Drei-Finger-Regel

Bestimmung der Richtung des Kreuzprodukts mit der Rechtsregel ⓘ

In der Mathematik und der Physik ist die Rechtsregel eine gebräuchliche Gedächtnisstütze für das Verständnis der Orientierung von Achsen im dreidimensionalen Raum. ⓘ

Die meisten der verschiedenen Links- und Rechtsregeln ergeben sich aus der Tatsache, dass die drei Achsen des dreidimensionalen Raums zwei mögliche Ausrichtungen haben. Man kann dies erkennen, wenn man die Hände mit den Handflächen nach außen zusammenhält, die Finger gekrümmt und den Daumen ausgestreckt. Die Krümmung der Finger stellt eine Bewegung von der ersten (x-Achse) zur zweiten (y-Achse) dar, die dritte (z-Achse) kann dann entlang der beiden Daumen zeigen. Beim Umgang mit Koordinatenachsen gibt es eine Links-Regel und eine Rechts-Regel. Die Regel kann verwendet werden, um die Richtung des Magnetfelds, der Rotation, der Spiralen, der elektromagnetischen Felder, der Spiegelbilder und der Enantiomere in Mathematik und Chemie zu bestimmen. ⓘ

Die Reihenfolge ist oft: Zeigefinger, dann Mittelfinger, dann Daumen. Es gibt aber auch zwei andere Reihenfolgen, die den Zyklus beibehalten:

Mittelfinger, dann Daumen, dann Zeigefinger.
Daumen, dann Zeigefinger, dann Mittelfinger (siehe z. B. die neunte Serie der Schweizer 200-Franken-Banknote). ⓘ

Kurvenorientierung und Normalenvektoren

In der Vektorrechnung ist es oft notwendig, die Normale einer Fläche auf die sie begrenzende Kurve zu beziehen. Für eine positiv orientierte Kurve $C$ , die eine Fläche $S$ begrenzt, ist die Normale auf die Fläche $n̂$ so definiert, dass der rechte Daumen in die Richtung von $n̂$ zeigt und die Finger sich entlang der Orientierung der begrenzenden Kurve $C$ krümmen.

Rechte-Hand-Regel für die Orientierung der Kurve. ⓘ

Koordinaten

Koordinaten für Linkshänder auf der linken Seite,
Rechtshänderkoordinaten auf der rechten Seite. ⓘ

Für rechtshändige Koordinaten die rechte Hand verwenden.
Für Linkshänderkoordinaten die linke Hand verwenden. ⓘ
Achse oder Vektor	Zwei Finger und Daumen	Gekrümmte Finger
x, 1, oder A	Erster oder Zeigefinger	Gestreckte Finger
y, 2 oder B	Zweiter Finger oder Handfläche	Finger um 90° gekrümmt
z, 3 oder C	Daumen	Daumen

Koordinaten sind in der Regel rechtshändig. ⓘ

Bei rechtshändigen Koordinaten zeigt der rechte Daumen entlang der z-Achse in die positive Richtung, und die Krümmung der Finger stellt eine Bewegung von der ersten oder x-Achse zur zweiten oder y-Achse dar. Von oben oder der z-Achse aus gesehen ist das System gegen den Uhrzeigersinn. ⓘ

Bei Linkshänderkoordinaten zeigt der linke Daumen entlang der z-Achse in die positive Richtung, und die gekrümmten Finger der linken Hand stellen eine Bewegung von der ersten oder x-Achse zur zweiten oder y-Achse dar. Von der oberen oder z-Achse aus gesehen ist das System im Uhrzeigersinn. ⓘ

Durch Vertauschen der Beschriftungen zweier beliebiger Achsen wird die Händigkeit umgekehrt. Wenn Sie die Richtung einer Achse (oder aller drei Achsen) umkehren, kehrt sich auch der Drehsinn um. (Wenn die Achsen weder eine positive noch eine negative Richtung haben, hat die Händigkeit keine Bedeutung). Die Umkehrung von zwei Achsen entspricht einer Drehung um 180° um die verbleibende Achse. ⓘ

Drehungen

Ein rotierender Körper

Konventionelle Richtung der Achse eines rotierenden Körpers ⓘ

In der Mathematik wird ein rotierender Körper in der Regel durch einen Pseudovektor entlang der Rotationsachse dargestellt. Die Länge des Vektors gibt die Rotationsgeschwindigkeit an, und die Richtung der Achse gibt die Drehrichtung gemäß der Regel der rechten Hand an: die rechten Finger sind in Drehrichtung gekrümmt und der rechte Daumen zeigt in die positive Richtung der Achse. Dies ermöglicht einige einfache Berechnungen mit dem Vektor-Kreuzprodukt. Kein Teil des Körpers bewegt sich in Richtung des Achsenpfeils. Wenn der Daumen nach Norden zeigt, dreht sich die Erde zufällig in prograder Richtung gemäß der Rechtsregel. Dies führt dazu, dass Sonne, Mond und Sterne nach der Linksregel in westlicher Richtung zu rotieren scheinen. ⓘ

Helices und Schrauben

Links- und rechtsdrehende Schrauben

Eine Helix ist eine gekrümmte Linie, die von einem Punkt gebildet wird, der sich um einen Mittelpunkt dreht, während sich der Mittelpunkt auf der z-Achse nach oben oder unten bewegt. Helices sind entweder rechts- oder linkshändig, wobei die gekrümmten Finger die Drehrichtung und der Daumen die Vorschubrichtung entlang der z-Achse angeben. ⓘ

Das Gewinde einer Schraube ist eine Helix, daher können Schrauben rechts- oder linkshändig sein. Die Regel lautet: Wenn eine Schraube rechtshändig ist (was bei den meisten Schrauben der Fall ist), richten Sie Ihren rechten Daumen in die Richtung, in die Sie die Schraube drehen möchten, und drehen Sie die Schraube in die Richtung Ihrer gekrümmten rechten Finger. ⓘ

Elektromagnetismus

Wenn Elektrizität (konventioneller Strom) in einem langen geraden Draht fließt, erzeugt er ein kreisförmiges oder zylindrisches Magnetfeld um den Draht herum, das der Rechtshänderregel entspricht. Der konventionelle Strom, der das Gegenteil des tatsächlichen Elektronenflusses ist, ist ein Fluss von positiven Ladungen entlang der positiven z-Achse. Die konventionelle Richtung einer magnetischen Linie wird durch eine Kompassnadel angegeben.
Elektromagnet: Das Magnetfeld um einen Draht ist recht schwach. Wenn der Draht zu einer Spirale gewickelt wird, zeigen alle Feldlinien innerhalb der Spirale in dieselbe Richtung, und jede aufeinander folgende Windung verstärkt die anderen. Der Vorlauf der Spirale, der nicht kreisförmige Teil des Stroms und die Feldlinien zeigen alle in die positive z-Richtung. Da es keinen magnetischen Monopol gibt, treten die Feldlinien am +z-Ende aus, machen eine Schleife außerhalb der Helix und treten am -z-Ende wieder ein. Das +z-Ende, an dem die Linien austreten, wird als Nordpol definiert. Wenn die Finger der rechten Hand in Richtung der Kreiskomponente des Stroms gekrümmt sind, zeigt der rechte Daumen auf den Nordpol.
Lorentz-Kraft: Wenn sich eine positive elektrische Ladung durch ein Magnetfeld bewegt, erfährt sie eine Kraft gemäß der Lorentz-Kraft, deren Richtung durch die Rechte-Hand-Regel gegeben ist. Wenn die Krümmung der rechten Finger eine Drehung aus der Richtung, in der sich die Ladung bewegt, in die Richtung des Magnetfeldes darstellt, dann wirkt die Kraft in Richtung des rechten Daumens. Da sich die Ladung bewegt, führt die Kraft zu einer Biegung der Teilchenbahn. Die Biegekraft wird durch das Vektor-Kreuzprodukt berechnet. Das bedeutet, dass die Biegekraft mit der Geschwindigkeit des Teilchens und der Stärke des Magnetfelds zunimmt. Die Kraft ist am größten, wenn die Richtung des Teilchens und das Magnetfeld im rechten Winkel zueinander stehen, sie ist in jedem anderen Winkel geringer und ist gleich Null, wenn sich das Teilchen parallel zum Feld bewegt. ⓘ

Ampère's Regel des rechten Griffs

Vorhersage der Richtung des Feldes (B), wenn der Strom I in Richtung des Daumens fließt ⓘ

Bestimmung der Richtung des Magnetfelds (B) für eine elektrische Spule ⓘ

Die Ampère-Regel des Rechtsgriffs (auch Rechtsschraubregel, Kaffeetassenregel oder Korkenzieherregel genannt) wird verwendet, wenn ein Vektor (z. B. der Euler-Vektor) definiert werden muss, um die Drehung eines Körpers, eines Magnetfelds oder einer Flüssigkeit darzustellen, oder umgekehrt, wenn ein Drehvektor definiert werden muss, um zu verstehen, wie die Drehung erfolgt. Er zeigt eine Verbindung zwischen dem Strom und den Magnetfeldlinien im Magnetfeld, das der Strom erzeugt. ⓘ

André-Marie Ampère, ein französischer Physiker und Mathematiker, nach dem die Regel benannt wurde, wurde von Hans Christian Ørsted inspiriert, einem anderen Physiker, der mit Magnetnadeln experimentierte. Ørsted beobachtete, dass die Nadeln in der Nähe eines stromdurchflossenen Drahtes verwirbelt wurden, und schloss daraus, dass Elektrizität Magnetfelder erzeugen kann. ⓘ

Anwendung

Diese Regel wird in zwei verschiedenen Anwendungen des Ampère'schen Kreislaufgesetzes verwendet:

Ein elektrischer Strom fließt durch einen geraden Draht. Wenn der Daumen in die Richtung des konventionellen Stroms zeigt (von positiv nach negativ), zeigen die gekrümmten Finger in die Richtung der magnetischen Flusslinien um den Leiter. Die Richtung des Magnetfelds (gegen den Uhrzeigersinn statt im Uhrzeigersinn, wenn man die Daumenspitze betrachtet) ist ein Ergebnis dieser Konvention und kein zugrunde liegendes physikalisches Phänomen.
Ein elektrischer Strom fließt durch eine Magnetspule, wodurch ein Magnetfeld entsteht. Wenn man die rechte Hand mit den Fingern in Richtung des konventionellen Stroms um das Solenoid legt, zeigt der Daumen in Richtung des magnetischen Nordpols. ⓘ

Kreuzprodukte

Illustration der Rechte-Hand-Regel auf der neunten Serie der Schweizer 200-Franken-Banknote. ⓘ

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren wird in der Physik und den Ingenieurwissenschaften häufig gebildet. In der Statik und Dynamik ist beispielsweise das Drehmoment das Kreuzprodukt aus Hebellänge und Kraft, während der Drehimpuls das Kreuzprodukt aus Abstand und linearem Impuls ist. In der Elektrizitätslehre und im Magnetismus ist die Kraft, die auf ein sich bewegendes geladenes Teilchen ausgeübt wird, wenn es sich in einem Magnetfeld B bewegt, gegeben durch:

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

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Die Richtung des Kreuzprodukts lässt sich durch Anwendung der Regel der rechten Hand wie folgt ermitteln:

Der Zeigefinger zeigt in die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v.
Der Mittelfinger zeigt in die Richtung des Magnetfeldvektors B.
Der Daumen zeigt in die Richtung des Kreuzprodukts F. ⓘ

Wenn sich beispielsweise ein positiv geladenes Teilchen in einer Region, in der das Magnetfeld nach Westen zeigt, nach Norden bewegt, zeigt die resultierende Kraft nach oben. ⓘ

Anwendungen

Die Rechte-Hand-Regel ist in der Physik weit verbreitet. Nachstehend finden Sie eine Liste physikalischer Größen, deren Richtungen durch die Rechte-Hand-Regel miteinander verbunden sind. (Einige dieser Größen sind nur indirekt mit Kreuzprodukten verbunden und verwenden die zweite Form). ⓘ

Wenn bei einem rotierenden Objekt die Finger der rechten Hand der Kurve eines Punktes auf dem Objekt folgen, dann zeigt der Daumen entlang der Rotationsachse in Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit.
Ein Drehmoment, die Kraft, die es verursacht, und die Position des Angriffspunkts der Kraft.
Ein Magnetfeld, die Position des Punktes, an dem es entsteht, und der elektrische Strom (oder die Änderung des elektrischen Flusses), der es verursacht.
Ein Magnetfeld in einer Drahtspule und der elektrische Strom in der Spule.
Die Kraft eines Magnetfelds auf ein geladenes Teilchen, das Magnetfeld selbst und die Geschwindigkeit des Objekts.
Die Wirbelstärke an einem beliebigen Punkt im Strömungsfeld einer Flüssigkeit
Der durch die Bewegung in einem Magnetfeld induzierte Strom (bekannt als Fleming'sche Rechte-Hand-Regel).
Die x-, y- und z-Einheitsvektoren in einem kartesischen Koordinatensystem können so gewählt werden, dass sie der Rechte-Hand-Regel folgen. Rechtshändige Koordinatensysteme werden häufig in der Starrkörper- und Kinematiklehre verwendet. ⓘ

Geometrie

Drei-Finger-Regel beim Kreuzprodukt ⓘ

Die Orientierung des Vektors, der sich aus dem Kreuzprodukt ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}$ im dreidimensionalen Raum ergibt, wird veranschaulicht, indem der Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors ${\vec {a}}$ zeigt, der Zeigefinger in Richtung des Vektors ${\vec {b}}$ . Daumen und Zeigefinger liegen dabei in einer Ebene mit der Handfläche. Der Mittelfinger steht 90° ab und zeigt in Richtung des sich aus dem Vektorprodukt ergebenden Vektors ${\vec {c}}$ (vgl. Bild oben). ⓘ

Dies kann auch für die Orientierung von orthogonalen Koordinatensystemen verwendet werden. Da eine zyklische Permutation der Reihenfolge der Vektoren unschädlich ist, gilt z. B. mit Einheitsvektoren:

{\hat {x}}\times {\hat {y}}={\hat {z}}\Leftrightarrow {\hat {z}}\times {\hat {x}}={\hat {y}}\Leftrightarrow {\hat {y}}\times {\hat {z}}={\hat {x}}

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Trivia

Die Drei-Finger-Regel ist auf der seit 2018 ausgegebenen 200-Franken-Banknote der Schweiz als Symbol für das Koordinatensystem abgebildet.

Drei-Finger-Regel auf Schweizer Banknote ⓘ