Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Beispiel für den Betrag der Fourier-Transformation einer bandbegrenzten Funktion ⓘ

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Signalverarbeitung, das als grundlegende Brücke zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Signalen dient. Es stellt eine hinreichende Bedingung für eine Abtastrate auf, die es einer diskreten Folge von Abtastwerten ermöglicht, alle Informationen eines zeitkontinuierlichen Signals mit endlicher Bandbreite zu erfassen. ⓘ

Streng genommen gilt das Theorem nur für eine Klasse von mathematischen Funktionen, deren Fourier-Transformation außerhalb eines endlichen Frequenzbereichs gleich Null ist. Intuitiv erwarten wir, dass bei der Reduktion einer kontinuierlichen Funktion auf eine diskrete Sequenz und der Interpolation zurück zu einer kontinuierlichen Funktion die Wiedergabetreue des Ergebnisses von der Dichte (oder Abtastrate) der ursprünglichen Abtastwerte abhängt. Das Abtasttheorem führt das Konzept einer Abtastrate ein, die für die Klasse der Funktionen, die auf eine bestimmte Bandbreite begrenzt sind, für eine perfekte Wiedergabetreue ausreicht, so dass bei der Abtastung keine tatsächlichen Informationen verloren gehen. Es drückt die ausreichende Abtastrate in Form der Bandbreite für die Klasse der Funktionen aus. Das Theorem führt auch zu einer Formel für die perfekte Rekonstruktion der ursprünglichen zeitkontinuierlichen Funktion aus den Proben. ⓘ

Eine perfekte Rekonstruktion kann auch dann möglich sein, wenn das Abtastratenkriterium nicht erfüllt ist, vorausgesetzt, andere Einschränkungen des Signals sind bekannt (siehe § Abtastung von Nicht-Basisbandsignalen und Compressed Sensing). In einigen Fällen (wenn das Kriterium der Abtastrate nicht erfüllt ist) ermöglicht die Verwendung zusätzlicher Beschränkungen annähernde Rekonstruktionen. Die Genauigkeit dieser Rekonstruktionen kann mit Hilfe des Bochner-Theorems überprüft und quantifiziert werden. ⓘ

Der Name Nyquist-Shannon-Sampling-Theorem ehrt Harry Nyquist und Claude Shannon, aber das Theorem wurde auch schon von E. T. Whittaker entdeckt (1915 veröffentlicht), und Shannon zitierte Whittakers Arbeit in seinem Werk. Das Theorem ist daher auch unter den Namen Whittaker-Shannon-Sampling-Theorem, Whittaker-Shannon und Whittaker-Nyquist-Shannon bekannt und kann auch als Kardinal-Theorem der Interpolation bezeichnet werden. ⓘ

Das Abtasttheorem besagt, dass ein auf $f_{\text{max}}$ bandbegrenztes Signal aus einer Folge von äquidistanten Abtastwerten exakt rekonstruiert werden kann, wenn es mit einer Frequenz von größer als $2\cdot f_{\text{max}}$ abgetastet wurde. ⓘ

Einführung

Bei der Abtastung wird ein Signal (z. B. eine zeitlich oder räumlich kontinuierliche Funktion) in eine Folge von Werten (eine zeitlich oder räumlich diskrete Funktion) umgewandelt. Die Shannonsche Version des Theorems lautet

Wenn eine Funktion $x(t)$ keine Frequenzen enthält, die höher als B Hertz sind, ist sie vollständig bestimmt, indem man ihre Ordinaten an einer Reihe von Punkten angibt, die $1/(2B)$ Sekunden Abstand. ⓘ

Eine ausreichende Abtastrate ist daher alles, was größer ist als $2B$ Stichproben pro Sekunde. Entsprechend ist bei einer gegebenen Abtastrate $f_{s}$eine perfekte Rekonstruktion garantiert möglich, wenn das Bandlimit $B<f_{s}/2$. ⓘ

Wenn die Bandgrenze zu hoch ist (oder es keine Bandgrenze gibt), weist die Rekonstruktion Unvollkommenheiten auf, die als Aliasing bekannt sind. In modernen Erklärungen des Theorems wird manchmal darauf geachtet, ausdrücklich zu sagen, dass $x(t)$ keine sinusförmige Komponente bei genau der Frequenz $B,$ oder dass $B$ streng kleiner als ½ der Abtastrate sein muss. Der Schwellenwert $2B$ wird als Nyquist-Rate bezeichnet und ist ein Attribut der zeitkontinuierlichen Eingabe $x(t)$ die abgetastet werden soll. Die Abtastrate muss höher sein als die Nyquist-Rate, damit die Abtastwerte ausreichen, um $x(t).$  Der Schwellenwert $f_{s}/2$ wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet und ist ein Attribut der Abtasteinrichtung. Alle aussagekräftigen Frequenzkomponenten des richtig abgetasteten $x(t)$ liegen unterhalb der Nyquist-Frequenz. Die durch diese Ungleichungen beschriebene Bedingung wird als Nyquist-Kriterium oder manchmal auch als Raabe-Bedingung bezeichnet. Das Theorem ist auch auf Funktionen anderer Bereiche anwendbar, z. B. auf den Raum im Falle eines digitalisierten Bildes. Die einzige Änderung im Fall anderer Bereiche ist die Maßeinheit, die $t,$ $f_{s},$ und $B.$ ⓘ

Die normierte sinc-Funktion: sin(πx) / (πx) ... zeigt die zentrale Spitze bei x = 0, und Nulldurchgänge bei den anderen ganzzahligen Werten von x. ⓘ

Das Symbol $T\triangleq 1/f_{s}$ wird üblicherweise verwendet, um das Intervall zwischen den Abtastungen darzustellen, und wird als Abtastperiode oder Abtastintervall bezeichnet. Die Stichproben der Funktion $x(t)$ werden üblicherweise bezeichnet durch $x[n]\triangleq x(nT)$ (alternativ $x_{n}$ in der älteren Signalverarbeitungsliteratur), für alle ganzzahligen Werte von $n.$  Eine andere geeignete Definition ist $x[n]\triangleq T\cdot x(nT),$ die die Energie des Signals bewahrt, wenn $T$ variiert. ⓘ

Eine mathematisch ideale Methode zur Interpolation der Sequenz ist die Verwendung von Sinc-Funktionen. Jeder Abtastwert in der Sequenz wird durch eine Sinusfunktion ersetzt, die auf der Zeitachse an der ursprünglichen Stelle des Abtastwerts zentriert ist $nT,$ wobei die Amplitude der Sinusfunktion auf den Abtastwert skaliert ist, $x[n].$ Anschließend werden die Sinc-Funktionen zu einer kontinuierlichen Funktion summiert. Eine mathematisch äquivalente Methode besteht darin, eine Sinc-Funktion mit einer Reihe von Dirac-Delta-Impulsen zu falten, die mit den Probenwerten gewichtet werden. Beide Methoden sind numerisch nicht praktikabel. Stattdessen wird eine Art der Annäherung an die sinc-Funktionen mit endlicher Länge verwendet. Die Unzulänglichkeiten, die auf die Approximation zurückzuführen sind, werden als Interpolationsfehler bezeichnet. ⓘ

Praktische Digital-Analog-Wandler erzeugen weder skalierte und verzögerte Sinc-Funktionen noch ideale Dirac-Impulse. Stattdessen erzeugen sie eine stückweise konstante Sequenz von skalierten und verzögerten Rechteckimpulsen (der Halt nullter Ordnung), gefolgt von einem Tiefpassfilter (dem so genannten "Antiimaging-Filter"), um störende hochfrequente Nachbildungen (Bilder) des ursprünglichen Basisbandsignals zu entfernen. ⓘ

Aliasing

Die Abtastwerte zweier Sinuswellen können identisch sein, wenn mindestens eine von ihnen eine Frequenz über der halben Abtastrate hat. ⓘ

Wenn $x(t)$ eine Funktion mit einer Fourier-Transformation ist $X(f)$: ⓘ

$X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,$ ⓘ

ist, zeigt die Poisson-Summenformel, dass die Abtastwerte, $x(nT)$, von $x(t)$ ausreichen, um eine periodische Summierung von $X(f)$. Das Ergebnis ist: ⓘ

$X_{s}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-kf_{s}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf},$

(Gl.1) ⓘ

X(f) (oben blau) und X_A(f) (unten blau) sind kontinuierliche Fourier-Transformationen von zwei verschiedenen Funktionen, $x(t)$ und $x_{A}(t)$ (nicht gezeigt). Wenn die Funktionen mit einer Rate von 1:1 abgetastet werden $f_{s}$abgetastet werden, werden die Bilder (grün) zu den ursprünglichen Transformationen (blau) hinzugefügt, wenn man die zeitdiskreten Fourier-Transformationen (DTFT) der Sequenzen untersucht. In diesem hypothetischen Beispiel sind die DTFTs identisch, was bedeutet die abgetasteten Sequenzen sind identischsind, auch wenn die ursprünglichen kontinuierlichen, vorabgetasteten Funktionen nicht identisch sind. Wenn es sich um Audiosignale handeln würde, $x(t)$ und $x_{A}(t)$ würden sie vielleicht nicht gleich klingen. Aber ihre Abtastwerte (bei der Abtastrate fs) sind identisch und würden zu identischen reproduzierten Klängen führen; daher ist xA(t) ein Alias von x(t) bei dieser Abtastrate. ⓘ

die eine periodische Funktion ist, und ihre äquivalente Darstellung als Fourier-Reihe, deren Koeffizienten sind $T\cdot x(nT).$ Diese Funktion wird auch als die zeitdiskrete Fourier-Transformation (DTFT) der Abtastsequenz bezeichnet. ⓘ

Wie dargestellt, werden Kopien von $X(f)$ um Vielfache der Abtastrate verschoben $f_{s}$ verschoben und durch Addition kombiniert. Für eine bandbegrenzte Funktion  $(X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)$  und ausreichend großen $f_{s},$ ist es möglich, dass die Kopien voneinander getrennt bleiben. Wenn jedoch das Nyquist-Kriterium nicht erfüllt ist, überschneiden sich benachbarte Kopien, und es ist im Allgemeinen nicht möglich, eine eindeutige $X(f).$ Jede Frequenzkomponente über $f_{s}/2$ ist nicht von einer niedrigeren Frequenzkomponente zu unterscheiden, die als Alias bezeichnet wird und zu einer der Kopien gehört. In solchen Fällen erzeugen die üblichen Interpolationstechniken das Alias und nicht die Originalkomponente. Wenn die Abtastrate durch andere Überlegungen (z. B. einen Industriestandard) vorbestimmt ist, $x(t)$ in der Regel gefiltert, um die hohen Frequenzen auf ein akzeptables Niveau zu reduzieren, bevor es abgetastet wird. Der erforderliche Filtertyp ist ein Tiefpassfilter und wird in dieser Anwendung als Anti-Aliasing-Filter bezeichnet. ⓘ

Spektrum, Xs(f), eines korrekt abgetasteten bandbegrenzten Signals (blau) und der benachbarten DTFT-Bilder (grün), die sich nicht überschneiden. Ein Brick-Wall-Tiefpassfilter, H(f), entfernt die Bilder, belässt das ursprüngliche Spektrum, X(f), und stellt das ursprüngliche Signal aus seinen Abtastwerten wieder her. ⓘ

Die linke Abbildung zeigt eine Funktion (in Grau/Schwarz), die mit stetig zunehmender Abtastdichte abgetastet und rekonstruiert wird (in Gold), während die rechte Abbildung das Frequenzspektrum der grau/schwarzen Funktion zeigt, das sich nicht verändert. Die höchste Frequenz im Spektrum ist ½ der Breite des gesamten Spektrums. Die Breite der stetig ansteigenden rosa Schattierung ist gleich der Abtastrate. Wenn sie das gesamte Frequenzspektrum umfasst, ist sie doppelt so groß wie die höchste Frequenz, und das ist der Fall, wenn die rekonstruierte Wellenform mit der abgetasteten Wellenform übereinstimmt. ⓘ

Ableitung als Spezialfall der Poisson-Summation

Wenn es keine Überlappung der Kopien (auch als "Bilder" bezeichnet) von $X(f)$, kann der $k=0$ Term von Gl.1 durch das Produkt wiederhergestellt werden: ⓘ

$X(f)=H(f)\cdot X_{s}(f),$      wobei: ⓘ

$H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}$ ⓘ

Das Stichprobentheorem ist bewiesen, da $X(f)$ Eindeutig bestimmt $x(t).$ ⓘ

Es bleibt nur noch, die Formel für die Rekonstruktion herzuleiten. $H(f)$ braucht in der Region nicht genau definiert zu sein $[B,\ f_{s}-B]$ weil $X_{s}(f)$ in dieser Region gleich Null ist. Der schlechteste Fall ist jedoch, wenn $B=f_{s}/2,$ die Nyquist-Frequenz. Eine Funktion, die für diesen und alle weniger schweren Fälle ausreicht, ist ⓘ

$H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}$ ⓘ

wobei rect(-) die Rechteckfunktion ist.  Daraus folgt: ⓘ

$X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{s}(f)$

$=\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}$      (aus Gl.1, oben).

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.$      ⓘ

Die Rücktransformation beider Seiten ergibt die Whittaker-Shannon-Interpolationsformel: ⓘ

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),$ ⓘ

die zeigt, wie die Proben, $x(nT),$ kombiniert werden können, um zu rekonstruieren $x(t).$ ⓘ

• Größere als die notwendigen Werte von fs (kleinere Werte von T), das so genannte Oversampling, haben keine Auswirkungen auf das Ergebnis der Rekonstruktion und haben den Vorteil, dass sie Raum für ein Übergangsband lassen, in dem H(f) Zwischenwerte annehmen kann. Unterabtastung, die Aliasing verursacht, ist im Allgemeinen nicht umkehrbar.
• Theoretisch kann die Interpolationsformel als Tiefpassfilter implementiert werden, dessen Impulsantwort sinc(t/T) ist und dessen Eingang $\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),$ eine Dirac-Kammfunktion ist, die durch die Signalabtastwerte moduliert wird. Praktische Digital-Analog-Wandler (DAC) implementieren eine Annäherung wie die Haltefunktion nullter Ordnung. In diesem Fall kann eine Überabtastung den Approximationsfehler verringern. ⓘ

Der ursprüngliche Beweis von Shannon

Poisson zeigt, dass die Fourier-Reihe in Gleichung 1 die periodische Summierung von $X(f)$ergibt, unabhängig von $f_{s}$ und $B$. Shannon leitet jedoch nur die Serienkoeffizienten für den Fall ab $f_{s}=2B$. Quasi ein Zitat aus Shannons Originalarbeit:

Sei $X(\omega )$ sei das Spektrum von $x(t).$  Dann sei ⓘ

$x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,$ ⓘ

weil $X(\omega )$ außerhalb des Bandes $\left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.$  Wenn wir lassen $t={\tfrac {n}{2B}},$ wobei $n$ eine beliebige positive oder negative ganze Zahl ist, erhalten wir:

$x\left({\tfrac {n}{2B}}\right)={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega {n \over {2B}}}\;{\rm {d}}\omega .$

(Gleichung.2) ⓘ

Auf der linken Seite sind die Werte von $x(t)$ an den Probenahmestellen. Das Integral auf der rechten Seite ist im Wesentlichen der n-te Koeffizient in einer Fourier-Reihenentwicklung der Funktion $X(\omega ),$ die das Intervall $-B$ bis $B$ als Grundperiode nimmt. Das bedeutet, dass die Werte der Stichproben $x(n/2B)$ die Fourier-Koeffizienten in der Reihenentwicklung von $X(\omega ).$  Sie bestimmen also $X(\omega ),$ da $X(\omega )$ für Frequenzen größer als B gleich Null ist, und für niedrigere Frequenzen $X(\omega )$ bestimmt wird, wenn seine Fourier-Koeffizienten bestimmt werden. Aber $X(\omega )$ bestimmt die ursprüngliche Funktion $x(t)$ vollständig, da eine Funktion bestimmt wird, wenn ihr Spektrum bekannt ist. Daher bestimmen die ursprünglichen Proben die Funktion $x(t)$ vollständig. ⓘ

Shannons Beweis des Theorems ist an dieser Stelle vollständig, aber er fährt fort, die Rekonstruktion über sinc-Funktionen zu erörtern, was wir heute als Whittaker-Shannon-Interpolationsformel bezeichnen, wie oben beschrieben. Er leitet die Eigenschaften der sinc-Funktion nicht ab und beweist sie auch nicht, aber diese wären den Ingenieuren, die seine Werke zu jener Zeit lasen, vertraut gewesen, da die Fourier-Paar-Beziehung zwischen rect (der Rechteckfunktion) und sinc gut bekannt war. ⓘ

Sei $x_{n}$ sei die n-te Probe. Dann wird die Funktion $x(t)$ dargestellt durch:

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.$ ⓘ

Wie in dem anderen Beweis wird die Existenz der Fourier-Transformierten des ursprünglichen Signals vorausgesetzt, so dass der Beweis keine Aussage darüber macht, ob das Abtasttheorem auch für bandbegrenzte stationäre Zufallsprozesse gilt. ⓘ

Anwendung auf multivariable Signale und Bilder

Unterabgetastetes Bild, das ein Moiré-Muster zeigt ⓘ

Ordnungsgemäß abgetastetes Bild ⓘ

Das Abtasttheorem wird normalerweise für Funktionen einer einzigen Variablen formuliert. Daher ist das Theorem direkt auf zeitabhängige Signale anwendbar und wird normalerweise in diesem Zusammenhang formuliert. Das Abtasttheorem kann jedoch auf einfache Weise auf Funktionen mit beliebig vielen Variablen ausgedehnt werden. Graustufenbilder beispielsweise werden häufig als zweidimensionale Felder (oder Matrizen) aus reellen Zahlen dargestellt, die die relativen Intensitäten der Pixel (Bildelemente) an den Schnittpunkten der Zeilen- und Spaltenabtaststellen repräsentieren. Daraus ergibt sich, dass Bilder zwei unabhängige Variablen oder Indizes benötigen, um jedes Pixel eindeutig zu spezifizieren - eine für die Zeile und eine für die Spalte. ⓘ

Farbbilder bestehen in der Regel aus einem Kompositum von drei separaten Graustufenbildern, von denen jeweils eines die drei Grundfarben Rot, Grün und Blau, kurz RGB, darstellt. Andere Farbräume, die 3-Vektoren für Farben verwenden, sind HSV, CIELAB, XYZ usw. Einige Farbräume wie Cyan, Magenta, Gelb und Schwarz (CMYK) können Farben in vier Dimensionen darstellen. All diese werden als vektorwertige Funktionen über einen zweidimensionalen Abtastbereich behandelt. ⓘ

Ähnlich wie bei eindimensionalen diskreten Zeitsignalen kann es auch bei Bildern zu Aliasing kommen, wenn die Abtastauflösung bzw. Pixeldichte unzureichend ist. So kann z. B. ein digitales Foto eines gestreiften Hemdes mit hohen Frequenzen (d. h. der Abstand zwischen den Streifen ist gering) bei der Abtastung durch den Bildsensor der Kamera ein Aliasing des Hemdes verursachen. Das Aliasing erscheint als Moiré-Muster. Die "Lösung" für eine höhere Abtastung im räumlichen Bereich wäre in diesem Fall, näher an das Hemd heranzugehen, einen Sensor mit höherer Auflösung zu verwenden oder das Bild vor der Aufnahme mit dem Sensor mit einem optischen Tiefpassfilter optisch unscharf zu machen. ⓘ

Ein weiteres Beispiel ist rechts in den Ziegelmustern zu sehen. Das obere Bild zeigt die Auswirkungen, wenn die Bedingung des Abtasttheorems nicht erfüllt ist. Wenn eine Software ein Bild neu skaliert (derselbe Prozess, der das im unteren Bild gezeigte Thumbnail erzeugt), durchläuft das Bild zunächst einen Tiefpassfilter und wird dann heruntergerechnet, um ein kleineres Bild zu erhalten, das keine Moiré-Muster aufweist. Das obere Bild zeigt, was passiert, wenn das Bild ohne Tiefpassfilterung heruntergetastet wird: Es entsteht Aliasing. ⓘ

Das Abtasttheorem gilt für Kamerasysteme, bei denen die Szene und das Objektiv eine analoge räumliche Signalquelle darstellen und der Bildsensor ein räumliches Abtastgerät ist. Jede dieser Komponenten ist durch eine Modulationsübertragungsfunktion (MTF) gekennzeichnet, die die genaue Auflösung (räumliche Bandbreite) darstellt, die in dieser Komponente verfügbar ist. Aliasing- oder Unschärfeeffekte können auftreten, wenn die MTF des Objektivs und die MTF des Sensors nicht übereinstimmen. Wenn das optische Bild, das vom Sensor abgetastet wird, höhere Raumfrequenzen enthält als der Sensor, wirkt die Unterabtastung wie ein Tiefpassfilter, um Aliasing zu reduzieren oder zu beseitigen. Wenn die Fläche des Abtastpunkts (die Größe des Pixelsensors) nicht groß genug ist, um ein ausreichendes räumliches Anti-Aliasing zu gewährleisten, kann ein separater Anti-Aliasing-Filter (optischer Tiefpassfilter) in ein Kamerasystem eingebaut werden, um die MTF des optischen Bildes zu reduzieren. Anstelle eines optischen Filters führt die Grafikverarbeitungseinheit von Smartphone-Kameras eine digitale Signalverarbeitung durch, um Aliasing mit einem digitalen Filter zu entfernen. Digitale Filter bewirken auch eine Schärfung, um den Kontrast des Objektivs bei hohen Raumfrequenzen zu verstärken, der sonst an der Beugungsgrenze schnell abfällt. ⓘ

Das Abtasttheorem gilt auch für die Nachbearbeitung digitaler Bilder, z. B. für das Up- oder Downsampling. Die Auswirkungen von Aliasing, Unschärfe und Schärfe können durch digitale Filterung in Software angepasst werden, die notwendigerweise den theoretischen Grundsätzen folgt. ⓘ

Kritische Frequenz

Zur Veranschaulichung der Notwendigkeit von $f_{s}>2B$zu veranschaulichen, betrachten wir die Familie der Sinusschwingungen, die durch verschiedene Werte von $\theta$ in dieser Formel erzeugt werden: ⓘ

$x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.$ ⓘ

Eine Familie von Sinuskurven mit der kritischen Frequenz, die alle die gleichen Abtastsequenzen von abwechselnd +1 und -1 haben. Das heißt, sie sind alle Aliase voneinander, auch wenn ihre Frequenz nicht über der halben Abtastrate liegt. ⓘ

Mit $f_{s}=2B$ oder äquivalent $T=1/2B$sind die Abtastwerte durch gegeben: ⓘ

$x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}$ ⓘ

unabhängig vom Wert von $\theta$. Diese Art von Zweideutigkeit ist der Grund für die strenge Ungleichheit der Bedingung des Abtasttheorems. ⓘ

Abtastung von Nicht-Basisbandsignalen

Wie von Shannon diskutiert:

Ein ähnliches Ergebnis gilt, wenn das Band nicht bei der Frequenz Null, sondern bei einem höheren Wert beginnt, und kann durch eine lineare Übersetzung (die physikalisch der Einseitenbandmodulation entspricht) des Null-Frequenz-Falls bewiesen werden. In diesem Fall wird der Elementarimpuls aus sin(x)/x durch Einseitenbandmodulation gewonnen. ⓘ

Das heißt, es gibt eine hinreichende verlustfreie Bedingung für die Abtastung von Signalen, die keine Basisbandkomponenten haben, die die Breite des Frequenzintervalls ungleich Null im Gegensatz zu seiner höchsten Frequenzkomponente betrifft. Siehe Abtastung (Signalverarbeitung) für weitere Einzelheiten und Beispiele. ⓘ

Um z. B. FM-Radiosignale im Frequenzbereich von 100-102 MHz abzutasten, ist es nicht erforderlich, bei 204 MHz (doppelte obere Frequenz) abzutasten, sondern es reicht aus, bei 4 MHz (doppelte Breite des Frequenzintervalls) abzutasten. ⓘ

Eine Bandpassbedingung ist, dass X(f) = 0 für alle nichtnegativen f außerhalb des offenen Frequenzbandes ist:

$$\left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),$$

für eine nichtnegative ganze Zahl N. Diese Formulierung umfasst die normale Basisbandbedingung als den Fall N=0. ⓘ

Die entsprechende Interpolationsfunktion ist die Impulsantwort eines idealen Brick-Wall-Bandpassfilters (im Gegensatz zu dem oben verwendeten idealen Brick-Wall-Tiefpassfilter) mit Grenzwerten am oberen und unteren Rand des angegebenen Bandes, d. h. die Differenz zwischen einem Paar von Tiefpass-Impulsantworten:

$$(N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).$$

ⓘ

Andere Verallgemeinerungen, zum Beispiel für Signale, die mehrere nicht zusammenhängende Bänder belegen, sind ebenfalls möglich. Selbst die am meisten verallgemeinerte Form des Abtasttheorems hat keinen beweisbar wahren Umkehrschluss. Das heißt, man kann nicht zu dem Schluss kommen, dass zwangsläufig Informationen verloren gehen, nur weil die Bedingungen des Abtasttheorems nicht erfüllt sind; aus technischer Sicht kann man jedoch im Allgemeinen sicher davon ausgehen, dass Informationen höchstwahrscheinlich verloren gehen, wenn das Abtasttheorem nicht erfüllt ist. ⓘ

Die Bedingung f_abtast > 2 · f_max aus dem Abtasttheorem ist eine vereinfachte Darstellung, die allerdings sehr gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss anstelle von f_max die Bandbreite stehen, die durch den Bereich zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Frequenz definiert ist. Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f_max identisch, Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten Anteilen in der Nähe von 0 Hz. ⓘ

Um in der Praxis die notwendige punktförmige Abtastung wenigstens näherungsweise realisieren zu können, muss die Abtast-Halte-Schaltung jedoch derart ausgelegt werden, dass das Ausleseintervall so eng wird, wie es für eine Abtastfrequenz von 220 MHz oder mehr vonnöten wäre. Zu vergleichen ist das mit einer Abtastung mit 220 MHz, von der nur jeder fünfte Wert weiterbenutzt wird, während die je vier dazwischenliegenden Abtastwerte verworfen werden. ⓘ

Ungleichmäßige Probenahme

Die Abtasttheorie von Shannon kann für den Fall ungleichmäßiger Abtastung verallgemeinert werden, d. h. für Abtastungen, die nicht in gleichen Zeitabständen erfolgen. Die Shannonsche Abtasttheorie für ungleichmäßige Abtastung besagt, dass ein bandbegrenztes Signal aus seinen Abtastwerten perfekt rekonstruiert werden kann, wenn die durchschnittliche Abtastrate die Nyquist-Bedingung erfüllt. Obwohl gleichmäßig verteilte Abtastwerte zu einfacheren Rekonstruktionsalgorithmen führen können, ist dies keine notwendige Bedingung für eine perfekte Rekonstruktion. ⓘ

Die allgemeine Theorie für nicht-basisbandige und nicht-gleichförmige Abtastwerte wurde 1967 von Henry Landau entwickelt. Er bewies, dass die durchschnittliche Abtastrate (gleichmäßig oder nicht) doppelt so hoch sein muss wie die belegte Bandbreite des Signals, vorausgesetzt, es ist a priori bekannt, welcher Teil des Spektrums belegt wurde. In den späten 1990er Jahren wurde diese Arbeit teilweise auf Signale ausgedehnt, deren belegte Bandbreite bekannt war, aber der tatsächlich belegte Teil des Spektrums war unbekannt. In den 2000er Jahren wurde eine vollständige Theorie entwickelt (siehe den Abschnitt Abtastung unterhalb der Nyquist-Rate unter zusätzlichen Einschränkungen weiter unten) unter Verwendung von Compressed Sensing entwickelt. Die Theorie wird in dieser Arbeit von 2009 in der Sprache der Signalverarbeitung beschrieben. Darin wird unter anderem gezeigt, dass bei unbekannten Frequenzorten eine Abtastung mit mindestens dem doppelten Nyquist-Kriterium erforderlich ist, d. h. man muss mindestens einen Faktor 2 dafür zahlen, dass man den Ort des Spektrums nicht kennt. Beachten Sie, dass Mindestanforderungen an die Abtastung nicht unbedingt Stabilität garantieren. ⓘ

Abtastung unterhalb der Nyquist-Rate unter zusätzlichen Einschränkungen

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem liefert eine hinreichende Bedingung für die Abtastung und Rekonstruktion eines bandbegrenzten Signals. Wenn die Rekonstruktion über die Whittaker-Shannon-Interpolationsformel erfolgt, ist das Nyquist-Kriterium auch eine notwendige Bedingung zur Vermeidung von Aliasing in dem Sinne, dass einige Signale nicht korrekt rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate langsamer als das Doppelte der Bandgrenze ist. Werden dem Signal jedoch weitere Einschränkungen auferlegt, ist das Nyquist-Kriterium möglicherweise keine notwendige Bedingung mehr. ⓘ

Ein nicht-triviales Beispiel für die Ausnutzung zusätzlicher Annahmen über das Signal ist das neuere Feld der komprimierten Abtastung, das eine vollständige Rekonstruktion mit einer Abtastrate unter Nyquist ermöglicht. Dies gilt insbesondere für Signale, die in einem bestimmten Bereich spärlich (oder komprimierbar) sind. Beim Compressed Sensing geht es beispielsweise um Signale, die zwar eine geringe Gesamtbandbreite (z. B. die effektive Bandbreite EB) haben, deren Frequenzorte jedoch unbekannt sind und nicht alle in einem einzigen Band liegen, so dass die Durchlassbandtechnik nicht anwendbar ist. Mit anderen Worten: Das Frequenzspektrum ist spärlich. Traditionell beträgt die erforderliche Abtastrate daher 2B. Mit Hilfe von Compressed-Sensing-Techniken könnte das Signal perfekt rekonstruiert werden, wenn es mit einer Abtastrate von etwas weniger als 2EB abgetastet wird. Bei diesem Ansatz ist die Rekonstruktion nicht mehr durch eine Formel gegeben, sondern durch die Lösung eines linearen Optimierungsprogramms. ⓘ

Ein weiteres Beispiel, bei dem die Sub-Nyquist-Abtastung optimal ist, ergibt sich unter der zusätzlichen Bedingung, dass die Abtastwerte optimal quantisiert werden, wie in einem kombinierten System aus Abtastung und optimaler verlustbehafteter Kompression. Diese Einstellung ist in Fällen relevant, in denen die gemeinsame Wirkung von Abtastung und Quantisierung zu berücksichtigen ist, und kann eine untere Schranke für den minimalen Rekonstruktionsfehler liefern, der bei der Abtastung und Quantisierung eines Zufallssignals erreicht werden kann. Bei stationären Gaußschen Zufallssignalen wird diese untere Schranke in der Regel bei einer Sub-Nyquist-Abtastrate erreicht, was darauf hinweist, dass die Sub-Nyquist-Abtastung für dieses Signalmodell bei optimaler Quantisierung optimal ist. ⓘ

Historischer Hintergrund

Das Abtasttheorem geht auf die Arbeit von Harry Nyquist aus dem Jahr 1928 zurück, in der er zeigte, dass bis zu 2B unabhängige Impulsabtastungen durch ein System der Bandbreite B gesendet werden können; er betrachtete jedoch nicht ausdrücklich das Problem der Abtastung und Rekonstruktion kontinuierlicher Signale. Etwa zur gleichen Zeit zeigte Karl Küpfmüller ein ähnliches Ergebnis und erörterte die Sinus-Impulsantwort eines bandbegrenzenden Filters über sein Integral, das Sinus-Integral mit Sprungantwort; dieses bandbegrenzende und rekonstruierende Filter, das für das Abtasttheorem so zentral ist, wird manchmal als Küpfmüller-Filter bezeichnet (allerdings selten auf Englisch). ⓘ

Das Abtasttheorem, im Wesentlichen ein Dual des Nyquist-Ergebnisses, wurde von Claude E. Shannon bewiesen. V. A. Kotelnikov veröffentlichte ähnliche Ergebnisse im Jahr 1933, ebenso wie der Mathematiker E. T. Whittaker im Jahr 1915, J. M. Whittaker im Jahr 1935 und Gabor im Jahr 1946 ("Theory of communication"). Im Jahr 1999 verlieh die Eduard-Rhein-Stiftung Kotelnikov ihren Grundlagenforschungspreis "für die erste theoretisch exakte Formulierung des Stichprobentheorems". ⓘ

1948 und 1949 veröffentlichte Claude E. Shannon - 16 Jahre nach Vladimir Kotelnikov - die beiden revolutionären Artikel, in denen er die Informationstheorie begründete. In Shannon 1948 wird das Abtasttheorem als "Theorem 13" formuliert: Möge f(t) keine Häufigkeiten über W enthalten.

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},$ wobei $X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right)$.

Erst mit der Veröffentlichung dieser Artikel wurde das als "Shannons Abtasttheorem" bekannte Theorem zum Allgemeingut der Nachrichtentechniker, obwohl Shannon selbst schreibt, dass dies eine Tatsache ist, die in der Nachrichtentechnik allgemein bekannt ist. Ein paar Zeilen weiter fügt er jedoch hinzu: "aber trotz seiner offensichtlichen Bedeutung scheint es nicht ausdrücklich in der kommunikationstheoretischen Literatur erschienen zu sein". ⓘ

Claude Shannon stützte sich auf Überlegungen von Harry Nyquist zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und dessen Sohn John Macnaghten Whittaker (1928). Zu ähnlichen Resultaten wie Nyquist kam Karl Küpfmüller 1928. ⓘ

Erst die Rechercheure der Eduard-Rhein-Stiftung haben die Priorität (1933) von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow zweifelsfrei nachgewiesen. Dafür bekam er 1999 den Eduard-Rhein-Preis. ⓘ

Unabhängig von Kotelnikow formulierte Herbert P. Raabe das Abtasttheorem 1939. ⓘ

Andere Entdecker

Andere Personen, die unabhängig voneinander das Sampling-Theorem entdeckt oder an seiner Entwicklung mitgewirkt haben, wurden in mehreren historischen Artikeln erwähnt, z. B. von Jerri und Lüke. Lüke weist zum Beispiel darauf hin, dass H. Raabe, ein Assistent von Küpfmüller, das Theorem in seiner Dissertation von 1939 bewiesen hat; der Begriff Raabe-Bedingung wurde mit dem Kriterium für eine eindeutige Darstellung (Abtastrate größer als die doppelte Bandbreite) in Verbindung gebracht. Meijering erwähnt mehrere andere Entdecker und Namen in einem Absatz und zwei Fußnoten:

Wie von Higgins [135] hervorgehoben, sollte das Abtasttheorem eigentlich in zwei Teilen betrachtet werden, wie oben geschehen: Der erste Teil besagt, dass eine bandbegrenzte Funktion vollständig durch ihre Abtastwerte bestimmt ist, der zweite Teil beschreibt, wie man die Funktion anhand ihrer Abtastwerte rekonstruiert. Beide Teile des Abtasttheorems wurden in einer etwas anderen Form von J. M. Whittaker [350, 351, 353] und vor ihm auch von Ogura [241, 242] gegeben. Sie waren sich wahrscheinlich nicht der Tatsache bewusst, dass der erste Teil des Theorems bereits 1897 von Borel [25] aufgestellt worden war.²⁷ Wie wir gesehen haben, verwendete Borel zu dieser Zeit auch das, was als Kardinalreihe bekannt wurde. Allerdings scheint er die Verbindung nicht hergestellt zu haben [135]. In späteren Jahren wurde bekannt, dass das Stichprobentheorem noch vor Shannon von Kotel'nikov [173] der russischen Kommunikationsgemeinschaft vorgestellt worden war. In eher impliziter, verbaler Form war es auch in der deutschen Literatur von Raabe [257] beschrieben worden. Mehrere Autoren [33, 205] haben erwähnt, dass Someya [296] das Theorem in der japanischen Literatur parallel zu Shannon eingeführt hat. In der englischen Literatur wurde es von Weston [347] etwa zur gleichen Zeit unabhängig von Shannon eingeführt.^{28 ⓘ}

²⁷ Mehrere Autoren haben im Anschluss an Black [16] behauptet, dass dieser erste Teil des Stichprobentheorems sogar noch früher von Cauchy in einer 1841 veröffentlichten Arbeit [41] aufgestellt wurde. Die Arbeit von Cauchy enthält jedoch keine solche Aussage, wie von Higgins [135] festgestellt wurde. ⓘ

²⁸ Infolge der Entdeckung mehrerer unabhängiger Einführungen des Stichprobentheorems begann man, sich auf das Theorem zu beziehen, indem man die Namen der genannten Autoren einfügte, was zu solchen Schlagwörtern wie "das Whittaker-Kotel'nikov-Shannon (WKS) Stichprobentheorem" [155] oder sogar "das Whittaker-Kotel'nikov-Raabe-Shannon-Someya Stichprobentheorem" [33] führte. Um Verwirrung zu vermeiden, ist es vielleicht am besten, sich auf das Abtasttheorem zu beziehen, "anstatt zu versuchen, einen Titel zu finden, der allen Antragstellern gerecht wird" [136].

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Warum Nyquist?

Wie, wann oder warum genau Harry Nyquist seinen Namen mit dem Abtasttheorem verband, bleibt unklar. Der Begriff Nyquist-Sampling-Theorem (in Großbuchstaben) tauchte bereits 1959 in einem Buch seines ehemaligen Arbeitgebers, Bell Labs, auf, 1963 erneut und 1965 ohne Großbuchstaben. Bereits 1954 wurde es als Shannon'sches Abtasttheorem bezeichnet, aber auch in mehreren anderen Büchern in den frühen 1950er Jahren nur als Abtasttheorem. ⓘ

1958 zitierten Blackman und Tukey den Artikel von Nyquist aus dem Jahr 1928 als Referenz für das Abtasttheorem der Informationstheorie, auch wenn dieser Artikel nicht wie andere die Abtastung und Rekonstruktion kontinuierlicher Signale behandelt. Ihr Begriffsglossar enthält diese Einträge:

Abtasttheorem (der Informationstheorie)

Nyquists Ergebnis, dass Daten mit gleichen Abständen, mit zwei oder mehr Punkten pro Zyklus der höchsten Frequenz, die Rekonstruktion von bandbegrenzten Funktionen ermöglichen. (Siehe Kardinal-Theorem.)

Kardinal-Theorem (aus der Interpolationstheorie)

Eine präzise Aussage über die Bedingungen, unter denen Werte, die an einer doppelt unendlichen Menge gleichmäßig verteilter Punkte gegeben sind, interpoliert werden können, um eine kontinuierliche bandbegrenzte Funktion mit Hilfe der Funktion

$${\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.$$

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Auf welches "Nyquist-Ergebnis" sie sich genau beziehen, bleibt rätselhaft. ⓘ

Als Shannon in seinem Artikel von 1949 das Abtasttheorem darlegte und bewies, so Meijering, "bezeichnete er das kritische Abtastintervall $T={\frac {1}{2W}}$ als das Nyquist-Intervall, das dem Band W entspricht, in Anerkennung von Nyquists Entdeckung der grundlegenden Bedeutung dieses Intervalls im Zusammenhang mit der Telegrafie". Dies erklärt den Namen Nyquist für das kritische Intervall, aber nicht für das Theorem. ⓘ

In ähnlicher Weise wurde der Name Nyquist 1953 von Harold S. Black an die Nyquist-Rate angehängt:

"Wenn der wesentliche Frequenzbereich auf B Zyklen pro Sekunde begrenzt ist, wurde 2B von Nyquist als die maximale Anzahl von Codeelementen pro Sekunde angegeben, die eindeutig aufgelöst werden können, unter der Annahme, dass die Spitzenstörung weniger als einen halben Quantenschritt beträgt. Diese Rate wird im Allgemeinen als Signalisierung mit der Nyquist-Rate bezeichnet und ${\frac {1}{2B}}$ wird als Nyquist-Intervall bezeichnet." (Fettdruck zur Hervorhebung; Kursivdruck wie im Original) ⓘ

Dem OED zufolge könnte dies der Ursprung des Begriffs Nyquist-Rate sein. Im Sprachgebrauch von Black handelt es sich nicht um eine Abtastrate, sondern um eine Signalisierungsrate. ⓘ

Grundlagen

Anschauung

Wie im Artikel Abtastung (Signalverarbeitung) beschrieben ist, kann man das Abtasten eines Signals $s$ durch die Multiplikation mit einem Dirac-Kamm $k$ modellieren, wodurch man das abgetastete Signal $s_{a}$ erhält. Nach der Umkehrung des Faltungstheorems ergibt sich damit die Fouriertransformierte des abgetasteten Signals durch:

${\mathcal {FT}}(s_{a})(\omega )=\left({\mathcal {FT}}(s)*{\mathcal {FT}}(k)\right)(\omega ),$

wobei ${\mathcal {FT}}(s_{a})(\omega )={\mathcal {FT}}(s_{a})\left(\omega +{\frac {2\pi }{\Delta t}}\right)$ periodisch mit der Periode ${\frac {2\pi }{\Delta t}}$ ist und $\Delta t$ der Abstand zwischen 2 Abtastzeitpunkten ist. Unterschreitet man nun mit der Abtastfrequenz ${\frac {1}{\Delta t}}$ die Frequenz $2f_{\text{max}}$ (für Basisbandsignale), so werden niedrigere und höhere Frequenzkomponenten im Frequenzraum überlagert und können anschließend nicht mehr getrennt werden. ⓘ

Die Dauer eines technischen Abtastpulses ist allerdings nicht beliebig kurz. Deswegen liegt in der Praxis das Frequenzspektrum einer Rechteckpulsfolge vor statt das einer Diracstoßfolge. (Der Diracstoß ist anschaulich eine Funktion, die nur an einer einzigen Stelle (t = 0) unendlich groß ist und an allen anderen Stellen verschwindet. Eine mathematisch saubere Definition erfolgt im Rahmen von Distributionen.) ⓘ

Erklärung der Begriffe

Bandbeschränktes Signal

Ein in der Bandbreite beschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte $X={\mathcal {F}}(x)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls $[-2\pi F,2\pi F]$ Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden:

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2\pi F}^{2\pi F}X(\omega )e^{\mathrm {i} \omega \,t}\,d\omega$.

„Gute“, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für die in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum $L^{2}([-2\pi F,2\pi F],\mathbb {C} )$ zulässig. ⓘ

Ist x reellwertig, so gilt $X(-\omega )={\overline {X(\omega )}}$. Wird X in Polarkoordinaten dargestellt, $X(\omega )=|X(\omega )|e^{i\,\phi (\omega )}$, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden,

$x(t)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{2\pi F}|X(\omega )|\,\cos(\omega \,t+\phi (\omega ))\,d\omega$.

In der kartesischen Darstellung $X(\omega )=A(\omega )+iB(\omega )$ ergibt sich analog

$x(t)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int _{0}^{2\pi F}\left(A(\omega )\,\cos(\omega \,t)-B(\omega )\,\sin(\omega \,t)\right)\,d\omega$. ⓘ

Abtasten mit der doppelten Frequenz

Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand $\Delta t=1/(2F)$ beträgt, d. h., aus x wird die Zahlenfolge $x[k]:=x(k\Delta t)$ konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als

$x(k\Delta t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2\pi F}^{2\pi F}X(\omega )e^{\mathrm {i} {\frac {k\omega }{2F}}}\,d\omega$.

Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung

$X(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,2F}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta t)e^{-\mathrm {i} {\frac {k\omega }{2F}}}.$

Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert. ⓘ

Rekonstruieren ohne Informationsverlust

Rekonstruieren ohne Informationsverlust bedeutet, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt

$x(t)=y(t):=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x_{k}\prod _{j\in \mathbb {Z} ,\;j\neq k}{\frac {t-j\Delta t}{k\Delta t-j\Delta t}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta t)\ \operatorname {sinc} (t/\Delta t-k)$.

Man beachte, dass man mit diesen Formeln in der Mathematik zwar ausgezeichnet arbeiten kann, sie sich aber in realen Abtastsystemen so nicht realisieren lassen. Zur Bestimmung eines jeden Signalwertes wäre eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig. Außerdem müssten unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann. Weil das nicht möglich ist, entstehen in der Praxis unvermeidliche Fehler. ⓘ

Die Funktion $\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$, der Sinus cardinalis (sinc), ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen; es ist sinc(0)=1 und sinc(n)=0 für jedes weitere ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als „schwankungsärmste“ unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion $\operatorname {rect} \left({\frac {x}{2\pi }}\right)$ als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall $[-\pi ;\pi ]$, sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2. ⓘ

Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverse Fouriertransformation eingesetzt wird,

$x(t)={\frac {1}{4\pi F}}\,\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta t)\int _{-2\pi F}^{2\pi F}e^{-\mathrm {i} {\frac {k\omega }{2F}}+i\omega t}\,d\omega =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta t)\operatorname {sinc} (2Ft-k).$ ⓘ

Signal in Bandpasslage

Ein reelles Signal in Bandpasslage muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall $[2\pi nF,2\pi (n+1)F]$ nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dieses kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, siehe auch OFDM. ⓘ

Bemerkung: Kein endliches Signal, d. h., keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebenso wenig fallen periodische Signale, wie zum Beispiel reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genauso wenig Signale mit Unstetigkeiten (Knicken oder Sprüngen im Verlauf). Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, die zur Weiterverarbeitung digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, z. B. digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für die dieses Theorem dann Richtschnur ist. ⓘ

Mathematischer Hintergrund

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation. ⓘ

Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-π; π] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es zum Beispiel stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion, $x\in L^{2}(\mathbb {R} )\cap L^{1}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} )$, und hat eine Fourier-Transformierte $X={\hat {x}}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ mit Träger $\operatorname {supp} \,{\hat {x}}\subset [-\pi ,\pi ]$. ⓘ

Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt:

$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\cdot {\frac {\sin(\pi (t-n))}{\pi (t-n)}}={\frac {\sin(\pi t)}{\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x(n)}{t-n}}$. ⓘ

Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t). ⓘ

Die Identität einer bandbeschränkten Funktion mit ihrer oben angegebenen Kardinal-Reihe (nach Whittaker) ergibt sich aus der Poissonschen Summenformel, es gilt ${\hat {x}}(\omega )=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {x}}(2\pi k+\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(n)e^{-\mathrm {i} \omega n}$, woraus sich nach der Formel der Inversen Fourier-Transformation $x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {x}}(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(n)\int _{-\pi }^{\pi }e^{\mathrm {i} \omega (t-n)}\,d\omega =\sum _{n\in \mathbb {Z} }x(n){\frac {\sin(\pi (t-n))}{\pi (t-n)}}$ Durch geschickte Anwendung der allgemeinen Abtastformel kann man auch verallgemeinerte Kardinalreihenentwicklungen erhalten, zum Beispiel $x(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left(x(2n)+{\dot {x}}(2n)(t-2n)\right)\ \operatorname {sinc} \left(\pi (t/2-n)\right)^{2}$, d. h., die Abtastrate ist halbiert, dafür werden an jedem Abtastpunkt zwei Werte genommen, der Funktionswert und die erste Ableitung. Es wird gewissermaßen lokal linear entwickelt und die Entwicklungen mittels einer Zerlegung der Eins „zusammengeklebt“. Formeln mit Ableitungen höherer Ordnung erlauben keine so einfache Interpretation. Ist f bandbeschränkt auf Kreisfrequenzen aus dem Intervall $[-N\pi ;N\pi ]$ und sind $a_{1},\ldots ,a_{N}$ paarweise verschiedene reelle Zahlen, so gilt $f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\prod _{i=1}^{N}\ \operatorname {sinc} (x-n-a_{i})\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{N}f(n+a_{j})\prod _{k\neq j,k=1}^{N}{\frac {x-n-a_{k}}{(a_{j}-a_{k})\ \operatorname {sinc} (a_{j}-a_{k})}}\right)$ Der erste Faktor im Summanden ist die Kernfunktion einer Zerlegung der Eins, der zweite Faktor ein Interpolationspolynom, das der Lagrange-Interpolation ähnlich sieht. Lässt man die ak simultan nach 0 laufen und ersetzt $f(n+a_{\text{k}})$ durch das Taylor-Polynom vom Grad N-1 oder größer, so ergeben sich beliebig komplexe differentielle Kardinalreihen. ⓘ

Tiefpass zur Verhinderung von Aliasing

Wird die Abtastfrequenz zu klein gewählt, treten im digitalisierten Signal Mehrdeutigkeiten auf. Diese nichtlinearen Verzerrungen sind auch unter dem Begriff Alias-Effekt bekannt. Bei Bildern treten eventuell phasenverschobene Schatten oder neue Strukturen auf, die im Original nicht enthalten sind. ⓘ

Den unteren Grenzwert der Abtastfrequenz für ein analoges Signal der Bandbreite $f_{\mathrm {0} }$

$f_{\mathrm {abtast} }=2\,\cdot \,f_{\mathrm {0} }$

nennt man auch Nyquist-Rate. Die höchste zu übertragende Frequenz muss demnach kleiner sein als die halbe Abtastfrequenz, sonst entstehen Aliasingfehler. Aus diesem Grund werden höhere Frequenzen aus dem analogen Signal mit einem Tiefpass herausgefiltert. Die Aliasingfehler sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich bei der Rekonstruktion als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400-Hz-Alias-Signal (2000–1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von bspw. 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300–1600 Hz). Dieses ist jedoch größer als die halbe Abtastrate und wird demnach bei der Rekonstruktion durch einen Tiefpass entfernt. ⓘ

In der Praxis gibt es keinen idealen Tiefpass. Er hat immer einen gewissen Übergangsbereich zwischen praktisch keiner Dämpfung im Durchlassbereich und praktisch vollständiger Dämpfung im Sperrbereich. Daher verwendet man in der Praxis eine modifizierte Formel zur Bestimmung der Abtastfrequenz: Beispiel:

$f_{\mathrm {abtast} }\approx 2{,}2\cdot f_{\mathrm {max} }$ ⓘ

Auf einer CD wird ein Signal gespeichert, das durch die Digitalisierung eines analogen Audiosignals mit Frequenzen bis 20 kHz erzeugt wird. Die Frequenz, mit der das analoge Audiosignal abgetastet wird, beträgt 44,1 kHz. ⓘ

Der verwendete Faktor ist abhängig vom verwendeten Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Alias-Signale. Andere gebräuchliche Faktoren sind 2,4 (DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren) ⓘ

Überabtastung

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Überabtastung (englisch oversampling) in der Praxis angewendet. Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Mit höherer Abtastfrequenz erreicht man eine ausreichend hohe Dämpfung im Sperrbereich eines Tiefpasssystems einfacher als mit einem hochwertigen Filter. Die Bandbegrenzung kann dann auf ein Digitalfilter hoher Ordnung verlagert werden. In der Praxis wird häufig ein Überabtastungsfaktor M = 2 oder M = 4 gewählt. Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der ersten Abtastung wird dann ein digitaler Filter vor der folgenden Abtastratenreduktion eingesetzt, womit die Abtastfrequenz nachträglich gesenkt wird. Dieses digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet. Es kann beispielsweise in Form eines Cascaded-Integrator-Comb-Filters realisiert werden. ⓘ

Mathematisch ausgedrückt hat ein idealer Tiefpassfilter als Übertragungsfunktion eine Rechteckfunktion. Diese Übertragungsfunktion schneidet das Spektrum im Frequenzraum perfekt ab und das gefilterte Signal kann perfekt aus den Abtastpunkten rekonstruiert werden. Allerdings lässt sich ein ideales Tiefpassfilter nicht praktisch realisieren, da es nicht kausal und unendlich lang ist. ⓘ

Deswegen verwendet man analoge Tiefpassfilter, welche eine stetige, trapezähnliche Übertragungsfunktion aufweisen und deren Flanken mit kontinuierlicher, endlicher Steigung zu- bzw. abnehmen. Diese Filter können beispielsweise in Form von Butterworth-Filtern realisiert werden. Nach dem Abtasten erfolgt die digitale Glättung und das Heruntertakten auf die Nutzbandbreite. Die Flankensteilheit hat dabei einen Einfluss auf die Güte des rekonstruierten Signals. ⓘ