Betragsfunktion

Der Graph der Absolutwertfunktion für reelle Zahlen ⓘ

Den absoluten Wert einer Zahl kann man sich als ihren Abstand von Null vorstellen. ⓘ

In der Mathematik wird der Absolutwert oder Modulus einer reellen Zahl $x$, bezeichnet mit $|x|$ist der nicht-negative Wert von $x$ ohne Rücksicht auf sein Vorzeichen. Nämlich, $|x|=x$ wenn x eine positive Zahl ist, und $|x|=-x$ wenn $x$ negativ ist (in diesem Fall führt die Negation von $x$ macht $-x$ positiv), und $|0|=0$. Zum Beispiel ist der Absolutwert von 3 gleich 3, und der Absolutwert von -3 ist ebenfalls 3. Der Absolutwert einer Zahl kann als ihr Abstand von Null betrachtet werden. ⓘ

Verallgemeinerungen des Absolutwerts für reelle Zahlen kommen in einer Vielzahl von mathematischen Zusammenhängen vor. So ist ein Absolutwert auch für die komplexen Zahlen, die Quaternionen, geordnete Ringe, Felder und Vektorräume definiert. Der Absolutwert ist in verschiedenen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen eng mit den Begriffen Größe, Abstand und Norm verbunden. ⓘ

Verlauf der Betragsfunktion auf $\mathbb {R}$ ⓘ

Terminologie und Notation

Im Jahr 1806 führte Jean-Robert Argand den Begriff Modul, der im Französischen Maßeinheit bedeutet, speziell für den komplexen Absolutwert ein, der 1866 als lateinisches Äquivalent modulus ins Englische übernommen wurde. Der Begriff Absolutwert wurde in diesem Sinne mindestens seit 1806 im Französischen und 1857 im Englischen verwendet. Die Notation |x| mit einem vertikalen Balken auf jeder Seite wurde 1841 von Karl Weierstraß eingeführt. Andere Bezeichnungen für den absoluten Wert sind Zahlenwert und Größenordnung. In Programmiersprachen und Computersoftwarepaketen wird der absolute Wert von x im Allgemeinen durch abs(x) oder einen ähnlichen Ausdruck dargestellt. ⓘ

Die Balkenschreibweise kommt auch in einer Reihe anderer mathematischer Zusammenhänge vor: Wenn sie beispielsweise auf eine Menge angewendet wird, bezeichnet sie deren Kardinalität; wenn sie auf eine Matrix angewendet wird, bezeichnet sie deren Determinante. Vertikale Balken bezeichnen den absoluten Wert nur für algebraische Objekte, für die der Begriff des absoluten Wertes definiert ist, insbesondere ein Element einer normierten Divisionsalgebra, z. B. eine reelle Zahl, eine komplexe Zahl oder ein Quaternion. Eine eng verwandte, aber unterschiedliche Notation ist die Verwendung von vertikalen Balken für die euklidische Norm oder die Supernorm eines Vektors in $\mathbb {R} ^{n}$obwohl doppelte vertikale Balken mit tiefgestellten Indizes ($\|\cdot \|_{2}$ und $\|\cdot \|_{\infty }$) eine gebräuchlichere und weniger zweideutige Schreibweise sind. ⓘ

Definition und Eigenschaften

Reelle Zahlen

Für jede reelle Zahl $x$wird der Absolutwert oder Modulus von $x$ bezeichnet mit $|x|$bezeichnet, mit einem senkrechten Balken auf jeder Seite der Zahl, und ist definiert als

$$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

ⓘ

Der Absolutwert von $x$ ist also immer entweder eine positive Zahl oder Null, aber niemals negativ. Wenn $x$ selbst negativ ist ($x<0$), dann ist sein absoluter Wert notwendigerweise positiv ($|x|=-x>0$). ⓘ

Aus Sicht der analytischen Geometrie ist der Absolutwert einer reellen Zahl der Abstand dieser Zahl von Null auf der reellen Zahlengeraden, und allgemeiner ausgedrückt ist der Absolutwert der Differenz zweier reeller Zahlen der Abstand zwischen ihnen. Der Begriff einer abstrakten Abstandsfunktion in der Mathematik kann als eine Verallgemeinerung des absoluten Werts der Differenz angesehen werden (siehe "Abstand" unten). ⓘ

Da das Quadratwurzelsymbol die einzige positive Quadratwurzel darstellt, wenn es auf eine positive Zahl angewandt wird, folgt daraus, dass

$$|x|={\sqrt {x^{2}}}.$$

Dies ist äquivalent zur obigen Definition und kann als alternative Definition des absoluten Werts der reellen Zahlen verwendet werden. ⓘ

Der Absolutwert hat die folgenden vier grundlegenden Eigenschaften (a, b sind reelle Zahlen), die für die Verallgemeinerung dieses Begriffs auf andere Bereiche verwendet werden:

$|a|\geq 0$	Nicht-Negativität ⓘ
$|a|=0\iff a=0$	Positiv-Definiertheit
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	Multiplikativität
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subadditivität, insbesondere die Dreiecksungleichung

Nichtnegativität, positive Bestimmtheit und Multiplikativität sind aus der Definition leicht ersichtlich. Um zu sehen, dass Subadditivität gilt, muss man zunächst feststellen, dass $|a+b|=s(a+b)$ wobei $s=\pm 1$ist, wobei das Vorzeichen so gewählt ist, dass das Ergebnis positiv ist. Nun, da $-1\cdot x\leq |x|$ und $+1\cdot x\leq |x|$ist, folgt daraus, dass je nachdem, welcher Wert von $\pm 1$ der Wert von $s$ist, hat man $s\cdot x\leq |x|$ für alle reellen $x$. Daraus folgt, $|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$, wie gewünscht. ⓘ

Im Folgenden werden einige weitere nützliche Eigenschaften genannt. Diese sind entweder unmittelbare Folgen der Definition oder werden durch die vier oben genannten grundlegenden Eigenschaften impliziert. ⓘ

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	Idempotenz (der Absolutwert des Absolutwerts ist der Absolutwert) ⓘ
$\left|-a\right|=|a|$	Ebenheit (Spiegelsymmetrie des Graphen)
$|a-b|=0\iff a=b$	Identität der Ununterscheidbaren (äquivalent zur Positiv-Definitheit)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	Dreiecksungleichheit (äquivalent zur Subadditivität)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (wenn $b\neq 0$)	Erhaltung der Division (entspricht der Multiplikativität)
$|a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	Umgekehrte Dreiecksungleichheit (äquivalent zur Subadditivität)

Zwei weitere nützliche Eigenschaften in Bezug auf Ungleichungen sind:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$ ⓘ

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ oder $a\geq b$

Diese Beziehungen können verwendet werden, um Ungleichungen mit absoluten Werten zu lösen. Zum Beispiel:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$ ⓘ
	$\iff -6\leq x\leq 12$

Der Absolutwert, als "Abstand von Null", wird verwendet, um die absolute Differenz zwischen beliebigen reellen Zahlen zu definieren, die Standardmetrik der reellen Zahlen. ⓘ

Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen $x\in \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft $|x-3|\leq 9$. ⓘ

Als Lösung erhält man also alle $x$ aus dem Intervall $[-6,12]$. ⓘ

Komplexe Zahlen

Der Absolutwert einer komplexen Zahl $z$ ist der Abstand $r$ von $z$ vom Ursprung. In der Abbildung ist auch zu sehen, dass $z$ und ihre komplex Konjugierte ${\bar {z}}$ denselben Absolutwert haben. ⓘ

Da die komplexen Zahlen nicht geordnet sind, kann die oben für den reellen Absolutwert gegebene Definition nicht direkt auf die komplexen Zahlen angewendet werden. Die geometrische Interpretation des Absolutwerts einer reellen Zahl als ihr Abstand von 0 kann jedoch verallgemeinert werden. Der Absolutwert einer komplexen Zahl ist durch den euklidischen Abstand ihres entsprechenden Punktes in der komplexen Ebene vom Ursprung definiert. Er lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: Für jede komplexe Zahl

$$z=x+iy,$$

wobei $x$ und $y$ sind reelle Zahlen, der Absolutwert oder Modulus von $z$ wird als $|z|$ und ist definiert durch

$$|z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$$

die pythagoräische Addition von $x$ und $y$definiert, wobei $\operatorname {Re} (z)=x$ und $\operatorname {Im} (z)=y$ die Real- und Imaginärteile von $z$bezeichnen. Wenn der Imaginärteil $y$ Null ist, stimmt dies mit der Definition des Absolutwerts der reellen Zahl überein $x$. ⓘ

Wenn eine komplexe Zahl $z$ in ihrer Polarform ausgedrückt wird als $z=re^{i\theta },$ ist ihr absoluter Wert $|z|=r.$ ⓘ

Da das Produkt einer beliebigen komplexen Zahl $z$ und ihre komplex Konjugierte ${\bar {z}}=x-iy$mit demselben Absolutwert immer die nichtnegative reelle Zahl $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ist, ist der absolute Wert einer komplexen Zahl $z$ ist die Quadratwurzel aus $z\cdot {\overline {z}},$ und wird daher als absolutes Quadrat oder quadratischer Modulus von $z$:

$$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$$

Dies verallgemeinert die alternative Definition für reelle Zahlen: ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$. ⓘ

Der komplexe Absolutwert hat die vier grundlegenden Eigenschaften, die oben für den reellen Absolutwert angegeben wurden. Die Identität $|z|^{2}=|z^{2}|$ ist ein Spezialfall der Multiplikativität, der oft auch für sich selbst nützlich ist. ⓘ

Funktion des absoluten Werts

Der Graph der Absolutwertfunktion für reelle Zahlen ⓘ

Komposition des Absolutwerts mit einer kubischen Funktion in verschiedenen Ordnungen ⓘ

Die reelle Absolutwertfunktion ist überall stetig. Sie ist überall differenzierbar, außer für x = 0. Sie ist monoton fallend auf dem Intervall (-∞, 0] und monoton steigend auf dem Intervall [0, +∞). Da eine reelle Zahl und ihr Gegenteil den gleichen Absolutwert haben, ist sie eine gerade Funktion und daher nicht invertierbar. Die reelle Absolutwertfunktion ist eine stückweise lineare, konvexe Funktion. ⓘ

Sowohl für reelle als auch für komplexe Zahlen ist die Absolutwertfunktion idempotent (d. h., dass der Absolutwert eines jeden Absolutwerts er selbst ist). ⓘ

Beziehung zur Vorzeichenfunktion

Die Absolutwertfunktion einer reellen Zahl liefert ihren Wert unabhängig von ihrem Vorzeichen, während die Vorzeichenfunktion (oder Signumfunktion) das Vorzeichen einer Zahl unabhängig von ihrem Wert liefert. Die folgenden Gleichungen zeigen die Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen:

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

oder

$|x|\operatorname {sgn}(x)=x,$

und für x ≠ 0,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$ ⓘ

Ableitung

Die reelle Absolutwertfunktion hat eine Ableitung für jedes x ≠ 0, ist aber nicht differenzierbar bei x = 0. Ihre Ableitung für x ≠ 0 ist durch die Stufenfunktion gegeben:

${\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$ ⓘ

Die reelle Absolutwertfunktion ist ein Beispiel für eine stetige Funktion, die ein globales Minimum erreicht, bei dem die Ableitung nicht existiert. ⓘ

Das Unterdifferential von |x| bei x = 0 ist das Intervall [-1, 1]. ⓘ

Die komplexe Absolutwertfunktion ist überall stetig, aber nirgends komplex differenzierbar, da sie gegen die Cauchy-Riemann-Gleichungen verstößt. ⓘ

Die zweite Ableitung von |x| nach x ist überall Null, außer bei Null, wo es sie nicht gibt. Als verallgemeinerte Funktion kann die zweite Ableitung als das Zweifache der Dirac-Delta-Funktion aufgefasst werden. ⓘ

Antiderivative

Die Antiderivative (unbestimmtes Integral) der reellen Absolutwertfunktion ist ⓘ

$\int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,$ ⓘ

wobei C eine beliebige Integrationskonstante ist. Es handelt sich nicht um ein komplexes Antiderivativ, da komplexe Antiderivate nur für komplex differenzierbare (holomorphe) Funktionen existieren können, was bei der komplexen Absolutwertfunktion nicht der Fall ist. ⓘ

Abstand

Der Absolutwert ist eng mit dem Begriff des Abstands verbunden. Wie bereits erwähnt, ist der Absolutwert einer reellen oder komplexen Zahl der Abstand von dieser Zahl zum Ursprung, entlang der reellen Zahlengeraden für reelle Zahlen oder in der komplexen Ebene für komplexe Zahlen, und ganz allgemein ist der Absolutwert der Differenz zweier reeller oder komplexer Zahlen der Abstand zwischen ihnen. ⓘ

Der euklidische Standardabstand zwischen zwei Punkten ⓘ

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ ⓘ

und ⓘ

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ ⓘ

im euklidischen n-Raum ist definiert als:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$ ⓘ

Dies kann als eine Verallgemeinerung angesehen werden, da für $a_{1}$ und $b_{1}$ reell, d. h. in einem 1-Raum, gemäß der alternativen Definition des Absolutwerts, ⓘ

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$ ⓘ

und für $a=a_{1}+ia_{2}$ und $b=b_{1}+ib_{2}$ komplexe Zahlen, d. h. in einem 2-Raum, ⓘ

$|a-b|$	$=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$
	$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$
	$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

ⓘ

Die obigen Ausführungen zeigen, dass der "Absolutwert"-Abstand für reelle und komplexe Zahlen mit dem euklidischen Standardabstand übereinstimmt, den sie als Ergebnis der Betrachtung als ein- bzw. zweidimensionaler euklidischer Raum erben. ⓘ

Die Eigenschaften des absoluten Wertes der Differenz zweier reeller oder komplexer Zahlen: Nichtnegativität, Identität der Ununterscheidbaren, Symmetrie und die oben genannte Dreiecksungleichung können als Motivation für den allgemeineren Begriff einer Abstandsfunktion wie folgt gesehen werden: Eine reellwertige Funktion d auf einer Menge X × X heißt eine Metrik (oder eine Abstandsfunktion) auf X, wenn sie die folgenden vier Axiome erfüllt:

$d(a,b)\geq 0$	Nicht-Negativität
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identität der Ununterscheidbarkeiten
$d(a,b)=d(b,a)$	Symmetrie
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	Dreiecksungleichheit

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Verallgemeinerungen

Geordnete Ringe

Die oben für reelle Zahlen gegebene Definition des Absolutwerts kann auf jeden geordneten Ring erweitert werden. Das heißt, wenn a ein Element eines geordneten Ringes R ist, dann ist der Absolutwert von a, bezeichnet mit |a|, definiert als:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$ ⓘ

Dabei ist -a die additive Umkehrung von a, 0 ist die additive Identität, und < und ≥ haben die übliche Bedeutung in Bezug auf die Ordnung im Ring. ⓘ

Felder

Die vier grundlegenden Eigenschaften des Absolutwerts für reelle Zahlen können verwendet werden, um den Begriff des Absolutwerts wie folgt auf ein beliebiges Feld zu verallgemeinern. ⓘ

Eine reellwertige Funktion v auf einem Feld F heißt Absolutwert (auch Modulus, Betrag, Wert oder Bewertung), wenn sie die folgenden vier Axiome erfüllt:

$v(a)\geq 0$	Nicht-Negativität
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Positiv-Bestimmtheit
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplikativität
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Subadditivität oder die Dreiecksungleichung

ⓘ

Dabei bezeichnet 0 die additive Identität von F. Aus der positiven Definitheit und der Multiplizität folgt, dass v(1) = 1 ist, wobei 1 die multiplikative Identität von F bezeichnet. Die oben definierten reellen und komplexen Absolutwerte sind Beispiele für Absolutwerte für ein beliebiges Feld. ⓘ

Wenn v ein absoluter Wert auf F ist, dann ist die Funktion d auf F × F, definiert durch d(a, b) = v(a - b), eine Metrik und die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• d befriedigt die ultrametrische Ungleichung $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ für alle x, y, z in F.
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ ist begrenzt in R.
• $v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\$ für alle $n\in \mathbb {N}$.
• $v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\$ für alle $a\in F$.
• $v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\$ für alle $a,b\in F$. ⓘ

Ein Absolutwert, der eine (also alle) der obigen Bedingungen erfüllt, gilt als nicht-archimedisch, andernfalls als archimedisch. ⓘ

Die Fortsetzung auf den Quotientenkörper $K:=\operatorname {Quot} (D)$ von $D$ ist wegen der Multiplikativität eindeutig. ⓘ

Bemerkung

Eine Betragsfunktion $\varphi$ für einen Körper ist eine Bewertung $\varphi$ dieses Körpers. ⓘ

Ist $\varphi (n)\leq 1$ für alle natürlichen $n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-mal}}}$, dann nennt man den Betrag (oder die Bewertung) nichtarchimedisch. ⓘ

Der Betrag $\varphi (x)=1$ für alle $x\neq 0$ (ist nichtarchimedisch und) wird trivial genannt. ⓘ

Bei nichtarchimedischen Beträgen (oder Bewertungen) gilt ⓘ

$\varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y))$

(3’)

die verschärfte Dreiecksungleichung. ⓘ

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch. ⓘ

Vektorräume

Auch hier können die grundlegenden Eigenschaften des Absolutwerts für reelle Zahlen mit einer leichten Modifikation verwendet werden, um den Begriff auf einen beliebigen Vektorraum zu verallgemeinern. ⓘ

Eine reellwertige Funktion auf einem Vektorraum V über einem Feld F, die als || - || dargestellt wird, heißt Absolutwert, in der Regel aber Norm, wenn sie die folgenden Axiome erfüllt: Für alle a in F, und v, u in V, ⓘ

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Nicht-Negativität
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Positiv-Bestimmtheit
$\|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|$	Positive Homogenität oder positive Skalierbarkeit
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Subadditivität oder die Dreiecksungleichung

ⓘ

Die Norm eines Vektors wird auch als seine Länge oder Größe bezeichnet. ⓘ

Im Falle des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$ist die Funktion, die durch ⓘ

$\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$ ⓘ

definierte Funktion ist eine Norm, die als euklidische Norm bezeichnet wird. Wenn die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als eindimensionaler Vektorraum betrachtet werden $\mathbb {R} ^{1}$betrachtet, so ist der Absolutwert eine Norm, und zwar die p-Norm (siehe Lp-Raum) für jedes p. Tatsächlich ist der Absolutwert die "einzige" Norm auf $\mathbb {R} ^{1}$in dem Sinne, dass für jede Norm || - || auf $\mathbb {R} ^{1}$||x|| = ||1|| ⋅ |x|. ⓘ

Der komplexe Absolutwert ist ein Spezialfall der Norm in einem inneren Produktraum, der mit der euklidischen Norm identisch ist, wenn die komplexe Ebene mit der euklidischen Ebene identifiziert wird $\mathbb {R} ^{2}$. ⓘ

Kompositionsalgebren

Jede Kompositionsalgebra A hat eine Involution x → x*, die Konjugation genannt wird. Das Produkt in A aus einem Element x und seiner Konjugation x* wird mit N(x) = x x* geschrieben und als Norm von x bezeichnet. ⓘ

Die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, komplexe Zahlen $\mathbb {C}$und Quaternionen $\mathbb {H}$ sind alle Kompositionsalgebren mit Normen, die durch bestimmte quadratische Formen gegeben sind. Der Absolutwert in diesen Divisionsalgebren ist durch die Quadratwurzel der Norm der Kompositionsalgebra gegeben. ⓘ

Im Allgemeinen kann die Norm einer Kompositionsalgebra eine quadratische Form sein, die nicht eindeutig ist und Nullvektoren hat. Wie bei den Divisionsalgebren gilt jedoch auch hier: Wenn ein Element x eine von Null verschiedene Norm hat, dann hat x eine multiplikative Inverse, die durch x*/N(x) gegeben ist. ⓘ

Betragsfunktion für Körper

Äquivalenz von Beträgen

Sind $\varphi$ und $\psi$ Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers $K$, dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:

1. Jede Folge $\{x_{\nu }\}$, die unter $\varphi$ eine Nullfolge ist, d. h. $\lim \limits _{\nu \to \infty }\varphi (x_{\nu })=0$, ist auch unter $\psi$ eine Nullfolge – und umgekehrt.
2. Aus $\varphi (x)<1$ folgt $\psi (x)<1$.
3. $\psi$ ist eine Potenz von $\varphi$, d. h. $\psi (x)=\varphi (x)^{\epsilon }$ für alle $x$ mit einem festen $\epsilon >0$. ⓘ

Beispiele

Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion. ⓘ

$|7|=7$

$|{-8}|=-(-8)=8$

$|3+4\mathrm {i} |={\sqrt {(3+4\mathrm {i} )\cdot (3-4\mathrm {i} )}}={\sqrt {3^{2}-(4\mathrm {i} )^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$ ⓘ

Analytische Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden Eigenschaften der Betragsfunktion angeführt, die insbesondere im mathematischen Bereich der Analysis von Interesse sind. ⓘ

Nullstelle

Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt $|z|=0$ gilt genau dann, wenn $z=0$ gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit. ⓘ

Archimedischer Betrag

Beide Betragsfunktionen, die reelle und die komplexe, werden archimedisch genannt, weil es eine ganze Zahl $n$ gibt mit $|n|>1$. Daraus folgt aber auch, dass für alle ganzen Zahlen $m>1$ ebenfalls $|m|>1$ ist. ⓘ