Elastizitätsmodul

Der Elastizitätsmodul ist die Steigung des linearen Teils der Spannungs-Dehnungs-Kurve für ein Material unter Zug oder Druck. ⓘ

Elastizitätsmodul $E$ Der Young-Modul oder der Elastizitätsmodul bei Zug oder Druck (d. h. negative Spannung) ist eine mechanische Eigenschaft, die die Zug- oder Drucksteifigkeit eines festen Materials misst, wenn die Kraft in Längsrichtung aufgebracht wird. Sie quantifiziert die Beziehung zwischen Zug-/Druckspannung $\sigma$ (Kraft pro Flächeneinheit) und axialer Dehnung $\varepsilon$ (proportionale Verformung) im linear elastischen Bereich eines Materials und wird mit Hilfe der Formel bestimmt:

E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}

ⓘ

Der Elastizitätsmodul ist in der Regel so groß, dass er nicht in Pascal, sondern in Gigapascal (GPa) angegeben wird. ⓘ

Beispiel:

Silly Putty (zunehmender Druck: Länge nimmt schnell zu, also winzig $E$ )
Aluminium (zunehmender Druck: Länge nimmt langsam zu, d. h. hoch) $E$ )

Ein höherer Elastizitätsmodul entspricht einer größeren Steifigkeit (in Längsrichtung). ⓘ

Obwohl der Youngsche Modul nach dem britischen Wissenschaftler Thomas Young aus dem 19. Jahrhundert benannt ist, wurde das Konzept 1727 von Leonhard Euler entwickelt. Die ersten Experimente, bei denen das Konzept des Elastizitätsmoduls in seiner heutigen Form verwendet wurde, führte der italienische Wissenschaftler Giordano Riccati im Jahr 1782 durch, also 55 Jahre vor der Arbeit von Young. Der Begriff Modul leitet sich vom lateinischen Wort modus ab, das Maß bedeutet. ⓘ

Physikalische Größe ⓘ

Name

E-Modul

Formelzeichen

E

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	Pa = N/m² = kg·m⁻¹·s⁻²	M·L⁻¹·T⁻²
cgs	Ba = dyn/cm² = cm⁻¹·g·s⁻²

Siehe auch: Spannung (Mechanik)

\sigma

Druck p

Der Elastizitätsmodul, auch E-Modul, Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul oder Youngscher Modul, ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der bei linear-elastischem Verhalten den proportionalen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers beschreibt. Liegt eine uniaxiale Belastung vor, so ist der Elastizitätsmodul die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Er besitzt somit fundamentale Bedeutung innerhalb der Elastizitätstheorie. ⓘ

Die Größenart des Elastizitätsmoduls ist die mechanische Spannung. Als Formelzeichen ist $E$ üblich. ⓘ

Gemäß der Kontinuumsmechanik dient allgemein der Elastizitätstensor zur Beschreibung des elastischen Verformungsverhaltens von Festkörpern. Je nach dem Grad der Anisotropie können dessen Komponenten mittels 2 bis 21 unabhängiger Elastizitätskonstanten dargestellt werden. ⓘ

Definition

Lineare Elastizität

Ein festes Material verformt sich elastisch, wenn eine kleine Last auf es einwirkt und es komprimiert oder dehnt. Die elastische Verformung ist reversibel, d. h., das Material kehrt in seine ursprüngliche Form zurück, nachdem die Last entfernt wurde. ⓘ

Die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung wird durch das Hooke'sche Gesetz beschrieben, das besagt, dass die Spannung proportional zur Dehnung ist. Der Proportionalitätskoeffizient ist der Youngsche Modul. Je höher der Elastizitätsmodul ist, desto mehr Spannung ist erforderlich, um die gleiche Dehnung zu erzeugen; ein idealisierter starrer Körper hätte einen unendlichen Elastizitätsmodul. Umgekehrt würde sich ein sehr weiches Material (z. B. eine Flüssigkeit) ohne Kraft verformen und hätte einen Elastizitätsmodul von Null. ⓘ

Nicht viele Materialien sind linear und elastisch über eine geringe Verformung hinaus. ⓘ

Herleitung aus der Federkonstanten

Bei linear-elastischem Verhalten ergibt sich die Federkonstante $D$ eines geraden Stabes als Quotient von Normalkraft $F$ und Längenänderung $\Delta {l}$ . Eine Normierung beider Größen auf die (konstante) Querschnittsfläche $A$ bzw. die Stablänge im unbelasteten Zustand ( $l_{0}$ ) führt auf den E-Modul als geometrieunabhängigen Materialkennwert:

D={\frac {F}{\Delta {l}}}\;\Rightarrow \;{\frac {F/A}{\Delta {l}/l_{0}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}=E

. ⓘ

Typische Zahlenwerte

Metallische Werkstoffe bei 20 °C		Nichtmetallische Werkstoffe bei 20 °C ⓘ
Material	E-Modul in GPa	Material	E-Modul in GPa
Beryllium	303	PVC	1,0 … 3,5
Baustahl	210	Glas	40 … 90
V2A-Stahl	180	Beton	20 … 40
Gusseisen	90 … 145	Keramik	160 … 440
Messing	78 … 123	Holz	10 … 15
Kupfer	100 … 130	Polypropylen	1,3 … 1,8
Titan	110	Kautschuk	bis 0,05
Aluminium	70	Graphen	ca. 1000
Magnesium	44	Diamant	ca. 1000
Blei	19	Marmor	72
Gold	78	Eis (−4 °C)	10
Nickel	195 … 205	Hartgummi	5
Wolfram	405	Klinker	27
Silizium (polykristallin)	160

Hinweis

Die Materialsteifigkeit sollte nicht mit diesen Eigenschaften verwechselt werden:

Festigkeit: maximale Spannung, der ein Material standhalten kann, ohne sich elastisch (reversibel) zu verformen;
Geometrische Steifigkeit: ein globales Merkmal des Körpers, das von seiner Form und nicht nur von den lokalen Eigenschaften des Materials abhängt; so hat beispielsweise ein I-Träger eine höhere Biegesteifigkeit als ein Stab aus demselben Material bei einer bestimmten Masse pro Länge;
Härte: relativer Widerstand der Oberfläche eines Materials gegen das Eindringen eines härteren Körpers;
Zähigkeit: Menge an Energie, die ein Material aufnehmen kann, bevor es bricht. ⓘ

Verwendung

Der Elastizitätsmodul ermöglicht die Berechnung der Dimensionsänderung eines Stabes aus einem isotropen elastischen Material unter Zug- oder Druckbelastung. Er sagt beispielsweise voraus, um wie viel sich eine Materialprobe unter Zug dehnt oder unter Druck verkürzt. Der Elastizitätsmodul gilt direkt für einachsige Spannungen, d. h. für Zug- oder Druckspannungen in einer Richtung und für keine Spannungen in den anderen Richtungen. Der Elastizitätsmodul wird auch verwendet, um die Durchbiegung eines statisch bestimmten Balkens vorherzusagen, wenn eine Last an einem Punkt zwischen den Auflagern des Balkens aufgebracht wird. ⓘ

Andere elastische Berechnungen erfordern in der Regel die Verwendung einer zusätzlichen elastischen Eigenschaft, wie z. B. des Schermoduls $G$ , Volumenmodul $K$ und die Poissonsche Zahl $\nu$ . Zwei dieser Parameter reichen aus, um die Elastizität in einem isotropen Material vollständig zu beschreiben. Für homogene isotrope Materialien gibt es einfache Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten, die es ermöglichen, sie alle zu berechnen, solange zwei bekannt sind:

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).

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Linear versus nichtlinear

Der Elastizitätsmodul ist der Proportionalitätsfaktor im Hooke'schen Gesetz, das Spannung und Dehnung in Beziehung setzt. Das Hooke'sche Gesetz ist jedoch nur unter der Annahme einer elastischen und linearen Reaktion gültig. Jedes reale Material wird schließlich versagen und brechen, wenn es über eine sehr große Strecke oder mit einer sehr großen Kraft gedehnt wird; alle festen Materialien zeigen jedoch bei ausreichend kleinen Dehnungen oder Spannungen ein nahezu Hooke'sches Verhalten. Wenn der Bereich, in dem das Hooke'sche Gesetz gilt, groß genug ist im Vergleich zu der typischen Spannung, die man für das Material erwartet, wird das Material als linear bezeichnet. Andernfalls (wenn die typische Spannung außerhalb des linearen Bereichs liegt) wird das Material als nichtlinear bezeichnet. ⓘ

Stahl, Kohlenstofffasern und Glas werden in der Regel als lineare Werkstoffe angesehen, während andere Werkstoffe wie Gummi und Böden als nichtlinear gelten. Dies ist jedoch keine absolute Klassifizierung: Wenn sehr kleine Spannungen oder Dehnungen auf ein nichtlineares Material ausgeübt werden, ist die Reaktion linear, aber wenn sehr hohe Spannungen oder Dehnungen auf ein lineares Material ausgeübt werden, reicht die lineare Theorie nicht aus. Da die lineare Theorie beispielsweise Reversibilität voraussetzt, wäre es absurd, die lineare Theorie zur Beschreibung des Versagens einer Stahlbrücke unter einer hohen Belastung heranzuziehen; obwohl Stahl für die meisten Anwendungen ein linearer Werkstoff ist, ist er es in einem solchen Fall von katastrophalem Versagen nicht. ⓘ

In der Festkörpermechanik wird die Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve an einem beliebigen Punkt als Tangentenmodul bezeichnet. Er kann experimentell aus der Steigung einer Spannungs-Dehnungskurve ermittelt werden, die bei Zugversuchen an einer Materialprobe erstellt wird. ⓘ

Gerichtetes Material

Der Elastizitätsmodul ist nicht immer in allen Richtungen eines Materials gleich. Die meisten Metalle und Keramiken sowie viele andere Materialien sind isotrop, d. h. ihre mechanischen Eigenschaften sind in allen Richtungen gleich. Metalle und Keramiken können jedoch mit bestimmten Verunreinigungen behandelt werden, und Metalle können mechanisch bearbeitet werden, so dass ihre Kornstrukturen gerichtet werden. Diese Materialien werden dann anisotrop, und der Elastizitätsmodul ändert sich je nach Richtung des Kraftvektors. Anisotropie ist auch bei vielen Verbundwerkstoffen zu beobachten. Kohlenstofffasern haben beispielsweise einen viel höheren Elastizitätsmodul (sind viel steifer), wenn die Kraft parallel zu den Fasern (entlang der Faserrichtung) einwirkt. Zu diesen Materialien gehören auch Holz und Stahlbeton. Ingenieure können dieses Richtungsphänomen bei der Entwicklung von Strukturen zu ihrem Vorteil nutzen. ⓘ

Temperaturabhängigkeit

Der Elastizitätsmodul von Metallen variiert mit der Temperatur und kann durch die Veränderung der interatomaren Bindung der Atome realisiert werden. Obwohl diese Änderung klassischerweise durch Anpassung und ohne einen klaren zugrundeliegenden Mechanismus (z. B. die Watchman-Formel) vorhergesagt wird, zeigt das Rahemi-Li-Modell, wie die Änderung der Elektronenarbeitsfunktion zu einer Änderung des Elastizitätsmoduls von Metallen führt, und sagt diese Änderung mit berechenbaren Parametern voraus, indem es die Verallgemeinerung des Lennard-Jones-Potenzials auf Festkörper verwendet. Im Allgemeinen sinkt der Elastizitätsmodul mit steigender Temperatur über $E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}$ wobei die Elektronenarbeitsfunktion mit der Temperatur wie folgt variiert $\varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}$ und $\gamma$ eine berechenbare Materialeigenschaft ist, die von der Kristallstruktur abhängt (z. B. BCC, FCC). $\varphi _{0}$ ist die Elektronenarbeitsfunktion bei T=0 und $\beta$ während der gesamten Änderung konstant ist. ⓘ

Berechnung

Der Elastizitätsmodul E kann berechnet werden, indem die Zugspannung durch die technische Dehnung dividiert wird, $\sigma (\varepsilon )$ durch die technische Dehnungsdehnung, $\varepsilon$ im elastischen (anfänglichen, linearen) Teil der physikalischen Spannungs-Dehnungskurve:

E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}

wobei

$E$ der E-Modul (Elastizitätsmodul) ist
$F$ die Kraft, die auf ein Objekt unter Spannung ausgeübt wird;
$A$ die tatsächliche Querschnittsfläche, die der Fläche des Querschnitts senkrecht zur aufgebrachten Kraft entspricht;
$\Delta L$ ist der Betrag, um den sich die Länge des Objekts ändert ( $\Delta L$ ist positiv, wenn das Material gedehnt wird, und negativ, wenn das Material gestaucht wird);
$L_{0}$ ist die ursprüngliche Länge des Objekts. ⓘ

Kraft, die von gedehntem oder zusammengezogenem Material ausgeübt wird

Mit Hilfe des Elastizitätsmoduls eines Materials lässt sich die Kraft berechnen, die es bei einer bestimmten Belastung ausübt. ⓘ

F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}

wobei $F$ ist die Kraft, die das Material ausübt, wenn es sich zusammenzieht oder dehnt $\Delta L$ . ⓘ

Aus dieser Formel lässt sich das Hooke'sche Gesetz für einen gedehnten Draht ableiten:

F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx

wo er in Sättigung kommt

k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,

und

x\equiv \Delta L.

Beachten Sie jedoch, dass die Elastizität von Spiralfedern aus dem Schermodul und nicht aus dem Elastizitätsmodul resultiert. ⓘ

Elastische potentielle Energie

Die elastische potentielle Energie, die in einem linear elastischen Material gespeichert ist, wird durch das Integral des Hooke'schen Gesetzes bestimmt:

U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.

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nun durch Erklärung der intensiven Variablen:

U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}

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Dies bedeutet, dass die Dichte der elastischen potentiellen Energie (d. h. pro Volumeneinheit) durch gegeben ist:

{\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}

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oder, in einfacher Schreibweise, für ein linear elastisches Material: ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$ , da die Dehnung definiert ist ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$ . ⓘ

In einem nichtlinear elastischen Material ist der Elastizitätsmodul eine Funktion der Dehnung, so dass die zweite Äquivalenz nicht mehr gilt und die elastische Energie keine quadratische Funktion der Dehnung ist:

u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}

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Die Beziehung $\sigma =E\cdot \varepsilon$ in skalarer Schreibweise gilt nur für querdehnungsfreie Materialien oder für den einachsigen Spannungszustand (z. B. einachsiger Zug). Im mehrachsigen Spannungszustand muss das Hookesche Gesetz abhängig vom Grad der elastischen Anisotropie in seiner allgemeinen Form angewendet werden. So gilt beispielsweise für die laterale Verformung dünner isotroper Platten (ebener Spannungszustand) ⓘ

wobei $\nu$ die Poissonzahl bezeichnet. Die Dehnung in Dickenrichtung ergibt sich zu

\varepsilon _{zz}=-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})

. ⓘ

Näherungswerte

Einflüsse ausgewählter Glasbestandteile auf den E-Modul eines bestimmten Basisglases ⓘ

Der Elastizitätsmodul kann aufgrund von Unterschieden in der Probenzusammensetzung und der Prüfmethode etwas variieren. Die Verformungsgeschwindigkeit hat den größten Einfluss auf die erfassten Daten, insbesondere bei Polymeren. Die hier angegebenen Werte sind Näherungswerte und nur für einen relativen Vergleich gedacht. ⓘ

Ungefährer E-Modul für verschiedene Materialien
Werkstoff	Elastizitätsmodul (GPa)	Megapound pro Quadratzoll (Mpsi)
Aluminium (₁₃Al)	68	9.86
Aminosäure-Molekülkristalle	21 – 44	3.05 – 6.38
Aramid (zum Beispiel Kevlar)	70.5 – 112.4	10.2 – 16.3
Aromatische Peptid-Nanokugeln	230 – 275	33.4 – 39.9
Aromatische Peptid-Nanoröhrchen	19 – 27	2.76 – 3.92
Bakteriophagen-Kapside	1 – 3	0.145 – 0.435
Beryllium (₄Be)	287	41.6
Knochen, menschliche Kortikalis	14	2.03
Messing	106	15.4
Bronze	112	16.2
Kohlenstoffnitrid (CN₂)	822	119
Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff (CFRP), 50/50 Faser/Matrix, biaxiales Gewebe	30 – 50	4.35 – 7.25
Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff (CFK), 70/30 Faser/Matrix, unidirektional, entlang der Faser	181	26.3
Kobalt-Chrom (CoCr)	230	33.4
Kupfer (Cu), geglüht	110	16
Diamant (C), synthetisch	1050 – 1210	152 – 175
Kieselalgenfruchtkörper, weitgehend Kieselsäure	0.35 – 2.77	0.051 – 0.058
Flachsfaser	58	8.41
Floatglas	47.7 – 83.6	6.92 – 12.1
Glasfaserverstärktes Polyester (GRP)	17.2	2.49
Gold	77.2	11.2
Graphen	1050	152
Hanffaser	35	5.08
Hochdichtes Polyethylen (HDPE)	0.97 – 1.38	0.141 – 0.2
Hochfester Beton	30	4.35
Blei (₈₂Pb), chemisch	13	1.89
Polyethylen niedriger Dichte (LDPE), geformt	0.228	0.0331
Magnesiumlegierung	45.2	6.56
Faserplatten mittlerer Dichte (MDF)	4	0.58
Molybdän (Mo), geglüht	330	47.9
Monel	180	26.1
Perlmutt (hauptsächlich Kalziumkarbonat)	70	10.2
Nickel (₂₈Ni), handelsüblich	200	29
Nylon 66	2.93	0.425
Osmium (₇₆Os)	525 – 562	76.1 – 81.5
Osmiumnitrid (OsN₂)	194.99 – 396.44	28.3 – 57.5
Polycarbonat (PC)	2.2	0.319
Polyethylenterephthalat (PET), unverstärkt	3.14	0.455
Polypropylen (PP), geformt	1.68	0.244
Polystyrol, kristallin	2.5 – 3.5	0.363 – 0.508
Polystyrol, Schaumstoff	0.0025 – 0.007	0.000363 – 0.00102
Polytetrafluorethylen (PTFE), geformt	0.564	0.0818
Gummi, kleine Dehnung	0.01 – 0.1	0.00145 – 0.0145
Silizium, Einkristall, verschiedene Richtungen	130 – 185	18.9 – 26.8
Siliziumkarbid (SiC)	90 – 137	13.1 – 19.9
Einwandige Kohlenstoff-Nanoröhren	$>$ 1000	$>$ 140
Stahl, A36	200	29
Brennnessel-Faser	87	12.6
Titan (₂₂Ti)	116	16.8
Titanlegierung, Grad 5	114	16.5
Zahnschmelz, hauptsächlich Kalziumphosphat	83	12
Wolframkarbid (WC)	600 – 686	87 – 99.5
Holz, Amerikanische Buche	9.5 – 11.9	1.38 – 1.73
Holz, Schwarzkirsche	9 – 10.3	1.31 – 1.49
Holz, Rot-Ahorn	9.6 – 11.3	1.39 – 1.64
Geschmiedetes Eisen	193	28
Yttrium-Eisen-Granat (YIG), polykristallin	193	28
Yttrium-Eisen-Granat (YIG), einkristallin	200	29
Zink (₃₀Zn)	108	15.7
Zirkonium (₄₀Zr), handelsüblich	95	13.8

Bezug zu anderen Eigenschaften metallischer Werkstoffe

Der E-Modul hat keinen strengen Bezug zur Härte sowie zu den Festigkeitskennwerten Streckgrenze $R_{e}$ und Zugfestigkeit $R_{m}$ metallischer Werkstoffe (z. B. einfacher Baustahl und hochfester Sonderstahl). Der E-Modul eines Metalls steigt mit seiner Schmelztemperatur. Zudem besitzen kubisch raumzentrierte Metalle bei vergleichbarer Schmelztemperatur einen höheren E-Modul als kubisch flächenzentrierte. Der Zusammenhang auf atomarer Ebene ergibt sich aus der Bindungsstärke der Atome im Kristallgitter. ⓘ

E-Modul versus Steifigkeit

Der Begriff Steifigkeit im Sinne der Technischen Mechanik beschreibt allgemein den Widerstand von Körpern oder Baugruppen gegen elastische Verformung durch mechanische Kräfte oder Momente. Ihr Wert ergibt sich somit nicht allein aus den elastischen Eigenschaften der verwendeten Materialien, sondern wird ebenfalls durch die jeweilige Körpergeometrie bzw. Konstruktion (z. B. Maschinensteifigkeit) bestimmt. Im Falle des Zugversuches ist die Zug- bzw. Dehnsteifigkeit der Probe das Produkt aus deren (effektiven) E-Modul $E$ sowie der kleinsten orthogonal belasteten Querschnittsfläche $A$ :

S_{\mathrm {t} }=E\cdot A

. ⓘ

Die physikalische Einheit entspricht hierbei der einer Kraft. ⓘ

Der Begriff Steifigkeit im Sinne einer Werkstoffeigenschaft bezieht sich auf das Deformationsverhalten des Werkstoffes im elastischen Bereich. Hier entfällt die Geometrieabhängigkeit, weshalb allein die elastischen Materialkennwerte, z. B. E-Modul und Schubmodul zur Charakterisierung herangezogen werden. ⓘ

Bauteilversteifung durch biaxiale Spannungszustände

Beim Übergang vom einachsigen (uniaxialen) in den zweiachsigen (biaxialen) Spannungszustand können für Bauteile und Schichten aus homogenem, isotropem Material zwei einfache Sonderfälle unterschieden werden. Dabei wird aufgrund der Beeinflussung der Querkontraktion für nicht-auxetische Materialien mit einer Poissonzahl echt größer Null stets ein höherer Modul in der Belastungsrichtung gemessen. ⓘ

Infolge einer verhinderten Querkontraktion (ε_yy = 0) ergibt sich dieser zu ⓘ

E_{x}^{*}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}

. ⓘ

Liegt in Quer- bzw. y-Richtung zusätzlich eine Belastung in der Höhe σ_yy = σ_xx vor, so ist der „biaxiale E-Modul“ ⓘ

E_{x}^{**}={\frac {E}{1-\nu }}

. ⓘ

Letzterer hat z. B. Bedeutung für die laterale Steifigkeit haftender Schichten, etwa bei Unterschieden im thermischen Ausdehnungsverhalten zwischen Schicht und Substrat. Der Erstgenannte kommt in dickwandigen Bauteilen oder sehr breiten Balken zum Tragen. Die beiden abgeleiteten Größen sind jedoch keine Werkstoffkonstanten im ursprünglichen Sinn.

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten ⓘ