Asymptote

Der Graph einer Funktion mit einer horizontalen (y = 0), vertikalen (x = 0) und schrägen Asymptote (lila Linie, gegeben durch y = 2x). ⓘ

Eine Kurve, die eine Asymptote unendlich oft schneidet. ⓘ

In der analytischen Geometrie ist eine Asymptote (/ˈæsɪmptoʊt/) einer Kurve eine Linie, bei der der Abstand zwischen der Kurve und der Linie gegen Null geht, wenn eine oder beide der x- oder y-Koordinaten gegen unendlich tendieren. In der projektiven Geometrie und verwandten Kontexten ist eine Asymptote einer Kurve eine Linie, die die Kurve in einem Punkt im Unendlichen tangiert. ⓘ

Das Wort Asymptote leitet sich vom griechischen ἀσύμπτωτος (asumptōtos) ab, das "nicht zusammenfallen" bedeutet, von ἀ priv. + σύν "zusammen" + πτωτ-ός "gefallen". Der Begriff wurde von Apollonius von Perga in seinem Werk über Kegelschnitte eingeführt, aber im Gegensatz zu seiner heutigen Bedeutung bezeichnete er damit jede Linie, die die gegebene Kurve nicht schneidet. ⓘ

Es gibt drei Arten von Asymptoten: horizontale, vertikale und schräge. Bei Kurven, die durch den Graphen einer Funktion y = ƒ(x) gegeben sind, sind horizontale Asymptoten horizontale Linien, denen sich der Graph der Funktion nähert, wenn x gegen +∞ oder -∞ tendiert. Vertikale Asymptoten sind vertikale Linien, in deren Nähe die Funktion unbegrenzt wächst. Eine schräge Asymptote hat eine Steigung, die nicht Null, aber endlich ist, so dass sich der Graph der Funktion ihr nähert, wenn x gegen +∞ oder -∞ tendiert. ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt ist eine Kurve eine gekrümmte Asymptote einer anderen (im Gegensatz zu einer linearen Asymptote), wenn der Abstand zwischen den beiden Kurven gegen Null tendiert, wenn sie gegen unendlich tendieren, obwohl der Begriff Asymptote an sich gewöhnlich für lineare Asymptoten reserviert ist. ⓘ

Asymptoten vermitteln Informationen über das Verhalten von Kurven im Großen, und die Bestimmung der Asymptoten einer Funktion ist ein wichtiger Schritt beim Skizzieren ihres Graphen. Die Untersuchung der Asymptoten von Funktionen im weitesten Sinne ist Teil des Fachgebiets Asymptotische Analyse. ⓘ

Das Antonym Symptote ist nicht gebräuchlich. ⓘ

Einführung

$f(x)={\tfrac {1}{x}}$ auf kartesischen Koordinaten gezeichnet. Die x- und y-Achse sind die Asymptoten. ⓘ

Die Vorstellung, dass eine Kurve sich einer Linie beliebig annähern kann, ohne tatsächlich mit ihr identisch zu werden, mag der Alltagserfahrung widersprechen. Die Darstellungen einer Linie und einer Kurve als Markierungen auf einem Blatt Papier oder als Pixel auf einem Computerbildschirm haben eine positive Breite. Wenn man sie also weit genug ausdehnt, scheinen sie zu verschmelzen, zumindest soweit das Auge es wahrnehmen kann. Aber dies sind physikalische Darstellungen der entsprechenden mathematischen Entitäten; die Linie und die Kurve sind idealisierte Konzepte, deren Breite 0 ist (siehe Linie). Daher erfordert das Verständnis der Idee einer Asymptote eher eine Anstrengung des Verstandes als der Erfahrung. ⓘ

Betrachten Sie den Graphen der Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$ die in diesem Abschnitt gezeigt wird. Die Koordinaten der Punkte auf der Kurve haben die Form $\left(x,{\frac {1}{x}}\right)$ wobei x eine Zahl ungleich 0 ist. Der Graph enthält zum Beispiel die Punkte (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0,1), ... Wenn die Werte von $x$ immer größer werden, z. B. 100, 1.000, 10.000 ..., und sie damit weit nach rechts in der Abbildung rücken, werden die entsprechenden Werte von $y$.01, .001, .0001, ... im Verhältnis zum dargestellten Maßstab verschwindend klein werden. Aber egal, wie groß $x$ wird, sein Kehrwert ${\frac {1}{x}}$ ist nie 0, so dass die Kurve die x-Achse nie berührt. Ähnlich verhält es sich, wenn die Werte von $x$ immer kleiner werden, z. B. 0,01, 0,001, 0,0001, ..., so dass sie in Bezug auf die dargestellte Skala infinitesimal sind, werden die entsprechenden Werte von $y$100, 1.000, 10.000 ..., immer größer werden. Die Kurve erstreckt sich also immer weiter nach oben, je näher sie der y-Achse kommt. Somit sind sowohl die x- als auch die y-Achse Asymptoten der Kurve. Diese Ideen sind Teil der Grundlage des Begriffs "Grenzwert" in der Mathematik, und dieser Zusammenhang wird weiter unten genauer erläutert. ⓘ

Asymptoten von Funktionen

Die Asymptoten, auf die man beim Studium der Infinitesimalrechnung am häufigsten trifft, sind Kurven der Form y = ƒ(x). Diese können mit Hilfe von Grenzwerten berechnet und je nach ihrer Ausrichtung in horizontale, vertikale und schräge Asymptoten unterteilt werden. Horizontale Asymptoten sind horizontale Linien, denen sich der Graph der Funktion nähert, wenn x gegen +∞ oder -∞ tendiert. Wie der Name schon sagt, verlaufen sie parallel zur x-Achse. Vertikale Asymptoten sind vertikale Linien (senkrecht zur x-Achse), in deren Nähe die Funktion unbegrenzt wächst. Schräge Asymptoten sind diagonale Linien, so dass die Differenz zwischen der Kurve und der Linie gegen 0 geht, wenn x gegen +∞ oder -∞ tendiert. ⓘ

Vertikale Asymptoten

Die Linie x = a ist eine vertikale Asymptote des Graphen der Funktion y = ƒ(x), wenn mindestens eine der folgenden Aussagen wahr ist:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$ ⓘ

wobei $\lim _{x\to a^{-}}$ der Grenzwert ist, wenn sich x dem Wert a von links (von kleineren Werten) nähert, und $\lim _{x\to a^{+}}$ ist der Grenzwert, wenn sich x von rechts dem Wert a nähert. ⓘ

Wenn beispielsweise ƒ(x) = x/(x-1) ist, nähert sich der Zähler 1 und der Nenner 0, wenn x sich 1 nähert. Also

$\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty$

und die Kurve hat eine vertikale Asymptote x = 1. ⓘ

Die Funktion ƒ(x) kann bei a definiert sein oder nicht, und ihr genauer Wert am Punkt x = a hat keinen Einfluss auf die Asymptote. Zum Beispiel kann die Funktion ⓘ

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$ ⓘ

einen Grenzwert von +∞ bei x → 0⁺ hat, hat ƒ(x) die vertikale Asymptote x = 0, auch wenn ƒ(0) = 5 ist. Der Graph dieser Funktion schneidet die vertikale Asymptote einmal, nämlich bei (0, 5). Es ist unmöglich, dass der Graph einer Funktion eine vertikale Asymptote (oder eine vertikale Linie im Allgemeinen) in mehr als einem Punkt schneidet. Wenn eine Funktion an jedem Punkt, an dem sie definiert ist, stetig ist, ist es außerdem unmöglich, dass ihr Graph eine vertikale Asymptote schneidet. ⓘ

Ein gängiges Beispiel für eine vertikale Asymptote ist der Fall einer rationalen Funktion an einem Punkt x, bei dem der Nenner gleich Null und der Zähler ungleich Null ist. ⓘ

Wenn eine Funktion eine vertikale Asymptote hat, muss die Ableitung der Funktion nicht unbedingt an der gleichen Stelle eine vertikale Asymptote haben. Ein Beispiel ist

$f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad$ unter $\quad x=0$. ⓘ

Diese Funktion hat eine vertikale Asymptote bei $x=0,$ weil

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,$ ⓘ

und ⓘ

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty$. ⓘ

Die Ableitung von $f$ ist die Funktion

$f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}$. ⓘ

Für die Folge von Punkten

$x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad$ für $\quad n=0,1,2,\ldots$ ⓘ

die sich $x=0$ sowohl von links als auch von rechts nähert, sind die Werte $f'(x_{n})$ konstant $0$. Daher können die beiden einseitigen Grenzen von $f'$ unter $0$ weder $+\infty$ noch sein. $-\infty$. Folglich hat $f'(x)$ hat keine vertikale Asymptote bei $x=0$. ⓘ

Horizontale Asymptoten

Die Arkustangensfunktion hat zwei verschiedene Asymptoten ⓘ

Horizontale Asymptoten sind horizontale Linien, denen sich der Graph der Funktion nähert, wenn x → ±∞. Die horizontale Linie y = c ist eine horizontale Asymptote der Funktion y = ƒ(x), wenn

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c$ oder $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c$.

Im ersten Fall hat ƒ(x) y = c als Asymptote, wenn x nach -∞ tendiert, und im zweiten Fall hat ƒ(x) y = c als Asymptote, wenn x nach +∞ tendiert. ⓘ

Zum Beispiel erfüllt die Arkustangensfunktion

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}$ und $\lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.$ ⓘ

Die Linie y = -π/2 ist also eine horizontale Asymptote für den Arcustangens, wenn x nach -∞ tendiert, und y = π/2 ist eine horizontale Asymptote für den Arcustangens, wenn x nach +∞ tendiert. ⓘ

Funktionen können auf einer oder beiden Seiten keine horizontalen Asymptoten aufweisen oder eine horizontale Asymptote haben, die in beide Richtungen gleich ist. Zum Beispiel hat die Funktion ƒ(x) = 1/(x²+1) eine horizontale Asymptote bei y = 0, wenn x sowohl nach -∞ als auch nach +∞ tendiert,

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.$ ⓘ

Andere häufige Funktionen, die eine oder zwei horizontale Asymptoten haben, sind x ↦ 1/x (die eine Hyperbel als Graph hat), die Gauß-Funktion $x\mapsto \exp(-x^{2}),$ die Fehlerfunktion und die logistische Funktion. ⓘ

Schräge Asymptoten

Im Graphen von $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$sind die y-Achse (x = 0) und die Linie y = x beide Asymptoten. ⓘ

Wenn eine lineare Asymptote nicht parallel zur x- oder y-Achse verläuft, nennt man sie eine schräge Asymptote. Eine Funktion ƒ(x) ist asymptotisch zur Geraden y = mx + n (m ≠ 0), wenn ⓘ

$\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.$ ⓘ

Im ersten Fall ist die Gerade y = mx + n eine schräge Asymptote von ƒ(x), wenn x nach +∞ tendiert, und im zweiten Fall ist die Gerade y = mx + n eine schräge Asymptote von ƒ(x), wenn x nach -∞ tendiert. ⓘ

Ein Beispiel ist ƒ(x) = x + 1/x, das die schräge Asymptote y = x hat (d. h. m = 1, n = 0), wie in den Grenzwerten zu sehen ist

$\lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.$ ⓘ

Elementare Methoden zur Identifizierung von Asymptoten

Die Asymptoten vieler elementarer Funktionen können ohne die ausdrückliche Verwendung von Grenzwerten gefunden werden (obwohl die Ableitungen solcher Methoden normalerweise Grenzwerte verwenden). ⓘ

Allgemeine Berechnung der schrägen Asymptoten von Funktionen

Die schräge Asymptote der Funktion f(x) ist durch die Gleichung y = mx + n gegeben. Der Wert für m wird zuerst berechnet und ist gegeben durch ⓘ

$m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x$ ⓘ

wobei a entweder $-\infty$ oder $+\infty$ ist, je nach dem untersuchten Fall. Es hat sich bewährt, die beiden Fälle getrennt zu behandeln. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine schräge Asymptote in dieser Richtung. ⓘ

Wenn man m hat, kann der Wert für n wie folgt berechnet werden ⓘ

$n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)$ ⓘ

wobei a derselbe Wert sein sollte, der zuvor verwendet wurde. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, dann gibt es keine schräge Asymptote in dieser Richtung, selbst wenn der Grenzwert für m existiert. Andernfalls ist y = mx + n die schräge Asymptote von ƒ(x), wenn sich x gegen a neigt. ⓘ

Zum Beispiel hat die Funktion ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x ⓘ

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2$ und dann

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3$ ⓘ

so dass y = 2x + 3 die Asymptote von ƒ(x) ist, wenn x gegen +∞ tendiert. ⓘ

Die Funktion ƒ(x) = ln x hat ⓘ

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$ und dann ⓘ

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x$, die nicht existiert. ⓘ

Also hat y = ln x keine Asymptote, wenn x gegen +∞ tendiert. ⓘ

Asymptoten für rationale Funktionen

Eine rationale Funktion hat höchstens eine horizontale Asymptote oder eine schräge Asymptote und möglicherweise viele vertikale Asymptoten. ⓘ

Der Grad des Zählers und der Grad des Nenners bestimmen, ob es horizontale oder schräge Asymptoten gibt oder nicht. Die Fälle sind im Folgenden tabellarisch aufgeführt, wobei deg(Zähler) der Grad des Zählers und deg(Nenner) der Grad des Nenners ist. ⓘ

Die Fälle der horizontalen und schrägen Asymptoten für rationale Funktionen ⓘ

deg(Zähler)-deg(Nenner)	Asymptoten im Allgemeinen	Beispiel	Asymptote für ein Beispiel
< 0	$y=0$	$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$y=0$
= 0	y = das Verhältnis der führenden Koeffizienten	$f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={\frac {2}{3}}$
= 1	y = der Quotient aus der euklidischen Division des Zählers durch den Nenner	$f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}$	$y=2x+3$
> 1	keine	$f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	keine lineare Asymptote, aber eine gekrümmte Asymptote ist vorhanden

Die vertikalen Asymptoten treten nur auf, wenn der Nenner gleich Null ist (wenn sowohl Zähler als auch Nenner gleich Null sind, werden die Vielfachen der Null verglichen). Zum Beispiel hat die folgende Funktion vertikale Asymptoten bei x = 0 und x = 1, aber nicht bei x = 2.

$f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}$ ⓘ

Schräge Asymptoten von rationalen Funktionen

Schwarz: der Graph von $f(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)$. Rot: die Asymptote $y=x$. Grün: Differenz zwischen dem Graphen und seiner Asymptote für $x=1,2,3,4,5,6$ ⓘ

Wenn der Zähler einer rationalen Funktion genau einen Grad größer als der Nenner ist, hat die Funktion eine schräge Asymptote. Die Asymptote ist der polynomiale Term nach der Division von Zähler und Nenner. Dieses Phänomen tritt auf, weil es bei der Division des Bruches einen linearen Term und einen Rest gibt. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion

$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}$

auf der rechten Seite. Wenn der Wert von x steigt, nähert sich f der Asymptote y = x. Dies liegt daran, dass der andere Term, 1/(x+1), sich 0 nähert. ⓘ

Wenn der Grad des Zählers um mehr als 1 größer ist als der Grad des Nenners und der Nenner den Zähler nicht teilt, gibt es einen von Null verschiedenen Rest, der mit zunehmendem x gegen Null geht, aber der Quotient ist nicht linear, und die Funktion hat keine schräge Asymptote. ⓘ

Transformationen von bekannten Funktionen

Wenn eine bekannte Funktion eine Asymptote hat (z. B. y=0 für f(x)=e^x), dann haben auch die Transformationen der Funktion eine Asymptote.

• Wenn x=a eine vertikale Asymptote von f(x) ist, dann ist x=a+h eine vertikale Asymptote von f(x-h)
• Wenn y=c eine horizontale Asymptote von f(x) ist, dann ist y=c+k eine horizontale Asymptote von f(x)+k ⓘ

Wenn eine bekannte Funktion eine Asymptote hat, dann hat auch die Skalierung der Funktion eine Asymptote. ⓘ

• Wenn y=ax+b eine Asymptote von f(x) ist, dann ist y=cax+cb eine Asymptote von cf(x)

Zum Beispiel hat f(x)=e^x-1+2 die horizontale Asymptote y=0+2=2, aber keine vertikalen oder schrägen Asymptoten. ⓘ

Allgemeine Definition

(sec(t), cosec(t)), oder x² + y² = (xy)², mit 2 horizontalen und 2 vertikalen Asymptoten. ⓘ

Sei A : (a,b) → R² eine parametrische ebene Kurve mit den Koordinaten A(t) = (x(t),y(t)). Nehmen wir an, dass die Kurve ins Unendliche tendiert, d.h.:

$\lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .$

Eine Linie ℓ ist eine Asymptote von A, wenn der Abstand vom Punkt A(t) zu ℓ gegen Null tendiert, wenn t → b. Aus der Definition geht hervor, dass nur offene Kurven, die eine unendliche Verzweigung haben, eine Asymptote haben können. Keine geschlossene Kurve kann eine Asymptote haben. ⓘ

Zum Beispiel kann der obere rechte Zweig der Kurve y = 1/x parametrisch definiert werden als x = t, y = 1/t (mit t > 0). Erstens ist x → ∞, wenn t → ∞ ist, und der Abstand der Kurve zur x-Achse ist 1/t, der sich 0 nähert, wenn t → ∞ ist. Daher ist die x-Achse eine Asymptote der Kurve. Außerdem ist y → ∞, wenn t → 0 von rechts kommt, und der Abstand zwischen der Kurve und der y-Achse ist t, der sich 0 nähert, wenn t → 0. Die y-Achse ist also ebenfalls eine Asymptote. Ein ähnliches Argument zeigt, dass der untere linke Zweig der Kurve ebenfalls die gleichen beiden Linien als Asymptoten hat. ⓘ

Obwohl die Definition hier eine Parametrisierung der Kurve verwendet, ist der Begriff der Asymptote nicht von der Parametrisierung abhängig. Wenn die Gleichung der Geraden nämlich lautet $ax+by+c=0$ dann ist der Abstand vom Punkt A(t) = (x(t),y(t)) zur Geraden gegeben durch

${\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

wenn γ(t) eine Änderung der Parametrisierung ist, dann wird der Abstand

${\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

was gleichzeitig mit dem vorherigen Ausdruck gegen Null tendiert. ⓘ

Ein wichtiger Fall ist, wenn die Kurve der Graph einer reellen Funktion ist (eine Funktion mit einer reellen Variablen, die reelle Werte liefert). Der Graph der Funktion y = ƒ(x) ist die Menge der Punkte in der Ebene mit den Koordinaten (x,ƒ(x)). Hierfür ist eine Parametrisierung

$t\mapsto (t,f(t)).$

Diese Parametrisierung ist über die offenen Intervalle (a,b) zu betrachten, wobei a -∞ und b +∞ sein kann. ⓘ

Eine Asymptote kann entweder vertikal oder nicht vertikal (schräg oder horizontal) sein. Im ersten Fall ist ihre Gleichung x = c für eine reelle Zahl c. Im nicht vertikalen Fall ist die Gleichung y = mx + n, wobei m und $n$ reelle Zahlen sind. In bestimmten Beispielen können alle drei Arten von Asymptoten gleichzeitig vorkommen. Im Gegensatz zu Asymptoten für Kurven, die Graphen von Funktionen sind, kann eine allgemeine Kurve mehr als zwei nicht vertikale Asymptoten haben und ihre vertikalen Asymptoten mehr als einmal kreuzen. ⓘ

Kurvilineare Asymptoten

x²+2x+3 ist eine parabolische Asymptote zu (x³+2x²+3x+4)/x ⓘ

Sei A : (a,b) → R² eine parametrische ebene Kurve mit den Koordinaten A(t) = (x(t),y(t)) und B eine andere (unparametrische) Kurve. Nehmen wir an, dass die Kurve A gegen unendlich tendiert. Die Kurve B ist eine krummlinige Asymptote von A, wenn der kürzeste Abstand vom Punkt A(t) zu einem Punkt auf B gegen Null tendiert, wenn t → b ist. Manchmal wird B einfach als Asymptote von A bezeichnet, wenn keine Verwechslungsgefahr mit linearen Asymptoten besteht. ⓘ

Zum Beispiel: Die Funktion

$y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}$

hat beispielsweise eine gekrümmte Asymptote y = x² + 2x + 3, die als parabolische Asymptote bezeichnet wird, weil sie eine Parabel und keine Gerade ist. ⓘ

Asymptoten und Kurvenskizzen

Asymptoten werden in Verfahren zur Kurvenskizze verwendet. Eine Asymptote dient als Richtschnur, um das Verhalten der Kurve im Unendlichen zu zeigen. Um eine bessere Annäherung an die Kurve zu erreichen, werden auch gekrümmte Asymptoten verwendet, obwohl der Begriff asymptotische Kurve vorzuziehen ist. ⓘ

Algebraische Kurven

Eine kubische Kurve, das Folium von Descartes (durchgezogen) mit einer einzigen reellen Asymptote (gestrichelt). ⓘ

Die Asymptoten einer algebraischen Kurve in der affinen Ebene sind die Linien, die die projizierte Kurve durch einen Punkt im Unendlichen tangieren. Auf diese Weise lassen sich zum Beispiel die Asymptoten der Einheitshyperbel bestimmen. Asymptoten werden oft nur für reelle Kurven betrachtet, obwohl sie auf diese Weise auch für Kurven über einem beliebigen Feld definiert werden können. ⓘ

Eine ebene Kurve vom Grad n schneidet ihre Asymptote nach dem Satz von Bézout höchstens in n-2 anderen Punkten, da der Schnittpunkt im Unendlichen eine Vielfachheit von mindestens zwei hat. Für eine Kegelform gibt es ein Linienpaar, das die Kegelform in keinem komplexen Punkt schneidet: dies sind die beiden Asymptoten der Kegelform. ⓘ

Eine ebene algebraische Kurve ist durch eine Gleichung der Form P(x,y) = 0 definiert, wobei P ein Polynom vom Grad n ist

$P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}$

wobei Pk ein homogenes Polynom vom Grad k ist. Das Verschwinden der Linearfaktoren des höchstgradigen Terms Pn definiert die Asymptoten der Kurve: Wenn Q = Pn ist und Pn(x, y) = (ax - by) Qn-1(x, y), dann ist die Linie

$Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0$

eine Asymptote, wenn $Q'_{x}(b,a)$ und $Q'_{y}(b,a)$ nicht beide Null sind. Wenn $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0$ und $P_{n-1}(b,a)\neq 0$gibt es keine Asymptote, aber die Kurve hat einen Zweig, der wie ein Zweig einer Parabel aussieht. Ein solcher Zweig wird als parabolischer Zweig bezeichnet, auch wenn er keine Parabel hat, die eine krummlinige Asymptote ist. Wenn $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,$ hat die Kurve einen singulären Punkt im Unendlichen, der mehrere Asymptoten oder parabolische Zweige haben kann. ⓘ

Im Bereich der komplexen Zahlen zerfällt Pn in lineare Faktoren, von denen jeder eine Asymptote definiert (oder mehrere bei mehreren Faktoren). Im Bereich der reellen Zahlen zerfällt Pn in lineare und quadratische Faktoren. Nur die linearen Faktoren entsprechen unendlichen (reellen) Zweigen der Kurve, aber wenn ein linearer Faktor eine Multiplizität größer als eins hat, kann die Kurve mehrere Asymptoten oder parabolische Zweige haben. Es kann auch vorkommen, dass ein solcher mehrfacher linearer Faktor zwei komplex-konjugierten Zweigen entspricht und keinem unendlichen Zweig der reellen Kurve entspricht. Zum Beispiel hat die Kurve x⁴ + y² - 1 = 0 keine reellen Punkte außerhalb des Quadrats $|x|\leq 1,|y|\leq 1$, aber ihr Term höchster Ordnung ergibt den linearen Faktor x mit der Vielfachheit 4, was zur einzigen Asymptote x=0 führt. ⓘ

Asymptotischer Kegel

Hyperbeln, die denselben rechten Kreiskegel mit einer Ebene schneiden, und ihre Asymptoten. ⓘ

Die Hyperbel

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

hat die beiden Asymptoten

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

Die Gleichung für die Vereinigung dieser beiden Linien lautet

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

In ähnlicher Weise hat das Hyperboloid

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

den asymptotischen Kegel ⓘ

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.$ ⓘ

Der Abstand zwischen dem Hyperboloid und dem Kegel geht gegen 0, wenn sich der Abstand vom Ursprung der Unendlichkeit nähert. ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt, betrachten wir eine Fläche, die eine implizite Gleichung hat $P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,$ wobei die $P_{i}$ homogene Polynome vom Grad $i$ und $P_{d-1}=0$. Dann definiert die Gleichung $P_{d}(x,y,z)=0$ einen Kegel definiert, der im Ursprung zentriert ist. Er wird asymptotischer Kegel genannt, weil der Abstand eines Punktes der Oberfläche zum Kegel gegen Null tendiert, wenn der Punkt auf der Oberfläche gegen unendlich tendiert. ⓘ

Asymptoten einer reellen Funktion

Gerade Asymptoten

Schiefe Asymptoten

Die Funktion $f(x)={\tfrac {1}{x}}+x$ (rot) hat die schiefe Asymptote $f_{a}(x)=x$ (grün) und die vertikale Asymptote $x=0$ (y-Achse) ⓘ

Schiefe (oder „schräge“, „geneigte“) Asymptoten lassen sich mittels der Geradengleichung:

$y=m\cdot x+n$ mit $m,n\in \mathbb {R}$

oder als Funktion:

$f_{a}(x)=m\cdot x+n$

darstellen. Wichtig hierbei: $m\neq 0$, sonst wäre es eine horizontale Asymptote. Und wie man es von solchen linearen Funktionen kennt, läuft der Graph von $f_{a}$ in x- und y-Richtung gegen Unendlich. ⓘ

Eine zu betrachtende Funktion $f$ hat eine solche schiefe Asymptote $f_{a}$, wenn sie sich dieser im Unendlichen annähert. Diese Bedingung/Eigenschaft sieht mathematisch wie folgt aus:

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=f_{a}$

oder

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=f_{a}$ ⓘ

Anders gesagt: Eine Annäherung im Unendlichen heißt, dass der senkrechte Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null läuft. Mathematisch stellt ein Abstand eine Differenz dar. Betrachtet man also diese Differenz zwischen der Funktion $f$ und ihrer Asymptote $f_{a}$ so läuft die Differenz im Unendlichen gegen Null:

$\lim _{x\to +\infty }[f(x)-f_{a}(x)]=0$

oder

$\lim _{x\to -\infty }[f(x)-f_{a}(x)]=0$ ⓘ