Lipschitzstetigkeit

Für eine Lipschitz-kontinuierliche Funktion gibt es einen Doppelkegel (weiß), dessen Ursprung entlang des Graphen verschoben werden kann, so dass der gesamte Graph immer außerhalb des Doppelkegels bleibt ⓘ

In der mathematischen Analyse ist die Lipschitz-Kontinuität, benannt nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz, eine starke Form der einheitlichen Kontinuität für Funktionen. Intuitiv ist eine Lipschitz-Kontinuitätsfunktion in ihrer Änderungsgeschwindigkeit begrenzt: Es gibt eine reelle Zahl, so dass für jedes Paar von Punkten auf dem Graphen dieser Funktion der Absolutwert der Steigung der sie verbindenden Geraden nicht größer als diese reelle Zahl ist; die kleinste derartige Schranke wird als Lipschitz-Konstante der Funktion (oder Modul der gleichmäßigen Kontinuität) bezeichnet. So ist zum Beispiel jede Funktion, deren erste Ableitung begrenzt ist, lipschitzstetig. ⓘ

In der Theorie der Differentialgleichungen ist die Lipschitz-Kontinuität die zentrale Bedingung des Picard-Lindelöf-Satzes, der die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems garantiert. Eine besondere Art der Lipschitz-Kontinuität, die sogenannte Kontraktion, wird im Banach-Fixpunktsatz verwendet. ⓘ

Es gibt die folgende Kette strenger Einschlüsse für Funktionen über einem geschlossenen und begrenzten nichttrivialen Intervall der reellen Linie ⓘ

Stetig differenzierbar ⊂ Lipschitz-stetig ⊂ $\alpha$-Hölder stetig ⓘ

wobei $0<\alpha \leq 1$. Wir haben auch ⓘ

Lipschitz stetig ⊂ absolut stetig . ⓘ

Definitionen

Bei zwei metrischen Räumen (X, d_X) und (Y, d_Y), wobei d_X die Metrik auf der Menge X und d_Y die Metrik auf der Menge Y bezeichnet, wird eine Funktion f : X → Y als lipschitzstetig bezeichnet, wenn es eine reelle Konstante K ≥ 0 gibt, so dass für alle x₁ und x₂ in X,

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).$

Ein solches K wird als Lipschitz-Konstante für die Funktion f bezeichnet und f kann auch als K-Lipschitz bezeichnet werden. Die kleinste Konstante wird manchmal als die (beste) Lipschitz-Konstante von f oder als die Dilatation von f bezeichnet. Ist K = 1, wird die Funktion als kurze Abbildung bezeichnet, und wenn 0 ≤ K < 1 und f einen metrischen Raum auf sich selbst abbildet, wird die Funktion als Kontraktion bezeichnet. ⓘ

Insbesondere wird eine reellwertige Funktion f : R → R heißt lipschitzstetig, wenn es eine positive reelle Konstante K gibt, so dass für alle reellen x₁ und x₂,

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.$

In diesem Fall ist Y die Menge der reellen Zahlen R mit der Standardmetrik d_Y(y₁, y₂) = |y₁ - y₂|, und X ist eine Teilmenge von R. ⓘ

Im Allgemeinen ist die Ungleichung (trivialerweise) erfüllt, wenn x₁ = x₂ ist. Andernfalls kann man eine Funktion nur dann als lipschitzstetig definieren, wenn es eine Konstante K ≥ 0 gibt, so dass für alle x₁ ≠ x₂,

${\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.$

Für reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen gilt dies nur dann, wenn der Absolutwert der Steigungen aller Sekanten durch K begrenzt ist. Die Menge der Geraden mit der Steigung K, die durch einen Punkt auf dem Graphen der Funktion gehen, bildet einen Kreiskegel, und eine Funktion ist nur dann lipschitz, wenn der Graph der Funktion überall vollständig außerhalb dieses Kegels liegt (siehe Abbildung). ⓘ

Eine Funktion heißt lokal lipschitzstetig, wenn es für jedes x in X eine Nachbarschaft U von x gibt, so dass f, beschränkt auf U, lipschitzstetig ist. Ist X ein lokal kompakter metrischer Raum, so ist f nur dann lokal lipschitzstetig, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge von X lipschitzstetig ist. In nicht lokal kompakten Räumen ist dies eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt, heißt eine auf X definierte Funktion f, dass sie Hölder-kontinuierlich ist oder eine Hölder-Bedingung der Ordnung α > 0 auf X erfüllt, wenn es eine Konstante M ≥ 0 gibt, so dass

$d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }$

für alle x und y in X. Manchmal wird eine Hölder-Bedingung der Ordnung α auch als einheitliche Lipschitz-Bedingung der Ordnung α > 0 bezeichnet. ⓘ

Für eine reelle Zahl K ≥ 1, wenn

${\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,$

dann wird f K-bilipschitz genannt (auch K-bi-Lipschitz geschrieben). Wir sagen, dass f bilipschitz oder bi-Lipschitz ist, um zu sagen, dass es ein solches K gibt. Eine bilipschitzsche Abbildung ist injektiv und ist in der Tat ein Homöomorphismus auf sein Bild. Eine bilipschitzsche Funktion ist dasselbe wie eine injektive Lipschitz-Funktion, deren Umkehrfunktion ebenfalls Lipschitz ist. ⓘ

Beispiele

Kontinuierliche Lipschitz-Funktionen

• Die Funktion $f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$ die für alle reellen Zahlen definiert ist, ist Lipschitz-kontinuierlich mit der Lipschitz-Konstante K = 1, da sie überall differenzierbar ist und der Absolutwert der Ableitung oben durch 1 begrenzt ist. Siehe die erste Eigenschaft, die unten unter "Eigenschaften" aufgeführt ist.
• Ebenso ist die Sinusfunktion lipschitzstetig, weil ihre Ableitung, die Kosinusfunktion, im Absolutwert nach oben durch 1 begrenzt ist.
• Die Funktion f(x) = |x|, die auf den reellen Zahlen definiert ist, ist nach der umgekehrten Dreiecksungleichung Lipschitz-kontinuierlich, wobei die Lipschitz-Konstante gleich 1 ist. Dies ist ein Beispiel für eine lipschitzstetige Funktion, die nicht differenzierbar ist. Allgemeiner ausgedrückt ist eine Norm auf einem Vektorraum in Bezug auf die zugehörige Metrik Lipschitz-kontinuierlich, wobei die Lipschitz-Konstante gleich 1 ist.

Lipschitz-kontinuierliche Funktionen, die nicht überall differenzierbar sind

• Die Funktion $f(x)=|x|$

Lipschitz-kontinuierliche Funktionen, die überall differenzierbar, aber nicht kontinuierlich differenzierbar sind

• Die Funktion $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$deren Ableitung zwar existiert, aber eine wesentliche Unstetigkeit aufweist bei $x=0$.

Kontinuierliche Funktionen, die nicht (global) Lipschitz-kontinuierlich sind

• Die auf [0, 1] definierte Funktion f(x) = √x ist nicht lipschitzstetig. Diese Funktion wird unendlich steil, wenn x sich 0 nähert, da ihre Ableitung unendlich wird. Sie ist jedoch gleichmäßig stetig und sowohl Hölder-stetig der Klasse C0, α für α ≤ 1/2 als auch absolut stetig auf [0, 1] (was beides Ersteres impliziert).

Differenzierbare Funktionen, die nicht (lokal) Lipschitz-kontinuierlich sind

• Die Funktion f, definiert durch f(0) = 0 und f(x) = x^3/2sin(1/x) für 0<x≤1, ist ein Beispiel für eine Funktion, die auf einer kompakten Menge differenzierbar, aber nicht lokal lipschitzstetig ist, da ihre Ableitungsfunktion nicht begrenzt ist. Siehe auch die erste Eigenschaft weiter unten.

Analytische Funktionen, die nicht (global) lipschitzstetig sind

• Die Exponentialfunktion wird mit x → ∞ beliebig steil und ist daher nicht global lipschitzstetig, obwohl sie eine analytische Funktion ist.
• Die Funktion f(x) = x² mit dem Bereich aller reellen Zahlen ist nicht lipschitzstetig. Diese Funktion wird willkürlich steil, wenn x sich dem Unendlichen nähert. Sie ist jedoch lokal lipschitzstetig. ⓘ

Eigenschaften

• Eine überall differenzierbare Funktion g : R → R ist dann und nur dann lipschitzstetig (mit K = sup |g′(x)|), wenn sie eine beschränkte erste Ableitung hat; eine Richtung folgt aus dem Mittelwertsatz. Insbesondere ist jede kontinuierlich differenzierbare Funktion lokal Lipschitz, da kontinuierliche Funktionen lokal begrenzt sind, so dass ihr Gradient ebenfalls lokal begrenzt ist.
• Eine lipschitzsche Funktion g : R → R ist absolut stetig und daher fast überall differenzierbar, d. h. sie ist in jedem Punkt außerhalb einer Menge mit Lebesgue-Maß Null differenzierbar. Ihre Ableitung ist im Wesentlichen betragsmäßig durch die Lipschitz-Konstante beschränkt, und für a < b ist die Differenz g(b) - g(a) gleich dem Integral der Ableitung g′ auf dem Intervall [a, b].
  • Umgekehrt, wenn f : I → R absolut stetig und damit fast überall differenzierbar ist und |f′(x)| ≤ K für fast alle x in I erfüllt, dann ist f lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstante höchstens K.
  • Allgemeiner ausgedrückt, erweitert Rademachers Theorem das Differenzierbarkeitsergebnis auf Lipschitz-Abbildungen zwischen euklidischen Räumen: eine Lipschitz-Abbildung f : U → Rm, wobei U eine offene Menge in Rn ist, ist fast überall differenzierbar. Und wenn K die beste Lipschitz-Konstante von f ist, dann $\|Df(x)\|\leq K$ wenn die gesamte Ableitung Df existiert.
• Für eine differenzierbare Lipschitz-Karte $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ gilt die Ungleichung $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K$ gilt für die beste Lipschitz-Konstante $K$ von $f$. Wenn der Bereich $U$ konvex ist, dann gilt in der Tat $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K$.
• Nehmen wir an, dass {fn} eine Folge von Lipschitz-kontinuierlichen Abbildungen zwischen zwei metrischen Räumen ist, und dass alle fn eine Lipschitz-Konstante haben, die durch ein gewisses K begrenzt ist. Wenn fn gleichmäßig zu einer Abbildung f konvergiert, dann ist f ebenfalls Lipschitz, mit einer Lipschitz-Konstante, die durch dasselbe K begrenzt ist. Insbesondere impliziert dies, dass die Menge der reellwertigen Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum mit einer bestimmten Schranke für die Lipschitz-Konstante eine geschlossene und konvexe Teilmenge des Banach-Raums der kontinuierlichen Funktionen ist. Dieses Ergebnis gilt jedoch nicht für Folgen, in denen die Funktionen unbeschränkte Lipschitz-Konstanten haben können. Tatsächlich ist der Raum aller Lipschitz-Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum eine Unteralgebra des Banach-Raums der stetigen Funktionen und somit dicht darin, eine elementare Folge des Stone-Weierstraß-Theorems (oder eine Folge des Weierstraß-Approximationstheorems, da jedes Polynom lokal Lipschitz-kontinuierlich ist).
• Jede Lipschitz-kontinuierliche Karte ist einheitlich kontinuierlich und damit a fortiori kontinuierlich. Allgemeiner ausgedrückt: Eine Menge von Funktionen mit beschränkter Lipschitz-Konstante bildet eine äquikontinuierliche Menge. Das Arzelà-Ascoli-Theorem besagt, dass {fn}, wenn es sich um eine gleichmäßig beschränkte Folge von Funktionen mit beschränkter Lipschitz-Konstante handelt, eine konvergente Teilfolge hat. Nach dem Ergebnis des vorigen Abschnitts ist die Grenzwertfunktion ebenfalls Lipschitz, mit der gleichen Schranke für die Lipschitz-Konstante. Insbesondere ist die Menge aller reellwertigen Lipschitz-Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum X mit Lipschitz-Konstante ≤ K eine lokal kompakte konvexe Teilmenge des Banach-Raums C(X).
• Für eine Familie von lipschitzstetigen Funktionen f_α mit gemeinsamer Konstante ist die Funktion $\sup _{\alpha }f_{\alpha }$ (und $\inf _{\alpha }f_{\alpha }$) mit der gleichen Lipschitz-Konstante ebenfalls lipschitzstetig, sofern sie zumindest in einem Punkt einen endlichen Wert annimmt.
• Ist U eine Teilmenge des metrischen Raums M und f : U → R eine Lipschitz-kontinuierliche Funktion, so gibt es immer Lipschitz-kontinuierliche Karten M → R, die f erweitern und die gleiche Lipschitz-Konstante wie f haben (siehe auch Satz von Kirszbraun). Eine Erweiterung ist gegeben durch

${\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},$

wobei k eine Lipschitz-Konstante für f auf U ist. ⓘ

Lipschitz-Mannigfaltigkeiten

Mit Hilfe von Bi-Lipschitz-Mappings ist es möglich, eine Lipschitz-Struktur auf einer topologischen Mannigfaltigkeit zu definieren, da es eine Pseudogruppenstruktur auf Bi-Lipschitz-Homöomorphismen gibt. Diese Struktur liegt zwischen der Struktur einer stückweise linearen Mannigfaltigkeit und einer glatten Mannigfaltigkeit. In der Tat führt eine PL-Struktur zu einer eindeutigen Lipschitz-Struktur; in diesem Sinne kann sie "fast" geglättet werden. ⓘ

Einseitige Lipschitz-Struktur

F(x) sei eine obere halbkontinuierliche Funktion von x, und F(x) sei eine geschlossene, konvexe Menge für alle x. Dann sei F einseitig lipschitz, wenn

$(x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}$

für irgendein C und für alle x₁ und x₂. ⓘ

Es ist möglich, dass die Funktion F eine sehr große Lipschitz-Konstante hat, aber eine mäßig große oder sogar negative einseitige Lipschitz-Konstante. Zum Beispiel kann die Funktion ⓘ

${\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}$ ⓘ

eine Lipschitz-Konstante K = 50 und eine einseitige Lipschitz-Konstante C = 0. Ein Beispiel, das einseitig lipschitz, aber nicht lipschitzstetig ist, ist F(x) = e-x, mit C = 0. ⓘ

Anwendung

Lipschitzstetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe Satz von Picard-Lindelöf). Selbstabbildungen mit einer Lipschitzkonstante kleiner als eins nennt man Kontraktionen. Diese sind wichtig für den Fixpunktsatz von Banach. ⓘ

In der Theorie partieller Differentialgleichungen werden Lipschitz-Gebiete betrachtet. Diese haben die Eigenschaft, dass ihr Rand, der Lipschitz-Rand genannt wird, lokal durch eine lipschitzstetige Funktion beschrieben werden kann. ⓘ

Die Störanfälligkeit von Neuronalen Netzen (beispielsweise im Kontext von Adversarial Examples) kann durch die Größe der Lipschitzkonstante plausibilisiert werden. ⓘ