Konvergenzradius

In der Mathematik ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe der Radius der größten Scheibe im Zentrum der Reihe, in der die Reihe konvergiert. Er ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder ${\displaystyle }$. Wenn er positiv ist, konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf kompakten Mengen innerhalb der offenen Scheibe mit einem Radius gleich dem Konvergenzradius, und sie ist die Taylorreihe der analytischen Funktion, zu der sie konvergiert. Im Falle mehrerer Singularitäten einer Funktion (Singularitäten sind die Werte des Arguments, für die die Funktion nicht definiert ist) ist der Konvergenzradius der kürzeste oder minimale aller entsprechenden Abstände (die alle nicht-negative Zahlen sind), die vom Zentrum der Konvergenzscheibe zu den entsprechenden Singularitäten der Funktion berechnet werden. ⓘ

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$,

die angibt, in welchem Bereich der reellen Gerade oder der komplexen Ebene für die Potenzreihe Konvergenz garantiert ist. ⓘ

Folgerungen aus dem Konvergenzradius

Für eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $r>0$ gilt:

• Ist $|x-x_{0}|<r$, so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
  Bei $r=\infty$ konvergiert die Reihe mit superlinearer Konvergenzgeschwindigkeit; bei $r<\infty$ für $x\neq x_{0}$ mit linearer Konvergenzgeschwindigkeit der Konvergenzrate $|x-x_{0}|/r$.
• Ist $|x-x_{0}|=r$, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der Abelsche Grenzwertsatz.
  Konvergiert die Reihe, so konvergiert sie unterlinear.
• Ist $|x-x_{0}|>r$, so ist die Potenzreihe divergent. ⓘ

Wird eine reelle Potenzreihe betrachtet, deren Koeffizienten $a_{n}$ reelle Zahlen sind, und sind auch $x,~x_{0}$ reell, so ist der Konvergenzbereich nach Auflösung der Betragsungleichungen das Intervall $(x_{0}-r,~x_{0}+r)$ sowie möglicherweise einer der oder beide Randpunkte. Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt $x_{0}$ und mit Radius $r$, dem Konvergenzkreis, sowie möglicherweise aus einigen seiner Randpunkte. ⓘ

Außerdem gilt für alle $r^{\prime }<r$, dass die Potenzreihe gleichmäßig für alle $x$ mit $|x-x_{0}|\leq r^{\prime }$ konvergiert. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch stets eine gleichmäßige Konvergenz vor. ⓘ

Für eine Potenzreihe f, definiert als:

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

und divergiert, wenn ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Einige mögen eine alternative Definition bevorzugen, da die Existenz offensichtlich ist:

${\displaystyle }$ ⓘ

Ermittlung des Konvergenzradius

Es treten zwei Fälle auf. Der erste Fall ist theoretisch: Wenn man alle Koeffizienten kennt ${\displaystyle }$ dann nimmt man bestimmte Grenzwerte und findet den genauen Konvergenzradius. Der zweite Fall ist praktischer Natur: Wenn man eine Potenzreihenlösung für ein schwieriges Problem konstruiert, kennt man in der Regel nur eine endliche Anzahl von Termen in einer Potenzreihe, die von einigen wenigen Termen bis zu hundert Termen reichen kann. In diesem zweiten Fall schätzt man den Konvergenzradius durch Extrapolation einer Grafik. ⓘ

Theoretischer Radius

Der Konvergenzradius kann durch Anwendung des Wurzeltests auf die Terme der Reihe ermittelt werden. Der Wurzeltest verwendet die Zahl ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

"lim sup" bezeichnet den oberen Grenzwert. Der Wurzeltest besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn C < 1 ist, und divergiert, wenn C > 1. Daraus folgt, dass die Potenzreihe konvergiert, wenn der Abstand von z zum Zentrum a kleiner ist als ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

und divergiert, wenn der Abstand diese Zahl überschreitet; diese Aussage ist das Cauchy-Hadamard-Theorem. Man beachte, dass r = 1/0 als unendlicher Radius interpretiert wird, was bedeutet, dass f eine ganze Funktion ist. ⓘ

Der Grenzwert für den Verhältnis-Test ist in der Regel einfacher zu berechnen, und wenn dieser Grenzwert existiert, zeigt er, dass der Konvergenzradius endlich ist. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Dies wird wie folgt gezeigt. Der Ratio-Test besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Das ist äquivalent zu ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Praktische Schätzung des Radius im Fall von reellen Koeffizienten

Diagramme der Funktion ${\displaystyle }$
Die durchgezogene grüne Linie ist die geradlinige Asymptote im Domb-Sykes-Diagramm, Diagramm (b), die die vertikale Achse bei -2 schneidet und eine Steigung von +1 hat. Es gibt also eine Singularität bei ${\displaystyle }$ und somit ist der Konvergenzradius ${\displaystyle }$ ⓘ

Bei wissenschaftlichen Anwendungen ist in der Regel nur eine endliche Anzahl von Koeffizienten ${\displaystyle }$ bekannt. Typischerweise werden mit ${\displaystyle }$ ansteigt, nehmen diese Koeffizienten ein regelmäßiges Verhalten an, das durch die nächstgelegene, den Radius begrenzende Singularität bestimmt wird. Für diesen Fall wurden zwei Haupttechniken entwickelt, die auf der Tatsache beruhen, dass die Koeffizienten einer Taylor-Reihe annähernd exponentiell sind mit dem Verhältnis ${\displaystyle }$ wobei r der Radius der Konvergenz ist. ⓘ

• Der grundlegende Fall liegt vor, wenn die Koeffizienten letztlich ein gemeinsames Vorzeichen haben oder das Vorzeichen wechselt. Wie bereits in diesem Artikel erwähnt, gibt es in vielen Fällen den Grenzwert ${\displaystyle }$ existiert, und in diesem Fall ${\displaystyle }$. Negativ ${\displaystyle }$ bedeutet, dass die konvergenzbegrenzende Singularität auf der negativen Achse liegt. Schätzen Sie diesen Grenzwert ab, indem Sie die Kurve ${\displaystyle }$ gegen ${\displaystyle }$und extrapolieren Sie grafisch zu ${\displaystyle }$ (effektiv ${\displaystyle }$) über eine lineare Anpassung. Der Schnittpunkt mit ${\displaystyle }$ schätzt den Kehrwert des Konvergenzradius, ${\displaystyle }$. Diese Darstellung wird als Domb-Sykes-Diagramm bezeichnet.
• Komplizierter ist der Fall, wenn die Vorzeichen der Koeffizienten ein komplexeres Muster aufweisen. Mercer und Roberts haben das folgende Verfahren vorgeschlagen. Definieren Sie die zugehörige Folge ${\displaystyle }$ Zeichnen Sie die endlich vielen bekannten ${\displaystyle }$ gegen ${\displaystyle }$und extrapolieren Sie grafisch zu ${\displaystyle }$ über eine lineare Anpassung. Der Achsenabschnitt mit ${\displaystyle }$ schätzt den Kehrwert des Konvergenzradius, ${\displaystyle }$. Dieses Verfahren schätzt auch zwei andere Merkmale der konvergenzbegrenzenden Singularität. Angenommen, die nächstgelegene Singularität hat den Grad ${\displaystyle }$ und hat einen Winkel ${\displaystyle }$ zur reellen Achse. Dann ist die Steigung der oben angegebenen linearen Anpassung ${\displaystyle }$. Weiter, Plot ${\displaystyle }$ gegen ${\displaystyle }$ein, dann hat eine lineare Anpassung, extrapoliert nach ${\displaystyle }$ hat den Achsenabschnitt bei ${\displaystyle }$. ⓘ

Radius der Konvergenz in der komplexen Analysis

Die drei Konvergenzkreise der Funktion $f$ in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt. Sie schneiden sich im Punkt $z'=2\mathrm {i}$ da hier die Funktion $f$ eine Singularität besitzt ⓘ

Der Entwicklungspunkt $z_{0}$ einer Potenzreihe hat einen direkten Einfluss auf die Koeffizientenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und damit auch auf den Konvergenzradius. Betrachtet man beispielsweise die Analytische Funktion

$f\colon \mathbb {C} \setminus \{2\mathrm {i} \}\to \mathbb {C} ,\ z\mapsto {\frac {1}{2\mathrm {i} -z}}$

in ihrer Potenzreihendarstellung

$f(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1}{1-{\bigl (}{\frac {z}{2\mathrm {i} }}{\bigr )}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z}{2\mathrm {i} }}\right)^{n}$.

Diese Umformungen folgen direkt mittels der geometrischen Reihe. Diese Darstellung entspricht der Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $z_{0}=0$ und mit dem Wurzelkriterium folgt für den Konvergenzradius $r_{0}=2$. ⓘ

Wählt man dagegen $z_{1}=2$ als Entwicklungspunkt, so folgt mit einigen algebraischen Umformungen

$f(z)={\frac {1}{-(z-2)+2\mathrm {i} -2}}={\frac {1}{2\mathrm {i} -2}}\cdot {\frac {1}{1-{\bigl (}{\frac {z-2}{2\mathrm {i} -2}}{\bigr )}}}={\frac {1}{2\mathrm {i} -2}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-2}{2\mathrm {i} -2}}\right)^{n}$.

Auch hier folgt mittels des Wurzelkriteriums der Konvergenzradius $r_{1}={\sqrt {8}}$. ⓘ

Ein dritter Entwicklungspunkt $z_{2}=3\mathrm {i}$ liefert mit analogem Vorgehen

$f(z)={\frac {1}{-(z-3\mathrm {i} )-3\mathrm {i} +2\mathrm {i} }}={\frac {1}{-\mathrm {i} }}\cdot {\frac {1}{1-{\bigl (}{\frac {z-3\mathrm {i} }{\mathrm {i} }}{\bigr )}}}={\frac {1}{-\mathrm {i} }}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-3\mathrm {i} }{\mathrm {i} }}\right)^{n}$

als Potenzreihendarstellung mit dem Konvergenzradius $r_{2}=1$. Zeichnet man diese drei Konvergenzradien um ihre Entwicklungspunkte, so schneiden sie sich alle im Punkt $z'=2\mathrm {i}$ da hier die Funktion $f$ eine Singularität besitzt und nicht definiert ist. Anschaulich dehnt sich also der Konvergenzkreis um einen Entwicklungspunkt aus, bis er an eine nicht definierte Stelle der Funktion stößt. ⓘ

Die Menge aller Punkte, deren Abstand zu a streng kleiner als der Konvergenzradius ist, wird als Konvergenzscheibe bezeichnet. ⓘ

Ein Graph der im Text erklärten Funktionen: Annäherungen in blau, Konvergenzkreis in weiß ⓘ

Der nächstgelegene Punkt ist der nächstgelegene Punkt in der komplexen Ebene, der nicht unbedingt auf der reellen Linie liegen muss, auch wenn der Mittelpunkt und alle Koeffizienten reell sind. Zum Beispiel hat die Funktion ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

hat keine Singularitäten auf der reellen Linie, da ${\displaystyle }$ keine reellen Wurzeln hat. Ihre Taylorreihe um 0 ist gegeben durch ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Der Wurzeltest zeigt, dass ihr Konvergenzradius 1 ist. Demnach hat die Funktion f(z) Singularitäten bei ±i, die sich im Abstand 1 von 0 befinden. ⓘ

Für einen Beweis dieses Theorems siehe Analytizität holomorpher Funktionen. ⓘ

Ein einfaches Beispiel

Die Arkustangensfunktion der Trigonometrie kann in einer Potenzreihe erweitert werden:

${\displaystyle }$ ⓘ

Es ist einfach, den Wurzeltest in diesem Fall anzuwenden, um festzustellen, dass der Konvergenzradius 1 ist. ⓘ

Ein komplizierteres Beispiel

Betrachten Sie diese Potenzreihe:

${\displaystyle }$ ⓘ

wobei die rationalen Zahlen Bn die Bernoulli-Zahlen sind. Es mag mühsam sein, den Verhältnis-Test anzuwenden, um den Konvergenzradius dieser Reihe zu ermitteln. Mit dem oben genannten Satz der komplexen Analysis ist das Problem jedoch schnell gelöst. Bei z = 0 gibt es in der Tat keine Singularität, da die Singularität entfernbar ist. Die einzigen nicht aufhebbaren Singularitäten befinden sich daher an den anderen Punkten, an denen der Nenner Null ist. Wir lösen ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

indem wir uns daran erinnern, dass, wenn z = x + iy und e^iy = cos(y) + i sin(y) dann ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

und nehmen dann an, dass x und y reell sind. Da y reell ist, ist der Absolutwert von cos(y) + i sin(y) notwendigerweise 1. Daher kann der Absolutwert von ez nur dann 1 sein, wenn e^x 1 ist; da x reell ist, ist dies nur der Fall, wenn x = 0 ist. z ist also rein imaginär und cos(y) + i sin(y) = 1. Da y reell ist, ist dies nur der Fall, wenn cos(y) = 1 und sin(y) = 0 ist, so dass y ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist. Folglich treten die singulären Punkte dieser Funktion auf bei ⓘ

z = ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi, das nicht Null ist. ⓘ

Die Singularitäten, die 0 am nächsten liegen, d. h. das Zentrum der Potenzreihenentwicklung, liegen bei ±2πi. Der Abstand vom Zentrum zu einem dieser Punkte beträgt 2π, der Konvergenzradius ist also 2π. ⓘ

Konvergenz am Rande

Wenn die Potenzreihe um den Punkt a erweitert wird und der Konvergenzradius r ist, dann ist die Menge aller Punkte z, für die |z - a| = r gilt, ein Kreis, der als Rand der Konvergenzscheibe bezeichnet wird. Eine Potenzreihe kann an jedem Punkt des Randes divergieren, an einigen Punkten divergieren und an anderen Punkten konvergieren oder an allen Punkten des Randes konvergieren. Und selbst wenn die Reihe überall auf der Grenze konvergiert (sogar gleichmäßig), konvergiert sie nicht unbedingt absolut. ⓘ

Beispiel 1: Die Potenzreihe der Funktion f(z) = 1/(1 - z), erweitert um z = 0, die einfach ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

hat den Konvergenzradius 1 und divergiert in jedem Punkt des Randes. ⓘ

Beispiel 2: Die Potenzreihe für g(z) = -ln(1 - z), erweitert um z = 0, die ist ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

hat den Konvergenzradius 1 und divergiert für z = 1, konvergiert aber für alle anderen Punkte auf dem Rand. Die Funktion f(z) aus Beispiel 1 ist die Ableitung von g(z). ⓘ

Beispiel 3: Die Potenzreihe ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

hat den Konvergenzradius 1 und konvergiert überall auf dem Rand absolut. Wenn h die Funktion ist, die durch diese Reihe auf der Einheitsscheibe dargestellt wird, dann ist die Ableitung von h(z) gleich g(z)/z mit g aus Beispiel 2. Es stellt sich heraus, dass h(z) die Dilogarithmusfunktion ist. ⓘ

Beispiel 4: Die Potenzreihe ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

hat den Konvergenzradius 1 und konvergiert gleichmäßig auf dem gesamten Rand |z| = 1, konvergiert aber nicht absolut auf dem Rand. ⓘ

Konvergenzrate

Wenn wir die Funktion ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

um den Punkt x = 0 erweitert, so ergibt sich für diese Reihe der Konvergenzradius ${\displaystyle }$ was bedeutet, dass diese Reihe für alle komplexen Zahlen konvergiert. Bei Anwendungen ist man jedoch oft an der Genauigkeit einer numerischen Antwort interessiert. Sowohl die Anzahl der Terme als auch der Wert, bei dem die Reihe ausgewertet werden soll, beeinflussen die Genauigkeit der Antwort. Wenn wir beispielsweise sin(0,1) mit einer Genauigkeit von fünf Dezimalstellen berechnen wollen, benötigen wir nur die ersten beiden Terme der Reihe. Wenn wir jedoch die gleiche Genauigkeit für x = 1 erreichen wollen, müssen wir die ersten fünf Terme der Reihe auswerten und summieren. Für sin(10) benötigt man die ersten 18 Terme der Reihe, und für sin(100) muss man die ersten 141 Terme auswerten. ⓘ

Die schnellste Konvergenz einer Potenzreihenentwicklung findet also im Zentrum statt, und je weiter man sich vom Konvergenzzentrum entfernt, desto langsamer wird die Konvergenzrate, bis man die Grenze erreicht (falls es sie gibt) und sie überquert; in diesem Fall divergiert die Reihe. ⓘ

Abszisse der Konvergenz einer Dirichlet-Reihe

Ein analoges Konzept ist die Abszisse der Konvergenz einer Dirichlet-Reihe ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Eine solche Reihe konvergiert, wenn der Realteil von s größer als eine bestimmte Zahl ist, die von den Koeffizienten an abhängt: die Abszisse der Konvergenz. ⓘ

Bestimmung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }\left({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\right)}}.$

Dabei gilt $r=0$, falls der Limes superior im Nenner gleich $+\infty$ ist, und $r=+\infty$, falls er gleich $0$ ist. ⓘ

Wenn ab einem bestimmten Index alle $a_{n}$ von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert oder unendlich ist, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }{\bigg |}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}{\bigg |}$

berechnet werden. Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge $a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n$: Die zugehörige Reihe hat den Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar. ⓘ

Herleitung

Die Formeln für den Konvergenzradius lassen sich aus den Konvergenzkriterien für Reihen herleiten. ⓘ