahl einer Richtung auf der Oberfläche oder Mannigfaltigkeit abhängt. Dies führt zu den Begriffen der maximalen Krümmung, der minimalen Krümmung und der mittleren Krümmung. ⓘ

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten (mit mindestens zwei Dimensionen), die nicht notwendigerweise in einen euklidischen Raum eingebettet sind, kann man die Krümmung intrinsisch definieren, d. h. ohne Bezugnahme auf einen externen Raum. Siehe Krümmung von Riemannschen Mannigfaltigkeiten für die Definition, die anhand der Länge der auf der Mannigfaltigkeit verfolgten Kurven erfolgt und unter Verwendung linearer Algebra durch den Riemannschen Krümmungstensor ausgedrückt wird. ⓘ

Aufbauend auf dem Krümmungsbegriff für Kurven lässt sich die Krümmung einer Fläche im dreidimensionalen Raum beschreiben, indem man die Krümmung von Kurven in dieser Fläche untersucht. Ein gewisser Teil der Krümmungsinformation einer Fläche, die gaußsche Krümmung, hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, d. h. von der ersten Fundamentalform (bzw. dem metrischen Tensor), die festlegt, wie die Bogenlänge von Kurven berechnet wird. ⓘ

Dieser intrinsische Krümmungsbegriff lässt sich verallgemeinern auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit einem metrischen Tensor. Auf solchen Mannigfaltigkeiten ist der Paralleltransport längs Kurven erklärt und die Krümmungsgrößen geben an, wie groß die Richtungsänderung von Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf ist. Eine Anwendung ist die Allgemeine Relativitätstheorie, welche Gravitation als eine Krümmung der Raumzeit beschreibt. Noch allgemeiner lässt sich dieser Begriff auf Hauptfaserbündel mit Zusammenhang übertragen. Diese finden Anwendung in der Eichtheorie, in welcher die Krümmungsgrößen die Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen (z. B. des elektromagnetischen Feldes) beschreiben. ⓘ

Geschichte

Im Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum führt der Philosoph und Mathematiker Nicole Oresme im 14. Jahrhundert das Konzept der Krümmung als Maß für die Abweichung von der Geradlinigkeit ein; für Kreise ist die Krümmung umgekehrt proportional zum Radius, und er versucht, diese Idee als kontinuierlich variierende Größe auf andere Kurven auszudehnen. ⓘ

Die Krümmung einer differenzierbaren Kurve wurde ursprünglich durch oskulierende Kreise definiert. In diesem Zusammenhang zeigte Augustin-Louis Cauchy, dass der Mittelpunkt der Krümmung der Schnittpunkt zweier unendlich enger Normalen der Kurve ist. ⓘ

Flache Kurven

Intuitiv beschreibt die Krümmung für einen beliebigen Teil einer Kurve, wie sehr sich die Richtung der Kurve über eine kleine zurückgelegte Strecke (z. B. Winkel in rad/m) ändert, sie ist also ein Maß für die momentane Geschwindigkeit der Richtungsänderung eines Punktes, der sich auf der Kurve bewegt: je größer die Krümmung, desto größer diese Änderungsgeschwindigkeit. Mit anderen Worten, die Krümmung misst, wie schnell sich der Einheits-Tangentenvektor der Kurve dreht (schnell in Bezug auf die Position der Kurve). Es lässt sich sogar beweisen, dass diese momentane Änderungsrate genau der Krümmung entspricht. Genauer gesagt, nehmen wir an, dass sich der Punkt auf der Kurve mit einer konstanten Geschwindigkeit von einer Einheit bewegt, d. h. die Position des Punktes P(s) ist eine Funktion des Parameters s, der als Zeit oder als Bogenlänge von einem gegebenen Ursprung aus gedacht werden kann. T(s) sei ein Einheitstangentenvektor der Kurve bei P(s), der auch die Ableitung von P(s) nach s ist. Die Ableitung von T(s) nach s ist dann ein Vektor, der normal zur Kurve ist und dessen Länge die Krümmung ist. ⓘ

Damit die Definition der Krümmung und ihre verschiedenen Charakterisierungen sinnvoll sind, muss die Kurve in der Nähe von P kontinuierlich differenzierbar sein, da sie eine Tangente hat, die kontinuierlich variiert; außerdem muss die Kurve bei P zweimal differenzierbar sein, um die Existenz der beteiligten Grenzwerte und der Ableitung von T(s) zu gewährleisten. ⓘ

Die Charakterisierung der Krümmung in Form der Ableitung des Einheitstangentenvektors ist wahrscheinlich weniger intuitiv als die Definition in Form des Oszillationskreises, aber die Formeln zur Berechnung der Krümmung sind einfacher abzuleiten. Deshalb und auch wegen ihrer Verwendung in der Kinematik wird diese Charakterisierung oft als Definition der Krümmung angegeben. ⓘ

Schwingungsfähiger Kreis

Historisch gesehen wurde die Krümmung einer differenzierbaren Kurve durch den Schwingkreis definiert, d. h. den Kreis, der die Kurve in einem Punkt am besten annähert. Genauer gesagt: Bei einem Punkt P auf einer Kurve definiert jeder andere Punkt Q der Kurve einen Kreis (oder manchmal eine Linie), der durch Q verläuft und die Kurve bei P tangiert. Der Schwingkreis ist der Grenzwert dieses Kreises, wenn er existiert, wenn Q zu P tendiert. Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius. Das heißt, die Krümmung ist ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei R der Krümmungsradius ist (der ganze Kreis hat diese Krümmung, sie kann als Drehung 2π über die Länge 2πR gelesen werden). ⓘ

Diese Definition ist schwer zu handhaben und in Formeln auszudrücken. Daher wurden andere gleichwertige Definitionen eingeführt. ⓘ

In Bezug auf die Bogenlängenparametrisierung

Jede differenzierbare Kurve kann in Bezug auf die Bogenlänge parametrisiert werden. Im Falle einer ebenen Kurve bedeutet dies die Existenz einer Parametrisierung γ(s) = (x(s), y(s)), wobei x und y reellwertige differenzierbare Funktionen sind, deren Ableitungen folgende Bedingungen erfüllen ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Dies bedeutet, dass der Tangentenvektor ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

eine Norm gleich eins hat und somit ein Einheitstangentenvektor ist. ⓘ

Wenn die Kurve doppelt differenzierbar ist, d. h. wenn die zweiten Ableitungen von x und y existieren, dann existiert die Ableitung von T(s). Dieser Vektor ist normal zur Kurve, seine Norm ist die Krümmung κ(s), und er ist auf den Krümmungsmittelpunkt ausgerichtet. Das heißt, ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Da außerdem der Krümmungsradius ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

ist und der Krümmungsmittelpunkt auf der Normalen zur Kurve liegt, ist der Krümmungsmittelpunkt der Punkt ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Wenn N(s) der Einheitsnormalenvektor ist, der sich aus T(s) durch eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um π/2 ergibt, dann ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

mit k(s) = ± κ(s). Die reelle Zahl k(s) wird als orientierte Krümmung oder vorzeichenbehaftete Krümmung bezeichnet. Sie hängt sowohl von der Orientierung der Ebene (Definition des Gegenuhrzeigersinns) als auch von der Orientierung der Kurve ab, die durch die Parametrisierung gegeben ist. Die Änderung der Variablen s → -s liefert eine andere Parametrisierung der Bogenlänge und ändert das Vorzeichen von k(s). ⓘ

In Bezug auf eine allgemeine Parametrisierung

Sei γ(t) = (x(t), y(t)) eine geeignete parametrische Darstellung einer doppelt differenzierbaren ebenen Kurve. Eigenständig bedeutet hier, dass auf dem Definitionsbereich der Parametrisierung die Ableitung dγ/dt definiert und differenzierbar ist und nirgendwo gleich dem Nullvektor ist. ⓘ

Mit einer solchen Parametrisierung ist die vorzeichenbehaftete Krümmung ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei die Primzahlen die Ableitungen nach t bezeichnen. Die Krümmung κ ist somit ⓘ

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Diese können koordinatenfrei ausgedrückt werden als ⓘ

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Diese Formeln lassen sich aus dem Spezialfall der Bogenlängenparametrisierung wie folgt ableiten. Die obige Bedingung für die Parametrisierung impliziert, dass die Bogenlänge s eine differenzierbare monotone Funktion des Parameters t ist, und umgekehrt, dass t eine monotone Funktion von s ist. Außerdem kann man annehmen, dass diese Funktionen ansteigend sind und eine positive Ableitung haben, indem man bei Bedarf s in -s ändert. Unter Verwendung der Notation des vorangegangenen Abschnitts und der Kettenregel erhält man ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

und somit, indem man die Norm beider Seiten nimmt ⓘ

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wobei die Primzahl die Differenzierung nach t angibt. ⓘ

Die Krümmung ist die Norm der Ableitung von T nach s. Mit Hilfe der obigen Formel und der Kettenregel können diese Ableitung und ihre Norm nur in Form von γ′ und γ″ ausgedrückt werden, wobei der Parameter s für die Bogenlänge vollständig eliminiert wird, so dass sich die obigen Formeln für die Krümmung ergeben. ⓘ

Graph einer Funktion

Der Graph einer Funktion y = f(x), ist ein Spezialfall einer parametrisierten Kurve der Form ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Da die erste und zweite Ableitung von x 1 und 0 ist, vereinfachen sich die obigen Formeln zu ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

für die Krümmung, und zu ⓘ

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für die vorzeichenbehaftete Krümmung. ⓘ

Im allgemeinen Fall einer Kurve ist das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung etwas willkürlich, da es von der Ausrichtung der Kurve abhängt. Im Fall des Graphen einer Funktion gibt es eine natürliche Orientierung durch zunehmende Werte von x. Dies macht das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung signifikant. ⓘ

Das Vorzeichen der vorzeichenbehafteten Krümmung ist dasselbe wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung von f. Ist es positiv, so ist der Graph nach oben konkav, ist es negativ, so ist der Graph nach unten konkav. Ist sie gleich Null, so liegt ein Wendepunkt oder ein Wellenpunkt vor. ⓘ

Wenn die Steigung des Graphen (d. h. die Ableitung der Funktion) klein ist, wird die vorzeichenbehaftete Krümmung durch die zweite Ableitung gut angenähert. Genauer gesagt, unter Verwendung der Big-O-Notation, hat man ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

In der Physik und im Ingenieurwesen ist es üblich, die Krümmung durch die zweite Ableitung zu approximieren, z. B. in der Balkentheorie oder bei der Ableitung der Wellengleichung einer gespannten Saite und anderen Anwendungen, bei denen kleine Steigungen eine Rolle spielen. Auf diese Weise können Systeme, die ansonsten nicht linear sind, oft als linear betrachtet werden. ⓘ

Polarkoordinaten

Wenn eine Kurve in Polarkoordinaten durch den Radius als Funktion des Polarwinkels definiert ist, d. h. r ist eine Funktion von θ, dann ist ihre Krümmung ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei sich die Primzahl auf die Differenzierung in Bezug auf θ bezieht. ⓘ

Dies ergibt sich aus der Formel für allgemeine Parametrisierungen, wenn man die Parametrisierung betrachtet ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Implizite Kurve

Für eine Kurve, die durch eine implizite Gleichung F(x, y) = 0 mit partiellen Ableitungen F_x, Fy, F_xx, F_xy, F_yy, ist die Krümmung gegeben durch ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Die vorzeichenbehaftete Krümmung ist nicht definiert, da sie von einer Orientierung der Kurve abhängt, die nicht durch die implizite Gleichung gegeben ist. Auch die Umwandlung von F in -F ändert nicht die Kurve, sondern das Vorzeichen des Zählers, wenn der Absolutwert in der vorangegangenen Formel weggelassen wird. ⓘ

Ein Punkt der Kurve, in dem F_x = F_y = 0 ist, ist ein singulärer Punkt, was bedeutet, dass die Kurve an diesem Punkt nicht differenzierbar ist und somit die Krümmung nicht definiert ist (meistens ist der Punkt entweder ein Kreuzungspunkt oder ein Scheitelpunkt). ⓘ

Die obige Formel für die Krümmung lässt sich aus dem Ausdruck für die Krümmung des Graphen einer Funktion ableiten, indem man den Satz über die implizite Funktion und die Tatsache verwendet, dass man auf einer solchen Kurve Folgendes hat ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Beispiele

Es kann nützlich sein, an einfachen Beispielen zu überprüfen, ob die verschiedenen Formeln aus den vorangegangenen Abschnitten das gleiche Ergebnis liefern. ⓘ

Kreis

Eine gängige Parametrisierung eines Kreises mit dem Radius r ist γ(t) = (r cos t, r sin t). Die Formel für die Krümmung ergibt ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Daraus folgt erwartungsgemäß, dass der Krümmungsradius der Radius des Kreises ist und dass der Krümmungsmittelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist. ⓘ

Der Kreis ist ein seltener Fall, in dem die Bogenlängenparametrisierung einfach zu berechnen ist, denn sie lautet ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Es handelt sich um eine Bogenlängen-Parametrisierung, da die Norm von ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

gleich eins ist. Diese Parametrisierung ergibt den gleichen Wert für die Krümmung, da sie sowohl im Zähler als auch im Nenner der vorangegangenen Formel auf die Division durch r³ hinausläuft. ⓘ

Der gleiche Kreis kann auch durch die implizite Gleichung F(x, y) = 0 mit F(x, y) = x² + y² - r² definiert werden. Dann lautet die Formel für die Krümmung in diesem Fall ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Parabel

Betrachten wir die Parabel y = ax² + bx + c. ⓘ

Sie ist der Graph einer Funktion mit der Ableitung 2ax + b und der zweiten Ableitung 2a. Die vorzeichenbehaftete Krümmung ist also ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Sie hat für alle Werte von x das Vorzeichen a. Das bedeutet, dass die Konkavität überall nach oben gerichtet ist, wenn a > 0 ist; wenn a < 0 ist, ist die Konkavität nach unten gerichtet; für a = 0 ist die Krümmung überall Null, was bestätigt, dass die Parabel in diesem Fall zu einer Geraden degeneriert. ⓘ

Die (vorzeichenlose) Krümmung ist maximal für x = -b/2a, d. h. im stationären Punkt (Nullableitung) der Funktion, dem Scheitelpunkt der Parabel. ⓘ

Betrachten wir die Parametrisierung γ(t) = (t, at² + bt + c) = (x, y). Die erste Ableitung von x ist 1, die zweite Ableitung ist Null. Das Einsetzen in die Formel für allgemeine Parametrisierungen ergibt genau dasselbe Ergebnis wie oben, wobei x durch t ersetzt wird. ⓘ

Die gleiche Parabel kann auch durch die implizite Gleichung F(x, y) = 0 mit F(x, y) = ax² + bx + c - y definiert werden. Da Fy = -1 und F_yy = F_xy = 0 ist, erhält man genau den gleichen Wert für die (vorzeichenlose) Krümmung. Die Krümmung mit Vorzeichen ist hier jedoch bedeutungslos, da -F(x, y) = 0 eine gültige implizite Gleichung für dieselbe Parabel ist, die das entgegengesetzte Vorzeichen für die Krümmung liefert. ⓘ

Frenet-Serret-Formeln für ebene Kurven

Die Vektoren T und N an zwei Punkten auf einer ebenen Kurve, eine übersetzte Version des zweiten Rahmens (gestrichelt) und δT die Änderung von T. Dabei ist δs der Abstand zwischen den Punkten. Im Grenzfall liegt dT/ds in der Richtung N. Die Krümmung beschreibt die Rotationsgeschwindigkeit des Rahmens. ⓘ

Der Ausdruck der Krümmung in Form der Bogenlängenparametrisierung ist im Wesentlichen die erste Frenet-Serret-Formel ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei sich die Primzahlen auf die Ableitungen nach der Bogenlänge s beziehen und N(s) der Normaleneinheitsvektor in Richtung von T′(s) ist. ⓘ

Da ebene Kurven keine Torsion haben, liefert die zweite Frenet-Serret-Formel die Beziehung ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Für eine allgemeine Parametrisierung durch einen Parameter t benötigt man Ausdrücke mit Ableitungen nach t. Da diese durch Multiplikation der Ableitungen nach s mit ds/dt erhalten werden, erhält man für jede geeignete Parametrisierung ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Raumkurven

Animation der Krümmung und des Beschleunigungsvektors T′(s) ⓘ

Wie bei Kurven in zwei Dimensionen ist die Krümmung einer regelmäßigen Raumkurve C in drei Dimensionen (und höher) der Betrag der Beschleunigung eines Teilchens, das sich mit Einheitsgeschwindigkeit entlang einer Kurve bewegt. Wenn also γ(s) die Bogenlängenparametrisierung von C ist, dann ist der Einheitstangentenvektor T(s) gegeben durch ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

und die Krümmung ist der Betrag der Beschleunigung:

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Richtung der Beschleunigung ist der Einheitsnormalvektor N(s), der definiert ist durch ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Ebene, die die beiden Vektoren T(s) und N(s) enthält, ist die Oszillationsebene der Kurve bei γ(s). Die Krümmung hat die folgende geometrische Interpretation. Es gibt einen Kreis in der Oszillationsebene, der γ(s) tangiert und dessen Taylorreihe zweiter Ordnung im Berührungspunkt mit der von γ(s) übereinstimmt. Dies ist der Oszillationskreis der Kurve. Der Radius des Kreises R(s) wird Krümmungsradius genannt, und die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius:

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Tangente, die Krümmung und der Normalenvektor beschreiben zusammen das Verhalten einer Kurve zweiter Ordnung in der Nähe eines Punktes. In drei Dimensionen wird das Verhalten einer Kurve dritter Ordnung durch den verwandten Begriff der Torsion beschrieben, der das Ausmaß misst, in dem eine Kurve dazu neigt, sich als spiralförmige Bahn im Raum zu bewegen. Torsion und Krümmung sind durch die Frenet-Serret-Formeln (in drei Dimensionen) und ihre Verallgemeinerung (in höheren Dimensionen) miteinander verbunden. ⓘ

Allgemeine Ausdrücke

Für eine parametrisch definierte Raumkurve in drei Dimensionen, die in kartesischen Koordinaten durch γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) gegeben ist, beträgt die Krümmung ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei die Primzahl die Differenzierung nach dem Parameter t bezeichnet. Dies kann unabhängig vom Koordinatensystem durch die Formel ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei × das Vektor-Kreuzprodukt bezeichnet. Diese letzte Formel gilt für die Krümmung von Kurven in einem euklidischen Raum beliebiger Dimension:

${\displaystyle }$ ⓘ

Krümmung aus Bogen- und Sehnenlänge

Bei zwei Punkten P und Q auf C sei s(P,Q) die Bogenlänge des Kurvenabschnitts zwischen P und Q und d(P,Q) die Länge des Linienabschnitts von P nach Q. Die Krümmung von C in P sei gegeben durch den Grenzwert ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei der Grenzwert für die Annäherung des Punktes Q an P auf C gilt. Der Nenner kann ebenso gut als d(P,Q)³ aufgefasst werden. Die Formel ist in jeder Dimension gültig. Da der Grenzwert auf beiden Seiten von P unabhängig voneinander betrachtet wird, kann diese Definition der Krümmung manchmal eine Singularität bei P berücksichtigen. Die Formel folgt, indem sie für den oskulierenden Kreis überprüft wird. ⓘ

Flächen

Die Krümmung von Kurven, die auf einer Fläche gezeichnet werden, ist das wichtigste Instrument zur Definition und Untersuchung der Krümmung der Fläche. ⓘ

Kurven auf Oberflächen

Für eine auf einer Fläche (eingebettet in den dreidimensionalen euklidischen Raum) gezeichnete Kurve sind mehrere Krümmungen definiert, die die Richtung der Krümmung mit dem Einheitsnormalvektor der Fläche in Beziehung setzen, darunter die:

• Normalkrümmung
• geodätische Krümmung
• geodätische Torsion ⓘ

Bei jeder nicht-singulären Kurve auf einer glatten Oberfläche liegt der Tangentenvektor T in der Tangentialebene der Oberfläche. Die normale Krümmung kn ist die Krümmung der Kurve, die auf die Ebene projiziert wird, die die Kurventangente T und die Oberflächennormale u enthält; die geodätische Krümmung kg ist die Krümmung der Kurve, die auf die Tangentialebene der Oberfläche projiziert wird; und die geodätische Torsion (oder relative Torsion) τr misst die Änderungsrate der Oberflächennormalen um die Kurventangente. ⓘ

Die Kurve sei bogenlängenparametrisiert, und t = u × T, so dass T, t, u eine orthonormale Basis bilden, die Darboux-Rahmen genannt wird. Die oben genannten Größen sind miteinander verbunden durch:

${\displaystyle }$ ⓘ

Prinzipielle Krümmung

Sattelfläche mit Normalebenen in den Richtungen der Hauptkrümmungen ⓘ

Alle Kurven auf der Oberfläche mit demselben Tangentenvektor in einem bestimmten Punkt haben dieselbe Normalkrümmung, die der Krümmung der Kurve entspricht, die man erhält, wenn man die Oberfläche mit der Ebene schneidet, die T und u enthält. Nimmt man alle möglichen Tangentenvektoren, so werden die Maximal- und Minimalwerte der Normalkrümmung in einem Punkt als Hauptkrümmungen k₁ und k₂ bezeichnet, und die Richtungen der entsprechenden Tangentenvektoren werden als Hauptnormalenrichtungen bezeichnet. ⓘ

Normale Schnitte

Die Krümmung kann entlang von Flächennormalen ausgewertet werden, ähnlich wie bei § Krümmungen auf Flächen oben (siehe z. B. den Krümmungsradius der Erde). ⓘ

Abwickelbare Flächen

Einige gekrümmte Flächen, z. B. solche aus einem glatten Blatt Papier, können in die Ebene abgeflacht werden, ohne dass die ihnen innewohnenden Eigenschaften in irgendeiner Weise verzerrt werden. Solche abwickelbaren Flächen haben eine Gaußsche Krümmung von Null (siehe unten). ⓘ

Gaußsche Krümmung

Im Gegensatz zu Kurven, die keine intrinsische Krümmung, aber eine extrinsische Krümmung haben (sie haben nur bei einer Einbettung eine Krümmung), können Flächen eine intrinsische Krümmung haben, unabhängig von einer Einbettung. Die Gaußsche Krümmung, benannt nach Carl Friedrich Gauß, ist gleich dem Produkt der Hauptkrümmungen, k₁k₂. Sie hat eine Dimension der Länge 2 und ist positiv für Kugeln, negativ für einflächige Hyperboloide und null für Ebenen und Zylinder. Sie bestimmt, ob eine Oberfläche lokal konvex (wenn sie positiv ist) oder lokal sattelförmig (wenn sie negativ ist) ist. ⓘ

Die Gaußsche Krümmung ist eine intrinsische Eigenschaft der Oberfläche, d. h. sie hängt nicht von der jeweiligen Einbettung der Oberfläche ab; intuitiv bedeutet dies, dass auf der Oberfläche lebende Ameisen die Gaußsche Krümmung bestimmen könnten. Eine Ameise, die auf einer Kugel lebt, könnte zum Beispiel die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks messen und feststellen, dass sie größer als 180 Grad ist, was bedeutet, dass der von ihr bewohnte Raum eine positive Krümmung aufweist. Eine Ameise, die auf einem Zylinder lebt, würde dagegen keine derartige Abweichung von der euklidischen Geometrie feststellen; insbesondere könnte die Ameise nicht erkennen, dass die beiden Oberflächen unterschiedliche mittlere Krümmungen haben (siehe unten), was eine rein extrinsische Art der Krümmung ist. ⓘ

Formal hängt die Gaußsche Krümmung nur von der Riemannschen Metrik der Oberfläche ab. Dies ist das berühmte Theorema Egregium von Gauß, das er fand, als er sich mit geografischen Vermessungen und der Erstellung von Karten beschäftigte. ⓘ

Eine Definition der Gauß'schen Krümmung an einem Punkt P ist die folgende: Stellen Sie sich eine Ameise vor, die mit einem kurzen Faden der Länge r an P angebunden ist. Sie läuft um P herum, während der Faden vollständig gespannt ist, und misst die Länge C(r) einer vollständigen Umrundung von P. Wäre die Oberfläche flach, würde die Ameise C(r) = 2πr finden. Bei gekrümmten Oberflächen ist die Formel für C(r) anders, und die Gaußsche Krümmung K am Punkt P kann mit dem Satz von Bertrand-Diguet-Puiseux wie folgt berechnet werden ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Das Integral der Gauß'schen Krümmung über die gesamte Oberfläche ist eng mit der Euler-Charakteristik der Oberfläche verbunden; siehe den Satz von Gauß-Bonnet. ⓘ

Das diskrete Analogon der Krümmung, das der Konzentration der Krümmung auf einen Punkt entspricht und besonders für Polyeder nützlich ist, ist der (Winkel-)Defekt; das Analogon für den Satz von Gauß-Bonnet ist der Satz von Descartes über den gesamten Winkelfehler. ⓘ

Da die (Gaußsche) Krümmung ohne Bezug auf einen Einbettungsraum definiert werden kann, ist es nicht erforderlich, dass eine Oberfläche in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, um gekrümmt zu sein. Eine solche intrinsisch gekrümmte zweidimensionale Oberfläche ist ein einfaches Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. ⓘ

Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist ein extrinsisches Krümmungsmaß, das der Hälfte der Summe der Hauptkrümmungen, k₁ + k₂/2, entspricht. Sie hat eine Dimension von Länge-1. Die mittlere Krümmung steht in engem Zusammenhang mit der ersten Variation des Oberflächenbereichs. Insbesondere hat eine minimale Oberfläche wie ein Seifenfilm eine mittlere Krümmung von Null und eine Seifenblase eine konstante mittlere Krümmung. Im Gegensatz zur Gauß-Krümmung ist die mittlere Krümmung extrinsisch und hängt von der Einbettung ab. So sind beispielsweise ein Zylinder und eine Ebene lokal isometrisch, aber die mittlere Krümmung einer Ebene ist Null, während die eines Zylinders ungleich Null ist. ⓘ

Zweite Grundform

Die intrinsische und die extrinsische Krümmung einer Oberfläche lassen sich in der zweiten Grundform zusammenfassen. Dabei handelt es sich um eine quadratische Form in der Tangentialebene an die Oberfläche in einem Punkt, deren Wert in einem bestimmten Tangentenvektor X an die Oberfläche die Normalkomponente der Beschleunigung einer Kurve entlang der Oberfläche tangential zu X ist, d. h. die Normalkrümmung einer Kurve tangential zu X (siehe oben). Symbolisch, ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei N die Einheitsnormale zur Oberfläche ist. Für Einheitstangentenvektoren X nimmt die zweite Grundform den Maximalwert k₁ und den Minimalwert k₂ an, die in den Hauptrichtungen u₁ bzw. u₂ auftreten. Nach dem Hauptachsentheorem ist die zweite Grundform also ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Somit kodiert die zweite Grundform sowohl die intrinsischen als auch die extrinsischen Krümmungen. ⓘ

Form-Operator

Eine Verkapselung der Oberflächenkrümmung kann im Formoperator S gefunden werden, der ein selbstadjungierter linearer Operator von der Tangentialebene zu sich selbst ist (genauer gesagt, das Differential der Gauß-Abbildung). ⓘ

Für eine Fläche mit Tangentenvektoren X und Normalen N kann der Formoperator kompakt in Indexsummationsnotation ausgedrückt werden als ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

(Vergleiche den alternativen Ausdruck der Krümmung für eine ebene Kurve). ⓘ

Die Weingarten-Gleichungen geben den Wert von S in Form der Koeffizienten der ersten und zweiten Grundform an als ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Hauptkrümmungen sind die Eigenwerte des Formoperators, die Hauptkrümmungsrichtungen sind seine Eigenvektoren, die Gauß-Krümmung ist seine Determinante, und die mittlere Krümmung ist die Hälfte seiner Spur. ⓘ

Krümmung des Raums

In Erweiterung des ersten Arguments kann ein dreidimensionaler oder mehrdimensionaler Raum inhärent gekrümmt sein. Die Krümmung ist in dem Sinne intrinsisch, dass sie eine Eigenschaft ist, die an jedem Punkt des Raums definiert ist, und nicht eine Eigenschaft, die in Bezug auf einen größeren Raum definiert ist, der ihn enthält. Im Allgemeinen kann ein gekrümmter Raum als in einen höherdimensionalen Umgebungsraum eingebettet betrachtet werden oder auch nicht; wenn nicht, kann seine Krümmung nur intrinsisch definiert werden. ⓘ

Nach der Entdeckung der intrinsischen Definition der Krümmung, die eng mit der nichteuklidischen Geometrie zusammenhängt, stellten sich viele Mathematiker und Wissenschaftler die Frage, ob der gewöhnliche physikalische Raum gekrümmt sein könnte, obwohl der Erfolg der euklidischen Geometrie bis zu diesem Zeitpunkt bedeutete, dass der Krümmungsradius astronomisch groß sein musste. In der allgemeinen Relativitätstheorie, die die Schwerkraft und die Kosmologie beschreibt, wird die Idee leicht verallgemeinert auf die "Krümmung der Raumzeit"; in der Relativitätstheorie ist die Raumzeit eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sobald eine Zeitkoordinate definiert ist, ist der dreidimensionale Raum, der einer bestimmten Zeit entspricht, im Allgemeinen eine gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeit; da die Wahl der Zeitkoordinate jedoch weitgehend willkürlich ist, ist die zugrunde liegende Krümmung der Raumzeit von physikalischer Bedeutung. ⓘ

Obwohl ein willkürlich gekrümmter Raum sehr komplex zu beschreiben ist, wird die Krümmung eines lokal isotropen und homogenen Raums wie bei einer Oberfläche durch eine einzige Gaußsche Krümmung beschrieben; mathematisch gesehen sind dies starke Bedingungen, aber sie entsprechen vernünftigen physikalischen Annahmen (alle Punkte und alle Richtungen sind ununterscheidbar). Eine positive Krümmung entspricht dem inversen quadratischen Radius der Krümmung; ein Beispiel ist eine Kugel oder Hypersphäre. Ein Beispiel für einen negativ gekrümmten Raum ist die hyperbolische Geometrie. Ein Raum oder eine Raumzeit mit null Krümmung wird als flach bezeichnet. Der euklidische Raum ist ein Beispiel für einen flachen Raum, und der Minkowski-Raum ist ein Beispiel für eine flache Raumzeit. Es gibt jedoch auch andere Beispiele für flache Geometrien in beiden Bereichen. Ein Torus oder ein Zylinder können beide mit flachen Metriken versehen werden, unterscheiden sich aber in ihrer Topologie. Für einen gekrümmten Raum sind auch andere Topologien möglich. Siehe auch Form des Universums. ⓘ

Eine Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert ${\displaystyle }$, den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt. ⓘ

Verallgemeinerungen

Der Paralleltransport eines Vektors von A → N → B → A führt zu einem anderen Vektor. Diese Nichtrückkehr zum Ausgangsvektor wird durch die Holonomie der Oberfläche gemessen. ⓘ

Der mathematische Begriff der Krümmung wird auch in viel allgemeineren Zusammenhängen definiert. Viele dieser Verallgemeinerungen betonen verschiedene Aspekte der Krümmung, wie sie in niedrigeren Dimensionen verstanden wird. ⓘ

Eine dieser Verallgemeinerungen ist die kinematische. Die Krümmung einer Kurve kann natürlich als eine kinematische Größe betrachtet werden, die die Kraft repräsentiert, die ein bestimmter Beobachter spürt, der sich entlang der Kurve bewegt; analog dazu kann die Krümmung in höheren Dimensionen als eine Art Gezeitenkraft betrachtet werden (dies ist eine Möglichkeit, die Krümmung im Querschnitt zu betrachten). Diese Verallgemeinerung der Krümmung hängt davon ab, wie nahe gelegene Testteilchen divergieren oder konvergieren, wenn sie sich frei im Raum bewegen können; siehe Jacobi-Feld. ⓘ

Eine weitere umfassende Verallgemeinerung der Krümmung stammt aus der Untersuchung des Paralleltransports auf einer Oberfläche. Wird beispielsweise ein Vektor um eine Schleife auf der Oberfläche einer Kugel bewegt, wobei er während der gesamten Bewegung parallel bleibt, dann ist die Endposition des Vektors möglicherweise nicht dieselbe wie die Anfangsposition des Vektors. Dieses Phänomen ist als Holonomie bekannt. Verschiedene Verallgemeinerungen fassen diese Idee der Krümmung als Maß für die Holonomie in abstrakter Form zusammen; siehe Krümmungsform. Ein eng verwandter Begriff der Krümmung stammt aus der Eichtheorie in der Physik, wo die Krümmung ein Feld darstellt und ein Vektorpotential für das Feld eine Größe ist, die im Allgemeinen pfadabhängig ist: Sie kann sich ändern, wenn ein Beobachter sich um eine Schleife bewegt. ⓘ

Zwei weitere Verallgemeinerungen der Krümmung sind die Skalarkrümmung und die Ricci-Krümmung. Auf einer gekrümmten Oberfläche wie der Kugel unterscheidet sich die Fläche einer Scheibe auf der Oberfläche von der Fläche einer Scheibe mit demselben Radius im flachen Raum. Dieser Unterschied wird (in einem geeigneten Grenzwert) durch die skalare Krümmung gemessen. Der Unterschied in der Fläche eines Sektors der Scheibe wird durch die Ricci-Krümmung gemessen. Die Skalarkrümmung und die Ricci-Krümmung sind in drei und mehr Dimensionen jeweils auf analoge Weise definiert. Sie sind besonders wichtig in der Relativitätstheorie, wo sie beide auf der Seite der Einsteinschen Feldgleichungen erscheinen, die die Geometrie der Raumzeit darstellt (die andere Seite steht für die Anwesenheit von Materie und Energie). Diese Verallgemeinerungen der Krümmung liegen z. B. der Vorstellung zugrunde, dass die Krümmung eine Eigenschaft eines Maßes sein kann; siehe Krümmung eines Maßes. ⓘ

Eine andere Verallgemeinerung der Krümmung beruht auf der Möglichkeit, einen gekrümmten Raum mit einem anderen Raum zu vergleichen, der eine konstante Krümmung aufweist. Oft wird dies mit Dreiecken in den Räumen gemacht. Der Begriff des Dreiecks macht in metrischen Räumen Sinn, und dies führt zu CAT(k)-Räumen. ⓘ

Anwendung in der Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt werde. ⓘ