Massenmittelpunkt

Dieses Spielzeug nutzt die Prinzipien des Massenschwerpunkts, um das Gleichgewicht zu halten, wenn es auf einem Finger sitzt. ⓘ

In der Physik ist der Massenschwerpunkt einer Massenverteilung im Raum (manchmal auch als Gleichgewichtspunkt bezeichnet) der einzige Punkt, an dem die gewichtete relative Position der verteilten Masse den Wert Null hat. Dies ist der Punkt, auf den eine Kraft ausgeübt werden kann, die eine lineare Beschleunigung ohne Winkelbeschleunigung bewirkt. Berechnungen in der Mechanik werden oft vereinfacht, wenn sie mit Bezug auf den Massenschwerpunkt formuliert werden. Es handelt sich dabei um einen hypothetischen Punkt, an dem die gesamte Masse eines Objekts konzentriert sein soll, um seine Bewegung zu veranschaulichen. Mit anderen Worten: Der Massenschwerpunkt ist das Teilchenäquivalent eines bestimmten Objekts für die Anwendung der Newtonschen Bewegungsgesetze. ⓘ

Bei einem einzelnen starren Körper ist der Massenschwerpunkt in Bezug auf den Körper fest, und wenn der Körper eine gleichmäßige Dichte hat, befindet er sich im Schwerpunkt. Der Massenschwerpunkt kann sich auch außerhalb des Körpers befinden, wie dies manchmal bei hohlen oder offen geformten Objekten wie einem Hufeisen der Fall ist. Bei einer Verteilung von einzelnen Körpern, wie z. B. den Planeten des Sonnensystems, entspricht der Massenschwerpunkt möglicherweise nicht der Position eines einzelnen Mitglieds des Systems. ⓘ

Der Massenschwerpunkt ist ein nützlicher Bezugspunkt für Berechnungen in der Mechanik, bei denen es um im Raum verteilte Massen geht, wie z. B. den Drehimpuls und den linearen Impuls von Planetenkörpern und die Dynamik starrer Körper. In der Orbitalmechanik werden die Bewegungsgleichungen von Planeten als Punktmassen formuliert, die sich im Massenschwerpunkt befinden. Der Massenschwerpunktsrahmen ist ein Inertialrahmen, in dem der Massenschwerpunkt eines Systems in Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems in Ruhe ist. ⓘ

Das Konzept des Massenmittelpunktes dient in der Physik der Reduktion eines komplexen ausgedehnten starren Körpers auf einen einzigen Massepunkt zur einfacheren Berechnung seiner Bahnkurve bei Einwirkung einer Kraft. Auch vereinfachen sich viele Rechnungen im Schwerpunktsystem, in dem der Massenmittelpunkt als Koordinatenursprung verwendet wird (siehe auch Mehrkörpersystem). Im Massenmittelpunkt angreifende externe Kräfte können den Rotationszustand des Objekts nicht verändern, da sie wegen des im Schwerpunkt fehlenden Hebelarms kein Drehmoment ausüben. Achsen durch den Schwerpunkt werden auch als Schwerachsen bezeichnet. ⓘ

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenmittelpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. ⓘ

Geschichte

Das Konzept des Schwerpunkts oder des Gewichts wurde von dem antiken griechischen Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes von Syrakus eingehend untersucht. Er arbeitete mit vereinfachten Annahmen über die Schwerkraft, die auf ein gleichmäßiges Feld hinauslaufen, und gelangte so zu den mathematischen Eigenschaften dessen, was wir heute als Massenschwerpunkt bezeichnen. Archimedes zeigte, dass das Drehmoment, das von Gewichten, die an verschiedenen Punkten entlang des Hebels ruhen, auf einen Hebel ausgeübt wird, das gleiche ist, wie wenn alle Gewichte zu einem einzigen Punkt - ihrem Massenschwerpunkt - bewegt würden. In seinem Werk Über schwimmende Körper wies Archimedes nach, dass die Ausrichtung eines schwimmenden Objekts diejenige ist, die seinen Massenschwerpunkt so niedrig wie möglich macht. Er entwickelte mathematische Verfahren zur Bestimmung der Massenschwerpunkte von Objekten mit gleichmäßiger Dichte und verschiedenen wohldefinierten Formen. ⓘ

Weitere antike Mathematiker, die zur Theorie des Massenschwerpunkts beitrugen, waren Hero von Alexandria und Pappus von Alexandria. In der Renaissance und der frühen Neuzeit wurde das Konzept durch Arbeiten von Guido Ubaldi, Francesco Maurolico, Federico Commandino, Evangelista Torricelli, Simon Stevin, Luca Valerio, Jean-Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Christiaan Huygens, Louis Carré, Pierre Varignon und Alexis Clairaut weiter ausgebaut. ⓘ

Das zweite Newtonsche Gesetz wird in Bezug auf den Massenschwerpunkt im ersten Eulerschen Gesetz umformuliert. ⓘ

Definition

Der Massenschwerpunkt ist der einzige Punkt im Zentrum einer Massenverteilung im Raum, der die Eigenschaft hat, dass sich die gewichteten Positionsvektoren relativ zu diesem Punkt zu Null summieren. In Analogie zur Statistik ist der Massenschwerpunkt der mittlere Ort einer Massenverteilung im Raum. ⓘ

Ein System von Teilchen

Für ein System von Teilchen Pi, i = 1, ..., n , mit der Masse mi, die sich im Raum mit den Koordinaten ri, i = 1, ..., n befinden, erfüllen die Koordinaten R des Massenschwerpunkts die Bedingung

$$\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .$$

ⓘ

Löst man diese Gleichung für R, so erhält man die Formel

$$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i},$$

wobei $M=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$ die Gesamtmasse aller Teilchen ist. ⓘ

Hier greifen wir auf die Formel aus vorherigem Abschnitt zurück und bilden den Grenzwert. Damit erhält man eine integrale Darstellung. ⓘ

Dichtefunktion:

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} x}}=\lambda (x)$ ⓘ

Gesamtmasse:

$M=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\lambda (x)\mathrm {d} x}$ ⓘ

Ein kontinuierliches Volumen

Wenn die Massenverteilung mit der Dichte ρ(r) innerhalb eines Festkörpers Q stetig ist, dann ist das Integral der gewichteten Positionskoordinaten der Punkte in diesem Volumen relativ zum Massenschwerpunkt R über das Volumen V gleich Null, d. h.

$$\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0.$$

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Löst man diese Gleichung für die Koordinaten R, so erhält man

$$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,$$

wobei M die Gesamtmasse des Volumens ist. ⓘ

Wenn eine kontinuierliche Massenverteilung eine gleichmäßige Dichte hat, was bedeutet, dass ρ konstant ist, dann ist der Massenschwerpunkt derselbe wie der Schwerpunkt des Volumens. ⓘ

Baryzentrische Koordinaten

Die Koordinaten R des Massenschwerpunkts eines Zwei-Teilchen-Systems, P₁ und P₂, mit den Massen m₁ und m₂ sind gegeben durch

$$\mathbf {R} ={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}).$$

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Variiert der prozentuale Anteil der Gesamtmasse dieser beiden Teilchen von 100 % P₁ und 0 % P₂ über 50 % P₁ und 50 % P₂ bis 0 % P₁ und 100 % P₂, so bewegt sich der Massenschwerpunkt R entlang der Linie von P₁ nach P₂. Die prozentualen Anteile der Masse an jedem Punkt können als projektive Koordinaten des Punktes R auf dieser Linie betrachtet werden und werden als baryzentrische Koordinaten bezeichnet. Eine andere Möglichkeit, den Vorgang zu interpretieren, ist das mechanische Gleichgewicht der Momente um einen beliebigen Punkt. Der Zähler gibt das Gesamtmoment an, das dann durch eine äquivalente Gesamtkraft im Massenschwerpunkt ausgeglichen wird. Dies kann auf drei Punkte und vier Punkte verallgemeinert werden, um projektive Koordinaten in der Ebene bzw. im Raum zu definieren. ⓘ

Systeme mit periodischen Randbedingungen

Bei Teilchen in einem System mit periodischen Randbedingungen können zwei Teilchen benachbart sein, obwohl sie sich auf gegenüberliegenden Seiten des Systems befinden. Dies kommt beispielsweise häufig bei Molekulardynamiksimulationen vor, bei denen sich Cluster an zufälligen Stellen bilden und benachbarte Atome manchmal die periodische Grenze überschreiten. Wenn ein Cluster die periodische Grenze überquert, ist eine naive Berechnung des Massenschwerpunkts falsch. Eine verallgemeinerte Methode zur Berechnung des Massenschwerpunkts für periodische Systeme besteht darin, jede Koordinate, x und y und/oder z, so zu behandeln, als befände sie sich auf einem Kreis statt auf einer Linie. Bei der Berechnung wird die x-Koordinate eines jeden Teilchens auf einen Winkel abgebildet,

$$\theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi$$

wobei x_max die Systemgröße in x-Richtung ist und $x_{i}\in [0,x_{\max })$. Aus diesem Winkel werden zwei neue Punkte $(\xi _{i},\zeta _{i})$ erzeugt werden, die mit der Masse des Teilchens gewichtet werden können $x_{i}$ für den Massenschwerpunkt oder mit dem Wert 1 für den geometrischen Mittelpunkt:

$${\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}$$

ⓘ

In der $(\xi ,\zeta )$ Ebene liegen diese Koordinaten auf einem Kreis mit dem Radius 1. Aus der Sammlung von $\xi _{i}$ und $\zeta _{i}$ Werten aller Teilchen werden die Mittelwerte ${\overline {\xi }}$ und ${\overline {\zeta }}$ berechnet. ⓘ

$${\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}$$

wobei M die Summe der Massen aller Teilchen ist. ⓘ

Diese Werte werden in einen neuen Winkel umgerechnet, ${\overline {\theta }}$umgerechnet, aus dem die x-Koordinate des Massenschwerpunkts ermittelt werden kann:

$${\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}$$

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Der Vorgang kann für alle Dimensionen des Systems wiederholt werden, um den gesamten Massenschwerpunkt zu bestimmen. Der Nutzen des Algorithmus besteht darin, dass er es der Mathematik ermöglicht, den "besten" Massenschwerpunkt zu bestimmen, anstatt zu raten oder mit Hilfe der Clusteranalyse einen Cluster zu "entfalten", der die periodischen Grenzen überspannt. Wenn beide Durchschnittswerte gleich Null sind, $\left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)$, dann ${\overline {\theta }}$ undefiniert. Dies ist ein korrektes Ergebnis, denn es tritt nur auf, wenn alle Teilchen exakt gleichmäßig verteilt sind. Unter dieser Bedingung sind ihre x-Koordinaten in einem periodischen System mathematisch identisch. ⓘ

Schwerkraftzentrum

Diagramm eines pädagogischen Spielzeugs, das auf einem Punkt balanciert: Der Massenschwerpunkt (C) befindet sich unterhalb seiner Auflage (P) ⓘ

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Punkt, um den das resultierende Drehmoment aufgrund der Schwerkraft verschwindet. Wenn ein Schwerefeld als gleichmäßig angesehen werden kann, sind der Massenschwerpunkt und der Schwerpunkt identisch. Bei Satelliten, die sich in einer Umlaufbahn um einen Planeten befinden, kann jedoch, sofern keine anderen Drehmomente auf den Satelliten einwirken, der leichte Unterschied (Gradient) im Schwerefeld zwischen dem näheren (stärkeren) und dem entfernteren (schwächeren) Planeten zu einem Drehmoment führen, das den Satelliten tendenziell so ausrichtet, dass seine Längsachse senkrecht ist. In einem solchen Fall ist es wichtig, zwischen dem Gravitationszentrum und dem Massenzentrum zu unterscheiden. Jede horizontale Verschiebung zwischen diesen beiden Punkten führt zu einem Drehmoment. ⓘ

Es ist sinnvoll, darauf hinzuweisen, dass der Massenschwerpunkt eine feste Eigenschaft für einen bestimmten starren Körper ist (z. B. ohne Schwappen oder Gelenke), während der Schwerpunkt zusätzlich von seiner Ausrichtung in einem ungleichmäßigen Gravitationsfeld abhängen kann. Im letzteren Fall befindet sich der Schwerpunkt immer etwas näher am Hauptanziehungskörper als am Massenmittelpunkt und ändert somit seine Position im interessierenden Körper, wenn dessen Ausrichtung verändert wird. ⓘ

Bei der Untersuchung der Dynamik von Flugzeugen, Fahrzeugen und Schiffen müssen die Kräfte und Momente relativ zum Massenzentrum aufgelöst werden. Dies gilt unabhängig davon, ob die Schwerkraft selbst eine Rolle spielt. Die Bezeichnung des Massenzentrums als Schwerpunkt ist zwar umgangssprachlich, aber sie ist allgemein gebräuchlich, und wenn die Auswirkungen des Schwerkraftgradienten vernachlässigbar sind, sind Schwerpunkt und Massenzentrum identisch und werden austauschbar verwendet. ⓘ

In der Physik werden die Vorteile der Verwendung des Massenschwerpunkts zur Modellierung einer Massenverteilung deutlich, wenn man die Resultierende der Schwerkraftkräfte auf einen kontinuierlichen Körper betrachtet. Man betrachte einen Körper Q mit dem Volumen V und der Dichte ρ(r) an jedem Punkt r des Volumens. In einem parallelen Gravitationsfeld ist die Kraft f an jedem Punkt r gegeben durch,

$$\mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,$$

wobei dm die Masse im Punkt r ist, g die Erdbeschleunigung ist und ${\textstyle \mathbf {\hat {k}} }$ ein Einheitsvektor ist, der die vertikale Richtung definiert. ⓘ

Wählen Sie einen Bezugspunkt R im Volumen und berechnen Sie die resultierende Kraft und das Drehmoment an diesem Punkt,

$$\mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,$$

und

$$\mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).$$

ⓘ

Wenn der Bezugspunkt R so gewählt wird, dass er der Massenschwerpunkt ist, dann

$$\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,$$

Das bedeutet, dass das resultierende Drehmoment T = 0 ist. Da das resultierende Drehmoment gleich Null ist, bewegt sich der Körper so, als wäre er ein Teilchen, dessen Masse im Massenschwerpunkt konzentriert ist. ⓘ

Wählt man den Schwerpunkt als Bezugspunkt für einen starren Körper, so bewirken die Schwerkräfte keine Drehung des Körpers, d. h. das Gewicht des Körpers kann als im Massenschwerpunkt konzentriert angesehen werden. ⓘ

Linear- und Drehimpuls

Der lineare Impuls und der Drehimpuls einer Ansammlung von Teilchen können vereinfacht werden, indem man die Position und die Geschwindigkeit der Teilchen relativ zum Massenschwerpunkt misst. Das System der Teilchen Pi, i = 1, ..., n mit der Masse mi befinde sich an den Koordinaten ri mit den Geschwindigkeiten vi. Wählen Sie einen Bezugspunkt R und berechnen Sie die relativen Positions- und Geschwindigkeitsvektoren,

$$\mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .$$

ⓘ

Der Gesamtlinearimpuls und der Gesamtdrehimpuls des Systems sind

$$\mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,$$

und

$$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v}$$

ⓘ

Wenn R als Massenschwerpunkt gewählt wird, vereinfachen sich diese Gleichungen zu

$$\mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v}$$

wobei m die Gesamtmasse aller Teilchen, p der lineare Impuls und L der Drehimpuls ist. ⓘ

Der Impulserhaltungssatz besagt, dass für jedes System, das keinen äußeren Kräften ausgesetzt ist, der Impuls des Systems konstant bleibt, was bedeutet, dass sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Dies gilt für alle Systeme mit klassischen inneren Kräften, einschließlich magnetischer Felder, elektrischer Felder, chemischer Reaktionen und so weiter. Formaler ausgedrückt, gilt dies für alle inneren Kräfte, die sich gemäß dem Dritten Newtonschen Gesetz aufheben. ⓘ

Lokalisierung des Massenschwerpunkts

Lotmethode ⓘ

Die experimentelle Bestimmung des Massenschwerpunkts eines Körpers macht sich die auf den Körper wirkenden Schwerkräfte zunutze und beruht auf der Tatsache, dass der Massenschwerpunkt mit dem Schwerpunkt im parallelen Schwerefeld nahe der Erdoberfläche identisch ist. ⓘ

Der Massenschwerpunkt eines Körpers mit einer Symmetrieachse und konstanter Dichte muss auf dieser Achse liegen. So liegt der Massenschwerpunkt eines Kreiszylinders mit konstanter Dichte auf der Achse des Zylinders. In gleicher Weise liegt der Massenschwerpunkt eines kugelsymmetrischen Körpers mit konstanter Dichte im Mittelpunkt der Kugel. Im Allgemeinen liegt der Massenschwerpunkt eines Körpers bei jeder Symmetrie in einem festen Punkt dieser Symmetrie. ⓘ

In zwei Dimensionen

Eine experimentelle Methode zur Bestimmung des Massenschwerpunkts besteht darin, das Objekt an zwei Stellen aufzuhängen und von den Aufhängungspunkten aus Lotlinien fallen zu lassen. Der Schnittpunkt der beiden Linien ist der Massenschwerpunkt. ⓘ

Die Form eines Objekts kann bereits mathematisch bestimmt sein, aber sie kann zu komplex sein, um eine bekannte Formel zu verwenden. In diesem Fall kann man die komplexe Form in einfachere, elementare Formen unterteilen, deren Massenschwerpunkte leicht zu finden sind. Wenn die Gesamtmasse und der Massenschwerpunkt für jeden Bereich bestimmt werden können, ist der Massenschwerpunkt des Ganzen das gewichtete Mittel der Schwerpunkte. Diese Methode funktioniert sogar bei Objekten mit Löchern, die als negative Massen berücksichtigt werden können. ⓘ

Eine direkte Weiterentwicklung des Planimeters, das sogenannte Integraph- oder Integerometer, kann zur Bestimmung der Position des Schwerpunkts einer unregelmäßigen zweidimensionalen Form verwendet werden. Diese Methode kann auf eine Form mit unregelmäßiger, glatter oder komplexer Begrenzung angewendet werden, wo andere Methoden zu schwierig sind. Sie wurde regelmäßig von Schiffsbauern verwendet, um die erforderliche Verdrängung und den Auftriebsschwerpunkt eines Schiffes zu ermitteln und sicherzustellen, dass es nicht kentern würde. ⓘ

In drei Dimensionen

Eine experimentelle Methode zur Bestimmung der dreidimensionalen Koordinaten des Massenschwerpunkts beginnt damit, dass man das Objekt an drei Punkten abstützt und die Kräfte F₁, F₂ und F₃ misst, die dem Gewicht des Objekts widerstehen, $\mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}}$ ($\mathbf {\hat {k}}$ ist der Einheitsvektor in vertikaler Richtung). Sind r₁, r₂ und r₃ die Positionskoordinaten der Auflagepunkte, dann erfüllen die Koordinaten R des Massenschwerpunkts die Bedingung, dass das resultierende Drehmoment gleich Null ist,

$$\mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,$$

oder

$$\mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.$$

ⓘ

Aus dieser Gleichung ergeben sich die Koordinaten des Massenschwerpunkts R* in der horizontalen Ebene wie folgt,

$$\mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).$$

ⓘ

Der Massenschwerpunkt liegt auf der vertikalen Linie L, gegeben durch

$$\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .$$

ⓘ

Die dreidimensionalen Koordinaten des Massenschwerpunkts werden bestimmt, indem dieser Versuch zweimal durchgeführt wird, wobei das Objekt so positioniert wird, dass diese Kräfte für zwei verschiedene horizontale Ebenen durch das Objekt gemessen werden. Der Massenschwerpunkt ist der Schnittpunkt der beiden Linien L₁ und L₂, die sich aus den beiden Versuchen ergeben. ⓘ

Anwendungen

Technische Entwürfe

Anwendungen im Automobilbau

Ingenieure versuchen, einen Sportwagen so zu konstruieren, dass sein Massenschwerpunkt abgesenkt wird, um das Handling des Fahrzeugs zu verbessern, d. h. die Traktion bei relativ scharfen Kurven zu erhalten. ⓘ

Das charakteristische niedrige Profil des US-Militärfahrzeugs Humvee wurde zum Teil so konstruiert, dass er sich weiter neigen kann als größere Fahrzeuge, ohne umzukippen, da der niedrige Massenschwerpunkt auch bei weit von der Horizontalen abweichenden Winkeln auf dem von den vier Rädern begrenzten Raum bleibt. ⓘ

Aeronautik

Der Masseschwerpunkt ist ein wichtiger Punkt an einem Flugzeug, der die Stabilität des Flugzeugs erheblich beeinflusst. Um sicherzustellen, dass das Flugzeug stabil genug ist, um sicher zu fliegen, muss der Schwerpunkt innerhalb bestimmter Grenzen liegen. Liegt der Schwerpunkt vor der vorderen Grenze, ist das Flugzeug weniger manövrierfähig und kann sich möglicherweise nicht mehr für den Start drehen oder für die Landung abfangen. Liegt der Schwerpunkt hinter der hinteren Grenze, ist das Flugzeug wendiger, aber auch weniger stabil und möglicherweise so instabil, dass es nicht geflogen werden kann. Der Hebelarm des Höhenruders wird ebenfalls verringert, was das Wiederaufrichten aus einem blockierten Zustand erschwert. ⓘ

Bei Hubschraubern im Schwebeflug liegt der Masseschwerpunkt immer direkt unter dem Rotorkopf. Im Vorwärtsflug verschiebt sich der Schwerpunkt nach vorne, um das negative Pitch-Drehmoment auszugleichen, das durch die zyklische Steuerung erzeugt wird, um den Hubschrauber vorwärts zu treiben; folglich fliegt ein Hubschrauber im Reiseflug "mit der Nase nach unten" in der Ebene. ⓘ

Astronomie

Zwei Körper auf der Umlaufbahn ihres Baryzentrums (rotes Kreuz) ⓘ

Das Massenzentrum spielt eine wichtige Rolle in der Astronomie und Astrophysik, wo es allgemein als Baryzentrum bezeichnet wird. Das Baryzentrum ist der Punkt zwischen zwei Objekten, an dem sie sich gegenseitig ausbalancieren; es ist der Massenschwerpunkt, an dem zwei oder mehr Himmelskörper einander umkreisen. Wenn ein Mond einen Planeten oder ein Planet einen Stern umkreist, umkreisen beide Körper einen Punkt, der vom Zentrum des primären (größeren) Körpers entfernt liegt. Der Mond umkreist zum Beispiel nicht den genauen Mittelpunkt der Erde, sondern einen Punkt auf einer Linie zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem des Mondes, etwa 1.710 km unter der Erdoberfläche, wo sich ihre jeweiligen Massen die Waage halten. Dies ist der Punkt, um den Erde und Mond auf ihrer Reise um die Sonne kreisen. Wenn die Massen ähnlicher sind, z. B. bei Pluto und Charon, liegt das Baryzentrum außerhalb beider Körper. ⓘ

Aufhängung und Sicherheit

Die Kenntnis der Lage des Schwerpunkts beim Aufriggen ist von entscheidender Bedeutung und kann bei falscher Annahme zu schweren Verletzungen oder zum Tod führen. Ein Schwerpunkt, der sich am oder über dem Hebepunkt befindet, führt höchstwahrscheinlich zu einem Kippunfall. Im Allgemeinen gilt: Je weiter der Schwerpunkt unter dem Aufnahmepunkt liegt, desto sicherer ist die Hebevorrichtung. Es gibt noch weitere Faktoren zu berücksichtigen, wie z. B. die Verlagerung von Lasten, die Stärke der Last und die Masse, der Abstand zwischen den Aufnahmepunkten und die Anzahl der Aufnahmepunkte. Bei der Auswahl der Hebepunkte ist es besonders wichtig, den Schwerpunkt in der Mitte und weit unterhalb der Hebepunkte zu platzieren. ⓘ

Körperbewegung

In der Kinesiologie und Biomechanik ist der Massenschwerpunkt ein wichtiger Parameter, der hilft, die menschliche Fortbewegung zu verstehen. Bei der Reaktionsbrettmethode handelt es sich um eine statische Analyse, bei der die Person auf einem Instrument liegt und ihr statisches Gleichgewicht verwendet wird, um ihren Schwerpunkt zu ermitteln. Die Segmentierungsmethode beruht auf einer mathematischen Lösung, die auf dem physikalischen Prinzip beruht, dass die Summe der Drehmomente der einzelnen Körperteile in Bezug auf eine bestimmte Achse gleich dem Drehmoment des gesamten Systems, das den Körper bildet, gemessen in Bezug auf dieselbe Achse, sein muss. ⓘ

Massenschwerpunkt zweier Punktmassen auf einem Stab

Gegeben sei ein Stab der Länge $a$. Auf diesem Stab befinden sich die zwei Punktmassen $m_{1}$ und $m_{2}$ an den Orten $x_{1}$ und $x_{2}$. ⓘ

Bild 1: Stab mit zwei Punktmassen und Massenschwerpunkt $x_{s}$ (hier mit $x_{m}$ bezeichnet) ⓘ

Der Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) $x_{s}$ lässt sich dann wie folgt berechnen:

$x_{s}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot a$ ⓘ

Das Massenverhältnis ist sozusagen ein prozentualer Faktor zu $a$. Wird die Masse $m_{2}$ unendlich groß, so verschiebt sich der Massenschwerpunkt an den Ort $x_{2}$. Wird jedoch die Masse $m_{1}$ im Verhältnis zu $m_{2}$ unendlich groß, so verschiebt sich der Massenschwerpunkt an den Ort $x_{1}$. ⓘ

Etwas Allgemeiner:

Bild 2: Massenschwerpunkt etwas Allgemeiner ⓘ

Aus Bild 1 ist zu erkennen, dass $a=x_{2}-x_{1}$ gilt. In Bild 2 sind nun die Punktmassen nicht mehr am Anfangs- und Endpunkt des Stabes. Da in den Bildern die Skala von links nach rechts verläuft muss man also den Abstand zwischen dem Anfangspunkt des Stabes und dem Massenpunkt $x_{1}$ dazu addieren. Somit kommt man zu folgender Formel:

$x_{s}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$ ⓘ

Massenschwerpunkt mehrerer Punktmassen auf einem Stab

Um dies vom vorherigen Abschnitt fortzusetzen platzieren wir nun 3 Punktmassen auf einem Stab. ⓘ

Bild 3: Stab mit drei Punktmassen ⓘ

Um den Massenschwerpunkt zu bestimmen, zerlegen wir dieses Konstrukt in 2 Teilstäbe. Dazu durchtrennen wir den Stab am Ort $x_{2}$ und teilen die Masse $m_{2}$ zur Hälfte auf den einen Teilstab und die andere Hälfte auf den anderen Teilstab auf. Zunächst berechnen wir wie folgt die Massenschwerpunkte der Teilstäbe wie aus dem vorherigen Abschnitt bekannt:

$x_{s1}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}$ ⓘ

$x_{s2}={\frac {m_{3}}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}$ ⓘ

Nun kann man mit der Gesamtmasse der Teilstäbe und dem Massenschwerpunkt die Teilstäbe als neue Punktmasse zusammenfassen:

$m_{xs1}=m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}$ ⓘ

$m_{xs2}=0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}$ ⓘ

Nun berechnet man mit diesen neuen Werten einen weiteren Massenschwerpunkt, welche schlussendlich der Massenschwerpunkt der drei Punktmassen ist:

$x_{s}={\frac {m_{xs2}}{m_{xs1}+m_{xs2}}}\cdot (x_{s2}-x_{s1})+x_{s1}$ ⓘ

Eingesetzt sieht das dann wie folgt aus:

${x_{s}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\cdot \left({\frac {m_{3}\cdot (x_{3}-x_{2})}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}+x_{2}-{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}-x_{1}\right)+{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}+x_{1}}$ ⓘ

Formt man diese Gleichung etwas um, kommt man zu folgendem Ergebnis:

$x_{s}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}+x_{3}\cdot m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$ ⓘ

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem aus vorherigen Abschnitt, so ist eine Regelmäßigkeit zu erkennen. Verteilt man nun n-viele Punktmassen auf einem Stab so lässt sich der Massenschwerpunkt wie folgt bestimmen:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}\cdot m_{i}}$ ⓘ

Dabei ist $M$ die Gesamtmasse, sprich die Summe aller Punktmassen:

$M=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}$ ⓘ

Beispielrechnung

Gegeben sei ein Stab der Länge $l=1\;\mathrm {m}$. Die Dichte nehme proportional mit der Länge des Stabes zu. Man berechne nun den Massenschwerpunkt des Stabes! ⓘ

Dichtefunktion:

${\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} x}}=\lambda (x)=c\;x$ ⓘ

Der Proportionalitätsfaktor wird hierbei willkürlich als $c=1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m^{2}} }}$ gewählt. ⓘ

Gesamtmasse:

$M=\int _{0}^{l}cx\;\mathrm {d} x={\frac {c}{2}}\cdot \left[x^{2}\right]_{0}^{l}=0{,}5\;\mathrm {kg}$ ⓘ

Massenschwerpunkt:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \int _{0}^{l}{x\cdot cx\;\mathrm {d} x}={\frac {1}{M}}\cdot \left[{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{l}\approx 0{,}667\;\mathrm {m}$ ⓘ

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Gravizentrum

Die Gravitation wirkt auf alle Massenpunkte eines Körpers. Nur in einem homogenen Gravitationsfeld ist die Gesamtwirkung so, als würde die Gravitationskraft im Massenmittelpunkt angreifen. Da das Gravitationsfeld oft als homogen angenommen werden kann, z. B. in der Nähe der Erdoberfläche, werden die Begriffe Gravizentrum und Massenmittelpunkt oft beide undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet. In einem inhomogenen Feld ist dieser effektive Punkt verschieden vom Massenmittelpunkt und wird Gravizentrum genannt. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf. ⓘ

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Volumenschwerpunkt

Bestimmung des Massenmittelpunktes

Der Schwerpunkt liegt unter dem Aufhängepunkt auf der „Schwerlinie“. ⓘ

Der Schwerpunkt liegt ebenfalls unter einem anderen Aufhängepunkt. Die Lage des Schwerpunkt kann damit aus dem Schnittpunkt der beiden Linien ermittelt werden. ⓘ

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur annähernden Bestimmung des Massenmittelpunktes eines beliebigen starren Körpers. Dabei besteht die Näherung darin, die Abweichungen von Gravizentrum und Massenmittelpunkt und damit auch die Veränderungen der Lage des Gravizentrums bei Drehung des Körpers unberücksichtigt zu lassen: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der (näherungsweise) Massenmittelpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts). ⓘ

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man (näherungsweise) den Massenmittelpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben lässt. ⓘ

Verblüffend ist die folgende Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes eines schmalen und länglichen Gegenstandes (zum Beispiel Lineal oder Besen): Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit voneinander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf dem Finger, der dem Massenmittelpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt. Das heißt, der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Massenmittelpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes. ⓘ