Adjunkte

In der linearen Algebra ist das Adjugat oder der klassische Adjunkt einer quadratischen Matrix die Transponierung ihrer Kofaktormatrix. Gelegentlich wird sie auch als adjungierte Matrix bezeichnet, obwohl diese Bezeichnung immer weniger gebräuchlich zu sein scheint. Das Adjugat wurde manchmal auch als "Adjoint" bezeichnet, aber heute bezieht sich der "Adjoint" einer Matrix normalerweise auf den entsprechenden adjungierten Operator, d. h. die konjugierte Transponierung. ⓘ

Das Produkt einer Matrix mit ihrem Adjugat ergibt eine Diagonalmatrix (die nicht auf der Hauptdiagonalen liegenden Einträge sind Null), deren Diagonaleinträge die Determinante der ursprünglichen Matrix sind. Dividiert man also diese Produktmatrix durch die Determinante, so erhält man die Identitätsmatrix dieser Größe, die einfach eine Diagonalmatrix ist, bei der alle Diagonaleinträge gleich eins sind. Die multiplikative Inverse einer quadratischen Matrix kann also durch Division ihrer Adjugierten durch ihre Determinante gefunden werden, da die Multiplikation dieser durch die ursprüngliche Matrix die Identität ergibt. ⓘ

Mit Hilfe der Adjunkten kann man die Inverse einer regulären quadratischen Matrix berechnen. ⓘ

Definition

Die Adjugierte von A ist die Transponierte der Kofaktormatrix C von A,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.$ ⓘ

Der (i, j)-Minor von A, bezeichnet mit M_ij, ist die Determinante der (n - 1) × (n - 1)-Matrix, die sich aus der Streichung der Zeile i und der Spalte j von A ergibt. Die Kofaktormatrix von A ist die n × n-Matrix C, deren (i, j)-Eintrag der (i, j)-Kofaktor von A ist, also der (i, j)-Minor mal einem Vorzeichenfaktor:

$\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$

Das Adjugat von A ist die Transponierte von C, d. h. die n × n-Matrix, deren (i, j)-Eintrag der (j, i)-Kofaktor von A ist,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$ ⓘ

Die Adjugierte ist so definiert, dass das Produkt von A mit seiner Adjugierten eine Diagonalmatrix ergibt, deren Diagonaleinträge die Determinante det(A) sind. Das heißt,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,$

wobei I die n × n-Identitätsmatrix ist. Dies ist eine Folge der Laplace-Erweiterung der Determinante. ⓘ

Die obige Formel impliziert eines der grundlegenden Ergebnisse der Matrixalgebra, nämlich dass A nur dann invertierbar ist, wenn det(A) ein invertierbares Element von R ist. Wenn dies zutrifft, ergibt die obige Gleichung

${\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}$ ⓘ

$\operatorname {adj} (A)=\operatorname {Cof} (A)^{T}={\tilde {A}}^{T}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{12}&\cdots &{\tilde {a}}_{1n}\\{\tilde {a}}_{21}&{\tilde {a}}_{22}&&{\tilde {a}}_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{n1}&{\tilde {a}}_{n2}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&{\tilde {a}}_{21}&\cdots &{\tilde {a}}_{n1}\\{\tilde {a}}_{12}&{\tilde {a}}_{22}&&{\tilde {a}}_{n2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&{\tilde {a}}_{2n}&\cdots &{\tilde {a}}_{nn}\end{pmatrix}}$.

Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle $(j,i)$ der Kofaktor ${\tilde {a}}_{ij}$ steht. Die Kofaktoren ${\tilde {a}}_{ij}$ berechnen sich zu

${\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{n,n}\end{pmatrix}}$. ⓘ

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte) verwendet. ⓘ

Beispiele

Allgemeine 1 × 1-Matrix

Die Adjugierte einer beliebigen 1 × 1-Matrix (komplexer Skalar), die nicht Null ist, ist $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$. Gemäß der Konvention ist adj(0) = 0. × 1_generic_matrix ⓘ

2 × 2 generische Matrix

Die Adjugierte der 2 × 2-Matrix

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

ist .

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.$

Durch direkte Berechnung,

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

In diesem Fall gilt auch, dass det(adj(A)) = det(A) und somit adj(adj(A)) = A ist. × 2_generic_matrix ⓘ

3 × 3 generische Matrix

Betrachten wir eine 3 × 3-Matrix

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.$

Ihre Kofaktormatrix ist

$\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},$

wobei

${\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.$ × 3_generic_matrix ⓘ

Ihr Adjugat ist die Transponierte ihrer Kofaktormatrix,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.$ × 3_generic_matrix ⓘ

3 × 3 numerische Matrix

Als konkretes Beispiel haben wir

$\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.$

Es ist leicht zu überprüfen, dass das Adjugat die Umkehrung der Determinante, also -6, ist. × 3_numeric_matrix ⓘ

Die -1 in der zweiten Zeile, dritte Spalte der Adjugierten wurde wie folgt berechnet. Der (2,3)-Eintrag der Adjugierten ist der (3,2)-Kofaktor von A. Dieser Kofaktor wird anhand der Untermatrix berechnet, die man erhält, wenn man die dritte Zeile und die zweite Spalte der ursprünglichen Matrix A löscht,

${\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.$

Der (3,2)-Kofaktor ist ein Vorzeichen mal die Determinante dieser Untermatrix:

$(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,$

und dies ist der (2,3)-Eintrag der Adjugierten. × 3_numeric_matrix ⓘ

Eigenschaften

Für eine beliebige n × n-Matrix A zeigen elementare Berechnungen, dass Adjugate die folgenden Eigenschaften haben:

• $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ und $\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$, wobei $\mathbf {0}$ und $\mathbf {I}$ die Null- bzw. Identitätsmatrizen sind.
• $\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ für jeden Skalar c.
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$.
• $\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$.
• Wenn A invertierbar ist, dann $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$. Daraus folgt, dass:
  • adj(A) ist invertierbar mit der Inversen (det A)-1A.
  • adj(A-1) = adj(A)-1.
• adj(A) ist eintrittsweise polynomiell in A. Insbesondere über den reellen oder komplexen Zahlen ist das Adjugat eine glatte Funktion der Einträge von A. ⓘ

Über den komplexen Zahlen,

• $\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$, wobei der Balken die komplexe Konjugation bezeichnet.
• $\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$, wobei der Stern die konjugierte Transponierung bezeichnet. ⓘ

Nehmen wir an, dass B eine weitere n × n-Matrix ist. Dann ist

$\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Dies kann auf drei Arten bewiesen werden. Ein Weg, der für jeden kommutativen Ring gilt, ist eine direkte Berechnung mit Hilfe der Cauchy-Binet-Formel. Der zweite Weg, der für die reellen oder komplexen Zahlen gilt, besteht darin, zunächst zu beobachten, dass für invertierbare Matrizen A und B,

$\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).$

Da jede nicht invertierbare Matrix der Grenzwert invertierbarer Matrizen ist, impliziert die Kontinuität der Adjugierten, dass die Formel wahr bleibt, wenn eine von A oder B nicht invertierbar ist. ⓘ

Eine logische Folge der vorherigen Formel ist, dass für jede nichtnegative ganze Zahl k,

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.$

Wenn A invertierbar ist, dann gilt die obige Formel auch für negatives k. ⓘ

Aus der Identität

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),$

wird abgeleitet

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .$ ⓘ

Nehmen wir an, dass A mit B kommutiert. Die Multiplikation der Identität AB = BA auf der linken und rechten Seite mit adj(A) beweist, dass

$\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

Wenn A invertierbar ist, impliziert dies, dass adj(A) auch mit B kommutiert. Über den reellen oder komplexen Zahlen impliziert die Kontinuität, dass adj(A) mit B kommutiert, selbst wenn A nicht invertierbar ist. ⓘ

Schließlich gibt es einen allgemeineren Beweis als den zweiten, der nur voraussetzt, dass eine n × n-Matrix Einträge über einem Feld mit mindestens 2n + 1 Elementen hat (z. B. eine 5 × 5-Matrix über den ganzen Zahlen modulo 11). det(A+t I) ist ein Polynom in t mit höchstens n Grad, hat also höchstens n Wurzeln. Man beachte, dass der ij-te Eintrag von adj((A+t I)(B)) ein Polynom höchstens der Ordnung n ist, und dasselbe gilt für adj(A+t I) adj(B). Diese beiden Polynome am ij-ten Eintrag stimmen in mindestens n + 1 Punkten überein, da wir mindestens n + 1 Elemente des Feldes haben, in dem A+t I invertierbar ist, und wir die Identität für invertierbare Matrizen bewiesen haben. Polynome vom Grad n, die in n + 1 Punkten übereinstimmen, müssen identisch sein (subtrahiert man sie voneinander, erhält man n + 1 Wurzeln für ein Polynom von höchstens n Grad - ein Widerspruch, es sei denn, ihre Differenz ist identisch Null). Da die beiden Polynome identisch sind, nehmen sie für jeden Wert von t denselben Wert an. Sie nehmen also denselben Wert an, wenn t = 0 ist. ⓘ

Anhand der obigen Eigenschaften und anderer elementarer Berechnungen lässt sich leicht zeigen, dass, wenn A eine der folgenden Eigenschaften hat, dies auch für adj A gilt:

• Oberes Dreieck,
• Unteres Dreieck,
• Diagonal,
• Orthogonal,
• einheitlich,
• Symmetrisch,
• hermitesch,
• Schief-symmetrisch,
• Schief-hermitisch,
• Normal. ⓘ

Wenn A invertierbar ist, dann gibt es, wie oben erwähnt, eine Formel für adj(A) in Form der Determinante und der Inversen von A. Wenn A nicht invertierbar ist, erfüllt das Adjugat verschiedene, aber eng verwandte Formeln.

• Wenn rk(A) ≤ n - 2 ist, dann ist adj(A) = 0.
• Wenn rk(A) = n - 1, dann ist rk(adj(A)) = 1. (Irgendein Minor ist ungleich Null, also ist adj(A) ungleich Null und hat daher mindestens den Rang Eins; die Identität adj(A) A = 0 impliziert, dass die Dimension des Nullraums von adj(A) mindestens n - 1 ist, also ist sein Rang höchstens Eins). Daraus folgt, dass adj(A) = αxy^T ist, wobei α ein Skalar ist und x und y solche Vektoren sind, dass Ax = 0 und A^T y = 0. ⓘ

Spaltensubstitution und Cramersche Regel

Unterteilen Sie A in Spaltenvektoren:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

Sei b ein Spaltenvektor der Größe n. Bestimme 1 ≤ i ≤ n und betrachte die Matrix, die durch Ersetzen der Spalte i von A durch b gebildet wird:

$(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.$

Laplace-Erweiterung der Determinante dieser Matrix entlang der Spalte i. Das Ergebnis ist der Eintrag i des Produkts adj(A)b. Wenn man diese Determinanten für die verschiedenen möglichen i sammelt, erhält man eine Gleichheit der Spaltenvektoren

$\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .$ ⓘ

Diese Formel hat die folgende konkrete Konsequenz. Betrachten wir das lineare Gleichungssystem

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .$

Nehmen wir an, dass A nichtsingulär ist. Multipliziert man dieses System auf der linken Seite mit adj(A) und dividiert es durch die Determinante, so erhält man

$\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.$

Wendet man die vorherige Formel auf diese Situation an, erhält man die Cramersche Regel,

$x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},$

wobei xi der i-te Eintrag von x ist. ⓘ

Eine invertierbare $2\times 2$-Matrix lässt sich somit auf sehr einfache Weise invertieren:

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\,\operatorname {adj} (A)={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}$ ⓘ

Charakteristisches Polynom

Das charakteristische Polynom von A sei

$p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].$

Die erste geteilte Differenz von p ist ein symmetrisches Polynom vom Grad n - 1,

$\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].$

Multipliziere sI - A mit seiner Adjugierten. Da p(A) = 0 nach dem Cayley-Hamilton-Theorem ist, zeigen einige elementare Manipulationen, dass

$\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).$ ⓘ

Insbesondere ist das Resolvent von A definiert als

$R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},$

und nach der obigen Formel ist dies gleich

$R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.$ ⓘ

Jacobi-Formel

Die Adjugierte erscheint auch in der Jacobi-Formel für die Ableitung der Determinante. Wenn A(t) kontinuierlich differenzierbar ist, dann

${\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).$

Daraus folgt, dass die Gesamtableitung der Determinante die Transponierte der Adjugierten ist:

$d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.$ ⓘ

Cayley-Hamilton-Formel

p_A(t) sei das charakteristische Polynom von A. Das Cayley-Hamilton-Theorem besagt, dass

$p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .$

Durch Abtrennung des konstanten Terms und Multiplikation der Gleichung mit adj(A) erhält man einen Ausdruck für die Adjugierte, der nur von A und den Koeffizienten von pA(t) abhängt. Diese Koeffizienten können explizit als Spuren von Potenzen von A unter Verwendung vollständiger exponentieller Bell-Polynome dargestellt werden. Die resultierende Formel lautet

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},$

wobei n die Dimension von A ist und die Summe über s und alle Folgen von kl ≥ 0 genommen wird, die die lineare diophantische Gleichung erfüllen

$s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.$ ⓘ

Für den Fall 2 × 2 ergibt dies

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .$

Für den Fall 3 × 3 ergibt dies

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.$

Für den Fall 4 × 4 ergibt dies

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.$ ⓘ

Dieselbe Formel folgt direkt aus dem abschließenden Schritt des Faddeev-LeVerrier-Algorithmus, der das charakteristische Polynom von A effizient bestimmt. ⓘ

Beziehung zu äußeren Algebren

Das Adjugat kann abstrakt mit Hilfe von äußeren Algebren betrachtet werden. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Das Exterieurprodukt definiert eine bilineare Paarung

$V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.$

Abstrakt, $\wedge ^{n}V$ ist isomorph zu R, und unter jedem solchen Isomorphismus ist das äußere Produkt eine perfekte Paarung. Es ergibt sich also ein Isomorphismus

$\phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).$

Explizit sendet diese Paarung v ∈ V nach $\phi _{\mathbf {v} }$, wobei

$\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .$

Nehmen wir an, dass T : V → V eine lineare Transformation ist. Pullback durch die (n - 1)-te äußere Potenz von T induziert einen Morphismus von Hom-Räumen. Das Adjugat von T ist das Kompositum

$V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.$ ⓘ

Wenn V = Rn mit seiner kanonischen Basis e₁, ..., en ausgestattet ist und die Matrix von T in dieser Basis A ist, dann ist das Adjugat von T das Adjugat von A. Um zu sehen, warum das so ist, gib $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$ die Basis

$\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.$

Bestimmen Sie einen Basisvektor ei von Rn. Das Bild von ei unter $\phi$ wird dadurch bestimmt, wohin es Basisvektoren schickt:

$\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Auf Basisvektoren ist die (n - 1)-te äußere Potenz von T

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.$

Jeder dieser Terme wird zu Null unter $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ mit Ausnahme des Terms k = i. Daher ist das Pullback von $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ diejenige lineare Transformation, für die

$\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},$

das heißt, sie ist gleich

$\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.$

Wendet man die Umkehrung von $\phi$ zeigt, dass die Adjugierte von T die lineare Transformation ist, für die

$\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.$

Folglich ist ihre Matrixdarstellung die Adjugierte von A. ⓘ

Wenn V mit einem inneren Produkt und einer Volumenform ausgestattet ist, dann kann die Abbildung φ weiter zerlegt werden. In diesem Fall kann φ als Kompositum des Hodge-Sternoperators und der Dualisierung verstanden werden. Wenn ω die Volumenform ist, dann bestimmt sie zusammen mit dem inneren Produkt einen Isomorphismus

$\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .$

Dieser induziert einen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

Ein Vektor v in Rn entspricht dem linearen Funktional

$(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.$

Nach der Definition des Hodge-Sternoperators ist dieses lineare Funktional dual zu *v. Das heißt, ω^∨∘ φ ist gleich v ↦ *v^∨. ⓘ

Höhere Adjugate

A sei eine n × n-Matrix und r ≥ 0. Die r-te höhere Adjugierte von A ist eine ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ Matrix, bezeichnet als adjr A, deren Einträge durch Teilmengen I und J der Größe r von {1, ..., m} indiziert sind. Ic und Jc bezeichnen die Komplemente von I bzw. J. Außerdem sei $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$ die Untermatrix von A bezeichnen, die die Zeilen und Spalten enthält, deren Indizes in Ic bzw. Jc enthalten sind. Dann ist der Eintrag (I, J) von adj_r A

$(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},$

wobei σ(I) und σ(J) die Summe der Elemente von I bzw. J sind. ⓘ

Zu den grundlegenden Eigenschaften der höheren Adjugate gehören:

• adj₀(A) = det A.
• adj₁(A) = adj A.
• adj_n(A) = 1.
• adj_r(BA) = adj_r(A) adj_r(B).
• $\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$, wobei Cr(A) die r-te zusammengesetzte Matrix bezeichnet. ⓘ

Höhere Adjugate können in abstrakter algebraischer Form auf ähnliche Weise definiert werden wie das gewöhnliche Adjugat, indem man $\wedge ^{r}V$ und $\wedge ^{n-r}V$ für $V$ und $\wedge ^{n-1}V$ersetzen. ⓘ

Iterierte Adjugate

Iteriert man die Adjugierte einer invertierbaren Matrix A k-mal, so erhält man ⓘ

$\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},$

$\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.$ ⓘ

Zum Beispiel,

$\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .$

$\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.$ ⓘ