Brachistochrone

Die Kurve des schnellsten Abstiegs ist keine gerade oder polygonale Linie (blau), sondern eine Zykloide (rot). ⓘ

In der Physik und Mathematik ist eine brachistochrone Kurve (von altgriechisch βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) "kürzeste Zeit") oder Kurve des schnellsten Abstiegs diejenige, die in der Ebene zwischen einem Punkt A und einem tieferen Punkt B liegt, wobei B nicht direkt unter A liegt, auf der eine Perle unter dem Einfluss eines gleichmäßigen Gravitationsfeldes in der kürzesten Zeit reibungsfrei zu einem bestimmten Endpunkt gleitet. Das Problem wurde von Johann Bernoulli im Jahr 1696 aufgeworfen. ⓘ

Die Brachistochronenkurve hat die gleiche Form wie die Tautochronenkurve; beide sind Zykloiden. Allerdings ist der Teil der Zykloide, der für beide verwendet wird, unterschiedlich. Genauer gesagt kann die Brachistochrone bis zu einer vollständigen Umdrehung der Zykloide verwendet werden (an der Grenze, wenn A und B auf gleicher Höhe liegen), beginnt aber immer an einem Scheitelpunkt. Im Gegensatz dazu kann das Tautochrone-Problem nur bis zur ersten halben Drehung verwendet werden und endet immer in der Horizontalen. Das Problem lässt sich mit Mitteln der Variationsrechnung und der optimalen Steuerung lösen. ⓘ

Die Kurve ist sowohl von der Masse des Prüfkörpers als auch von der lokalen Schwerkraft unabhängig. Es wird lediglich ein Parameter so gewählt, dass die Kurve zum Startpunkt A und zum Endpunkt B passt. Wenn der Körper eine Anfangsgeschwindigkeit bei A erhält oder wenn die Reibung berücksichtigt wird, dann weicht die Kurve, die die Zeit minimiert, von der Tautochronenkurve ab. ⓘ

Experiment: Welche Bahn ist die schnellste? (Ausstellung Elementa im Landesmuseum für Technik und Arbeit, Mannheim) ⓘ

Brachistochrone ⓘ

Tautochronie der Brachistochrone – von jedem Startpunkt auf der Kurve erreichen die Kugeln das „Ziel“ gleichzeitig. ⓘ

Der Körper gleitet auf einer solchen Bahn schneller zum Ziel als auf jeder anderen Bahn, beispielsweise auf einer geradlinigen, obwohl diese kürzer ist. ⓘ

Gleichzeitig ist diese Kurve eine Tautochrone, d. h. von jedem Punkt der Kurve benötigt der Massepunkt die gleiche Zeit, um zum Tiefpunkt zu gelangen. Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Zykloidenpendel ausgenutzt, bei dem die Pendelmasse auf einer Tautochrone schwingt. ⓘ

Geschichte

Johann Bernoulli stellte das Problem der Brachistochrone im Juni 1696 den Lesern der Acta Eruditorum vor. Er sagte:

Ich, Johann Bernoulli, wende mich an die brillantesten Mathematiker der Welt. Nichts ist für intelligente Menschen anziehender als ein ehrliches, herausforderndes Problem, dessen mögliche Lösung Ruhm einbringt und als bleibendes Denkmal erhalten bleibt. Dem Beispiel Pascals, Fermats usw. folgend, hoffe ich, die Dankbarkeit der gesamten wissenschaftlichen Gemeinschaft zu gewinnen, indem ich den besten Mathematikern unserer Zeit ein Problem vorlege, das ihre Methoden und die Stärke ihres Intellekts auf die Probe stellen wird. Wenn mir jemand die Lösung des vorgeschlagenen Problems mitteilt, werde ich ihn öffentlich für lobenswert erklären ⓘ

Bernoulli schrieb die Problemstellung wie folgt:

Wie lautet die Kurve, die ein Punkt, auf den nur die Schwerkraft einwirkt, von A aus in kürzester Zeit nach B führt, wenn zwei Punkte A und B in einer vertikalen Ebene liegen? ⓘ

Johann und sein Bruder Jakob Bernoulli kamen auf die gleiche Lösung, aber Johanns Herleitung war falsch, und er versuchte, Jakobs Lösung als seine eigene auszugeben. Johann veröffentlichte die Lösung im Mai des folgenden Jahres in der Zeitschrift und stellte fest, dass die Lösung dieselbe Kurve ist wie die Tautochronenkurve von Huygens. Nachdem er die Differentialgleichung für die Kurve mit der unten angegebenen Methode hergeleitet hatte, konnte er zeigen, dass sie eine Zykloide ergibt. Sein Beweis ist jedoch dadurch beeinträchtigt, dass er eine einzige Konstante anstelle der drei unten aufgeführten Konstanten vm, 2g und D verwendet. ⓘ

Bernoulli ließ sich sechs Monate Zeit für die Lösungen, aber in dieser Zeit ging keine ein. Auf Antrag von Leibniz wurde die Frist öffentlich um eineinhalb Jahre verlängert. Als Isaac Newton am 29. Januar 1697 um 16 Uhr von der königlichen Münzanstalt nach Hause kam, fand er die Aufgabe in einem Brief von Johann Bernoulli. Newton blieb die ganze Nacht auf, um die Aufgabe zu lösen, und schickte die Lösung anonym mit der nächsten Post. Als Bernoulli die Lösung las, erkannte er den Verfasser sofort und rief aus, dass er "einen Löwen an seinem Krallenabdruck erkennt". Diese Geschichte gibt einen Eindruck von Newtons Macht, denn Johann Bernoulli brauchte zwei Wochen, um die Aufgabe zu lösen. Newton schrieb auch: "Ich mag es nicht, von Fremden wegen mathematischer Dinge angemahnt [belästigt] und gehänselt zu werden...", und Newton hatte bereits das Newtonsche Problem des minimalen Widerstands gelöst, das als das erste seiner Art in der Variationsrechnung gilt. ⓘ

Letztendlich antworteten fünf Mathematiker mit Lösungen: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus und Guillaume de l'Hôpital. Vier der Lösungen (außer der von l'Hôpital) wurden in derselben Ausgabe der Zeitschrift veröffentlicht wie die von Johann Bernoulli. In seiner Arbeit führte Jakob Bernoulli einen Beweis für die Bedingung der kleinsten Zeit an, der dem unten stehenden ähnelt, bevor er zeigte, dass ihre Lösung eine Zykloide ist. Laut dem Newtonianer Tom Whiteside hat Jakob Bernoulli in dem Versuch, seinen Bruder zu übertreffen, eine schwierigere Version des Brachistochrone-Problems entwickelt. Bei der Lösung dieses Problems entwickelte er neue Methoden, die von Leonhard Euler zu dem weiterentwickelt wurden, was dieser (1766) Variationsrechnung nannte. Joseph-Louis Lagrange führte weitere Arbeiten durch, die zur modernen Infinitesimalrechnung führten. ⓘ

Zuvor, im Jahr 1638, hatte Galilei in seinen Zwei neuen Wissenschaften versucht, ein ähnliches Problem für den Weg des schnellsten Abstiegs von einem Punkt zu einer Wand zu lösen. Er kommt zu dem Schluss, dass der Bogen eines Kreises schneller ist als eine beliebige Anzahl seiner Sehnen,

Aus dem Vorangegangenen lässt sich ableiten, dass der schnellste Weg von allen [lationem omnium velocissimam], von einem Punkt zum anderen, nicht der kürzeste Weg ist, nämlich eine Gerade, sondern der Kreisbogen.
...
Folglich ist die Zeit, die für den Abstieg von A nach C benötigt wird, umso kürzer, je mehr sich das eingeschriebene Polygon einem Kreis nähert. Was für den Quadranten bewiesen wurde, gilt auch für kleinere Bögen; die Argumentation ist dieselbe. ⓘ

Unmittelbar nach Satz 6 von Zwei neue Wissenschaften warnt Galilei vor möglichen Irrtümern und dem Bedarf an einer "höheren Wissenschaft". In diesem Dialog lässt Galilei seine eigene Arbeit Revue passieren. Galilei untersuchte die Zykloide und gab ihr ihren Namen, aber die Verbindung zwischen ihr und seinem Problem musste auf die Fortschritte der Mathematik warten. ⓘ

Galileis Vermutung lautet: "Die kürzeste Zeit von allen [für einen beweglichen Körper] ist die für seinen Fall entlang des Bogens ADB [eines Viertelkreises], und ähnliche Eigenschaften gelten für alle kleineren Bögen, die von der untersten Grenze B aus nach oben genommen werden." ⓘ

In Abb.1, aus dem "Dialog über die beiden wichtigsten Weltsysteme" behauptet Galilei, dass ein Körper, der auf dem Kreisbogen eines Viertelkreises von A nach B gleitet, B in kürzerer Zeit erreicht, als wenn er einen anderen Weg von A nach B nimmt. 2, von einem beliebigen Punkt D auf dem Kreisbogen AB, behauptet er, dass die Zeit entlang des kleineren Kreisbogens DB kürzer ist als für jeden anderen Weg von D nach B. Tatsächlich ist der schnellste Weg von A nach B oder von D nach B, die Brachistochrone, ein Zykloidenbogen, wie er in Abb. 3 für den Weg von A nach B und in Abb.4 für den Weg von D nach B, der dem jeweiligen Kreisbogen überlagert ist. ⓘ

Johann I Bernoulli hat sich mit dem Problem des schnellsten Falles beschäftigt. Im Jahre 1696 fand er schließlich die Lösung in der Brachistochrone. Heute sieht man dies oft als die Geburtsstunde der Variationsrechnung. ⓘ

Christiaan Huygens veröffentlichte 1673 in seiner Abhandlung Horologium Oscillatorium eine ganggenaue Pendeluhr mit einem Zykloidenpendel, bei dem er sich die Tatsache zunutze machte, dass die Evolute der Zykloide selbst wieder eine Zykloide ist. Der Vorteil der Ganggenauigkeit wird jedoch durch die erhöhte Reibung wett- bzw. zunichtegemacht. ⓘ

Die Lösung von Johann Bernoulli

Einführung

In einem Brief an L'Hôpital (21.12.1696) erklärte Bernoulli, dass er bei der Betrachtung des Problems der Kurve des schnellsten Abstiegs nach nur zwei Tagen eine merkwürdige Affinität oder Verbindung mit einem anderen, nicht weniger bemerkenswerten Problem bemerkte, das zu einer "indirekten Methode" der Lösung führte. Kurz darauf entdeckte er dann eine "direkte Methode". ⓘ

Direkte Methode

In einem Brief an Henri Basnage, der in der Öffentlichen Bibliothek der Universität Basel aufbewahrt wird, erklärte Johann Bernoulli am 30. März 1697, dass er zwei Methoden (immer als "direkt" und "indirekt" bezeichnet) gefunden habe, um zu zeigen, dass die Brachistochrone die "gewöhnliche Zykloide", auch "Roulette" genannt, sei. Auf Anraten von Leibniz nahm er nur die indirekte Methode in die Acta Eruditorum Lipsidae vom Mai 1697 auf. Er schrieb, dass dies zum einen daran lag, dass er der Meinung war, dass dies ausreichte, um jeden zu überzeugen, der an der Schlussfolgerung zweifelte, und zum anderen daran, dass damit auch zwei berühmte Probleme der Optik gelöst wurden, die "der verstorbene Herr Huygens" in seiner Abhandlung über das Licht aufgeworfen hatte. In demselben Brief kritisierte er Newton für die Verschleierung seiner Methode. ⓘ

Zusätzlich zu seiner indirekten Methode veröffentlichte er auch die fünf anderen Antworten auf das Problem, die er erhielt. ⓘ

Johann Bernoullis direkte Methode ist von historischer Bedeutung als Beweis dafür, dass die Brachistochrone eine Zykloide ist. Die Methode besteht darin, die Krümmung der Kurve in jedem Punkt zu bestimmen. Alle anderen Beweise, auch der von Newton (der damals noch nicht bekannt war), beruhen auf der Bestimmung der Steigung in jedem Punkt. ⓘ

1718 erklärte Bernoulli, wie er das Brachistochronenproblem mit seiner direkten Methode löste. ⓘ

Er erklärte, dass er es 1697 nicht veröffentlicht hatte, aus Gründen, die 1718 nicht mehr galten. Dieses Papier wurde bis 1904 weitgehend ignoriert, als die Tiefe der Methode zum ersten Mal von Constantin Carathéodory gewürdigt wurde, der erklärte, dass sie zeige, dass die Zykloide die einzig mögliche Kurve des schnellsten Abstiegs sei. Seiner Meinung nach bedeuteten die anderen Lösungen lediglich, dass die Zeit des Abstiegs für die Zykloide stationär ist, aber nicht unbedingt das Minimum darstellt. ⓘ

Analytische Lösung

Man geht davon aus, dass ein Körper auf einem beliebigen kleinen Kreisbogen Ce zwischen den Radien KC und Ke gleitet, wobei der Mittelpunkt K feststeht. Der erste Schritt des Beweises besteht darin, den Kreisbogen Mm zu finden, den der Körper in der kürzesten Zeit durchläuft. ⓘ

Die Linie KNC schneidet AL in N, und die Linie Kne schneidet sie in n, und sie bilden einen kleinen Winkel CKe in K. Sei NK = a, und definiere einen variablen Punkt C auf KN verlängert. Von allen möglichen Kreisbögen Ce muss der Bogen Mm gefunden werden, der die geringste Zeit benötigt, um zwischen den beiden Radien KM und Km zu gleiten. Um Mm zu finden, argumentiert Bernoulli wie folgt. ⓘ

Er definiert m so, dass MD = mx, und n so, dass Mm = nx + na ist, und stellt fest, dass x die einzige Variable ist und dass m endlich und n unendlich klein ist. Die kleine Zeit für die Reise entlang des Bogens Mm ist ${\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}$ was ein Minimum sein muss ("un plus petit"). Er erklärt nicht, dass, weil Mm so klein ist, die Geschwindigkeit entlang des Bogens als die Geschwindigkeit bei M angenommen werden kann, die die Quadratwurzel aus MD ist, dem vertikalen Abstand von M unter der horizontalen Linie AL. ⓘ

Daraus folgt, dass dies, wenn man es differenziert, ergeben muss

{\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0

so dass x = a ist. ⓘ

Diese Bedingung definiert die Kurve, auf der der Körper in der kürzest möglichen Zeit gleitet. Für jeden Punkt M auf der Kurve wird der Krümmungsradius MK durch seine Achse AL in zwei gleiche Teile geschnitten. Diese Eigenschaft, die laut Bernoulli schon seit langem bekannt ist, ist einzigartig für die Zykloide. ⓘ

Schließlich betrachtet er den allgemeineren Fall, in dem die Geschwindigkeit eine beliebige Funktion X(x) ist, so dass die zu minimierende Zeit beträgt ${\frac {(x+a)}{X}}$ . Die Minimalbedingung ist dann $X={\frac {(x+a)dX}{dx}}$ die er wie folgt schreibt: $X=(x+a)\Delta x$ und das ergibt MN (=x) als Funktion von NK (= a). Daraus ließe sich die Gleichung der Kurve aus der Integralrechnung ableiten, was er jedoch nicht demonstriert. ⓘ

Synthetische Lösung

Er fährt dann mit seiner so genannten synthetischen Lösung fort, einem klassischen geometrischen Beweis dafür, dass es nur eine einzige Kurve gibt, die ein Körper in kürzester Zeit hinuntergleiten kann, und diese Kurve ist die Zykloide. ⓘ

Der Grund für die synthetische Demonstration in der Art der Antike ist, Herrn de la Hire zu überzeugen. Er hat wenig Zeit für unsere neue Analyse und bezeichnet sie als falsch (er behauptet, er habe drei Wege gefunden, um zu beweisen, dass die Kurve eine kubische Parabel ist) - Brief von Johan Bernoulli an Pierre Varignon vom 27. Juli 1697. ⓘ

Nehmen wir an, dass AMmB der Teil der Zykloide ist, der A mit B verbindet und den der Körper in der kürzesten Zeit hinuntergleitet. ICcJ sei ein Teil einer anderen Kurve, die A mit B verbindet und die näher an AL liegen kann als AMmB. Wenn der Bogen Mm in seinem Krümmungsmittelpunkt K den Winkel MKm einschließt, sei der Bogen auf IJ, der denselben Winkel einschließt, Cc. Der Kreisbogen durch C mit dem Mittelpunkt K sei Ce. Der Punkt D auf AL liegt senkrecht über M. Verbinden Sie K mit D und der Punkt H ist der Schnittpunkt von CG mit KD, gegebenenfalls verlängert. ⓘ

Sei $\tau$ und t seien die Zeiten, die der Körper braucht, um entlang von Mm bzw. Ce zu fallen. ⓘ

\tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}

,

t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}

,

Verlängern Sie CG bis zum Punkt F, wo, $CF={\frac {CH^{2}}{MD}}$ und da ${\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}$ folgt daraus, dass

{\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}

Da MN = NK, für die Zykloide:

GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}

,

CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}

, und

CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}

ⓘ

Wenn Ce näher an K liegt als Mm, dann

CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}

und

CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}

In beiden Fällen,

CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG

, und es folgt, dass

\tau <t

Wenn der Bogen Cc, der durch den infinitesimalen Winkel MKm auf IJ begrenzt wird, nicht kreisförmig ist, muss er größer als Ce sein, da Cec im Grenzfall ein rechtwinkliges Dreieck wird, wenn der Winkel MKm gegen Null geht. ⓘ

Bernoulli beweist, dass CF > CG durch ein ähnliches, aber anderes Argument. ⓘ

Daraus folgert er, dass ein Körper die Zykloide AMB in kürzerer Zeit durchläuft als jede andere Kurve ACB. ⓘ

Indirekte Methode

Nach dem Fermatschen Prinzip ist der Weg, den ein Lichtstrahl zwischen zwei Punkten zurücklegt, derjenige, der am wenigsten Zeit benötigt. Johann Bernoulli nutzte diesen Grundsatz 1697 zur Herleitung der Brachistochronenkurve, indem er die Flugbahn eines Lichtstrahls in einem Medium betrachtete, in dem die Lichtgeschwindigkeit infolge einer konstanten vertikalen Beschleunigung (der Erdbeschleunigung g) zunimmt. ⓘ

Aufgrund des Energieerhaltungssatzes ist die momentane Geschwindigkeit eines Körpers v nach einem Fall aus einer Höhe y in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld gegeben durch:

v={\sqrt {2gy}}

,

Die Geschwindigkeit der Bewegung eines Körpers entlang einer beliebigen Kurve hängt nicht von der horizontalen Verschiebung ab. ⓘ

Bernoulli stellte fest, dass das Brechungsgesetz eine Bewegungskonstante für einen Lichtstrahl in einem Medium mit variabler Dichte liefert:

{\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}

,

wobei v_m die Konstante ist und $\theta$ den Winkel der Flugbahn gegenüber der Vertikalen darstellt. ⓘ

Die obigen Gleichungen führen zu zwei Schlussfolgerungen:

Zu Beginn muss der Winkel gleich Null sein, wenn die Teilchengeschwindigkeit gleich Null ist. Daher ist die Brachistochronenkurve tangential zur Vertikalen im Ursprung.
Die Geschwindigkeit erreicht einen Maximalwert, wenn die Flugbahn horizontal wird und der Winkel θ = 90° beträgt. ⓘ

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass das Teilchen (oder der Strahl) mit den Koordinaten (x,y) vom Punkt (0,0) ausgeht und die maximale Geschwindigkeit erreicht, nachdem es eine vertikale Strecke D gefallen ist:

v_{m}={\sqrt {2gD}}

.

Durch Umstellen der Terme im Brechungsgesetz und Quadrieren erhält man:

v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})

was für dx in Form von dy gelöst werden kann:

dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}

.

Durch Substitution der obigen Ausdrücke für v und vm erhält _man:

dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,

was die Differentialgleichung einer umgekehrten Zykloide ist, die durch einen Kreis mit dem Durchmesser D=2r erzeugt wird, dessen Parametergleichung lautet:

{\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}

wobei φ ein reeller Parameter ist, der dem Winkel entspricht, um den sich der rollende Kreis gedreht hat. Bei gegebenem φ liegt der Mittelpunkt des Kreises bei $(x, y) = (rφ, r)$ . ⓘ

Beim Brachistochronenproblem ist die Bewegung des Körpers durch die zeitliche Entwicklung des Parameters gegeben:

\varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}

Dabei ist t die Zeit seit dem Loslassen des Körpers vom Punkt (0,0). ⓘ

Die Lösung von Jakob Bernoulli

Johanns Bruder Jakob zeigte, wie 2. Differentiale verwendet werden können, um die Bedingung für die kleinste Zeit zu erhalten. Eine modernisierte Version des Beweises lautet wie folgt. Wenn wir eine vernachlässigbare Abweichung vom Pfad der kleinsten Zeit machen, dann, für das Differentialdreieck, das durch die Verschiebung entlang des Pfades und die horizontalen und vertikalen Verschiebungen gebildet wird, ⓘ

ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}

. ⓘ

Durch Differenzieren mit festem dy erhalten wir, ⓘ

2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x

. ⓘ

Und schließlich ergibt das Umordnen der Terme, ⓘ

{\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t

ⓘ

wobei der letzte Teil die Verschiebung für eine gegebene Zeitänderung für 2te Differentiale ist. Betrachten wir nun die Änderungen entlang der beiden benachbarten Pfade in der Abbildung unten, für die der horizontale Abstand zwischen den Pfaden entlang der Mittellinie d²x ist (derselbe für das obere und untere Differentialdreieck). Entlang des alten und des neuen Pfades unterscheiden sich die Teile, die sich unterscheiden, ⓘ

d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x

d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x

ⓘ

Für den Weg der kleinsten Zeiten sind diese Zeiten gleich, so dass wir für ihre Differenz erhalten,

d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x

ⓘ

Und die Bedingung für die kleinste Zeit ist,

{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}

was mit Johanns Vermutung übereinstimmt, die auf dem Brechungsgesetz beruht. ⓘ

Newtons Lösung

Einführung

Im Juni 1696 hatte Johann Bernoulli die Seiten der Acta Eruditorum Lipsidae genutzt, um die internationale mathematische Gemeinschaft vor eine Herausforderung zu stellen: Es galt, die Form der Kurve zu finden, die zwei feste Punkte so verbindet, dass eine Masse allein unter dem Einfluss der Schwerkraft in der kürzesten Zeit entlang der Kurve hinuntergleiten kann. Die Lösung sollte ursprünglich innerhalb von sechs Monaten vorgelegt werden. Auf Anregung von Leibniz verlängerte Bernoulli die Frist bis Ostern 1697, und zwar durch einen gedruckten Text namens "Programma", der in Groningen in den Niederlanden veröffentlicht wurde. ⓘ

Das Programma ist auf den 1. Januar 1697 nach dem Gregorianischen Kalender datiert. Im Julianischen Kalender, der in Großbritannien verwendet wurde, war dies der 22. Dezember 1696. Laut Newtons Nichte, Catherine Conduitt, erfuhr Newton am 29. Januar um 16 Uhr von der Aufgabe und hatte sie am nächsten Morgen um 4 Uhr gelöst. Seine Lösung, die er der Royal Society mitteilte, ist auf den 30. Januar datiert. Diese Lösung, die später anonym in den Philosophical Transactions veröffentlicht wurde, ist korrekt, gibt aber keinen Hinweis auf die Methode, mit der Newton zu seinem Ergebnis kam. Bernoulli, der im März 1697 an Henri Basnage schreibt, weist darauf hin, dass der Autor der Lösung zwar "aus Bescheidenheit" seinen Namen nicht preisgegeben hat, dass sie aber selbst anhand der spärlichen Angaben als Newtons Werk erkannt werden kann, "wie der Löwe an seiner Klaue" (lateinisch: ex ungue Leonem). ⓘ

D. T. Whiteside erklärt den Ursprung des lateinischen Ausdrucks, der ursprünglich aus dem Griechischen stammt, in beachtlicher Ausführlichkeit. Im französischen Brief wird "ex ungue Leonem" das französische Wort "comme" vorangestellt. Die viel zitierte Version "tanquam ex ungue Leonem" geht auf David Brewsters Buch über das Leben und die Werke von Newton aus dem Jahr 1855 zurück. Bernoulli wollte damit lediglich zum Ausdruck bringen, dass es sich bei der anonymen Lösung um die von Newton handelte, so wie man anhand der Klaue eines Tieres erkennen kann, dass es sich um einen Löwen handelt. Damit wollte er nicht andeuten, dass Bernoulli Newton für den Löwen unter den Mathematikern hielt, wie es inzwischen interpretiert wird. ⓘ

John Wallis, der damals 80 Jahre alt war, hatte im September 1696 von Johann Bernoullis jüngstem Bruder Hieronymus von dem Problem erfahren und drei Monate lang versucht, es zu lösen, bevor er es im Dezember an David Gregory weitergab, der es ebenfalls nicht lösen konnte. Nachdem Newton seine Lösung vorgelegt hatte, fragte Gregory ihn nach den Einzelheiten und machte sich Notizen von ihrem Gespräch. Diese befinden sich in der Bibliothek der Universität Edinburgh, Manuskript A $78^{1}$ zu finden, datiert auf den 7. März 1697. Entweder hat Gregory Newtons Argument nicht verstanden, oder Newtons Erklärung war sehr kurz. Es ist jedoch mit einem hohen Maß an Vertrauen möglich, Newtons Beweis aus Gregorys Notizen zu konstruieren, und zwar in Analogie zu seiner Methode zur Bestimmung des Festkörpers mit minimalem Widerstand (Principia, Buch 2, Proposition 34, Scholium 2). Eine detaillierte Beschreibung seiner Lösung des letztgenannten Problems findet sich im Entwurf eines Briefes von 1694, ebenfalls an David Gregory. Neben dem Problem der minimalen Zeitkurve gab es noch ein zweites Problem, das Newton ebenfalls zur gleichen Zeit löste. Beide Lösungen erschienen anonym in den Philosophical Transactions of the Royal Society für Januar 1697. ⓘ

Das Brachistochrone-Problem

Abb. 1 zeigt Gregorys Diagramm (mit Ausnahme der zusätzlichen Linie IF, die fehlt, und Z, dem Startpunkt, der hinzugefügt wurde). Die Kurve ZVA ist eine Zykloide und CHV ist ihr Erzeugerkreis. Da es scheint, dass sich der Körper von e nach E aufwärts bewegt, muss angenommen werden, dass ein kleiner Körper von Z losgelassen wird und ohne Reibung unter der Wirkung der Schwerkraft entlang der Kurve nach A gleitet. ⓘ

Betrachten wir einen kleinen Bogen eE, den der Körper aufsteigt. Nehmen wir an, dass er die Gerade eL bis zu einem Punkt L durchläuft, der horizontal von E um eine kleine Strecke o versetzt ist, anstelle des Bogens eE. Beachte, dass eL nicht die Tangente an e ist und dass o negativ ist, wenn L zwischen B und E liegt. Zeichne die Linie durch E parallel zu CH und schneide eL bei n. Aus einer Eigenschaft der Zykloide folgt, dass En die Normale zur Tangente an E ist und dass die Tangente an E parallel zu VH verläuft. ⓘ

Da die Verschiebung EL klein ist, weicht sie in ihrer Richtung nur wenig von der Tangente an E ab, so dass der Winkel EnL nahezu rechtwinklig ist. Im Grenzfall, wenn der Bogen eE gegen Null geht, wird eL parallel zu VH, vorausgesetzt, o ist klein im Vergleich zu eE, so dass die Dreiecke EnL und CHV ähnlich sind. ⓘ

Auch en nähert sich der Länge der Sehne eE, und die Länge nimmt zu, $eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}$ ohne Berücksichtigung der Terme in $o^{2}$ und höher, die den Fehler aufgrund der Annäherung darstellen, dass eL und VH parallel sind. ⓘ

Die Geschwindigkeit entlang eE oder eL kann als diejenige bei E angenommen werden, proportional zu ${\sqrt {CB}}$ was wie CH ist, da $CH={\sqrt {CB.CV}}$ ⓘ

Dies scheint alles zu sein, was in Gregorys Aufzeichnung steht. ⓘ

Sei t die zusätzliche Zeit, um L zu erreichen, ⓘ

$t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}$ ⓘ

Der Zeitgewinn für die Durchquerung eines kleinen, an einem Endpunkt verschobenen Bogens hängt also nur von der Verschiebung an diesem Endpunkt ab und ist unabhängig von der Position des Bogens. Nach der Newtonschen Methode ist dies jedoch genau die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit die Kurve in der kürzest möglichen Zeit durchlaufen werden kann. Daraus folgert er, dass die minimale Kurve die Zykloide sein muss. ⓘ

Er argumentiert wie folgt. ⓘ

Nehmen wir nun an, dass Abb. 1 die noch nicht bestimmte Minimalkurve ist, wobei die vertikale Achse CV und der Kreis CHV entfernt wurden, und Abb. 2 einen Teil der Kurve zwischen dem infinitesimalen Bogen eE und einem weiteren infinitesimalen Bogen Ff in endlicher Entfernung entlang der Kurve zeigt. Die zusätzliche Zeit t für die Durchquerung von eL (anstelle von eE) ist nL geteilt durch die Geschwindigkeit bei E (proportional zu ${\sqrt {CB}}$ ), ohne Berücksichtigung der Terme in $o^{2}$ und höher: $t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}$ , ⓘ

Bei L setzt das Teilchen seinen Weg auf einer Bahn LM fort, die parallel zur ursprünglichen Kurve EF verläuft, bis zu einem beliebigen Punkt M. Da es bei L dieselbe Geschwindigkeit hat wie bei E, ist die Zeit für die Durchquerung von LM dieselbe, die es entlang der ursprünglichen Kurve EF benötigt hätte. In M kehrt sie am Punkt f auf die ursprüngliche Strecke zurück. Aus den gleichen Gründen beträgt die Zeitersparnis T, um f von M aus zu erreichen, statt von F aus ⓘ

$T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}$ ⓘ

Die Differenz (t - T) ist die zusätzliche Zeit, die der Weg eLMf im Vergleich zum ursprünglichen Weg eEFf benötigt: $(t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o$ plus Terme in $o^{2}$ und höher (1) ⓘ

Da eEFf die Minimalkurve ist, muss (t - T) größer als Null sein, egal ob o positiv oder negativ ist. Daraus folgt, dass der Koeffizient von o in (1) Null sein muss: ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ (2) im Grenzwert, wenn eE und fF gegen Null gehen. Da eEFf die Minimalkurve ist, muss man davon ausgehen, dass der Koeffizient von $o^{2}$ größer als Null ist. ⓘ

Es ist klar, dass es zwei gleiche und entgegengesetzte Auslenkungen geben muss, sonst würde der Körper nicht zum Endpunkt A der Kurve zurückkehren. ⓘ

Wenn e fest ist und f als ein variabler Punkt weiter oben auf der Kurve betrachtet wird, dann ist f, ${\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}$ konstant (gleich ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ ). Wenn man f festhält und e variabel macht, ist es klar, dass ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}$ ebenfalls konstant ist. ⓘ

Da die Punkte e und f jedoch willkürlich sind, kann Gleichung (2) nur wahr sein, wenn ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}$ und diese Bedingung charakterisiert die gesuchte Kurve. Dies ist die gleiche Technik, die er verwendet, um die Form des Körpers des geringsten Widerstandes zu finden. ⓘ

Für die Zykloide, ${\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}$ , so dass ${\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}$ die, wie oben gezeigt wurde, konstant ist, und die Brachistochrone ist die Zykloide. ⓘ

Newton gibt keinen Hinweis darauf, wie er herausfand, dass die Zykloide diese letzte Beziehung erfüllt. Es kann durch Versuch und Irrtum gewesen sein, oder er kann sofort erkannt haben, dass es impliziert die Kurve war die cycloid. ⓘ

Form

Die Brachistochrone ist Teil einer Zykloide. ⓘ

Funktion

Die Brachistochrone lässt sich in einer Parameterdarstellung beschreiben, das heißt, man kann ihre Punkte als Ortsvektor darstellen, der sich mit einem Parameter ändert. Als Funktion des Winkels $\varphi$ (im Bogenmaß), um den sich das Rad mit Radius $R$ beim Abrollen gedreht hat, sind die $x$ - und $y$ -Koordinaten:

x=R\cdot (\varphi -\sin \varphi )\,,

ⓘ

y=R\cdot (-1+\cos \varphi )\,.

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Hilfreich für das Verstehen dieser Kurve ist: Der Radius mal dem Winkel „Berührungspunkt des Kreises-Kreismittelpunkt-Brachistochronenpunkt“ ist die bereits abgerollte Strecke. ⓘ

Spezielle Eigenschaften der Bahn

Die Bahn ist unabhängig von der Masse und der Gewichtskraft des Körpers, also unabhängig von der Größe der Erdbeschleunigung.
Ebenso ändert eine rollende Kugel, die Rotationsenergie aufnimmt, nichts an der Idealkurve.
Die Tangente im Anfangspunkt ist senkrecht.
Haben zwei Brachistochronen dasselbe Gefälle zwischen Anfangs- und Endpunkt, sind sie ähnlich.
Ist das Gefälle nicht kleiner als 2/π (63,66 %), so ist der Endpunkt der tiefste Punkt der Kurve, bei kleinerem Gefälle liegt der Tiefpunkt zwischen Anfangs- und Endpunkt.
Ist das Gefälle 0, also liegen Anfangs- und Endpunkt auf derselben Höhe, ist die Kurve symmetrisch. ⓘ

Bilder

1. Phase: Beide Kugeln sind gleichauf.
2. Phase: Vordere Kugel beschleunigt durch stärkeres Gefälle.
3. Phase: Vordere Kugel liegt trotz längeren Wegs vorne. ⓘ