Tiefpass

Ein Tiefpassfilter ist ein Filter, der Signale mit einer niedrigeren Frequenz als einer bestimmten Grenzfrequenz durchlässt und Signale mit höheren Frequenzen als der Grenzfrequenz dämpft. Der genaue Frequenzgang des Filters hängt von der Konstruktion des Filters ab. Der Filter wird manchmal auch als Hochpassfilter oder in Audioanwendungen als Höhenpassfilter bezeichnet. Ein Tiefpassfilter ist das Komplement eines Hochpassfilters. ⓘ

In der Optik können Hochpass und Tiefpass unterschiedliche Bedeutungen haben, je nachdem, ob sie sich auf die Frequenz oder die Wellenlänge des Lichts beziehen, da diese Variablen in umgekehrtem Verhältnis zueinander stehen. Hochpass-Frequenzfilter würden als Tiefpass-Wellenlängenfilter wirken und umgekehrt. Um Verwechslungen zu vermeiden, ist es daher sinnvoll, Wellenlängenfilter als Kurzpass- und Langpassfilter zu bezeichnen, die den Hochpass- und Tiefpassfrequenzen entsprechen. ⓘ

Tiefpassfilter gibt es in vielen verschiedenen Formen, z. B. in elektronischen Schaltkreisen wie dem Rauschfilter im Audiobereich, als Anti-Aliasing-Filter zur Aufbereitung von Signalen vor der Analog-Digital-Wandlung, als digitale Filter zur Glättung von Datensätzen, als akustische Barrieren, zur Unschärfe von Bildern und so weiter. Der gleitende Mittelwert, der in Bereichen wie dem Finanzwesen verwendet wird, ist eine besondere Art von Tiefpassfilter und kann mit denselben Signalverarbeitungstechniken analysiert werden, die auch für andere Tiefpassfilter verwendet werden. Tiefpassfilter liefern eine glattere Form eines Signals, wobei die kurzfristigen Schwankungen entfernt werden und der längerfristige Trend erhalten bleibt. ⓘ

Filterentwickler verwenden häufig die Tiefpassform als Prototypfilter. Das heißt, ein Filter mit einheitlicher Bandbreite und Impedanz. Das gewünschte Filter wird aus dem Prototyp durch Skalierung für die gewünschte Bandbreite und Impedanz und Umwandlung in die gewünschte Bandform (d. h. Tiefpass, Hochpass, Bandpass oder Bandsperre) gewonnen. ⓘ

Tiefpassfilter: Schaltzeichen ⓘ

Als Tiefpass bezeichnet man in der Elektronik solche Filter, die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit höheren Frequenzen dagegen dämpfen. Entsprechende Filterfunktionen können auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik oder Hydraulik vorkommen, sie werden dort meist jedoch nicht so genannt. Auch jede Art von mechanischer Trägheit wirkt sich tiefpassbildend aus. Mit der Abschwächung verbunden ist eine Zeitverzögerung, durch die sich bei sinusförmigem Signalverlauf der Phasenwinkel verschiebt. ⓘ

Beispiele

Beispiele für Tiefpassfilter kommen in der Akustik, Optik und Elektronik vor. ⓘ

Eine steife physische Barriere neigt dazu, höhere Schallfrequenzen zu reflektieren, und wirkt so als akustischer Tiefpassfilter für die Schallübertragung. Wenn in einem anderen Raum Musik gespielt wird, sind die tiefen Töne gut zu hören, während die hohen Töne abgeschwächt werden. ⓘ

Ein optisches Filter mit der gleichen Funktion kann korrekterweise als Tiefpassfilter bezeichnet werden, wird aber üblicherweise als Langpassfilter bezeichnet (niedrige Frequenz ist lange Wellenlänge), um Verwechslungen zu vermeiden. ⓘ

In einem elektronischen RC-Tiefpassfilter für Spannungssignale werden die hohen Frequenzen des Eingangssignals gedämpft, aber der Filter hat nur eine geringe Dämpfung unterhalb der Grenzfrequenz, die durch seine RC-Zeitkonstante bestimmt wird. Bei Stromsignalen funktioniert eine ähnliche Schaltung, die einen Widerstand und einen Kondensator parallel schaltet, auf ähnliche Weise. (Siehe Stromteiler, auf den weiter unten näher eingegangen wird.) ⓘ

Elektronische Tiefpassfilter werden an den Eingängen von Subwoofern und anderen Lautsprechern verwendet, um hohe Töne zu blockieren, die sie nicht effizient wiedergeben können. Radiosender verwenden Tiefpassfilter, um harmonische Emissionen zu blockieren, die andere Kommunikationen stören könnten. Der Tonregler vieler E-Gitarren ist ein Tiefpassfilter, mit dem die Höhen im Klang reduziert werden. Ein Integrator ist ein weiterer zeitkonstanter Tiefpassfilter. ⓘ

Telefonleitungen, die mit DSL-Splittern ausgestattet sind, verwenden Tiefpass- und Hochpassfilter, um DSL- und POTS-Signale zu trennen, die sich dasselbe Adernpaar teilen. ⓘ

Tiefpassfilter spielen auch eine wichtige Rolle bei der Klangformung durch analoge und virtuell-analoge Synthesizer. Siehe subtraktive Synthese. ⓘ

Ein Tiefpassfilter wird als Anti-Aliasing-Filter vor der Abtastung und zur Rekonstruktion bei der Digital-Analog-Wandlung verwendet. ⓘ

Ideale und reale Filter

Die sinc-Funktion, die Impulsantwort eines idealen Tiefpassfilters im Zeitbereich. ⓘ

Der Verstärkungsfaktor und der Frequenzgang eines Tiefpassfilters erster Ordnung (einpolig). Die Leistungsverstärkung wird in Dezibel angegeben (d. h. eine Abnahme um 3 dB entspricht einer zusätzlichen Dämpfung um die halbe Leistung). Die Winkelfrequenz wird auf einer logarithmischen Skala in Einheiten von Radiant pro Sekunde dargestellt. ⓘ

Ein idealer Tiefpassfilter unterdrückt alle Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz vollständig und lässt die darunter liegenden Frequenzen unverändert durch; sein Frequenzgang ist eine Rechteckfunktion und ein Brick-Wall-Filter. Der Übergangsbereich, der in praktischen Filtern vorkommt, ist in einem idealen Filter nicht vorhanden. Ein idealer Tiefpassfilter lässt sich mathematisch (theoretisch) durch Multiplikation eines Signals mit der Rechteckfunktion im Frequenzbereich oder, äquivalent, durch Faltung mit seiner Impulsantwort, einer Sinusfunktion, im Zeitbereich realisieren. ⓘ

Der ideale Filter ist jedoch nicht realisierbar, wenn nicht auch Signale von unendlicher zeitlicher Ausdehnung vorliegen, und muss daher im Allgemeinen für reale laufende Signale angenähert werden, da sich der Stützbereich der sinc-Funktion auf alle vergangenen und zukünftigen Zeiten erstreckt. Der Filter müsste also eine unendliche Verzögerung haben oder die unendliche Zukunft und Vergangenheit kennen, um die Faltung durchführen zu können. Bei voraufgezeichneten Digitalsignalen ist dies effektiv realisierbar, indem man eine Ausdehnung von Null in die Vergangenheit und Zukunft annimmt, oder, was noch typischer ist, indem man das Signal repetitiv macht und die Fourier-Analyse verwendet. ⓘ

Reale Filter für Echtzeitanwendungen nähern sich dem idealen Filter an, indem sie die unendliche Impulsantwort abschneiden und mit Fenstern versehen, um eine endliche Impulsantwort zu erhalten; die Anwendung dieses Filters erfordert eine Verzögerung des Signals um eine moderate Zeitspanne, die es der Berechnung ermöglicht, ein wenig in die Zukunft zu "sehen". Diese Verzögerung äußert sich als Phasenverschiebung. Eine größere Genauigkeit der Annäherung erfordert eine längere Verzögerung. ⓘ

Ein idealer Tiefpassfilter führt über das Gibbs-Phänomen zu Ringing-Artefakten. Diese können durch die Wahl der Fensterfunktion verringert oder verschlimmert werden, und bei der Entwicklung und Auswahl von echten Filtern müssen diese Artefakte verstanden und minimiert werden. Zum Beispiel "verursacht die einfache Abschneidung [von sinc] bei der Signalrekonstruktion schwere Ringing-Artefakte", und um diese Artefakte zu reduzieren, werden Fensterfunktionen verwendet, "die an den Rändern sanfter abfallen". ⓘ

Die Whittaker-Shannon-Interpolationsformel beschreibt die Verwendung eines perfekten Tiefpassfilters, um ein kontinuierliches Signal aus einem abgetasteten digitalen Signal zu rekonstruieren. Echte Digital-Analog-Wandler verwenden echte Filterapproximationen. ⓘ

Zeitverhalten

Das Zeitverhalten eines Tiefpassfilters wird durch Lösen der Antwort auf den einfachen Tiefpass-RC-Filter ermittelt. ⓘ

Ein einfacher Tiefpass-RC-Filter

Mit Hilfe der Kirchhoff'schen Gesetze erhält man die folgende Differentialgleichung ⓘ

$v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$ ⓘ

Beispiel einer Sprungeingangsantwort

Wenn wir $v_{\text{in}}(t)$ eine Sprungfunktion des Betrags $V_{i}$ dann hat die Differentialgleichung die Lösung

$v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),$

wobei $\omega _{0}={1 \over RC}$ die Grenzfrequenz des Filters ist. ⓘ

Frequenzgang

Die gebräuchlichste Methode zur Charakterisierung des Frequenzgangs einer Schaltung ist die Ermittlung ihrer Laplace-Transformations-Übertragungsfunktion, $H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}$. Nimmt man die Laplace-Transformierte unserer Differentialgleichung und löst sie für $H(s)$ erhalten wir ⓘ

$H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over (s+\omega _{0})}$ ⓘ

Differenzengleichung durch diskrete Zeitabtastung

Eine diskrete Differenzengleichung lässt sich leicht erhalten, indem man die obige Sprungeingangsantwort in regelmäßigen Abständen von $nT$ wobei $n=0,1,...$ und $T$ ist die Zeit zwischen den Abtastungen. Nimmt man die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Abtastungen, so ergibt sich ⓘ

$v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})$ ⓘ

Lösen für $v_{\rm {out}}(nT)$ erhalten wir ⓘ

$v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}$ ⓘ

wobei $\beta =e^{-\omega _{0}T}$ ⓘ

Unter Verwendung der Notation $V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)$ und $v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)$und Einsetzen unseres Stichprobenwerts, $v_{n}=V_{i}$ergibt sich die Differenzgleichung ⓘ

$V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$ ⓘ

Daraus leiten sich ab:

Beträge

Bei Übergang auf Beträge und Blindwiderstand (reelle Größen) ergibt sich die oben angegebene Formel

${\begin{aligned}H&={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega CR)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {(\omega C)^{2}(({\frac {1}{\omega C}})^{2}+R^{2})}}}={\frac {({\frac {1}{\omega C}})}{\sqrt {\left(({\frac {1}{\omega C}})^{2}+R^{2}\right)}}}\\&={\frac {\vert X_{C}\vert }{\sqrt {X_{C}^{2}+R^{2}}}}\end{aligned}}$ ⓘ

Augenblickswerte

Die Zeitfunktion für die sinusförmige Schwingung erhält man aus dem Imaginärteil der trigonometrischen Form des rotierenden komplexen Zeigers:

${\underline {H}}(t)={H}\cdot {e^{{\mathrm {j} }\cdot ({{\omega }{t}+{\varphi }})}}$ ⓘ

mit ${\varphi }$ dem Nullphasenwinkel ⓘ

Phasengang

$\varphi (\omega )=-\arctan({\omega }{C}{R})$ ⓘ

Fehleranalyse

Vergleicht man das rekonstruierte Ausgangssignal aus der Differenzgleichung, $V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$mit der Sprungeingangsantwort, $v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})$stellen wir fest, dass eine exakte Rekonstruktion vorliegt (0 % Fehler). Dies ist die rekonstruierte Ausgabe für eine zeitinvariante Eingabe. Ist der Eingang jedoch zeitlich variabel, wie z. B. $v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)$approximiert dieses Modell das Eingangssignal als eine Reihe von Sprungfunktionen mit der Dauer $T$ wodurch ein Fehler im rekonstruierten Ausgangssignal entsteht. Der Fehler, der durch zeitvariante Eingaben entsteht, ist schwer zu quantifizieren, nimmt aber ab, wenn $T\rightarrow 0$. ⓘ

Zeitdiskrete Realisierung

Viele digitale Filter sind so konzipiert, dass sie Tiefpasseigenschaften aufweisen. Sowohl Tiefpassfilter mit unendlicher Impulsantwort und endlicher Impulsantwort als auch Filter, die Fourier-Transformationen verwenden, sind weit verbreitet. ⓘ

Einfaches Filter mit unendlicher Impulsantwort

Die Wirkung eines Tiefpassfilters mit unendlicher Impulsantwort kann auf einem Computer simuliert werden, indem das Verhalten eines RC-Filters im Zeitbereich analysiert und das Modell diskretisiert wird. ⓘ

Ein einfacher Tiefpass-RC-Filter ⓘ

Aus dem Schaltplan auf der rechten Seite ergibt sich nach den Kirchhoff'schen Gesetzen und der Definition der Kapazität:

$v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)$

(V)

$Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)$

(Q)

$i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}$

(I) ⓘ

wobei $Q_{c}(t)$ ist die im Kondensator zum Zeitpunkt t gespeicherte Ladung. Setzt man die Gleichung Q in die Gleichung I ein, erhält man $i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$, die in Gleichung V eingesetzt werden kann, so dass

$v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.$ ⓘ

Diese Gleichung kann diskretisiert werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Abtastwerte des Eingangs und des Ausgangs an gleichmäßig verteilten Zeitpunkten genommen werden, die durch $\Delta _{T}$ Zeit. Die Abtastwerte von $v_{\text{in}}$ werden durch die Folge $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$dargestellt, und es sei $v_{\text{out}}$ werden durch die Folge $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$, die denselben Zeitpunkten entsprechen. Führen Sie diese Substitutionen durch,

$x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.$

Die Umordnung der Terme ergibt die Rekursionsbeziehung

$y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.$ ⓘ

Das heißt, diese zeitdiskrete Implementierung eines einfachen RC-Tiefpassfilters ist der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt

$y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.$ ⓘ

Per Definition liegt der Glättungsfaktor im Bereich $0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1$. Der Ausdruck für α ergibt die äquivalente Zeitkonstante RC in Abhängigkeit von der Abtastperiode $\Delta _{T}$ und dem Glättungsfaktor α,

$RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).$

Es sei daran erinnert, dass

$f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$ also $RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},$

beachten Sie, dass α und $f_{c}$ zueinander in Beziehung stehen,

$\alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}$

und

$f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.$ ⓘ

Wenn α=0,5 ist, dann ist die RC-Zeitkonstante gleich der Abtastperiode. Wenn $\alpha \;\ll \;0.5$ist RC deutlich größer als das Abtastintervall, und $\Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC$. ⓘ

Die Rekursionsbeziehung des Filters bietet eine Möglichkeit, die Ausgangssamples in Abhängigkeit von den Eingangssamples und dem vorangegangenen Ausgang zu bestimmen. Der folgende Pseudocode-Algorithmus simuliert die Wirkung eines Tiefpassfilters auf eine Reihe von digitalen Abtastwerten:

// Rückgabe von RC-Tiefpassfilter-Ausgangssamples, gegebene Eingangssamples,
// Zeitintervall dt, und Zeitkonstante RC
function lowpass(real[0..n] x, real dt, real RC)
    var real[0..n] y
    var real α := dt / (RC + dt)
    y[0] := α * x[0]
    für i von 1 bis n
        y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1]
    return y ⓘ

Die Schleife, die jeden der n Ausgänge berechnet, kann in das Äquivalent umstrukturiert werden:

    for i von 1 bis n
        y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1]) ⓘ

Das heißt, die Änderung von einem Filterausgang zum nächsten ist proportional zur Differenz zwischen dem vorherigen Ausgang und dem nächsten Eingang. Diese exponentielle Glättungseigenschaft entspricht dem exponentiellen Abklingen, das im zeitkontinuierlichen System zu beobachten ist. Wie erwartet, steigt mit zunehmender Zeitkonstante RC der zeitdiskrete Glättungsparameter $\alpha$ ab, und die Ausgangsmuster $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ reagieren langsamer auf eine Änderung der Eingangsmuster $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$; das System hat mehr Trägheit. Dieser Filter ist ein einpoliger Tiefpassfilter mit unendlicher Impulsantwort (IIR). ⓘ

Endliche Impulsantwort

Es können Filter mit endlicher Impulsantwort gebaut werden, die sich der Zeitbereichsantwort eines idealen Tiefpassfilters mit scharfer Abschneidefunktion annähern. Um die Verzerrung zu minimieren, hat das Filter mit endlicher Impulsantwort eine unbegrenzte Anzahl von Koeffizienten, die auf ein unbegrenztes Signal wirken. In der Praxis muss die Zeitbereichsantwort zeitlich abgeschnitten werden und hat oft eine vereinfachte Form; im einfachsten Fall kann ein laufender Mittelwert verwendet werden, der eine quadratische Zeitantwort ergibt. ⓘ

Fourier-Transformation

Bei der Nicht-Echtzeit-Filterung wird zur Erzielung eines Tiefpassfilters in der Regel das gesamte Signal als geschleiftes Signal genommen, die Fourier-Transformation durchgeführt, im Frequenzbereich gefiltert und anschließend eine inverse Fourier-Transformation durchgeführt. Es sind nur O(n log(n)) Operationen erforderlich, verglichen mit O(n²) für den Algorithmus zur Filterung im Zeitbereich. ⓘ

Dies kann manchmal auch in Echtzeit erfolgen, wenn das Signal lange genug verzögert wird, um die Fourier-Transformation an kürzeren, sich überlappenden Blöcken durchzuführen. ⓘ

Zeitkontinuierliche Realisierung

Darstellung der Verstärkung von Butterworth-Tiefpassfiltern der Ordnungen 1 bis 5, mit Grenzfrequenz $\omega _{0}=1$. Man beachte, dass die Steigung 20n dB/Dekade beträgt, wobei n die Filterordnung ist. ⓘ

Es gibt viele verschiedene Arten von Filterschaltungen mit unterschiedlichen Reaktionen auf Frequenzänderungen. Der Frequenzgang eines Filters wird im Allgemeinen mit Hilfe eines Bode-Diagramms dargestellt, und das Filter wird durch seine Grenzfrequenz und die Geschwindigkeit des Frequenzabfalls charakterisiert. In allen Fällen dämpft das Filter bei der Grenzfrequenz die Eingangsleistung um die Hälfte oder 3 dB. Die Ordnung des Filters bestimmt also den Umfang der zusätzlichen Dämpfung für Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz. ⓘ

• Ein Filter erster Ordnung verringert beispielsweise die Signalamplitude um die Hälfte (d. h. die Leistung verringert sich um den Faktor 4 oder 6 dB), wenn sich die Frequenz verdoppelt (eine Oktave ansteigt); genauer gesagt nähert sich der Leistungsabfall im Grenzbereich der hohen Frequenz 20 dB pro Jahrzehnt. Das Bode-Diagramm für ein Filter erster Ordnung sieht aus wie eine horizontale Linie unterhalb der Grenzfrequenz und eine diagonale Linie oberhalb der Grenzfrequenz. An der Grenze zwischen den beiden Linien gibt es auch eine "Kniekurve", die sanft zwischen den beiden geraden Bereichen übergeht. Wenn die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters erster Ordnung sowohl eine Nullstelle als auch einen Pol hat, flacht die Bode-Darstellung bei einer maximalen Dämpfung hoher Frequenzen wieder ab; ein solcher Effekt wird z. B. dadurch verursacht, dass ein kleiner Teil des Eingangssignals um das einpolige Filter herum leckt; dieses einpolige Ein-Null-Filter ist immer noch ein Tiefpass erster Ordnung. Siehe Pol-Null-Diagramm und RC-Schaltung.
• Ein Filter zweiter Ordnung dämpft hohe Frequenzen steiler ab. Das Bode-Diagramm für diese Art von Filter ähnelt dem eines Filters erster Ordnung, mit dem Unterschied, dass es schneller abfällt. Ein Butterworth-Filter zweiter Ordnung reduziert beispielsweise die Signalamplitude bei jeder Frequenzverdopplung auf ein Viertel des ursprünglichen Pegels (die Leistung nimmt also um 12 dB pro Oktave oder 40 dB pro Dekade ab). Andere allpolige Filter zweiter Ordnung können je nach ihrem Q-Faktor anfangs unterschiedlich schnell abfallen, nähern sich aber dem gleichen Endwert von 12 dB pro Oktave an; wie bei den Filtern erster Ordnung können Nullstellen in der Übertragungsfunktion die hochfrequente Asymptote verändern. Siehe RLC-Schaltung.
• Filter dritter und höherer Ordnung sind in ähnlicher Weise definiert. Im Allgemeinen beträgt die endgültige Rate des Leistungsabfalls für ein Allpol-Filter der Ordnung n 6n dB pro Oktave (20n dB pro Dekade). ⓘ

Verlängert man bei einem Butterworth-Filter die horizontale Linie nach rechts und die diagonale Linie nach links oben (die Asymptoten der Funktion), so schneiden sie sich genau bei der Grenzfrequenz, 3 dB unterhalb der horizontalen Linie. Die verschiedenen Arten von Filtern (Butterworth-Filter, Tschebyscheff-Filter, Bessel-Filter usw.) haben alle unterschiedlich aussehende Kniekurven. Viele Filter zweiter Ordnung haben eine "Spitze" oder Resonanz, die ihren Frequenzgang an dieser Spitze über die horizontale Linie hebt. ⓘ

Die Bedeutung von "tief" und "hoch", d. h. der Grenzfrequenz, hängt von den Eigenschaften des Filters ab. Der Begriff "Tiefpassfilter" bezieht sich lediglich auf die Form des Filterverhaltens; es kann ein Hochpassfilter gebaut werden, das bei einer niedrigeren Frequenz abschneidet als ein Tiefpassfilter - es sind die Frequenzgänge, die sie voneinander unterscheiden. Elektronische Schaltungen können für jeden gewünschten Frequenzbereich entwickelt werden, bis hin zu Mikrowellenfrequenzen (über 1 GHz) und höher. ⓘ

Mit einem Netzwerkanalysator gemessener Frequenzgang und Smith-Diagramm eines Tiefpassfilters ⓘ

Durch das Hintereinanderschalten von mehreren Tiefpässen kann man dessen Ordnung erhöhen. Beispielsweise bilden zwei hintereinandergeschaltete Tiefpässe 2. Ordnung einen Tiefpass 4. Ordnung. Die Dämpfung ändert sich dabei oberhalb der Grenzfrequenz mit 4·20 dB/Dekade = 80 dB/Dekade, was einer Flankensteilheit von 24 dB/Oktave entspricht. ⓘ

Zwei zusammengeschaltete Tiefpässe mit gleicher Grenzfrequenz ergeben aber keinen Tiefpass höherer Ordnung derselben Grenzfrequenz. Für die Dimensionierung eines Tiefpasses mit gewünschter Grenzfrequenz stehen spezielle Formeln und Tabellen zur Verfügung. ⓘ

Zusätzlich tritt das Problem auf, dass ein Tiefpass in einer Kette vom Ausgangswiderstand des vorgeschalteten und dem Eingangswiderstand des nachgeschalteten Tiefpasses beeinflusst wird. Diesem Effekt kann mit Impedanzwandlern entgegengewirkt werden. ⓘ

Allgemein werden für ein Filter n-ter Ordnung n speichernde Elemente (also Kondensatoren oder Spulen) benötigt. ⓘ

Die Dämpfung eines Tiefpasses n-ter Ordnung nimmt oberhalb der Grenzfrequenz mit n·20 dB/Dekade zu. ⓘ

Laplace-Schreibweise

Zeitkontinuierliche Filter können auch durch die Laplace-Transformation ihrer Impulsantwort beschrieben werden, so dass alle Eigenschaften des Filters leicht analysiert werden können, indem man das Muster der Pole und Nullstellen der Laplace-Transformation in der komplexen Ebene betrachtet. (In diskreter Zeit kann man auf ähnliche Weise die Z-Transformation der Impulsantwort betrachten). ⓘ

Zum Beispiel kann ein Tiefpassfilter erster Ordnung in Laplace-Notation wie folgt beschrieben werden:

${\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}$ ⓘ

wobei s die Variable der Laplace-Transformation, τ die Filterzeitkonstante und K die Verstärkung des Filters im Durchlassbereich ist. ⓘ

Elektronische Tiefpassfilter

Erster Ordnung

RC-Filter

Passives RC-Tiefpassfilter erster Ordnung ⓘ

Eine einfache Tiefpassfilterschaltung besteht aus einem Widerstand in Reihe mit einer Last und einem Kondensator parallel zu dieser Last. Der Kondensator weist einen Blindwiderstand auf und blockiert niederfrequente Signale, indem er sie stattdessen durch die Last schickt. Bei höheren Frequenzen nimmt der Blindwiderstand ab, und der Kondensator fungiert effektiv als Kurzschluss. Aus der Kombination von Widerstand und Kapazität ergibt sich die Zeitkonstante des Filters $\tau \;=\;RC$ (dargestellt durch den griechischen Buchstaben tau). Die Unterbrechungsfrequenz, die auch als Umschaltfrequenz, Eckfrequenz oder Grenzfrequenz (in Hertz) bezeichnet wird, wird durch die Zeitkonstante bestimmt:

$f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}$ ⓘ

oder äquivalent (in Radiant pro Sekunde):

$\omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}$ ⓘ

Diese Schaltung lässt sich verstehen, wenn man die Zeit betrachtet, die der Kondensator benötigt, um sich über den Widerstand zu laden oder zu entladen:

• Bei niedrigen Frequenzen hat der Kondensator genügend Zeit, um sich praktisch bis zur gleichen Spannung wie die Eingangsspannung aufzuladen.
• Bei hohen Frequenzen hat der Kondensator nur wenig Zeit, sich aufzuladen, bevor der Eingang die Richtung wechselt. Die Ausgangsspannung steigt und sinkt nur um einen kleinen Bruchteil des Betrags, um den die Eingangsspannung steigt und sinkt. Bei der doppelten Frequenz bleibt nur die Hälfte der Zeit, um sich aufzuladen. ⓘ

Eine weitere Möglichkeit, diese Schaltung zu verstehen, ist das Konzept des Blindwiderstands bei einer bestimmten Frequenz:

• Da Gleichstrom (DC) nicht durch den Kondensator fließen kann, muss Gleichstrom aus dem markierten Pfad fließen $V_{\mathrm {out} }$ (analog zum Entfernen des Kondensators).
• Da Wechselstrom (AC) sehr gut durch den Kondensator fließt, fast so gut wie durch einen massiven Draht, fließt der AC-Eingang durch den Kondensator ab, was einen Kurzschluss zur Erde bedeutet (analog zum Ersetzen des Kondensators durch einen Draht). ⓘ

Der Kondensator ist kein "Ein/Aus"-Objekt (wie der Block oder die obige Erläuterung der Pass-Fluidik). Der Kondensator wirkt variabel zwischen diesen beiden Extremen. Das Bode-Diagramm und der Frequenzgang zeigen diese Variabilität. ⓘ

RL-Filter

Eine Widerstandsinduktorschaltung oder ein RL-Filter ist eine elektrische Schaltung, die aus Widerständen und Induktoren besteht und von einer Spannungs- oder Stromquelle gesteuert wird. Eine RL-Schaltung erster Ordnung besteht aus einem Widerstand und einer Induktivität und ist der einfachste Typ einer RL-Schaltung. ⓘ

Eine RL-Schaltung erster Ordnung ist eines der einfachsten analogen elektronischen Filter mit unendlicher Impulsantwort. Er besteht aus einem Widerstand und einer Induktivität, die entweder in Reihe geschaltet sind und von einer Spannungsquelle oder parallel von einer Stromquelle angesteuert werden. ⓘ

Filter zweiter Ordnung

RLC-Filter

RLC-Schaltung als Tiefpassfilter ⓘ

Eine RLC-Schaltung (die Buchstaben R, L und C können in unterschiedlicher Reihenfolge stehen) ist eine elektrische Schaltung, die aus einem Widerstand, einer Induktivität und einem Kondensator besteht, die in Reihe oder parallel geschaltet sind. Der RLC-Teil des Namens ist darauf zurückzuführen, dass diese Buchstaben die üblichen elektrischen Symbole für Widerstand, Induktivität bzw. Kapazität sind. Die Schaltung bildet einen harmonischen Oszillator für den Strom und schwingt in ähnlicher Weise wie eine LC-Schaltung. Der Hauptunterschied, den das Vorhandensein des Widerstands ausmacht, besteht darin, dass jede in der Schaltung induzierte Schwingung mit der Zeit abklingt, wenn sie nicht durch eine Quelle in Gang gehalten wird. Dieser Effekt des Widerstands wird als Dämpfung bezeichnet. Durch das Vorhandensein des Widerstands wird auch die Spitzenresonanzfrequenz etwas verringert. Ein gewisser Widerstand ist in realen Schaltungen unvermeidlich, auch wenn ein Widerstand nicht ausdrücklich als Bauteil enthalten ist. Ein idealer, reiner LC-Schaltkreis ist eine Abstraktion für die Zwecke der Theorie. ⓘ

Es gibt viele Anwendungen für diese Schaltung. Sie werden in vielen verschiedenen Arten von Oszillatorschaltungen verwendet. Eine weitere wichtige Anwendung ist die Abstimmung, z. B. in Rundfunkempfängern oder Fernsehgeräten, wo sie dazu dienen, einen engen Frequenzbereich aus den umgebenden Funkwellen auszuwählen. In dieser Funktion wird der Schaltkreis oft als abgestimmter Schaltkreis bezeichnet. Eine RLC-Schaltung kann als Bandpassfilter, Bandsperrfilter, Tiefpassfilter oder Hochpassfilter verwendet werden. Der RLC-Filter wird als Schaltung zweiter Ordnung bezeichnet, was bedeutet, dass jede Spannung oder jeder Strom in der Schaltung durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Schaltungsanalyse beschrieben werden kann. ⓘ

Passive Filter höherer Ordnung

Es können auch passive Filter höherer Ordnung konstruiert werden (siehe Diagramm für ein Beispiel dritter Ordnung). ⓘ

Aktive elektronische Realisierung

Ein aktiver Tiefpassfilter ⓘ

Eine andere Art der elektrischen Schaltung ist ein aktiver Tiefpassfilter. ⓘ

In der in der Abbildung dargestellten Operationsverstärkerschaltung ist die Grenzfrequenz (in Hertz) wie folgt definiert:

$f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}$ ⓘ

oder äquivalent (in Radiant pro Sekunde):

$\omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}$ ⓘ

Die Verstärkung im Durchlassbereich ist -R₂/R₁, und der Sperrbereich fällt mit -6 dB pro Oktave (d. h. -20 dB pro Dekade) ab, da es sich um ein Filter erster Ordnung handelt. ⓘ

Darstellung

Der allgemeine mathematische Ansatz für einen Filter führt auf eine Differentialgleichung. Speziell für sinusförmige Größen lässt sich die Lösung durch die Verwendung komplexwertiger Größen vereinfachen, siehe komplexe Wechselstromrechnung. ⓘ

Auch der Frequenz- und Phasengang beschreibt vollwertig das Verhalten eines Filters. Diese Verläufe stellt man durch das komplexe Spannungsverhältnis H = U_a /U_e ( bzw. durch das Verstärkungsmaß A(w) = 20 log₁₀ |H(w)| ) und den Phasenverschiebungswinkel φ zwischen U_a und U_e in einem Bode-Diagramm oder mittels einer Ortskurve dar. ⓘ

Tiefpass 1. Ordnung

Spannung V_C an der Kapazität als Funktion der Zeit bei sprunghafter Änderung der Eingangsspannung ⓘ

Emphasis und Deemphasis

Bei der statischen Frequenzgangveränderung, der Emphasis und der Deemphasis wird anstatt der Grenzfrequenz üblicherweise die Zeitkonstante angegeben. ⓘ