Abbildungsmatrix

In der linearen Algebra können lineare Transformationen durch Matrizen dargestellt werden. Wenn $T$ eine lineare Transformation ist, die $\mathbb {R} ^{n}$ auf $\mathbb {R} ^{m}$ und $\mathbf {x}$ ein Spaltenvektor mit $n$ Einträgen, dann

$$T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x}$$

für irgendeine $m\times n$ Matrix $A$, genannt die Transformationsmatrix von $T$. Beachten Sie, dass $A$ hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat, während die Transformation $T$ von $\mathbb {R} ^{n}$ auf $\mathbb {R} ^{m}$. Es gibt alternative Ausdrücke für Transformationsmatrizen mit Zeilenvektoren, die von einigen Autoren bevorzugt werden. ⓘ

Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix (also eine rechteckige Anordnung von Zahlen), die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben. ⓘ

Die aus diesen abgeleiteten affinen Abbildungen, Affinitäten und Projektivitäten können ebenfalls durch Abbildungsmatrizen dargestellt werden. ⓘ

Verwendet

Mit Hilfe von Matrizen können beliebige lineare Transformationen in einem konsistenten Format dargestellt werden, das sich für Berechnungen eignet. Außerdem lassen sich so Transformationen leicht zusammensetzen (durch Multiplikation ihrer Matrizen). ⓘ

Lineare Transformationen sind nicht die einzigen, die durch Matrizen dargestellt werden können. Einige Transformationen, die in einem n-dimensionalen euklidischen Raum Rn nichtlinear sind, können als lineare Transformationen im n+1-dimensionalen Raum Rⁿ⁺¹ dargestellt werden. Dazu gehören sowohl affine Transformationen (wie die Translation) als auch projektive Transformationen. Aus diesem Grund werden in der 3D-Computergrafik häufig 4×4-Transformationsmatrizen verwendet. Diese n+1-dimensionalen Transformationsmatrizen werden je nach Anwendung als affine Transformationsmatrizen, projektive Transformationsmatrizen oder allgemeiner als nichtlineare Transformationsmatrizen bezeichnet. In Bezug auf eine n-dimensionale Matrix kann eine n+1-dimensionale Matrix als augmentierte Matrix bezeichnet werden. ⓘ

In den physikalischen Wissenschaften ist eine aktive Transformation eine Transformation, die die physikalische Position eines Systems tatsächlich ändert und auch ohne Koordinatensystem sinnvoll ist, während eine passive Transformation eine Änderung der Koordinatenbeschreibung des physikalischen Systems ist (Änderung der Basis). Die Unterscheidung zwischen aktiven und passiven Transformationen ist wichtig. Mathematiker meinen mit Transformation in der Regel aktive Transformationen, während Physiker beides meinen können. ⓘ

Anders ausgedrückt, bezieht sich eine passive Transformation auf die Beschreibung desselben Objekts aus der Sicht zweier verschiedener Koordinatensysteme. ⓘ

Ermittlung der Matrix einer Transformation

Wenn man eine lineare Transformation $T(x)$ in funktionaler Form hat, ist es einfach, die Transformationsmatrix A zu bestimmen, indem man jeden der Vektoren der Standardbasis durch T transformiert und das Ergebnis in die Spalten einer Matrix einfügt. Mit anderen Worten,

$$A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}$$

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Zum Beispiel ist die Funktion $T(x)=5x$ ist eine lineare Transformation. Die Anwendung des obigen Verfahrens (nehmen wir an, dass n = 2 in diesem Fall) ergibt

$$T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x}$$

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Die Matrixdarstellung von Vektoren und Operatoren hängt von der gewählten Basis ab; eine ähnliche Matrix ergibt sich bei einer anderen Basis. Die Methode zur Ermittlung der Komponenten bleibt jedoch dieselbe. ⓘ

Zur Verdeutlichung: Der Vektor $\mathbf {v}$ kann in Basisvektoren dargestellt werden, $E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}$ mit Koordinaten $[\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$:

$$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}$$

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Drücken Sie nun das Ergebnis der Transformationsmatrix A nach $\mathbf {v}$in der gegebenen Basis:

$${\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

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Die $a_{i,j}$ Elemente der Matrix A werden für eine gegebene Basis E bestimmt, indem man A auf jeden $\mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$anwendet und den Antwortvektor beobachtet

$$A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.$$

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Diese Gleichung definiert die gesuchten Elemente, $a_{i,j}$, der j-ten Spalte der Matrix A. ⓘ

Eigenbasis und Diagonalmatrix

Es gibt jedoch eine spezielle Basis für einen Operator, bei der die Komponenten eine Diagonalmatrix bilden und somit die Komplexität der Multiplikation auf n reduziert wird. $a_{i,j}$ außer $a_{i,i}$ Nullen sind und nur ein Term in der Summe ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ oben. Die verbleibenden Diagonalelemente, $a_{i,i}$sind als Eigenwerte bekannt und werden mit $\lambda _{i}$ in der Definitionsgleichung, die sich auf $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. Die resultierende Gleichung wird als Eigenwertgleichung bezeichnet. Die Eigenvektoren und Eigenwerte werden von ihr über das charakteristische Polynom abgeleitet. ⓘ

Durch Diagonalisierung ist es oft möglich, in und aus Eigenbasen zu übersetzen. ⓘ

Beispiele in 2 Dimensionen

Die meisten gebräuchlichen geometrischen Transformationen, bei denen der Ursprung fixiert bleibt, sind linear. Dazu gehören Rotation, Skalierung, Scherung, Reflexion und orthogonale Projektion; wenn eine affine Transformation keine reine Translation ist, bleibt ein Punkt fixiert, der als Ursprung gewählt werden kann, um die Transformation linear zu machen. In zwei Dimensionen können lineare Transformationen durch eine 2×2 Transformationsmatrix dargestellt werden. ⓘ

Streckung

Eine Streckung in der xy-Ebene ist eine lineare Transformation, die alle Abstände in einer bestimmten Richtung um einen konstanten Faktor vergrößert, aber die Abstände in der senkrechten Richtung nicht beeinflusst. Wir betrachten nur Streckungen entlang der x-Achse und der y-Achse. Eine Streckung entlang der x-Achse hat die Form x' = kx; y' = y für eine positive Konstante k. (Man beachte: Wenn k > 1 ist, dann handelt es sich wirklich um eine "Streckung"; wenn k < 1 handelt es sich technisch gesehen um eine "Kompression", aber wir nennen es trotzdem eine Dehnung. Außerdem, wenn k = 1, dann ist die Transformation identisch, d. h. sie hat keine Wirkung.) ⓘ

Die Matrix, die mit einer Streckung um einen Faktor k entlang der x-Achse verbunden ist, ist gegeben durch:

$${\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}$$

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Analog dazu hat eine Streckung um einen Faktor k entlang der y-Achse hat die Form x' = x; y' = kyDie zu dieser Transformation gehörende Matrix ist also

$${\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}$$

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Zusammendrücken

Kombiniert man die beiden obigen Streckungen mit reziproken Werten, so stellt die Transformationsmatrix eine Squeeze-Abbildung dar:

$${\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.$$

Ein Quadrat mit achsparallelen Seiten wird in ein Rechteck transformiert, das die gleiche Fläche hat wie das Quadrat. Durch die reziproke Streckung und Stauchung bleibt die Fläche unverändert. ⓘ

Drehung

Für die Drehung um einen Winkel θ im Uhrzeigersinn (negative Richtung) um den Ursprung lautet die funktionale Form $x'=x\cos \theta +y\sin \theta$ und $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta$. In Matrixform geschrieben, ergibt sich daraus:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$

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Für eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn (positive Richtung) um den Ursprung lautet die funktionale Form entsprechend $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ und $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ die Matrixform ist:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Diese Formeln gehen davon aus, dass die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach oben zeigt. ⓘ

Scherung

Bei der Scherungsabbildung (visuell ähnlich wie bei der Schrägstellung) gibt es zwei Möglichkeiten. ⓘ

Eine Scherung parallel zur x-Achse hat $x'=x+ky$ und $y'=y$. In Matrixform geschrieben, ergibt sich daraus:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Eine Scherung parallel zur y-Achse hat $x'=x$ und $y'=y+kx$was die Form einer Matrix hat:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Reflexion

Für die Reflexion an einer Linie, die durch den Ursprung geht, sei $\mathbf {l} =(l_{x},l_{y})$ ein Vektor in Richtung der Geraden sein. Verwenden Sie dann die Transformationsmatrix:

$$\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}$$

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Orthogonale Projektion

Um einen Vektor orthogonal auf eine Linie zu projizieren, die durch den Ursprung geht, sei $\mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ ein Vektor in Richtung der Geraden sein. Verwenden Sie dann die Transformationsmatrix:

$$\mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Wie bei den Spiegelungen ist die orthogonale Projektion auf eine Linie, die nicht durch den Ursprung geht, eine affine, nicht lineare Transformation. ⓘ

Parallelprojektionen sind ebenfalls lineare Transformationen und können einfach durch eine Matrix dargestellt werden. Bei perspektivischen Projektionen ist dies jedoch nicht der Fall, und um diese mit einer Matrix darzustellen, können homogene Koordinaten verwendet werden. ⓘ

Wird anstatt einer Projektion eine Spiegelung durchgeführt, so kann dies ebenfalls mit Hilfe der obigen Projektionsmatrix dargestellt werden. Für die Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit normiertem Richtungsvektor ${\vec {n}}$ gilt:

$A_{S_{n}}=2A_{P_{n}}-E$, ⓘ

wobei $E$ die Einheitsmatrix darstellt. Gleiches gilt für die Spiegelung an der Ebene:

$A_{S_{E}}=2A_{P_{E}}-E$. ⓘ

Beispiele aus der 3D-Computergrafik

Drehung

Die Matrix zur Drehung eines Winkels θ um eine beliebige Achse, die durch den Einheitsvektor (l,m,n) definiert ist, lautet

$${\begin{bmatrix}ll(1-\cos \theta )+\cos \theta &ml(1-\cos \theta )-n\sin \theta &nl(1-\cos \theta )+m\sin \theta \\lm(1-\cos \theta )+n\sin \theta &mm(1-\cos \theta )+\cos \theta &nm(1-\cos \theta )-l\sin \theta \\ln(1-\cos \theta )-m\sin \theta &mn(1-\cos \theta )+l\sin \theta &nn(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Reflexion

Um einen Punkt durch eine Ebene zu spiegeln $ax+by+cz=0$ (die durch den Ursprung geht), kann man verwenden $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }$verwenden, wobei $\mathbf {I}$ die 3×3-Identitätsmatrix ist und $\mathbf {N}$ der dreidimensionale Einheitsvektor für die Vektornormale der Ebene ist. Wenn die L²-Norm von $a$, $b$, und $c$ gleich eins ist, kann die Transformationsmatrix wie folgt ausgedrückt werden:

$$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Man beachte, dass es sich hierbei um Sonderfälle einer Householder-Reflexion in zwei und drei Dimensionen handelt. Eine Spiegelung an einer Linie oder Ebene, die nicht durch den Ursprung geht, ist keine lineare Transformation, sondern eine affine Transformation - als 4×4 affine Transformationsmatrix kann sie wie folgt ausgedrückt werden (unter der Annahme, dass die Normale ein Einheitsvektor ist):

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}$$

wobei $d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N}$ für einen Punkt $\mathbf {p}$ auf der Ebene, oder äquivalent, $ax+by+cz+d=0$. ⓘ

Wenn die 4. Komponente des Vektors 0 statt 1 ist, wird nur die Richtung des Vektors gespiegelt und sein Betrag bleibt unverändert, als ob er durch eine parallele Ebene gespiegelt würde, die durch den Ursprung geht. Dies ist eine nützliche Eigenschaft, da sie die Transformation sowohl von Positionsvektoren als auch von Normalenvektoren mit der gleichen Matrix ermöglicht. Weitere Erklärungen finden Sie unter Homogene Koordinaten und affine Transformationen weiter unten. ⓘ

Zusammensetzen und Invertieren von Transformationen

Eine der Hauptmotivationen für die Verwendung von Matrizen zur Darstellung linearer Transformationen ist, dass die Transformationen dann leicht zusammengesetzt und invertiert werden können. ⓘ

Die Komposition wird durch Matrixmultiplikation erreicht. Zeilen- und Spaltenvektoren werden durch Matrizen bearbeitet, Zeilen auf der linken und Spalten auf der rechten Seite. Da Text von links nach rechts gelesen wird, werden Spaltenvektoren bevorzugt, wenn Transformationsmatrizen zusammengesetzt werden: Wenn A und B die Matrizen zweier linearer Transformationen sind, dann ist die Wirkung der Anwendung von A und B auf einen Spaltenvektor $\mathbf {x}$ gegeben durch:

$$\mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .$$

ⓘ

Mit anderen Worten: Die Matrix der kombinierten Transformation A gefolgt von B ist einfach das Produkt der einzelnen Matrizen. ⓘ

Wenn A eine invertierbare Matrix ist, gibt es eine Matrix A-1, die eine Transformation darstellt, die A "rückgängig" macht, da ihre Zusammensetzung mit A die Identitätsmatrix ist. In einigen praktischen Anwendungen kann die Inversion mit Hilfe allgemeiner Inversionsalgorithmen oder durch die Durchführung von Umkehroperationen (die eine offensichtliche geometrische Interpretation haben, wie z. B. das Drehen in die entgegengesetzte Richtung) und deren anschließende Komposition in umgekehrter Reihenfolge berechnet werden. Reflexionsmatrizen sind ein Sonderfall, da sie ihre eigene Inversion darstellen und nicht gesondert berechnet werden müssen. ⓘ

Andere Arten von Transformationen

Affine Transformationen

Wirkung der Anwendung verschiedener affiner 2D-Transformationsmatrizen auf ein Einheitsquadrat. Beachten Sie, dass die Spiegelungsmatrizen Spezialfälle der Skalierungsmatrix sind. ⓘ

Affine Transformationen in der 2D-Ebene können in drei Dimensionen durchgeführt werden. Die Translation erfolgt durch Scherung parallel zur zy-Ebene und die Rotation wird um die z-Achse durchgeführt. ⓘ

Um affine Transformationen mit Matrizen darzustellen, können wir homogene Koordinaten verwenden. Dies bedeutet, dass ein 2-Vektor (x, y) als 3-Vektor (x, y, 1) dargestellt wird, und in ähnlicher Weise für höhere Dimensionen. Mit diesem System kann die Translation durch Matrixmultiplikation ausgedrückt werden. Die funktionale Form $x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}$ wird:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Alle gewöhnlichen linearen Transformationen sind in der Menge der affinen Transformationen enthalten und können als eine vereinfachte Form der affinen Transformationen beschrieben werden. Daher kann jede lineare Transformation auch durch eine allgemeine Transformationsmatrix dargestellt werden. Letztere erhält man, indem man die entsprechende lineare Transformationsmatrix um eine Zeile und eine Spalte erweitert und den zusätzlichen Platz mit Nullen auffüllt, mit Ausnahme der rechten unteren Ecke, die auf 1 gesetzt werden muss. Die obige Matrix für die Drehung gegen den Uhrzeigersinn wird so zum Beispiel zu:

$${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Mit Transformationsmatrizen, die homogene Koordinaten enthalten, werden Translationen linear und können daher nahtlos mit allen anderen Arten von Transformationen vermischt werden. Der Grund dafür ist, dass die reelle Ebene auf die Ebene w = 1 im realen projektiven Raum abgebildet wird, so dass eine Translation im realen euklidischen Raum als eine Scherung im realen projektiven Raum dargestellt werden kann. Obwohl eine Translation in einem 2-D- oder 3-D-euklidischen Raum, der durch kartesische Koordinaten beschrieben wird, eine nichtlineare Transformation ist (d. h. sie kann nicht mit anderen Transformationen kombiniert werden, wobei die Kommutativität und andere Eigenschaften erhalten bleiben), wird sie in einem 3-D- oder 4-D-projektiven Raum, der durch homogene Koordinaten beschrieben wird, zu einer einfachen linearen Transformation (einer Scherung). ⓘ

Weitere affine Transformationen können durch Komposition von zwei oder mehr affinen Transformationen erhalten werden. Zum Beispiel, wenn eine Translation T mit dem Vektor $(t'_{x},t'_{y}),$ eine Drehung R um einen Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn, eine Skalierung S mit den Faktoren $(s_{x},s_{y})$ und einer Translation T des Vektors $(t_{x},t_{y}),$ ist das Ergebnis M von T'RST:

$${\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Bei der Verwendung affiner Transformationen wird die homogene Komponente eines Koordinatenvektors (normalerweise w genannt) nie verändert. Man kann daher davon ausgehen, dass sie immer 1 ist, und sie ignorieren. Bei perspektivischen Projektionen ist dies jedoch nicht der Fall. ⓘ

Perspektivische Projektion

Vergleich der Auswirkungen der Anwendung von affinen und perspektivischen 2D-Transformationsmatrizen auf ein Einheitsquadrat. ⓘ

Eine andere Art der Transformation, die in der 3D-Computergrafik von Bedeutung ist, ist die perspektivische Projektion. Während bei der Parallelprojektion Punkte entlang paralleler Linien auf die Bildebene projiziert werden, werden bei der perspektivischen Projektion Punkte entlang von Linien auf die Bildebene projiziert, die von einem einzigen Punkt, dem Projektionszentrum, ausgehen. Das bedeutet, dass ein Objekt eine kleinere Projektion hat, wenn es weit vom Projektionszentrum entfernt ist, und eine größere Projektion, wenn es näher ist (siehe auch Kehrwertfunktion). ⓘ

Die einfachste perspektivische Projektion verwendet den Ursprung als Projektionszentrum und die Ebene bei $z=1$ als Bildebene. Die funktionale Form dieser Transformation ist dann $x'=x/z$; $y'=y/z$. In homogenen Koordinaten kann man dies wie folgt ausdrücken:

$${\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Nach Durchführung der Matrixmultiplikation ist die homogene Komponente $w_{c}$ gleich dem Wert von $z$ und die anderen drei werden sich nicht ändern. Um die reale Ebene abzubilden, müssen wir daher die homogene Teilung oder perspektivische Teilung durchführen, indem wir jede Komponente durch $w_{c}$:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Kompliziertere perspektivische Projektionen lassen sich durch Kombination mit Rotationen, Skalierungen, Translationen und Scherungen zusammenstellen, um die Bildebene und das Projektionszentrum an die gewünschte Stelle zu verschieben. ⓘ

Begriff

Voraussetzungen

Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis (mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung. ⓘ

Wenn in der Definitionsmenge und der Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten. ⓘ

Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben. ⓘ

Aufbau bei Verwendung von Spaltenvektoren

Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben. ⓘ

Allgemeiner: Eine lineare Abbildungsmatrix $M_{B}^{A}(f)$ aus einem n-dimensionalen Vektorraum mit Basis $A$ in einen m-dimensionalen Vektorraum mit Basis $B$ hat m Zeilen und n Spalten. Das Bild eines Koordinatenvektors unter der linearen Abbildung $f$ kann man dann so berechnen:

$M_{B}^{A}(f)\cdot {\vec {x}}={\vec {y}}$ ⓘ

Dabei ist ${\vec {y}}$ der Bildvektor, ${\vec {x}}$ der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten. ⓘ

Siehe hierzu auch: Aufbau der Abbildungsmatrix. ⓘ

Verwendung von Zeilenvektoren

Verwendet man anstelle von Spaltenvektoren Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungsmatrix transponiert werden. Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)Vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden. ⓘ

Koordinatendarstellung von linearen Abbildungen

Mit Hilfe der Abbildungsmatrix kann man den Bildvektor $f({\vec {v}})$ eines Vektors ${\vec {v}}\in V$ unter der linearen Abbildung $f\colon V\to W$ berechnen. ⓘ

Hat der Vektor ${\vec {v}}\in V$ bezüglich der Basis $A=({\vec {v}}_{1},\dotsc ,{\vec {v}}_{n})$ den Koordinatenvektor

${\vec {v}}_{A}={\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$,

das heißt

${\vec {v}}=x_{1}{\vec {v}}_{1}+\dotsb +x_{n}{\vec {v}}_{n}$,

und hat der Bildvektor $f({\vec {v}})$ bezüglich der Basis $B=({\vec {w}}_{1},\dotsc ,{\vec {w}}_{m})$ von $W$ die Koordinaten

$f({\vec {v}})_{B}={\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$,

das heißt

$f({\vec {v}})=y_{1}{\vec {w}}_{1}+\dotsb +y_{m}{\vec {w}}_{m}$,

so gilt

$y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\,x_{j}$,

bzw. mit Hilfe der Abbildungsmatrix $M_{B}^{A}(f)=(a_{ij})$ ausgedrückt:

${\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$,

kurz

${\vec {y}}=M_{B}^{A}(f)\cdot {\vec {x}}$

bzw.

$f({\vec {v}})_{B}=M_{B}^{A}(f)\cdot {\vec {v}}_{A}$. ⓘ

Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen

Kommutatives Diagramm zur Übersicht ⓘ

Der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht das Matrizenprodukt der zugehörigen Abbildungsmatrizen: Es seien $V$, $W$ und $U$ Vektorräume über dem Körper $K$ und $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to U$ lineare Abbildungen. In $V$ sei die geordnete Basis $A=({\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n})$ gegeben, in $W$ die Basis $B=({\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{m})$ und die Basis $C=({\vec {u}}_{1},\dots ,{\vec {u}}_{l})$ in $U$. Dann erhält man die Abbildungsmatrix der verketteten linearen Abbildung

$g\circ f\colon V\to U,$

indem man die Abbildungsmatrix von $g$ und die Abbildungsmatrix von $f$ (jeweils bezüglich der entsprechenden Basen) multipliziert:

$M_{C}^{A}(g\circ f)=M_{C}^{B}(g)\cdot M_{B}^{A}(f)$

Man beachte, dass in $W$ für beide Abbildungsmatrizen dieselbe Basis gewählt werden muss. ⓘ

Begründung: Es sei $M_{B}^{A}(f)=(a_{ij})$, $M_{C}^{B}(g)=(b_{ki})$ und $M_{C}^{A}(g\circ f)=(c_{kj})$. Die $j$-te Spalte von $M_{C}^{A}(g\circ f)$ enthält die Koordinaten des Bilds $(g\circ f)({\vec {v}}_{j})$ des $j$-ten Basisvektors aus $A$ bezüglich der Basis $C$:

$\sum _{k=1}^{l}c_{kj}{\vec {u}}_{k}=(g\circ f)({\vec {v}}_{j})$

Berechnet man die rechte Seite mit Hilfe der Abbildungsmatrizen von $g$ und $f$, so erhält man:

${\begin{aligned}(g\circ f)({\vec {v}}_{j})&=g{\big (}f({\vec {v}}_{j}){\big )}=g\left(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}\,{\vec {w}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}\,g({\vec {w}}_{i})\\&=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}\,\left(\sum _{k=1}^{l}b_{ki}\,{\vec {u}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{l}\left(\sum _{i=1}^{m}b_{ki}\,a_{ij}\right)\,{\vec {u}}_{k}\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt

$c_{kj}=\sum _{i=1}^{m}b_{ki}\,a_{ij}$

für alle $j$ und $k$, also

$(c_{kj})=(b_{ki})\cdot (a_{ij})$,

das heißt:

$M_{C}^{A}(g\circ f)=M_{C}^{B}(g)\cdot M_{B}^{A}(f)$ ⓘ

Verwendung

Basiswechsel

Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen ⓘ

Ist die Abbildungsmatrix einer Abbildung für bestimmte Basen bekannt, so lässt sich die Abbildungsmatrix für dieselbe Abbildung, jedoch mit anderen Basen, leicht berechnen. Dieser Vorgang wird als Basiswechsel bezeichnet. Es kann etwa sein, dass die vorliegenden Basen schlecht geeignet sind, um ein bestimmtes Problem mit der Matrix zu lösen. Nach einem Basiswechsel liegt die Matrix dann in einer einfacheren Form vor, repräsentiert aber immer noch dieselbe lineare Abbildung. Die Abbildungsmatrix $M_{B'}^{A'}(f)$ berechnet sich aus der Abbildungsmatrix $M_{B}^{A}(f)$ und den Basiswechselmatrizen $T_{A}^{A'}$ und $T_{B'}^{B}$ wie folgt:

$M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^{B}\cdot M_{B}^{A}(f)\cdot T_{A}^{A'}$ ⓘ

Beschreibung von Endomorphismen

Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines Vektorraums legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und Zielmenge zugrunde. Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets quadratisch, d. h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein. ⓘ