Leistungszahl

Die Leistungszahl oder COP (manchmal auch CP oder CoP) einer Wärmepumpe, eines Kühlschranks oder einer Klimaanlage ist ein Verhältnis zwischen der erbrachten Heiz- oder Kühlleistung und der erforderlichen Arbeit (Energie). Höhere COPs sind gleichbedeutend mit höherer Effizienz, geringerem Energieverbrauch (Strom) und somit niedrigeren Betriebskosten. Der COP liegt in der Regel über 1, vor allem bei Wärmepumpen, da hier nicht nur Arbeit in Wärme umgewandelt wird (was bei einem Wirkungsgrad von 100 % einem COP von 1 entspräche), sondern zusätzliche Wärme von einer Wärmequelle dorthin gepumpt wird, wo die Wärme benötigt wird. Die meisten Klimageräte haben einen COP von 2,3 bis 3,5. Für den Transport von Wärme ist weniger Arbeit erforderlich als für die Umwandlung in Wärme, und deshalb können Wärmepumpen, Klimaanlagen und Kühlsysteme eine Leistungszahl von mehr als 1 haben. Dies bedeutet jedoch nicht, dass sie einen Wirkungsgrad von mehr als 100 % haben, mit anderen Worten, keine Wärmekraftmaschine kann einen thermischen Wirkungsgrad von 100 % oder mehr haben. Bei Komplettsystemen sollte bei der Berechnung der Leistungszahl der Energieverbrauch aller stromverbrauchenden Nebenaggregate berücksichtigt werden. Der COP hängt in hohem Maße von den Betriebsbedingungen ab, insbesondere von der absoluten Temperatur und der relativen Temperatur zwischen Senke und System, und wird oft grafisch dargestellt oder als Durchschnittswert für die erwarteten Bedingungen ermittelt. Die Leistung von Absorptionskältemaschinen ist in der Regel viel geringer, da es sich nicht um Wärmepumpen handelt, die auf Kompression beruhen, sondern auf chemischen Reaktionen, die durch Wärme angetrieben werden. ⓘ

Die Leistungszahl $\varepsilon$ (abgekürzt LZ), bekannt auch unter den englischen Bezeichnungen Energy Efficiency Ratio (kurz EER, $\varepsilon _{\mathrm {KA} }$) für mechanische Kälteanlagen bzw. Heizzahl (englisch Coefficient of Performance, kurz COP,$\varepsilon _{\mathrm {WP} }$) für mechanische Wärmepumpen, ist das Verhältnis von erzeugter Kälte- bzw. Wärmeleistung zur eingesetzten elektrischen Leistung. Sie ist abzugrenzen von dem Wärmeverhältnis $\beta$ für thermische Wärmepumpen bzw. $\beta _{0}$ für thermische Kälteanlagen, welches sich nicht auf die eingesetzte mechanische Leistung, sondern auf den eingesetzten Antriebswärmestrom ${\dot {Q}}_{\mathrm {B} }$ bezieht. ⓘ

Die Leistungszahl ist abhängig vom Betriebspunkt, weshalb die Angabe der Leistungszahl allein nicht ausreicht. So erreicht z. B. eine Wärmepumpe mit geringer Temperaturdifferenz eine hohe Effizienz bzw. hohe Leistungszahl, während eine Luft/Wasser-Wärmepumpe zur Gebäudeheizung gerade im Winter nur eine niedrige Leistungszahl aufweist. Speziell zur Klimatisierung wurden daher mehrere Leistungszahlen definiert, welche die Teillast und auch klimatische Einflüsse berücksichtigen. ⓘ

Das Mittel über ein Jahr bei einer Wärmepumpenheizung wird Jahresarbeitszahl (JAZ) genannt. Sie entspricht der englischen Bezeichnung SCOP (Seasonal COP) bei Wärmepumpen beziehungsweise SEER (Seasonal Energy Efficiency Ratio) in Bezug auf Kältemaschinen. ⓘ

Gleichung

Die Gleichung lautet:

${\rm {COP}}={\frac {|Q|}{W}}$

wobei

• $Q\$ die von dem betrachteten System (Maschine) zugeführte oder abgeführte Nutzwärme ist.
• $W>0\$ ist die in einem Zyklus in das betrachtete System eingebrachte Nettoarbeit. ⓘ

Die COP für Heizen und Kühlen sind unterschiedlich, weil das interessierende Wärmereservoir unterschiedlich ist. Wenn man sich dafür interessiert, wie gut eine Maschine kühlt, ist der COP das Verhältnis zwischen der aus dem kalten Reservoir aufgenommenen Wärme und der zugeführten Arbeit. Beim Heizen hingegen ist der COP das Verhältnis zwischen der an das heiße Reservoir abgegebenen Wärmemenge (d. h. der aus dem kalten Reservoir aufgenommenen Wärme plus der zugeführten Arbeit) und der zugeführten Arbeit:

${\rm {COP}}_{\rm {cooling}}={\frac {|Q_{C}|}{W}}={\frac {Q_{C}}{W}}$ ⓘ

${\rm {COP}}_{\rm {heating}}={\frac {|Q_{H}|}{W}}={\frac {Q_{C}+W}{W}}={\rm {COP}}_{\rm {cooling}}+1$

wobei

• $Q_{C}>0\$ ist die dem kalten Reservoir entzogene und dem System zugeführte Wärme;
• $Q_{H}<0\$ ist die Wärme, die an den Warmwasserspeicher abgegeben wird; sie geht dem System verloren und ist daher negativ (siehe Wärme). ⓘ

Beachten Sie, dass die Leistungszahl einer Wärmepumpe von ihrer Richtung abhängt. Die an die heiße Senke abgegebene Wärme ist größer als die von der kalten Quelle aufgenommene Wärme, so dass der COP für das Heizen um eins größer ist als der COP für das Kühlen. ⓘ

Theoretische Leistungsgrenzen

Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist nach einem vollständigen Zyklus des Prozesses $Q_{H}+Q_{C}+W=\Delta _{cycle}U=0$ und somit $W=-\ Q_{H}-Q_{C}$.
Da $|Q_{H}|=-Q_{H}\$erhalten wir

${\rm {COP}}_{\rm {heating}}={\frac {Q_{H}}{Q_{H}+Q_{C}}}$ ⓘ

Für eine Wärmepumpe, die mit maximalem theoretischen Wirkungsgrad (d. h. Carnot-Wirkungsgrad) arbeitet, kann gezeigt werden, dass

${\frac {Q_{H}}{T_{H}}}+{\frac {Q_{C}}{T_{C}}}=0$ und somit $Q_{C}=-{\frac {Q_{H}T_{C}}{T_{H}}}$

wobei $T_{H}$ und $T_{C}$ die thermodynamischen Temperaturen des heißen bzw. kalten Wärmespeichers sind. ⓘ

Bei maximalem theoretischen Wirkungsgrad ist daher

${\rm {COP}}_{\rm {heating}}={\frac {T_{H}}{T_{H}-T_{C}}}$

was dem Kehrwert des thermischen Wirkungsgrads einer idealen Wärmekraftmaschine entspricht, da eine Wärmepumpe eine umgekehrt arbeitende Wärmekraftmaschine ist. ⓘ

Ähnlich verhält es sich mit dem COP eines Kühlschranks oder einer Klimaanlage, die mit maximalem theoretischem Wirkungsgrad arbeiten,

${\rm {COP}}_{\rm {cooling}}={\frac {Q_{C}}{-\ Q_{H}-Q_{C}}}={\frac {T_{C}}{T_{H}-T_{C}}}$ ⓘ

${\rm {COP}}_{\rm {heating}}$ gilt für Wärmepumpen und ${\rm {COP}}_{\rm {cooling}}$ gilt für Klimaanlagen und Kühlschränke. Die gemessenen Werte für tatsächliche Systeme werden immer deutlich unter diesen theoretischen Maximalwerten liegen. ⓘ

In Europa gelten als Standard-Testbedingungen für Erdwärmepumpen 35 °C (95 °F) für ${T_{H}}$ und 0 °C (32 °F) für ${T_{C}}$. Nach der obigen Formel würden die maximalen theoretischen COPs betragen

${\rm {COP}}_{\rm {heating}}={\frac {35+273}{35}}=8.8$

${\rm {COP}}_{\rm {cooling}}={\frac {273}{35}}=7.8$ ⓘ

Die Testergebnisse der besten Systeme liegen bei 4,5. Wenn man die installierten Anlagen über eine ganze Saison misst und die Energie berücksichtigt, die benötigt wird, um Wasser durch die Rohrsysteme zu pumpen, liegen die saisonalen COPs für die Heizung bei etwa 3,5 oder weniger. Dies deutet darauf hin, dass noch Raum für weitere Verbesserungen besteht. ⓘ

Die EU-Standardtestbedingungen für eine Luft-Wärmepumpe liegen bei einer Trockenkugeltemperatur von 20 °C (68 °F) für ${T_{H}}$ und 7 °C (44,6 °F) für ${T_{C}}$. Angesichts der Minustemperaturen im europäischen Winter ist die Heizleistung in der Praxis deutlich schlechter, als diese Standard-COP-Werte vermuten lassen. ⓘ

Verbesserung des COP

Wie die Formel zeigt, kann die Leistungszahl eines Wärmepumpensystems verbessert werden, indem die Temperaturdifferenz $T_{\text{hot}}$ minus $T_{\text{cold}}$ bei der das System arbeitet. Für ein Heizsystem würde dies zweierlei bedeuten: 1) Senkung der Ausgangstemperatur auf etwa 30 °C (86 °F), was eine verrohrte Fußboden-, Wand- oder Deckenheizung oder überdimensionierte Wasser-Luft-Heizgeräte erfordert, und 2) Erhöhung der Eingangstemperatur (z. B. durch Verwendung einer überdimensionierten Erdwärmequelle oder durch Zugang zu einer solarunterstützten Wärmebank). Die genaue Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit ermöglicht eine viel präzisere Dimensionierung von Erdschleifen oder Bohrlöchern, was zu höheren Rücklauftemperaturen und einem effizienteren System führt. Bei einem Luftkühler könnte der COP durch die Verwendung von Grundwasser als Input anstelle von Luft und durch die Verringerung des Temperaturabfalls auf der Ausgangsseite durch Erhöhung des Luftstroms verbessert werden. Bei beiden Systemen würde auch eine Vergrößerung der Rohre und Luftkanäle dazu beitragen, den Lärm und den Energieverbrauch der Pumpen (und Ventilatoren) zu reduzieren, da die Geschwindigkeit der Flüssigkeit verringert wird, was wiederum die Reynolds-Zahl und damit die Turbulenzen (und den Lärm) sowie den Druckverlust (siehe hydraulische Förderhöhe) verringert. Die Wärmepumpe selbst kann verbessert werden, indem die Größe der internen Wärmetauscher vergrößert wird, was wiederum die Effizienz (und die Kosten) im Verhältnis zur Leistung des Kompressors erhöht, und indem der interne Temperaturabstand des Systems zum Kompressor verringert wird. Durch die letztgenannte Maßnahme sind diese Wärmepumpen natürlich nicht für die Erzeugung hoher Temperaturen geeignet, so dass eine separate Maschine für die Erzeugung von warmem Leitungswasser erforderlich ist. ⓘ

Der COP von Absorptionskältemaschinen kann durch Hinzufügen einer zweiten oder dritten Stufe verbessert werden. Doppelt- und dreifachwirkende Kältemaschinen sind wesentlich effizienter als einfachwirkende und können einen COP von 1 übertreffen. Sie benötigen einen höheren Druck und eine höhere Temperatur des Dampfes, aber es handelt sich immer noch um relativ geringe 10 Pfund Dampf pro Stunde und Tonne Kühlleistung. ⓘ

Beispiel

Eine geothermische Wärmepumpe, die mit einer ${\rm {COP}}_{\rm {heating}}$ von 3,5 arbeitet, liefert 3,5 Wärmeeinheiten für jede verbrauchte Energieeinheit (d. h. 1 verbrauchte kWh liefert 3,5 kWh an Ausgangswärme). Die Ausgangswärme stammt sowohl von der Wärmequelle als auch von 1 kWh an zugeführter Energie, so dass die Wärmequelle um 2,5 kWh und nicht um 3,5 kWh gekühlt wird. ⓘ

Eine Wärmepumpe mit ${\rm {COP}}_{\rm {heating}}$ von 3,5, wie im obigen Beispiel, könnte in der Nutzung kostengünstiger sein als selbst der effizienteste Gasofen, außer in Gebieten, in denen die Stromkosten pro Einheit höher sind als das 3,5-fache der Kosten für Erdgas (z. B. Connecticut oder New York City). ⓘ

Ein Wärmepumpenkühler, der mit einer ${\rm {COP}}_{\rm {cooling}}$ von 2,0 entzieht jeder verbrauchten Energieeinheit 2 Wärmeeinheiten (z. B. würde eine Klimaanlage, die 1 kWh verbraucht, der Luft in einem Gebäude 2 kWh Wärme entziehen). ⓘ

Bei gleicher Energiequelle und gleichen Betriebsbedingungen verbraucht eine Wärmepumpe mit einem höheren COP weniger eingekaufte Energie als eine mit einem niedrigeren COP. Die Gesamtumweltbelastung durch eine Heizungs- oder Klimaanlage hängt von der verwendeten Energiequelle und dem COP der Anlage ab. Die Betriebskosten für den Verbraucher hängen sowohl von den Energiekosten als auch vom COP oder der Effizienz des Geräts ab. In einigen Gebieten gibt es zwei oder mehr Energiequellen, z. B. Erdgas und Strom. Ein hoher COP einer Wärmepumpe kann die relativ hohen Kosten für Strom im Vergleich zum gleichen Heizwert von Erdgas nicht ganz ausgleichen. ⓘ

So lag der durchschnittliche US-Strompreis pro Therm (100.000 britische Wärmeeinheiten (29 kWh)) im Jahr 2009 bei 3,38 $, während der durchschnittliche Preis pro Therm für Erdgas bei 1,16 $ lag. Bei diesen Preisen würde eine Wärmepumpe mit einem COP von 3,5 in gemäßigtem Klima 0,97 $ für die Bereitstellung einer Thermik kosten, während ein hocheffizienter Gasofen mit einem Wirkungsgrad von 95 % 1,22 $ für die Bereitstellung einer Thermik kosten würde. Bei diesen Durchschnittspreisen kostet die Wärmepumpe 20 % weniger, um die gleiche Wärmemenge zu liefern. ⓘ

Der COP einer Wärmepumpe, die mit dem Carnot-Wirkungsgrad arbeitet, hat im Nenner den Ausdruck TH - TC. Wenn die Umgebung abkühlt (TC sinkt), steigt der Nenner und der COP sinkt. Je kälter die Umgebung ist, desto geringer ist daher die Leistungszahl einer Wärmepumpe. Wenn die Umgebung abkühlt, z. B. auf -18 °C (0 °F), sinkt der COP-Wert unter 3,5. Dann kostet der Betrieb desselben Systems so viel wie der einer effizienten Gasheizung. Die jährlichen Einsparungen hängen von den tatsächlichen Kosten für Strom und Erdgas ab, die beide stark schwanken können. ⓘ

Das obige Beispiel gilt nur für eine Luftwärmepumpe. Das obige Beispiel geht davon aus, dass es sich bei der Wärmepumpe um eine Luft-Wärmepumpe handelt, die Wärme von außen nach innen transportiert, oder um eine Wasser-Wärmepumpe, die lediglich Wärme von einer Zone zur anderen transportiert. Bei einer Wasser-Wärmepumpe würde dies nur dann der Fall sein, wenn die momentane Heizlast des Kondensatorwassersystems genau der momentanen Kühllast des Kondensatorwassersystems entspricht. Dies könnte in der Nebensaison (Frühjahr oder Herbst) der Fall sein, ist aber in der Mitte der Heizperiode unwahrscheinlich. Wenn die Wärmepumpen im Heizbetrieb mehr Wärme entziehen als die Wärmepumpen im Kühlbetrieb zuführen, wird der Heizkessel (oder eine andere Wärmequelle) dem Kondensatorwassersystem Wärme zuführen. Der Energieverbrauch und die Kosten für den Heizkessel müssen bei dem obigen Vergleich berücksichtigt werden. Bei einem Wasserquellensystem fällt auch Energie für die Kondensatorwasserpumpen an, die im obigen Beispiel nicht in den Energieverbrauch der Wärmepumpe eingerechnet ist. ⓘ

Saisonale Effizienz

Ein realistischer Hinweis auf die Energieeffizienz über ein ganzes Jahr hinweg kann durch die Verwendung des saisonalen COP oder der saisonalen Leistungszahl (SCOP) für Wärme erreicht werden. Der saisonale Wirkungsgrad (SEER) wird meist für Klimaanlagen verwendet. SCOP ist eine neue Methode, die einen besseren Hinweis auf die zu erwartende Leistung im realen Leben gibt, während COP als die "alte" Skala betrachtet werden kann. Der saisonale Wirkungsgrad gibt einen Hinweis darauf, wie effizient eine Wärmepumpe über eine gesamte Kühl- oder Heizsaison arbeitet. ⓘ

Wärmepumpen

Bei elektrischen Wärmepumpen (WP) mit Kältemittel gibt die Leistungszahl bzw. COP das Verhältnis der abgegebenen Heizleistung einer Wärmepumpe zur aufgewendeten elektrischen Leistung des Verdichters an. Eine Leistungszahl von z. B. 4,2 bedeutet, dass von der eingesetzten elektrischen Leistung des Kompressors das 4,2- fache an Wärmeleistung bereitgestellt wird. Anders formuliert kann mit dieser Wärmepumpe bei einem Kilowatt elektrischer Leistung 4,2 kW Wärmeleistung zur Verfügung gestellt werden. ⓘ

Für eine Wärmepumpe mit der Heizleistung ${\dot {Q}}_{\mathrm {H} }$ ist die Leistungszahl definiert als:

$\varepsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {{\dot {Q}}_{\mathrm {H} }}{P_{\mathrm {el} }}}$ ⓘ

Bei adiabater Betrachtung der Wärmepumpe ist die Heizleistung ${\dot {Q}}_{\mathrm {H} }$ die Summe aus der extern aufgenommenen Wärmeleistung ${\dot {Q}}_{\mathrm {u} }$ (z. B. aus tiefer, warmer Erdsonde) und der elektrischen Leistung $P_{\mathrm {el} }$ des Kompressors der Wärmepumpe, womit die Leistungszahl damit definitionsgemäß größer als eins ist. Aber erst bei Leistungszahlen bzw. Jahresarbeitszahlen, die größer als der Primärenergiefaktor des verwendeten Stroms sind, kann der Einsatz einer Wärmepumpe wirtschaftlich und ökologisch sinnvoll sein. ⓘ

$\varepsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {{\dot {Q}}_{\mathrm {u} }+P_{\mathrm {el} }}{P_{\mathrm {el} }}}=1+{\frac {{\dot {Q}}_{\mathrm {u} }}{P_{\mathrm {el} }}}$. ⓘ

Der Carnot-Wirkungsgrad für eine reversible Wärmepumpe mit der absoluten Verdampfungstemperatur $T_{\text{min}}$(niedrigere Temperatur, bei der das Medium bei geringem Druck Wärme aufnimmt) und der Verflüssigungstemperatur $T_{\text{max}}$(höhere Temperatur, bei der das verdichtete Medium Wärme bei höherem Druck abgibt) beträgt:

$\eta _{c}={\frac {T_{\text{max}}-T_{\text{min}}}{T_{\text{max}}}}=1-{\frac {T_{\text{min}}}{T_{\text{max}}}}<1$ ⓘ

Der reziproke Wert des Carnotfaktors stellt somit den Grenzfall für die erreichbare Leistungszahl dar:

$\varepsilon _{\mathrm {WP} }<{\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{\text{max}}}{T_{\text{max}}-T_{\text{min}}}}$ ⓘ

Kälteanlagen

Die Leistungszahl von Kälteanlagen (KA) gibt das Verhältnis der resultierenden Kälteleistung ${\dot {Q}}_{0}$ zur eingesetzten elektrischen Leistung an:

$\varepsilon _{\mathrm {KA} }={\frac {{\dot {Q}}_{0}}{P_{\mathrm {el} }}}$ ⓘ

Für reale Kraftwärmemaschinen gilt analog, dass das EER kleiner ist als der COP des Carnotprozesses abzüglich 1:

$\varepsilon _{\mathrm {KA} }={\frac {{\dot {Q}}_{0}}{{\dot {Q}}_{\mathrm {H} }-{\dot {Q}}_{0}}}<{\frac {T_{\text{min}}}{T_{\text{max}}-T_{\text{min}}}}={\frac {1}{\eta _{\mathrm {c} }}}-1$ ⓘ

Daraus folgt, dass bei kleinen Temperaturdifferenzen hohe COP bzw. EER erreichbar sind. Im Bereich der Klimatisierung mit geringer Differenz zwischen der Temperatur der gekühlten Luft und der Umgebung sind beispielsweise Leistungszahlen bis 7 erreichbar. ⓘ