Hochpass

Idealer Frequenzgang eines Hochpassfilters ⓘ

Ein Hochpassfilter (HPF) ist ein elektronischer Filter, der Signale mit einer Frequenz oberhalb einer bestimmten Grenzfrequenz durchlässt und Signale mit Frequenzen unterhalb der Grenzfrequenz abschwächt. Das Ausmaß der Dämpfung für jede Frequenz hängt von der Konstruktion des Filters ab. Ein Hochpassfilter wird normalerweise als lineares, zeitinvariantes System modelliert. In der Audiotechnik wird er manchmal auch als Tiefpassfilter oder Bassfilter bezeichnet. Hochpassfilter sind vielseitig einsetzbar, z. B. zum Sperren von Gleichstrom aus Schaltungen, die empfindlich auf von Null abweichende Durchschnittsspannungen reagieren, oder aus Hochfrequenzgeräten. Sie können auch in Verbindung mit einem Tiefpassfilter verwendet werden, um ein Bandpassfilter zu bilden. ⓘ

Im optischen Bereich werden Filter oft durch die Wellenlänge und nicht durch die Frequenz charakterisiert. Hochpass und Tiefpass haben die entgegengesetzte Bedeutung, wobei ein "Hochpass"-Filter (üblicherweise "Langpass") nur längere Wellenlängen (niedrigere Frequenzen) durchlässt, und umgekehrt für "Tiefpass" (üblicherweise "Kurzpass"). ⓘ

Gebräuchlich sind solche Filter in der Elektronik, entsprechende Filterfunktionen können aber auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik, Hydraulik oder Elektrotechnik vorkommen, sie werden dort meistens jedoch nicht so genannt. ⓘ

Beschreibung

In der Elektronik ist ein Filter ein elektronischer Schaltkreis mit zwei Anschlüssen, der Frequenzkomponenten aus einem Signal (zeitlich veränderliche Spannung oder Strom) entfernt, das an seinem Eingangsanschluss anliegt. Ein Hochpassfilter dämpft Frequenzanteile unterhalb einer bestimmten Frequenz, der so genannten Grenzfrequenz, und lässt höhere Frequenzanteile passieren. Dies steht im Gegensatz zu einem Tiefpassfilter, das Frequenzen oberhalb einer bestimmten Frequenz dämpft, und einem Bandpassfilter, das ein bestimmtes Frequenzband durchlässt und Frequenzen oberhalb und unterhalb dieses Bandes dämpft. ⓘ

In der Optik ist ein Hochpassfilter ein durchsichtiges oder durchscheinendes Fenster aus farbigem Material, das Licht, das länger als eine bestimmte Wellenlänge ist, durchlässt und Licht kürzerer Wellenlängen abschwächt. Da Licht häufig nicht nach der Frequenz, sondern nach der Wellenlänge gemessen wird, die in umgekehrtem Verhältnis zur Frequenz steht, wird ein optischer Hochpassfilter, der Lichtfrequenzen unterhalb einer Grenzfrequenz dämpft, oft als Kurzpassfilter bezeichnet; er dämpft längere Wellenlängen. ⓘ

Zeitkontinuierliche Implementierung erster Ordnung

Abbildung 1: Ein passives, analoges Hochpassfilter erster Ordnung, realisiert durch eine RC-Schaltung ⓘ

Der in Abbildung 1 gezeigte einfache elektronische Hochpassfilter erster Ordnung wird realisiert, indem eine Eingangsspannung über die Reihenschaltung eines Kondensators und eines Widerstands gelegt wird und die Spannung über dem Widerstand als Ausgang verwendet wird. Die Übertragungsfunktion dieses linearen, zeitlich unveränderlichen Systems lautet:

${\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}.$ ⓘ

Das Produkt aus Widerstand und Kapazität (R×C) ist die Zeitkonstante (τ); sie ist umgekehrt proportional zur Grenzfrequenz f_c, d. h, ⓘ

$f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,$ ⓘ

wobei fc in Hertz, τ in Sekunden, R in Ohm und C in Farad angegeben ist. Die Grenzfrequenz ist der Punkt, an dem der Pol des Filters den Frequenzgang des Filters abflacht. ⓘ

Abbildung 2: Ein aktiver Hochpassfilter ⓘ

Abbildung 2 zeigt eine aktive elektronische Implementierung eines Hochpassfilters erster Ordnung unter Verwendung eines Operationsverstärkers. Die Übertragungsfunktion dieses linearen, zeitlich unveränderlichen Systems lautet:

${\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.$ ⓘ

In diesem Fall hat das Filter eine Durchlassbereichsverstärkung von -R₂/R₁ und eine Grenzfrequenz von ⓘ

$f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,$ ⓘ

Da dieses Filter aktiv ist, kann es eine ungleiche Durchlassverstärkung haben. Das heißt, hochfrequente Signale werden invertiert und durch R₂/R₁ verstärkt. ⓘ

Einen Hochpass zweiter Ordnung erhält man, indem man R durch eine Induktivität L ersetzt, da diese ihrerseits eine – und zwar zum Kondensator gegenläufige – Frequenzabhängigkeit besitzt, und einen Widerstand R in Reihe mit dem Kondensator C schaltet. Dabei wird R so groß gewählt, dass keine oder nur eine geringe Resonanzüberhöhung des Frequenzgangs entsteht. ⓘ

mit $X_{L}=\omega L,\quad X_{C}={\frac {-1}{\omega C}}\,,\quad \omega =2\pi f$. ⓘ

Damit reduziert sich die Ausgangsspannung unterhalb von f_G stärker (mit 40 dB/Dekade) ab, da nun nicht nur |X_C| größer, sondern zugleich X_L kleiner wird. ⓘ

Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der Emphasis und der Deemphasis wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die Zeitkonstante angegeben. ⓘ

Zeitdiskrete Realisierung

Es können auch zeitdiskrete Hochpassfilter entworfen werden. Der Entwurf von zeitdiskreten Filtern würde den Rahmen dieses Artikels sprengen; ein einfaches Beispiel ergibt sich jedoch aus der Umwandlung des oben beschriebenen zeitkontinuierlichen Hochpassfilters in eine zeitdiskrete Realisierung. Das heißt, das zeitkontinuierliche Verhalten kann diskretisiert werden. ⓘ

Ausgehend von der Schaltung in Abbildung 1 gilt gemäß den Kirchhoffschen Gesetzen und der Definition der Kapazität

${\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}$ ⓘ

wobei $Q_{c}(t)$ die im Kondensator gespeicherte Ladung zum Zeitpunkt $t$. Setzt man Gleichung (Q) in Gleichung (I) und dann Gleichung (I) in Gleichung (V) ein, erhält man:

$V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)$ ⓘ

Diese Gleichung kann diskretisiert werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Abtastwerte für den Eingang und den Ausgang an gleichmäßig verteilten Zeitpunkten genommen werden, die durch $\Delta _{T}$ Zeit. Die Abtastwerte von $V_{\text{in}}$ werden durch die Folge $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$dargestellt, und es sei $V_{\text{out}}$ werden durch die Folge $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ die denselben Zeitpunkten entsprechen. Führen Sie diese Substitutionen durch:

$y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)$ ⓘ

Durch Umordnung der Terme erhält man die Rekursionsbeziehung ⓘ

$y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{Contribution from change in input}}$ ⓘ

Das heißt, diese zeitdiskrete Implementierung eines einfachen zeitkontinuierlichen RC-Hochpassfilters ist ⓘ

$y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{where}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}$ ⓘ

Per Definition, $0\leq \alpha \leq 1$. Der Ausdruck für den Parameter $\alpha$ ergibt die äquivalente Zeitkonstante $RC$ in Abhängigkeit von der Abtastperiode $\Delta _{T}$ und $\alpha$:

$RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)$.

Es sei daran erinnert, dass

$f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$ also $RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}$

dann $\alpha$ und $f_{c}$ miteinander verbunden sind:

$\alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}$

und

$f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}$. ⓘ

Wenn $\alpha =0.5$ist, dann ist die $RC$ Zeitkonstante gleich der Abtastperiode. Wenn $\alpha \ll 0.5$, dann $RC$ deutlich kleiner als das Abtastintervall, und $RC\approx \alpha \Delta _{T}$. ⓘ

Algorithmische Umsetzung

Die Rekursionsbeziehung des Filters bietet eine Möglichkeit, die Ausgangssamples in Abhängigkeit von den Eingangssamples und dem vorangegangenen Ausgang zu bestimmen. Der folgende Pseudocode-Algorithmus simuliert die Wirkung eines Hochpassfilters auf eine Reihe digitaler Abtastwerte, wobei von gleichmäßig verteilten Abtastwerten ausgegangen wird:

// Rückgabe von RC-Hochpassfilter-Ausgangssamples, gegebene Eingangssamples,
// Zeitintervall dt, und Zeitkonstante RC
function hochpass(real[1..n] x, real dt, real RC)
    var real[1..n] y
    var real α := RC / (RC + dt)
    y[1] := x[1]
    für i von 2 bis n
        y[i] := α × y[i-1] + α × (x[i] - x[i-1])
    Rückgabe y ⓘ

Die Schleife zur Berechnung der einzelnen $n$ Ausgänge berechnet, kann in das Äquivalent umstrukturiert werden:

    for i von 2 bis n
        y[i] := α × (y[i-1] + x[i] - x[i-1]) ⓘ

Die frühere Form zeigt jedoch, wie der Parameter α die Auswirkungen der vorherigen Ausgabe y[i-1] und der aktuellen Änderung der Eingabe (x[i] - x[i-1]) verändert. Im Besonderen,

• Ein großes α bedeutet, dass der Output sehr langsam abnimmt, aber auch stark von selbst kleinen Änderungen des Inputs beeinflusst wird. Durch die Beziehung zwischen dem Parameter α und der Zeitkonstante $RC$ oben entspricht ein großes α einer großen $RC$ und damit einer niedrigen Eckfrequenz des Filters. In diesem Fall handelt es sich also um ein Hochpassfilter mit einem sehr schmalen Sperrbereich. Da er durch kleine Änderungen angeregt wird und dazu neigt, seine vorherigen Ausgangswerte lange beizubehalten, kann er relativ niedrige Frequenzen durchlassen. Allerdings wird ein konstanter Eingang (d. h. ein Eingang mit {{{1}}}) immer auf Null abklingen, wie es bei einem Hochpassfilter mit einem großen α zu erwarten wäre. $RC$.
• Ein kleines α bedeutet, dass das Ausgangssignal schnell abklingt und große Änderungen des Eingangssignals erfordert (d. h. (x[i] - x[i-1]) ist groß), damit sich das Ausgangssignal stark ändert. Durch die Beziehung zwischen dem Parameter α und der Zeitkonstante $RC$ oben entspricht ein kleines α einer kleinen $RC$ und damit einer hohen Eckfrequenz des Filters. In diesem Fall handelt es sich also um ein Hochpassfilter mit einem sehr breiten Sperrbereich. Da er große (d. h. schnelle) Änderungen benötigt und dazu neigt, seine vorherigen Ausgangswerte schnell zu vergessen, kann er nur relativ hohe Frequenzen durchlassen, wie man es bei einem Hochpassfilter mit einem kleinen $RC$. ⓘ

Anwendungen

Hochpass-Filter in der Niederfrequenztechnik werden anwendungsbezogen auch als Tiefen-Sperre, Bassfilter, Low-Cut-Filter, Bass-Cut-Filter, Trittschallfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebräuchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solcher Filter, zum Beispiel in einem Equalizer die „Tiefen“ des Signals bzw. entsprechende Brummstörungen abschwächt, die vorwiegend tiefe Frequenzen enthalten; siehe auch Entzerrung (Tontechnik). Weiterhin sind Hochpässe den Hochtonlautsprechern (Tweeter) vorgeschaltet. ⓘ

Hochpässe werden auch zur Ein- und Auskopplung von Hochfrequenzsignalen, z. B. in Antennenweichen, bei ADSL oder der HF-Signalübertragung über Energieleitungen eingesetzt. ⓘ

Mit Hilfe von Filter-Transformationen kann aus dem Hochpass ein Tiefpass oder auch eine Bandsperre gebildet werden. ⓘ

Audio

Hochpassfilter haben viele Anwendungen. Sie werden als Teil einer Audio-Weiche verwendet, um hohe Frequenzen zu einem Hochtöner zu leiten und gleichzeitig Basssignale zu dämpfen, die den Lautsprecher stören oder beschädigen könnten. Wenn ein solcher Filter in ein Lautsprechergehäuse eingebaut wird, handelt es sich in der Regel um einen passiven Filter, der auch einen Tiefpassfilter für den Tieftöner enthält und daher oft sowohl einen Kondensator als auch eine Induktivität verwendet (obwohl sehr einfache Hochpassfilter für Hochtöner aus einem Reihenkondensator und nichts anderem bestehen können). Ein Beispiel: Die obige Formel, angewandt auf einen Hochtöner mit einem Widerstand von 10 Ω, bestimmt den Kondensatorwert für eine Grenzfrequenz von 5 kHz. $C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28\times 5000\times 10}}=3.18\times 10^{-6}$oder etwa 3,2 μF. ⓘ

Eine Alternative, die eine gute Klangqualität ohne Induktivitäten (die zu parasitären Kopplungen neigen, teuer sind und einen beträchtlichen Innenwiderstand aufweisen können) bietet, ist der Einsatz von Bi-Amping mit aktiven RC-Filtern oder aktiven digitalen Filtern mit separaten Leistungsverstärkern für jeden Lautsprecher. Solche strom- und spannungsarmen Netzfrequenzweichen werden als aktive Frequenzweichen bezeichnet. ⓘ

Rumpelfilter sind Hochpassfilter, die zur Beseitigung unerwünschter Geräusche am unteren Ende des hörbaren Bereichs oder darunter eingesetzt werden. So können z. B. Geräusche (z. B. Schritte oder Motorgeräusche von Plattenspielern und Kassettendecks) entfernt werden, weil sie unerwünscht sind oder die RIAA-Entzerrungsschaltung des Vorverstärkers überlasten könnten. ⓘ

Hochpassfilter werden auch für die AC-Kopplung an den Eingängen vieler Audio-Leistungsverstärker verwendet, um die Verstärkung von Gleichströmen zu verhindern, die den Verstärker schädigen, ihm den Headroom rauben und Abwärme an der Schwingspule des Lautsprechers erzeugen können. Ein Verstärker, das professionelle Audiomodell DC300, das ab den 1960er Jahren von Crown International hergestellt wurde, verfügte über keinerlei Hochpassfilterung und konnte dazu verwendet werden, das Gleichstromsignal einer handelsüblichen 9-Volt-Batterie am Eingang zu verstärken, um im Notfall 18 Volt Gleichstrom für die Stromversorgung des Mischpults zu liefern. Die Grundkonstruktion dieses Modells wurde jedoch durch neuere Konstruktionen wie die in den späten 1980er Jahren entwickelte Crown Macro-Tech-Serie ersetzt, die über eine 10-Hz-Hochpassfilterung an den Eingängen und eine schaltbare 35-Hz-Hochpassfilterung an den Ausgängen verfügt. Ein weiteres Beispiel ist die PLX-Verstärkerserie von QSC Audio, die einen internen 5-Hz-Hochpassfilter enthält, der auf die Eingänge angewendet wird, wenn die optionalen 50- und 30-Hz-Hochpassfilter ausgeschaltet sind. ⓘ

Ein 75-Hz-Tiefpassfilter von einem Eingangskanal eines Mackie 1402-Mischpults, gemessen mit der Smaart-Software. Dieser Hochpassfilter hat eine Steigung von 18 dB pro Oktave. ⓘ

Mischpulte verfügen oft über Hochpassfilter an jedem Kanalzug. Einige Modelle verfügen über Hochpassfilter mit fester Flankensteilheit und fester Frequenz bei 80 oder 100 Hz, die zugeschaltet werden können; andere Modelle verfügen über wischbare Hochpassfilter, d. h. Filter mit fester Flankensteilheit, die innerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs eingestellt werden können, z. B. von 20 bis 400 Hz beim Midas Heritage 3000 oder von 20 bis 20.000 Hz beim digitalen Mischpult Yamaha M7CL. Der erfahrene Systemtechniker und Live-Sound-Mischer Bruce Main empfiehlt, für die meisten Eingangsquellen am Mischpult Hochpassfilter zu verwenden, mit Ausnahme von Quellen wie Kick-Drum, Bassgitarre und Klavier, die nützliche tieffrequente Klänge aufweisen. Main schreibt, dass DI-Eingänge (im Gegensatz zu Mikrofoneingängen) keine Hochpassfilter benötigen, da sie nicht durch niederfrequenten Bühnensog moduliert werden - niederfrequente Klänge, die von den Subwoofern oder der Beschallungsanlage kommen und auf die Bühne übergreifen. Main weist darauf hin, dass Hochpassfilter in der Regel für Richtmikrofone verwendet werden, die einen Nahbesprechungseffekt haben, d. h. eine Anhebung der niedrigen Frequenzen bei sehr nahen Schallquellen. Diese tieffrequente Anhebung verursacht in der Regel Probleme bis zu 200 oder 300 Hz, aber Main merkt an, dass er Mikrofone gesehen hat, die von einer 500-Hz-Hochpassfiltereinstellung am Mischpult profitieren. ⓘ

Bild

Beispiel eines Hochpassfilters, der auf die rechte Hälfte eines Fotos angewendet wurde. Die linke Seite ist unbearbeitet, die rechte Seite wurde mit einem Hochpassfilter versehen (in diesem Fall mit einem Radius von 4,9). ⓘ

Hochpass- und Tiefpassfilter werden auch in der digitalen Bildverarbeitung verwendet, um Bildänderungen, Verbesserungen, Rauschunterdrückung usw. vorzunehmen, wobei Entwürfe entweder im räumlichen Bereich oder im Frequenzbereich durchgeführt werden. Die Unscharfmaskierung oder Schärfung, die in Bildbearbeitungssoftware verwendet wird, ist ein Hochpassfilter, eine Verallgemeinerung des Hochpasses. ⓘ

Hochpass 1. Ordnung

Einfacher RC-Hochpass ⓘ

Amplitudengänge von Hochpässen 1. und 2. Ordnung ⓘ

Als Beispiel für einen Hochpass ist im Folgenden die Funktion einer elektrischen Filterschaltung gegeben. Das Bild zeigt den grundsätzlichen Aufbau aus einem Kondensator C und einem Widerstand R. Bei niedriger Frequenz sperrt der Blindwiderstand ($X_{\mathrm {C} }$) des Kondensators weitgehend den Strom. ⓘ

Von der Eingangsspannung $U_{\mathrm {e} }$ erscheint am Ausgang gemäß der Spannungsteilerformel nur der Anteil $U_{\mathrm {a} }$ :

$U_{\mathrm {a} }=U_{\mathrm {e} }\cdot {\frac {R}{\sqrt {X_{\mathrm {C} }^{2}+R^{2}}}}=U_{\mathrm {e} }\cdot {\frac {\omega CR}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}=U_{\mathrm {e} }\cdot {\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {1}{\omega CR}}\right)^{2}}}}$           (Herleitung siehe Tiefpass-Formel-Herleitung) ⓘ

Phasengang: ${\varphi }(\omega )$ $=\arctan \left({\frac {1}{{\omega }{C}{R}}}\right)$ ⓘ

wobei $U_{\mathrm {e} }$ und $U_{\mathrm {a} }$ die Beträge der Ein- und Ausgangsspannung bezeichnen. ⓘ

Ortskurve eines passiven Hochpasses 1. Ordnung ⓘ

Die Grenzfrequenz $f_{\mathrm {c} }$ (engl.: cutoff frequency) eines solchen Hochpasses ist $f_{\mathrm {c} }={\tfrac {1}{2\pi RC}}$ . Unter der Grenzfrequenz versteht man diejenige Frequenz, bei der $U_{\mathrm {a} }=U_{\mathrm {e} }/{\sqrt {2}}$ ist, d. h., $U_{\mathrm {a} }$ ist gegenüber $U_{\mathrm {e} }$ um 3 Dezibel abgeschwächt. Die Dämpfung nimmt unterhalb der Grenzfrequenz um 20 Dezibel pro Dekade zu. Bei einer logarithmischen Darstellung auf beiden Achsen ergibt das eine Gerade. Da $X_{\mathrm {C} }$ mit steigender Frequenz kleiner wird, geht das Teilungsverhältnis mit steigender Frequenz gegen 1, für hohe Frequenzen wird $U_{\mathrm {a} }=U_{\mathrm {e} }$.

$X_{\mathrm {C} }={\frac {1}{\omega C}}$ mit $\omega =2\pi f$ ⓘ

Die Dämpfung beträgt dann 0 dB. ⓘ

Der Frequenzgang der Schaltung wird auch gerne durch eine Ortskurve in der komplexen Ebene dargestellt. Dabei stellt A das Spannungsverhältnis in komplexer Schreibweise dar:

${\underline {A}}={\frac {{\underline {u_{a}}}(t)}{{\underline {u_{e}}}(t)}}$ .

Die Länge des von der Zeit unabhängigen Zeigers A steht für das Amplitudenverhältnis, wie es sich mit der Frequenz ändert; der Winkel zur positiven reellen Achse steht für φ. ⓘ

Hochpass höherer Ordnung

Durch Hintereinanderschaltung mehrerer Hochpässe wird deren Ordnung erhöht. Zwei hintereinander geschaltete Hochpässe 2. Ordnung bilden demnach einen Hochpass 4. Ordnung. Die Dämpfung ändert sich hierbei unterhalb der Grenzfrequenz mit:

$4\cdot 20\,{\text{dB/Dekade}}=80\,{\text{dB/Dekade}}$,

was einer Flankensteilheit von 24 dB/Oktave entspricht. 6 dB pro Oktave sind gleich 20 dB pro Dekade: eine Änderung um eine Oktave (Änderung um Faktor 2) entspricht der ${\tfrac {6}{20}}$-fachen Änderung um eine Dekade:

$\log _{10}(2)\approx 0{,}30={\frac {6}{20}}$. ⓘ