Gütefaktor

Eine gedämpfte Schwingung. Ein niedriger Q-Faktor - hier etwa 5 - bedeutet, dass die Schwingung schnell abklingt. ⓘ

In der Physik und Technik ist der Qualitätsfaktor oder Q-Faktor ein dimensionsloser Parameter, der beschreibt, wie wenig gedämpft ein Oszillator oder Resonator ist. Er ist definiert als das Verhältnis zwischen der im Resonator gespeicherten Anfangsenergie und der in einem Radiant des Schwingungszyklus verlorenen Energie. Der Q-Faktor wird alternativ definiert als das Verhältnis zwischen der Mittenfrequenz eines Resonators und seiner Bandbreite, wenn er einer schwingenden Antriebskraft ausgesetzt ist. Diese beiden Definitionen liefern numerisch ähnliche, aber nicht identische Ergebnisse. Je höher Q ist, desto geringer ist der Energieverlust und desto langsamer klingen die Schwingungen ab. Ein Pendel, das an einem hochwertigen Lager aufgehängt ist und in Luft schwingt, hat einen hohen Q-Wert, während ein Pendel, das in Öl eingetaucht ist, einen niedrigen Q-Wert aufweist. Resonatoren mit hohen Gütefaktoren haben eine geringe Dämpfung, so dass sie länger schwingen oder vibrieren. ⓘ

Der Gütefaktor, auch Güte, Kreisgüte, Filtergüte, Schwingkreisgüte, Resonanzschärfe oder Q-Faktor genannt, ist in der Technik ein Maß für die Dämpfung bzw. den Energieverlust eines zu Schwingungen fähigen Systems (z. B. eines Schwingkreises). Eine hohe Güte eines Systems besagt, dass das System schwach gedämpft ist. ⓘ

In einer zweiten Bedeutung ist der Gütefaktor ein Kennzeichen für den Energieverlust eines zweipoligen elektrischen Bauelementes oder Netzwerks. ⓘ

Der Kehrwert des Gütefaktors heißt in beiden Bedeutungen Verlustfaktor. ⓘ

Erläuterung

Der Gütefaktor ist ein Parameter, der das Resonanzverhalten eines unterdämpften harmonischen Oszillators (Resonators) beschreibt. Sinusförmig betriebene Resonatoren mit höheren Q-Faktoren schwingen mit größeren Amplituden (bei der Resonanzfrequenz), haben aber einen kleineren Frequenzbereich um diese Frequenz herum, in dem sie schwingen; der Frequenzbereich, in dem der Oszillator schwingt, wird als Bandbreite bezeichnet. Ein hochqualitativer Schwingkreis in einem Radioempfänger wäre also schwieriger abzustimmen, hätte aber eine höhere Selektivität, d. h. er würde Signale von anderen Sendern, die im Spektrum in der Nähe liegen, besser herausfiltern. Oszillatoren mit hoher Güte schwingen in einem kleineren Frequenzbereich und sind stabiler. ⓘ

Der Gütefaktor von Oszillatoren variiert je nach Bauart von System zu System erheblich. Systeme, für die Dämpfung wichtig ist (z. B. Dämpfer, die verhindern, dass eine Tür zuschlägt), haben einen Gütefaktor nahe 1⁄2. Uhren, Laser und andere Resonanzsysteme, die entweder eine starke Resonanz oder eine hohe Frequenzstabilität benötigen, haben hohe Qualitätsfaktoren. Stimmgabeln haben Qualitätsfaktoren um 1000. Der Qualitätsfaktor von Atomuhren, supraleitenden HF-Resonatoren, die in Beschleunigern verwendet werden, und einigen High-Q-Lasern kann bis zu 10¹¹ und mehr betragen. ⓘ

Es gibt viele alternative Größen, die von Physikern und Ingenieuren verwendet werden, um zu beschreiben, wie gedämpft ein Oszillator ist. Wichtige Beispiele sind: das Dämpfungsverhältnis, die relative Bandbreite, die Linienbreite und die in Oktaven gemessene Bandbreite. ⓘ

Das Konzept von Q stammt von K. S. Johnson von der technischen Abteilung der Western Electric Company, als er die Qualität von Spulen (Induktoren) bewertete. Er wählte das Symbol Q nur deshalb, weil zu dieser Zeit alle anderen Buchstaben des Alphabets bereits belegt waren. Der Begriff war nicht als Abkürzung für "Qualität" oder "Qualitätsfaktor" gedacht, obwohl sich diese Begriffe mit ihm verbunden haben. ⓘ

Definition

Die Definition von Q wurde seit ihrer ersten Verwendung im Jahr 1914 verallgemeinert und gilt nun für Spulen und Kondensatoren, Resonanzkreise, Resonanzbauelemente, resonante Übertragungsleitungen, Hohlraumresonatoren und wurde über den Bereich der Elektronik hinaus auf dynamische Systeme im Allgemeinen ausgedehnt: mechanische und akustische Resonatoren, Material-Q und Quantensysteme wie Spektrallinien und Teilchenresonanzen. ⓘ

Bandbreitendefinition

Im Zusammenhang mit Resonatoren gibt es zwei gängige Definitionen für Q, die nicht genau gleichwertig sind. Sie werden annähernd gleichwertig, wenn Q größer wird, d. h. der Resonator wird weniger gedämpft. Eine dieser Definitionen ist das Frequenz-zu-Bandbreite-Verhältnis des Resonators:

$Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},$ ⓘ

Dabei ist fr die Resonanzf_requenz, Δf die Resonanzbreite oder Halbwertsbreite (FWHM), d. h. die Bandbreite, in der die Schwingungsleistung größer ist als die Hälfte der Leistung bei der Resonanzfrequenz, ωr = 2πf_r ist die Winkel_resonanzfrequenz und Δω ist die Winkelhalbwertsbreite. ⓘ

Nach dieser Definition ist Q der Kehrwert der Teilbandbreite. ⓘ

Definition der gespeicherten Energie

Die andere gängige, nahezu äquivalente Definition für Q ist das Verhältnis zwischen der im schwingenden Resonator gespeicherten Energie und der pro Zyklus durch Dämpfungsvorgänge abgeführten Energie:

$Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.$ ⓘ

Durch den Faktor 2π lässt sich Q in einfacheren Begriffen ausdrücken, die nur die Koeffizienten der Differentialgleichung zweiter Ordnung beinhalten, die die meisten elektrischen oder mechanischen Resonanzsysteme beschreibt. In elektrischen Systemen ist die gespeicherte Energie die Summe der in verlustfreien Induktivitäten und Kondensatoren gespeicherten Energien; die verlorene Energie ist die Summe der in Widerständen pro Zyklus dissipierten Energien. In mechanischen Systemen ist die gespeicherte Energie die Summe der potenziellen und kinetischen Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt; die verlorene Energie ist die von einer externen Kraft pro Zyklus geleistete Arbeit zur Aufrechterhaltung der Amplitude. ⓘ

Allgemeiner und im Zusammenhang mit der Spezifikation reaktiver Komponenten (insbesondere Induktoren) wird die frequenzabhängige Definition von Q verwendet:

$Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},$ ⓘ

Dabei ist ω die Winkelfrequenz, bei der die gespeicherte Energie und die Verlustleistung gemessen werden. Diese Definition steht im Einklang mit ihrer Verwendung bei der Beschreibung von Schaltungen mit einem einzelnen Blindenelement (Kondensator oder Induktor), wo gezeigt werden kann, dass sie gleich dem Verhältnis von Blindleistung zu Wirkleistung ist. (Siehe Einzelne reaktive Komponenten.) ⓘ

Q-Faktor und Dämpfung

Der Q-Faktor bestimmt das qualitative Verhalten von einfachen gedämpften Oszillatoren. (Für mathematische Details über diese Systeme und ihr Verhalten siehe harmonischer Oszillator und lineares zeitinvariantes System (LTI)). ⓘ

• Ein System mit niedrigem Qualitätsfaktor (Q < 1⁄2) wird als überdämpft bezeichnet. Ein solches System schwingt überhaupt nicht, sondern kehrt, wenn es aus seinem stationären Gleichgewichtszustand herausgelöst wird, durch exponentiellen Abfall dorthin zurück und nähert sich asymptotisch dem stationären Wert. Die Impulsantwort ist die Summe zweier abklingender Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Abklinggeschwindigkeiten. Mit abnehmendem Qualitätsfaktor wird der langsamere Abklingmodus im Vergleich zum schnelleren Modus stärker und dominiert die Systemantwort, was zu einem langsameren System führt. Ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung mit einem sehr niedrigen Qualitätsfaktor hat eine Sprungantwort nahezu erster Ordnung; der Ausgang des Systems reagiert auf einen Eingangssprung mit einem langsamen Anstieg in Richtung einer Asymptote.
• Ein System mit hohem Gütefaktor (Q > 1⁄2) wird als unterdämpft bezeichnet. Unterdämpfte Systeme kombinieren eine Schwingung bei einer bestimmten Frequenz mit einem Abklingen der Signalamplitude. Unterdämpfte Systeme mit einem niedrigen Gütefaktor (etwas über Q = 1⁄2) schwingen möglicherweise nur einmal oder einige Male, bevor sie abklingen. Mit steigendem Qualitätsfaktor nimmt die relative Dämpfung ab. Eine hochwertige Glocke klingt nach dem Anschlagen sehr lange mit einem einzigen reinen Ton. Ein rein schwingungsfähiges System, z. B. eine Glocke, die ewig läutet, hat einen unendlichen Gütefaktor. Allgemeiner ausgedrückt: Der Ausgang eines Tiefpassfilters zweiter Ordnung mit einem sehr hohen Gütefaktor reagiert auf einen Eingangssprung, indem er schnell ansteigt, um ihn herumschwingt und schließlich zu einem stationären Wert konvergiert.
• Ein System mit einem mittleren Gütefaktor (Q = 1⁄2) wird als kritisch gedämpft bezeichnet. Wie bei einem überdämpften System oszilliert der Ausgang nicht und schießt nicht über den stationären Ausgang hinaus (d. h. er nähert sich einer Asymptote des stationären Zustands). Wie bei einer unterdämpften Reaktion reagiert der Ausgang eines solchen Systems schnell auf einen Eingangssprung. Eine kritische Dämpfung führt zu einer möglichst schnellen Reaktion (Annäherung an den Endwert) ohne Überschwingen. Reale Systemspezifikationen erlauben in der Regel ein gewisses Überschwingen für eine schnellere Anfangsreaktion oder erfordern eine langsamere Anfangsreaktion, um eine Sicherheitsspanne gegen Überschwingen zu schaffen. ⓘ

Bei Systemen mit negativer Rückkopplung wird die dominante Reaktion des geschlossenen Regelkreises häufig durch ein System zweiter Ordnung gut modelliert. Die Phasenspanne des ungeregelten Systems bestimmt den Gütefaktor Q des geregelten Systems; wenn die Phasenspanne abnimmt, wird das geschlossene System zweiter Ordnung stärker oszillieren (d. h. einen höheren Gütefaktor aufweisen). ⓘ

Einige Beispiele

• Ein Sallen-Key-Tiefpassfilter mit einheitlicher Verstärkung und gleichen Kondensatoren und Widerständen ist kritisch gedämpft (d. h., Q = 1⁄2).
• Ein Bessel-Filter zweiter Ordnung (d. h. ein zeitkontinuierliches Filter mit flachster Gruppenlaufzeit) hat ein unterdämpftes Q = 1⁄√3.
• Ein Butterworth-Filter zweiter Ordnung (d. h. ein zeitkontinuierliches Filter mit dem flachsten Frequenzgang im Durchlassbereich) hat ein unterdämpftes Q = 1⁄√2.
• Der Q-Faktor eines Pendels ist: ${\textstyle Q={M\omega }/{\Gamma }}$Dabei ist M die Masse des Pendels, ω = 2π/T die Schwingungsfrequenz des Pendels im Bogenmaß und Γ die auf das Pendel wirkende Reibungsdämpfungskraft pro Geschwindigkeitseinheit.
• Bei der Konstruktion eines Hochenergie-Gyrotrons (nahe THz) werden sowohl der diffraktive Q-Faktor, ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$ als eine Funktion der Resonatorlänge (L) und der Wellenlänge ($\lambda$), als auch den ohmschen Q-Faktor ($TE_{m,p}$-Modi)

  $Q_{\Omega }={\frac {R_{w}}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}}$,

  wobei $R_{w}$ der Radius der Hohlraumwand ist, $\delta$ die Hauttiefe der Hohlraumwand ist, $V_{m.p}$ der Eigenwert-Skalar ist (m ist der Azimut-Index, p ist der Radial-Index; in dieser Anwendung ist die Hauttiefe ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_{o}}}}$) ⓘ

Physikalische Interpretation

Physikalisch gesehen ist Q ungefähr das Verhältnis zwischen der gespeicherten Energie und der über einen Radiant der Schwingung abgeleiteten Energie; oder, bei ausreichend hohen Q-Werten, das 2π-fache des Verhältnisses zwischen der gespeicherten Gesamtenergie und der in einem einzigen Zyklus verlorenen Energie. ⓘ

Es ist ein dimensionsloser Parameter, der die exponentielle Zeitkonstante τ für das Abklingen der Amplitude eines schwingenden physikalischen Systems mit seiner Schwingungsdauer vergleicht. Gleichermaßen vergleicht er die Frequenz, mit der ein System schwingt, mit der Rate, mit der es seine Energie abbaut. Genauer gesagt sollten Frequenz und Periode auf der Eigenfrequenz des Systems basieren, die bei niedrigen Q-Werten etwas höher ist als die durch Nulldurchgänge gemessene Schwingungsfrequenz. ⓘ

Äquivalent (für große Werte von Q) ist der Q-Faktor ungefähr die Anzahl der Schwingungen, die erforderlich sind, damit die Energie eines frei schwingenden Systems auf e-2π oder etwa 1⁄535 oder 0,2 % seiner ursprünglichen Energie abfällt. Das bedeutet, dass die Amplitude auf etwa e-π oder 4 % der ursprünglichen Amplitude abfällt. ⓘ

Die Breite (Bandbreite) der Resonanz ist (ungefähr) gegeben durch

$\Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,$

Dabei ist f_N die Eigenfrequenz und Δf, die Bandbreite, die Breite des Frequenzbereichs, für den die Energie mindestens die Hälfte ihres Spitzenwertes beträgt. ⓘ

Die Resonanzfrequenz wird oft in natürlichen Einheiten (Bogenmaß pro Sekunde) ausgedrückt, anstatt f_N in Hertz zu verwenden, wie

$\omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.$ ⓘ

Die Faktoren Q, das Dämpfungsverhältnis ζ, die Eigenfrequenz ω_N, die Dämpfungsrate α und die Exponentialzeitkonstante τ stehen in folgender Beziehung zueinander:

$Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},$ ⓘ

und das Dämpfungsverhältnis kann ausgedrückt werden als:

$\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.$ ⓘ

Die Einhüllende der Schwingung nimmt proportional zu e-αt oder e-t/τ ab, wobei α und τ wie folgt ausgedrückt werden können:

$\alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }$

und

$\tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.$ ⓘ

Die Schwingungsenergie bzw. die Verlustleistung nimmt doppelt so schnell, d. h. mit dem Quadrat der Amplitude, als e-2αt bzw. e-2t/τ ab. ⓘ

Für einen zweipoligen Tiefpassfilter ist die Übertragungsfunktion des Filters ⓘ

$H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,$ ⓘ

Wenn Q > 1⁄2 ist (d. h. wenn das System unterdämpft ist), hat dieses System zwei konjugierte komplexe Pole, die jeweils einen Realteil von -α haben. Das heißt, der Dämpfungsparameter α stellt die Rate des exponentiellen Abklingens der Schwingungen (d. h. des Ausgangs nach einem Impuls) in das System dar. Ein höherer Qualitätsfaktor bedeutet eine geringere Dämpfungsrate, so dass Systeme mit hohem Qualitätsfaktor über viele Zyklen hinweg schwingen. Hochwertige Glocken zum Beispiel haben nach einem Hammerschlag noch lange Zeit einen annähernd reinen Sinuston. ⓘ

Filtertyp (2. Ordnung)	Übertragungsfunktion ⓘ
Tiefpass	$H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}}s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}$
Bandpass	$H(s)={\frac {{\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}}s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}$
Kerbe (Bandsperre)	$H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}}s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}$
Hochpass	$H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}}s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}$

Elektrische Systeme

Ein Diagramm der Verstärkungsgröße eines Filters, das das Konzept von -3 dB bei einer Spannungsverstärkung von 0,707 oder der halben Leistungsbandbreite veranschaulicht. Die Frequenzachse dieses symbolischen Diagramms kann linear oder logarithmisch skaliert sein. ⓘ

Bei einem elektrischen Resonanzsystem stellt der Q-Faktor den Effekt des elektrischen Widerstands und bei elektromechanischen Resonatoren wie Quarzkristallen die mechanische Reibung dar. ⓘ

Beziehung zwischen Q und Bandbreite

Die zweiseitige Bandbreite bezogen auf eine Resonanzfrequenz von F₀ Hz ist F₀/Q. ⓘ

Eine Antenne, die auf einen Q-Wert von 10 und eine Mittenfrequenz von 100 kHz abgestimmt ist, hätte zum Beispiel eine 3-dB-Bandbreite von 10 kHz. ⓘ

Im Audiobereich wird die Bandbreite oft in Oktaven ausgedrückt. Dann ist die Beziehung zwischen Q und Bandbreite ⓘ

$Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},$

wobei BW die Bandbreite in Oktaven ist. ⓘ

RLC-Schaltungen

In einer idealen RLC-Serienschaltung und in einem abgestimmten Hochfrequenzempfänger (TRF) beträgt der Q-Faktor:

$Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}$ ⓘ

wobei R, L und C der Widerstand, die Induktivität bzw. die Kapazität des abgestimmten Kreises sind. Je größer der Serienwiderstand ist, desto geringer ist die Güte des Kreises. ⓘ

Bei einer parallelen RLC-Schaltung ist der Q-Faktor der umgekehrte Wert des Serienwiderstandes:

$Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC$ ⓘ

Betrachten Sie eine Schaltung, in der R, L und C parallel geschaltet sind. Je kleiner der Parallelwiderstand ist, desto stärker wirkt er sich auf die Dämpfung der Schaltung aus und desto geringer ist der Q-Faktor. Dies ist bei der Entwicklung von Filtern nützlich, um die Bandbreite zu bestimmen. ⓘ

In einer parallelen LC-Schaltung, bei der der Hauptverlust der Widerstand der Spule R in Reihe mit der Induktivität L ist, ist Q wie in der Reihenschaltung. Dies ist ein üblicher Umstand bei Resonatoren, bei denen eine Begrenzung des Widerstands der Induktivität zur Verbesserung von Q und zur Verengung der Bandbreite das gewünschte Ergebnis ist. ⓘ

Einzelne reaktive Komponenten

Der Gütefaktor einer einzelnen Blindkomponente hängt von der Frequenz ab, bei der sie bewertet wird, d. h. in der Regel von der Resonanzfrequenz des Schaltkreises, in dem sie verwendet wird. Die Güte einer Drossel mit einem Reihenverlustwiderstand ist die Güte eines Schwingkreises, der diese Drossel (einschließlich ihres Reihenverlustes) und einen perfekten Kondensator verwendet. ⓘ

$Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}$ ⓘ

wobei:

• ω₀ ist die Resonanzfrequenz in Radiant pro Sekunde,
• L ist die Induktivität,
• X_L die induktive Reaktanz ist, und
• R_L der Serienwiderstand der Induktivität ist. ⓘ

Der Q-Wert eines Kondensators mit einem Reihenverlustwiderstand ist derselbe wie der Q-Wert eines Resonanzkreises, der diesen Kondensator mit einer perfekten Spule verwendet:

$Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}$ ⓘ

wobei:

• ω₀ ist die Resonanzfrequenz in Radiant pro Sekunde,
• C ist die Kapazität,
• X_C ist der kapazitive Blindwiderstand, und
• R_C ist der Serienwiderstand des Kondensators. ⓘ

Im Allgemeinen kann der Q-Wert eines Resonators, der eine Reihenschaltung aus einem Kondensator und einer Induktivität umfasst, anhand der Q-Werte der Komponenten bestimmt werden, unabhängig davon, ob ihre Verluste auf den Reihenwiderstand zurückzuführen sind oder nicht:

$Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}$ ⓘ

Mechanische Systeme

Für ein einzelnes gedämpftes Masse-Feder-System stellt der Q-Faktor die Wirkung der vereinfachten viskosen Dämpfung oder des Widerstands dar, wobei die Dämpfungskraft oder die Widerstandskraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Die Formel für den Q-Faktor lautet:

$Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,$ ⓘ

wobei M die Masse, k die Federkonstante und D der Dämpfungskoeffizient ist, definiert durch die Gleichung FDämpfung = -Dv, wobei v die Geschwindigkeit ist. ⓘ

Akustische Systeme

Die Güte eines Musikinstruments ist von entscheidender Bedeutung; eine zu hohe Güte in einem Resonator führt zu einer ungleichmäßigen Verstärkung der verschiedenen Frequenzen, die ein Instrument erzeugt. Aus diesem Grund haben Streichinstrumente oft einen komplex geformten Korpus, so dass sie eine breite Palette von Frequenzen relativ gleichmäßig erzeugen. ⓘ

Der Q-Wert eines Blechblasinstruments oder eines Blasinstruments muss hoch genug sein, um eine Frequenz aus dem breiteren Spektrum des Summens der Lippen oder des Rohrblatts herauszufiltern. Im Gegensatz dazu ist eine Vuvuzela aus flexiblem Kunststoff gefertigt und hat daher einen sehr niedrigen Q-Wert für ein Blechblasinstrument, was ihr einen matschigen, hauchigen Klang verleiht. Instrumente aus steiferem Kunststoff, Messing oder Holz haben einen höheren Q-Wert. Ein zu hoher Q-Wert kann das Treffen einer Note erschweren. Der Q-Wert eines Instruments kann über die verschiedenen Frequenzen hinweg variieren, was jedoch nicht unbedingt erwünscht ist. ⓘ

Helmholtz-Resonatoren haben einen sehr hohen Q-Wert, da sie für die Aufnahme eines sehr engen Frequenzbereichs ausgelegt sind. ⓘ

Optische Systeme

In der Optik wird der Q-Faktor eines Hohlraumresonators wie folgt angegeben ⓘ

$Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,$ ⓘ

wobei fo die Resonanzfrequenz, E die gespeicherte Energie im Hohlraum und P = -dE/dt die Verlustleistung ist. Die optische Güte ist gleich dem Verhältnis zwischen der Resonanzfrequenz und der Bandbreite der Hohlraumresonanz. Die durchschnittliche Lebensdauer eines Resonanzphotons im Hohlraum ist proportional zum Q-Faktor des Hohlraums. Wird der Q-Faktor des Hohlraums eines Lasers abrupt von einem niedrigen auf einen hohen Wert geändert, so sendet der Laser einen Lichtimpuls aus, der viel intensiver ist als die normale Dauerleistung des Lasers. Diese Technik wird als Q-Switching bezeichnet. Der Q-Faktor ist von besonderer Bedeutung in der Plasmonik, wo der Verlust mit der Dämpfung der Oberflächenplasmonenresonanz zusammenhängt. Während der Verlust normalerweise als Hindernis bei der Entwicklung plasmonischer Geräte angesehen wird, ist es möglich, diese Eigenschaft zu nutzen, um neue, verbesserte Funktionalitäten zu präsentieren. ⓘ

Elektrischer Schwingkreis

Reihenschaltung

In einem Reihenschwingkreis werden ein elektrischer Widerstand ${\displaystyle }$, eine Spule der Induktivität ${\displaystyle }$ und ein Kondensator der Kapazität ${\displaystyle }$ von demselben sinusförmigen Strom ${\displaystyle }$ mit dem Effektivwert ${\displaystyle }$ und der Amplitude ${\displaystyle }$ durchflossen. Die Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises und des realen Reihenschwingkreises beträgt ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

mit der Resonanzkreisfrequenz ${\displaystyle }$. Die Periodendauer beträgt ${\displaystyle }$. Eingesetzt in die Definition von ${\displaystyle }$ ergibt sich ⓘ

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Differenzialgleichung des Reihenschwingkreises lautet (siehe Hauptartikel) ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

mit dem Dämpfungsgrad ${\displaystyle }$. Nach Division durch ${\displaystyle }$ führt ein Koeffizientenvergleich auf ⓘ

${\displaystyle }$, ⓘ

und man kommt auf eine Beziehung zwischen Dämpfungsgrad und Gütefaktor ⓘ

${\displaystyle }$. ⓘ

Parallelschaltung

Parallelschwingkreis ⓘ

In Analogie dazu liegt in einem Parallelschwingkreis an ${\displaystyle }$ dieselbe sinusförmige Spannung ${\displaystyle }$ an (Scheitelwert ${\displaystyle }$, Effektivwert ${\displaystyle }$). Beim realen Parallelschwingkreis liegt die Resonanzfrequenz ${\displaystyle }$ geringfügig niedriger als ${\displaystyle }$. Für die Berechnung der thermischen Energie, die in der Periodendauer abgegeben wird, kann der Unterschied unbeachtet bleiben. ⓘ

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$ ⓘ

Bandbreite

Resonanzkurve bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit ${\displaystyle }$ bezeichnet ist ⓘ

Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz. Diese wird durch die 3-dB-Bandbreite B ausgedrückt:

${\displaystyle }$ ⓘ

mit dem daraus gebildeten Gütefaktor:

${\displaystyle }$ ⓘ

Die obere Grenzfrequenz ${\displaystyle }$ und die untere Grenzfrequenz ${\displaystyle }$ sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung ${\displaystyle }$ bzw. der Strom ${\displaystyle }$ auf den ${\displaystyle }$-fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus ⓘ

${\displaystyle }$   und   ${\displaystyle }$. ⓘ

Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch ⓘ

${\displaystyle }$. ⓘ

Elektrisches Bauelement

Der Gütefaktor ${\displaystyle }$ eines linearen abstrahlungsfreien zweipoligen Netzwerkelementes oder Netzwerkes bei sinusförmigen Vorgängen wird definiert als das Verhältnis der Beträge von Blindleistung ${\displaystyle }$ und Wirkleistung ${\displaystyle }$ oder gleichwertig als das Verhältnis der Beträge von Blindwiderstand ${\displaystyle }$ und Wirkwiderstand ${\displaystyle }$. ⓘ

${\displaystyle }$ . ⓘ

Der Gütefaktor ist ein Maß für – gewöhnlich unerwünschte – Verluste, insbesondere in einem Kondensator oder einer Spule. Beispielsweise ist die Spulengüte ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Diese Gleichung ähnlich der entsprechenden Gleichung beim Reihenschwingkreis, gilt aber für beliebige Frequenz ${\displaystyle }$ und nicht bei einer (gar nicht vorhandenen) Resonanzfrequenz ${\displaystyle }$. Eine hohe Spulengüte ist erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird. ⓘ

Der Gütefaktor ist bei Netzwerk(element)en zugleich der Kotangens des Verlustwinkels. ⓘ

Beispiele

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben. ⓘ

System	Gütefaktor Q ⓘ
Aperiodischer Grenzfall	${\displaystyle }$
Elektrodynamischer Lautsprecher	typ. ${\displaystyle }$
Elektrischer Schwingkreis	${\displaystyle }$
Pendeluhr	${\displaystyle }$
Schwingungstilger	${\displaystyle }$
Schwingquarz 10 MHz	${\displaystyle }$
Frequenzstabilisierter Laser	${\displaystyle }$
Supraleitender Hohlraumresonator	${\displaystyle }$
Cäsium-Atomuhr	${\displaystyle }$
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung	${\displaystyle }$